Universidad Americana

UAM

Estimación puntual e intervalos de Estimación puntual e intervalos de

confianza, para estimar parámetros

poblacionales.

Resumen realizado por:

Lic. Maryan Balmaceda Vivas

Economista - Consultor

Estimadores puntuales e intervalos de

confianza, para calcular la media

poblacional.

En este caso se deben considerar dos

situaciones:

a) Se conoce la desviación estándar dela a) Se conoce la desviación estándar dela

población.

b) Se desconoce la desviación estándar de

la población, la cual se estima con la

desviación estándar de la muestra.

Estimador puntual. Es la estimación de un

parámetro poblacional, basado en un solo

número.

Ejemplo: Una empresa esta constituida

por 100 empleados y se desea estimar el

salario promedio de los empleados, salario promedio de los empleados,

basado en una muestra seleccionada de la

población.

N= 100 n= 10 empleados

Salario promedio de la muestra = ∑Salarios /10 = C$ 4,500.00

Estimación de salario promedio de los 100 empleados de la

empresa = = C$ 4,500.00 empresa = = C$ 4,500.00

Salario promedio de la población = C$ 4,500.00

Intervalo de confianza.

Es un conjunto de valores formado a partir de

una muestra, de manera tal que exista la una muestra, de manera tal que exista la

posibilidad de que el parámetro poblacional, se

encuentre dentro de dicho conjunto de valores,

con una probabilidad específica de ocurrencia.

La probabilidad específica, recibe el nombre de

nivel de confianza.

Intervalo de confianza, para estimar la media

poblacional, cuando se conoce la desviación estándar

de la población.

X ± Z σ / n

X = Media de la muestra X = Media de la muestra

σ= Desviación estándar de la población.

Z = Valor que depende del nivel de confianza deseado.

Ejemplo

Se toma una muestra de 49

observaciones de una población

normal, que posee una desviación

estándar de 10. La media de la estándar de 10. La media de la

muestra es de 55. Determine el

intervalo de confianza del 99%,

para estimar la media poblacional.

Resolución

a)El nivel de confianza del 99% se divide entre

dos. 0.99/2=0.495

b)Busque en tabla de área para una

distribución normal, para una área de 0.495

que valor de z le corresponde. Z= 2.58que valor de z le corresponde. Z= 2.58

c) Aplique el intervalo de confianza, para

estimar la media poblacional, cuando se

conoce la desviación estándar de la población.

Datos

X = 55 Z= 2.58 Desviación estándar de la población= 10

X ±Z σ/σ/σ/σ/ n = 55 = 55 = 55 = 55± 2.5810/ 2.5810/ 2.5810/ 2.5810/ 49= 51.314 − 58.686= 51.314 − 58.686= 51.314 − 58.686= 51.314 − 58.686

Como se interpreta: Existe una probabilidad de un 99%

que la media poblacional se encuentre entre 51.314 a

58.686 o 51.314 ≤ µ≤58.686

Como se interpreta el intervalo

de confianza.Si seleccionamos de una población todas las posibles

muestras de tamaño 256 y para cada muestra, se muestras de tamaño 256 y para cada muestra, se

calcula su media y se construye un intervalo de

confianza con un nivel de confianza del 95%, se puede

esperar que el 95% de todos los intervalos

construidos, contendrán la media poblacional y el 5 %

de todos los intervalos construidos no contendrán la

media de la población.

Cálculo de la media poblacional, mediante un

intervalo de confianza, partiendo de la media

de la muestra, cuando no se conoce la

desviación estándar de la población.

Anteriormente se conocía la desviación

estándar de la población, sin embargo en la

mayoría de los casos de muestreo, no se mayoría de los casos de muestreo, no se

conoce la desviación estándar de la población.

Sin embargo la desviación estándar de la

muestra, se utiliza para estimar la desviación

estándar de la población.

Cuando no se conoce, la desviación estándar de la

población, no se puede utilizar la distribución z, en

esta situación la desviación estándar de la población,

se calcula con la desviación estándar de la muestra, y

la distribución z se sustituye con la distribución t. La

aplicación de la distribución t, se asocia con

estadísticas de muestras pequeñas, es decir muestras estadísticas de muestras pequeñas, es decir muestras

con tamaño menor o igual a 30.

La distribución t es más plana que la distribución

normal, esto se debe a que la desviación estándar de

la distribución t, es mayor que la desviación estándar

de la distribución normal.

Las características de la distribución t, se basan en el supuesto

de que la población de interés es normal, o casi normal.

a)Como la distribución z , es una distribución continua.

b)Igual que la distribución z tiene forma de campana y es

simétrica.

b) No existe una distribución t, sino una familia de b) No existe una distribución t, sino una familia de

distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una media

cero, y sus desviaciones estándar varían de acuerdo al tamaño

de la muestra. A medida que aumenta el tamaño de la muestra,

va disminuyendo su desviación estándar, es decir una muestra

de tamaño 5, tiene una desviación estándar , mayor que una

muestra de tamaño 20.

c)La desviación estándar de la muestra se acerca cada vez más

a la desviación estándar de la población, con tamaño de

muestra ≥120 la desviación estándar de la muestra, estima con

mucha precisión la desviación estándar de la población, de

manera tal que hay muy poca diferencia entre la distribución z

y la distribución t, por eso muchas personas dedicadas a la

investigación estadística, utilizan z en lugar de t, cuando la

muestra es mayor que 120.

d) La distribución t tiene un área mayor en las colas y menor en d) La distribución t tiene un área mayor en las colas y menor en

el centro que la distribución z.

e) Conforme aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t

se aproxima cada vez más a la distribución normal, pues los

errores que se cometen al estimar la desviación estándar

poblacional con la desviación estándar de la muestra,

disminuyen con muestras grandes.

Intervalo de confianza para estimar la media poblacional, cuando no se conoce la

Desviación estándar de la población.

X ± t S/ n X ± t S/ n

La aplicación de este intervalo plantea:

a) Que la población es normal o casi normal.

b) La desviación estándar de la población, se estima con la

Desviación estándar de la muestra.

c) Utilice la distribución t en lugar de z.

Cuando usar la distribución z o la distribución t.

Se supone que la

distribución es

normal

¿ Se conoce la desviación

estándar de la población?

No Si

Se utiliza la

distribución t

Se utiliza la

distribución

normal.

Ejemplo uso de la distribución t de student.

El propietario de una granja, desea calcular la

cantidad media de huevos que pone cada gallina. Una

muestra de 20 gallinas, indican que ponen 20 huevos

al mes, con una desviación estándar de 2 huevos al

mes.

a) ¿Cuál es el valor de la media de la población? ¿ Cual

es el mejor estimador de este valor?es el mejor estimador de este valor?

b) Explique porque necesita utilizar la distribución t.

¿Que suposiciones necesita hacer?

c) Construya un intervalo de confianza de 95%, para

estimar la media poblacional.

d)Es razonable concluir que la media poblacional es de

21 huevos. ¿ Y de 25 huevos?

Intervalo de confianza de una proporciòn.

Hasta ahora los casos que se han presentado han sido

con la escala de razòn, como ingresos, edades,

distancias ,etc.

En el intervalo de confianza de una proporciòn, vamosEn el intervalo de confianza de una proporciòn, vamos

a utilizar la escala de mediciòn nominal.

Proporciòn.

Fracciòn, razòn o porcentaje, que indica la parte de la

muestra de la poblaciòn, que posee un rasgo de

interès particular.

Proporciòn muestral.

np = X/ n

X representa el No. de éxitos en la muestra X representa el No. de éxitos en la muestra

n tamaño de la muestra.

p proporción de la población

Para estimar la proporción de éxito en la población,

mediante un intervalo de confianza, deben cumplirse las

siguientes condiciones:

Se deben presentar las condiciones binomiales, en

resumen estas condiciones son:

a) Los datos de la muestra, son resultados de conteos.

b) Solo hay dos resultados posibles éxito y fracaso, que

son mutuamente excluyentes.son mutuamente excluyentes.

d) La probabilidad de éxito permanece igual de una

prueba a la siguiente.

e) Las pruebas son independientes.

Los valores np y n(1 – p) deben ser mayores que cinco.

Calculo de la proporción de éxito en la población,

mediante un intervalo de confianza.

P n± Z nPnPn /)1( −

P =Proporción de éxito en la muestra P n =Proporción de éxito en la muestra

1 - P n= Proporción de fracaso en la muestra

n= Tamaño de la muestra

El propietario de una gasolinera, desea

determinar la proporción de clientes que

utilizan tarjeta de crédito o débito, para pagar

la gasolina en el área de las bombas. Entrevisto

a 100 clientes y descubrió que 80 pagaron con

tarjeta de crédito o débito.

a)Calcule el valor de la proporción de la a)Calcule el valor de la proporción de la

población.

b) Construya un intervalo de confianza del

95%, para estimar la proporción de la

población.

c) Interprete el intervalo de confianza.

Resolución

a) P n = X/n = 80/100= 0.80

b) P n ± Z nPnPn /)1( −

0.80 ± 1.96 100/)80.0.1(80.0 − = 0.72 a 0.88

0.95 /2 =0.475 Se busca en la tabla de área para una distribución

normal, que valor de z corresponde a un área de 0.475 Z= 1.96

c) Existe una probabilidad de un 95%, de que la proporción del total

de consumidores que utilizan tarjetas de crédito o débito, para echar

gasolina, se encuentre entre 72% a 88%.

Factor de corrección para una población finita.

Las poblaciones de las que se han tomado muestras son muy

grandes o infinitas. Cuando la población no es muy grande, es

necesario realizar algunos ajustes en la forma de calcular el

error estándar de las medias muéstrales y del error estándar de

las proporciones muéstrales.

Una población con un limite superior es finita.

Cuando la población es finita, representada por N y la muestra

extraída de esta población por n, es necesario ajustar los

errores muéstrales en las fórmulas de los intervalos de

confianza.

Este ajuste recibe el nombre de factor de corrección de una

población finita, que viene dado por :

FCPF = 1/ −− NnN

¿Por qué es necesario, aplicar un factor de

corrección, para una población finita y

cuál es el efecto de hacerlo.

Supongamos que tenemos una población

de 1000 y tomamos una muestra de

tamaño 100, vamos a observar el efecto tamaño 100, vamos a observar el efecto

del término N-n/N – 1.

1000 – 100/1000 – 1 = 900/999 al sacarle

la raíz cuadrada se obtiene el factor de

corrección para una población finita que

es igual a 0.9492.

La desviación estándar de la distribución muestral de medias, llamado

también error estándar de la media viene representado por:

σσσσX

= = = = σ/ σ/ σ/ σ/ n

σσσσ Representa la desviación estándar de la población, que cuando no se

conoce se estima con la desviación estándar de la muestra.

Si para la muestra de tamaño 100, la desviación estándar de la muestra es

2.6, si no se conoce la desviación estándar de la población, el error

estándar de la media es:

2.6/ 100 = 2.6/10= .26 este valor al multiplicarlo por el FCPF 0.9492se

reduce a 0.2468 reduce a 0.2468

¿En cuanto se reduce el error estándar de la media, con este tamaño de

muesta de 100?

0.2468/0.26= 0.9492

Reducción porcentual = 1 – 0.9492=0.0508

El error estándar de la media, se redujo en 5.08%, al aplicar el factor de

corrección.

Factor de correciòn de una poblaciòn finita , cuando el tamaño de la de la poblaciòn es de 1000.

% de disminuciònTamaño de la n / N FCPF en el error estàndar de la mediamuestra 1 - FCPF

10 0.010 0.9955 0.004510 0.010 0.9955 0.004525 0.025 0.9879 0.012150 0.050 0.9752 0.0248100 0.100 0.9492 0.0508200 0.200 0.8949 0.1051500 0.500 0.7075 0.2925

Deducciones de la tabla anterior

a) Si el tamaño de la muestra es menor

que el 5% de la población, el efecto del

FCPF es muy pequeño.

b) Si la razòn de n /N es < del 5%, se

ignora el factor de correciòn.ignora el factor de correciòn.

C) A medida que va aumentando el

cociente de n/ N, se va incrementando el

porcentaje de disminuciòn del error

estàndar de la media.

Ejemplo

Hay 250 familias en Scandia ,Pennsylvania,. Una muestra

aleatoria de 40 de estas familias, revela que la contribución

media anual a la iglesia fue de $450.0, y la desviación

estándar de $ 75. ¿ La media poblacional puede ser $ 445 o $

425?

a)¿ Cual es la media poblacional?.¿ Cual es el mejor

estimador de la media poblacional.?estimador de la media poblacional.?

b) Analice la razón, por la que se debe emplear el factor de

corrección para una población finita.

c)¿ Construya un intervalo de confianza del 90%, para

estimar la media poblacional?.¿ Cuales son los puntos

extremos del intervalo de confianza?

d) Interprete el intervalo de confianza.