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ESTIMACIÓN DE CANAL PARA COMUNICACIONES
ULTRA-WIDEBAND
GAËLLE CAROLINE ALCÁNTARA POMBO
MAJA PAULA MICHIELS VARGAS
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
BOGOTÁ
2005
ESTIMACIÓN DE CANAL PARA COMUNICACIONES
ULTRA-WIDEBAND
GAËLLE CAROLINE ALCÁNTARA POMBO
MAJA PAULA MICHIELS VARGAS
Trabajo de grado para optar al título de
Ingeniero Electrónico
Director:
ADOLFO RECIO
Ingeniero Electrónico, M.Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
BOGOTÁ
2005
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
RECTOR MAGNIFICO: R.P. GERARDO REMOLINA S.J.
DECANO ACADÉMICO: Ing. FRANCISCO JAVIER REBOLLEDO MUÑOZ
DECANO DEL MEDIO UNIVERSITARIO: R.P. ANTONIO JOSÉ SARMIENTO
NOVA S.J.
DIRECTOR DE CARRERA: Ing. JUAN CARLOS GIRALDO CARVAJAL
DIRECTOR DEL PROYECTO: Ing. ADOLFO RECIO
ARTICULO 23 DE LA RESOLUCION NO. 13 DE JUNIO DE 1946
“La universidad no se hace responsable de las conceptos emitidos por sus alumnos en sus
proyectos de grado.
Sólo velará por que no se publique nada contrario al dogma y a la moral católica y porque
los trabajos no contengan ataques o polémicas puramente personales. Antes bien, que se
vea en ellos el anhelo de buscar la verdad y la justicia”.
A Maman, Manuela, Daniel y Papa
A Iván que me apoyó en las épocas más difíciles
A Tita, Adri y Pilar por ser buenas amigas y ayudarme durante toda la carrera
Y a Luis Bimbo y Alfonso por ser unos amigos incondicionales.
Gaëlle.
A mi mamá por su gran apoyo
A mis hermanas y a tono, por acompañarme.
Y a todos los que me dieron aliento
en los buenos y malos momentos.
Maja.
AGRADECIMIENTOS
Los autores expresan sus agradecimientos a:
Ing. Adolfo Recio, por su apoyo a lo largo del proyecto.
Ing. Carolina Soto, por su constante contribución en la realización del trabajo.
Ing. Boris Martínez, por su colaboración en el proceso.
Ing. Javier Villegas, por sus valiosos aportes en el desarrollo de este trabajo.
A Claudia, Gloria, Caliche, Marlon y Leopoldo por su colaboración.
A Antonio Correa por su invaluable contribución como editor.
TABLA DE CONTENIDO
TABLA DE CONTENIDO_________________________________________________ 14
LISTA DE FIGURAS_____________________________________________________ 14
LISTA DE TABLAS _____________________________________________________ 14
GLOSARIO ____________________________________________________________ 15
INTRODUCCIÓN _______________________________________________________ 16
1. MARCO TEÓRICO __________________________________________________ 18
1.1. LA SEÑAL ULTRA-WIDEBAND __________________________________ 18
1.2. MODELO DE CLUSTERS ________________________________________ 20
1.3. MODELO DE LA SEÑAL _________________________________________ 17
1.4. MODELO DEL CANAL __________________________________________ 20
1.4.1. Distribución de las amplitudes __________________________________ 24
1.4.2. Distribución de los tiempos_____________________________________ 25
1.4.3. Distribución de los ángulos_____________________________________ 25
1.5. MODELO DE LA SEÑAL RECIBIDA _______________________________ 26
1.6. ESTIMACIÓN __________________________________________________ 28
1.6.1. Método de mínimos cuadrados __________________________________ 29
1.6.2. Método de EM ______________________________________________ 36
2. DESCRIPCIÓN Y ESPECIFICACIONES_________________________________ 44
2.1. DESCRIPCIÓN _________________________________________________ 44
2.2. DIAGRAMA DE FLUJO DE LAS SIMULACIONES REALIZADAS ______ 45
2.3. ESPECIFICACIONES DEL CANAL ________________________________ 46
3. DESARROLLO _____________________________________________________ 48
3.1. RESUMEN DE LAS FUNCIONES UTILIZADAS PARA LAS
SIMULACIONES______________________________________________________ 48
3.1.1. Función modelo señal _________________________________________ 51
3.1.1.1. Función monociclo _______________________________________ 53
3.1.1.2. Función señal ___________________________________________ 54
3.1.1.3. Función muestreo señal____________________________________ 55
3.1.1.4. Función canal ___________________________________________ 56
3.1.1.5. Función convolución______________________________________ 59
3.1.1.6. Función ruido ___________________________________________ 59
3.1.2. Función estimación LSE _______________________________________ 59
3.1.2.1. Función respuesta en frecuencia _____________________________ 62
3.1.2.2. Función métodos numéricos sin iterar ________________________ 62
3.1.2.3. Función métodos numéricos iterando _________________________ 65
3.1.3. Función estimación EM _______________________________________ 67
3.1.3.1. Función muestreo señal____________________________________ 69
3.1.3.2. Función convolución______________________________________ 69
3.1.3.3. Función ruido ___________________________________________ 69
3.1.3.4. Función expectation ______________________________________ 69
3.1.3.5. Función maximization_____________________________________ 70
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS _________________________________________ 71
4.1. SIMULACIÓN DEL MODELO DE CANAL PROPUESTO PARA UWB ___ 71
4.2. ESTIMACIÓN DEL CLUSTER CON EN EL ALGORITMO DE MÍNIMOS
CUADRADOS.________________________________________________________ 75
4.2.1. Estimación sin iteración del algoritmo LSE ________________________ 77
4.2.1.1. CASO 1: Distribución uniforme de los tiempos de llegada ________ 77
4.2.1.2. CASO 2: Distribución normal de los tiempos de llegada __________ 82
4.2.2. Estimación iterando el algoritmo LSE ____________________________ 84
4.2.3. Análisis de la estimación del algoritmo LSE en función de la relación señal
a ruido 86
4.3. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE LAS
FUENTES APARENTES DENTRO DEL CLUSTER CON EL ALGORITMO EM. _ 88
4.3.1. Convergencia del algoritmo ____________________________________ 89
4.3.2. Cálculo de la media y la varianza de los parámetros estimados utilizando el
algoritmo EM. _______________________________________________________ 94
5. CONCLUSIONES ___________________________________________________ 99
5.1. CONCLUSIONES DE LA SEÑAL UWB Y DEL MODELO DE CANAL ___ 99
5.2. CONCLUSIONES DE LA ESTIMACIÓN DE LA POSICIÓN DE UN
CLUSTER UTILIZANDO LSE __________________________________________ 100
5.3. CONCLUSIONES DE LA ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS
FUENTES INDIVIDUALES QUE CONFORMAN CADA CLUSTER APLICANDO
EM 101
5.4. TRABAJOS FUTUROS __________________________________________ 103
BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 105
ANEXOS _____________________________________________________________ 109
ANEXO A: CLUSTER CHANNEL ESTIMATION FOR UWB SIGNALS _______ 109
ANEXO B: CHANNEL MODELING SUB-COMMITTEE REPORT FINAL _____ 109
ANEXO C: CÓDIGO DE LAS FUNCIONES _______________________________ 109
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-1. Forma de onda de los pulsos en el dominio del tiempo.......................19
Figura 1-2. Comportamiento de una transmisión UWB en un ambiente interior ....16
Figura 1-3 Señal UWB simulada............................................................................18
Figura 1-4 Monociclo simulado con δ=2.................................................................19
Figura 1-5 Posición de los pulsos ..........................................................................20
Figura 1-6 Diagrama en bloques de un canal de varios caminos ..........................21
Figura 1-7 Posición de las fuentes y clusters simulados........................................23
Figura 1-8 Señal recibida simulada con SNR = 25 dB...........................................27
Figura 1-9 Elementos de un sistema de comunicación..........................................28
Figura 1-10 Mapeo de X en Y................................................................................36
Figura 1-11 El algoritmo de EM .............................................................................43
Figura 2-1. Diagrama de flujo de las simulaciones ................................................45
Figura 3-1 Diagrama de bloques de la estimación de canal ..................................50
Figura 3-2 Diagrama de bloques de la función modelo_señal ...............................52
Figura 3-3 Diagrama de bloques de la función monociclo. ....................................53
Figura 3-4 Diagrama de bloques de la función señal.............................................55
Figura 3-5 Diagrama de bloques de la función muestreo_señal. ...........................56
Figura 3-6 Diagrama de bloques de la función canal.............................................58
Figura 3-7 Diagrama de bloques de la función estimación LSE ............................61
Figura 3-8. Diagrama de flujo del algoritmo de LSE sin iterar................................64
Figura 3-9. Diagrama de flujo del algoritmo de LSE iterando ................................66
Figura 3-10 Diagrama de bloques de la función estimación EM............................68
Figura 4-1 Distribución de las fuentes dentro del cluster. ......................................72
Figura 4-2 Respuesta impulso del canal de cada antena. .....................................73
Figura 4-3 Primer símbolo recibido en una antena ................................................74
Figura 4-4 Detalle de la señal recibida...................................................................75
Figura 4-5. Evaluación de la función de LSE .........................................................77
Figura 4-6 Estimación del cluster con LSE, ...........................................................79
Figura 4-7 Estimación del centro del cluster según [2] .........................................80
Figura 4-8 Estimación de la posición del cluster realizada en [2]...........................80
Figura 4-9 Estimación del centro del cluster con LSE,...........................................82
Figura 4-10 Estimación de la posición del cluster realizada en [2].........................83
Figura 4-11 Evaluación de la función de LSE iterando ..........................................84
Figura 4-12 Estimación del centro del cluster iterando LSE, .................................85
Figura 4-13 Estimación del centro del cluster variando la relación señal a ruido...87
Figura 4-14 Tasa de convergencia para el algoritmo EM ......................................90
Figura 4-15 Resultados de [2] para la convergencia del algoritmo EM..................91
Figura 4-16 Resultados de [2] para la convergencia del algoritmo EM..................92
Figura 4-17 Estimación de los tiempos de llegada con EM ...................................95
Figura 4-18 Estimación de los ángulos con EM.....................................................96
Figura 4-19 Estimación de las atenuaciones con EM ............................................97
Figura 4-20 Ejemplo del máximo encontrado en 1 camino. ...................................98
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Comparación de tecnologías inalámbricas .............................................18
GLOSARIO
Chip: Fragmento pequeño.
Cluster: Tecnicismo inglés que define un grupo de elementos similares.
EM: Siglas en inglés para el algoritmo del máximo esperado (Expectation Maximization).
LSE: Siglas en inglés para el algoritmo de mínimos cuadrados (Least Square Estimator).
ML: Siglas en ingles para la función de máxima verosimilitud (Maximum Likelihood).
Time-hopping: Tecnicismo inglés que hace referencia a saltos de tiempo.
UWB: Siglas en inglés para Ultra-WideBand, tecnología inalámbrica basada en señales de
poca duración transmitidas en banda ancha.
PPM: Siglas en inglés para modulación por posición de pulsos (Pulse Position
Modulation).
16
INTRODUCCIÓN
La tecnología Ultra-WideBand está emergiendo como posible solución para las
comunicaciones inalámbricas de corto alcance y alta conectividad debido a su bajo costo y
a sus sistemas de baja complejidad [1]. Además permite obtener altas tasas de transmisión
de datos en aplicaciones para varios usuarios.
La tecnología se reguló en febrero de 2004, cuando la comisión federal de los Estados
Unidos (FCC)1 le otorgó un espectro de frecuencia comercial [30]. Desde ese momento
diversos grupos de investigación tanto académicos como de la industria (UWB task group,
UWB forum, Hewlett Packard, Intel, Microsoft, Phillips, Texas Instruments, entre otros),
produjeron importantes y definitivas innovaciones en su desarrollo.
Paralelamente se realizan conferencias mundiales sobre el tema, como la conferencia de
París (IEEE Conference on Ultra Wideband Systems and Technologies for UWB
communications) en junio de 2004, y la que próximamente se realizará en Suiza (IEEE
International Conference on Ultra-Wideband) en septiembre de 2005.
Para diseñar el sistema de UWB con transmisor, receptor, estimación y esquemas de acceso
múltiple, es necesario conocer el canal en el que se transmite esta señal. Suponiendo un
modelo de propagación del canal con múltiples reflexiones, el gran ancho de banda de
UWB revela detalladamente la respuesta impulso de éste.
1 Siglas para US Federal Communications Commission
17
El gran ancho de banda implica además, una alta resolución en el tiempo [2], por lo cual las
características de las múltiples reflexiones de la señal, que conforman la respuesta impulso
del canal, necesitan ser estimadas con precisión.
El modelo propuesto por Saleh-Valenzuela en 1987, es uno de los más populares para el
análisis de sistemas de comunicaciones en ambientes interiores, como lo es UWB. En
donde se observa que los caminos resultantes de las múltiples reflexiones llegan al receptor
en grupos o clusters. Basados en esta observación, se podrían utilizar los estimadores de
DS-CDMA (Direct-Sequence Code Division Multiple Acces) para UWB. Sin embargo, por
el gran número de parámetros a estimar y dada la complejidad del ambiente interior por sus
múltiples reflexiones, se ha procurado realizar otro tipo de estimación. La propuesta de
C.Carbonelli y U.Mitra2 expone que dicha estimación se realice en dos etapas: una, para
determinar la posición del centro de cada cluster y otra, para establecer los parámetros de
las diferentes fuentes aparentes que los componen.
En el presente trabajo de grado, se busca reproducir el modelo de cluster de un canal para
señales UWB conforme a la propuesta de las citadas C.Carbonelli y U.Mitra. Una vez
reproducido el canal, se realiza la estimación empleando dos de los algoritmos sugeridos en
[2], así: para realizar la estimación del centro de los clusters se aplica el método de
mínimos cuadrados y para realizar la estimación de los parámetros característicos de los
diferentes trayectos dentro de un cluster se utiliza el algoritmo de máximo esperado.
En el capítulo 1 del presente documento se explica el modelo de la señal, del canal y los
algoritmos de estimación empleados. En el capítulo 2 se especifican las condiciones del
canal simulado. En el capítulo 3 se presentan las funciones implementadas (el código
completo de las funciones se incluye en el anexo C). Los resultados obtenidos se analizan
en el capítulo 4, para finalmente concluir sobre la efectividad de la estimación realizada.
2 CARBONELLI C. y MITRA U. Clustered Channel Estimation for UWB Signals. Artículo publicado en la Conferencia Internacional de Comunicaciones de la IEEE, Junio 2004.
18
1. MARCO TEÓRICO
1.1. LA SEÑAL ULTRA-WIDEBAND
Según la FCC, Ultra-Wideband (UWB) es un sistema que ocupe al menos 500 MHz de
ancho de banda, en un intervalo del espectro electromagnético comprendido entre 3,1 GHz
y 10,6 GHz3 y con potencia de transmisión limitada a – 41 dBm4.
Ésta tecnología para comunicaciones inalámbricas puede transmitir datos a una velocidad
desde 100 mega bits por segundo hasta 500 mega bits por segundo, lo que representa una
ventaja frente a las otras tecnologías (ver tabla 1).
TECNOLOGÍA TASA DE DATOS (Mb/s) POTENCIA (mW) RANGO (metros) FRECUENCIAS ( GHz)
Bluetooth 1-2 100 100 2.4
UltraWide Band 100-500 1 10 3.1-10.6
IEEE 802.11a 54 40-800 20 5
IEEE 802.11b 11 200 100 2.4
IEEE 802.11g 54 65 50 2.4
Tabla 1. Comparación de tecnologías inalámbricas5
3 MCCORKLE John. Ultra-wideband: Multimedia Unplugged. En IEEE Spectrum. Septiembre 2003. 4 Valor propuesto en http://www.intel.com/technology/ultrawideband/index.htm5 MCCORKLE Op. cit.
Utiliza señales de radio de muy baja potencia, constituidas por pulsos de poca duración,
generalmente del orden de pico segundos (ps), que se traducen en el dominio de la
frecuencia en un espectro de gran ancho de banda6 como se observa en la figura 1-1.
Figura 1-1. Ejemplo de forma de onda de los pulsos en el dominio del tiempo
y en el dominio de frecuencia7.
Además, las señales en banda base se encuentran en las altas frecuencias especificadas, por
lo que pueden ser transmitidas directamente sin necesidad de ser moduladas dentro de una
portadora, como lo realizan la mayoría de los sistemas convencionales.
La información viaja codificada en un tren de pulsos, es decir, que los datos se modulan
con polaridad y posición. Debajo de 3,1 GHz la señal casi desaparece evitando crear
problemas para los sistemas que trabajan debajo de estas frecuencias (por ejemplo, los
sistemas de posicionamiento global, GPS, que necesitan exactitud en sus operaciones).
19
6 CRAMER R. Jean-Marc, SCHOLTZ Robert y WIN Moe. Evaluation of an Ultra-Wide-Band Propagation Channel. En IEEE Transactions on antennas and propagation. Mayo 2002. 7 Tomado de OBSERVATORIO TECNOLÓGICO. UltraWideBand. Marzo 2004.
1.2. MODELO DE CLUSTERS
En el artículo Clustered Channel Estimation for UWB Signals8, se propone un método de
estimación de canal basado en el modelo de clusters. Este modelo está sustentado en los
estudios realizados por Saleh y Valenzuela9, sobre la propagación de señales Ultra-
WideBand en ambientes interiores, donde se explica que la geometría de estos ambientes
juega un papel muy importante, porque la señal transmitida llega al receptor después de
infinitas reflexiones (ver figura 1-2.a).
a) ejemplo de reflexiones
20
8 CARBONELI Y MITRA Op. cit. p. 17 9 SALEH A.A.M y VALENZUELA R.A, A statistical model for indoor multipath propagation. En IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1987
(b) modelo de clusters
Figura 1-2. Comportamiento de una transmisión UWB en un ambiente interior
Para modelar el canal de UWB se necesita hacer abstracción del ambiente interior, es decir
aproximar todas las reflexiones, como fuentes aparentes para el receptor, caracterizadas por
una amplitud y una dirección. Según este comportamiento de la señal transmitida existen
infinitas fuentes aparentes que dificultan la recepción. Para solucionar este inconveniente se
realiza una aproximación por clusters dividiendo el espacio en grupos de fuentes aparentes
que radian la mayoría de la potencia transmitida (ver figura 1-2.b).
El receptor propuesto en [2] está constituido por un arreglo de antenas. Es decir una antena
compuesta de múltiples elementos. Por lo tanto, la dirección de las fuentes está
caracterizada por un retardo producido por las múltiples reflexiones y un tiempo generado
por la separación entre las diferentes antenas. La referencia del arreglo se considera la
antena central.
16
1.3. MODELO DE LA SEÑAL
La señal UWB se genera a partir de la señal mensaje . Esta es una secuencia de números
aleatorios (símbolos) de valor 0 ó 1 cuya longitud se determina por el número de símbolos
n.
ia
La señal transmitida es un tren de pulsos caracterizada por:
1
0
( ) ( )fN
f f i f j ci j
u t p t iN T a jT c Tδ−
=
= − − − −∑ ∑ (1)
En dónde es un monociclo de UWB, el número de tramas por símbolo, el
periodo de una trama,
)(tp fN fT
δ el índice de modulación por posición de pulsos (PPM por sus
siglas en inglés), la secuencia de time-hopping y el periodo de un chip. jc cT
La modulación por posición de pulsos mantiene constante el nivel de amplitud y el ancho
de pulso, pero modifica la posición del pulso sobre el eje de tiempo a partir del índice de
modulación (δ). La posición varia, entonces, en función de los símbolos de la señal mensaje
( δia ).
La figura 1-3 representa la simulación en MATLAB® del modelo de señal de UWB con
la segunda derivada de un pulso Gausiano, = 5, = 80 muestras, = [1 0], )(tp fN fT ia δ =2,
= [4 0 3 1 4], = 4 muestras. jc cT
17
Figura 1-3 Señal UWB simulada
La forma del pulso que se utiliza en este tipo de comunicaciones incluye el monociclo
Gausiano tanto con la primera derivada como con la segunda. La selección de estos pulsos
se debe a los beneficios que presentan
)(tp
10:
• Ancho de banda mínimo
• Máxima resolución
• Fácil implementación en el patrón de la antena
En el proyecto se utiliza la segunda derivada del pulso Gausiano11 (ver figura 1-4). Su
expresión es:
10 YANG Liuqing, GIANNAKIS Georgios. Ultra-Wideband communications. En IEEE Signal Processing Magazine. Noviembre 2004.
18
11 LOTTICI V., D´ANDREA A., Channel estimation for Ultra-wideband communications. IEEE Journal on Selected Areas in Communications. Diciembre de 2002.
2
228
2( ) 1 16
t
tp t e
δ
πδ
δ
πδ
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(2)
Figura 1-4 Monociclo simulado con δ=2.
La secuencia de time-hopping, es un código compuesto de números enteros escogidos
aleatoriamente en un intervalo de 0 2*j fc N 1≤ ≤ − , según [2]. Este código se aplica a la
señal mensaje modulada en PPM produciendo un corrimiento en el tiempo de . cjTc
La simulación de la figura 1-5 se realizó con la secuencia = [4 0 3 1 4] y los siguientes
valores = 5, = 80 muestras, = [1 0],
jc
fN fT ia δ =2, = 4 muestras. cT
19
Figura 1-5 Posición de los pulsos
1.4. MODELO DEL CANAL
Un canal de comunicaciones se puede caracterizar por varios componentes que lo definen
físicamente. Según las especificaciones de cada uno de éstos se obtienen diferentes canales
con un comportamiento determinado.
Debido a las múltiples reflexiones, al receptor le llegan por caminos distintos varias copias
de la señal, retardada ikτ y atenuada (figura 1-6). Un canal caracterizado por este
fenómeno se le llama canal de varios caminos.
)(tAik
20
k1τ
)(1 tA k
k2τ
lkτ
)(2 tA k
)(tAlk
Señal correspondiente al usuario k, )(tYk ,
resultado del fenómeno de varios caminos y el
desvanecimiento
Camino 1
Camino 2
Camino L
Señal Transmitida
por El usuario k
)(tX k
Figura 1-6 Diagrama en bloques de un canal de varios caminos12
En el presente trabajo se propone un modelo para el comportamiento de la propagación de
la señal en un ambiente interior. Como se ha dicho, se basa en el modelo de Saleh-
Valenzuela (S-V)13, cuyo fundamento es el fenómeno de clusters. La señal transmitida
llega al receptor después de infinitas reflexiones, las cuales pueden ser agrupadas en el
espacio según su potencia radiada. Cada agrupación se denomina cluster y esta definida con
los siguientes parámetros:
• lτ tiempo de llegada del primer camino del cluster. ésimol
12 D’AMOURS M; MOHER M y YONGACOGLU A. Comparisson of pilot symbol-assited and differentially detected BPSK for DS-CDMA systems employing Rake receivers in Rayleigh fading channels. En IEEE Transactions on Vehicular Technology, Noviembre 1998. 13 SALEH A.A.M y VALENZUELA R.A, A statistical model for indoor multipath propagation. En IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1987.
21
• ,k lτ retardo del camino del cluster con respecto al tiempo de llegada del
primer camino
ésimok ésimol
lτ .
• tasa de llegada del cluster. Λ
• λ tasa de llegada de los caminos.
• factor de desvanecimiento del cluster debido a la distancia. Γ
• γ factor de desvanecimiento de los caminos debido a la distancia.
• 1σ desviación estándar del desvanecimiento del cluster (dB), debido a los objetos
presentes en el ambiente.
• 2σ desviación estándar del desvanecimiento de los caminos (dB), debido a los
objetos presentes en el ambiente.
En cada cluster existe un número de fuentes aparentes ( ) cada una
caracterizada por tres parámetros: amplitud
1,2,..., pl = L
lα , tiempo lτ y ángulo lθ de llegada (ver
figura 1-7). Estos parámetros están determinados por una distribución específica.
22
Figura 1-7 Posición de las fuentes y clusters simulados
En la figura 1-7 el primer cluster se obtiene a partir de una distribución normal alrededor de
y y de una distribución uniforme alrededor de o200 =θ o30 =σ τ =10 ns y Dτ =50 ns. El
segundo cluster se obtiene a partir de una distribución normal alrededor de y
, y de una distribución uniforme alrededor de
o500 =θ
o20 =σ τ =100 ns y Dτ =100 ns.
Es de señalar que en este trabajo de grado, se analiza el canal con un cluster.
23
1.4.1. Distribución de las amplitudes14
Para la distribución de las amplitudes de los diferentes trayectos se utiliza una distribución
normal y logarítmica, ya que a partir de las observaciones realizadas, se demuestra que esta
distribución se ajusta mejor a los datos de las medidas.
Los coeficientes de amplitud del canal se definen como:
24
, , ,k l k l l k lpα ξ β= (3)
en donde lξ y lk ,β son el desvanecimiento relacionado con el cluster y con el
camino del cluster respectivamente y toma valores de +/-1 de manera
aleatoria, para establecer el signo de la amplitud.
ésimol
ésimok ésimol lkp ,
Los coeficientes son variables aleatorias definidas como
2 210 , , 1 220 log ( ) Normal( , )l k l k lξ β μ σ∈ σ+ (4)
lo que significa
, 1 2(, 10 k l n n
l k lμξ β + += ) / 20 (5)
con 21 1Normal(0, )n σ∈ y 2
2 Normal(0, )n 2σ∈ , variables aleatorias independientes que
corresponden al desvanecimiento de cada cluster y de cada camino respectivamente.
Además
14 El modelo presentado fue tomado de IEEE P802.15 Working Group for Wireless Personal Area Networks (WPANs). Channel Modeling Sub-committee Report Final. 2002.
,2 //
, 0k llT
l k lE e e τ γξ β −− Γ⎡ ⎤ = Ω⎢ ⎥⎣ ⎦ (6)
dónde es el retardo entre clusters y lT 0Ω es la energía media del primer camino del primer
cluster.
La media de esta distribución está dada por:
2 2
0 , 1 2,
10 ln( ) 10 / 10 / ( ) ln(10)ln(10) 20
l k lk l
T τ γ σ σμΩ − Γ − +
= − (7)
Con los parámetros 1 27.1 , 4.3 y = 3.39ns nsγ σ σΓ = = = que se determinan por el modelo
de canal número 1 (CM1) 15, adoptado en la realización de este trabajo. El canal se
caracteriza por la existencia de línea de vista (LOS por sus siglas en inglés) entre el
transmisor y el receptor.
1.4.2. Distribución de los tiempos
Para la distribución de los tiempos se utilizan dos distribuciones: normal, conociendo la
media μ y la varianza y uniforme, conociendo 2σ τ y Dτ .
En el desarrollo de las simulaciones se define cual de las dos distribuciones se ajusta mejor
al modelo.
1.4.3. Distribución de los ángulos
15 M. Pendergrass ,“Empirically Based Statistical Ultra-Wideband Channel Model”, IEEE P802.15, 02/240-SG3a.
25
La distribución de los ángulos se genera a partir de una distribución normal con media θ0 y
varianza θσ 2.
1.5. MODELO DE LA SEÑAL RECIBIDA
La señal recibida por el arreglo de antenas, se define como
1
( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
pLm
l ll
s t m p t
x t m s t m v t m
lα φ τ=
= + −
= +
∑ (8)
con
sen( ) , =(2 1)
m ll
m aLM c
ρ θφ =+
ρ (9)
Dónde los parámetros son: lα el coeficiente de ganancia, lθ la dirección y lτ el retardo del
camino de propagación, es la longitud del arreglo de antenas, c es la velocidad
de la luz, es el número de antenas del arreglo, es la señal transmitida y
es ruido blanco Gausiano aditivo.
l ésimo− aL
2 1aN M= + ( , )s t m
),( mtv
26
La figura 1-8, es un ejemplo de una señal recibida.
Figura 1-8 Señal recibida simulada con SNR = 25 dB
.
27
1.6. ESTIMACIÓN
Para el estudio de un sistema de comunicación digital, se puede partir del siguiente modelo:
SISTEMA DE COMUNICACIÓN
FUENTE DEINFORMACIÓN
TRANSMISOR
CANAL
RECEPTOR USUARIO DE LAINFORMACIÓN
SEÑAL MENSAJE ESTIMACIÓN DE LA SEÑAL
SEÑAL TRANSMITIDA SEÑAL RECIBIDA
Figura 1-9 Elementos de un sistema de comunicación16
Un sistema de comunicaciones discreto, es aquel donde una fuente de información discreta
envía un mensaje determinado dentro de un conjunto de posibles mensajes. La finalidad del
sistema es hacer llegar al receptor la información de cuál fue el mensaje elegido, para lo
cual se cuenta con una codificación que hace corresponder a cada mensaje (mi) una señal
(si(t)).
El transmisor es el encargado de enviar por el canal la señal correspondiente al mensaje que
es entregado por la fuente. Al pasar por el canal a la señal transmitida se le suma ruido
(n(t)).
Además si este canal es el canal característico para una señal UWB, la señal recibida se ve
afectada adicionalmente por las múltiples reflexiones, por lo que el receptor tiene que
estimar, a partir de la señal recibida, r(t) = s(t) + n(t), cuál de todos los posibles mensajes
fue el enviado.
28 16 HAYKIN S. Sistemas de Comunicación. Primera edición, Editorial Limusa, Cap. 3, 2002
Por lo tanto el receptor debe determinar el canal para conocer su comportamiento y así
lograr la detección del mensaje, es decir, una recepción óptima.
Por la complejidad de una comunicación UWB se escogen métodos de estimación tales
como mínimos cuadrados (Least Square Estimator, LSE) y EM (Expectation-Maximization
Algorithm, EM).
1.6.1. Método de mínimos cuadrados
El método de mínimos cuadrados (LSE) es utilizado para estimar parámetros de un modelo,
de modo que se ajusten a los parámetros reales.
Caso de una variable
Se tiene un experimento de posibles resultados denominados . En cada resultado se va a
predecir el valor final , es decir que en cada prueba se comete un error
ix
a axe i −= . La
finalidad es encontrar de tal forma que el error no sea significativo, entendiendo por esto,
que el promedio de los errores tienda a cero:
a
1 2( ) ( ) ... ( ) 0nx a x a x an
− + − + + −→ (10)
Dependiendo de las aplicaciones se puede buscar minimizar la diferencia axi − , 2axi −
ó . En particular para encontrar el valor de que minimiza , se
deriva con respecto a y se iguala a 0.
))(( 2axE i − a ))(( 2axE i −
a
(11) 2 2(( ) ) ( ) ( )iE x a x a f x dx+∞
−∞
− = −∫
29
(12) 2 2 2(( ) ) ( ) 2 ( ) ( )iE x a x f x dx a xf x dx a f x dx+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
− = − +∫ ∫ ∫
30
)como y es la función de densidad de probabilidad de la variable
aleatoria
∫+∞
∞−
= dxxxfxE )()( (xf
x ,
(13) 2 2 2(( ) ) 2 ( ) ( )E x a a aE x E x− = − +
2(( ) ) 2 2 ( )dE x a a E x
da− 0= − = (14)
( )a E x= (15)
Es decir que se cumple cuando es igual al valor esperado de a x .
Caso de múltiples variables17
En el sistema , con una matriz de Ax b= A m n× (m observaciones y n incógnitas) y
, es probable que no exista un valor de x que se ajuste perfectamente a los valores de
b. El método de mínimos cuadrados escoge
m n>
x−
para minimizar el error, E Ax b= − , que es
la distancia desde hasta el punto en el espacio creado por las columnas de . Es
decir, encontrar el punto
b Ax A
p A x−
= más cercano a dentro del subespacio anterior.
Geométricamente esto equivale a hacer la proyección de en ese subespacio.
b
b
En la estimación de ( 20 0, , , ,D )2
α τ θσ τ θ σ con mínimos cuadrados, ( )20 0, , ,Dτ θτ θ σ
no son
independientes, por lo tanto se tiene un problema de 4 variables no lineales. Es decir que no
se llega a la expresión tradicional de este método. Estos 4 parámetros se deben determinar a
17 STRANG Gilbert. Linear algebra and its applications. Pg 153-154
partir de métodos numéricos y para determinar 2ασ , la variable independiente, se realiza el
siguiente desarrollo:
Si se tiene una observación con valores reales de la forma:
( )
1,...,k kY s N
k nkθ= +
= (16)
Dónde es una secuencia de la señal conocida en función del parámetro
desconocido θ. es una secuencia de ruido con una densidad de probabilidad
marginal f.
{ }nkks 1)( =θ
{ }nkkN 1=
El estimador LSE, escoge el valor de θ para el cual la secuencia es la más cercana al dato,
minimizando la suma de los errores al cuadrado entre el dato y la señal que surge de la
elección de θ.
El análisis teórico del algoritmo de estimación se realizó con base en el desarrollo
presentando en [2], [7], [21], [28].
Nuestro objetivo es estimar la posición del cluster en tiempo y espacio. La ecuación (8) en
forma matricial es:
X S V= + (17)
Donde X es una matriz de L Na× elementos, donde es el número de muestras y el
número de antenas del arreglo.
L Na
Para separar los aportes de los parámetros lθ y lτ vamos a trabajar en el dominio de la
frecuencia, análisis propuesto en [2]:
31
2
0
1[ , ] ( , )Tobs
jk tTobsY k m x t m e dt
Tobs
π−
= ∫ (18)
Trabajando en tiempo discreto la integral de la ecuación (18) queda:
2 2
1[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
mp ls s
k kL j jLT LT
ll
kY k m e e W k m H k m W k mLTs
π π ηα
Φ −
=
= Ψ × × + = +∑ (19)
Donde = 0,1,…, muestras, = 1,2,…, elementos, Ts es el periodo de
muestreo, = ,
k 1L − m Na
Tobs LTs × kTobs
π2 es la k-ésima frecuencia de muestreo, sLT
kΨ son las
muestras de la forma del pulso en frecuencia, son los coeficientes de Fourier de la
función .
[ , ]W k m
[ , ]v k m
Considerando ahora un canal con Nc clusters y siendo li,τ y li,θ los retardos y las
direcciones de llegada del l-ésimo camino en el i-ésimo cluster la ecuación (19) resulta:
( ) ( ), ,2 2 sin
2,
1 1[ , ] [ , ]
pc i i i l i i ls s
k k mLN j jLT LT M
i li l
kY k m e e W k mLTs
π τ τ π ρ θ θα
⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
= Ψ × × +∑∑ (20)
Donde li,α es la amplitud del l-ésimo camino en el i-ésimo cluster, ilili τττ += ,,~ con iτ el
valor nominal del tiempo de llegada del i-ésimo cluster, ilili θθθ += ,,~ Con iθ el valor
nominal del ángulo de llegada del i-ésimo cluster.
El desarrollo se realiza a partir de 1Nc = , iLp Lp= e y un vector columna a partir de las
columnas de la matriz Y:
y h w= + (21)
La matriz de covarianza de y es :
32
{ } 2hy h wR E yy R Rασ= = + (22)
con:
{ }
{ }2
1 Hh
Hw
R E hh
R E wwασ
=
= (23)
Desarrollando yR con la ecuación (23) siendo el elemento genérico de la matriz: ,n m
( ) ( ) ( ) ( )( )
[ ]
0 00 0/ sin / sin
222 1
,1 1
[ , ] {
,
l ll llpp iss
n L m L m Ln Ln L m LLl jjL M TLT
y n m l lll ll
w
R n m E e e
R n m
lρ θ θ ρ ϑ θτ τ τ τππ
α α+ − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−+∗
= =
= Ψ
+
∑∑(24)
( ) ( )( )
[ ]
00 / / ) sin(( )22
2 12,
2
[ , ] ( ) ( )
ss
n L m L m Ln Ln L m Ljj
L M TLTy n mR n m f e d f e d
n m
ρ ϑ θτ τππ
α τ θσ τ τ θ
σ δ
− +− + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+∞ +∞−+
−∞ −∞
= Ψ ×
+ −
∫ ∫ θ(25)
Donde )(ττf y )(θθf son las funciones de densidad de probabilidad de τ y θ .
Si se supone una distribución normal de los ángulos de llegada se obtiene que la segunda
integral de la ecuación (25) es:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2/ / )2 2 2 s 00 2 1
/ / ) sin(2
2 1
2
/ / )2 cos
2 1
( )
2
s
n L n L m L m Lj
M LTss
n L m L m Ln Lj
L M T
n L n L m L m LM LT
f e
e eπ ρα
ρ ϑ θπ
θ
θ
π ρ σ θ
θ
πσ⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+∞+
−∞
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
×≈
∫
inρ θ
(26)
33
Si se supone que los tiempos de llegada están distribuidos uniformemente en [ , ]Dτ τ0 se
obtiene que la primera integral es igual a:
( )00
0
0
( )2 ( 2 ( )(2 ) /
2( ) / sin ((ss
n L m LD Dj j n L m L LTLT ) )s
De d D e c n L m LLT
τ ττ ττ π π τ τ
ττ
τ− ++ − − − +
= −∫ (27)
Esto se obtiene aproximando ( )θθ +0sin con series de Taylor y expandiendo la exponencial
con funciones de Bessel (desarrollo presentado en [2]).
Por lo tanto, a partir de (26) y (27):
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2/ / )2 2 2 sin 00 2 1
( 2 ( )(2 ) /2 2,
/ / )2 cos
2 1
, , sin (( )
s
n L n L m L m Lj
M LTss
Dj n L m L LT
y w n m )s
n L n L m L m LM LT
DR n m R n m e c n L m LLT
e e
τ
π ρ ρ θα
π τ τα
π ρ σ θ
ψ σ
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
− − +
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
= + −
×
(28)
Si por el contrario se supone que los tiempos de llegada están distribuidos normalmente
alrededor de τ0 se obtiene que la primera integral es:
( )00
2 2 20
20
( )2
2 ( ) 2 ( )( )
( )
22
s
s s
n L m LD jLT
j n L m L n L m LLT LT
e de
τ
τ
τ ττ π
π τ π στ
τ
τ
πσ
− ++ −
− −− +
=∫
(29)
Entonces a partir de las ecuaciones (26) y (29):
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 20
2
2 2/ / )2 2 2 s 00 2 1
2 ( ) 2 ( )( )
( )2,
/ / )2 cos
2 1
, ,
s s
n L n L m L m Lj
M LTss
j n L m L n L m LLT LT
y w n m
n L n L m L m LM LT
R n m R n m e
e e
τ
π ρα
π τ π σ
α
π ρ σ θ
ψ σ⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
− −− +
⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
= +
×inρ θ
(30)
34
Para estimar los parámetros nominales de las variables características del cluster se
considera la estimación por mínimos cuadrados (LSE). Minimizando el error al cuadrado
entre la matriz de covarianza de la señal recibida NR y la matriz de covarianza teórica de la
señal 2h wR Rασ + .
( )( )
( )( )( )( )2 2
0 0
2 20 0
2 20 0
2 2, , ,0 0
ˆ ˆ , ,, , , , arg min
ˆ ˆ , ,
N h W
HD
N h W
R R D RD Tr
R R D Rα τ θ
α τ θ
α τ θσ τ θ σ
α τ θ
σ τ θ σσ τ θ σ
σ τ θ σ
⎧ ⎫− − ×⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪− −⎩ ⎭
(31)
En donde: ∑=
∧
=N
i
HN iyiy
NR
1)()(1 es la matriz de covarianza obtenida recolectando N
observaciones de la señal recibida.
La ecuación (31) es lineal en , por lo tanto, se puede estimar fácilmente este parámetro
realizando la derivada parcial de (33) e igualando a cero:
2ασ
{ }( ) { }( )22
( ) ˆ2 ( ) 2 Re 2 ReH HLSEh h h h h hTr R R Tr R R Tr R Rα
α
σσ
∂Λ Φ= − +
∂0H = (32)
{ }( ) { }( )
( )2
ˆRe ReH Hh h h h
Hh h
Tr R R Tr R R
Tr R Rασ−
= (33)
Remplazando (33) en (31) se tiene:
( )( )
( )( )( )( )2
0 0
2 20 0
20 0
2 2, ,0 0
ˆ ˆ , ,, , , arg min
ˆ ˆ , ,
N h W
HD
N h W
R R D RD Tr
R R D Rτ θ
α τ θ
τ θτ θ σ
α τ θ
σ τ θ στ θ σ
σ τ θ σ
⎧ ⎫− − ×⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪− −⎩ ⎭
(34)
35
La ecuación (34) es no lineal en los 4 parámetros ( )20 0, , ,Dτ θτ θ σ , por lo tanto, se deben
utilizar métodos numéricos en las simulaciones para hallar el conjunto de parámetros que la
minimizan.
1.6.2. Método de EM
El algoritmo de EM es un método para estimar los parámetros de una distribución a partir
de un conjunto de datos observados18. Sus aplicaciones más usuales se pueden encontrar en
el área de la genética, la econometría, estudios sociológicos y el procesamiento de
señales19.
Supongamos que se tiene un espacio de datos observados generados por una cierta
distribución,
Y
y las observaciones de Y . Además, X el conjunto de datos completos y x
un elemento de ese conjunto. En este experimento X está observado a través de y (figura
1-10).
X(y) Y=y(x)x
Figura 1-10 Mapeo de X en Y20
18 “A Gentle Tutorial of the EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation for Gaussian Mixture and Hidden Markov Models”. Jeff A. Bilmes. , publicado en Abril de 1998. 19 MOON Todd, The Expectation Maximization Algorithm. IEEE Signal Processing Magazine. Noviembre 1996 20 Ibid.
36
La función de densidad de probabilidad (pdf) de los datos completos es:
1, 2( ; ,..., )kf x θ θ θ (35)
Donde kθθθ ,...,2,1 , son parámetros desconocidos por estimar. k
Considerando la pdf es una función continua y diferenciable en θ , la función de densidad
de probabilidad de los datos incompletos está definida por:
( )
( ) ( )X y
g y f x dxθ = ∫ θ (36)
Esta función se conoce como la función de verosimilitud21 (likelihood function), y
( ) log ( )yL g yθ θ= (37)
Como la función de verosimilitud logarítmica (log-likelihood function)22.
La idea principal de EM es encontrar θ que maximice log ( )f x θ , pero como no se tiene
el conjunto de X , entonces se busca maximizar la estimación de log ( )f x θ dado los datos
y y el estimado actual de θ .
El algoritmo se divide en dos etapas principales:
La primera es la estimación, en donde se calcula el esperado de log ( )f x θ dados y y el
estimado kθ de la iteración, es decir: k
21 MOON. Op. Cit. p. 40 22 Ibid.
37
( ) log ( ) ,kQ E f x y kθ θ θ θ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (38)
La segunda etapa es la maximización, en donde se halla el valor de 1kθ + que maximiza
( kQ )θ θ , es decir:
1 arg max ( )
k kQθ θ θ
θ
+ = (39)
El algoritmo consiste entonces en elegir un valor para los parámetros iniciales 0θ y calcular
las dos etapas sucesivamente hasta que converja, o bien, hasta obtener un error ε estable
( 1k kε θ θ += − ).
El algoritmo de se propone para determinar los parámetros ),,( llll θταφ = de los
múltiples trayectos dentro del cluster, que se estima con el método anterior.
Se utiliza únicamente la forma del pulso ( )p t , como representación de la señal transmitida,
ya que ésta se constituye por varias réplicas del mismo pulso sencillo.
El desarrollo se realiza en el dominio del tiempo según lo presentado en [2]. Sin embargo
se modificaron las ecuaciones (26), (27), (36), (37) y (38) del artículo [2] para ser
consecuentes con el significado de éstas.
La n é muestra de la señal recibida se puede expresar como: sima−
[ ] [ ]1
/ sen( )(2 1)
pLl
l S l lLl
n Lx n p n T v
Mρ θ
α τ=
⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎜ +⎝ ⎠∑ n+⎟ (40)
38
39
aLN
L
Con , siendo el número de muestras y el número de
antenas del arreglo y siendo el número de caminos. El ruido se define
como: en donde cada
1,2,..., , L Ln N N= = L aN
1,2,..., pl = pL
[ ] [ ]∑=
=pL
ll nvnv
1[ ]nvl es independiente del otro y la varianza de éste se
define como . [ ]∑=
=pL
ll n
1
22 σσ
La ecuación (40) se toma de la ecuación (26) de [2], modificando su expresión de modo
que el término que depende de los ángulos no estuviera dividido por . Este cambio se hizo
para mantener la expresión del pulso en muestras (ecuación (8)) para las ecuaciones (26),
(27), (36), (37) y (38) que tenían este error en [2].
L
Además se define:
[ ] ( )/ sen[ ]
(2 1)l
l l S l lL
n Lz n p n T v n
Mρ θ
α τ⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥= − + +⎜ +⎝ ⎠
⎟ (41)
/ sen([ ] [ ; ]
(2 1)lS
l l l l S lL
n Ls n s n p n T
M)ρ θ
φ α τ⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
para y . Lpl ,...,2,1= LNn ,...,2,1=
Se observa entonces que el conjunto de datos incompleto [ ][1] [2] ... [ ] TLx x x x N= y el
conjunto de datos completo 1 2 ... p
TT T T
Lz z z z⎡ ⎤= ⎣ ⎦ están relacionados como:
1
[ ] [ ]Lp
ll
x n z=
= ∑ n
(42)
Con que indica la estimación del vector kφ̂ -k ésima φ , se puede describir el estimado
condicional de dada la estimación de como: z kφ̂
ˆ( , ) ln( ( , )) ;kzU E p z x ˆkφ φ φ φ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (43)
Se admite que y z x son ambas Gausianas y que están relacionadas por la siguiente
transformación lineal:
...pL
x I I I z⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(44)
Por lo tanto, utilizando los resultados de [6] se tiene:
1ˆ; { } ( {kzx xxE z x E z C C x E xφ −⎡ ⎤ = + −⎣ ⎦ }) (45)
en donde:
(46)
2112
2 21 2
12
{ } , , , { }p
p p
L
zx xx ll
L L
Iss I
E z C C I E x s
s I
σ
σσ
σ=
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑
con I la matriz identidad de dimensión LL NN × .
A partir del desarrollo anterior la expresión utilizada en el algoritmo EM para la
iteración es: -k ésima
• Estimación para pLl ,...,2,1=
{ }2
21
/ sen( )ˆ [ ] [ ] [ ], ( )
(2 1)
/ sen( ) [ ]
(2 1)
p
klk k k k
l l l s lL
L klk kl
l S lLl
n Lz n E z n x n p n T
M
n Lx n p n T
M
ρ θφ α τ
ρ θσ α τσ =
⎡ ⎤⎢ ⎥= = − ++
⎛ ⎞⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥− − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠∑
+
(47)
40
El primer término de la ecuación (47) es el valor de evaluado en los parámetros
estimados
[ ]klz n
( , , )l l llφ α τ θ∧ ∧ ∧ ∧
= .
El segundo término de la ecuación (47) calcula la diferencia entre la señal transmitida
evaluada en los parámetros ( , , )l l llφ α τ θ∧ ∧ ∧ ∧
= estimados y la señal recibida realmente. Esta
diferencia debe tender a cero para que sea . ˆ [ ]klz n [ ]k
lz n
Es decir que al mejorar la estimación de los parámetros se obtiene una señal más cercana a
la señal real.
• Maximización
( )( )
( )( )
1 1
ˆ 1
/ senˆˆ ˆ, arg max [ ]2 1
L
l l
Nlk k k
l l l s lLn
n Lz n p n T
Mτ θ
ρ θτ θ τ+ +
=
⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟= − +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ (48)
( )11
1
1
ˆ/ senˆˆ [ ]
(2 1)
ˆ(0)
LkNlk k
l s lLn
k al
C
n Lz n p n T
M
N LR
ρ θτ
α
+
+
=
+
⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟− +⎜ ⎟+⎝ ⎠
=
∑
(49)
con , la muestra cero de la función de auto-correlación del monociclo de UWB, es
decir la energía.
(0)CR
En la ecuación (48) se comparan los vectores (señal estimada) y el pulso evaluado en ˆklz
( ,l l )τ θ manteniendo sus magnitudes constantes. Para esto se maximiza la proyección,
modificando la posición en tiempo del pulso de modo que se asemeje más a . El valor
máximo de la proyección proporciona la pareja de valores
ˆklz
( )1 1ˆˆ ,k kl lτ θ+ + de esta iteración.
41
En la ecuación (49) se halla el valor de 1ˆ klα + a partir de los valores encontrados
anteriormente. El numerador representa la energía del pulso transmitido evaluado en
multiplicada por las amplitudes. El denominador es la misma energía del pulso
transmitido evaluado en los valores teóricos. Por lo tanto en la ecuación busca simplificar
las energías para hallar
( 1 1ˆˆ ,k kl lτ θ+ + )
1ˆ klα + .
La ecuación (48) se modificó con respecto a la ecuación (37) de [2] para obtener una
expresión con el número correcto de muestras y de antenas.
La ecuación (49) se varió con respecto a la ecuación (38) de [2] para conseguir una
expresión donde el numerador y el denominador sean expresiones de energía.
42
43
Elegir los parámetros iniciales de
las variables a estimar ( 0θ ) , k=0
Etapa de estimación calculando el
estimado con los parámetros kθ
Etapa de maximización calculando el
ML de 1+kθ con kθ estimado
1+= kk
converge?
FIN
Figura 1-11 El algoritmo de EM23
23 MOON. Op. Cit. p. 40
44
2. DESCRIPCIÓN Y ESPECIFICACIONES
2.1. DESCRIPCIÓN
En el trabajo de grado se simuló un canal Ultra WideBand basado en el modelo de clusters
propuesto por Carbonelli y Mitra comprobando y comparando dos métodos de estimación.
Para esto:
• Se reprodujo el modelo de cluster para un canal UWB descrito en el artículo
“Clustered Channel Estimation for UWB Signals” [2], como base del estudio de la
estimación de canal.
• Se aplicó el método LSE (Least Squares Estimation) para obtener una estimación de
la media del centro de un cluster y la dispersión alrededor de ella.
• Se utilizó el método EM (Expectation-Maximization algorithm) para realizar una
estimación de los parámetros característicos (amplitud, retardo y ángulo de llegada)
de las diferentes fuentes virtuales dentro de un cluster.
• Finalmente se compararon las simulaciones realizadas con éstos métodos de
estimación con las presentadas en el artículo “Clustered Channel Estimation for
UWB Signals” [2].
2.2. DIAGRAMA DE FLUJO DE LAS SIMULACIONES REALIZADAS
GENERAR ELMODELO DE CANAL
DE INTEL
GENERAR LASEÑAL UWB
FUNCIÓN SEÑAL
GENERAR ELCANAL PARA UN
ARREGLO DEANTENAS
FUNCIÓN CANAL
45
FUNCIÓN ESTIMACIÓN CANAL UWBFUNCIÓN ESTIMACIÓN EM
FUNCIÓN ESTIMACIÓN LSE
FUNCIÓN MODELO SEÑAL
AWGN
ALGORITMO DELSE
ALGORITMO DE EM
ESTIMACIÓN DEL CANALCOMPLETA
Figura 2-1. Diagrama de flujo de las simulaciones
2.3. ESPECIFICACIONES DEL CANAL
Para el desarrollo del trabajo de grado, se consideran las siguientes suposiciones:
• Las ganancias y los tiempos de llegada de cada camino se obtuvieron utilizando el
modelo presentado en [11].
• Las ganancias del canal lα son independientes entre caminos.
• La distribución de los ángulos de llegada de los caminos es normal con mediaθ0 y
desviación estándar θσ .
• Para los tiempos de llegada se consideran dos modelos:
El primero con una distribución uniforme caracterizada por los parámetros
y Dττ 024.
El segundo, distribuido normalmente ( ( , )N ττ σ0 ) alrededor de la media τ0 y con
desviación estándar τσ 25.
• , y l l lα τ θ son mutuamente independientes.
• El ruido en cada antena (para ( , )v t m 1,2,...,m Na= ), es Gausiano.
• El tiempo de observación es mayor que el tiempo de correlación de la señal, por lo
tanto los elementos del ruido en frecuencia pueden suponerse como no
correlacionados en frecuencias diferentes.
[ , ]W k m
• El vector de la señal recibida y es Gausiano con media cero y la matriz de
covarianza { } 2hy h wR E yy R Rασ= = + .
• La estimación de canal se realiza para un cluster para simplificar el cálculo de los
algoritmos.
24Modelo generado por el análisis de la función de densidad de probabilidad de los tiempos de llegada, realizado en CARBONELLI C. y MITRA U. Clustered Channel Estimation for UWB Signals. Artículo publicado en la Conferencia Internacional de Comunicaciones de la IEEE, Junio de 2004.
46
25Modelo para el tiempo de llegada de los caminos presentado por ZETTERBERG Per, OTTERSTEN Björn. EnThe spectrum efficiency of a base station antenna array system for spatially selective transmission. En IEEE Transactions on Vehicular Technology. Agosto 1995.
47
• El desarrollo de las simulaciones se hizo en el programa MATLAB® versión 7.0.
48
3. DESARROLLO
3.1. RESUMEN DE LAS FUNCIONES UTILIZADAS PARA LAS
SIMULACIONES
Las funciones de la simulación fueron implementadas en MATLAB®. La función principal
estimacion_canal_uwb.m se encarga de llamar a tres funciones modelo_señal.m,
estimacion_LSE.m y estimacion_EM.m (ver figura 3-1).
Es importante resaltar que estas funciones, a su vez, hacen llamados a otras funciones
implementadas en el mismo programa, las cuáles realizan la mayor parte de los cálculos.
Los códigos presentados se encuentran documentados. Se resalta en negrilla la parte que
define las entradas, las salidas y los pasos importantes.
% Estimación_canal_uwb % ENTRADAS % delta: índice de modulación PPM % Tf: tiempo de un frame % Tc: tiempo de un chip % Nf: número de frames por símbolo % n: numero de símbolos % M: valor para generar el número de antenas del arreglo % theta: media de los ángulos de llegada % sigma: desviación estándar de los ángulos de llegada % tao_t: retardo del primer camino en el cluster % d_tao_t: tiempo de observación % SNR: relación señal a ruido % N: número de observaciones (snap-shots)
49
% dist: tipo de distribución de los tiempos: 1 para distribución % uniforme, 0 para distribución normal % delta_tao: delta para iniciar el vector de tiempos para el algoritmo % EM % delta_theta: delta para iniciar el vector de ángulos para el algoritmo % EM % k_iter: número de iteraciones modelo_senal; estimacion_LSE; estimacion_EM; End
EstablecerParámetros de
simulación
FunciónModelo señal
Funciónestimación
LSE
Funciónestimación
EM
Fin
Figura 3-1 Diagrama de bloques de la estimación de canal
A continuación, se presenta el código en MATLAB® de las funciones modelo señal.m,
estimación LSE.m y estimación EM.m.
El código de las demás funciones que llaman estos programas, se incluye en el Anexo C.
50
51
3.1.1. Función modelo señal
La función ‘modelo_senal.m’ genera el modelo del canal UWB, definido en la ecuación (8).
Ésta comprende cinco funciones que establecen los componentes necesarios para la
creación del modelo del canal: señal transmitida, modelo del canal y señal recibida (ver
figura 3-2).
% modelo_senal % ENTRADAS % delta: índice de modulación PPM % Tf: tiempo de un frame % Tc: tiempo de un chip % Nf: número de frames por símbolo % n: número de símbolos % M: valor para generar el número de antenas del arreglo 2M+1 % theta: media real de los ángulos de llegada % sigma: varianza real de los ángulos de llegada % SNR: relación señal a ruido
Genera el pulso UWB(Función monociclo)
Genera la señal UWB(Función señal )
Genera y hace el muestreodel modelo de canal con lasamplitudes y los retardos de
cada camino(Función canal)
Muestreo de la señal(Función muestreo señal)
Genera la función transmitidapor el canal
(Función convolución)
Ruido blancoGaussiano aditivo
(función ruido)
Señal recibida por el arreglode antenas
+
δ
f
f
c
T
N
Tn
, , MDτ θτ θ σ, ,
sT
SNR
Figura 3-2 Diagrama de bloques de la función modelo_señal
52
3.1.1.1. Función monociclo
La función ‘monociclo.m’ genera la segunda derivada de un pulso Gausiano definido en la
ecuación (2). El parámetro de entrada es δ, el índice de modulación por posición de pulsos
(PPM) para que el monociclo este normalizado con respecto a este parámetro. La forma del
monociclo utilizado fue tomada del artículo de V. LOTTICI A. D´ANDREA U."Channel
estimation for Ultra-Wideband Communications".
%function [g] = monociclo(delta) % ENTRADA %delta: índice de modulación PPM % SALIDA %g: segunda derivada del pulso gausiano
δ
Figura 3-3 Diagrama de bloques de la función monociclo.
53
54
3.1.1.2. Función señal
La función ‘senal.m’ genera la posición de los pulsos según la secuencia de time-hopping
para después ubicar el monociclo en esas posiciones. La señal que se obtiene en esta
función esta definida por la ecuación (1).
% function [i,uwb,ai,vp,m,mp,p,P,Tb]=senal(n,delta,g,Tf,Tc,Nf) % ENTRADAS: % n: número de símbolos % delta: modulación PPM % g: señal de entrada % Tf: periodo de un frame % Tc: periodo del chip % Nf: número de frames por símbolo % SALIDAS: % i: vector de impulsos % uwb: señal transmitida % ai: señal mensaje % vp: vector de las posiciones de los impulsos % m: mensaje modulado % mp: ai*delta+Cj*Tc % p: ai*delta+Cj*Tc+j*Tf % P: ai*delta+Cj*Tc+j*Tf+Nf*i % Tb: vector de tiempos de los símbolos
Monociclo
FILTRO
Figura 3-4 Diagrama de bloques de la función señal.
3.1.1.3. Función muestreo señal
La función muestreo_senal.m’26 pasa la señal de tiempo continuo a tiempo discreto.
Primero se realiza una interpolación ampliando la ventana de tiempo N_s veces el tiempo
de muestreo. Finalmente se filtra la señal utilizando la función resample de MATLAB®
para obtener el número de muestras deseado.
55
26 Función basada en ‘uwb_sv_cnvrt_ct.m’ de IEEE P802.15 Working Group for Wireless Personal Area Networks (WPANs). Channel Modeling Sub-committee Report Final. 2002.
% function [SN,N_s,t_s_Nfs,t_s_max,S_len,S] = muestreo_senal(uwb,ts) % ENTRADAS % uwb: señal transmitida % ts: tiempo de muestreo % SALIDAS % SN: señal interpolada % N_s: potencia de 2 para facilitar la interpolación % t_s_Nfs: vector de muestras % t_s_max: tiempo máximo de la señal % S_len: número de muestras de resolución ts/N_s % S: señal transmitida muestreada
Interpolación
Ts(tiempo de muestreo)
Señal en tiempocontinuo
Filtro(Función Reshape de Matlab)
Señal en tiempodiscreto
Figura 3-5 Diagrama de bloques de la función muestreo_señal.
3.1.1.4. Función canal
La función ‘funcion_canal.m’ genera el modelo del canal definido en la ecuación (8) (ver
figura 3-3). Esta función crea los retardos y las amplitudes de las múltiples reflexiones que
obtiene la señal durante su transmisión. Para esto, primero se obtienen los parámetros
56
57
2característicos del canal ( 1, , , γ σ σΓ ) con la función ‘uwb_sv_params’27, según el
modelo utilizado, que en este caso es CM1.
Después, se llama la función ‘uwb_sv_model_ct.m’28, la cual se encarga de obtener el
tiempo de llegada y la atenuación de cada camino del cluster, según las distribuciones
mencionadas anteriormente.
Luego, se llama la función ‘funcion_arreglo_antenas.m’, que incluye el arreglo de antenas
dentro del modelo del canal, lo que significa que el retardo total de la señal es la suma del
tiempo de llegada y el retardo relativo a la posición de las antenas.
Finalmente, se realiza el muestreo del canal utilizando la función ‘muestreo_canal.m’
explicada en la sección anterior.
% funcion_canal % ENTRADAS % M: valor para generar el número de antenas del arreglo 2M+1 % theta: media real de los ángulos de llegada % sigma: varianza real de los ángulos de llegada
27 Esta función se tomó del modelo de IEEE P802.15 Working Group for Wireless Personal Area Networks (WPANs). Channel Modeling Sub-committee Report Final. 2002 28 Ibid.
Genera los retardos y lasamplitudes de los múltiples
caminos en el canal(Función uwb_sv_model_ct)
Genera los parámetroscaracterísticos del canal
para el modelo CM1(Función uwb_sv_params)
Suma a los retardos anteriores el tiempodebido a la separación de las antenas delarreglo y genera la respuesta impulso del
canal para cada una de éstas(Función arreglo_antenas)
Pasa de tiempo continuo a tiempo discreto larespuesta impulso del canal(Función muestreo_canal)
, , D Mτ θτ θ σ, ,
Figura 3-6 Diagrama de bloques de la función canal
58
59
3.1.1.5. Función convolución
La función ‘convolucion.m’ realiza la convolución de la señal muestreada con el canal para
obtener la señal recibida por el arreglo de antenas utilizando la función conv de
MATLAB® .
% function [s]= convolucion(h_ct_temp,uwb,num_channels,Na) % ENTRADAS % h_ct_temp: respuesta impulso % uwb: señal transmitida % num_channels: número de realizaciones % Na: número de elementos del arreglo de antenas % SALIDAS % s: matriz de la señal recibida por cada antena
3.1.1.6. Función ruido
La función ‘ruido.m’ adiciona ruido blanco Gausiano aditivo a la señal, después de haber
pasado por el canal como se define en la ecuación (8). Esto se realiza gracias a la función
awgn de MATLAB®. Los parámetros de entrada son la señal y la relación señal a ruido
(SNR) con la que queda la señal recibida, suponiendo que la potencia de la señal de entrada
es 0 dBW.
%function [x]=ruido(s,SNR) % ENTRADA % s: señal recibida por cada antena % SNR: relación señal a ruido % SALIDA % x: señal recibida con ruido por cada antena
3.1.2. Función estimación LSE
La función ‘estimacion_LSE.m’ (ver figura 3-4), se implementó de dos formas diferentes
para realizar la búsqueda de los parámetros que definen el centro del cluster a partir de
métodos numéricos.
60
% estimación_LSE % ENTRADAS % N: número de observaciones (snap-shots) % dis: tipo de distribución de los tiempos %SALIDAS % tao_0: estimado del retardo del primer camino en el cluster % d_tao: estimado del tiempo de observación % theta_0: estimado de la media de los ángulos de llegada % sigma_theta_2: estimado de la desviación estándar de los ángulos de llegada % sigma_alfa_2: estimado de la desviación estándar de las amplitudes de llegada
Evalúa las funciones delalgoritmo LSE
La señal recibida en tiempopor el arreglo de antenas se
pasa a frecuencia.
Calcula la matriz de covarianza Rn de lasmuestras, estableciendo el número de
observaciones para generarla
FunciónRespuesta_en_frecuencia
Evalúa la matriz de covarianzateórica de la señal Rh
y la del ruido Rw
Calcula el máximo y establece losparámetros estimados utilizado métodos
numéricos
Funciónmétodos_numéricos_LSE
Figura 3-7 Diagrama de bloques de la función estimación LSE
61
3.1.2.1. Función respuesta en frecuencia
En esta función se obtiene la respuesta en frecuencia de la señal recibida, creando además
el vector columna y y estableciendo la matriz de covarianza de esta misma señal en
función del número de observaciones deseadas.
% function [Y,L_N,y,R_n]=respuesta_en_frecuencia(s,N,Na,n,Nf,Tf) % ENTRADAS % s: matriz de la señal recibida por cada antena % N: número de observaciones (snap-shots) % Na: número de elementos del arreglo de antenas % n: número de símbolos % Nf: número de frames por símbolo % Tf: periodo de un frame % SALIDAS % Y: señal recibida en frecuencia % L_N: muestras de la covarianza % y: vector de la señal recibida % R_n: matriz de covarianza estimada de la señal recibida
3.1.2.2. Función métodos numéricos sin iterar
Esta función se encarga de calcular los cuatro parámetros ( )20 0, , ,Dτ θτ θ σ
w
que minimizan la
ecuación (34) variando uno de los parámetros en un intervalo definido, mientras los otros
tres quedan en los valores teóricos.
Es decir, se calcula un parámetro a la vez y para cada valor que toma el parámetro se llama
la función ‘cov_h_y_cov_w.m’ con el fin de calcular las matrices de covarianza teóricas
y hR R , y a su vez la función ‘LSE.m’ en donde se calculan las ecuaciones (33) y (34).
Finalmente cuando el recorrido del intervalo termina se halla el mínimo de los valores
resultantes de la ecuación (36) y a su vez, el valor del parámetro con el que fue calculado.
Esto se repite para los cuatro parámetros a estimar (ver figura 3.5).
62
63
%function[sigma_theta_2,tao_0,d_tao,theta_0,sigma_alfa_2]=metodos_nume ricos_LSE(M,L_N,ts,La,num_channels,SNR,g,R_n,s,dist,theta,sigma, tao_t,d_tao_t) % ENTRADAS % M: número de iteraciones % L_N: número de muestras para la covarianza % ts: tiempo de muestreo % La: tamaño del arreglo de antenas (m) % num_channels: número de iteraciones % SNR: relación señal a ruido % g: segunda derivada del pulso Gausiano (monociclo) % R_n: covarianza de la señal muestreada % s: matriz de la señal recibida por cada antena % dist: tipo de distribución de los tiempos % SALIDAS % sigma_theta_2: estimado de la varianza de la distribución de los % ángulos del cluster % tao_0: estimado del retardo del primer camino en el cluster % d_tao: estimado del tiempo de observación % theta_0: estimado de la media de la distribución de los ángulos % del cluster % sigma_alfa_2: estimado de la varianza de la distribución de las % amplitudes
Se inician los 4parámetros en los
valores teóricos
Se recorre el valordel primer
parámetro dentrode un intervalo
Se calcula elmínimo de lafunción y se
establece el nuevovalor de eseparámetro
Se recorre el valordel segundo
parámetro dentrode un intervalo
Se calcula elmínimo de lafunción y se
establece el nuevovalor de eseparámetro
Se inician los 4parámetros en los
valores teóricos
Primer valorestablecido
segundovalor
establecido
Estos pasos se repiten paralos dos parámetros restantes
Figura 3-8. Diagrama de flujo del algoritmo de LSE sin iterar.
64
65
3.1.2.3. Función métodos numéricos iterando
Esta función realiza los mismos cálculos de la función anterior. Sin embargo, la forma de
variar los parámetros es distinta. En este caso, se calcula el primer parámetro dejando los
otros tres en los valores teóricos. El segundo parámetro se calcula dejando el parámetro
calculado anteriormente en el valor encontrado y los otros dos en sus valores teóricos y así
sucesivamente con los cuatro parámetros. Este procedimiento se realiza por k iteraciones
(ver figura 3.6).
%function[sigma_theta_2,tao_0,d_tao,theta_0,sigma_alfa_2]=metodos_numericos_LSE(M,L_N,ts,La,num_channels,SNR,g,R_n,s,dist) % ENTRADAS % M: número de iteraciones % L_N: número de muestras para la covarianza % ts: tiempo de muestreo % La: tamaño del arreglo de antenas (m) % num_channels: número de iteraciones % SNR: relación señal a ruido % g: segunda derivada del pulso Gausiano (monociclo) % R_n: covarianza de la señal muestreada % s: matriz de la señal recibida por cada antena % dist: tipo de distribución de los tiempos % SALIDAS % sigma_theta_2: estimado de la varianza de la distribución de los % ángulos del cluster % tao_0: estimado del retardo del primer camino en el cluster % d_tao: estimado del tiempo de observación % theta_0: estimado de la media de la distribución de los ángulos % del cluster % sigma_alfa_2: estimado de la varianza de la distribución de las % amplitudes
Esta función tiene un tiempo de ejecución mucho más largo que la anterior, aunque no
depende tanto de los parámetros teóricos.
Se inician los 4parámetros en losvalores teóricos
Empieza laprimera iteración
k=0
Se recorre el valordel primer
parámetro dentrode un intervalo
Se calcula elmínimo de lafunción y se
establece el nuevovalor de eseparámetro
Se recorre el valordel segundo
parámetro dentrode un intervalo
Se calcula elmínimo de lafunción y se
establece el nuevovalor de eseparámetro
Esto se repite para lossiguientes dos parametros
k=K?
K=k+1
Figura 3-9. Diagrama de flujo del algoritmo de LSE iterando
66
3.1.3. Función estimación EM
67
l
La función ‘estimación_EM.m’ se encarga de realizar la estimación de los parámetros de
tiempo, ángulo y amplitud ( , y l lτ θ α ) para cada camino del cluster estimado
anteriormente.
Como la señal UWB está compuesta por varios pulsos, la estimación se realiza a partir de
un solo pulso transmitido que es representativo del comportamiento de la señal en el canal
y simplifica el procesamiento computacional.
Se necesita entonces, obtener una señal transmitida compuesta por un monociclo para
aplicar los pasos del algoritmo que consta de dos etapas (estimación y maximización), que
se repiten k veces hasta cumplir con el criterio de convergencia deseado.
% EM % ENTRADAS % Lp: número de caminos % t_ct: vector de tiempos generado en el modelo intel % An_ct: vector de ángulos generado en función arreglo de antenas % delta_tao: delta para iniciar el vector de tiempos % delta_theta: delta para iniciar el vector de ángulos % alfa: vector de amplitudes generado en el modelo intel
Modelo del canalMuestreo del monociclo(Función muestreo señal)
Genera la función transmitidapor el canal
(Función convolución)
Ruido blancoGaussiano aditivo +SNR
Se calcula el esperado de la funcióna partir de los valores estimados en
la k-ésima iteración(Función Expectation)
Iniciación de los parámetros delalgoritmo para la primera
iteración, k=0
0 0 0, , l l lα τ θ
Se maximiza la función para hallarlos valores de los estimados,
k=k+1(Función Maximization)
1 1 1, , k k kl l lα τ θ+ + +
?convergenciak k=
No
Si
1 1 1^ ^ ^, ,
k k k
l l lα τ θ+ + +
Figura 3-10 Diagrama de bloques de la función estimación EM
68
3.1.3.1. Función muestreo señal
Esta función realiza el mismo procedimiento explicado en la sección 3.1.1.3, aplicado al
monociclo.
3.1.3.2. Función convolución
Esta función realiza el mismo procedimiento explicado en la sección 3.1.1.5, aplicado al
monociclo transmitido.
3.1.3.3. Función ruido
Esta función realiza el mismo procedimiento explicado en la sección 3.1.1.6, aplicado a la
señal que resulta de transmitir un monociclo por el canal.
3.1.3.4. Función expectation
La función ‘expectation.m’ calcula el esperado de la señal a partir de los valores de los
parámetros determinados en cada iteración de acuerdo a la ecuación (47).
Para la primera iteración, se establecen los valores iniciales sumando o restando un valor a
los parámetros teóricos de la siguiente forma: 0 0ˆˆ ( 1) y ( 1)l ll l l lτ θτ τ θ ϑ= − − Δ = − − Δ de
acuerdo a lo establecido en [2].
% expectation % ENTRADAS % Lp: número de caminos % t_ct: vector de tiempos generado en el modelo intel % An_ct: vector de ángulos generado en función arreglo de antenas % delta_tao: delta para iniciar el vector de tiempos % delta_theta: delta para iniciar el vector de ángulos
69
3.1.3.5. Función maximization
La función ‘maximization.m’ evalúa la ecuación (48) realizando un barrido simultáneo en
y τ θ , en los rangos 0 0ˆˆ ˆ[ , ]Dττ τ + y 0 0
ˆ ˆˆ[ 3 , 3 ˆ ]θ θθ σ θ σ− + respectivamente, y calcula lα de
acuerdo a la ecuación (49). El resultado de estos cálculos entrega los parámetros
, y l l lτ θ α de los caminos que inician la siguiente iteración.
% maximization % ENTRADAS % sigma_theta_2: estimado de la varianza de la distribución de los % ángulos del cluster % tao_0: estimado del retardo del primer camino en el cluster % d_tao: estimado del tiempo de observación % theta_0: estimado de la media de la distribución de los ángulos % del cluster
70
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS
De acuerdo con los objetivos planteados se realizaron las siguientes simulaciones:
a. Modelo de canal para UWB.
b. Estimación del cluster basada en LSE.
c. Estimación de las fuentes aparentes basada en EM.
Además, se propuso hacer una comparación entre los resultados obtenidos y los resultados
presentados en Clustered Channel Estimation for UWB Signals de Carbonelli y Mitra.
Dichos resultados se exponen a continuación.
4.1. SIMULACIÓN DEL MODELO DE CANAL PROPUESTO PARA UWB
En las figuras 4-1 y 4-2 se muestran las simulaciones de las ecuaciones presentadas en 1.3,
1.4 y 1.5 con las que se obtiene el modelo de canal para una señal UWB. Los resultados se
muestran para el caso en que hay un usuario en el canal y un cluster por canal.
Se toman los siguientes parámetros para la simulación:
• Media de la distribución de los ángulos 0 20oθ =
• Varianza de distribución de los ángulos 3oθσ =
• Distribución uniforme de los tiempos de llegada.
• Retardo del primer camino del cluster 0τ =10 ns.
• Ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster
Dτ =50 ns.
• Número de tramas por símbolo = 25. fN
71
• Tiempo de duración de cada trama = 100 ns. fT
• Tiempo de duración de un chip = 0.2 ns cT
• Índice de modulación PPM δ =1.
• Se transmiten 150 tramas.
• Relación señal a ruido SNR = 15 dB.
• Número de elementos del arreglo de antenas N = 3.
Figura 4-1 Distribución de las fuentes dentro del cluster.
En la figura 4-1 se observa la ubicación en tiempo y ángulo del cluster generado. Con los
valores de los parámetros anteriores se obtiene un canal con 120 fuentes aparentes. El
número de fuentes aparentes depende de la ventana de tiempo escogida, ya que se
consideró que después de 0τ + Dτ (ns), la amplitud de las fuentes deja de ser considerable
para el análisis y se puede omitir.
72
El centro del cluster se define como 0 0( ,2
D )ττ θ+ .
Figura 4-2 Respuesta impulso del canal de cada antena.
En la figura 4-2 se observa la respuesta impulso del modelo de canal anterior para un
cluster y para cada antena de un arreglo.
Para obtener la señal recibida se hace un muestreo de la señal UWB y de la respuesta
impulso del canal. El tiempo de muestreo se define como el tiempo de observación sobre el
número total de muestras ( TobsTsL
= ). El valor utilizado en [2] no se especifica por lo que
se toma el valor encontrado en [11] para las simulaciones.
73
0 5000 10000 15000
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6Primer símbolo recibido en una antena
muestras
Am
plitu
d
Figura 4-3 Primer símbolo recibido en una antena
De acuerdo al modelo de la señal UWB un símbolo esta compuesto por pulsos. En la
figura 4-3 se muestran los pulsos del primer símbolo una vez realizado el muestreo y
transmitido por el canal.
fN
fN
74
Figura 4-4 Detalle de la señal recibida.
En la figura 4-4 se observa en detalle la señal recibida.
4.2. ESTIMACIÓN DEL CLUSTER CON EN EL ALGORITMO DE MÍNIMOS
CUADRADOS.
Una vez obtenida la señal recibida se estima la posición del cluster. Para esto se calculan
los parámetros característicos de las distribuciones (media y varianza de los ángulos,
retardo del primer camino y ventana de observación), aplicando el algoritmo LSE.
Sin embargo como la ecuación final a evaluar no es lineal en los 4
parámetros ( 20 0, , ,D )τ θτ θ σ , se deben utilizar métodos numéricos en las simulaciones para
75
hallar el conjunto de parámetros que la minimizan. Este procedimiento no está especificado
en [2], por lo tanto se escogen dos posibles soluciones para realizarlo: la primera opción es
ejecutar el algoritmo una vez buscando uno a uno los parámetros, la segunda opción es
repetir el algoritmo varias veces hasta fijarlos.
Se toman los siguientes parámetros para las simulaciones:
• Media de la distribución de los ángulos 0 20oθ =
• Varianza de distribución de los ángulos 3oθσ =
• Retardo del primer camino del cluster 0τ =10 ns.
• Ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster
Dτ =50 ns.
• Número de tramas por símbolo = 25. fN
• Tiempo de duración de cada trama = 100 ns. fT
• Tiempo de duración de un chip = 0.2 ns cT
• Índice de modulación PPM δ =1.
• Se transmiten 150 tramas.
• Relación señal a ruido SNR = 25 dB.
• Número de elementos del arreglo de antenas Na = 3.
• Número de observaciones de la matriz de covarianza de la señal recibida N =
1000.
Estos parámetros se establecen para reproducir el mismo escenario propuesto en [1] y así
comparar los resultados obtenidos. Para poder ejecutar el programa es necesario fraccionar
la matriz ˆNR de la ecuación (33) en N observaciones. Este número debe ser suficientemente
grande para que las matrices sean manipulables en MATLAB®.
76
4.2.1. Estimación sin iteración del algoritmo LSE
En este caso el algoritmo se evalúa según lo explicado en la figura 3-7 para encontrar los
parámetros deseados.
Para generar los tiempos de llegada se utilizó el modelo propuesto en [11], por lo que se
debe suponer un tipo de distribución, ya sea normal o uniforme, para realizar la estimación.
De acuerdo a los resultados obtenidos, se adopta la distribución que mejor coincida con los
datos para realizar las simulaciones de las estimaciones posteriores.
4.2.1.1. CASO 1: Distribución uniforme de los tiempos de llegada
Para esta simulación se consideró una distribución uniforme de los tiempos de llegada
alrededor de [ ]0 0, Dτ τ τ+ .
5 10 153.4042
3.4044
3.4046
3.4048x 106
τ (ns)
Val
or d
e la
func
ión
a)
45 50 553.4035
3.404
3.4045
3.405x 106
Dτ (ns)
Val
or d
e la
func
ión
b)
15 20 250.4909
0.4909
0.4909
0.4909
0.4909
θ (°)
Val
or d
e la
func
ión
c)
2 4 6 80.4909
0.4909
0.4909
0.4909
0.4909d)
σθ
Val
or d
e la
func
ión
Figura 4-5. Evaluación de la función de LSE
a) barriendo τ b) barriendo Dτ c) barriendo θ d) barriendo σ
77
En la figura 4-5 se observa la variación de la ecuación (36) en función del barrido de los
cuatro parámetros (τ , Dτ ,θ y σ ). Se busca el mínimo de las curvas ya que el método de
mínimos cuadrados busca el conjunto de parámetros que minimizan la función.
En la gráfica 4-5.b), se observa que existe un mínimo absoluto en el valor de
45,1 estimadoD nsτ = .
Las gráficas 4-5.a) y c) muestran curvas con un comportamiento periódico, indicando que
los mínimos encontrados son locales y dependen del rango del barrido escogido. Éstos se
encuentran en y respectivamente. 12, 30 nsestimado
τ = 20.8estimadoθ =
La gráfica 4-5.d) presenta varios mínimos locales en el rango escogido. El programa toma
el primero como valor para el parámetro estimado, es decir el correspondiente a
. 1estimadoσ =
La presencia de mínimos locales muestra que la evaluación de este algoritmo depende
directamente de los valores escogidos para los rangos de evaluación. Es decir que para
obtener una correcta estimación se deberían conocer a priori los valores teóricos, pero esto
no sucede en la realidad.
78
Figura 4-6 Estimación del cluster con LSE,
suponiendo una distribución uniforme de los tiempos.
En la figura 4-6 se observan las fuentes aparentes generadas y la posición del centro del
cluster teórico calculada a partir de 0 0( ,2
D )ττ θ+ .
Además se encuentra la posición estimada del centro del cluster
0( ,2
estimadoestimado estimado
D0 )ττ + θ calculada a partir de los parámetros estimados anteriormente.
Se sabe que la ubicación del centro real es (3 y se obtiene que la ubicación estimada
del centro es (34.8 . Ésta no difiere considerablemente de la real por lo que el
algoritmo ubica el centro del cluster correctamente.
5, 20)
, 20.8)
79
En la figura 4-6 se muestran, a su vez, los límites del cluster determinados como estimadoDτ
de ancho y 06 estimadoσ de largo. Como resultado el 70.8% de las fuentes se encuentran
ubicadas dentro del cluster.
Figura 4-7 Estimación del centro del cluster según [2]
Figura 4-8 Estimación de la posición del cluster realizada en [2]
suponiendo una distribución uniforme
80
81
La figura 4-7 es el resultado de la misma simulación, realizada en [2]. Se observa que el
centro del cluster estimado se encuentra en la posición (28,22). Por lo tanto la estimación
del ángulo se acerca al valor teórico, pero la estimación del tiempo presenta una mayor
variación.
Comparativamente la estimación de la figura 4-6 presenta menos error que la de la figura 4-
7. Esto puede corresponder a que en el artículo [2] las condiciones de simulación no están
especificadas y pueden no ser las mismas que las de la figura 4-6.
Así mismo la figura 4-8 presentada en [2] se puede comparar con la figura 4-6. La
comparación no se puede realizar directamente ya que en el artículo [2] realizan la
estimación del cluster de 120 fuentes aparentes, considerando sólo 25 para los cálculos del
algoritmo y dichas fuentes parecen tener algún reagrupamiento previo según la gráfica que
no está descrito en [2]. Teniendo esto en cuenta, se puede analizar que en ambas figuras la
estimación del cluster no es perfecta y presenta algunas diferencias.
El cluster de la figura 4-8 abarca más en tiempo que en ángulo, por el contrario el cluster
presentado en la figura 4-6 posee el comportamiento contrario.
En las simulaciones anteriores, al suponer una distribución uniforme, se obtiene una
estimación correcta de la ubicación del cluster. Los errores encontrados se deben a:
• La dependencia del algoritmo ante la definición de los rangos de variación de los
parámetros iniciales.
• La suposición de una distribución para los tiempos de llegada.
4.2.1.2.CASO 2: Distribución normal de los tiempos de llegada
Para estas simulaciones se consideró una distribución normal de los tiempos de llegada
alrededor de [ ]0 0, Dτ τ + τ , con los mismos parámetros iniciales de las anteriores.
Figura 4-9 Estimación del centro del cluster con LSE,
suponiendo una distribución normal de los tiempos.
La figura 4-9 presenta la misma gráfica que la figura 4-6. Los resultados de esta simulación
son 45 sestimadoD n
82
τ = . , y , dando como
ubicación estimada del centro del cluster ( . Se observa que la posición estimada
difiere considerablemente de la real por lo que se puede considerar que las distribuciones de
los tiempos no se basan en una normal.
50 nsestimado
τ = 15estimadoθ = 1estimadoσ =
27.5,15)
En la figura 4-9 se muestran los límites del cluster estimado que dependen de los resultados
anteriores. Por lo que el cluster estimado contiene tan solo el 18.3% de las fuentes
presentes.
Figura 4-10 Estimación de la posición del cluster realizada en [2]
suponiendo una distribución normal.
Analizando además la figura 4-10 tomada de [2], en donde el cluster aparece
sobreestimado, se puede concluir que suponer una distribución normal de los tiempos de
llegada no es lo más conveniente para el modelo propuesto por [11].
En el artículo [2] concluyen que la mejor aproximación para la distribución de los tiempos
es una distribución uniforme, resultado que se comprueba gracias a las simulaciones
anteriores.
Por lo tanto en los siguientes análisis se adopta esta distribución para los retardos de las
fuentes.
83
4.2.2. Estimación iterando el algoritmo LSE
En este caso el algoritmo se evalúa de acuerdo con la figura 3-8.
5 10 153.4038
3.4038
3.4038
3.4038
3.4038x 106
τ (ns)
Val
or d
e la
func
ión
a)
45 50 553.4035
3.404
3.4045
3.405x 106
Dτ (ns)
Val
or d
e la
func
ión
b)
10 15 200.5476
0.5476
0.5476
0.5476
0.5476c)
θ (°)
Val
or d
e la
func
ión
2 4 6 80.5476
0.5476
0.5476
0.5476
0.5476d)
σθ
Val
or d
e la
func
ión
Figura 4-11 Evaluación de la función de LSE iterando
a) barriendo τ b) barriendo Dτ c) barriendo θ d) barriendo σ
En la figura 4-11 se observa la variación de la ecuación (36) en función del barrido de los
cuatro parámetros (τ , Dτ ,θ y σ ).
En las figuras 4-11.a) y b), se observa que existe un mínimo absoluto que corresponde al
valor de 45,1 estimadoD nsτ = y otro correspondiente a respectivamente. La
figura 4-11.c) muestra una curva con un comportamiento periódico, indicando que el
mínimo encontrado es local y depende del rango del barrido escogido. Éste se encuentra en
9, 6 0 nsestimado
τ =
84
15, 7estimadoθ = . La figura 4-13.d) presenta varios mínimos locales en el rango escogido.
El programa toma el primero como valor para el parámetro estimado, es decir
. 1estimadoσ =
La presencia de mínimos locales demuestra que este método depende nuevamente de los
rangos escogidos para realizar el barrido de cada parámetro.
Figura 4-12 Estimación del centro del cluster iterando LSE,
suponiendo una distribución uniforme de los tiempos.
En la figura 4-12 se observan las fuentes aparentes generadas y la posición del centro del
cluster teórico calculada a partir de 0( ,2
D0 )ττ θ+ . Además se encuentra la posición
estimada del centro del cluster 0( ,2
estimadoestimado estimado
D0 )ττ + θ calculada a partir de los
parámetros estimados anteriormente. Se sabe que la ubicación del centro real es y (35,20)85
se obtiene que la ubicación estimada del centro es por lo tanto ésta difiere de la
real por lo que el iterar el algoritmo no mejora la ubicación del centro del cluster.
(32.2,15.1)
Se muestran también los límites del cluster, determinados como estimadoDτ de ancho y
06 estimadoσ de largo. El resultado es de 29% de las fuentes que se encuentran ubicadas dentro
del cluster.
El cluster estimado de la figura 4-6 se acerca más al cluster real que el obtenido en la
estimación de la figura 4-12. Esto se debe a que la estimación utilizada para obtener la
gráfica 4-12 se basa en varias iteraciones, donde los valores de los parámetros obtenidos se
utilizan para el cálculo de los siguientes parámetros. En este caso si se presenta un error en
el primer cálculo, se propaga a todos los siguientes. Esto da como resultado un error en la
ubicación del cluster más grande que en la estimación con LSE sin iterar.
Las simulaciones anteriores prueban que con el primer método de estimación (sin iterar) se
obtiene un mejor resultado de la posición del cluster, por lo tanto se adopta para los
siguientes análisis.
4.2.3. Análisis de la estimación del algoritmo LSE en función de la relación
señal a ruido
Las pruebas anteriores se realizaron con una relación señal a ruido de 25 dB porque era el
valor propuesto en [2]. Para comprobar la efectividad del algoritmo frente a este parámetro
se aumenta el ruido en el canal y se realiza la estimación.
86
Figura 4-13 Estimación del centro del cluster variando la relación señal a ruido
a) SNR de 1 dB b) SNR de 10 dB
En la figura 4-13 se observa un desplazamiento en los valores estimados con la disminución
de la relación señal a ruido. Estos resultados indican que el algoritmo estima correctamente
en un rango amplio de relación señal a ruido
87
88
4.3. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE LAS
FUENTES APARENTES DENTRO DEL CLUSTER CON EL ALGORITMO
EM.
El algoritmo EM itera un número determinado de veces las ecuaciones (51) (52) y (53),
para estimar los parámetros de amplitud, tiempo y ángulo característicos de las fuentes
aparentes presentes en el cluster.
La estimación se realiza enviando una señal compuesta por un solo pulso. Esta
aproximación es válida ya que la señal UWB está formada por varios pulsos en el tiempo,
así que el análisis de un solo pulso es representativo de toda la señal. De esta manera se
busca optimizar el rendimiento del algoritmo.
En [2] presentan la gráfica de la tasa de error de bit (BER) de un receptor RAKE en función
de la relación señal a ruido (SNR) como evaluación de este algoritmo. Sin embargo no se
tiene ni el análisis realizado por las autoras para la implementación de un receptor RAKE
para un arreglo de antenas, ni las referencias bibliográficas sobre el tema. Buscando en
diferentes fuentes [4], [6], [30], [36], este análisis y su implementación resultan bastante
extensos.
Como en este trabajo de grado se busca utilizar este resultado como parte de la evaluación
del algoritmo y no como un objetivo específico del mismo, se realizó un método alterno.
Primero es necesario establecer el número mínimo de iteraciones para la estimación, es
decir conocer el punto de convergencia del algoritmo. Luego con ese valor determinado se
puede evaluar la efectividad de la estimación comparando la media de los valores
nominales con la media de los valores estimados para cada parámetro.
4.3.1. Convergencia del algoritmo
Por la característica del algoritmo de EM es necesario determinar si existe convergencia y a
partir de que iteración se puede utilizar el dato con el menor error posible. Para realizar esta
simulación se utilizan los datos teóricos de 0 0, , y Dτ θτ θ σ .
Se utilizan los siguientes parámetros para las simulaciones:
• Media de la distribución de los ángulos 0 20oθ =
• Varianza de distribución de los ángulos 3oθσ =
• Retardo del primer camino del cluster 0τ =10 ns.
• Ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster
Dτ =2ns.
• Número de tramas por símbolo = 25. fN
• Tiempo de duración de cada trama = 100 ns. fT
• Tiempo de duración de un chip = 0.2 ns cT
• Índice de modulación PPM δ =1.
• Se transmiten 150 tramas.
• Relación señal a ruido SNR = 15 dB.
• Número de elementos del arreglo de antenas Na = 5
• Número de observaciones de la matriz de covarianza de la señal recibida N =
1000.
La ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster se modifica
para obtener un número de fuentes menor por experimento y así obtener un tiempo de
procesamiento reducido.
89
Para la primera iteración se establecen los valores iniciales de tiempo, atenuación y ángulo
a partir de los valores nominales con una variación de 5 ns , 0.1 y 5oτ α θΔ = Δ = Δ =
respectivamente como lo establecen en [2]. Los resultados obtenidos en esta iteración
inician la siguiente y así sucesivamente.
Figura 4-14 Tasa de convergencia para el algoritmo EM
a) error en τ b) error en θ
90
En la figura 4-14 se observa el punto de convergencia del algoritmo EM. Los valores
mostrados son el error en τ y en θ calculados con ˆkτε τ τ= − y ˆk
θε θ θ= − 29. Para las
estimaciones se obtiene un error constante después de tres iteraciones. Esta rápida
convergencia se debe a la escogencia de los parámetros iniciales a partir de los valores
teóricos. Por lo tanto para las siguientes pruebas se fija el número de iteraciones a tres para
obtener un resultado aceptable.
Figura 4-15 Resultados de [2] para la convergencia del algoritmo EM.
91
29 Fórmula tomada de CARBONELLI C. y MITRA U. Clustered Channel Estimation for UWB Signals. Artículo publicado en la Conferencia Internacional de Comunicaciones de la IEEE, Junio de 2004.
Figura 4-16 Resultados de [2] para la convergencia del algoritmo EM
En la figura 4-15 se observan los resultados obtenidos en [2] para los valores iniciados con
las variaciones de y . 5 ns y 5oτ θΔ = Δ = 10 ns y 10o
τ θΔ = Δ =
La comparación de ésta con la figura 4-14 no se puede realizar directamente ya que para
estas gráficas los valores iniciales dependen de resultados obtenidos por otros métodos de
estimación y además no especifican cuáles fueron los valores iniciales de las amplitudes.
Por lo tanto las condiciones de simulación son diferentes en las dos gráficas.
En la estimación de los tiempos no se pueden comparar los valores de la primera iteración
por lo que se mencionó anteriormente, sin embargo se observa que la variación del error
entre la segunda iteración y la cuarta en el caso de la figura 4-15 es comparable a la
encontrada entre la segunda iteración y la tercera en la figura 4-14. 92
En la estimación de los ángulos el valor de convergencia del error en la figura 4-14 es
mayor que el presentado en la figura 4-16, esto puede deberse a las diferencias
mencionadas anteriormente.
Para las simulaciones realizadas con no se observan grandes
diferencias con la figura 4-14 por lo que sólo se presentan las obtenidas
con . Este resultado se ve justificado de nuevo por las diferentes
condiciones con que se realizan las simulaciones del trabajo de grado y el artículo [2].
10 ns y 10oτ θΔ = Δ =
5 ns y 5oτ θΔ = Δ =
93
4.3.2. Cálculo de la media y la varianza de los parámetros estimados
utilizando el algoritmo EM.
Para evaluar la efectividad del algoritmo se calcula la media y la varianza de cada uno de
los parámetros por camino y se comparan con los parámetros nominales.
Se realizan varios experimentos con los siguientes parámetros:
• Media de la distribución de los ángulos 0 20oθ =
• Varianza de distribución de los ángulos 3oθσ =
• Retardo del primer camino del cluster 0τ =10 ns.
• Ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster
Dτ =5ns.
• media de la distribución de los ángulos estimada con LSE 0̂ 19.8oθ =
• Varianza de distribución de los ángulos estimada con LSE ˆ 1oθσ =
• Retardo del primer camino del cluster estimado con LSE 0̂ 11.1 nsτ =
• Ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster
estimada con LSE ˆ 10 nsDτ =
• Número de tramas por símbolo = 25. fN
• Tiempo de duración de cada trama = 100 ns. fT
• Tiempo de duración de un chip = 0.2 ns cT
• Índice de modulación PPM δ =1.
• Se transmiten 150 tramas.
• Relación señal a ruido SNR = 15 dB.
• Número de elementos del arreglo de antenas N = 5.
94
La ventana de observación de los tiempos de llegada de los caminos del cluster se modifica
para obtener 17 fuentes por experimento, para que el tiempo de procesamiento se reduzca.
El número de iteraciones se fija en tres ya que para ese número se obtiene el menor error
posible.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 186
8
10
12
14
16
18
Caminos
τ (n
s)
Estimación de los tiempos de llegada por camino
τ nominalesMedia de los τ estimadosMedia τ estimado + σMedia τ estimado - σ
Figura 4-17 Estimación de los tiempos de llegada con EM
En la figura 4-17 se grafican los datos de la estimación de los tiempos de llegada, obtenidos
después de 10 experimentos. Se observa que la media de los tiempos estimados se acerca a
su valor nominal en todos los caminos excepto en el primero. El valor nominal del tiempo
del primer camino del cluster debe ser 0τ , la media de ese tiempo estimado con EM es
efectivamente 0̂τ , sin embargo la diferencia observada en la figura 4-17 se debe al error
presentado entre el 0τ y el 0̂τ estimado anteriormente por LSE.
95
Al mismo tiempo la figura 4-17 presenta una desviación estándar de las medias. La
desviación máxima es de 1.6 ns, que comparada con el valor de la media del tiempo
correspondiente (13.58 ns) representa una variación de 11.8%.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
5
10
15
20
25
30
Caminos
θ
(°)
Estimación de los ángulos
θ estimadomedia de los θ estimadosmedia θ estimado + σmedia θ estimado + σ
Figura 4-18 Estimación de los ángulos con EM
La figura 4-18 presenta la comparación entre la media de los ángulos estimados y los
ángulos teóricos. Se observa que los estimados siguen el comportamiento de los datos
teóricos, sin embargo presentan errores en la estimación cuando los valores son máximos ó
mínimos. Esto puede explicarse porque la contribución en tiempo de los ángulos es muy
pequeña. El retardo de llegada de cada camino tiene incluido el retardo debido al canal y
adicionalmente, el retardo debido a la distancia entre las antenas, calculado a partir de los
ángulos generados (ecuaciones (8) y (9)). Éste último es pequeño con respecto al primero, y
no varia mucho pese a las variaciones de los ángulos. Por lo tanto, como la estimación se
realiza con el tiempo total, el algoritmo no percibe los cambios en los ángulos.
96
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Caminos
α
Estimación de las atenuaciones por camino
α nominalmedia de los α estimadosmedia α estimado + σmedia α estimado - σ
Figura 4-19 Estimación de las atenuaciones con EM
Las atenuaciones se calculan a partir de ^ ^
y τ θ con la ecuación (49) y no se estiman con el
algoritmo.
En la figura 4-19 se muestran las medias de las atenuaciones por camino y los valores
teóricos de éstas. Nuevamente el comportamiento de los valores estimados es el mismo que
el de los datos teóricos, pero las magnitudes estimadas son menores a las reales, error que
se puede dar por el error presentado en la estimación de los parámetros anteriores.
97
Figura 4-20 Ejemplo del máximo encontrado en 1 camino.
La figura 4-20 es un ejemplo de la proyección del pulso estimado con el pulso real para
uno de los caminos. En esta gráfica se busca la pareja ^ ^
y τ θ con la cual se obtiene la
mayor similitud entre los dos vectores. Ésta búsqueda se repite para cada camino y en
cada iteración del algoritmo.
98
99
5. CONCLUSIONES
La propuesta de C. Carbonneli y U. Mitra [2] aporta elementos para la estimación del canal
para comunicaciones UWB, suponiendo un modelo de clusters. Este trabajo de grado toma
dos de los algoritmos propuestos en la publicación mencionada, realizando la estimación de
los parámetros del canal. De los resultados obtenidos y los análisis realizados, se
desprenden las siguientes conclusiones expuestas en cuatro secciones: en la primera se
encuentran las conclusiones acerca de la señal UWB y del modelo del canal, en la segunda
las conclusiones de la estimación de la posición de un cluster utilizando el algoritmo de
mínimos cuadrados, en la tercera las conclusiones de la estimación de los parámetros de las
fuentes individuales de cada cluster aplicando el algoritmo de EM y por último los posibles
trabajos futuros.
5.1. CONCLUSIONES DE LA SEÑAL UWB Y DEL MODELO DE CANAL
• Para reproducir el modelo de señal presentado en [2], se realizó una búsqueda
bibliográfica para determinar la forma del monociclo de UWB utilizado, pues no se
daba suficiente información. Se implementó el modelo descrito en [15] porque su
descripción se ajusta a las pocas especificaciones dadas por C. Carbonneli y U.
Mitra. Se concluye que la forma del pulso no es determinante para la estimación,
porque para ésta se necesita la respuesta impulso del canal a cualquier entrada, por
lo tanto se puede implementar otro tipo de señal como entrada al canal, mientras sea
de corta duración.
• El tiempo de muestreo de la simulación debe ser menor al tiempo de un chip
(Tc=0.2 ns) para poder muestrear la señal UWB, sin ser muy pequeño pues este
valor afecta la complejidad de las simulaciones al aumentar el número de muestras.
Por lo tanto para este parámetro se escogió el valor presentado en [11], que cumple
con estas dos condiciones, ya que en [2] no se especifica.
100
)• Se realizó un modelo de canal caracterizado por tres parámetros ( , ,α τ θ para un
arreglo lineal de antenas. Las simulaciones se basaron en las funciones del modelo
para un receptor de una antena [11], pero se modificaron para obtener los retardos
debido a las distancias entre los elementos del arreglo de antenas. Con este modelo
se obtuvieron los ángulos de llegada para el arreglo de antenas, simulando un
receptor que recoge mayor información de la fuente.
• La longitud del arreglo de antenas afecta directamente el cálculo del retardo debido
a los ángulos de llegada. Como en [2] no se define, este parámetro se escogió de
modo que el tiempo entre dos elementos del arreglo cumpliera el teorema de
muestreo, y que la longitud total fuera admisible en las aplicaciones de ambientes
cerrados.
5.2. CONCLUSIONES DE LA ESTIMACIÓN DE LA POSICIÓN DE UN
CLUSTER UTILIZANDO LSE
• La posición de un cluster está definida por la media de la distribución de los
tiempos, la media de la distribución de los ángulos y la varianza de cada una. El
método de mínimos cuadrados se utilizó para estimar éstos parámetros. Sin embargo
se encontró que con este algoritmo sólo se estima de manera independiente la
varianza de las atenuaciones ( 2ασ ) de los caminos dentro de un cluster. Los otros
cuatro parámetros ( 20 0, , ,D )τ θτ θ σ se calculan evaluando punto a punto la expresión
del error cuadrático medio a partir del resultado anterior. Esta evaluación consiste
en un barrido de los parámetros, dentro de un rango determinado, impuesto a partir
del conocimiento aproximado de los valores teóricos. Este procedimiento se realizó
porque estos parámetros son dependientes entre sí, y no se encuentran en la
bibliografía expresiones cerradas para encontrarlos. Esto cuestiona la capacidad de
dicho algoritmo para encontrar estos parámetros en un ambiente de operación real.
• Con el método de mínimos cuadrados se obtiene una correcta estimación de la
ubicación de un cluster, ya que el máximo error en tiempo es de 0.5% y el máximo
error en ángulo es de 4%; obteniendo un total de 70.8% de fuentes ubicadas dentro
del cluster estimado. Sin embargo la expresión final del algoritmo presenta mínimos
locales, por lo que se observa nuevamente la necesidad de escoger el rango de
evaluación alrededor de los valores teóricos de los parámetros, para obtener valores
estimados cercanos a los reales. Esto significa que se deben conocer
aproximadamente los valores teóricos, por lo tanto este método no resuelve el
problema de estimación real.
5.3. CONCLUSIONES DE LA ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS
FUENTES INDIVIDUALES QUE CONFORMAN CADA CLUSTER
APLICANDO EM
• El algoritmo de EM no estima el número de fuentes presentes dentro de un cluster,
por lo tanto este número está predeterminado a lo largo del procedimiento.
101
• El algoritmo de EM se aplicó para estimar los parámetros ( ), ,Lp Lp Lpα τ θ de cada
camino dentro de un cluster. Como los parámetros ( )τ θ, son dependientes entre si,
se estiman evaluando la expresión final del algoritmo en los rangos 0 0ˆˆ ˆ[ , ]Dττ τ + y
0 0ˆ ˆˆ[ 3 , 3 ˆ ]θ θθ σ θ σ− + determinados gracias a la estimación con LSE. A partir de este
resultado se obtiene el valor de los Lpα . Con este algoritmo se obtiene la estimación
de todas las fuentes generadas.
• Para el desarrollo teórico de este algoritmo se modificaron las ecuaciones (26), (27),
(36), (37) y (38) presentadas en [2]. Primero se eliminó el factor de escalización
( 1L
) que afectaba el retardo debido a los ángulos. Sin esta corrección la estimación
de los ángulos de llegada de cada fuente no era posible, ya que los valores
calculados por el algoritmo eran un número constante. Por lo tanto este cambio
permitió el correcto funcionamiento de la estimación. Además se corrigió la
expresión de la energía para ser consecuentes con su significado.
• Por los altos tiempos de ejecución del programa (la estimación completa tiene una
duración de 2 horas), se realizaron diez experimentos con 17 fuentes, para estimar la
media y la varianza de los parámetros ( ), ,Lp Lp Lpα τ θ característicos de cada camino
del cluster.
102
• Los tiempos estimados con el algoritmo EM son similares a los tiempos reales
presentando un error máximo de 11.8%. Pero los errores observados en la
estimación de los ángulos y las atenuaciones son mayores. Se encontró que en los
ángulos, el error puede explicarse por su leve influencia dentro del retardo total, lo
que hace más difícil detectarlos. Además las amplitudes se calculan a partir de los
tiempos y ángulos estimados y por lo tanto este cálculo acumula los errores de estos
parámetros.
103
• Para que este algoritmo converja rápidamente se deben escoger parámetros iniciales
cercanos a los teóricos. Esto implica, nuevamente, conocer a priori los valores
reales de los parámetros a estimar.
• En la estimación de canal utilizando el método LSE seguido por algoritmo EM se
observa que el error presente en los resultados del primero repercute en la
estimación realizada con el segundo.
• El trabajo de grado se realizó conforme a las especificaciones de [2]. Los resultados
obtenidos se pueden comparar con los presentados en [2]. Sin embargo las
diferencias observadas se deben a que las condiciones de simulación en el trabajo de
grado no fueron las mismas del artículo. Ya que en éste no se especifica el tiempo
de muestreo, el tamaño del arreglo de antenas utilizado, el número de fuentes con el
que se realiza la estimación y los parámetros iniciales para el algoritmo EM se
tomaron de una estimación previa con el algoritmo Space-Time Correlation
(STCR).
5.4. TRABAJOS FUTUROS
• El trabajo de grado se basó en la estimación para un cluster pero se puede extender
a varios clusters para considerar un escenario real.
• En el proyecto se aplicaron dos algoritmos de estimación que presentaron los
problemas citados anteriormente. Con el fin de resolverlos se podrían desarrollar
otros algoritmos para que los parámetros se estimen de manera independiente,
eliminando el problema de mínimos locales.
104
• Como en el desarrollo de los algoritmos se obtienen expresiones no lineales fue
necesario utilizar una evaluación directa pero se podrían utilizar métodos numéricos
que mejoren la eficiencia del programa
• El artículo [2] presenta la gráfica de la tasa de error de bit (BER) de un receptor
RAKE en función de la relación señal a ruido (SNR) como evaluación del algoritmo
EM. Este resultado implica la implementación del receptor. Como este trabajo de
grado presenta la señal UWB y la estimación de canal, trabajos futuros podrían
enfocarse en la simulación de este receptor RAKE.
105
BIBLIOGRAFÍA
1. BILMES Jeff. A gentle tutorial of the EM algorithm and its application to parameter
estimation for Gaussian mixture and hidden Markov models. En International
Computer Science Institute. Abril 1998.
2. CARBONELLI C. y MITRA U. Clustered Channel Estimation for UWB
Signals. En: IEEE International Conference on Communications. Junio 2004.
3. CRAMER, Jean-Marc ; SCHOLTZ, Robert y WIN, Moe. Evaluation of an Ultra-
Wide-Band Propagation Channel. En: IEEE Transactions on antennas and
propagation. Vol 50, N° 5, pp. 561-570, Mayo 2002.
4. D’AMOURS M; MOHER M y YONGACOGLU A. Comparisson of pilot symbol-
assited and differentially detected BPSK for DS-CDMA systems employing Rake
receivers in Rayleigh fading channels. En: IEEE Transactions on Vehicular
Technology, Vol 47, No 4, pp. 1258-1267, Noviembre 1998.
5. DIGIT-LIFE.COM. Following the IDF: Ultra Wide Band Wireless Data Transfer
Technology (online). 1997-2004 (cited junio 2004).
http://www.digit-life.com/articles2/uwb/
6. DUARTE, Melissa. Análisis y simulación de un receptor rastrillo y comparación
con el receptor óptimo para CDMA. Bogotá D.C., 2004, 100 p. Trabajo de grado
(Ingeniero Electrónico). Pontificia Universidad Javeriana. Facultad de Ingeniería.
Departamento de Electrónica.
7. DUDA, Richard; HART, Peter y STORK, David. Pattern Classification. Nueva
York: John Wiley and Sons, 2001. 654 p
106
8. FEDER, Meir y WEINSTEIN, Ehud; Multipth and multiple source array processing
via the EM algorithm. En: IEEE International Conference on Acoustics, Speech,
and Signal Processing ICASSP '86. pp. 2503-2506, 1986.
9. FEDER, Meir y WEINSTEIN Ehud. Optimal multiple source location estimation
via the EM algorithm. En: IEEE International Conference on Acoustics, Speech,
and Signal Processing ICASSP '85. pp. 1762-1765, 1985.
10. HAYKIN, Simon. Sistemas de Comunicación. México D.F. Limusa, 2002. 816p.
11. IEEE P802.15 Working Group for Wireless Personal Area Networks (WPANs).
Channel Modeling Sub-committee Report Final. 2002.
12. INTEL CORPORATION. Ultra-Wideband (UWB) technology (online). 2005.
http://www.intel.com/technology/ultrawideband/index.htm#step
13. INTEL CORPORATION. Wireless USB: The First High-speed Personal Wireless
Interconnect. 2004.
14. LEE, Joon-Yong y SCHOLTZ Robert. Ranging in a dense multipath environment
using an UWB radio link. En: IEEE Journal on Selected Areas in Communications.
Vol 20, N° 9, pp. 1677-1683, Diciembre 2002.
15. LOTTICI V. y D´ANDREA A., Channel estimation for Ultra-wideband
communications. En: IEEE Journal on Selected Areas in Communications. Vol. 20,
N° 9, Diciembre de 2002
16. LOTTICI, Vincenzo; D´ANDREA, Aldo y MENGALI, Humberto. Channel
estimation for Ultra-Wideband communications. En: IEEE Journal on Selected
Areas in Communications. Vol 20, N° 9, pp. 1638-1645, Diciembre 2002.
17. MCCORKLE, John. Ultra-wideband: Multimedia Unplugged. En: IEEE Spectrum.
Vol 40, N° 9, pp. 23-27, Septiembre 2003.
18. MOON, Todd. The Expectation Maximization Algorithm. En: IEEE Signal
Processing Magazine. Vol 13, pp. 47-60, Noviembre 1996.
19. MUSICUS, Bruce y LIM, Jae. Maximum likelihood parameter estimation of noisy
data. En: IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal
Processing. Pp. 224-227, Abril 1979.
20. OBSERVATORIO TECNOLÓGICO. UltraWideBand. Marzo 2004.
107
21. POOR, H. Vincent An introduction to signal detection. Nueva York: Springer
Verlag, 1994. 398 p.
22. PROAKIS, John. Digital communications. Boston: Mc Graw Hill, 2001. 1002p.
23. PROAKIS, John. Digital signal processing: principles algorithms and applications.
Nueva York: Macmillan, 1992. 969 p.
24. QIU, Robert. Study of the ultra-wideband wireless propagation channel and
optimum UWB receiver design. En IEEE Journal on Selected Areas in
Communications. Vol 20, N° 9, pp. 1628-1637, Diciembre 2002.
25. RAPPAPORT, Theodore S. Wireless Communications: Principles and practice.
Nueva Jersey: Prentice Hall, 1999. 641 p.
26. SALEH A.A.M y VALENZUELA R.A, A statistical model for indoor multipath
propagation. En: IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol 5, N° 2,
pp.128-137, 1987.
27. SEGAL, Mordechai; WEINSTEIN, Ehud y MUSICUS Bruce. Estimate-maximize
algorithms for multichannel time delay and signal estimation. En: IEEE
Transactions on Signal Processing. Vol 39, N°1, pp.1-16, Enero 1991.
28. STRANG, Gilbert. Linear algebra and its applications. Orlando: Hacourt Brace
Jovanovich Publishers, 1988, 503p.
29. STRÖM Erik y MALMSTEN Fredrik. A maximum likelihood approach for
estimating DS-CDMA multipath fading channels. En: IEEE Journal on Selected
Areas in Communications. Vol 18, N° 1, pp. 132-140, Enero 2000.
30. TAN S.; KANNAN B. y NALLANATHAN A. Performance on UWB multiple
access impulse radio systems in multipath environment with antenna array. En:
IEEE Global Telecommunications Conference. Vol. 4, pp. 2182-2186, Diciembre
2003.
31. UWB FORUM. UWB forum (online). 2004-2005. http://www.uwbforum.org/
32. WIN, Moe y SCHOLTZ, Robert. Characterization of Ultra-Wide Bandwidth
wireless indoor channels: a communication-theoretic view. En: IEEE Journal on
Selected Areas in Communications. Vol 20, N° 9, pp. 1613-1627, Diciembre 2002.
33. WIN, Moe y SCHOLTZ, Robert. Impulse radio: how it works. En : IEEE
Communications Letters. Vol 2, N° 2, pp. 36-38, Febrero 1998.
108
34. WIN, Moe y SCHOLTZ, Robert. Ultra-Wide bandwidth time-hopping spread-
spectrum impulse radio for wireless multiple access communications. En: IEEE
Transactions on Communications. Vol. 48, N° 4, pp. 679-691, Abril 2000.
35. YANG, Liuqing y GIANNAKIS, Georgios. Ultra-Wideband communications. En:
IEEE Signal Processing Magazine. pp. 26-54, Noviembre 2004.
36. ZETTERBERG, Per y OTTERSTEN, Björn. The spectrum efficiency of a base
station antenna array system for spatially selective transmission. En: IEEE
Transactions on Vehicular Technology. Vol. 44, N° 3, pp. 651-660, Agosto 1995.
109
ANEXOS
La siguiente información complementaria, se puede encontrar en el CD anexo a este trabajo
de grado.
ANEXO A: CLUSTER CHANNEL ESTIMATION FOR UWB SIGNALS
Artículo Clustered Channel Estimation for UWB Signals de CARBONELLI C. y MITRA
U.
ANEXO B: CHANNEL MODELING SUB-COMMITTEE REPORT FINAL
Artículo Channel Modeling Sub-committee Report Final de IEEE P802.15 Working Group
for Wireless Personal Area Networks (WPANs).
ANEXO C: CÓDIGO DE LAS FUNCIONES
Código completo de las funciones implementadas en MATLAB® .