estadística y o - radio eccaonline.radioecca.org/banco/material/595/notas.pdf · 2020. 11. 26. ·...

2º

BA

CH

ILLER

ATO

Estadística y

Matemáticas II

ja.santana

Texto escrito a máquina

NOTAS

Estadística y probabilidad (LOMCE) 3

Las Notas amplían o complementan los contenidos explicados en las clases.Después de cada clase – y antes de realizar las actividades propuestas en las Prácticas – esconveniente que consulte las Notas correspondientes.

TEMA 1: LA PROBABILIDAD (Esquemas 1 al 4) ........................................................... 5

Esquema 1: Experimento aleatorio ............................................................................ 51. Experimento aleatorio .......................................................................................... 52. Suceso aleatorio .................................................................................................... 53. Algunos tipos de sucesos ...................................................................................... 6

Esquema 2: Probabilidad de un suceso ...................................................................... 74. Frecuencia de un suceso ...................................................................................... 75. Propiedades de la frecuencia relativa .................................................................. 86. Concepto de probabilidad.................................................................................... 9

6.1. Definición de Laplace ................................................................................... 96.2. Definición a partir de las frecuencias relativas ............................................ 10

7. Propiedades de las probabilidades ....................................................................... 11

Esquema 4: Probabilidad compuesta o de la intersección de sucesos ...................... 13

TEMA 2: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Esquemas 7al 10) ........................................... 15

Esquema 7: Variable aleatoria discreta I .................................................................... 151. Introducción ......................................................................................................... 152. Definición de variable aleatoria ........................................................................... 153. Variables aleatorias continuas .............................................................................. 154. Variable aleatoria discreta..................................................................................... 165. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta .............................. 176. Propiedades de la "función de probabilidad"...................................................... 177. Función de distribución ....................................................................................... 18

7.1. Propiedades de las funciones de distribución ............................................. 19

Esquema 8: Variable aleatoria discreta II ................................................................... 218. Parámetros ............................................................................................................ 21

8.1. Juegos de azar ................................................................................................ 22

Esquema 9: Distribución binomial I ........................................................................... 239. Distribución binomial ........................................................................................... 2310. Variable aleatoria binomial .................................................................................. 24

Introducción

4 Estadística y probabilidad (LOMCE)

11. Función de probabilidad de una variable aleatoria en una distribución bi-nomial .................................................................................................................... 24

Esquema 10: Distribución binominal II ...................................................................... 2512. Parámetros de X B (n, p) .................................................................................. 2513. Ajuste de datos a una distribución binominal .................................................... 26

TEMA 3: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL (Esquemas 11 al 15) ...................................... 29

Esquema 11: Distribuciones continuas ....................................................................... 291. Distribuciones de probabilidad continuas ........................................................... 292. Función de densidad ............................................................................................ 323. Función de distribución ....................................................................................... 36

Esquema 12: Distribución normal .............................................................................. 384. Función de densidad normal ............................................................................... 395. La distribución normal estándar ......................................................................... 40

Esquema 13: Tipificación de la variable ..................................................................... 416. Manejo de tablas ................................................................................................... 417. Tipificación de la variable..................................................................................... 42

Esquema 15: Aproximación de la binominal por la normal ...................................... 438. Ajuste de una distribución empírica mediante una distribución normal ......... 47


Son experimentos aleatorios aquellos que, al repetirlos en análogas condiciones, jamásse puede predecir el resultado. Son ejemplos de experimentos aleatorios lanzar una mone-da y anotar el resultado de la cara que aparece, extraer una carta de una baraja española,etc. Por el contrario, llamaremos experimentos deterministas aquellos que se caracterizanporque al repetirlos en análogas condiciones se obtienen siempre el mismo resultado, porejemplo: arrojar una piedra al vacío y medir su aceleración, calentar agua hasta hacerlahervir -el termómetro marcará siempre 100 oC-.

En un experimento aleatorio son varios los resultados posibles. Al conjunto de todosellos se le llama espacio muestral, que representamos con la letra E.

Ejemplo:

En la experiencia aleatoria de lanzar un dado, el espacio muestral es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A cada uno de estos resultados posibles se le llama suceso elemental.

1. Experimento aleatorio

La probabilidad

1Experimento aleatorio

Esquemas 1 al 4

El espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado es:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cada subconjunto del espacio muestral se le llama suceso aleatorio, por ejemplo:

A = "salir par" = {2, 4, 6}

B = "salir impar" = {1, 3, 5}

C = "salir un divisor de 4" = {2, 4}

2. Suceso aleatorio


Observe que podemos referirnos a un suceso expresando la propiedad que tienensus elementos, por ejemplo: A = "salir par", o enumerando sus elementos, A = {2, 4, 6}.

Por otro lado, diremos que el suceso A se ha verificado si al efectuar el experimentoobtenemos como resultado el 2, o el 4, o el 6. De modo general, diremos que el sucesoB se verifica, se realiza o se presenta, si al efectuar el experimento obtenemos unocualquiera de los resultados anteriores.

a. Suceso seguro o suceso cierto es el suceso que se presenta siempre que se realiza elexperimento aleatorio. Coincide con el espacio muestral (E) Ej.: en el experimento consis-tente en lanzar un dado, el suceso salir un número menor o igual que 6 estará formado portodos los resultados posibles del experimento.

b. Suceso imposible es el suceso que no aparece nunca y se designa por .

c. Sucesos contrarios. Sean los sucesos A = "salir par" y B = "salir impar" relativos al expe-rimento de lanzar un dado.

El suceso B se realiza cuando no se realiza A y, recíprocamente, el suceso A se realizacuando no se realiza B. Estos sucesos se llaman contrarios o complementarios.

Si A es un suceso cualquiera, su suceso contrario se escribre A.

Observe que se verifica lo siguiente:

- El suceso contrario del suceso cierto es el suceso imposible: E = .

- El suceso contrario del suceso imposible es el suceso cierto: = E.

d. Unión e intersección de sucesos.

Consideremos el experimento del lanzamiento del dado cuyo espacio muestral esE = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los sucesos A = "salir número impar" = {1, 3, 5}, B = "salir número par" == {2, 4, 6}, y C = "salir número primo" = {2, 3, 5}.

El suceso "salir número par o número primo" es D = {2, 3, 4, 5, 6}. Este suceso se llamasuceso unión de B y C, se escribe B C, y es el suceso que se realiza cuando se realiza B o C,por tanto, está formado por todos los elementos de los sucesos B y C. El suceso "salir núme-ro par y número primo" es F = {2}. Este suceso se llama intersección de B y C, se escribeB C, y es el suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente los sucesos B y C.

El suceso B C está formado por los elementos comunes a los sucesos B y C. Observeque:

3. Algunos tipos de sucesos


- La unión de sucesos contrarios da el espacio muestral.

A = "salir número impar" = {1, 3, 5}

B = "salir número par" = {2, 4, 6}

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E

- Como los sucesos contrarios no tienen elementos comunes, su intersección es el con-junto vacío, es decir, el suceso imposible A B = .

e. Sucesos incompatibles.

Cuando es imposible que dos sucesos se realicen simultáneamente decimos que dichossucesos son incompatibles (los sucesos contrarios son incompatibles pues no tienen ele-mentos comunes).

Supongamos que lanzamos 100 veces un dado cuyas caras están numeradas del 1 al 6 yanotamos los resultados del experimento.

Caras nº de veces o frecuencia1.................................................... 122.................................................... 173.................................................... 164.................................................... 205.................................................... 136.................................................... 22

El número de veces que se ha presentado un suceso se llama frecuencia absoluta dedicho suceso.

- La frecuencia absoluta del suceso "salir nº par" es: 17 + 20 + 22 = 59.

- La frecuencia absoluta del suceso "salir nº primo" es: 17 + 16 + 13 = 46.

- La frecuencia sbsoluta del suceso seguro es: 12 + 17 + 16 + 20 + 13 + 22 = 100.

- La frecuencia absoluta del suceso imposible es 0.

...

4. Frecuencia de un suceso

2Probabilidad de un suceso


El cociente de dividir la frecuencia absoluta por el nº de pruebas que se han hecho sellama frecuencia relativa.

- La frecuencia relativa del suceso "salir par" es fr (par) =

- La frecuencia relativa del suceso "salir nº primo" es fr (primo) =

- La frecuencia relativa del suceso seguro es fr (E) =

- La frecuencia relativa del suceso imposible es fr () = 0.

59100

a. La frecuencia relativa de un suceso cualquiera A está comprendida entre 0 y 1.

0 fr (A) 1

b. La frecuencia relativa de un suceso más la frecuencia relativa del suceso contrario es 1.

fr (A) + fr (A) = 1

Siguiendo con el ejemplo, la frecuencia relativa del suceso "salir par" es y la del

suceso contrario es .

fr (A) + fr (A) = + = 1

c. La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma delas frecuencias relativas a estos sucesos.

fr (A B) = fr (A) + fr (B)

5. Propiedades de la frecuencia relativa

46100

100100

59100

41100

59100

41100


La frecuencia relativa del suceso A = "salir impar" es fr (A) = y la frecuencia relativa

del suceso B = "salir el 2" es fr (B) = .

(A B) = {1, 2, 3, 5} fr (A B) = =

fr (A) + fr (B) = + =

Si A B fr (A B) = fr (A) + fr (B) - fr (A B)

41100

17100

12 + 17 + 16 + 13100

58100

41100

17100

58100

Hemos dicho que al realizar un experimento aleatorio no hay seguridad del resultadoque obtendremos: hay incertidumbre. Pues bien, la probabilidad es una medida de esaaleatoriedad.

6.1. Definición de Laplace.

La regla de Laplace dice: "La probabilidad de un suceso A, se obtiene dividiendo elnúmero de casos favorables al A entre el número total de casos posibles".

Esto es:

p(A) =

Este es un enfoque de la probablidad a priori, y en él se supone que cada caso tiene la mismaprobabilidad de ocurrir.

6. Concepto de probabilidad

Número de casos favorables ANúmero total de casos

EJEMPLO

a) La probabilidad de obtener un 4 al lanzar un dado es . Hay 6 caras, de las cuales unaes el 4.

b) La probabilidad de sacar un basto de una baraja de 40 cartas es (= 0,25). Hay 10bastos entre las 40 cartas.

16

1040


De la regla de Laplace se deduce inmediatamente que la probabilidad de un sucesosiempre será un número comprendido entre 0 y 1. Ese número puede interpretarse me-diante porcentajes: 100 veces la probabilidad es el tanto por ciento de veces que cabeesperar que ese suceso ocurra.

Decir que la probabilidad de sacar un basto es 0,25 significa que cabe esperar queen el 25 % (100 · 0,25 = 25) de extracciones salga un basto.

6.2. Definición a partir de las frecuencias relativas

Un segundo enfoque consiste en definir la probabilidad de un suceso a partir de unnúmero muy grande de observaciones, de las cuales determinaremos la frecuencia relativa delsuceso considerado.

A esta probabilidad la llamamos a posteriori, pues se establece después de haber realiza-do el experimento. Así, si un experimento se ha realizado n veces y en h de ellas se ha

verificado el suceso A, decimos que p(A) = .hn

EJEMPLO

a) Si un jugador de baloncesto lanza 1.000 tiros libres de los cuales encesta 528, decimos

que su probabilidad de acierto es p(A) = . Estas probabilidades suelen darse en

porcentajes (un 52,8 % en este ejemplo).

b) Si de 500 personas consultadas, oyen la radio 325, podemos decir que la probabilidad

de oír la radio es (un 65 %, ya que = 0,65).

5281000

325500

528500

Nota: Esta segunda definición de probabilidad se basa en la denominada ley de estabi-lidad de las frecuencias relativas, que es un proceso de paso al límite, y supone que lafrecuencia relativa de un suceso, cuando el número de veces n que se realiza el experimen-to se hace muy grande, tiende a su probabilidad. Muchas veces es el único método queexiste para asignar probabilidades.


La probabilidad de un suceso cualquiera A está comprendido entre 0 y 1.

0 P(A) 1

La probabilidad de un suceso imposible es nula.

P() = 0

La probabilidad de un suceso seguro es la unidad.

P(E) = 1

La probabilidad del suceso, A, más la probabilidad de su suceso contrario, A, es iguala la unidad.

P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 -P(A)

La probabilidad del suceso unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma delas probabilidades de cada uno de ellos.

P (A B) = P(A) + P(B)

7. Propiedades de las probabilidades

EJEMPLO

En el fenómeno aleatorio de tomar una carta de una baraja, son sucesos incompatibles:A: Extraer un oro.B: Extraer una copa.

¿Cuál es la probabilidad del suceso unión?Suceso A

Casos favorables: El total de oros de la baraja (10)Casos posibles: La totalidad de cartas (40)

Probabilidad: P(A) = = ; P(A) =Suceso B

Casos favorables: El total de copas de la baraja (10)Casos posibles: La totalidad de cartas (40)

Probabilidad: P(B) = = ; P(B) =Suceso unión

Casos favorables: El total de oros y copas de la baraja (20)Casos posibles: La totalidad de cartas (40)

Probabilidad: P(A B) = = ; P(A B) =

1040

14

14

1040

14

14

2040

12

12


Lógicamente, se hubiera obtenido el mismo resultado mediante la aplicación di-recta de la fórmula:

P(A B) = P(A) + P(B) = + = =

Es interesante apuntar que la probabilidad puede expresarse en forma de frac-ción ordinaria, tal como se ha realizado hasta el momento, en forma de fracción deci-mal o, lo que también es frecuente, en forma de porcetanje o tanto por ciento:

P(A B) = = 0,50 = 50 %

La probabilidad del suceso unión de dos sucesos compatibles es igual a la suma delas probabilidades de cada uno menos la probabilidad de su intersección.

P (A B) = P(A) + P(B) -P(A B)

EJEMPLO

Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener número primo o número par?A = "salir nº primo"B = "salir nº par"

Suceso unión: A B = {2, 3, 4, 5, 6}Casos favorables: 5Casos posibles: 6

P (A B) =

Aplicando la fórmula:

P(A B) = P(primo) + P(par) -P(primo y par) = + - =

12

14

14

24

12

36

36

16

56

56

Un experimento compuesto es la conjunción de dos o más experimentos simples.

Distinguiremos dos casos:

4Probabilidad compuesta o de la intersección desucesos


a. Cuando los sucesos son independientes.

b. Cuando los sucesos son dependientes.

Dos experimentos aleatorios son independientes cuando el resultado de uno no influyeen el resultado del otro.

Los experimentos de lanzar un dado y una moneda son independientes.

En cambio, el experimento de sacar una carta de una baraja seguido del experimentode sacar otra carta de la misma baraja no son independientes si la carta extraída no sedevuelve a la baraja.

Pues bien, si A y B son independientes se verifica que P (A B) = P(A) · P(B).

EJEMPLO

Se extraen dos cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de que las dossean de oros si la carta extraída se devuelva a la baraja.

Consideramos los sucesos:A = "salir oros en la primera extracción".B = "salir oros en la segunda extracción".

Los sucesos A y B son "independientes".

P(A B) = P(A) · P(B) = · = · =

Si ahora se hace la experiencia sin reemplazamiento, es decir, sin devolver la pri-mera carta extraída al mazo, la composición de éste se altera antes de la segunda extrac-ción. Por tanto el suceso A condiciona al suceso B. A y B son dependientes.

P(A B) = P(A) · P(B suponiendo que ha ocurrido A)

P(A B) = · = · =

1040

1040

14

14

116

1040

939

14

313

352

EJEMPLO

Se lanza un dado y después una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que en eldado salga 5 y en la moneda cara?

Sea A = "salir 5 en el dado".B = "salir cara en la moneda".

La probabilidad que se pide es P(A B). La realización del suceso A no influye enla probabilidad del suceso B. A y B son independientes.

P(A B) = P(A) · P(B) = · =16

12

112


Resumiendo:- Dos o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resultado de

cada una de ellas no depende de los resultados de las demás. Cuando varias experienciasaleatorias son independientes, la probabilidad de que ocurra el suceso A1 en la primeraexperiencia y A2 en la segunda y... y An en la n-ésima es:

P(A1 A2 ... An) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An)

- Dos o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado deuna de ellas influye en el desarrollo de la otra.

Para dos sucesos dependientes, la probabilidad de que ocurra el suceso A1 en la prime-ra y A2 en la segunda es:

P(A1 A2) = P(A1) · P(A2 suponiendo que ha ocurrido A1)

Para tres sucesos dependientes:

P(A1 A2 A3) = P(A1) · P(A2/ocurrió A1) · P(A3/ocurrió A1 y ocurrió A2)

Los diagramas en árbol son muy útiles para el cálculo de probabilidades compues-tas. Veámoslo resolviendo el problema anterior:

CON DEVOLUCIÓNoros

oros EXTRACCIÓNno oros

EXTRACCIÓN

no oros P(dos oros) = · =

SIN DEVOLUCIÓNoros

oros EXTRACCIÓNno oros

EXTRACCIÓN

no oros P(dos oros) = · =

1040

3040

1040

3040

1040

1040

116

1040

3040

1040

939

352

939

3039


1. Introducción

Distribución binomial

7Variable aleatoria discreta I

Esquemas 7 al 10

Un experimento aleatorio es aquel cuyos resultados no pueden predecirse. Si a cadaresultado de un experimento aleatorio se le asigna un valor numérico se dice que se hadefinido una variable aleatoria.

2. Definición de variable aleatoria

Es una función que asigna a cada elemento del espacio muestral un número. Se diceque hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemosasociado un valor numérico a cada resultado del experimento.

Para asignar las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas: X, Y, ... etc. y letrasminúsculas para designar los valores concretos de las mismas.

Las variables aleatorias pueden ser: a) continuas y b) discretas.

3. Variables aleatorias continuas

Son aquellas que pueden tomar todos los posibles valores dentro de un cierto intervalo.Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en elegir 100 judías ver-

des al azar de una plantación y medir su longitud. Definimos una variable aleatoria para esteexperimento asignando un valor numérico a cada resultado del experimento, es decir, asig-naremos a cada judía su longitud. La variable aleatoria X que representa la longitud de lasjudías verdes toma valores, por ejemplo, en el intervalo (0-20) cm, pudiendo tomar cual-quier valor de entre los infinitos que hay en ese intervalo.


4. Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es discreta cuando solo puede tomar unos ciertos valores ente-ros. Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas.El espacio muestral es:

E = {XXX, CCC, XCX, CXC, CCX, XXC, XCC, CXX}Definiremos una variable aleatoria para este experimento asignando un valor numéri-

co a cada resultado, se asociará a cada resultado el número de casos que contiene:

E = Resultados X = (v.a.) es "asignar el número de casos en cada resultado"CCC ............................ 3CCX ............................ 2CXC ............................ 2XCC ............................ 2CXX ............................ 1XCX ............................ 1XXC ............................ 1XXX ........................... 0

En este tema solo trataremos variables aleatorias discretas.Ejemplo:

Realizamos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. Si definimos lavariable aleatoria X como el doble del valor numérico de la puntuación observada:

a) Representa la variable X en forma de diagrama de Venn.Sol:

1 22 43 64 85 106 12

E R

b) Especifique el Dominio y recorrido de la variable aleatoria X.Sol: D(X) = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}El Recorrido de X es el conjunto de valores que toma:

R(X) = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

c) Indique si X es una variable discreta o continua.Sol: X es una variable aleatoria discreta ya que su recorrido es un número finito de

elementos.

Nota: puede ocurrir que va-

rios elementos del espacio

muestral tengan asociado la

misma variable aleatoria


5. Función de probabilidad: (de una variable discreta)

Definición:Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, a la aplicación

que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad Pi.Esta función la podemos expresar mediante una tabla en la que aparecen las diferen-

tes valores de la variable aleatoria con sus correspondientes probabilidades:

La ley que asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad se llama "funciónde probabilidad".

6. Propiedades de la "función de probabilidad"

1. Al ser los valores Pi probabilidades, se tiene que Pi 0.

2. Pi = P1 + P2 + P3 + ... + Pn-1 + Pn = 1

Ejemplo:En el lanzamiento de dos dados consideremos

la variable aleatoria que asocia a cada resultado elmayor de los números obtenidos.

Hallar la función de probabilidad asociada adicha variable aleatoria.

Solución:Sea la variable aleatoria; X = max(a, b), por tan-

to su recorrido será: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sea E:

n

i = 1


La representación gráfica de la "función de probabilidad" es un diagrama de barras.Representando la de este ejercicio, sería:

7. Función de distribución

En muchas situaciones es más interesante conocer la probabilidad de que una varia-ble aleatoria X tome un valor menor o igual que xi, que la probabilidad en el propio valorxi. Para ello, vamos a definir una nueva función, a partir de la función de probabilidad, quellamaremos función de distribución.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta X,cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor, es una fun-ción que a cada valor x de la variable aleatoria le hace correspon-der la probabilidad acumulada hasta este valor. La llamaremos F(x)y cumple:

F(x) = P(X x)

Prob.

x = max (a, b)(valores de la variable aleatoria)

136

336

536

736

936

1136

2 3 4 51 6


Ejemplo:A continuación puede ver la función de distribución, así como su gráfica, correspon-

diente a la variable aleatoria número de caras del lanzamiento de tres monedas.

Número de caras en el lanzamiento de tres monedas

X F(x)x < 0 00 x < 1 1/81 x < 2 4/82 x < 3 7/83 x 1

7.1. Propiedades de las funciones de distribuciónConsideramos una variable aleatoria X que tiene la siguiente función de probabilidad:

Según la definición anterior, la función de distribución será:

Podemos observar las siguientes propiedades:

1. Para cualquier valor de la variable menor que el primer valor de esta, la función dedistribución es cero.

Si x < x1, F(x) = 0

Se trata de la probabilidad del suceso imposible.

2. Para cualquier valor de la variable mayor o igual que el último valor de esta, la fun-

F(x)

nº de caras

18

38

78

2 31

1


ción de distribución es uno.Si x xn, F(x) = 1

Se trata de la probabilidad del suceso seguro.

3. La función de distribución F(x) es constante en cada intervalo [xi, xi+1).Si x [xi, xi+1), entonces:

F(x) = P(X x) = P(X = x1) + P(X = x2) + ... + P(X = xi)

Las gráficas de las funciones de distribución adoptan forma de escalera y decimos queson funciones escalonadas.

4. La función de distribución F(x) es creciente.Si xi < xj, entonces F(xi) F(xj)

La prueba de esta propiedad es como sigue:

Se cumple queF(xj) = P(X xj) = P(X xi) + P(xi < X xj) = F(xi) + P(xi < X xj)

Como P(xi < X xj) > 0, por ser una probabilidad, deducimos queF(xi) F(xj)

La probabilidad de ocurrencia de que la variable aleatoria X tome los valores com-prendidos entre xi y xj, puede calcularse mediante la función de distribución. Es consecuen-cia de la propiedad anterior el siguiente hecho.

5. P(xi < X xj) = F(xj) - F(xi)

EJEMPLO

En el lanzamiento de dos dados consideramos la variable aleatoria que asocia a cadaresultado el mayor de los números obtenidos. Halle y represente la función de distribu-ción asociada a dicha variable aleatoria.Ya conocemos la función de probabilidad, que puede ver en las páginas anteriores, yque es:

La función de distribución y la gráfica de dicha función serán:


Observe que esta tabla de definición de la función, así como en la gráfica, se cumplentodas las propiedades vistas con anterioridad.

F(x)

X = máx (a, b)2 31 4 5 6

1

2/36

10/36

6/36

14/36

18/36

22/36

26/36

30/36

34/36

8. Parámetros

En el tema anterior estudiamos que las frecuencias relativas de un suceso conducían,en el límite, a su probabilidad.

Así pues, podemos considerar una distribución de probabilidad como el caso límite deuna distribución estadística y definir la media aritmética, la varianza y la desviación típica paravariables aleatorias, sustituyendo las frecuencias relativas por probabilidades.

Variable estadística X que toma Variable aleatoria X que toma

valores x1, ..., xi, ... valores x1, ..., xi, ...

Media aritmética: Media aritmética o esperanza:

x = = xi · fi = xi · f(xi)

xi · ni

Ni

i i

88888Variable aleatoria discreta II


EJEMPLO

Calcule la esperanza, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X,cuya función de probabilidad viene dada por la tabla.

Basta con aplicar las expresiones correspondientes:

- Esperanza: = -4 · 0,1 -1 · 0,5 +2 · 0,3 +5 · 0,1 = 0,2

- Varianza: 2 = (-4)2 · 0,1 +(-1)2 · 0,5 +22 · 0,3 +52 · 0,1 -0,22 = 5,76

- Desviación típica: = 5,76 = 2,4

x2i · ni

Ni

i i

i

i (xi - x)2 · ni

N

Varianza: Varianza:

2 = - x2 = x2i · fi - x

2 2 = x2i · f(xi) - 2

o bien: o bien:

2 = = (xi - x)2 · fi 2 = (xi - )2 · f(xi)

Desviación típica: = 2 Desviación típica: = 2

8.1. Juegos de azarA un juego de azar podemos asociarle siempre una variable aleatoria X, cuyos valores

son las ganancias correspondientes a los posibles resultados.

La esperanza de X representa el beneficio medio en cada jugada cuando se consideraun número muy elevado de ellas.

Si > 0, se dice que el juego favorece al jugador.

Si < 0, se dice que el juego perjudica al jugador.

Si = 0, se dice que el juego es equitativo.


9. Distribución binomial

9Distribución binomial I

Todo experimento aleatorio que tenga las siguientes características, se dice que sigueel modelo de una distribución Binomial:

1. En cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados:el suceso A denominado éxitoel suceso A denominado fracaso

(solo nos interesa saber si se ha verificado o no determinado suceso A)

2. El resultado obtenido en cada realización del experimento es independiente de losresultados obtenidos en las realizaciones anteriores.

La probabilidad del suceso A y la de A, no varía a lo largo del experimento.

3. La probabilidad del suceso A es la misma en todas las realizaciones del experimento.Si representamos la probabilidad de "A" por (probabilidad de éxito)el número de ve-

ces que se ha verificado el suceso A en las "n" realizaciones del experimento, sigue unadistribución binomial de parámetros n y p. Esto se simboliza:

sonincompatibles

EJEMPLO

Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene ocho bolas blan-cas y dos bolas negras. Cobramos 1 € si la bola extraída es blanca, y pagamos 2 € si esnegra.

Considere la variable aleatoria X que asigna a cada resultado la ganancia corres-pondiente. Puesto que P(blanca) = 0,8 y P(negra) = 0,2, la función de probabilidad será:

x –2 +1

f(x) 0,2 0,8

En este caso: = -2 · 0,2 + 1 · 0,8 = 0,4

Por lo tanto, cabe esperar una ganancia media de 0,4 € por partida.


X ~ B(n, p)

Siendo: n y p los parámetros de la distribución

n es el nº de pruebas

p probabilidad de éxito (probabilidad de que ocurra en una solaprueba)

Nota: cada extracción, cada lanzamiento, es un prueba

10. Variable aleatoria binomial

Es la que expresa el número total de éxitos observados en las experiencias que siguenel modelo de una distribución binomial.

Las variables aleatorias binomiales son discretas ya que pueden tomar los valores: 0, 1,2, 3, ..., n-1, n; en las "n" pruebas.

11. Función de probabilidad de una variable aleatoria en una distribuciónbinomial

Nos da la probabilidad de que un suceso ocurra un número de veces "r", en "n" pruebas.

Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número deéxitos obtenido en las n pruebas del experimento, se tiene:

P(obtener r éxitos) = P(x = r) = pr · qn-r

Esta expresión se denomina función de probabilidad de la distribución BinomialB(n, p).

Los cálculos de estas expresiones resultan laboriosos, es por ello que se utilizan unastablas, denominadas: "tablas de distribución binomial". Donde se localizan los valores de n,r y p. (Tabla I).

nr


12. Parámetros de X ~B(n, p)

Media o esperanza matemática: = n . p

Varianza: 2 = n · p · q

Desviación típica: n · p · q

Es importante el significado de las siguientes expresiones:

Probabilidad de que el suceso A se presente en una al menos de las n repeticiones (1menos la probabilidad de que no se presente ninguna):

P(X 1) = 1 -P(X = 0)

Probabilidad de que a lo sumo se presente el suceso A en una de las n repeticiones:

P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

Tabla binomial.

Para valores de n superiores a 5 ó 6 se recomienda hacer uso de la tabla de la binomialque se incluye al final del texto.

Esta tabla contiene en la primera columna nueve bloques de valores de n (desde 2hasta 10), detallándose en cada bloque los posibles éxitos r = 0, ..., n.

Su primera fila muestra un conjunto discreto de valores de probabilidad p, estando,por consiguiente, limitado el uso de esta tabla a estos valores de p y a un máximo de 10pruebas para n. Para otros valores de p o un número de pruebas superior a 10, las probabi-lidades se calculan según se muestra al final de esta Unidad.

Observe también que no figura valores de p > 0,5. Si fuera este el caso, por la simetríaseñalada de la distribución, habría de mirar en B(n, 1 -p) sustituyendo las probabilidadesP(X = r) de la original por P(X = n - r) de la auxiliar.

Es decir, para calcular, por ejemplo, P(X = 6) de una distribución B(8, 0,85), debemirar en la tabla el valor de P(X = 2) para B(8, 0,15).

Las probabilidades se localizan en la tabla situándolos en la columna de p y bloque den correspondientes a la distribución B(n, p) que manejemos y seleccionando el númeroasignado al valor de r buscados.

10Distribución binomial II


13. Ajuste de datos a una distribución binomial

Cuando se tenga cierta seguridad de que un experimento se rige por las característi-cas binomiales puede modelizarse ajustando una distribución binomial, cuya probabilidadde éxito se calcula igualando su media con la de la muestra, es decir,

n p = x p =xn

EJEMPLO

De 500 unidades de un producto farmacéutico, tal que cada unidad lleva dos pre-cintos, se han observado las siguientes frecuencias de precintos rotos que viene dada porla tabla siguiente.

Ajustar, si es posible, una distribución binominal y calcular las frecuencias absolu-tas teóricas.

a) Veamos si se trata de una distribución binomial.

1.o En cada prueba solo son posibles dos resultados: precinto roto, precinto noroto.

EJEMPLO

Si X es una variable con distribución binomial B(7, 0,65), la probabilidad de que Xsea igual a 5 la encontramos considerando una variable X', binomial B(7, 0,35), y miran-do, en el bloque 7 de la tabla, la probabilidad de que X' = 7 -5 = 2, es decir,

P(X = 5) = P(X' = 2) = 0,2985Y la probabilidad de que X valga como máximo 5 sería:

P(X 5) = 1 -P(X = 6) -P(X = 7) = 1 -P(X' = 1) – P(X' = 0) = 1 -0,1848 -0,0490 = 0,7662


0,190 + 1,220 + 2,90500

20

21

22

2.o El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados ante-riores.

3.o La probabilidad del suceso precinto roto es constante y, por tanto, no varía deuna prueba a otra.

Por tanto, esta distribución empírica se puede ajustar mediante una distribuciónbinomial.

b) La distribución binomial que mejor se ajusta a esta distribución empírica serála que tenga por media , la media observada x.

La media observada es:

x = = 0,8

Como = n · p = 2 · p = 0,8 p = 0,4

Así pues, se trata de una B(2, 0,4). Si representamos por X la variable que expresael número de precintos rotos, podemos calcular las frecuencias absolutas teóricas sim-plemente multiplicando 500 por las probabilidades de 0, 1 y 2 roturas.

p(X = 0) = 0,40 · 0,62 = 0,36 500 · 0,36 = 180

p(X = 1) = 0,41 · 0,61 = 0,48 500 · 0,48 = 240

p(X = 2) = 0,42 · 0,60 = 0,16 500 · 0,16 = 80

Por tanto, las frecuencias absolutas teóricas serán:


1. Distribuciones de probabilidad continuas

La distribución normal

11Distribuciones continuas

Esquemas 11 al 15

Como ya dijimos, una distribución de probabilidad es un modelo matemático que nosayuda a explicar los resultados de un experimento real. Si esa distribución de probabilidadestá ligada a una variable aleatoria continua se llama distribución de probabilidad continua.

Comencemos su estudio con un ejemplo:

El tiempo que se tarda en correr una determinada distancia es una variable aleatoriacontinua. Supongamos que en una carrera popular participan miles de personas, emplean-do un tiempo entre 1 y 2 horas los corredores más rápido y más lento, respectivamente.Medidos los tiempos y las frecuencias de llegada de corredores, a intervalos de 10 minutos,se han obtenido los siguientes resultados:

Una distribución es continua cuando la variable aleatoria asociada puede tomar comovalores todos los números reales en algún intervalo de la recta real.

En una distribución continua, las probabilidades no nulas se asignan a los intervalos,mientras que la probabilidad de un valor concreto, es decir de un punto cualquiera de larecta real, es cero.

Piense, por ejemplo, en la probabilidad de que un compañero suyo mida exactamen-te 178,4029013 cm; tiene más sentido preguntarse sobre la probabilidad de que mida entre177,5 y 178,5 cm (aunque después digamos que mide 178 cm por redondear).

Entre las distribuciones continuas la más frecuente es la distribución normal.El aspecto de su gráfica, la curva normal, recuerda una campana, por lo que se suele

llamar coloquialmente campana de Gauss.En tiempos se pensó que todos los fenómenos aleatorios de carácter natural se adap-

taban a una normal. Aunque esto no es del todo cierto, hay tantos problemas realistas quese rigen por ella, que será la distribución de probabilidad que con más insistencia encontra-rá en sus futuros estudios. Y ello con independencia de la especialidad o rama científica queescoja.


X (mín) fr[60,70) 0,05[70, 80) 0,35[80, 90) 0,30[90, 100) 0,15[100, 110) 0,10[110, 120) 0,05

Tabla 1

Estos datos pueden presentarse gráficamente mediante el histograma de la siguientefigura:

Figura 2

En esta gráfica, el área de cada rectángulo indica las frecuencias relativas fr correspon-dientes a cada intervalo. Para averiguar la frecuencia de llegada entre el minuto 73 y el 92hay que hallar el área de la zona sombreada en la Figura 2.

Tomando los tiempos de llegada a intervalos de 5 minutos, se obtuvo esta otra distri-bución:

X (mín) fr X (mín) fr

[60, 65) 0,02 [90, 95) 0,08[65, 70) 0,03 [95, 100) 0,07[70, 75) 0,16 [100, 105) 0,06[75, 80) 0,19 [105, 110) 0,04[80, 85) 0,20 [110, 115) 0,03[85, 90) 0,10 [115, 120) 0,02

TOTAL 1

Tabla 2

cuyo histograma viene dado en la Figura 4.

0,40,35

0,3

0,25

0,20,150,1

0,05 0

60 73 92 120


Figura 4

El valor del área sombreada en esta figura nos da la frecuencia de llegadas entre losminutos 73 y 92.

Tomando los tiempos de minuto en minuto podríamos obtener un histograma conescalones más cortos, similar al de la Figura 5. Y si este proceso se hace idealmente continuo(lo que llevaría aparejado el aumento de corredores de manera que las frecuencias relativastiendan a la probabilidad), la función escalonada que limita los rectángulos se transformaen una función continua f(x) (Figura 6).

En los dos casos, el área sombreada nos da la frecuencia relativa (o la probabilidad)de las llegadas de corredores entre los minutos 73 y 92.

Figura 5 Figura 6

Concretando:

Tenemos definida una distribución de probabilidad continua cuando conocemosuna función f(x), que nos da la probabilidad de que una variable aleatoria tomevalores dentro de un intervalo a x b.

Esta probabilidad se mide por el área comprendida entre la gráfica de f(x) y eleje OX, desde x1 hasta x2. Denotaremos esa área por S[x1, x2]. En la Figura 6,x1 = 73 y x2 = 92.

0,40,35

0,3

0,250,20,150,1

0,05 0

60 73 92 120


A la función f(x) anterior, que nos permite hallar, por cálculo de áreas, las probabilida-des en las distribuciones continuas se le llama función de densidad (de probabilidad) de la variablealeatoria X.

Dada una variable aleatoria X, para que una función f(x) 0 sea función de densidadde X debe cumplir las siguientes condiciones:

(1) El área total comprendida entre la gráfica de f(x) y el eje OX es 1. En particular,si X puede tomar solamente valores desde a hasta b, entonces S [a, b] = 1Eso significa que la probabilidad de que X tome valores entre a y b es 1 (Figura 8),cosa obvia si X solo puede tomar valores en ese intervalo.

(2) La probabilidad de que la variable X esté en un intervalo cualquiera x1 X x2,viene dada por el área bajo la función f(x) entre x1 y x2. Es decir,

p(x1 X x2) = S [x1, x2]

Figura 8

Como consecuencia de que p(X = x1) = S [x1, x1] = 0, se deduce automáticamente deahí que también

p(x1 < X < x2) = p(x1 X x2) = S [x1, x2].

Nota: Si una función es no negativa, esto es f(x) 0, y el área total comprendida entresu grafica y el eje x es 1, entonces es admisible como función de densidad. Basta definir unavariable aleatoria X, asociada a ella, sin más que asignar a X en cada intervalo de la rectacomo probabilidad el valor del área correspondiente bajo la gráfica de f(x) en él.

2. Función de densidad

Por lo anterior, en una distribución de probabilidad continua solo cabe hablar de laprobabilidad de que la variable X pertenezca a un intervalo. Esto es, si X puedetomar los valores x1 y x2, podemos preguntarnos por las siguientes probabilidades:

p(X x1) p(X x1) p(x1 X x2) p(x1 < X < x2)

Sin embargo, siempre será p(X = x1) = p(X = x2) = 0.


EJEMPLOS

Efectuamos tres estudios estadísticos sobre los ingresos anuales de las familias espa-ñolas y obtenemos los siguientes histogramas de frecuencias relativas.

Estudio A: Estudio B: Estudio C: muestra de 100 familias muestra de 1.000 familias muestra de 10.000 familias

Observe que cada vez se han considerado muestras con un mayor número de fami-lias y los ingresos se han agrupado en intervalos cada vez menores.

Así, en el caso de que la muestra fuera infinitamentegrande y los intervalos infinitamente pequeños, el perfildel histograma se convertiría en el gráfica de la función fde la figura.

Nos preguntamos ahora cuál es la probabilidad deque una familia tenga unos ingresos de entre 1 y 2 mileuros.

Según la definición experimental de probabilidad, laprobabilidad de un suceso es el número al que tiendensus frecuencias relativas cuando aumenta el número derealizaciones del experimento.

Por tanto, para hallar la probabilidad anterior, ob-servamos el número hacia el que tiende la frecuencia re-lativa del intervalo [1, 2] conforme tomamos muestrascada vez mayores.

Este número se corresponde con el área bajo la grá-fica de la función f sombreada en la figura y que repre-sentaremos por:

S (f) = S [1, 2]

Nota: Como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor determinado es, engeneral, cero, la probabilidad de que X toma un valor en los intervalos (a, b) [a, b) (a, b] [a, b]es la misma: S (f) donde f es la función de densidad de X.

21

ba

miles de euros miles de euros miles de euros

miles de euros


ba

+a

a–

+–

si 0 x 4

0 si x < 0 o x > 4

x8

48

4 . 0,52

28

38

28

38

+( ). 1

2516

La función f recibe el nombre de función de densidad. En general:Se llama función de densidad de una variable aleatoria continua X a una función f que cumple

las siguientes condiciones:– Su gráfica está por encima del eje de abscisas.– El área total bajo su gráfica es 1.

La función de densidad f asigna a cada intervalo real [a, b] la probabilidad de que lavariable aleatoria X esté comprendida en este intervalo a partir del cálculo de S (f).

Nota: El área bajo la gráfica de f en un intervalo infinito la representaremos por:

S (f) S (f) S (f)

EJEMPLO 1

1. La función f(x) = es una función de densidad. En efecto:

(a) f(x) 0 para toda x, por definición.

Figura 9

(b) El área total comprendida entre la gráfica de f(x) y el eje OX es 1, pues es el

área de un triángulo de base 4 y altura f(4) = = 0,5 que vale

S[0, 4] = = 1

2. Si llamamos X a la variable aleatoria asociada a la función de densidad del Ejemplo 1,la probabilidad de que X esté en el intervalo 2 X 3 viene dada por el área de la zona

sombreada en la Figura 9. Es el área de un trapecio de bases f(2) = , f(3) = y altura3 – 2 = 1, que vale

p(2 X 3) = =


EJEMPLO 2

Considere la función: f(x) =

a) Compruebe que es una función de densidad.

b) Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad es f, calculeP (1,6 X 5,2).

a) Para comprobar que f es una función de densidad, debemos averiguar si cumplelas condiciones de la definición. En efecto:

– Está claro que su gráfica está por encima del eje deabscisas, puesto que f(x) solo toma los valores 1/3 y 0.

– Representamos la función de densidad y calculamosel área total bajo su gráfica, es decir, S (f).

De acuerdo con la figura, el área que buscamos es ladel rectángulo de base b = 4 – 1 = 3 y altura h = :

S (f) = S (f) = b . h = 3 . = 1

b) Para hallar la probabilidad que nos pide el enun-ciado hemos de calcular S (f).

Según la figura, tenemos que el área que buscamos esla del rectángulo de base b = 4 – 1,6 = 2,4 y altura h = :

P(1,6 X 5,2) = S (f) = S (f) =

= b . h = 2,4 . = 0,8

si x [1, 4]

0 si x [1, 4]

13{

+–

13

+–

41

13

5,21,6

13

5,21,6

41,6

13


3. Función de distribución

Dada una variable aleatoria X que toma valores en el intervalo a x b, se llamafunción de distribución (de probabilidades) de X a la función F(x) definida por

F(x) = p(X x)

Mide la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que uncierto valor x. En otras palabras, describe la probabilidad acumulada, hasta cada x, de lavarable aleatoria X. Su valor viene dado por

F(x) = S [a, x]

La figura 10 muestra las gráficas de una función de densidad y de la correspondientefunción de distribución.

Figura 10

Nota: Los valores que toma la función de densidad f(x) no tienen ningún significado espe-cial, pues las probabilidades vienen determinadas por áreas bajo la curva y no por valores de f(x).

Son precisamente los valores de F(x) los que nos dan esa área, esa probabilidad (desde ahasta x). Por tanto, en la práctica, F(x) es más útil que f(x).

Una función F(x) es admisible como función de distribución si verifica las siguientespropiedades:

(1) F(x) 0, para todo x.(2) F(x) = 0 si x a; F(x) = 1 si x b.(3) F(x) es monótona creciente. Esto es, si x1 < x2, entonces F(x1) F(x2).Además, si es la función de distribución de una cierta variable aleatoria X, cumple(4) F(x) = f(x), siendo f(x) la función de densidad de X.

Nota: Como consecuencia de la definición de F, se tiene que:P(x a) = F(a)P(a X b) = F(b) – F(a)P(a X) = 1 – F(a)

x–F(x) = P(X x) = A (f)


EJEMPLO 3

F(x) = es una función de distribución admisible.

En efecto:(1) F(x) 0, para todo x, ya que 0 siempre; en particular, si 0 x 4

(Figura 11).

Figura 11

(2) F(x) = 0 si x 0 y F(x) = 1 si 4, pues así se ha definido. Esto asegura que lavariable aleatoria X solo puede tomar valores entre 0 y 4.

(3) F(x) es monótona creciente, porque < siempre que0 x1 < x2 4.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Para la variable aleatoria que tiene como función de distribución la el Ejemplo 3, halle:

(a) p(X 2) (b) p(X 3) (c) p(2 X 3)

(d) p(X > 3) (e) p(X > 4) (f) p(3 X 4)

Solución:

(a) p(X 2) = F(2) = =

(b) p(X 3) = F(3) =

(c) La probabilidad p(2 X 3) podemos hallarla por diferencia, pues

p(2 X 3) = p(X 3) – p(X 2) = F(3) – F(2) = – =

(d) p(X > 3) = 1 – p(X 3) = 1 – F(3) = 1 – =

0 si x < 0

si 0 x 4

1 si x > 4

x2

16

x2

16

x

16

21 x

16

22

416

14

916

916

416

516

916

716


(e) p(X > 4) = 1 – p(X 4) = 1 – F(4) = 0; lógico, porque X solo puede tomar valo-res entre 0 y 4.

(f) p(3 X 4) = F(4) – F(3) = 1 – = (Figura 11)

2. Para la misma función de distribución del Ejemplo 3, halle:

(a) p(X 1) (b) p(1 < X 2) (c) p(X = 2,5) (d) p(X 2,5)

Solución:

(a) p(X 1) = F(1) = 1/16

(b) p(1 < X 2) = F(2) – F(1) = – =

(c) p(X = 2,5) = 0

(d) p(X 2,5) = 1 – p(X 2,5) = 1 – F(2,5) = 1 – = 0,61

916

716

416

116

316

6,2516

12Distribución normal

Así como entre las distribuciones discretas destacamos la distribución binomial, entrelas distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución normal.

Esta distribución permite describir probabilísticamente fenómenos estadísticos don-de los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos sonescasos.

Por ejemplo, la figura muestra un histograma de fre-cuencias relativas, obtenido al medir la estatura de 1000alumnas de 1º de Bachillerato.

Otros fenómenos con estas características son el co-ciente intelectual en una población, los errores cometidosen una serie de medidas, el peso de un grupo de personasque tienen la misma edad y el mismo sexo...


4. Función de densidad normal

Como cualquier distribución de probabilidad continua, la distribución normal se pue-de caracterizar a partir de su función de densidad.

Dados cualesquiera números reales y , > 0, diremos que:Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros y , lo que

simbolizamos por X ~ N (, ), si su función de densidad es:

f(x) = e x R

La esperanza y la desviación típica de la variable aleatoria X coinciden, respectiva-mente, con los parámetros y .

La gráfica de la función de densidad que caracteriza la distribución normal tieneforma de campana, cualesquiera que sean los parámetros, y se conoce con el nombre decampana de Gauss.

Las características de f son las siguientes:

– El dominio es D(f) = R.

– El recorrido es R(f) = 0, .

– Es simétrica respecto a la recta x = .

– Es estrictamente creciente en el intervalo (–, ).

– Es estrictamente decreciente en el intervalo (, +).

– Alcanza su valor máximo en , .

– El eje de abscisas es una asíntota horizontal por la derecha y por la izquierda.

La forma de la campana y la situación de esta respecto a los ejes dependen de losparámetros y .

Dos distribuciones normales con igual me-dia y distinta desviación típica están centra-das en el mismo punto del eje de abscisas,pero son más o menos planas según sea ma-yor o menor el valor de la desviación típica.

1 2

(x – )2

2 2

1 2 ( ]

( )1 2

– A1 = 2 ; 1 2


5. La distribución normal estándar

Hemos dicho que el área limitada por la curva y el eje OX desde – hasta k nos da elvalor de la probabilidad p(X k). La cuestión es ¿cómo calcular esa área?

Muchas áreas bajo curvas son fáciles de calcular usando fórmulas que proporciona elcálculo integral. Pero el área comprendida entre la campana de Gauss y un intervalo del ejeOX no se puede calcular mediante fórmulas simples. Es necesario recurrir al cálculo aproxi-mado, de manera que, en tiempos en que no existían los ordenadores, resultaba muy engo-rroso para los estadísticos estar calculando áreas bajo ese tipo de curvas cada dos por tres.

Para aliviar esa dificultad, hicieron cálculos muy precisos de esas áreas para una cam-pana de Gauss particular y cuando tenían necesidad de estudiar otra curva normal, trasla-daban su problema a ese caso especial, como veremos más adelante.

El caso especial elegido es el de la variable normal tipificada, esto es, la que tienedistribución normal N(0, 1) de media 0 y desviación típica 1, que se conoce como distribu-ción normal tipificada (o estándar).

Para esta variable normal tipificada, que designamos por la letra Z, se calcularon lasáreas bajo la curva normal desde – hasta Z = k. Los valores obtenidos viene dados en laTabla II.

1 2 ; 1 =

Dos distribuciones normales con igual des-viación típica y distinta media tienen igualforma, pero están centradas en distinto lu-gar del eje de abscisas.


13Tipificación de la variable

6. Manejo de tablas

Ejemplo

Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0, 1), halle a partir de la tabla de ladistribución normal tipificada el valor de:

a) P(Z 1,23) b) P(Z 1,25) c) P(Z –2,3) d) P(Z –0,84)

e) P(0,27 Z 1,74) f) P(–1,4 Z – 0,68) g) P(–0,95 Z 1,16) h) P(Z 5)

a) La probabilidad buscada, P(Z 1,23), aparece direc-tamente en la tabla. Para encontrarla basta con buscar la inter-sección de la fila correspondiente a 1,2 (unidad, décima) conla columna correspondiente a 0,03 (centésima).

P(Z 1,23) = 0,8907

Observe que el valor hallado se corresponde con el áreasombreada de la figura 1.

b) P(Z 1,25) no está directamente en la tabla. Sin em-bargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica hade ser 1, deducimos de la figura 2 que:

P(Z 1,25) = 1 – P(Z 1,25) = 1 – 0,8944 = 0,1056

c) Según la figura 3, por la simetría de la gráfica tenemosque:

P(Z –2,3) = P(Z 2,3) = 0,9893

d) P(Z –0,84) no está directamente en la tabla. Sinembargo, utilizando el mismo razonamiento de los apartadosb y c, y de acuerdo con la figura 4:

P(Z –0,84) = P(Z 0,84) = 1 – P(Z 0,84) == 1 – 0,7995 = 0,2005

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4


e) Según la figura 5:

P(0,27 Z 1,74) = P(Z 1,74) – P(Z 0,27) == 0,9591 – 0,6064 = 0,3527

f) De la figura 6 deducimos que:

P(–1,4 Z 0,68) = P(0,68 Z 1,4) == P(Z 1,4) – P(Z 0,68) = 0,9192 – 0,7517 = 0,1675

g) Finalmente, si observamos la figura 7:

P(–0,95 Z 1,16) = P(Z 1,16) – P(Z –0,95) == P(Z 1,16) – P(Z 0,95) =P(Z 1,16) – (1 – P (Z 0,95) == 0,8770 – 1 + 0,8289 = 0,7059

h) La probabilidad estaría indicada en la tabla. Sin em-bargo, vemos que el último valor que allí aparece es P(Z 3,99).

Esto significa que el área bajo la gráfica a partir de 4 esdespreciable, por lo que P(Z z) para z 4 es casi la unidad.Así:

P(Z 5) = 1

7. Tipificación de la variable

Hemos dicho que la distribución N(0, 1) se encuentra tabulada, lo cual permite uncálculo rápido de las probabilidades asociadas a esta distribución. Pero ¿cuántos fenóme-nos siguen exactamente una distribución N(0, 1)? Podríamos afirmar, sin miedo a equivo-carnos, que ninguno.

Por otra parte, es obvio que no se pueden construir tablas para todos los tipos posiblesde distribuciones N(, ), pues o toman infinitos valores.

Lo más aconsejable sería poder transformar la variable X que sigue una distribuciónN(, ), en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1). Esta transformación se conocecon el nombre de tipificación de la variable.

Para llevar a cabo esta transformación, es obvio que hay que realizar dos pasos:

1º. Centrar, es decir, trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas.Esto equivale a hacer = 0.

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7


2º. Reducir la desviación estándar a 1 ( = 1). Esto equivale a dilatar o contraer lagráfica de la distribución para que coincida con la ley estándar.

Podemos observar estos dos procesos en el siguiente esquema:

Estos dos pasos se consiguen simultáneamente solo con hacer el siguiente cambio devariable:

Z = X –

15Aproximación de la binomial por la normal

Realicemos los siguientes experimentos.

1. Lanzamiento de una moneda cinco veces.La variable aleatoria X que expresa el número de caras

sigue una distribución B 5, que tiene por media ydesviación típica los siguientes valores:

12( )


= 5 . = 2,5

= 5 . . = 1,12

La representación de la ley de probabilidad es la que muestra la figura 1.

2. Lanzamiento de una moneda diez veces.La variable aleatoria X que expresa el número de caras

obtenidas sigue una distribución B 10, que tiene

por media y desviación típica los siguientes valores:

= 10 . = 5

= 10 . . = 1,58

La representación de la ley de probabilidad es la quemuestra la figura 2.

3. Lanzamiento de una moneda veinte veces.La variable aleatoria X que expresa el número de caras

sigue una distribución B 20, que tiene por media

y desviación típica los siguientes valores:

= 20 . = 10

= 20 . . = 2,24

La representación de la ley de probabilidad es la quemuestra la figura 3.

Análogamente podríamos efectuar el lanzamiento de una moneda treinta veces, obte-niendo un polígono de probabilidad menos apuntado que los anteriores y más disperso.

Representemos ahora en el mismo diagrama los polígonos de probabilidad obtenidos.

( )12

12

12

12

12( )

12

12

12

12

12

12

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3


Es evidente que, a medida que crece el número de pruebas realizadas, el polígono deprobabilidad tiende a la curva de la distribución normal.

¿Cuáles serán los parámetros de esta distribución normal?Recordemos que las expresiones de la media y la desviación típica de la distribución

B n, son:

= n . p = n .

= npq = n .

Luego la distribución normal, en este caso, tiene los parámetros indicados a continua-ción:

N ,

De Moivre demostró que bajo determinadas condiciones la distribución binomialB(n, p) se puede aproximar mediante la distribución normal N(np, npq ).

X es B(n, p) X' es N (np, npq )

Z = es N(0, 1)

12( )

12

12

12

n2( )n

4

por aproximación de De Moivre

X – npnpq

por tipificación


¿Cuáles son las condiciones de aplicabilidad de la aproximación de De Moivre?

Basta con que se verifique np 5 y nq 5.

Obsérvese que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0,5, tantomejor será la aproximación realizada.

Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades binomiales, que para valoresgrande de n resultan muy complicadas de calcular.

Únicamente nos queda comentar un error generalizado que se suele cometer al hacerestas aproximaciones.

Recordemos: la distribución binomial es de variable aleatoria discreta y, por tanto, tienesentido calcular probabilidades puntuales; por ejemplo, p(X = 2). En cambio, la distribuciónnormal es de variable aleatoria continua y, por tanto, no tiene sentido calcular probabilida-des puntuales, pues son todas nulas.

¿Cómo proceder entonces para calcular la probabilidad en la distribución binomialcuando se aproxima por la normal? Basta considerar los valores de la variable aleatoria dis-creta como marcas de clase de intervalos del siguiente modo:

p(X = a) = p(a – 0,5 X a + 0,5)

p(X a) = p(X a + 0,5)

p(X < a) = p(X a – 0,5)

EjercicioDespués de realizar varios sondeos sobre cierta población, se ha conseguido averiguar

que únicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegidaal azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea saber:

a) La probabilidad de que haya más de cinco personas favorables a dichos tratamientos.

b) La probabilidad de que a lo sumo haya seis personas favorables.

Se trata de una distribución binomial:

A = "ser favorable" p = p(A) = 0,15

A = "ser desfavorable" q = p(A) = 0,85


Sea X la variable aleatoria que expresa el número de personas de la muestra favora-ble a los tratamientos de psicoterapia. Se verifica entonces que X sigue una distribu-ción B(50, 0,15).

Se cumple que: n . p 5 y n . q 5

pues 50 . 0,15 5 y 50 . 0,85 5

Mediante el método de De Moivre aproximamos la variable X y construimos la variableX' que sigue una

N(50 . 0,15, 50 . 0,15 . 0,85) = N(7,5 ; 2,52)

a) p(X > 5) = p(X' > 5,5) = p Z > = p(Z > – 0,79) =

= p(Z 0,79) = 0,7852

b) p(X 6) = p(X' 6,5) = p Z = p(Z – 0,4)

= 1 – p(Z 0,4) = 1 – 0,6554 = 0,3446

( )6,5 – 7,52,52

8. Ajuste de una distribución empírica mediante una distribución normal

Se ha estudiado la distribución de una variable antropométrica, que representaremospor X, de 50 hombres normales comprendidos entre los 20 y 30 años, obteniéndose losresultados que muestra la tabla siguiente:

Variable X (en cm) Número de hombres

[99,5 - 109,5) 5 [109,5 - 119,5) 10 [119,5 - 129,5) 12 [129,5 - 139,5) 11 [139,5 - 149,5) 8 [149,5 - 159,5) 4

1) Hallar la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga su medidaantropométrica X menor o igual a 100 cm.

( )5,5 – 7,52,52


2) Hallar la probabilidad de que mida más de 150 cm.

a) Veamos si se puede ajustar mediante una distribución normal.1º. Se representa el histograma y el polígono de frecuencias relativas de la distribu-

ción empírica dada. Si adopta una forma que nos recuerda a la curva de probabi-lidad de la distribución normal, haremos uso de este modelo teórico. En casocontrario no tiene sentido el ajuste mediante la distribución normal.

b) Procedemos al ajuste, para lo cual:

1º. Calculamos la media aritmética x y la desviación típica s de la distribución empíri-ca. En este caso, obtenemos estos resultados:

x = 128,3 y s = 14,3

2º. Ajustamos la distribución empírica mediante una distribución normal que tengapor parámetros x y s, es decir, N(x, s), ya que está demostrado que la distribuciónteórica que mejor se aproxima a una empírica es aquella que tiene la misma me-dia y la misma desviación típica.Por tanto, la aproximación correcta es mediante la distribución N(128,3, 14,3).

c) Mediante el modelo teórico ajustado, calculamos las probabilidades pedidas.

1) p(X 100) = p Z = p(Z –1,93)

= 1 – p(Z 1,93) = 1 – 0,976 = 0,024

2) p(X > 150) = 1 – p(X 150)

= 1 – p Z = 1 – 0,9357 = 0,0643

( )100 – 128,314,3

( )150 – 128,314,3

Medidas en cm


TABLA I. Probabilidades binomiales P(X = r)

n r 0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 1/3 0,35 0,40 0,45 0,49 0,50


TABLA II: DE LA VARIABLE N(0,1)

F(x) = P(X x)

estadística y o - radio eccaonline.radioecca.org/banco/material/595/notas.pdf · 2020. 11. 26. ·...

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