ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA

PARA AVALUADORESPor Jorge Iván Duque Botero

EconomistaAvaluador - Docente

ESTADÍSTICA

La estadística es  la ciencia que estudia  la  recolección, análisis  e  interpretación  de datos de  una  muestra representativa,  ya  sea  para  ayudar  en  la toma  de decisiones o  para  explicar  condiciones  regulares  o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

FÓRMULAS ESTADÍSTICAS1. Media Aritmética (): O  promedio;  es el valor obtenido  al sumar todos  los datos y dividir el resultado  entre  el número total  de datos.  Es  una  de medida de centralización.

=Ejemplo: ¿Cual es el promedio de 8, 3, 5, 12 y 10?

=(8+3+5+12+10)/5= 7,6

2. Desviación estándar: Es una medida de dispersión, que nos indica cuánto pueden alejarse los valores respecto al promedio (media). Es la raíz cuadrada de la varianza; ¿Qué es la varianza? Es la media o promedio de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

  poblacional,   muestralEjemplo: Calcular la media, la varianza y la desviación estándar. De  los siguientes datos: 600, 470, 170, 430 y 300.

Diferencias: (600-394),  (470-394),  (170-394),  (430-394),  (300-394)=  206, 76, -224, 36, -94. Para calcular la varianza, tomar cada diferencia, elevarla al cuadrado, y hacer el promedio: S2= [(206)2+(76)2+(-224)2+(36)2+(94)2]/5    S2 =108520/5= 21704     S=√21704= 147,32

3. Coeficiente de variación: Es  una  medida    dispersión que mide la variabilidad en porcentaje de un conjunto de datos. Se obtiene  dividiendo  la  desviación  estándar  del  conjunto  entre  su media  aritmética  y  se  expresa  generalmente  en  términos porcentuales.  Cuando  el  coeficiente  de  variación  está  entre  +  o  – 7,5%,  la  media  obtenida  se  podrá  adoptar  como  el  más  probable valor  asignable  al  bien.  Cuando  queramos  separarnos  del  valor medio encontrado, se debe calcular el SESGO, para establecer hacia donde  tiende  a  desplazarse  la  información,  pero  no  podrá sobrepasar el porcentaje encontrado en las medidas de dispersión.

V*100Ejemplo: Tomando  los  datos  del  ejercicio  anterior  hallar  la  el coeficiente de variación:V= (147,32/ 394)*100= 37,39%

4. Coeficiente de asimetría o SESGO: ASIMETRÍA Es una medida de  forma de una distribución que permite  identificar  y  describir  la  manera  como  los  datos tiende  a  reunirse  de  acuerdo  con  la  frecuencia  con  que  se hallen dentro de la distribución.

 

= cuando no hay moda (Coef de Pearson)

En  caso  que  el  avaluador  desee  separarse  del  valor  medio  encontrado,  deberá calcular  el  coeficiente  de  asimetría  para  establecer  hacía  donde  tiende  a desplazarse la información, pero no podrá sobrepasar el porcentaje encontrado en las medidas de dispersión.

Ejemplo: 

Halla el coeficiente de simetría de los siguientes datos: 15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.= (15+21+32+59+60+60+61+64+71+80)/10= 52,3

= = 

S= 4276,1/10= 427,61= 20,67

A= (52,3 – 60)/20,67= -0,3725

Coeficiente de curtosis: El coeficiente de curtosis analiza el grado de concentración que presentan los valores alrededor de la zona central de la  distribución.  Miden  la  mayor  o  menor  concentración  de  datos alrededor de la media. Fórmula para datos no agrupados :

Ejemplo: Calcular el coeficiente de curtosis de los siguientes datos:

K=  = 4,6725 – 3,7692= 0,9033

Si k=0 la distribución es mesocúrtica o normalSi k›0 la distribución es leptocúrtica o apuntadaSi k‹0 la distribución es platicúrtica o achatada

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 154 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 11

K=  

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD La asignación de probabilidades se puede hacer de dos maneras: En forma objetiva, cuyo método consiste en calcular la probabilidad mediante estadísticas, por ejemplo si el experimento consiste en lanzar al aire una moneda 10 veces y supongamos que al caer mostró cara 6 veces y en las otras 4 mostró sello, entonces la probabilidad de obtener una  cara  en  el  próximo  lanzamiento  será  de  6/10  lo  que  equivale  a  decir  que  hay  una probabilidad de obtener una cara en el próximo lanzamiento del 60%; y la segunda, en forma subjetiva,  en  el  cual  no  hay  estadísticas  porque  no  se  realizaron  experimentos  previos  o porque  el  número  de  experimentos  es  insuficiente  para  elaborar  una  estadística,  bajo  estas circunstancias,  se  les  solicita  a  varias  personas  que  tengan  un  sano  criterio  y  además  sean expertas  en  la  materia  para  que  den  su  concepto  sobre  el  posible  resultado  futuro  de  un determinado evento. Cuando vamos a tomar una decisión sobre inversión de dineros, vamos a pronosticar el futuro y  este  pronóstico  puede  hacerse  en  muchas  formas  por  ejemplo  tomando  como  base  la economía  del  medio,  en  tales  circunstancias,  la  estimación  podría  ser  hecha  en  diferentes condiciones como depresión, recesión, normales, buenas y prosperas, también podría haberse hecho en una forma más sencilla tomando como base el criterio, el cual puede ser optimista, realista o pesimista.

La probabilidad de los ingresos futuros de un proyecto es posible asignarlos en forma objetiva cuando se trata de proyectos de inversión en activos financieros, aunque hay que  tener  en  cuenta  que  las  estadísticas  fueron  hechas  con  unas  condiciones financieras y técnicas diferentes a las que se presentarán cuando se efectúe el nuevo experimento.  Cuando  se  trata  de  proyectos  de  ingeniería  en  casi  todos  los  casos  la asignación  de  probabilidades  debe  hacerse  en  forma  subjetiva  por  expertos  en  la materia,  como puede  ser  el  caso de  los  ingresos que  se obtendrán en una máquina prototipo (única máquina en su género en el mundo).Cuando evaluamos un proyecto asignando probabilidades en forma objetiva decimos que  hacemos  la  evaluación  en  condiciones de riesgo,  pero  si  la  asignación  de probabilidades  se  realiza  en  forma  subjetiva  se  dice  que  la  evaluación  se  hace  en condiciones de incertidumbre.

DESVIACION ESTANDAR RESPECTO A PROBABILIDAD

Cuando los expertos no coinciden en la predicción, debemos trabajar con el Valor Esperado (valor promedio probabilístico).Si la predicción de los expertos coincidiera o al menos sus variaciones fueran mínimas  tendríamos  confianza  en  el  resultado  de  las  predicciones,  pero mientras más alejados están los resultados, tendremos menos confianza en éstas  predicciones.  En  estas  condiciones  parece  ser  que  la  medida  más adecuada de la confianza podría ser la desviación estándar.Según  la  estadística  existe  una  probabilidad  del  68.27%  de  encontrar  un resultado que esté entre la media aritmética más una desviación estándar y el  medio  aritmético  menos  una  desviación  estándar,  que  existe  una probabilidad  del  95.44%  de  hallar  un  resultado  dentro  del  margen comprendido  entre  la  media  aritmética  y  más  o  menos  dos  desviaciones estándar y que la probabilidad llega al 99.74% si se amplía el margen a tres desviaciones  estándar  a  cada  lado  del  medio  aritmético  como  se  puede apreciar en la gráfica:

Desviación media: es  la media  aritmética de  los valores absolutos  de  las  desviaciones  respecto  a  la  media;está íntimamente ligado al grado de simetría, se puede determinar en forma analítica, la simetría o no de la curva.

D=

Para  que  un  "Diagrama  de  Dispersión",  se  le  considere simétrico, debe cumplir que por lo menos el 57,5% de la data está  comprendida  debajo  de  la  campana  conformada  por intervalo que comienza en  -D y finaliza en +D, es decir |±D|≥ 57,5%

DESVIACION ESTANDAR RESPECTO A LA CURVA NORMAL: La Desviación  Estándar,  indica  sí  una  distribución  simétrica  es normal o no.Esto  es  importante  de  conocer,  porque  si  la  distribución  es "Normal", se podrán calcular cuales son los valores de la serie que se encuentran fuera de la campana.Los valores que se encuentran fuera de la campana (o debajo de  las  colas),  se  consideran  "VALORES  EXTREMOS"  y  se definirán como aquellos valores que afectan notablemente a la  "Media  Aritmética".  Se  define  como  "Valores  Extremos", aquellos  datos  de  la  serie  que  se  encuentran  fuera  del intervalo: |±S|≥68,27%

Para que un "Diagrama de Dispersión", sea considerado como una  "Distribución  Normal",  se  deben  cumplir  las  siguientes condiciones:a) Simetría de los datos: |±D|≥ 57,5%

b) Que por lo menos el 68,27% de los datos esté incluida en el intervalo: |±S|≥68,27%Ejemplos:Para datos no agrupados: muestras ≤ 30• Se tienen las siguientes muestras:  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

250 400 700 375 280 200 485 430 375 230 130 680 475 455 430 300 250 90 375

D=

D=

D= 124,2

a) |±D|≥ 57,5%

|363,68 ± 124,2|= Lim inf 240 Lim sup 488

n xi |xi-|1 250 113,68421052 400 36,315789473 700 336,31578954 375 11,315789475 280 83,684210536 200 163,68421057 485 121,31578958 430 66,315789479 375 11,3157894710 230 133,684210511 130 233,684210512 680 316,315789513 475 111,315789514 455 91,3157894715 430 66,3157894716 300 63,6842105317 250 113,684210518 90 273,684210519 375 11,31578947

∑= 2358,94

13/19=68%68%>57,5%

n xi1 902 1303 2004 2305 250 16 250 27 280 38 300 49 375 510 375 611 375 712 400 813 430 914 430 1015 455 1116 475 1217 485 1318 68019 700

b)|±S|≥ 68,27%|363,68±161,62|=Lim inf 202 Lim sup 52514/19=74%74%>68,27%

n xi

1 90

2 130

3 200

4 230 1

5 250 2

6 250 3

7 280 4

8 300 5

9 375 6

10 375 7

11 375 8

12 400 9

13 430 10

14 430 11

15 455 12

16 475 13

17 485 14

18 680

19 700

VALORES EXTREMOS

VALORES EXTREMOS

SERIE DEPURADA

1 230

2 2503 2504 2805 3006 3757 3758 3759 40010 43011 43012 45513 47514 485

HistogramasEs  una  representación gráfica de  una variable en  forma  de  barras,  donde  la  superficie  de  cada  barra  es proporcional  a  la frecuencia de  los  valores  representados,  ya  sea  en  forma diferencial  o  acumulada.  Sirven para  obtener  una  "primera  vista"  general,  o  panorama,  de  la  distribución  de  la  población,  o  la  muestra, respecto a una característica, cuantitativa y continua, de la misma y que es de interés para el observador.Diagramas de barras simplesRepresenta la frecuencia simple (absoluta o relativa) mediante la altura de la barra la cual es proporcional a la frecuencia simple de la categoría que representa.Diagramas de barras compuestaSe  usa  para  representar  la  información  de  una  tabla  de  doble  entrada  o  sea  a  partir  de  dos  variables,  las cuales  se  representan  así;  la  altura  de  la  barra  representa  la  frecuencia  simple  de  las  modalidades  o categorías de la variable y esta altura es proporcional a la frecuencia simple de cada modalidad.Diagramas de barras agrupadasSe usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos variables, el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican respecto a las diferentes modalidades.Polígono de frecuenciasEs un gráfico de líneas que de las frecuencias absolutas de los valores de una distribución en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.Ojiva porcentualEs un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el rango porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias.

Ejemplo: hacer un histograma con los datos del ejercicio anterior. Para iniciar debemos hacer una tabla con la distribución de frecuencias: 

Nos  paramos  en  cualquier  celda  y  le  damos  click  a  la  pestaña  insertar  –  columna  – columna en 2D – columna agrupada.

xi fi4 15 26 37 48 39 110 011 1

Luego  damos  click  contrario  en  el  gráfico  y  le  damos    SELECCIONAR  DATOS  y  nos aparece los casillas para seleccionar los datos a graficar.

Nombramos la serie: Frecuencia y seleccionamos los dato de la tabla.

Editamos la etiquetas del eje horizontal: 

Damos  click  en  cualquiera  de  las  barras  del  gráfico  y  en  opciones  de  serie  llevamos ANCHO DEL INTERVALO a sin intervalo. Luego en la parte izquierda buscamos RELLENO y seleccionamos la casilla de VARIAR COLORES ENTRE LOS PUNTOS. Fin.

Nuestro histograma queda: 

Ecuaciones para ajustes

1. Recta o función lineal:Forma funcional :

Y= a+bX ó Yi= +Xi

Desarrollo en Excel: Antes de empezar debemos configurar nuestra hoja de cálculo de la siguiente manera: Archivo – Opciones – Complementos – Ir – Seleccionar Herramientas para análisis – Aceptar. 

Para  realizar  la  regresión  se  utiliza  el  método  de  mínimo cuadrados ordinarios (MCO).Ejemplo: La siguiente tabla de datos contiene el consumo de tazas  de  café  por  día  (Y)  y  el  precio  por  taza  en  E.E.U.U  de 1970 a 1980. 

AÑO 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

Y 2,57 2,5 2,35 2,3 2,25 2,2 2,11 1,94 1,97 2,06 2,02

X 0,77 0,74 0,72 0,73 0,76 0,75 1,08 1,81 1,39 1,2 1,17

Realizamos la siguiente secuencia en Excel:- Datos – Análisis de datos – Regresión – Aceptar.

Quedando entonces el modelo de la siguiente manera: 

i= 2,6911 – 0,4795Xi 

Interpretación:  Si  se  incrementa  el  precio  del  café  (en  promedio),  su 

consumo disminuye  (0,47 0,5) casi media taza al día.

2. Función cuadrática o parábola de segundo grado: Forma funcional:

Y= a+bX+cX2 ó i= 0+ 1Xi+ 2Xi2

Ejemplo:  La  siguiente  tabla muestra  la  producción de un bien  (X)  y  su costo total (Y) de producción total:

Y 3910 3680 2990 2070 2070 1380 1610 1380 1725 1495 2070 1840 2530 2990 4025

X 200 240 300 400 500 540 600 640 700 800 900 1000 1040 1100 1200

A diferencia de la función de primer grado o lineal en ésta tenemos un tercer  término,  que  se  encuentra  elevado  al  cuadrado.  Para  su desarrollo en Excel debemos crear una nueva columna como lo indica su forma función para realizar la regresión a través de MCO.

Quedando  entonces  el  modelo  de  la  siguiente manera: 

Yi= 6322,0234 – 13,9725Xi + 0,00995Xi2

Los  costos  caen  hasta  cierto  (un  mínimo)  punto, cuando  la  producción  aumenta,  pero  a  partir  de  ese mínimo  existe  un  incremento  progresivo  por  cada unidad adicional.  

3. Función potencial: Forma funcional:

Y=AXb ó i= 1Xi2

Lo primero que hay que hacer es linealizar el modelo aplicando las propiedades de los logaritmos naturales:

lni= ln1+lnXi

Ejemplo: La presión P y el volumen V de determinado tipo de gas están determinados por  la ecuación: PV-b= a linealizando el modelo: ln(P)= ln(a)+bln(V)

      Y X X^2 Y^2 X^2 X*Y Y (V) X (P) LNY LNX X2 LNY2 LNX2 LNY*LNX

1 0,5 1,65 -0,69314718 0,50077529 0,2507759 0,48045301 0,25077589 -0,347110982 1 1,03 0 0,0295588 0,0008737 0 0,00087372 03 1,5 0,74 0,40546511 -0,30110509 0,0906643 0,16440195 0,09066428 -0,122087614 2 0,61 0,69314718 -0,49429632 0,2443289 0,48045301 0,24432885 -0,34262015 2,5 0,53 0,91629073 -0,63487827 0,4030704 0,83958871 0,40307042 -0,581733086 3 0,45 1,09861229 -0,7985077 0,6376145 1,20694896 0,63761454 -0,87725037

SUMATORIAS 2,4204 -1,698 1,6273 3,1718 1,6273 -2,271 

 

El modelo lineal queda de la siguiente forma:Yi= 0,0119 – 1,383Xi 

Para ajustarlo a la forma funcional debemos de aplicar anti.ln al intercepto: 

Quedando ahora: P= 1,01197*V-1,383

4. Función exponencial: Forma funcional:

Y=ABx ó Yi= e

Lo primero que hay que hacer es linealizar el modelo aplicando las propiedades de los logaritmos naturales:

lni= ln0+lnXi

Ejemplo: la siguiente tabla muestra los precios de venta (Y) de un modelo de automóviles usados durante (X) años: X 1 2 2 3 5 5

Y 6350 5695 5750 5395 4985 4895

Para desarrollar el modelo por MCO creamos una nueva columna con el ln(Y) posteriormente hacemos la regresión de ln(y) y X.

Ahora para llegar a la forma funcional tomamos la constante e= 2,71828182845904 elevado al intercepto hallado. β0=2,71828,7813= 6511,3815

Y= 6511,3815*e-0,05688*x