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ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Estimación puntual
Estimador de un parámetro es una función de las observaciones muestrales ),........,( 21 nxxxt
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i
ˆSnesobservaciolasdecuadraticafuncionXx1n
1S
ˆXnesobservaciolasdelinealfuncionxn
1X
El resultado numérico que se obtiene es la estimación del parámetro
La expresión matemática (o algebraica) es el estimador del parámetro
Propiedades de los estimadores
1.- Insesgado o no viciado :
Un estimador se dice insesgado si su esperanza es igual al parámetro
)ˆ(Einsesgadoesˆ
Por el contrario, el estimador se dice viciado si su esperanza es distinta al parámetro.
viciadoesE ˆ)ˆ(
2.- Consistente :
pequeñomentearbitrarianparaP
sideeconsistentestimadorunes
,,1ˆ
:ˆ
Si un estimador es insesgado (o asintóticamente insesgado), será consistente si su variancia tiende a cero
econsistentesVE
bieno
econsistentesVE
ˆ0)ˆ()ˆ(
ˆ0)ˆ()ˆ(
3.- Eficiente :
1)ˆ(
)ˆ(,,)ˆ()ˆ(
*
*
V
VseaoVV
Eficiencia relativa:
1)ˆ(
)ˆ()ˆ()ˆ(;ˆˆ
2
12121
V
VVVsiqueeficientemases
4.- Suficiente
5.- Invariancia
Si contiene (o absorbe) toda la información proporcionada por la muestra
Cuando una función del mismo es un buen estimador de la función del parámetro
Mínima Variancia
Método de los momentos
Método de los Mínimos Cuadrados
Método de Máxima Verosimilitud
Métodos de estimación puntual
Estimación por intervalos de confianza.
En lugar de indicar simplemente un único valor como estimación del parámetro poblacional , lo que se hace es calcular un intervalo de valores en el que se tiene cierta probabilidad (confianza) de que se encuentre el verdadero valor de .
Intervalo de confianza: Es el intervalo de las estimaciones (probables) sobre el parámetro.
Límites de los intervalos de confianza: Son los dos valores extremos del intervalo de confianza.
Amplitud del intervalo o margen de error...
1)ˆ( ˆkP
Ahora bien, ¿cuán grande debe de ser el intervalo de confianza? Evidentemente, si se dice que el intervalo de confianza va de menos infinito a más infinito, seguro que acertamos...
Pero eso no es muy útil. El caso extremo contrario es la estimación puntual, donde la amplitud del intervalo es nula.
La idea es crear intervalos de confianza de manera que se conozca en qué porcentaje de casos el valor del parámetro poblacional estará dentro del intervalo crítico.
Es decir, dar una medida de bondad de la estimación, la probabilidad de que el valor real se encuentre dentro del intervalo.
1)ˆˆ(P
Coeficiente o grado de confianza
¿Y cómo se fija tal probabilidad?
Al calcular un intervalo de confianza al 95%, ello quiere decir que el 95% de las veces que repitamos el proceso de muestreo (y calculemos el estadístico), el verdadero valor del parámetro poblacional estará dentro de tal intervalo.
A ese usual nivel de significación se le denomina confianza
Otro caso usual es trabajar con el 99% de confianza
Intervalos de confianza para la media:
Supongamos que la población sigue una distribución normal, con cierta media y cierta desviación típica .
El estimador puntual para la media poblacional es
la media muestral.
Se sabe que:
(1)La media de la distribución muestral de medias es la media poblacional .
(2). La varianza de la distribución muestral de medias es 2/n. O lo que es lo mismo, la desviación típica de la distribución muestral de medias es /n.
Veremos dos casos para calcular intervalos de confianza:
(1) La población es normal y conocemos :
n
iixn
x1
1
1,0/
Nn
xz
nNx /,
Tipificamos la variable:
Sabemos cómo se distribuye la variable aleatoria muestral y a partir de esa distribución podemos determinar el intervalo de confianza.
Supongamos que deseamos tener un nivel de confianza 1- .
1xkXP
-z/2
/2/21-
z/20
1,0N
1
1/
2/2/
2/2/
zn
xzn
xP
zn
xzP
2/2/ z
nxz
nx
Una estimación puntual de la media poblacional se obtendría de una muestra de n elementos haciendo la media muestral. Mientras que un intervalo de confianza con nivel de significación es:
Se puede determinar el tamaño necesario de una muestra para obtener una amplitud del intervalo de confianza determinada calculando:
2
2/
zn
Semiamplitud delintervalo
Ejemplo: n = 100
1.96 1.96 025.0025.0 zyz
20x 5 Confianza = 0.95 = 0.05
02.1996.1100
5202/
z
nx
98.2096.1100
5202/
z
nx
)98.20;02.19(
Buscamos en las tablas N(0,1) los valores de z que dejan 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por abajo y 0.05 / 2 = 0.025 de probabilidad por arriba:
A medida que el tamaño muestral aumenta, la amplitud del intervalo disminuye. (esto es general, no sólo para la media.)
Confianza 1 - = 0.95:
Caso 1. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, n=12.
Caso 2. Media muestral =10, varianza poblacional = 4, n= 20.
2 210 ( 1.96) 10 1.96 9.12 10.88 0.95
20 20P P
2 210 ( 1.96) 10 1.96 8.87 11.13 0.95
12 12P P
En tal caso, se tendrá más seguridad de que el parámetro de interés se halle en los límites del intervalo. El problema es que incrementar la confianza aumenta la amplitud del intervalo.
Caso 1. Media muestral = 10, varianza poblacional = 4,
n = 12. Intervalo al 95%
Caso 2. Media muestral = 10, varianza poblacional =4,
n = 12. Intervalo al 99%
2 210 ( 2.57) 10 2.57 8.52 11.48 0.99
12 12P P
2 210 ( 1.96) 10 1.96 8.87 11.13 0.95
12 12P P
La distribución muestral del estadístico:
no es una distribución normal, sino una distribución t de Student con n -1 grados de libertad.
(2) Población normal y desconocemos :
ns
x
/
1
1/
2/2/
2/2/
tn
sxt
n
sxP
tns
xtP
El intervalo para la media (cuando se conoce la varianza poblacional), se define :
Pero si no se conoce la varianza poblacional (el caso realista), se tiene como intervalo:
2/2/ z
nxz
nx
2/2/ tn
sxt
n
sx
Si n es grande (n > 30), la distribución del estadístico
será prácticamente una distribución normal N(0,1).
El intervalo de confianza es:
Distribución de la población desconocida y n > 30
ns
x
/
2/2/ z
nxz
nx
Nota: para n > 30 la distribución t de Student es prácticamente una Normal.
n
hhzhp
n
hhzh
)1()1(22
n
pqpNX
nh i ,~
1
Intervalo de Confianza para el Parámetro p de la Binomial
n
hhs hh
)1(ˆ
1,0~)1(
N
nhh
ph