estatÍstica aplicada prof. cezar cerqueira prof. cezar augusto cerqueira – upe/unicap curso de...

ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar CerqueiraESTATÍSTICA APLICADA Prof. Cezar Cerqueira

Prof. Cezar Augusto Cerqueira – UPE/UNICAP

CURSO DE ESTATÍSTICA BÁSICA


Incerteza e Probabilidade

Entendimento de fenômenos aleatórios; presença do acaso; raciocínio diferente do lógico matemático, dedutivo.

Probabilidade –sec. XVI Cardano; sec. XVII – Pascal e Fermat (1654); jogos de azar.

Huyghens (1657); Bernoulli (1713); DE Moivre (1733); Bayes (1763); Laplace (1812); Gauss (1823), entre outros


Incerteza e Probabilidade

Escolhas entre diferentes possibilidades A aleatoriedade está presente em diversos

fenômenos Demografia: nascimentos, óbitos Saúde: ocorrências de doenças; epidemias... Direito: criminalidade Engenharia: resistências de peças, qualidade,

tempo de vida de peças, problemas de trânsito, etc

O mundo é probabilístico Vivemos rodeados por fenômenos casuais

ou aleatórios.


ESTATÍSTICA: UMA VISÃO GERAL

ESTATÍSTICA Ciência de coletar, organizar, interpretar

dados Visando...tomada de decisões

ESTATÍSTICAS Somos bombardeados por elas a todo

momento Números, informações, indicadores...

Sociais, econômicos, demográficos, gerenciais


ESTATÍSTICA: UMA VISÃO GERAL

Compreensão a partir dos dados Origens

“status”; Estado; estado das coisas. Evolução

Contagens de habitantes; terras, tributação; guerras; religião.

Ciências físicas Ciências agrárias, biológicas, comportamentais Decisões econômicas, financeiras, empresariais


ESTATÍSTICA: POR QUE CONHECÊ-LA?

Gestores modernos lidam com grande quantidade de informação.

Tomada de decisões “bem informadas“ Apresentar e descrever de forma

apropriada as informações Tirar conclusões sobre grandes

populações com base em amostras Melhorar processos Obter previsões confiáveis


ESTATÍSTICA: FATORES IMPULSIONADORES

Necessidade de dados Desenvolvimento da matemática Desenvolvimento da informática


A estatística reúne métodos para:

Coleta Processamento Análise e interpretação de dados

Informações numéricas analisadas servem de base para tomada de decisões;

As estatísticas nos auxiliam a entender melhor os fenômenos em geral;


GRANDES ÁREAS EM ESTATÍSTICA:

ESTATÍSTICA DESCRITIVA PROBABILIDADES INFERÊNCIA


ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Descrição

Organização

Resumo

Tabelas

Gráficos

Medidas

Técnicas Visuais


PROBABILIDADE Teoria matemática utilizada para se estudar a

incerteza, oriunda de fenômenos de caráter aleatório.

INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Trata da análise e interpretação de dados

amostrais O principio básico é tirar conclusões sobre a

população a partir de uma amostra de dados obtida da mesma.


População

Amostra

Descrição Análise Inferência


PRODUÇÃO DE DADOS: UMA PALAVRA SOBRE FONTES DE DADOS

Obter dados já publicados por fontes governamentais, industriais ou individuais.

Planejar e executar um experimento para obter os dados necessários.

Planejar e executar uma pesquisa ou levantamento de campo (estudo observacional).


Indivíduo e Variável

Indivíduos: objetos descritos por um conjunto de dados (pessoas, empresas, municípios, animais, ações, tempo, etc)

Variáveis: qualquer característica de um indivíduo, podendo assumir diferentes valores, de acordo com o indivíduo a que se refere.


OBSERVAÇÃO versus EXPERIMENTO

Estudo observacional Investiga indivíduos e mede variáveis de

interesse, sem influenciar as respostas ou sem modoficar os sujeitos objetos de estudo.

Experimento Impõe-se algum tipo de tratamento

sobre os indivíduos, a fim de observar suas respostas


Levantamentos amostrais

População Grupo inteiro de indivíduos sobre o qual

se deseja informações Amostra

Parte da população da qual se coletam de fato informações, utilizadas para se tirarem conclusões sobre o todo.


Aleatória simples

Estratificada

PROBABILÍSTICA Sistemática

Grupos (cluster)

Multifásica

AMOSTRAGEM

(Tipos)

NÃO PROBABILÍSTICA

Amostragem


Aleatorização e estrtégias amostrais

Amostra não-probabilística Auto-seleção, conveniência, cotas, etc

Amostra probabilística Cada membro tem uma chance conhecida (mas

não necessariamente igual de ser selecionada) Amostra Aleatória Simples

Toda amostra possível de tamanho n tem igual chance de ser selecionada.


Aleatorização e estratégias amostrais

Amostragem Sistemática Sorteamos um ponto inicial e, em seguida, cada kº

elemento fica automaticamente selecionado (por exemplo o 10º)

Amostragem Estratificada Subdividimos a população em, pelo menos, dois

subgrupos (estratos) de modo que os elementos do mesmo subgrupo compartilhem as mesmas características e, em seguida, extraímos uma amostra em cada subgrupo.

Amostragem por Conglomerado Inicialmente dividimos a área da população em seções

(conglomerados), depois selecionamos aleatoriamente alguns desses conglomerados e a seguir escolhemos todos (ou parte) dos membros desses conglomerados selecionados.


APRESENTAÇÃO DE DADOS: Tipos de variáveis

QUALITATIVAS Nominais (sexo, região...) Ordinais (grau de instrução)

QUANTITATIVAS Discretas (número de defeitos) Contínuas (peso, altura...)


O Banco de Dados

Nome Idade Sexo Renda (Sal. Min) InstruçãoJosé 27 Masc 5,32 SuperiorCatarina 30 Fem 6,43 2 GrauPedro 21 Masc 1,20 1 GrauCibele 22 Fem 2,33 2 GrauHelena 25 Fem 3,56 2 GrauMarta 20 Fem 1,70 1 GrauCarolina 35 Fem 4,50 TécnicaJuan 45 Masc 8,00 Superior


GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUASCONTÍNUAS

o o o o o o 3 4 5 6 7 8

Diagrama de Pontos

Considere os dados: 3 4 4,5 4,5 6 8

Exibem: Dispersão, conglomerados de pontos, lacunas, outliers, comparações


GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUASCONTÍNUAS : Gráfico Ramo-e-Folhas

Exemplo: Considere os dados abaixo representando a resistência à compressão de uma amostra de 80 corpos de prova de liga de alumínio:

105 221 183 186 121 181 180 143

97 154 153 174 120 168 167 141245 228 174 199 181 158 176 110163 131 154 115 160 208 158 133207 180 190 193 194 133 156 123134 178 76 167 184 135 229 146218 157 101 171 165 172 158 169199 151 142 163 145 171 148 158160 175 149 87 160 237 150 135196 201 200 176 150 170 118 149

Ramo Folha Frequencia

7 6 18 7 19 7 1

10 51 211 580 312 103 313 413535 614 29583169 815 471340886808 1216 3073050879 1017 8544162106 1018 361410 719 960934 620 7108 421 8 122 189 323 7 124 5 1


Distribuições de frequência: Caso contínuo - Histograma

Tabela 2.3 Distribuição de freqüências das rendas dos empregados

do setor de produção

CLASSE DE RENDA(sal.min.)

Freq. simples(fi)

Freq. Relativa Freq. Acumulada (Fi)

4 |----- 8 7 14,0 7 8 |----- 12 8 16,0 15 12 |----- 16 20 40,0 35 16 |----- 20 10 20,0 45 20 |----- 24 5 10,0 50 TOTAL 50 100,0 -

Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção

0

5

10

15

20

25

6 10 14 18 22

sal.min.

freq

. si

mp

les


Apresentação de DadosDistribuições de frequências: caso nominal

Tabela 2.1 Empregados do setor de produção, segundo o grau de instrução, 2005.

GRAU DE INSTRUÇÃO Freqüência (fi) Primeiro Grau 15 Segundo Grau 25 Superior 10 TOTAL 50 FONTE: Pesquisa direta

Empregados do Setor de Produção, segundo grau de instrução - 2000

30%

50%

20%

Primeiro Grau

Segundo Grau

Superior


Distribuições de frequência: Caso discreto

Tabela 2.2 Distribuição do número de filhos dos empregados do setor de produção

NÚMERO DE FILHOS Freqüência ( fi) 0 5 1 10 2 20 3 9 4 6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

freq.

0 1 2 3 4

filhos

Número de filhos


Gráfico de Sequencias no tempo

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Os dados representam a resistencia à compressão de uma amostra de 20 conectores plásticos:

241 194 190 209258 225 250 212237 190 240 123210 250 190 178189 220 180 190


Distribuições de frequência: Gráfico de Pareto

Tabela 2.4 – Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas pela indústria

Tipo de Defeito Freqüência de defeitos

Total Acumulado

Freqüência relativa (%)

Percentual Acumulado

Revest. Inadequado 55 55 43,3 43,3 Trinca 41 96 32,3 75,6 Arranhão 12 108 9,4 85,0 Espessura inadequada 11 119 8,7 93,7 Mal-acabada 5 124 3,9 97,6 outros 3 127 2,4 100,0 Total 127 - 100,0 -

FONTE: Indústria de lentes 0

10

20

30

40

50

60

Re

vest.

Ina

de

qu

ad

o

Trin

ca

Arra

nh

ão

Esp

essu

rain

ad

eq

ua

da

Ma

l-aca

ba

da

ou

tros

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

defeitos

% Acum


Gráfico de Pareto Para causas: equipamentos, insumos,

informação do processo ou medidas, condições ambientais, pessoas, métodos ou procedimentos.

Para efeitos: qualidade, custo, entrega, segurança, etc.

Expresso em unidades monetárias Gráfico de Pareto estratificado (por operador,

etc) Comparações tipo antes e depois Desdobramento de gráficos de Pareto (causas e

sub-causas)


RESUMO NUMÉRICO DE DADOS QUANTITATIVOS: LOCALIZAÇÃO DO

CENTRO DOS DADOS

Média Aritmética

Mediana Valor do meio em uma sequencia ordenada de dados

Moda Valor mais frequente de uma série de dados

n

XiX

n

i 1

n

fXX

k

iii

1Dados brutos

Dados agrupados

2

)1]2/([)2/( nn

e

XXM

)2

1(

nX “n” ímpar “n” par

cf

FnLiMe

Me

ant .])5,0[(

Dados agrupados


OUTRAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO: Quartis

Primeiro Quartil 25% das observações são menores e

75% maiores

Segundo Quartil (Mediana) Terceiro Quartil

)4

1(

1 nXQ

)4

)1(3(

3 nXQ


VARIABILIDADE

Medidas de tendência central podem mascarar importantes aspectos em uma série de dados

Um processo de produção de bens e fornecimento de serviços sempre apresenta variabilidade

A variabilidade é resultado de uma série de

alterações nas condições sob as quais as

observações são tomadas.

matérias-primas, condições de equipamentos, métodos de

trabalho, condições ambientais e operadores


VARIABILIDADE: Problematizando Os dados abaixo referem-se a notas obtidas em 3

turmas de 5 alunos cada: Turma A: 3 4 5 6 7 Turma B: 1 3 5 7 9 Turma C: 5 5 5 5 5

Em termos de tendência central como podemos analisar os grupos ?

E em termos de dispersão? Qual deles parece mais disperso? E qual deles apresenta maior variabilidade?

Façamos uma investigação gráfica do fenômeno. Como obter uma medida de variabilidade média

para os grupos?


MEDINDO A VARIABILIDADE

Variância Populacional

Variância Amostral

Desvio Padrão Corresponde à raiz quadrada da

variância

])(

[1

222

n

XX

ni

i

])(

[1

12

22

n

XX

ns

i

i


MEDINDO A VARIABILIDADE: outras medidas

Amplitude Total Xmax-Xmin

Amplitude Interquartil J = Q3–Q1

Coeficiente de variação

Comparação de grupos muito diferentes Comparação de dispersão com escalas

diferentes

X

S

média

padrãoDesvioCV


ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA

Curva Simétrica

Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da Companhia A

0

5

10

15

20

25

30

6 10 14 18 22

sal.min.

freq

. sim

ple

s


ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA

Assimetria Positiva

Assimetria Negativa

Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da Companhia B

0

2

4

6

8

10

12

14

16

6 10 14 18 22

sal.min.

fre

q.

sim

ple

s

Média > Mediana

Distribuição dos salários dos empregados do setor de produção da Companhia C

0

2

4

6

8

10

12

14

16

6 10 14 18 22

sal.min.

fre

q. s

impl

es

Média < Mediana


Gráfico Box-Plot

Juntas: Q1,Q2,Q3

Extremos: E1 e E2

E1 Q1 Me Q3 E2

REGIAO

COSULSENENOID

HM

UN

1.0

.9

.8

.7

.6

.5

.4

Índice de Desenvolvimento Humano no Brasil, por Região - 2000


EXPLORANDO A RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS

Mensurar o tipo e grau de associação entre duas ou mais variáveis.

Foco inicial: duas variáveis quantitativas Etapas:

Abordagem gráfica: diagrama de dispersão Cálculo do coeficiente de correlação linear de

Pearson,


CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão

Gráfico que representa no plano cartesiano duas variáveis quantitativas

Ferramenta simples que permite aprofundar o estudo da associação entre 2 variáveis.

Como ilustração, considere a tabela abaixo, que representa o tempo de serviço e o volume de vendas semanais de uma amostra de 5 vendedores de determinado produto:

5550424035Vendas

86431Tempo (anos)


Diagrama de Dispersão

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5Y

ve

nd

as

X te m p o


CORRELAÇÃO

Quando as variáveis crescem no mesmo sentido temos o caso de correlação positiva.

Quando as variáveis crescem em sentidos opostos temos uma correlação negativa.

Se os dados estão perfeitamente alinhados sobre uma reta temos uma correlação perfeita.

Quando o crescimento de uma variável é acompanhado de variações casuais da outra variável a correlação é nula.



50

70

90

110

130

150

170

190

210

0 20 40 60 80 100 120X

Y

Correlação Perfeita Negativa

r = -1

50

60

70

80

90

100

110

40 50 60 70 80 90 100 110X

Y

Correlação Perfeita Positiva

r = +1



0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100 120X

Y

Correlação Forte e Positiva

r = 0,97

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120X

Y

Correlação Forte e Negativa

r = -0,94



0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12X

Y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12X

Y

Correlação Fraca

r 0Correlação Não-Linear


COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: FÓRMULA DE CÁLCULO

YYXX

XYXY SS

Sr

n

YXXYS XY

n

XXS XX

22

)(

n

YYSYY

22

)(

onde:

Lembre que: -1 rxy 1


COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: CÁLCULO PARA O EXEMPLO ANTERIOR

Elemento Tempo (anos) Vendas X2 Y2 XY1 1 35 1 1225 352 3 40 9 1600 1203 4 42 16 1764 1684 6 50 36 2500 3005 8 55 64 3025 440

Total 22 222 126 10114 1063

106310114;126;222;22 22iiiiii YXeYXYX

2,295

22126

)( 222

n

XXS xx

2,2575

22210114

)( 222

n

YYS yy

2,865

)222)(22(1063

))((

n

YXXYS xy

995,0)2,257)(2,29(

2,86

yyxx

xyxy

SS

Sr Indica uma

associação forte e positiva !!

CUIDADO!!! Correlação não implica em relação de causa efeito. !!


REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

O diagrama de dispersão pode revelar importantes

informações acerca da relação entre duas variáveis X e Y

Quando os pontos traçados no diagrama de dispersão se

agrupam em torno de uma reta, podemos obter a equação

dessa reta e assim determinar um modelo matemático para a

relação entre as variáveis


O modelo de regressão linear simples

Yi = A + BXi + ei, onde: Yi = variável dependente ou variável

resposta. Xi = variável explicativa A = coeficiente linear da reta ou ponto de

interseção de Y B = coeficiente angular da reta ou

inclinação. ei = variável residual


O coeficiente linear da reta corresponde ao ponto onde a mesma corta o eixo-Y, ou seja, o ponto onde o valor da variável explicativa X é zero.

A inclinação indica o quanto varia a média da variável Y para o aumento de uma unidade na variável X.

A reta de regressão pode ser estimada pelo método dos mínimos quadrados, resultando na expressão:

ii bXaY


Os valores dos coeficientes linear e angular resultantes desse processo de minimização podem ser escritos como:

A qualidade do ajuste pode ser avaliada pelo coeficiente de determinação (R2), que mede a proporção de variação na variável dependente que pode ser explicada pelo modelo linear ajustado.

R2 [0,1], quanto mais próximo de 1, melhor o poder explicativo do modelo.

xbyaeS

Sb

XX

XY

yy

xy

S

bSR 2


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: QUANTITATIVAS X

QUALITATIVAS

Comparação do Comportamento de uma Variável Contínua por Grupos

Captar diferenças: i)nos níveis médios, ii)em variabilidade, iii)na forma da distribuição, iv)detalhes individuais. Via: Diagrama de Pontos Gráficos tipo Box-Plot Gráfico Ramo-e-Folhas


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS

Tabela de contingência a 2 fatores Variável dependente e explicativa Medir associações Encontrar distribuições percentuais Distribuições marginais Distribuições condicionais



Escolha de áreas de estudo por sexo

Mulheres HomensContábeis 68 56Administração 91 40Economia 5 6Finanças 63 59

SexoÁrea

Exemplo:



Exemplo: percentuais de linha

Mulheres HomensContábeis 54.8 45.2 100.0Administração 69.5 30.5 100.0Economia 45.5 54.5 100.0Finanças 51.6 48.4 100.0Total 58.5 41.5 100.0

Total


RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVASExemplo: representação gráfica

0

10

20

30

40

50

60

70

80C

ontá

b

Adm

inis

t

Eco

n

Fin

an

Mulheres

Homens


NOÇÕES DE PROBABILIDADE Lançamento de uma moeda

2 resultados possíveis: cara e coroa Equiprováveis Moeda equilibrada (honesta)

Qual a probabilidade de dar cara?

Experimento de lançar “n” vezes e calcular a frequencia relativa de caras. (Kerrick, Bufon)

Abordagem empírica Probabilidade tende para ½.


NOÇÕES DE PROBABILIDADE PROBABILIDADE:

Modelos probabilísticos (a priori) Empirica (a partir de dados) Subjetiva

Modelos Probabilísticos simples Espaço Amostral (S): conjunto de todos os

resultados possíveis de um experimento aleatório. Evento: subconjunto do espaço amostral Coleção de resultados com ao menos uma

característica em comum Lista de resultados e respectivas probabilidades

Operações com eventos


PROBABILIDADE: algumas regras

1)Seja A um evento qualquer, então 0 P(A) 1.

2) Seja Ac o chamado evento complementar de A, então P(Ac) = 1 – P(A).

3) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B), sendo A e B eventos quaisquer.

4) P() = 0. 5) Se A e B são excludentes (P(A B)=),

então: P(A B) = 0.


NOÇÕES DE PROBABILIDADE: probabilidade condicional

A probabilidade de B, sendo A conhecido é dada por:

Dois eventos A e B são independentes se: )(

)()|(

AP

BAPABP

)()()( BPAPBAP


Variáveis Aleatórias

São variáveis numéricas cujos resultados podem variar de uma realização para outra do experimento.

Tipos Discretas - contagem

Contínuas - medição


Variáveis Aleatórias Discretas: distribuição de probabilidades

Valores de X e respectivas probabilidades:

Média Valor esperado):

Variância:

Pn......p3p2p1P(X)

Xn......X3X2X1X

)()( iix XPXXE

)()()( 222 XEXEXVX


Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas:

Distribuição de Bernoulli

Experimentos com apenas 2 resultados possíveis: Sucesso e fracasso. Lançamento de uma moeda Uma peça é escolhida de um lote e

classificada como defeituosa ou perfeita. Um indivíduo é selecionado e pergunta-

se se é ou não favorável ao desarmamento.


Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas: Distribuição de Bernoulli

Seja p=Prob. de Sucesso (1-p)=Prob. de fracasso Definimos a VA X com valores:

1 se ocorre sucesso 0 se ocorre fracasso

Distribuição de Probabilidades de X:

E(X)=p e V(X)=p(1-p)

1P1-pp(x)

total

10X



Distribuição Binomial Considera n repetições independentes de um

experimento de Bernoulli. Exemplos:

Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X=nº de caras obtido Uma máquina produz 1% de peças defeituosas. Seja

X=nº de peças defeituosas nas próximas 25 produzidas.

Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja X=nº de meninas observado.

Seja a VA X=nº de sucessos obtidos. Portanto:

E(X)=np e V(X)=np(1-p)

nkppkXP knknk ,.....,1,0,)1()(



Distribuição de Poisson Largamente empregada quando se deseja contar

o número de eventos de certo tio que ocorrem em um intervalo de tempo, superfície ou volume.

Exemplos: Fórmula:

Número de chamadas telefônicas recebidas em uma central em um intervalo de tempo.

Número de falhas em um computador em um dia de operação.

Número de defeitos em uma chapa de metal de 1 m2 produzida.

!

)()(

k

tekXP

Kt


Modelos Probabilísticos para variáveis contínuas: Distribuição Normal

O exame dos gráficos de freqüência sugere a curva representativa da distribuição da variável.

As curvas de distribuição permitem o cálculo de probabilidades sobre a Variável estudada.

A curva normal é uma das mais importantes e utilizadas na Estatística.

Muitas variáveis, na prática, seguem o modelo normal.

O Modelo Normal possui dois parâmetros: a média () e o desvio padrão ().

Notação X~N( , )


Modelos Probabilísticos para variáveis contínuas: Distribuição Normal

Representação Gráfica:

Propriedades:1) A área sob a curva é igual a 1.2) A curva é simétrica em relação à sua média.3) f(x) tende para 0 quando X tende para +/- 4) A curva possui um ponto máximo em x = .

+ -

68%


Distribuição Normal: uso da tabela

0 z

X

z

0 1

P(0<Z<1)

1

P(Z>1)

0,3413

0,5-0,3413

-1 0

P(Z>-1)0,5+0,3413

z=1,64

0 z

5%

Uso inverso da Tabela

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