estadistica inferencial 1
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1
Estadística Inferencial
• Distribución de Probabilidad Normal
• Distribución Normal
• Distribución Normal Estándar
• Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar
• Estimación Puntual
• Teorema del Límite Central
• Distribuciones t
• Estimación por Intervalos (Intervalos de Confianza)
• Prueba de Hipótesis
• Hipótesis para un promedio
• Hipótesis para una proporción
• Hipótesis para dos promedios
• Hipótesis para dos proporciones
• Hipótesis para dos promedios muestras pareadas
• Prueba Chi-Cuadrado
• Análisis de Variancia
2
2
3
6
9
10
9
6
3
2
17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44 45-48 49-52
Estadístico Edad
Promedio: 34,52
Desv.Est.: 8,20
3452.
Ejemplo: Distribución de Frecuencias de las Edades de 50 personas
Distribución de Probabilidad Normal
3
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio
nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la
que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica
tiene forma de campana.
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie:
tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...
Caracteres fisiológicos: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma
cantidad de abono.
Caracteres sociológicos: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos,
puntuaciones de examen.
Caracteres psicológicos: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales: la media.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales,
f x e
x
( )
1
2
2
22
media
desv est
pi
e base nat
. .
. ...
log .
31415
2 7182
Función de Densidad
de la Distribución
Normal
Distribución de Probabilidad Normal
4
,1
2
Punto Máximo
Puntos de Inflexión
Eje de Simetría
Características de la Distribución Normal
Distribución de Probabilidad Normal
5
Distribución Normal Estándar
Cualquier variable, si se transforma a otra variable restando a todas sus
observaciones la media aritmética y dividiendo por la desviación estándar,
produce una nueva variable cuyo promedio es 0 y su desviación estándar es 1
( )2 4
21
x z
2 -1,0
4 0,0
6 1,0
Promedio: 4,00 0,00
Desv. Est.: 2,00 1,00
( )6 4
21
zx
( )
6
2
3
6
9
10
9
6
3
2
-2,25--1,75 -1,75--1,25 -1,25--0,75 -0,75--0,25 -0,25-0,25 0,25-0,75 0,75-1,25 1,25-1,75 1,75-2,25
2
3
6
9
10
9
6
3
2
17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44 45-48 49-52
Distribución Normal Estándar
0
Ejemplo: Distribución de Frecuencias
de las Edades de 50 personas
7
f z e
z
( ) 1
2
2
2
z
x
Función de Densidad
de la Distribución
Normal Estándar
01
20 0 399, , . ...
Punto Máximo
Puntos de Inflexión
1 1 0
Eje de Simetría = Eje Y
z
z
0
1
Distribución Normal Estándar
8
34 3
7 7
2 2 7 7 155
2 34 3 15 5 188
2 34 3 15 5 49 8
.
.
( )( . ) .
. .
. .
Probabilidades con la Distribución Normal Estándar
Cerca de 2 personas: aproximadamente el 5% de las personas es menor a 18.8 años o mayor a 49.8 años, y cerca del 95% de las personas tiene edades entre 18.8 y 49.8 años.
2
3
6
9
10
9
6
3
2
17-20 21-24 25-28 29-32 33-36 37-40 41-44 45-48 49-52
188. 498.
Apróx. 1 Persona Apróx. 1 Persona
95%
25%.25%.
Ejemplo: En la Distribución de Frecuencias de las Edades de
50 personas, al promedio le restamos 2 desviaciones
estándar y también le sumamos dos desviaciones estándar:
9
2 2 196 .
Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar
2 2 196 .
95%
25%.25%.
233. 233.
99%
05%.05%.
10
Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar
196.
975%. 25%.
233.
1% 99%
=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,975)
Cálculo en Excel
11
Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar
Cálculo en Minitab
Inverse Cumulative Distribution Function
Normal with mean = 0 and standard deviation = 1,0
P( X <= x ) x
0,9750 1,9600
97 5%, 25%.
12
Lecturas:
Mason & Lind: pág 304 a 321
Ejercicios:
Mason & Lind:
Página Ejercicios
321 12
Distribución de Probabilidad Normal
13
Estimación Puntual
1 2 3 4
2,50
1,12
Elementos de la Población
Promedio de la Población:
Desviación Estándar de la
Número de
la Muestra
Promedio de
cada Muestra
1 1 2 1,5
2 2 1 1,5
3 1 3 2,0
4 3 1 2,0
5 1 4 2,5
6 4 1 2,5
7 2 3 2,5
8 3 2 2,5
9 2 4 3,0
10 4 2 3,0
11 4 3 3,5
12 3 4 3,5
Elementos en cada
Muestra
X1
X 2
X12
2,50
0,645
Promedio de las 12 Muestras:
Desviación Estándar de las 12
Muestras:
X
X
Una Población está compuesta de
4 valores: 1,2,3,4. El Promedio de
esta Población es 2,5 y la
Desviación Estándar es 1,12
Si extraemos las 12 posibles muestras
(todas las posibles muestras), podemos
calcular el promedio de cada muestra:
Como se obtienen 12 muestras, podemos
calcular 12 promedios y también podemos
calcular el promedio de esos 12 promedios, y
la desviación estándar de esas 12 muestras:
14
X n
N n
N
22
1
X
2
3
1,414
0,791
0,667
0,816
0,645
N n
N
1
N n
N 1
N n
N
12
n2
n2
n
N n
N22
1
1,12Desviación Estándar de la
0,645Desviación Estándar de las 12
Muestras:
X
Estimación Puntual
Observemos que el Promedio de los Promedios
de las 12 muestras es igual al Promedio de la
Población: 2,5.
Sin embargo la Desviación Estándar de las 12
muestras no es igual a la Desviación Estándar
de la Población ( 0,645 y 1,12).
Observemos que si utilizamos la Desviación
Dstándar de la Población, mediante una
fórmula que involucra el tamaño de Población y
el tamaño de las muestras (2 de 4), si
obtenemos la Desviación Estándar de las 12
muestras:
15
Insesgado: si el promedio del estimador es igual al parámetro que se va a
estimar.
Eficiente: si hay dos o más estimadores para el mismo parámetro, el más
eficiente es el que tiene menor variancia.
Consistente: si se calcula el estimador para dos o más muestras, conforme el
tamaño de la muestra se incrementa, la aproximación es mejor.
Suficiente: si hay más de un estimador, suficiente es el que utiliza la mayor
cantidad de datos de la muestra.
Características de un buen estimador
Estimación Puntual
16
Un estimador puntual es un número que se utiliza para aproximar el valor de la
población. Los Estimadores Puntuales para variables cuantitativas son:
Estos son estimadores insesgados, eficientes, consistentes y suficientes
x
x
n
s
x x
n
ii
n
ii
n
1
2
1
1
( )
Estimación Puntual
17
P px
n
Los Estimadores Puntuales para Proporciones (en variables cualitativas) son:
En dónde x son los elementos de la muestra de tamaño n que cumplen con la
característica de estudio. Por ejemplo, x=20 mujeres de n=50 personas en una
muestra p=0.4 ( o 40% )
s pq
q pn x
n
1Aquí:
En la Población la Proporción y su Desviación Estándar se calculan: PX
n
PQ
Q PN X
N
1
Estimación Puntual
18
Estimación por Intervalo: Nivel de Confianza
Nivel de Confianza (1-)
12
2
95.01 025.02
025.0
2
05.0
Nivel de Confianza (95%)
19
Nivel de Confianza (1-)
96.1975.0 z
975.02
1
96.1025.0 z
025.02
Estimación por Intervalo: Nivel de Confianza
20
Distribución t (t-student)
La distribución t-student tiene
promedio 0 y su desviación estándar
depende del tamaño de la muestra
pero conforme aumenta n la
desviación estándar se acerca a 1.
De igual forma al aumentar n, la
distribución t-student tiende a ser
similar a la distribución normal
estándar.
Para cada valor de n (tamaño de
muestra), existe una distribución t-
student conocida como distribución
t con n-1 grados de libertad.
La Distribución t-student (o
simplemente t) es muy utilizada en
estadística inferencial.
Intervalos de Confianza
21
Distribución t
198.
95% 25%.25%.
198.
=DISTR.T.INV( 0,05 ; 100 )
Probabilidad (2 colas) Grados de Libertad
Cálculo en Excel
22
Distribución t
Cálculo en Minitab
97 5%, 25%.
Inverse Cumulative Distribution Function
Student's t distribution with 100 DF
P( X <= x ) x
0,9750 1,9840
23
Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población que tiene
media y variancia 2 , entonces:
Teorema del Límite Central
1
_
N
nN
n
xz
es el valor de una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad se aproxima a la
distribución normal estándar cuando n tiende a infinito:
Este teorema nos permite utilizar la distribución normal estándar en cualquier caso siempre y cuando el tamaño de muestra sea “suficientemente grande”. En muchos textos
se considera que si el tamaño de muestra es superior a 30, se puede aplicar la distribución normal estándar.
24
Si x es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población
normal que tiene media y variancia 2 , entonces:
1
_
)1(
N
nN
n
s
xt n
es el valor de una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la
distribución t-student con parámetro n-1 (grados de libertad)
Teorema Distribución t
Este resultado nos permite utilizar la distribución t cuando no se conoce el valor (variancia de la población), y se utiliza s como su estimación puntual. Es válido siempre y
cuando la distribución de la variable original sea aproximadamente normal.
Para muestras grandes (n≥30) debido a que la distribución t y la distribución normal son muy cercanas, el requisito de normalidad no es necesario para utilizar la distribución t.
25
Intervalo de confianza para al (1-)100%
11 21
2
N
nN
n
pqzpP
N
nN
n
pqzp
121
N
nN
n
pqzp
Intervalo de confianza para P al (1-)100%
Intervalos de Confianza
11
21;1
_
21;1
_
N
nN
n
stx
N
nN
n
stx nn
1
21;1
_
N
nN
n
stx n
26
Intervalo de confianza para al (1-)100%
ss
nt
s
n
N n
N
12
1
] [
111
21
2
t ts
n
N n
N
] [
ns
nt
s
n
N n
N
12
1 ] [
Si la Desviación Estándar “aumenta” el intervalo se hace
más “ancho”
Si la confianza “aumenta” el intervalo se hace más “ancho”
Si el tamaño de muestra “aumenta” el intervalo se hace
más “angosto”
Como se afecta el Intervalo al variar la Desviación Estándar, la Confianza
y el Tamaños de Muestra
Intervalos de Confianza
27
8,000 950
12,000 ± 1,677 * ———— * ————
50 999
8,000
12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951
7,071068
12,000 ± 1,677 * 1,131 * 0,975
12,000 ± 1,850
Tamaño n = 50
Promedio = 12
Desviación Estándar s = 8
Confianza 1- = 0,900
Tamaño N = 1000
Población
Muestra
_
x
4,000 950
12,000 ± 1,677 * ———— * ————
50 999
4,000
12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951
7,071068
12,000 ± 1,677 * 0,566 * 0,975
12,000 ± 0,925
Intervalo de confianza para al (1-)100%
Si la Desviación Estándar “aumenta” el intervalo se hace más “ancho”
Como se afecta el Intervalo al variar la Desviación Estándar
9,9 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5 13,6 13,7 13,8 13,9 14,0
Intervalos de Confianza
Tamaño n = 50
Promedio = 12
Desviación Estándar s = 4
Confianza 1- = 0,900
Tamaño N = 1000
Población
Muestra
_
x
11,08 12,9210,15 13,85
1
21;1
_
N
nN
n
stx n
28
Tamaño n = 50
Promedio = 12
Desviación Estándar s = 4
Confianza 1- = 0,900
Tamaño N = 1000
Población
Muestra
_
x
Intervalo de confianza para al (1-)100%
Si la Confianza “aumenta” el intervalo se hace más “ancho”
Como se afecta el Intervalo al variar la Confianza
10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 13,5
Intervalos de Confianza
11,08 12,92
4,000 950
12,000 ± 1,677 * ———— * ————
50 999
4,000
12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951
7,071068
12,000 ± 1,677 * 0,566 * 0,975
12,000 ± 0,925
Tamaño n = 50
Promedio = 12
Desviación Estándar s = 4
Confianza 1- = 0,990
Tamaño N = 1000
Población
Muestra
_
x
4,000 950
12,000 ± 2,680 * ———— * ————
50 999
4,000
12,000 ± 2,680 * ———— * 0,951
7,071068
12,000 ± 2,680 * 0,566 * 0,975
12,000 ± 1,478
10,52 13,48
1
21;1
_
N
nN
n
stx n
29
Tamaño n = 50
Promedio = 12
Desviación Estándar s = 4
Confianza 1- = 0,900
Tamaño N = 1000
Población
Muestra
_
x
Intervalo de confianza para al (1-)100%
Si el Tamaño de Muestra “aumenta” el intervalo se hace más “angosto”
Como se afecta el Intervalo al variar el Tamaño de Muestra
11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 11,9 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 12,5 12,6 12,7 12,8 12,9 13,0
Intervalos de Confianza
Tamaño n = 200
Promedio = 12
Desviación Estándar s = 4
Confianza 1- = 0,990
Tamaño N = 1000
Población
Muestra
_
x
11,08 12,92
4,000 950
12,000 ± 1,677 * ———— * ————
50 999
4,000
12,000 ± 1,677 * ———— * 0,951
7,071068
12,000 ± 1,677 * 0,566 * 0,975
12,000 ± 0,925
4,000 800
12,000 ± 2,576 * ———— * ————
200 999
4,000
12,000 ± 2,576 * ———— * 0,801
14,14214
12,000 ± 2,576 * 0,283 * 0,895
12,000 ± 0,652
11,35 12,65
1
21;1
_
N
nN
n
stx n
30
Distribución t
Promedio 316
Desviación Estándar 243,91
Muestra 40
Nivel de Confianza 95%
Alfa 5%
Grados Libertad 39
t 2,023
E 78,0
Límite Inferior 237,99
Límite Superior 394,01
Intervalos de Confianza
Cálculo en Excel
404 87 703 968
74 234 125 712
234 68 350 503
149 489 440 498
279 57 37 327
215 185 252 608
123 141 27 358
55 758 521 425
43 72 302 303
321 863 127 203
Distribución Normal
Promedio 316
Desviación Estándar 243,91
Muestra 40
Nivel de Confianza 95%
Alfa 5%
E 75,59
Límite Inferior 240,41
Límite Superior 391,59
=+PROMEDIO(B$4:B$43)
=+DESVEST(B$4:B$43)
=+CONTAR(B$4:B$43)
0,95
=(1-H7)
=+H6-1
=DISTR.T.INV(H8;H9)
=+(H5/RAIZ(H6))*H10
=+H4-H11
=+H4+H12
=+PROMEDIO(B$4:B$43)
=+DESVEST(B$4:B$43)
=+CONTAR(B$4:B$43)
0,95
=(1-E7)
=INTERVALO.CONFIANZA(E8;E5;E6)
=+E4-E9
=+E4+E9
Ejemplo
31
Intervalos de Confianza
One-Sample T: Saldos
Variable N Mean StDev SE Mean 95,0% CI
Saldos 40 316,0 243,9 38,6 ( 238,0. 394,0)
Cálculo en Minitab
Stat / Basic Statistics / 1-Sample t
Ejemplo
32
El error de estimación es la diferencia
entre el promedio de la muestra y el
verdadero promedio de la población:
1)1,2
1(
N
nN
n
stE
n
proporciónunaparaPp
promediounparax
Error de Estimación
El error de estimación no se puede conocer porque precisamente se está tratando de
estimar μ o P. Sin embargo es posible limitar su valor por medio de las probabilidades.
Para calcular el límite máximo del error de estimación para un promedio μ o una
proporción P, con un nivel de confianza 1- α establecido, utilizamos:
En dónde s es la desviación estándar de la muestra, p la proporción de la muestra (q=1-p),
n el tamaño de la muestra, N el tamaño de la población, 1- α el nivel de confianza.
E se conoce como el Error Máximo de Estimación con una confianza de 1- α
121
N
nN
n
pqzE
Para un Promedio μ :
Para una Proporción P :
33
Tamaño de Muestra
2
21
E
zPQn
Donde:
E es el límite máximo para el error permitido. 1-α es la probabilidad de que el error no
supere E. P es una aproximación la proporción de la población.
Si se desea estimar el tamaño de muestra para estimar una proporción P, se utiliza:
2
21
)5.0)(5.0(
E
zn
Si no se tiene idea del valor de P, se puede utilizar P=0.5, este valor genera el tamaño de
muestra más grande:
Para una proporción
34
Para un promedio
2
2
21
E
zn
Donde:
E es el límite máximo para el error permitido.
1-a es la probabilidad de que el error no supere E.
s es una aproximación la variancia de la población.
Tamaño de Muestra
35
Lecturas:
Mason & Lind: pág 374 a 394
Ejercicios:
Mason & Lind:
Página Ejercicios
396 32, 34
403 65, 66
Medidas de Variabilidad
36
Prueba de Hipótesis
• Hipótesis estadística y tipos de hipótesis
• Nivel de significancia
• Tipos de errores
• Estadísticos para las pruebas
• Reglas de decisión
• Planteo de la hipótesis
• Pasos para realizar la prueba de hipótesis
37
Prueba de Hipótesis
Un Parámetro es un valor que se calcula utilizando todos los valores de la Población
Por lo general se denotan con letras griegas o mayúsculas
Los Parámetros en muchas ocasiones son valores desconocidos ya que no tenemos
todos los componentes de la población
38
Como los parámetros son valores desconocidos, podemos plantear hipótesis
sobre su valor real, y mediante un mecanismo científico, realizar una
comprobación de esta hipótesis (demostrar si es verdadera o falsa)
Ejemplos de hipótesis:
-La proporción de personas contagiadas de alguna enfermedad es 8%.
El ingreso mensual promedio de las familias de un barrio marginal es 55000
colones.
El tiempo promedio de capacitación de un software es de 18 horas.
Prueba de Hipótesis
39
Dado que los valores completos de la población son desconocidos (y el valor del parámetro
también es desconocido), la forma de realizar una prueba y verificar la validez o no de una
hipótesis, es tomando una muestra y calculando el estadístico correspondiente
(estadístico: medición que se calcula con los valores de la muestra).
Si el valor de la muestra es suficientemente cercano al valor hipotético en la población
decimos que la hipótesis es cierta.
De lo contrario, si el valor de la muestra es suficientemente lejano al valor supuesto en la
población decimos que la hipótesis es falsa.
Prueba de Hipótesis
40
Prueba de Hipótesis
Hipótesis simple
Es una hipótesis en la que el parámetro queda especificado por completo, o sea solo
puede tomar un único valor.
• El promedio de edad de un grupo de estudiantes universitarios es 25 años: μ= 25.
• La proporción de trabajadores de una empresa que sufren de estrés es 35%: P = 0.35
Hipótesis compuesta
Es una hipótesis en la que el parámetro puede tomar más de un valor.
• El promedio de gastos mensuales en medicamentos por familia en San José es superior a
5000 colones: μ > 5000.
• La proporción de adultos que votaran en las próximas elecciones es superior al 70%:
P > 0.7
• La proporción de personas que llaman a la sección de servicio al cliente de una empresa
vendedora de computadoras es inferior al 6%: P < 0.06
41
Hipótesis Nula
Es una hipótesis que se plantea para ser rechazada o no. A la hipótesis nula se le
considera cierta hasta tanto no encontremos evidencia para rechazarla.
La hipótesis nula siempre es una hipótesis simple.
7.0:
30:
0
0
PH
H
Ejemplo
El fabricante de un software asegura que con un nuevo manual no más del 10% de los
compradores llamará haciendo solicitudes de servicio (El valor límite para la proporción
es 10%).
P es la proporción de todos los compradores que llaman a solicitar servicio (La afirmación
se aplica a todos los compradores: la población completa)
1.0:0 PH
Prueba de Hipótesis
42
Hipótesis alternativa
Siempre se formula un hipótesis nula y una hipótesis alternativa apropiada; ésta última es
la que aceptamos como cierta cuando la hipótesis nula es rechazada.
La hipótesis alternativa siempre es una hipótesis compuesta (unilateral o bilateral).
7.0:30: 11 PHH
Ejemplo
El fabricante de un software asegura que con un nuevo manual no más del 10% de los
compradores llamará haciendo solicitudes de servicio (El valor límite para la proporción
es 10%).
1.0:1 PH
Prueba de Hipótesis
43
Cuando la hipótesis alternativa es una hipótesis unilateral se dice que es de una cola.
Si es bilateral se dice que es de dos colas.
Prueba de Hipótesis
Prueba de
Hipótesis de
DOS COLAS
Prueba de
Hipótesis de
UNA COLA
44
Prueba de Hipótesis
Decisión
Correcta
Error
Tipo I
Error
Tipo II
Decisión
Correcta
Se Acepta Se Rechaza
H0
Verdadera
Falsa
H0
Posibles errores al tomar la decisión
Si el procedimiento de prueba lleva al Rechazo de H0 pero en la Realidad la hipótesis es
verdadera, se comete un error, este error se llama Error Tipo I
Procedimiento
de Prueba
Realidad
Si mediante el procedimiento de prueba se Acepta H0 pero en la Realidad la hipótesis es
falsa, se comete un error, este error se llama Error Tipo II
45
Ejemplo
Un fabricante de software afirma que la proporción de personas que llamará solicitando
servicio se su producto no supera el 10%. Pero un distribuidor mayorista del software
sospecha que esta proporción es mayor a lo que el fabricante afirma.
El distribuidor quiere determinar si la afirmación del fabricante es incorrecta (se quiere
demostrar que la afirmación del distribuidor es la correcta)
1.0:
1.0:
1
0
PH
PH
Prueba de Hipótesis
46
Ejemplo
Para verificar si la afirmación del fabricante es cierta, se toman los primeros 100
compradores del software y se controla si llaman solicitando servicio durante el siguiente
mes luego de la compra.
La proporción de personas llamaron en esa muestra es de 13%, o sea p=0.13.
¿Podríamos considerar que 0.13 es muy cercano a 0.10 y que la diferencia se debe al
azar? Entonces: ¿Podemos concluir que la afirmación del fabricante es cierta?
O sea, no rechazamos H0
¿O podemos considerar que 0.13 y 0.10 son muy lejanos y que hay “suficiente evidencia”
para concluir que la proporción de llamadas es superior al 10%? Entonces: ¿Podemos
rechazar H0
Prueba de Hipótesis
47
Nivel de Significancia
Cuando consideramos que la diferencia entre el parámetro y el valor en la muestra es
mayor que lo que puede atribuirse al azar, decimos que la diferencia es significativa.
Cuando la diferencia es significativa rechazamos la hipótesis nula y aceptamos como
válida la hipótesis alternativa. De lo contrario se mantiene como cierta la hipótesis nula.
El nivel de significancia es la probabilidad de cometer el error tipo I () . Como es una
probabilidad se le dan valores porcentuales entre 0 y 100.
Los valores más comunes son 0.01 (1%) , 0.05 (5%) y 0.1 (10%).
Un nivel de significancia del 1%, (= 0.01) indica que existe un 1% de probabilidad de
cometer el error de rechazar H0 cuando es realmente cierta (Error Tipo I).
En otras palabras, si se realizara 100 veces el proceso, cometeríamos 1 vez el error de
rechazar la hipótesis nula cuando realmente es cierta.
Prueba de Hipótesis
48
¿Como se determina ?
Si se esta probando un nuevo medicamento contra una enfermedad.
Y suponemos que las normas dicen que el medicamento se comercializa si por lo menos el
60% de las personas que lo prueban sanan. La hipótesis es:
H0 : P = 0.6
H1 : P < 0.6
¿ Utilizamos: =0.1 o =0.01 ?
Prueba de Hipótesis
Con =0.1, la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta es 10% O sea, que si se
extrajeran 100 muestra, en 10 de éstas podríamos concluir que el porcentaje de personas
que sanan es menor al 60% cuando en realidad es el 60% (o más)
Al usar =0.1, podríamos rechazar la comercialización del producto cuando este
realmente funciona un 10% de las veces.
49
Si usamos =0.01, la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta es de un 1% O sea, que
en 1 de cada 100 muestras posibles podríamos concluir que el porcentaje de personas que
sanan es menor al 60% cuando en realidad es el 60% (o más)
Al usar =0.01, rechazaríamos la comercialización del producto cuando realmente
funciona solamente en 1% de las veces.
En este caso es mejor utilizar =0.01 en lugar de =0.1, ya que el rechazo de
comercialización de un medicamento que cumple las normas es un error serio, por ello la
probabilidad de cometer el error tipo I debe ser pequeña.
En algunos casos el a puede ser superior (10%, 15%, e incluso más del 15%).
Prueba de Hipótesis
50
Estadístico para realizar la prueba de hipótesis
Para determinar si la diferencia entre el estimador y el parámetro es significativa se utiliza
un estadístico zc o tc. Este se compara con un valor en la distribución normal o la
distribución t-student de acuerdo con el nivel de significancia establecido.
01
00
:
:
H
H
1
0
_
N
nN
n
xzc
conocido
Estadístico de prueba
Prueba de Hipótesis
51
zzc
01
00
:
:
H
H
Prueba de cola izquierda
Rechazar Ho si
Tradicional Software
Método
Prueba de Hipótesis
Regla de Decisión
Valor P <
52
Prueba de cola derecha
Rechazar Ho si
Tradicional Software
Método
Prueba de Hipótesis
1zzc
01
00
:
:
H
H
Regla de Decisión
Valor P <
53
Prueba de dos colas
Rechazar Ho si
Valor P <
Tradicional Software
Método
Prueba de Hipótesis
2
21
:
zz
sio
zz
c
c
01
00
:
:
H
H
Regla de Decisión
54
404 87 703 968
74 234 125 712
234 68 350 503
149 489 440 498
279 57 37 327
215 185 252 608
123 141 27 358
55 758 521 425
43 72 302 303
321 863 127 203
One-Sample Z: Var1
Test of mu = 310 vs mu not = 310
The assumed sigma = 243,9
Variable N Mean StDev SE
Mean
Var1 40 316,0 243,9 38,6
Variable 95,0% CI Z P
Var1 ( 240,4. 391,6) 0,16 0,876
310:
310:
1
0
H
H
1- = 0.95 → = 0.05 → 1-/2 = 0.025
Hipótesis:
Nivel de Significancia:
Regla de Decisión: i) Rechazar H0 si zc>1,96 o si zc<1,96
ii) Rechazar H0 si Valor P < 0,05
Datos
Cálculo en MinitabCálculo en Excel
No se rechaza H0 ya que:
Valor P > 0,05
En Excel cuando la prueba de hipótesis es de dos colas, el valor de la fórmula se debe multiplicar por 2 (Excel calcula siempre la prueba de una cola
Prueba de Hipótesis
55
Cálculo tradicional
Dado que
zc = 0,156 < 1,96 , y
zc = 0,156 > -1,96
Entonces no se rechaza H0
Prueba de Hipótesis
56
Prueba de Hipótesis
¿Cómo plantear una hipótesis?
Cuando se desea probar una afirmación, la negación de la afirmación se debe
tomar como hipótesis nula (siempre una hipótesis simple =). Entonces, la
afirmación es la hipótesis alternativa (siempre una hipótesis compuesta > < ≠)
Ejemplos:
Un tratamiento tradicional contra una enfermedad tiene una efectividad del 35%.
Se desarrolló un nuevo tratamiento que se asegura es más efectivo que el anterior (efectivo
en el 45% de los casos). Se afirma que el nuevo tratamiento es mejor que el tradicional.
Sea P: Proporción de personas que sanan de la enfermedad con el nuevo tratamiento.
35.0:
35.0:
1
0
PH
PH
57
Ejemplos:
En un gimnasio se sigue una rutina de ejercicios que junto a una dieta produce un
descenso de 20 libras en 5 semanas. La rutina de ejercicios será sustituida por otra que se
afirma disminuye 25 libras (o más). Se quiere demostrar que la nueva rutina de ejercicios
es mejor que la anterior.
Sea μ : promedio de disminución de peso en libras luego de 5 semanas de ejercicios junto
con la dieta
20:
20:
1
0
H
H
En cierto país se sabe que la proporción de mujeres jóvenes que ingresan a los hospitales
embarazadas sin saberlo es de 7%. Un nuevo hospital se construye para dar servicio a una
zona con índices de pobreza altos. Se sospecha que en esta zona la proporción de mujeres
jóvenes que ingresen embarazadas sin saberlo será mayor que en el resto de los
hospitales.
Sea P : proporción de mujeres jóvenes que ingresan embarazadas al nuevo hospital sin
saberlo.
7.0:
7.0:
1
0
PH
PH
Prueba de Hipótesis
58
Pasos para hacer una prueba de hipótesis
Método tradicional
1. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alterna H0 y H1
2. Fijar el nivel de significancia ()
3. Se determina el estadístico apropiado y se construye una regla de decisión.
4. Cálculo del estadístico
5. Decisión
Por Software
1. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alterna H0 y H1
2. Fijar el nivel de significancia ()
3. Determinar en el software la Prueba Apropiada (o fórmulas apropiadas).
4. Cálculo en el Software
5. Decisión
Prueba de Hipótesis
59
Prueba de Hipótesis para Un Promedio
Estadístico de Prueba
conocida
01
00
:
:
H
H
1
0
_
N
nN
n
xzc
60
Prueba de Hipótesis para Un Promedio
Estadístico de Prueba
desconocida
01
00
:
:
H
H
1
0
_
N
nN
n
s
xtc
61
Hipótesis:
La Carolina Tobacco Company afirma que sus cigarrillos sin filtro más vendidos
tienen como máximo 40 mg de nicotina. Se examinaron, de forma aleatoria, 10
cigarrillos de esta compañía. Usando un nivel de significancia del 1%, probar si
la afirmación de la compañía es incorrecta.
Nivel de significancia: = 0,01
Regla de Decisión: Rechazar H0 si:
Valor P < 0,01
Prueba de Hipótesis para Un Promedio
40:
40:
1
0
H
H
Ejemplo
Nicotina
47,3
39,3
40,3
38,3
46,3
43,3
42,3
49,3
40,3
46,3
62
Stat / Basic Statistics / 1-Sample t
Calculo en Minitab
One-Sample T: Nicotina
Test of mu = 40 vs mu > 40
Variable N Mean StDev SE Mean
Nicotina 10 43,30 3,80 1,20
Variable 95,0% Lower Bound T P
Nicotina 41,10 2,75 0,011
Dado que Valor P = 0,011 y es mayor que =0,01, entonces NO se rechaza H0
→ μ=40
Ejemplo
Prueba de Hipótesis para Un Promedio
63
Prueba de Hipótesis para Dos Promedios
Estadístico de Prueba
1 y 2 desconocidas
21
2121
2
22
2
11
212
_
1
_
1
)2(
)1()1(
)()(21 nn
nnnn
snsn
xxt
nnc
0:
0:
21211
21210
H
H
kH
kH
211
210
:
:
64
Hipótesis:
Contenido de alquitrán en miligramos en cigarrillos con filtro y sin filtro. Se
quiere probar con un 5% de nivel de significancia si los cigarrillos con filtrotienen menor contenido medio de alquitrán que los sin filtro.
Nivel de significancia: = 0,01
Regla de Decisión: Rechazar H0 si:
Valor P < 0,01
Prueba de Hipótesis para Dos Promedios
Con Filtro Sin Filtro
16 23
15 23
16 24
14 26
16 25
1 26
16 21
18 24
10
14
12
11
14
13
13
13
16
16
8
16
11
CS
CS
H
H
:
:
1
0
Ejemplo
65
Prueba de Hipótesis para Dos Proporciones
Stat / Basic Statistics / 2-Sample t
Calculo en Minitab
Two-Sample T-Test and CI: Sin Filtro. Con Filtro
Two-sample T for Sin Filtro vs Con Filtro
N Mean StDev SE Mean
Sin Filt 8 24,00 1,69 0,60
Con Filt 21 13,29 3,74 0,82
Difference = mu Sin Filtro - mu Con Filtro
Estimate for difference: 10,71
95% lower bound for difference: 8,99
T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 10,59 P-Value = 0,000 DF = 25
Dado que Valor P = 0,00 y es menor que =0,01, entonces SI se rechaza H0
→ μS>μC
Ejemplo
66
Prueba de Hipótesis para Dos Proporciones
Calculo en Excel
Valor P 2,57E-08
Ejemplo
67
Estadístico de Prueba
01
00
:
:
PPH
PPH
n
QP
Ppzc
00
0
Prueba de Hipótesis para una Proporción
68
Prueba de Hipótesis para una Proporción
Hipótesis:
Los datos corresponden a 25 fumadores que siguieron una terapia para dejar de
fumar con parches de nicotina, después de un año se verifica cuales dejaron de
fumar (1) y cuales continúan fumando (0). Se desea demostrar que no hay
diferencia en la proporción de fumadores que dejaron de fumar y los que no,
luego de la terapia de parches de nicotina.
5,0:
5,0:
1
0
PH
PH
Nivel de significancia: = 0,05
Regla de Decisión: Rechazar H0 si:
Valor P < 0,05
Individuo Resultado
1 0
2 0
3 1
4 0
5 1
6 1
7 0
8 0
9 0
10 1
11 0
12 1
13 1
14 1
15 1
16 0
17 0
18 1
19 0
20 1
21 0
22 1
23 0
24 0
25 0
Ejemplo
69
Prueba de Hipótesis para Dos Proporciones
Stat / Basic Statistics / 1 Proportion
Calculo en Minitab
Test and CI for One Proportion: Resutlado
Test of p = 0,5 vs p not = 0,5
Success = 1
Exact
Variable X N Sample p 95,0% CI P-Value
Resutlado 11 25 0,440000 (0,244024. 0,650718) 0,690
Dado que Valor P = 0,69 y es mucho mayor que =0,05, entonces NO se rechaza H0
→ P=50%
Ejemplo
70
Prueba de Hipótesis para dos Proporciones
Estadístico de Prueba
0:
0:
21211
21210
PPPPH
PPPPH
21
2121
11)ˆ1(ˆ
)()(
nnpp
PPppzc
kPPH
kPPH
211
210
:
:
21
21ˆnn
xxp
71
Prueba de Hipótesis para Dos Proporciones
Hipótesis:
Los datos corresponden a 20 mujeres y 30 hombres
a los que en una encuesta se les pidió que dijeran si
estaban de acuerdo (1) o en desacuerdo (0) con la
afirmación: Definitivamente quiero estar casado (a).
Se desea poner a prueba la hipótesis de que la
proporción de hombres que contestó
afirmativamente es igual a la proporción de mujeres
que también contestó afirmativamente
MH
MH
PPH
PPH
:
:
1
0
Nivel de significancia: = 0,05
Regla de Decisión: Rechazar H0 si:
Valor P < 0,05
Individuo Sexo Respuesta Individuo Sexo Respuesta
A1 Mujer 0 B1 Hombres 0
A2 Mujer 0 B2 Hombres 0
A3 Mujer 1 B3 Hombres 0
A4 Mujer 0 B4 Hombres 1
A5 Mujer 0 B5 Hombres 1
A6 Mujer 0 B6 Hombres 0
A7 Mujer 0 B7 Hombres 0
A8 Mujer 1 B8 Hombres 0
A9 Mujer 0 B9 Hombres 1
A10 Mujer 0 B10 Hombres 0
A11 Mujer 0 B11 Hombres 0
A12 Mujer 1 B12 Hombres 1
A13 Mujer 1 B13 Hombres 0
A14 Mujer 0 B14 Hombres 1
A15 Mujer 0 B15 Hombres 0
A16 Mujer 0 B16 Hombres 0
A17 Mujer 0 B17 Hombres 1
A18 Mujer 1 B18 Hombres 0
A19 Mujer 0 B19 Hombres 0
A20 Mujer 0 B20 Hombres 0
B21 Hombres 0
B22 Hombres 1
B23 Hombres 0
B24 Hombres 0
B25 Hombres 0
B26 Hombres 1
B27 Hombres 0
B28 Hombres 0
B29 Hombres 1
B30 Hombres 0
Ejemplo
72
Prueba de Hipótesis para Dos Proporciones
Stat / Basic Statistics / 2 Proportions
Calculo en Minitab
En Minitab los datos se organizan en una sola
columna y se diferencian por la Variable Sexo
Test and CI for Two Proportions: Respuesta. Sexo
Success = 1
Sexo X N Sample p
Hombres 9 30 0,300000
Mujer 5 20 0,250000
Estimate for p(Hombres) - p(Mujer): 0,05
95% CI for p(Hombres) - p(Mujer): (-0,200806. 0,300806)
Test for p(Hombres) - p(Mujer) = 0 (vs not = 0):
Z = 0,39 P-Value = 0,696
Dado que Valor P = 0,696 y es mucho mayor que =0,05,
entonces NO se rechaza H0 → PH=PM
Ejemplo
73
Prueba de Hipótesis para Dos Muestras Pareadas
n
D
D
n
i
i 1
_
Media
1
1
2
12
2
n
n
D
D
S
n
i
n
i
i
i
D
Desviación Estándar
74
Estadístico de Prueba
Prueba de Hipótesis para Dos Muestras Pareadas
00:
00:
21211
21210
D
D
H
H
kkH
kkH
D
D
211
210
:
:
n
S
Dt
D
D
nc
_
)1(
75
Prueba de Hipótesis para Dos Muestras Pareadas
Sujeto Antes Después
A 6,6 6,8
B 6,5 2,4
C 9,0 7,4
D 10,3 8,5
E 11,3 8,1
F 8,1 6,1
G 6,3 3,4
H 11,6 2,0
Hipótesis:
Los datos corresponden a 8 individuos
seleccionados al azar: mediciones
antes y después de la hipnosis en una
escala de dolor en centímetros. Se
quiere probar que el promedio en la
escala de dolor es diferente luego de la
hipnosis.
DA
DA
H
H
:
:
1
0
Nivel de significancia: = 0,05
Regla de Decisión: Rechazar H0 si: Valor P < 0,05
Ejemplo
76
Prueba de Hipótesis para Dos Muestras Pareadas
Valor de P 0,0190
Stat / Basic Statistics / Paired t
Paired T for Antes - Después
N Mean StDev SE Mean
Antes 8 8,713 2,177 0,770
Después 8 5,588 2,608 0,922
Difference 8 3,13 2,91 1,03
95% CI for mean difference: (0,69. 5,56)
T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0):
T-Value = 3,04 P-Value = 0,019
Calculo en Minitab
Calculo
en Excel
Valor P = 0,019
1- = 0,05
Se rechaza H0
→ μA≠μD
Ejemplo
77
Lecturas:
Mason & Lind:
Prueba de Hipótesis muestras grandes: pág 410 a 441
Prueba de Hipótesis para Proporciones: pág 451 a 467
Prueba t student Muestras pequeñas: pág 479 a 505
Ejercicios:
Mason & Lind:
Página Ejercicios
446 36, 37
469 23
503 21
504 24
506 31
509 39
510 40
Prueba de Hipótesis
78
Análisis de Variancia de un Factor
Distribución F
La distribución de probabilidad que se utiliza para la
prueba de hipótesis relacionada con el análisis de
variancia es la Distribución F. Esta distribución es
sesgada a la derecha.
La prueba de hipótesis del análisis de variancia es solo
de cola derecha, por lo que si se utilizan los valores de la
distribución como regla de decisión, solamente se
Rechaza H0 si el valor calculado Fc es mayor que el valor
de la distribución F1-
Si se utiliza un software que calcule el Valor P, la regla de
decisión, siempre es Rechazar H0 si Valor P < 1-
79
Análisis de Variancia de un Factor
Análisis de Variancia
En experimentos, se conducen automóviles nuevos contra una pared fija a 35 millas por
hora, luego se miden las lesiones en la cabeza que sufren los “maniquíes”. Los
resultados dependen del tipo de automóvil, por lo que se separan en Subcompacto,
Compacto, Medio, y Full-size.
La cantidad de lesiones sufridas tiene una variabilidad que se puede asociar a
condiciones aleatorias, pero también hay variación debida al tamaño del automóvil. El
análisis de variancia divide la variabilidad total en dos fuentes: una variabilidad debida
al tamaño del automóvil, y el resto debido a otros factores (que consideramos
aleatorios).
Cuando solo se considera una fuente de variación (tamaño del automóvil en este caso)
se llama análisis de variancia de un factor.
Se puede realizar análisis de variancia de muchos factores. En este curso solo tratamos
el de un solo factor.
80
Análisis de Variancia de un Factor
Hipótesis en el Análisis de Variancia
Sean: μsc el promedio de lesiones en autos subcompactos, μc el promedio de lesiones en
autos compactos, μm el promedio de lesiones en autos medianos y μfs el promedio de
lesiones en autos full-size. Entonces la prueba de hipótesis por plantear es:
diferente es promedioalgún :
:
1
0
H
H fsmcsc
La hipótesis nula es que los promedios de lesiones para autos subcompactos, compactos,
medianos y full-size son todos iguales, contra la hipótesis alternativa de que al menos uno
de esos promedios es diferente.
Con el análisis de variancia no es posible determinar cuál de los promedios es diferente, solo se prueba que alguno es diferente.
81
Lecturas:
Mason & Lind:
Ejercicios:
Mason & Lind:
Página Ejercicios
510 40
Prueba de Hipótesis