estado del arte de la solución del problema de lennard-jones

8/17/2019 Estado del Arte de la Solución del Problema de Lennard-Jones

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CONTECSI7, 8 Y 9 DE SEPTIEMBRE 2005INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LEÓN

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Resumen — En este artículo se presenta el estado del arte del problema de Lennard-Jones. Se

identifican los enfoques más exitosos y se describen sus principales características. Se reportan los

resultados de las evaluaciones realizadas para definir los trabajos futuros de la investigación.

Abstract — In this paper the art state of the Lennard-Jones problem is presented. The mostsuccessful approaches are identified and their main characteristics are described. The results of the

realized evaluations to define the future works of this research are reported.

Palabras clave — Algoritmos genéticos, Optimización global, Problema Lennard-Jones.

I. INTRODUCCIÓN

OS GRUPOS de átomos son agregados de unos cuantos o cientos de ellos. Sus longitudes

van de unos cuantos ángstroms hasta decenas de nanómetros. Usualmente son generados a partir de flujos de grupos diferenciados por su masa y aislados en medios tales como matracesinertes y suspensiones coloidales, o depositados en la superficie de diversos substratos. Los gruposconstituyen un estado intermedio entre la estructura microscópica y macroscópica de la materia.Desde un punto de vista tecnológico, pueden ser considerados como superátomos y sirven como bloques de construcción en nanociencia y nanotecnología. Algunas aplicaciones específicas son eldesarrollo de películas, sólidos y circuitos nanoelectrónicos.

La estructura y propiedades de estos grupos han sido estudiadas desde diversos puntos de vista.En particular, es importante entender la evolución de los materiales desde su estado inicial comoátomos individuales, hasta convertirse en nanopartículas de materia condensada. Las propiedadesfísicas y químicas de los materiales, dependen entre otros factores, de la geometría de los grupos deátomos que forman sus moléculas. Las moléculas de grafito y diamante están formadas por átomos

de carbón, pero sus propiedades son completamente diferentes. Esto se debe a que susconfiguraciones atómicas tienen diferente geometría estable. Para diseñar nuevos materiales,usando nanotecnologías, se tiene que determinar la configuración de mínima energía de lasmoléculas que los componen.

En este trabajo se aborda el problema de determinar la configuración de grupos de átomos de talmanera que se minimice la energía potencial de Lennard-Jones producida por las interaccionesatómicas. A pesar de la simplicidad de este modelo, las investigaciones en química y biología loconsideran un modelo razonablemente bueno para algunos grupos de gases raros. Este modelo es uncomponente comúnmente usado en la configuración de moléculas complejas y en el desdoblamientode proteínas [1]. Por su complejidad computacional, el problema de la configuración atómica bajo

Héctor Faire H.a, Guadalupe Castilla V.a, Laura Cruz R.a, Arturo Hernández R.a,Carlos Camacho A.a, Georgina Castillo V.a

a Instituto Tecnológico de Ciudad Madero, México, [email protected], {jgvaldez50,lauracruzreyes, ahram66, camachoaca, ginacastillo78}@hotmail.com

Estado del Arte de la Solución del Problema

de Lennard-Jones

L

ConTECSI

PRIMER CONGRESO NACIONAL DE TECNOLOGÍASCOMPUTACIONALES Y SISTEMAS DE INFORMACIÓNLeón, Gto., 7, 8 y 9 de Septiembre del 2005


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el potencial de Lennard-Jones, es un excelente sistema de prueba para nuevos métodos deoptimización global [2].

En las secciones siguientes se presentan los trabajos relacionados con el problema, su descripciónformal, el enfoque de solución y los resultados experimentales de las pruebas preliminaresrealizadas en esta investigación.

II. TRABAJO RELACIONADO

Doye y otros investigadores mantienen actualmente una Base de Datos con la mejor configuraciónconocida de grupos de Lennard-Jones [3]. En [4] se propone un enfoque basado en rejillas conformas geométricas predefinidas integradas en un algoritmo genético y se reporta la solución del problema en el rango de 13-147. En [5], los mismos autores, incorporan un proceso de búsquedaestocástica llevando la solución hasta 309 átomos. En [6] se propone un algoritmo genético queincorpora el método de búsqueda local L-BFGS [7] y reportan la solución de grupos de hasta 561átomos. En [8], los mismos autores utilizan un algoritmo voraz para la generación de las rejillas yreportan la solución de grupos con hasta 1000 átomos. En [9] resuelven grupos de hasta 1610átomos.

Como se observa el enfoque más exitoso, se basa en la estrategia basada en rejillas y logra unmayor alcance incorporando procesos voraces. En esta investigación se pretende explorar el uso dealgoritmos heurísticos aún no utilizados en la solución del problema, nuevas variedades de

genéticos y heurísticos híbridos.

III. DESCRIPCIÓN FORMAL DEL PROBLEMA

Si n es el número de átomos de un grupo, el problema consiste en determinar su ubicación en el

espacio tridimensional 321

,..., !"n

p p p , de tal manera que se minimice la energía potencial que

se produce como resultado de las interacciones atómicas. Un modelo comúnmente utilizado es el deLennard-Jones, el cual establece que la energía potencial de una configuración determinada de losátomos del grupo está dada por:

( )!!"

= +=

"" "1

1 1

6122

n

i

n

i j

ijij r r

donde ijr es la distancia entre los puntos i p y j p

IV. E NFOQUE PRELIMINAR DE SOLUCIÓN

En una primera aproximación a la solución del problema, se utilizó un enfoque similar al que seaplica en la solución de problemas combinatorios discretos. Una consideración importante es que laconfiguración de los grupos no se limita a una geometría determinada. La Figura 1 muestra el pseudocódigo del algoritmo heurístico de multiarranque utilizado. El algoritmo básico se configuró para tres estrategias de posicionamiento inicial diferentes. Posteriormente se modificó paraincorporar el enfoque de dos fases reportado en [2] y se generaron otras tres configuracionesadicionales. En los algoritmos de una fase se exploraron 1000 vecinos mientas que para los de dosfases se exploraron 500 vecinos en cada fase. La Tabla 1 muestra los algoritmos configurados A ij,donde i indica si el algoritmo es de una o dos fases y j el posicionamiento inicial utilizado.


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ejecuciones en que se observó dicho valor. La Tabla 2, muestra los porcentajes que se obtuvieroncon cada uno de los algoritmos considerados.

Tabla 2. Resultados experimentales

Átomos A11 A12 A13 A21 A22 A23

2 100 100 100 100 100 100

3 100 100 100 100 100 100

4 97 95 97 77 89 87

5 92 5 4 57 68 74

6 1 7 2 2 3 1

7 9 8 16 2 8 4

8 3 4 1 1 1 3

9 1 3 2 3 1 5

10 1 1 2 3 2 5

11 2 2 4 2 1 1

12 1 1 1 1 1 1

13 1 1 1 1 2 1

14 2 1 1 1 1 1

15 1 1 1 1 1 1

16 1 1 1 1 1 1

17 1 1 2 1 1 1

18 1 1 1 1 1 1

19 1 2 1 1 1 1

20 1 1 1 1 1 1

Como se puede observar el rendimiento general del enfoque considerado es muy bajo. A medidaque aumenta el tamaño de los grupos, la efectividad de los algoritmos disminuye notablemente.Para grupos con más de 20 átomos, los algoritmos ya no encuentran la solución óptima. Por otra parte, si se considera la suma de los porcentajes de acierto de todos los grupos, se observa unaligera ventaja del enfoque de dos fases con respecto al de una fase.

VI. CONCLUSIONES

En este trabajo se aborda el problema de determinar la configuración de grupos de átomos de talmanera que se minimice la energía potencial de Lennard-Jones. Los resultados que se reportan eneste artículo corresponden a las fases iniciales de esta investigación. Como resultado de la evidenciaexperimental recabada, el mejor curso de acción en esta etapa de la investigación es usar métodos basados en rejillas. Por otra, parte se tiene evidencia experimental de que el enfoque de dos fases puede contribuir a la solución eficiente del problema.

Con base en la revisión del estado del arte y esta primera interacción con el problema nos proponemos profundizar en el estudio de los métodos de solución basados en rejillas y en el método

de búsqueda local L-BFGS.

RECONOCIMIENTOS

Deseamos agradecer el apoyo recibido por parte del Dr. David Romero del Instituto deMatemáticas de la UNAM. Este trabajo se está desarrollando en el marco del convenio de


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colaboración del Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) y elInstituto Tecnológico de Cd. Madero. Los recursos aplicados en el proyecto son aportados por elCONACYT y la Dirección General de Educación Superior Tecnológica.

REFERENCIAS

[1] A. Neumaier, “Molecular modelling of proteins and mathematical prediction of protein structure”, SIAM Review 39(3), 1997, pp. 407-

460.[2] M. Locatelli, F. Schoen, “Fast global optimization of difficult Lennard-Jones clusters”, Kluwer Academic Publishers, Netherlands,2000, pp. 1-20.[3] David J. Wales, “The Cambridge Cluster Database”, disponible: http://www-wales.ch.cam.ac.uk/CCD.html[4] D. Romero, C. Barrón, S. Gómez, A. Saavedra, Appl. Math. Lett. 12, 1999, pp. 85-90.[5] D. Romero, C. Barrón, S. Gómez, “The optimal geometry of Lennard-Jones clusters:148-309”, Computer Physics Communications123, 1999, pp. 87-96.[6] X. Shao, Y. Xiang, H. Jiang, y W. Cai, “An efficient method based on lattice construction and the genetic algorithm for optimizationof large Lennard-Jones clusters”, J. Phys. Chem. A.108, 2004, pp. 3586-3592.[7] J. Nocedal, Dong C. Liu, “On the limited memory BFGS method for large scale optimization”, Mathematical Programming 45, 1989,

pp. 503-528.[8] X. Shao, Y. Xiang, L. Cheng, y W. Cai, “Structural distribution of Lennard-Jones clusters containing 562 to 1000 atoms”, J. Phys.Chem. A.108, 2004, pp. 9516-9520.[9] X. Shao, Y. Xiang, y W. Cai, “Structural transition from icosahedra to decahedra of large Lennard-Jones clusters”, J. Phys. Chem.

A.109, 2005, pp. 5193-5197.

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