Estadística 1 Grados de Ingeniería Mecánica e

Ingeniería Química

Problemas de los temas 10 y 11

Problema 1 Una población de fuentes de alimentación para ordenadores tiene un voltaje

de salida (output) que sigue una distribución normal de media 5 voltios y desviación típica

01 voltios. Se extrae una muestra aleatoria simple de 8 alimentadores.

a) Obtener la distribución muestral de .

b) Hallar la probabilidad de que el valor de se desvíe en más de 005 voltios de la media

poblacional conocida.

c) Hallar el tamaño muestral necesario para que se desvíe en menos de 001 voltios con

probabilidad 095.

Problema 2 Se han comprado 25 resistencias del Modelo 1 y 30 del Modelo 2. Supong-

amos que 11 125 representan los valores dados por las resistencias del Modelo 1

que se suponen independientes y normalmente distribuidas con media 100Ω y desviación

típica 15Ω y 21 230 los de las resistencias del Modelo 2 también independientes y

normalmente distribuidas con media 105Ω y desviación típica 2Ω.

a) Obtener la distribución muestral de 1 −2.

b) Hallar la probabilidad de que le diferencia entre las medias muestrales esté entre ±4Ω.c) Hallar el tamaño muestral necesario para ambas muestras para que la probabilidad de

que 2 −1 45Ω sea al menos 090.

d) Si las poblaciones no fueran normales, ¿qué podría decirse sobre la distribución de

1 −2?

Problema 3 Un fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 100 chips

y los pueba, clasifcándolos como defectuosos o no defectuosos. Denotemos = 0 cuando

el chip iésimo no es defectuoso y = 1 en el otro caso y la proporción de defectuosos

en el proceso de fabricación.

a) Obtener la distribución muestral de la fracción de = (1 + 2 + + 100)100

defectuosos en la muestra.

b) Si la proporción de defectos en la población es de 006, obtener la probabilidad de que

la proporción muestral se desvíe de esa cantidad en más de 001.

a) En la misma situación, obtener el tamaño de muestra necesario para que la estimación

se desvíe en menos de 001 con una probabilidad de al menos 095.

Problema 4 Se sabe que la duración en horas de una bombilla eléctrica de 75 sigue

una distribución normal, con desviación típica = 25. Se prueba una muestra aleatoria

de 20 bombillas y se obtiene una duración media de 1014.

a) Elaborar un intervalo bilateral de confianza del 95% con respecto a la vida media.

b) Elaborar un intervalo inferior de confianza al 99% con respecto a la vida media.

c) Si se desea obtener una confianza del 95% de que el error al estimar la duración media

sea menor de 5 horas. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral?

Problema 5 Para comparar el porcentaje de desperdicio de dos métodos de despiece

de tableros de aglomerado, se tomaron dos muestras aleatorias de 10 tableros para ser

cortados con cada uno de los métodos. Se supone que las variables siguen distribuciones

normales y que las muestras son independientes. Las medias y desviaciones típicas fueron:

1 = 200 1 = 15 2 = 215 2 = 13

a) Valorar estadísticamente la hipótesis de igualdad de varianzas mediante un I.C. al 90%.

b) Obtener un intervalo bilateral de confianza del 95% de 1 − 2.

c) Obtener una cota superior de confianza del 95% de 1 − 2.

d) Obtener una cota inferior de confianza del 95% de 1 − 2.

e) Si se desea obtener una confianza del 95% de que el error a la hora de estimar la

diferencia de desperdicios medios entre los dos métodos sea menor que 075, ¿cuál debe

ser el número de tableros que deben cortarse con cada método?

f) Si se desea que con la misma confianza del apartado anterior el error a la hora de

estimar la diferencia de desperdicios medios entre los dos métodos sea menor que 04,

¿cuál debe ser el número de tableros que deben cortarse con cada método?

Problema 6 Se están investigando los diámetros de las barras de acero fabricadas por

dos diferentes máquinas de extrudado. Se seleccionan dos muestras aleatorias de tamaños

1 = 12 y 2 = 18, con medias y varianzas muestrales:

1 = 875 21 = 029 2 = 863 22 = 034

Obtener lo siguiente:

a) Un intervalo bilateral de confianza del 90% de 2122.

b) Un intervalo bilateral de confianza del 95% de 2122 y comparar con a).

c) Cotas superior e inferior de confianza del 90% de 2122.

d) Un intervalo de comparación de medias con confianza del 95%. Interpretar el resultado.

e) Si se desea obtener una confianza del 95% de que el error a la hora de estimar la

diferencia de diámetros medios entre las dos máquinas sea menor que 03, ¿cuántas barras

procedentes de cada máquina deben medirse?

Problema 7 Se fabrican bolas de rodamientos de acero para bujes de bicicletas en dos

líneas de producción, L1 y L2. El diámetro de las bolas es una variable crítica para valorar

la calidad de la producción y se sabe que sigue una distribución normal en cada una de

las líneas. Los ingenieros de calidad sospechan que podrían haberse producido algunos

desajustes en el proceso y quieren verificar que ambas líneas funcionan bajo los mismos

parámetros. Se toman dos muestras independientes, una de cada línea, y se miden los

diámetros en mm con el siguiente resultado:

1 = 16 1 = 50001 = 0006;2 = 21 2 = 50052 = 0012

a) Comparar las varianzas de ambas poblaciones mediante un intervalo de confianza al

95% e interpretar el resultado. Sin hacer los cálculos, anticipar cuál sería la conclusión

del estudio si se hubiera realizado al 90% de confianza.

b) Comparar las medias de ambas poblaciones mediante un intervalo de confianza al 95%

e interpretar el resultado.

c) Si se quiere reducir el error máximo de la estimación conseguido en el apartado b) a tan

solo 0002, obtener los tamaños de muestra (iguales) mínimos que serían necesarios.

Problema 8 El porcentaje de individuos defectuosos en una población de tornillos es

. Se desea estimar a partir del porcentaje observado sobre una muestra de tamaño .

Calcular el tamaño de la muestra a fin de que el error cometido sea inferior al 1% con

confianza de 09 en los casos siguientes:

a) Se sabe que 016

b) No se sabe nada sobre .

c) Se tiene una muestra piloto de tamaño 100 con una proporción muestral de defectuosos

0 = 007.

Problema 9 Se están empleando dos tipos diferentes de máquinas de moldeo por in-

yección para formar botellas plásticas. Se seleccionan dos muestras aleatorias, cada una

de tamaño 500, se encuentran 21 botellas defectuosas en la muestra proveniente de la

máquina 1, y 32 defectuosas en la que proviene de la máquina 2.

a) ¿Es razonable llegar a la conclusión con una confianza del 95% de que ambas máquinas

producen la misma fracción de botellas defectuosas?

b) Obtener el tamaño muestral necesario en cada muestra para que el error máximo

cometido por el I.C. para comparar las proporciones sea menor que 001 con una confianza

del 95%.

c) Obtener cotas de confianza superiores al 99% de confianza para las proporciones de

defectos de ambas máquinas.

Problema 10 El número de averías diarias que se producen en una cadena industrial

sigue una ley de Poisson. Los datos tomados de los últimos 200 días arrojan estos resul-

tados: = 137 y = 121.

a) Obtener un intervalo de confianza al 95% para la media de averías diarias.

b) Obtener el número de días que sería necesario observar el proceso para que el error

máximo de la estimación sea de 0.1 averías con una confianza del 90%.

Soluciones

1. a) Ã (5 01√8) b) 01586 c) 385

2. a) 1 − 2 Ã (−5 0 4726) b) 0017 c) 42 d) La distribución es aproximadamentenormal para muestras grandes

3. a) Por el TCL, se tiene aproximadamente Ã

µ

q(1−)

¶b) 05286 c) 2215. (Nota:

Se ha usado la corrección por continuidad)

4. a) 1014± 1096 b) 1014− 2326 25√20= 1014− 13003 c) 97

5. a) (042 423) b) −15± 1318 c) −15 + 109 d) −15− 109e) Utilizando tanteo, el valor de de los apartados anteriores y las tablas de la distribución

se tiene que 1 = 2 = 31

f) Utilizando la fórmula para 1 y 2 grandes se tiene que 1 = 2 = 95.

6. a) (0353 2295) b) (0296) 2796) c) (0 1785) y (0429∞) d) 012± 0431e)Utilizando tanteo, el valor de de los apartados anteriores y las tablas de la distribución

se tiene que 1 = 2 = 31.

7. a) IC: (0097 0690). El intervalo no contiene el valor 1 y las varianzas pueden considerarse

distintas con la confianza utilizada. Al 90% de confianza el intervalo estaría contenido en

el anterior y la conclusión sería la misma.

b) IC: (−001116 000116). El intervalo contiene el valor 0 y las medias pueden consider-arse iguales con la confianza utilizada. Los grados de libertad obtenidos para el estadístico

son = 3206. Como en las tablas de la asignatura se pasa de = 30 a = 40, se ha usado

300025 = 2042 para garantizar la confianza. El valor exacto dado por STATGRAPHICS

para el obtenido es 2037, que llevaría a las mismas conclusiones.

c) 1 = 2 ≥ 173.8. Usando 0025 = 1645 se tiene a) 3637 b) 6766 c) 1762

9. a) Sí, dado que el intervalo de confianza para 1 − 2 es [−00497 00057] contiene al 0.b) 1 = 2 = 3842 (1 = 2 = 19208 si no utilizamos información sobre y acotamos

(1− ) por 025).

c) 00629 y 00895.

10. a) (1202 1538) b) Usando 0025 = 1645 se tiene = 397.

Estadística 1 Grados impartidos en Paseo del Cauce

Problemas del tema 12

Problema 1 El número de llamadas telefónicas por segundo que se producen en una

centralita sigue una ley de Poisson. En un estudio se determinó que la media era 02llamadas por segundo, pero en la actualidad se sospecha que dicha media es sensiblemente

superior, hasta el punto de saturar en ocasiones la capacidad de la centralita. Para

comprobar estadísticamente este hecho se quiere hacer un estudio basado en una muestra

de tamaño = 13 obteniéndose: 0 0 1 1 0 2 0 0 0 1 0 1 1 llamadas en trece intervalosde un segundo elegidos al azar e independientemente. Se pide:

a) Elaborar una regla de decisión basada en el número total de llamadas recibidas en esos

13 segundos para contrastar las hipótesis:

0 : = 021 : 02

a nivel = 005 y contrastar dicha hipótesis con la muestra obtenida.b) Obtener la potencia de la regla elaborada en a) para detectar la alternativa = 05.

Problema 2 Un jugador piensa que un dado está sesgado a favor del 6. Para contrastarsu creencia lanza el dado 5 veces.a) Establecer las hipótesis nula y alternativa.

b) Sea el número de veces que aparece el 6. Considerar la región crítica = ≥ 2.Calcular el nivel y la potencia en = 15.

Problema 3 Una máquina produce varillas de acero cuya longitud tiene distribución

normal. Se quiere estudiar la longitud media de las varillas sabiendo que la desviación

típica es = 02.a) Contrastar 0 : = 10 contra 1 : 10 a nivel = 005 en base a una muestra detamaño 10 con las siguientes medidas

982 973 985 991 986 972 987 992 963 979.

b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra a partir del cual ≤ 01 si la verdadera media de lapoblación es de 98?c) Repetir el apartado b) con el contraste 0 : = 10 contra 1 : 6= 10.

Problema 4 Dada la m.a.s. 139 151 1202 1325 1601 1503 1405 146 1222 de unapoblación con distribución normal de media y desviación típica conocida = 162. Con-trastar las siguientes hipótesis a nivel = 005:

a) 0 : = 131 : 6= 13

b) 0 : = 151 : 6= 15

Observar que en ambos casos no es posible rechazar la hipótesis nula.

Problema 5 Se toma una muestra de tamaño 16 de una población ( 2) para con-trastar 0 : = 52 contra 1 : 52. Sea 2 = 016 conocido y = 54. Obtener elnivel más pequeño al que es posible rechazar la hipótesis nula.

Soluciones

1) a) Rechazar si el “número total de llamadas” es estrictamente mayor que 5. Con estos

datos se rechazaría la hipótesis nula. b) 0631.2) a) 0 : = 16 y 1 : 16. b) “Nivel" = 01962 y “Potencia"=026272.3) a) Región de rechazo = 9895 y se rechaza 0 puesto que = 981. b) ≥ 9c) ≥ 11.4) Las regiones de rechazo son 1 = | − 13| 10584 y 2 = | − 15| 10584.Con = 1402 no se rechaza ninguna de las dos hipótesis nulas.5) 00228.

Estadística 1o Grados de Ingeniería Mecánica eIngeniería de Organización Industrial

Problemas del tema 13

Problema 1 En un estudio realizado en Inglaterra se midió el consumo semanal de gasnatural en 3 para una muestra aleatoria de 26 semanas antes de instalar un sistema deaislamiento térmico en las paredes de una determinada casa (“Antes”). Después de la insta-

lación del aislamiento, se consideró otra muestra aleatoria de 26 semanas (“Después”) y semidieron los consumos de gas semanales en esa misma casa. Los resultados del estudio se

resumen en las siguientes tablas:

1 2 4 26 Media Desv. Típic.

Antes 7.2 6.9 6.4 2.6 1 = 475 1 = 116Después 4.8 4.6 3.9 4.7 2 = 347 2 = 087

Diferencias -2.4 -2.3 -2.5 2.1 = −128 = 062

(en las tablas anteriores las desviaciones típicas que aparecen están corregidas y podemos

suponer que la hipótesis de normalidad es razonable donde la necesitemos).

a) A partir de la muestra del estudio, obtén una cota inferior de garantía 95% para el

consumo medio de gas en esa casa antes de instalar el aislamiento.

b) Usando la información que necesites de las tablas anteriores, ¿Podemos suponer que

el consumo medio semanal de gas se reduce significativamente con el aislamiento? Da

una acotación razonable para el -valor del contraste planteado.

c) ¿Con qué probabilidad detectaríamos una reducción en el consumo semanal medio de

gas en 13 ó más mediante el contraste del apartado b) trabajando a nivel = 005?

d) ¿Permiten los datos afirmar a nivel = 005 qué el aislante sirve para reducir signi-ficativamente el consumo semanal medio en más de 13?

e) Supongamos, ahora, que la desviación típica para el consumo de gas antes de la insta-

lación del aislamiento es conocida e igual a = 113. Para analizar si el consumo

medio puede suponerse igual a 53 (0 : = 5) realizamos un test consistente enrechazar 0 si la media muestral no está dentro del intervalo [45 525]. Determinala probabilidad de error tipo I y la probabilidad de error II en la alternativa = 553

para esta regla de decisión basada en muestras de = 26 observaciones.

Problema 2 En un estudio realizado en Valladolid sobre el mercado inmobiliario provincialse recogió una muestra aleatoria de 500 operaciones de compraventa realizadas cada uno delos años 2005 y 2006 y se anotaron variables como: VALOR (miles de euros), SUPERFICIE(m2), ZONA, ANTIGÜEDAD, PRECIO (2), etc.

a) La muestra incluye 31 operaciones en el barrio B1 realizadas en 2006, obteniéndosepara la variable PRECIO el siguiente resumen: = 2533 4, = 500 2. Suponiendonormalidad, obtener una cota inferior de confianza para al 95%.

1

b) En relación con el mercado de viviendas unifamiliares en la ZONA del Alfoz de la

capital, en el estudio aparecen 26 operaciones realizadas en el primer trimestre de 2005y otras 26 en el mismo trimestre de 2006. Los resultados del estudio para la variableVALOR en unidades logarítmicas se resumen en la siguiente tabla:

1 2 4 26 Media Desv. Típic.

2005 5.65 5.66 5.83 5.49 1 = 566 1 = 0322006 5.90 5.99 5.69 5.71 2 = 584 2 = 028

Diferencias 0.25 0.33 -0.14 0.22 = 018 = 037

Estudiar si se ha producido un aumento significativo de la media de los valores en

unidades logarítmicas para = 005 y acota el -valor (suponer normalidad).

c) ¿Permiten los datos afirmar a nivel = 005 que se ha producido un aumento de lamedia de los valores en unidades logarítmicas de 005 ó más?

d) ¿Con qué probabilidad detectaríamos un aumento de la media de los valores en unidades

logarítmicas de 025 ó más mediante el contraste del apartado b)?

Problema 3 Se instala un dispositivo de filtrado en una unidad química. Antes de suinstalación, una muestra aleatoria de tamaño 12() proporcionó información acerca delporcentaje de impurezas. Después de la instalación del dispositivo se tomó otra mues-

tra ( ) también de tamaño 12. Los resultados de ambas muestras fueron los siguientes:X Y Dif.

---------------------18,25 7,94 10,319,41 15,74 -6,3328,92 11,54 17,3818,47 11,77 6,733,98 14,56 19,4221,22 13,22 812,32 -1,68 1416,28 8,21 8,0729,18 13,22 15,9632,55 8,16 24,3916,39 10,48 5,91-0,15 11,89 -12,04---------------------

X Y Dif.----------------------------------------------------------------------Count 12 12 12Average 19,735 10,4208 9,31417Variance 102,441 20,8105 107,638----------------------------------------------------------------------

Suponiendo normalidad y que las varianzas de las dos poblaciones pueden suponerse idénti-

cas:

a) ¿Puede afirmarse que el filtro es efectivo reduciendo el porcentaje de impurezas?

Plantea el contraste adecuado y da las conclusiones de dicho contraste a nivel 001.

b) ¿Las observaciones que se tomaron en las muestras e eran suficientes para poder

detectar al menos el 90% de las veces una reducción en el porcentaje de impurezas

superior al 5% en el contraste realizado en a)? ¿Cuántas observaciones serían necesariaspara garantizar esa potencia?

c) ¿Están los datos de acuerdo en que se ha reducido el porcentaje de impurezas al colocar

el filtro en al menos un 5%? Da una acotación del -valor para el contraste planteado.

El investigador tiene serias dudas respecto al hecho de que las varianzas puedan suponerse

iguales:

2

d) Realiza un test para ver si las varianzas pueden suponerse idénticas a nivel = 005.

e) ¿Podemos afirmar que se ha producido una reducción en las variabilidad de los por-

centajes de impurezas al instalar el filtro trabajando a nivel = 001? Proporciona unacota inferior al 95% para el número de veces que es mayor dicha variabilidad cuando

no se usa el filtro respecto a cuando sí se usa.

f) A la vista del resultado del apartado d), ¿se puede plantear algún contraste alternativo

aproximado para ver si el filtro es efectivo? Da las conclusiones de dicho contraste.

Problema 4 Se miden los diámetros en de 20 tuercas con un calibre analógico y tambiéncon un calibre digital. Los resultados de las mediciones realizadas son:

Analog Digit Dif--------------------

1 22.55 22.47 -0.082 23.13 22.70 -0.433 23.31 22.55 -0.764 22.77 22.18 -0.585 22.06 22.39 0.33

...18 22.34 22.13 -0.2119 22.02 22.26 0.2420 22.70 22.43 -0.27

--------------------

Analog. Digit Dif-------------------------------------------------------------Count 20 20 20Average 22.545 22.311 -0.234Standard deviation 0.398 0.167 0.326-------------------------------------------------------------

a) ¿Podemos afirmar que el calibre analógico proporciona mediciones de diámetro mayores

en promedio que el calibre digital? Plantea el contraste adecuado y da las conclusiones

de dicho contraste a nivel 001.

b) ¿Podemos afirmar que esa diferencia entre diámetros medios al medir con los dos

tipos de calibres sea superior a 01trabajando a nivel 001? Obtén una acotaciónrazonable del -valor.

c) ¿El tamaño muestral considerado en este estudio fue suficiente para detectar una dife-

rencia en medias de 02 con una garantía del 90% en el contraste realizado en el

apartado a)? ¿Qué tamaño muestral necesitamos?

d) Obtén intervalos de confianza de garantía 95% para las desviaciones típicas pobla-

cionales de las mediciones obtenidas con el calibre analógico y con el digital. ¿Po-

dríamos decidir a partir de estos intervalos de confianza qué tipo de calibre es mejor?

¿Una posible diferencia entre desviaciones típicas poblacionales podría afectar a la

validez de los procedimientos estadísticos aplicados en los apartados a), b) y c)?

e) Contamos con dos fábricas A y B dedicadas a producir este tipo de tuerca. Se considera

que una tuerca es defectuosa si su diámetro no está entre 22 y 23 . El fabricante Anos asegura que a lo sumo sólo un 2% de las tuercas que comercializa son defectuosas.Usando un calibre digital fiable vemos que en un lote de 5000 tuercas de dicho fabricantehay 113 defectuosas. A partir de esta muestra, ¿podemos garantizar que la afirmacióndel fabricante no es cierta a nivel = 001?

3

f) En un lote de 4000 tuercas (también aleatoriamente seleccionadas) del fabricante B en-contramos 79 tuercas defectuosas. ¿Existen diferencias estadísticamente significativasen la proporción de tuercas defectuosas a favor de algún fabricante? Da una acotación

razonable para el -valor del contraste realizado.

Problema 5 Una Asociación de Consumidores realiza un estudio comparativo de los pre-cios de los artículos de alimentación en “Grandes Superficies" (GS) y en “Comercios Tradi-

cionales" (CT) con el objetivo de aportar evidencia estadística para probar la sospecha de

que los precios en CT son superiores. El estudio diseñado consistió en tomar una muestra

aleatoria de 25 artículos que se venden en establecimientos de los dos tipos y anotar losprecios de venta en euros de dichos artículos en ambos tipos de establecimientos. Se supone

válida la hipótesis de normalidad donde se necesite.

Tipo Art. 1 Art. 2 ... Art. 25 GS 3.25 14.79 ... 0.59 10.21 3.12

CT 3.49 13.56 ... 0.90 10.76 3.51

Diferencia -0.24 1.23 ... -0.31 -0.55 1.50

a) Plantear y contrastar las hipótesis apropiadas para = 005. Dar una acotación

razonable del -valor.

b) Estudiar si es suficiente el número de artículos estudiados para que el test realizado en

el apartado a) pueda detectar una diferencia de 06 con una probabilidad de 090.

c) Si la sospecha hubiera sido que los precios en CT son al menos 025 superiores enpromedio, plantear y contrastar de nuevo las hipótesis apropiadas para = 005. Daruna acotación razonable del -valor.

Como el precio de cada uno los artículos varía de unos establecimientos comerciales a otros,

se consideró para cada artículo el precio promedio observado en 10 establecimientos de cadatipo elegidos aleatoriamente.

d) De los 10 precios observados en CT para el Artículo 17, la media fue de 724, conuna desviación típica (corregida) de 042, mientras que en GS la media fue de 698con una desviación típica (corregida) de 035. Se puede afirmar estadísticamente queel precio medio de dicho artículo es superior en CT. Dar una acotación razonable del

-valor.

e) Construir cotas superiores de confianza al 99% para el precio medio del Artículo 17 enambos tipos de establecimientos.

f) Estudiar si es suficiente el número de establecimientos seleccionados de cada tipo si se

quiere que las estimaciones de los precios promedio del Artículo 17 en GS y CT tengan

un error máximo de 001 Euros con una garantía del 99%. ¿Cuántos establecimientosnecesitaríamos de cada tipo?

4

Problema 6 Un proceso de purificación para un producto químico implica pasar la soluciónquímica a través de una resina que absorbe sus impurezas. Un ingeniero decide testar la

eficiencia de dos resinas A y B. Con este fin, se toma una muestra de la solución química,

que se divide en 40 submuestras. Finalmente, tras filtrar cada una de esas submuestrasusando alguno de los dos tipos de resina, se mide la concentración de impurezas en % . Los

resultados obtenidos se resumen en la siguiente tabla:

A B Dif---- ---- ----

1 0.77 1.01 0.24 Media de A = 0.4962 0.72 0.94 0.22 Desviación típica (corregida) de A = 0.2343 0.69 0.55 -0.14 Media de B = 0.7444 0.01 0.47 0.48 Desviación típica (corregida) de B = 0.2535 0.39 0.92 0.53 Media de "Dif" = 0.248

... ... ... Desviación típica (corregida) de "Dif" = 0.28019 0.69 0.67 -0.0220 0.24 0.86 0.62

Suponiendo normalidad cuando sea necesario:

a) ¿Puede afirmarse a nivel = 001 que la resina A es mejor que la resina B para reducirlos niveles de impurezas medios en ese producto químico?

b) Se desea poder detectar con el test anterior una reducción en los niveles medios de

impurezas de 02% a favor de la resina A con una seguridad del 90%. ¿Fue el númerototal de submuestras analizado suficiente? ¿Cuantas submuestras serían necesarias?

c) ¿Podemos afirmar que se produce una reducción de al menos el 02% a favor de la

resina A respecto a la resina B? Proporciona una acotación adecuada para el -valordel test asociado.

Se vuelven a tomar otras 200 submuestras de la solución química y se mide la concentraciónde impurezas tras ser filtradas usando la resina A. Se repite el mismo procedimiento con otras

200 submuestras y, ahora, usando una nueva resina C. Se obtienen los siguientes resultados:

[0 05]% (05 08]% [08 10]%Resina A 111 76 13Resina C 67 94 39

d) El producto químico filtrado es etiquetado como “impuro" si el porcentaje de impurezas

es superior al 05%. A la vista de la tabla anterior, ¿se puede afirmar que el porcentajede submuestras impuras que se obtendrían a partir de esta solución química es al menos

un 5% mayor usando la resina C que usando la resina A?

Problema 7 Un experimento en una empresa automovilística trata de analizar si las innova-ciones que se proponen realizar en un modelo concreto de vehículo realmente producen una

mejora constatable por el usuario. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 30 posiblesusuarios y cada uno de ellos prueba dos vehículos, del mismo modelo, uno sin las innovaciones

5

(vehículo A) y otro con las innovaciones (vehículo B). Así, cada usuario asigna puntuaciones

que permiten generar un índice de satisfacción para cada vehículo, A y B, cuyo valor varía

de 0 (nada satisfecho) a 10 (muy satisfecho) puntos. Se obtienen los siguientes resultadossiendo =“Índice satisfacción con vehículo A” e =“Índice satisfacción con vehículo B”:

Usuario = −

1 5 8 3

2 4 7 3

... ... ... ...

29 6 7 1

30 4 5 1

Media 4.9 6.8 1.9

Desv. típica (corr.) 1.6 1.5 2.3

a) Obtén una cota superior de garantía del 95% para el índice de satisfacción media del

vehículo con innovaciones. Plantea hipótesis0 y1 tales que esta cota permita definir

una región de rechazo de tal forma que el contraste asociado tenga nivel = 005.

b) ¿Se puede suponer que el índice de satisfacción medio aumenta significativamente in-

troduciendo las innovaciones en el vehículo? Plantea el contraste adecuado y da sus

conclusiones a nivel = 001.

c) Determina si fue suficiente el número de usuarios utilizado para que el test del apartado

b) pueda detectar una diferencia de 09 puntos con una probabilidad del 90%. En el casode que el número no sea suficiente, ¿cuántos usuarios en la muestra serían necesarios?

d) ¿Permiten los datos afirmar que introducir innovaciones en el vehículo aumenta signi-

ficativamente el índice de satisfacción medio en más de 15 puntos? Da una acotaciónrazonable para el -valor del contraste asociado.

e) Supongamos, ahora, que la desviación típica para el índice de satisfacción con el ve-

hículo B se conoce y es igual a 19 Para analizar si la satisfacción media con el vehículoB se puede suponer igual a 7 puntos se realiza un test consistente en rechazar dichahipótesis si la media muestral no está dentro del intervalo [6 75]. Determina laprobabilidad de error tipo I y la probabilidad de error tipo II en el caso de que la

media verdadera sea 75 para esta regla de decisión basada en 30 observaciones.

6

Soluciones a los problemas del tema 13

Problema 1 Lo primero que conviene señalar a la luz del planteamiento que se hace en elenunciado del problema, es que estamos ante un estudio estadístico de comparación de dos

poblaciones normales a partir de dos muestras independientes. Nótese que en el enunciado

del problema no se da ninguna información que permita pensar que la observación primera de

la muestra “Antes” esté relacionada con la observación primera de la muestra “Después” en

mayor medida que con cualquier otra observación de las de dicha muestra (son días distintos,

con temperaturas distintas, etc.).

Utilizaremos la notación 1 Ã (1 1) para el consumo “Antes” y 2 Ã (2 2)para el consumo “Después”.

a) Tenemos que obtener un IC al 95% para 1 con 1 desconocida:

≥ 1 − −1 · 1√ = 475− 1708 · 116

√26 = 436

b) Tenemos un problema de comparación de medias a partir de dos muestras indepen-

dientes. Primero, probaremos que podemos suponer que las varianzas de las dos muestras

son iguales. Usando la distribución , obtenemos que [0 794 398] es un IC para 2122 de

garantía 95%. El IC contiene al 1 y podemos suponer 21 = 22. Nótese que esta manera deproceder es equivalente a la realización de una prueba de hipótesis bilateral de comparación

de varianzas.

De este modo, realizamos el test de comparación de medias con varianzas iguales y

desconocidas: ½0 : 1 − 2 ≤ 01 : 1 − 2 0

El estadístico de contraste es:

=1 − 2

q

11+ 1

2

=475− 347

1025q

126+ 1

26

= 45

( = 1025 es la desviación típica “combinada” o “pooled”). Vemos que el -valor delcontraste es menor que 00005 y se rechaza 0. De este modo, queda estadísticamente

probado que la instalación de aislante reduce significativamente el consumo semanal de gas.

c) Usaremos las cartas de curvas OC para la unilateral (Carta VIg) con = 1(2 ·10253) = 04876. Para = 1 = 2 = 26, entramos en la carta con ∗ = 2 − 1 ' 50.Vemos que 005 ≤ ≤ 01 y 090 ≤ ≤ 095.d) Ahora, se nos pide realizar el test:½

0 : 1 − 2 ≤ 11 : 1 − 2 1

Usamos el estadístico:

=1 − 2 − 1q

11+ 1

2

=475− 347− 11025

q126+ 1

26

= 09846

7

Como 1+2−2005 = 1676, no se rechaza 0 (0 2 -valor 0 5) y no se puede afirmarque el aislante reduzca en más de 13 el consumo de gas semanal.

e) Se nos pide evaluar las probabilidades de error y si realizamos el contraste dehipótesis ½

0 : 1 = 51 : 1 6= 5

utilizando como región de aceptación 1 ∈ [45 525]

= (“Error I”) = (Rechazar 00 es cierta)

=

µ

µ511√26

¶∈ [45 525]

¶= 01335

y, análogamente,

( = 55) = (“Error II”( = 55)) = (No rechazar 00 es falsa con = 55)

=

µ

µ55

11√26

¶∈ [45 525]

¶= 01233

Problema 2 a) Para obtener una cota inferior de confianza para al 95% bajo hipótesis denormalidad, aplicamos la fórmula correspondiente:

2 ≥ (− 1)2

2−1=(31− 1) · 50022

231−1005=30 · 500224377

= 17148735

es decir, ≥ 41411b) Utilizaremos la notación 1 Ã (1 1) para la variable VALOR (en unidades log.)

de las operaciones realizadas en el primer trimestre de 2005 y 2 Ã (2 2) para el año2006. Nos piden realizar una comparación de las medias de los dos años y la primera discusión

que surge es si el diseño muestral realizado es el correspondiente a muestras independientes o

apareadas. Del enunciado del primer párrafo del problema se desprende de manera obvia que

las muestras son independientes. Además, no se da ninguna información que permita pensar

que cada observación de la fila correspondiente al año 2005 tenga respecto a la observación

del año 2006 que está justo debajo de ella alguna vinculación especial diferente de la que

pudiera tener con cualquier otra observación de dicha fila. De este modo, la información

presentada sobre las diferencias no tiene ninguna utilidad para el problema.

Primero, probaremos que podemos suponer que las varianzas de las dos poblaciones son

iguales. Usando la distribución y las fórmulas habituales, obtenemos que [059 293] esun IC para 21

22 con confianza del 95%. El IC contiene al 1 y podemos suponer

21 = 22.

Nótese que esta manera de proceder es equivalente a la realización de una prueba de hipótesis

bilateral de comparación de varianzas.

Para estudiar si se ha producido un aumento significativo de los valores medios de los

inmuebles en unidades logarítmicas, tenemos que plantear el contraste unilateral de com-

paración de medias con varianzas iguales y desconocidas:½0 : 2 − 1 ≤ 01 : 2 − 1 0

8

El estadístico de contraste es:

=2 − 1

q

11+ 1

2

=584− 566030

q126+ 1

26

= 213

( = 030 es la desviación típica “combinada” o “pooled”). En las tablas vemos que el-valor del contraste satisface 001 − 0025 y se rechaza 0 para = 005. Deeste modo, queda estadísticamente probado un aumento significativo de los valores medios

en unidades logarítmicas.

c) Para ver si se ha producido un aumento en los valores medios de al menos 005 unidadeslogarítmicas planteamos el contraste de hipótesis½

0 : 2 − 1 ≤ 0051 : 2 − 1 005

Volviendo a considerar las varianzas desconocidas e iguales, el estadístico de contraste es:

=2 − 1 − 005q

11+ 1

2

=584− 566− 005030

q126+ 1

26

= 154

Como el valor crítico a nivel = 005 es 50005 = 1676, no podemos rechazar 0 y

no queda estadísticamente probado el aumento sugerido. El p-valor estaría en el intervalo

(005 010).d) Se nos pide la potencia con la que el test realizado en el apartado ) sería capaz de

detectar un aumento de los valores medios de 025 o más en unidades logarítmicas. Usaremoslas cartas de curvas OC para la prueba unilateral (Carta VIg) con = 025(2·03) = 0417.Para = 1 = 2 = 26, entramos en la carta con ∗ = 2 − 1 ' 50. Vemos que ' 01y por tanto ' 090. Es decir, un aumento de esas caracteríaticas sería muy probablemetedetectado por la prueba realizada basada en dos muestras independientes de tamaño 26.

Problema 3 a) Nos piden el test (para dos poblaciones independientes) siguiente:½0 : ≤ 1 :

Como se nos dice que las varianzas son idénticas, usaremos el estadístico para comparaciónde medias con varianzas desconocidas pero iguales. Así, calculamos el estimador combinado

de la varianza dado por

2Pooled =(12− 1)2 + (12− 1)2

12 + 12− 2 =11 · 10244 + 11 · 2081

12 + 12− 2 = 6163

y el estimador de dado por Pooled =p2Pooled = 784. Por tanto,

= −

Pooled

q112+ 1

12

=19735− 10421784

q112+ 1

12

= 291

9

Como = 291 12+12−2;001 = 251, se rechaza la hipótesis nula 0 y queda probada la

efectividad del dispositivo de filtrado.

b) Queremos tener una potencia del 90% para detectar la alternativa

= − 2

' − 2Pooled

=5

2 · 784 = 031

Usando la carta VI(h) vemos que necesitamos ∗ ' 100 para tener la potencia deseada (con1 = 2 = = 12 tenemos ∗ = 2 − 1 = 23 y nos quedaríamos cortos). Por tanto, senecesitan 1 = 2 = (

∗ + 1)2 ' 50.c) Debemos realizar ahora el contraste½

0 : ≤ + 51 : + 5

Con este fin, usaremos

= − − 5

Pooled

q112+ 1

12

=19735− 10421− 5784

q112+ 1

12

= 135

Viendo que 22;01 = 132 y 22;005 = 172, llegamos a un -valor entre [005 01] (más próximoa 01). Consecuentemente, no tenemos evidencia estadística para realizar esa afirmación anivel = 005.d) Realizaremos un contraste de igualdad de varianzas:½

0 : 2 = 2

1 : 2 6= 2

Usaremos el estadístico de contraste = 22 = 102442081 = 492. Rechazamos la

hipótesis nula si

∈∙

1

1111;2 1111;2

¸

Como 1111;0025 = 347, se rechaza la hipótesis nula a nivel = 005 y, por tanto, lasvarianzas no pueden suponerse idénticas a ese nivel.

e) Ahora planteamos el contraste de un lado:½0 :

2 ≤ 2

1 : 2 2

Como = 492 1111;001 = 446, se puede afirmar a nivel = 001 que se ha producidouna reducción en las variabilidades de los porcentajes de impurezas al instalar el filtro. La

cota inferior de confianza al 95% tiene la forma

22≥ 2

2

1

1111;005= 492 · 1

282= 1746 (veces).

f) Volvemos a realizar el contraste ½0 : ≤ 1 :

10

pero ahora (a la vista de los apartados d) y e)) suponemos varianzas desconocidas y distintas.

Usamos el estadístico

= − q2

12+

2

12

=19735− 10421q

1024412

+ 208112

= 291

Este estadístico bajo la hipótesis nula sigue aproximadamente una con

=

³21+

22

´221

21+1

+

21

22+1

− 2 = 1607 ' 16

Como = 291 16;01 = 258, se rechaza también la hipótesis nula a nivel = 001 y quedaprobada la efectividad del filtro.

Problema 4 Dada la estructura de los datos estamos ante claramente ante un problema dedatos pareados.

a) Para = Digital − Analog planteamos el contraste½0 : ≥ 01 : 0

Usamos el estadístico

=

√=−0234

0326√20= −321

y vemos que −321 −20−1;001 = −254. Por tanto, se rechaza la hipótesis nula y quedaprobada la afirmación del enunciado.

b) Ahora debemos realizar el test½0 : ≥ −011 : −01

con el estadístico de contraste

= − (−01)√

=−0234 + 010326

√20

= −183

El -valor será (19 −183) = 0041 (con las tablas sólo se puede ver que está entre 0025y 005). Por tanto, no queda probada esa afirmación a nivel = 001c) Debemos estudiar la potencia del test del primer apartado (con = 001 y “unila-

teral"). Para entrar en las tablas usamos = 020326 = 062 y vemos que con = 20 laprobabilidad de error tipo II es ' 04. Para tener la potencia = 09 deseada se necesitanaproximadamente = 40 pares de datos.d) El intervalo de confianza de garantía 95% para la varianza del calibre analógico es∙

(20− 1)039822190025

(20− 1)03982

2190975

¸= [0092 0338]

11

y para el calibre digital será∙(20− 1)01672

2190025(20− 1)01672

2190975

¸= [0016 0059]

Tomando raices cuadradas en los extremos de estos intervalos tenemos los intervalos de

confianza [0303 0581] y [0127 0244] para las desviaciones típicas de los calibres analógicoy digital, respectivamente. Aunque estos intervalos no están solapados (o aunque el intervalo

para el cociente de varianzas no contenga el valor 1) no se invalida lo realizado en losapartados a), b) y c). Nótese que estamos realizando un test “ por pares” donde no se exigeninguna hipótesis de igualdad de varianzas.

No podemos decir qué calibre es el mejor sólo a partir de estos intervalos. Una menor

varianza, en principio, nos indicaría una mayor precisión del aparato de medida pero debemos

tener en cuenta si el calibre está bien “calibrado” o por el contrario está “sesgado”. Sin esa

información no está claro cuál es el mejor calibre.

e) Para ver si la afirmación es correcta debemos realizar el test½0 : ≤ 0021 : 002

Usamos

=b − 002q002(1−002)

5000

=00226− 002q

002(1−002)5000

= 131

No tenemos evidencia estadística para afirmar que lo comentado por el fabricante no pueda

ser cierto ya que 131 001 = 232.f) Si y son las fracciones de defectuosas para las fabricas y , debemos realizar

ahora el test de comparación de proporciones½0 : = 1 : 6=

Como b = 1135000 = 00226, b = 794000 = 00198 y el estimador combinado esb = (113 + 79)(5000 + 4000) = 021 tenemos un valor del estadístico de contraste =

b − bqb(1− b) ¡ 15000

+ 14000

¢ = 0937El -valor de dicho test será 2(1−Φ(0937)) = 0349 y, por tanto, no detectamos diferenciassignificativas a los niveles habituales para las fracciones de defectuosos entre las dos fábricas.

Problema 5 Para realizar la comparación de precios entre Comercios Tradicionales (CT) yGrandes Superficies (GS) planteada por la Asociación de Consumidores, tendremos que llevar

a cabo un estudio de comparación de medias ( − ) de las dos poblaciones de precios y . Como sabemos, los estudios de comparación de medias se pueden diseñar

a partir de muestras independientes o de muestras apareadas. Los diseños de muestras

12

apareadas tienen la ventaja de permitir observar las diferencias con más potencia debido a la

reducción de la variabilidad proporcionada por el apareamiento de las observaciones. En este

caso, se ha planteado un diseño claramente de muestras apareadas. Se ha seleccionado una

muestra de 25 artículos y se han anotado para cada uno de ellos el precio en los dos tipos deestablecimientos. Cada par está formado por los dos precios observados para cada artículo

en CT y en GS. Lógicamente, al tratarse en cada par del mismo artículo, las diferencias de

precios se deberán básicamente a la distinta naturaleza de los establecimientos comerciales.

En el enunciado se nos dice que se asume la hipótesis de normalidad donde sea necesaria.

En el caso de muestras apareadas, sabemos que sería suficiente tener la normalidad para la

población de las diferencias = −, Ã ( ) ( = − ).a) En este apartado se pide probar la hipótesis (1) de que los precios medios en CT son

más elevados que en GS. Planteamos por tanto un contraste unilateral de comparación de

medias para muestras apareadas bajo hipótesis de normalidad.½0 : = 01 : 0

La región crítica es = [0 −1;], siendo el estadístico de contraste

0 =

√à −1

Operando, obtenemos

0 =

√=

055

150√25= 1833 17109 = 24;005

por lo que al nivel de significación = 0 05 rechazamos 0 y concluimos que los precios

son significativamente más altos en media en CT. Con nuestras tablas, podemos decir que

0025 -valor 005 (00396).b) Se nos pide estudiar si el tamaño muestral utilizado para la prueba realizada en a)

permitiría detectar una diferencia medias = 06 Euros con una potencia = 09. Paraello usamos las Curvas OC, concretamente la Carta , y observamos que se necesitaríanaproximadamente = 50 observaciones (pares). Con las = 25 observaciones utilizadas,tendríamos una potencia de apenas = 063.c) En este apartado se pide probar la hipótesis (1) de que los precios medios en CT son

al menos 025 Euros más elevados que en GS. Ahora el contraste de hipótesis pedido sería½0 : ≤ 0251 : 025

La región crítica es de nuevo = [0 −1;], siendo ahora el estadístico de contraste

0 = − 025√à −1

Operando, obtenemos

0 = − 025√=055− 025150

√25

= 1 17109 = 24;005

13

por lo que al nivel de significación del = 005 no podemos rechazar 0 y concluimos que

no queda probada la existencia de la mencionada diferencia de 025 Euros a favor de CT.Con nuestras tablas, podemos decir que 010 − 025 (01636).d) En el enunciado nos dicen que, dado que el precio de cada uno de los artículos varía de

unos establecimientos comerciales a otros, los precios de los artículos se obtuvieron prome-

diando los precios observados en 10 establecimientos de cada tipo elegidos aleatoriamente.Con esta información, se nos pide probar la sospecha (1) de que el precio medio del “Artículo17” es más elevado en CT que en GS.

Volvemos a estar ante una comparación de medias, las de los precios del citado artículo, pero

ahora el diseño del muestreo es de muestras independientes. Con un abuso de la notación,

volveremos a llamar y a los precios respectivos. Ahora la hipótesis de normalidad

se traduce en à ( ) y à ( ).Planteamos, por tanto, un contraste unilateral de comparación de medias de poblaciones

normales con varianzas desconocidas a partir de muestras independientes:½0 : − ≤ 01 : − 0

Hacemos primero una comparación de varianzas mediante un intervalo de confianza:

22

1

−1;−1;2≤ 2

2≤ 2

2−1;−1;2

Con una confianza del 90%, el intervalo obtenido es [0452988 457761], que contiene clara-mente al 1, por lo que podemos considerar las varianzas iguales.Para la comparación de medias, usamos la prueba t para varianzas desconocidas pero iguales,

cuya región crítica es = [0 +−2;], siendo el estadístico de contraste

0 = −

q

1

+ 1

à +−2

=

s( − 1)2 + ( − 1)2

+ − 2 = 03866

Operando, obtenemos

0 =724− 698

03866q

110+ 1

10

= 1504 1734 = 18;005

por lo que al nivel de significación = 005 no podemos rechazar 0 y concluimos que no

queda probado que los precios del “Artículo 17” sean significativamente más altos en media

en CT. Con nuestras tablas, podemos decir que 005 − 010 (0075).e) Para construir cotas superiores de confianza al 99% para el precio medio del Artículo

17 en ambos tipos de establecimientos, tenemos

≤ + −1;√

= 724 + 2821042√10= 7615

14

≤ + −1;√

= 698 + 282104352√10

= 7292

f) Para estudiar si es suficiente el número de establecimientos seleccionados de cada tipo

si se quiere que las estimaciones de los precios promedio del “Artículo 17” en GS y CT tengan

un error máximo de 001 Euros con una garantía del 99%, sabemos que

= −1;2√∼= 2

√

La aproximación de la última parte es válida para grande, lo cual es previsible que ocurra alquerer un error máximo muy pequeño con una confianza muy alta. Despejando obtenemospara cada tipo de establecimiento:

∼=µ2

¶2∼=µ258× 042001

¶2= 11704

∼=µ2

¶2∼=µ258× 035001

¶2= 8128

Problema 6 a) Se trata claramente de un problema de dos muestras independientes. Nóteseque no existe ningún tipo de “relación especial” entre la medición número 1 con la resina Ay la medición número 1 con la resina B; ni entre la medición número 2 con la resina A conla medición número 2 con la resina B, etc. Nos piden realizar el test (para dos poblacionesindependientes) siguiente: ½

0 : ≤ 1 :

Lo primero que debemos hacer es comprobar si podemos suponer que las dos poblaciones

tienen varianzas idénticas. Así, realizaremos primero el contraste:½0 :

2 = 2

1 : 2 6= 2

Usaremos el estadístico de contraste

=22

=02342

02532= 0855 ∈ [1919;09 1919;01] = [1184 184]

Luego con un -valor mayor que 02, se acepta la hipótesis de igualdad de varianzas.A la vista del test anterior, para comprobar la hipótesis inicial, se puede hacer un contraste

de la para comparación de medias con varianzas desconocidas pero iguales. Así, calculamosel estimador combinado de la desviación típica:

Pooled =

s(20− 1)2 + (20− 1)2

20 + 20− 2 =

r19 · 02342 + 19 · 02532

38= 0244

15

y el estadístico de contraste será:

= −

Pooled

q120+ 1

20

=0744− 04960244

q120+ 1

20

= 3218

Como = 3218 20+20−2;001 = 2428, se rechaza la hipótesis nula 0 y queda probado que

el filtrado con la resina A es mejor que el filtrado con la resina B.

b) Queremos tener una potencia del 90% para detectar la alternativa

=| − |

2' | − |

2Pooled=

02

2 · 0244 = 041

Usando la carta VI(h) vemos que necesitamos ∗ ' 75 (ligeramente superior) submuestraspara tener la potencia deseada. Con 1 = 2 = = 20 tenemos ∗ = 2−1 = 2 ·20−1 = 39y nos quedamos cortos.

c) Ahora tenemos que realizar ahora el contraste½0 : − ≤ 021 : − 02

Para realizar este contraste, usaremos

= − − 02Pooled

q120+ 1

20

=0744− 0496− 020244

q120+ 1

20

= 0623

Dado que 38;04 ' 0253 y 38;025 ' 0679, obtenemos una acotación del -valor del con-traste anterior entre [025 04] (exactamente, el -valor vale 0269). Consecuentemente, notenemos evidencia estadística para realizar esa afirmación respecto a la reducción de niveles

de impurezas.

d) Sea =“Porcentaje de submuestras impuras usando filtro con resina A” y =“Por-centaje de submuestras impuras usando filtro con resina C”. Nos interesa el contraste:½

0 : − ≤ 0051 : − 005

Los estimadores muestrales de las proporciones y son:

=76 + 13

200= 0665 y =

94 + 39

200= 0445

Usando estas proporciones obtenemos el estimador combinado = (1 + 2)(1 + 2) =(0445 + 0665)(200 + 200) = 0555 y el estadístico de contraste

= − − 005r(1− )

³11+ 1

2

´ = 0665− 0445− 005q0555(1− 0555) ¡ 1

200+ 1

200

¢ = 3421Rechazaremos la hipótesis nula (y, por tanto, sí que se puede realizar la afirmación del

enunciado) dado que = 3421 001 = 232.

16

Problema 7 a) Nos piden una cota superior al 95% para . Dado que

µ ≤ + −1;

√

¶= 095

tenemos que 68 + 170 · 15√30 = 727 sería el valor de dicha cota.En la segunda parte de este apartado nos piden establecer las hipótesis 0 y 1 tales que la

región de rechazo = 727 de lugar a un test de nivel 005 para esas hipótesis. Lashipótesis que necesitamos son ½

0 : ≤ 681 : 68

Nótese que la región de rechazo verifica = 005 = ¡ 0 + −1; · √

¢=

¡ 68 + 170 · 15√30¢ =

¡ 727

¢.

b) Dado que los vehículos con y sin innovaciones son probados por el mismo usuario, está

bastante claro que tratamos con datos de tipo “apareado”. Quedará probado que el índice

de satisfacción medio aumenta significativamente si se rechaza 0 para el contraste½0 : ≤ 01 : 0

con = −. Vemos que

=

√=

19

23√30= 4524 30−1;001 = 246

y, por tanto, se rechaza 0. Así, queda probada la afirmación del enunciado a nivel = 001.c) En este apartado usaremos la carta OC (h) (test unilateral con = 001). Deseamos

una potencia = 09 ( = 1 − 09 = 01) para detectar la alternativa = || '|| = 0923 ' 04. Vemos que con = 30 tenemos un ' 055 01 y, portanto, ese tamaño muestral es insuficiente. Usando esta tabla, vemos que necesitamos entre

75 100 observaciones.d) Ahora nos piden realizar el test½

0 : ≤ 151 : 15

Usamos el estadístico

= − 15√=19− 1523√30= 095

Dado que 30−1;01 = 1311 y 30−1;025 = 0683, tenemos que el -valor de este contraste es [29 095] ∈ [01 025]. Con este -valor, lo razonable es aceptar 0 y concluimos que

no se puede afirmar que introducir innovaciones en el vehículo aumente significativamente el

índice de satisfacción medio en más de 15 puntos.e) En el enunciado nos proponen realizar el test½

0 : = 71 : 6= 7

17

usando la región de rechazo =© ∈ [6 75]ª. La probabilidad de error de tipo I será

= 0

¡ ∈ [6 75]¢ = =7

¡ ∈ [6 75]¢

= 1−³Φ³√30(75− 7)19

´−Φ

³√30(6− 7)19

´´= 1− (Φ(144)− Φ(−288)) = 1− (09251− 0002) = 00769

La probabilidad de error de tipo II para la alternativa = 75(6= 7) será

(75) = =75

¡ ∈ [6 75]¢ = Φ

³√30(75− 75)19

´−Φ

³√30(6− 75)19

´= Φ(0)−Φ(−432) = 05

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