estat stica experimental avaliac~ao dispon vel no e-disciplinas...anova exemplo h 0: 1 = 2 = 3 = 4 h...
TRANSCRIPT
Estatıstica Experimental
Avaliacao disponıvel no e-disciplinas
Professora Renata Alcarde Sermarini
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 1 / 29
Estatıstica Experimental
Registre sua presenca no e-disciplinas
Professora Renata Alcarde Sermarini
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 2 / 29
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”Universidade de Sao Paulo
Testes de Comparacoes Multiplas
Professora Renata Alcarde Sermarini
Piracicaba
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 3 / 29
ANOVA
Exemplo
Os dados da Tabela 1 referem-se a produtividade de milho (Kg/100m2) dequatro variedades diferentes, em um experimento instalado segundo odelineamento inteiramente casualizado (DIC).
Tabela: Produtividade de milho (kg/100m2)
A B C D
25 31 22 3326 25 26 2920 28 28 3123 27 25 3421 24 29 28
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 4 / 29
ANOVA
Exemplo
H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4
H1: pelo menos duas medias diferem entre si
Analysis of Variance Table
Response: y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 3 163.75 54.583 7.7976 0.001976 **
Residuals 16 112.00 7.000
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 5 / 29
Metodos de Comparacoes Multiplas
Tecnicas para comparacao de medias
duas a duasmedia de cada tratamento com a media de um controlecontrastes
Classificacao
Teste Protegido: realizado somente mediante rejeicao de H0 para o testeF (ANOVA)
Teste nao protegido: realizado independentemente do resultado para oteste F (ANOVA).
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 6 / 29
Contrastes
Definicao
Combinacao linear das medias,
Y = a1µ1 + a2µ2 + . . .+ aIµI ,
tal que,I∑
i=1
ai = 0,
para o caso em que todos os tratamentos apresentam o mesmo numero derepeticoes J.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 7 / 29
Contrastes
Sao exemplos de contrastes:
Y1 = µ1 − µ2
Y2 = 2µ1 − µ2 − µ3
Y3 = µ3 − µ4
Estimativa do Contraste
Y = µ1 − µ2 ⇒ Y = µ1 − µ2 = y1 − y2
Interpretacao:
Se Y > 0 ⇒ media do grupo “+” superior;
Se Y < 0 ⇒ media do grupo “-” superior.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 8 / 29
Comparacao de duas medias
Hipoteses do tipo
H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0
Modelo
yij = µ+ τi + eij = µi + eij ,
em que eij ∼ iidN(0, σ2).
Seja o contraste Y = µi − µi ′ , entao:
Y = µi − µi ′ .Assim,
E(Y ) = µi − µi ′
Var(Y ) =
(1
ni+
1
ni ′
)σ2
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 9 / 29
Teste t-Student
Hipoteses do tipo
H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0
Estatıstica
t =µi − µi ′ − 0√√√√( 1
ni+ 1
ni′
)σ2
.
Rejeita-se H0 se |µi − µi ′ | ≥ t(α/2,ν)
√√√√( 1ni
+ 1ni′
)σ2, em que ν
corresponde ao numero de graus de liberdade do resıduo.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 10 / 29
Teste t-Student
Para o exemplo de produtividade de milho:
µA = 23 µB = 27 µC = 26 µD = 31
Hipoteses
H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0
Valores absolutos das diferencas observadas
µB µC µDµA 4 3 8µB - 1 4µC - - 5
Diferenca mınima significativa
d .m.s. = t(α/2, glRes)
√2× QMRes
J= 2, 12
√2× 7, 00
5= 3, 55
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 11 / 29
Teste t-Student
Para o exemplo de produtividade de milho:
Valores absolutos das diferencas observadas
µB µC µDµA 4∗ 3 8∗
µB - 1 4∗
µC - - 5∗
Diferenca mınima significativa
d .m.s. = t(α/2, glRes)
√2× QMRes
J= 2, 12
√2× 7, 00
5= 3, 55
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 12 / 29
Teste t-Student
Problemas
Suponha que sejam 10 os tratamentos em analise.
Quantas seriam as comparacoes duas a duas?
Supondo o nıvel de significancia 0,05 para cada comparacao, qualsera o nıvel de significancia conjunto, assumindo que as comparacoessejam independentes?
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 13 / 29
Nıvel de significancia
Controle da taxa de erro tipo I
Nıvel de significancia por comparacao (comparisonwise): controlaa taxa de erro tipo I por comparacao.
Nıvel de significancia por experimento (experimentwise): controlaa taxa de erro tipo I considerando todo o conjunto de comparacoes.
Teste t-Student
Pode-se controlar a taxa de erro maxima por experimento usando a taxade erro por comparacao dada por α/c, em que c corresponde ao numerode comparacoes de duas medias (correcao de Bonferroni).
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 14 / 29
Teste t-Student
Para o exemplo de produtividade de milho com a correcao de Bonferroni:
Valores absolutos das diferencas observadas
µB µC µDµA 4 3 8∗
µB - 1 4µC - - 5
Diferenca mınima significativa
d .m.s. = t((0, 05/6)/2, glRes)
√2× QMRes
J= 3, 01
√2× 7, 00
5= 5, 03
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 15 / 29
Teste de Tukey
Hipoteses do tipo
H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0
Teste baseado na amplitude total estudentizada de I variaveisaleatorias normais independentes;
Controla a taxa maxima de erro tipo I por experimento.
Rejeita-se H0 se
|µi − µi ′ | ≥ ∆,
em que ∆ = q(α,I ,glRes)
√Var(Y )
2= q(α,I ,glRes)
√√√√( 1
ni+
1
ni ′
)QMRes
2.
Se ni = ni ′ = J, entao ∆ = q(α,I ,glRes)
√QMRes
J
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 16 / 29
Teste de Duncan
Hipoteses do tipo
H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0
Teste realizado em multiplos estagios;
Recomendado para o caso balanceado (mesmo numero de repeticoespor tratamento);
Tambem e baseado na amplitude total estudentizada;
Controla a taxa de erro tipo I por comparacao (teste menos rigorosoque o teste de Tukey, ou seja, pode rejeitar H0 com maior facilidade).
Rejeita-se H0 se
|µi − µi ′ | ≥ Di ,
em que Di = z(α,k,glRes)
√QMRes
Je k e o numero de medias envolvidas.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 17 / 29
Teste de Dunnett
Hipoteses do tipo
H0 : µi − µc = 0 vs H1 : µi − µc 6= 0
Compara duas medias de tratamentos, sendo uma dela a media de umtratamento referencia (controle);
Controla a taxa maxima de erro tipo I, nao excedendo α.
Rejeita-se H0 se
|µi − µc | ≥ d(α,I−1,glRes)
√2× QMRes
J.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 18 / 29
Teste de Dunnett
No exemplo: Assumindo-se a variedade B como referencia, temos:
Hipoteses
H0 : µA − µB = 0 vs H1 : µB − µB 6= 0H0 : µC − µB = 0 vs H1 : µC − µB 6= 0H0 : µD − µB = 0 vs H1 : µD − µB 6= 0
|µA − µB | = |23− 27| = 4
|µC − µB | = |26− 27| = 1
|µD − µB | = |31− 27| = 4
dms = d(α,I−1,glRes)
√2× QMRes
J
= 2, 59
√2× 7, 00
5= 4, 33
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 19 / 29
Teste de Dunnett
No exemplo: Assumindo-se a variedade B como referencia, temos:
Hipoteses
H0 : µA − µB = 0 vs H1 : µB − µB 6= 0H0 : µC − µB = 0 vs H1 : µC − µB 6= 0H0 : µD − µB = 0 vs H1 : µD − µB 6= 0
|µA − µB | = |23− 27| = 4n.s
|µC − µB | = |26− 27| = 1n.s.
|µD − µB | = |31− 27| = 4n.s.
dms = d(α,I−1,glRes)
√2× QMRes
J
= 2, 59
√2× 7, 00
5= 4, 33
Logo, nao ha evidencias para rejeicao de nenhuma das hipoteses H0, aonıvel de 5% de significancia.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 20 / 29
Contrastes Ortogonais
Definicao
Dois contrastes, Y1 e Y2,
Y1 = a1µ1 + a2µ2 + . . .+ aIµI
Y2 = b1µ1 + b2µ2 + . . .+ bIµI
sao ditos ortogonais seI∑
i=1
aibi = 0, desde que todos os tratamentos
apresentem os mesmo numero de repeticoes.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 21 / 29
Contrastes Ortogonais
Exemplo:
Considere os contrastes Y1, Y2 e Y3, dados por:
Y1 = µ1 − µ2
Y2 = 2µ2 − µ3 − µ4
Y3 = µ3 − µ4
Verificar quais sao ortogonais.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 22 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
Observacoes:
Os testes t e F para contrastes ortogonais sao equivalentes;
Teste F: apresentacao da decomposicao do numero de graus deliberdade de tratamentos em um grau de liberdade associado a cadacontraste;
Os contrastes devem ser estabelecidos antes da realizacao da analise.
SQL =(J×L)
2
J×∑I
i=1 a2i
, em que L = a1µ1 + a2µ2 + . . .+ aIµI , e todos os
tratamentos apresentam o mesmo numero de repeticoes, J.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 23 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
Exemplo
Suponha um experimento instalado para avaliar a eficiencia de fungicidasna producao de batatas. Foram utilizados quatro fungicidas + controle(sem aplicacao de fungicida), sendo que os dois primeiros usam um modode acao (modo A) e os dois ultimos fungicidas outro modo de acao (modoB).
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 24 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
Exemplo: Produtividade de milho
Suponha que as variedades A e B foram produzidas por um instituto depesquisa e as variedades C e D, por outro. Para o correspondente grupo decontrastes ortogonais, vamos aplicar o teste F.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 25 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
Exemplo: Produtividade de milho
Os contrastes relacionados ao enunciado sao:L1 : µA + µB − µC − µDL2 : µA − µBL3 : µC − µD
E as hipoteses de interesse sao:H0 : L1 = 0 versus H1 : L1 6= 0H0 : L2 = 0 versus H1 : L2 6= 0H0 : L3 = 0 versus H1 : L3 6= 0
Que equivalem aH0 : µA+µB
2 = µC+µD2 versus H1 : µA+µB
2 6= µC+µD2
H0 : µA = µB versus H1 : µA 6= µBH0 : µC = µD versus H1 : µC 6= µD
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 26 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
Assim, o quadro da ANOVA sera:
F.V. gl SQ QM F Ftab
Tratamentos 3 163.75 54,58 7,80 3,24(A+B)vs(C+D) 1 61,25 61,25 8,75 4,40A vs B 1 40,00 40,00 5,71 4,40C vs D 1 62,50 62,50 8,93 4,40
Resıduo 16 112,00 7,00
Total 19 275,75
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 27 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
Estimativas dos contrastes
L1 : µA + µB − µC − µD = 23 + 27− 26− 31 = −7L2 : µA − µB = 23− 27 = −4L3 : µC − µD = 26− 31 = −5
Somas de quadrados
SQL1 =[5× (23 + 27− 26− 31)]2
5× [12 + 12 + (−1)2 + (−1)2]= 61, 25
SQL2 =[5× (23− 27)]2
5× [12 + (−1)2]= 40, 00
SQL3 =[5× (26− 31)]2
5× [12 + (−1)2]= 62, 50
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 28 / 29
Teste t e F para Contrastes Ortogonais
E o quadro da ANOVA fica:
F.V. gl SQ QM F Ftab
Tratamentos 3 163.75 54,58 7,80 3,24(A+B)vs(C+D) 1 61,25 61,25 8,75∗ 4,49A vs B 1 40,00 40,00 5,71∗ 4,49C vs D 1 62,50 62,50 8,93∗ 4,49
Resıduo 16 112,00 7,00
Total 19 275,75
Logo, ao nıvel de 5% de significancia ha evidencias para rejeitarmos ashipoteses H0 : L1 = 0, H0 : L2 = 0 e H0 : L3 = 0.
Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 29 / 29