República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio popular para la Educación Universitaria.

Universidad Alejandro de Humboldt.

Estadística.

Distribución de Probabilidades

Caracas, 18 de noviembre de 2013.

Introducción.

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

La distribución Normal, es también conocida como La campana de Gauss.

Distribución de Bernoulli y Binomial.

Supongamos que estamos realizando un experimento como lanzar repetidamente una moneda o un dado o sacar repetidamente una canica de una caja. Cada lanzamiento o selección se llama una prueba. En cada prueba sencilla habrá una probabilidad asociada con un evento en particular, como cara en una moneda, 4 en un dado o sacar una canica roja. En algunos casos esta probabilidad no cambiará de una prueba a otra (como ocurre con el lanzamiento de una moneda o de un dado). Se dice que tales pruebas son independientes y se denominan pruebas de Bernoulli, por James Bernoulli quien las investigo a finales del siglo XVII.

Sea p la probabilidad de que ocurra un evento en un ensayo sencillo de Bernoulli (llamado probabilidad de éxito). Entonces q = 1 – p es la probabilidad de que tal evento no ocurra en una prueba sencilla (llamada probabilidad de fracaso). La probabilidad de que el evento ocurra exactamente x veces en n pruebas (Es decir, éxitos y ocurran n - x fracasos), está dada por la función de probabilidad:

Imagen tomada del libro Probabilidad y Estadística de McGraw Hill.

La Distribución de Bernoulli es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (P) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (Q = 1 – p).

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos. Cuando se habla de la probabilidad de que el evento ocurra exactamente x veces en n pruebas, se habla de Distribución Binomial. Por lo que, la distribución Binomial es la repetición de la prueba de Bernoulli n cantidad de veces.

Propiedades de la distribución Binomial:

Esperanza matemática:

E[X] = p = u

Imagen tomada del libro Probabilidad y Estadística de McGraw Hill.

Moda:

0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Asimetría (Sesgo):

Curtosis:

La Curtosis tiende a infinito para valores de P cercanos a 0 ó a 1, pero para la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.

Ejemplos

"Lanzar un dado y salir un 6".

Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).

Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el principio de indiferencia | principio de indiferencia de Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar cualquier otro resultado.

La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).

Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

La Ley de los Grandes Números para las Pruebas de Bernoulli.

La Ley de los Grandes Números es una consecuencia de la desigualdad de Chebyshev.

Teorema: Sean X1, X2, ... , Xn, variables aleatorias mutuamente independientes (discretas o continuas), cada una con una media μ finita y varianza σ2 . Entonces si S = X1 + X2 + … + Xn ( n =1,2, …),

Imagen tomada del libro Probabilidad y Estadística de McGraw Hill.

Esta Ley de los grandes números, tiene una interpretación interesante en el caso de las pruebas de Bernoulli y se representa en el teorema siguiente

Teorema: Sea X la variable aleatoria que indica el número de éxitos en n pruebas de Bernoulli, de manera que X/n es la proporción de éxitos. Entonces si p es la probabilidad de éxito y ϵ es cualquier número positivo,

La Distribución de Poisson

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0,1,2, … tal que la función de probabilidad de X está dada por:

Donde λ es una constante positiva dada. Esta distribución se llama la distribución de Poisson (Por S. D. Poisson, quien la descubrió a comienzos del siglo XIX), y la Variable aleatoria que tiene esta distribución se dice que está distribuida según Poisson.

La Distribución Multinomial.

Supongamos que los eventos A1, A2, … , Ak son mutuamente excluyentes y pueden ocurrir con las probabilidades respectivas p1, p2, … , pk donde p1 + p2 + … + pk = 1. Si X1, X2, … , Xk son variables aleatorias que indican respectivamente el número de veces que A1, A2, …, Ak ocurren en un número n de pruebas, de manera que X1 + X2 + … + Xk = n, entonces:

Donde n1 + n2 + … + nk = n, es la función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias X1, … , Xk. Está distribución, la cual es una generalización de la distribución binomial, se llama distribución multinomial, puesto que la ecuación anterior es el término general en la expansión multinomial de (p1 + p2 + … + pk)n.

Ejemplo: Si un dado balanceado se lanza 12 veces, la probabilidad de obtener exactamente dos veces 1,2,3,4,5 y 6 es:

El número esperado de veces que A1, A2, … , Ak ocurren en n pruebas son np1, npk, respectivamente, es decir:

La Distribución Hipergeométrica

Supongamos que una caja contiene b canicas blancas y r canicas rojas. Llevemos a cabo n pruebas de un experimento en el cual sacamos una canica al azar, observamos su color, y luego la devolvemos a la caja. Este tipo de experimento se denomina muestreo con remplazo. En tal caso, si X es la variable aleatoria que indica el número de canicas blancas que secan (éxitos) en n pruebas, entonces usando la distribución binomial vemos que la probabilidad de exactamente n éxitos es:

Puesto que p = b/(b + r), 1 = 1 – p = r/(b + r).

Si se modifica lo anterior de manera que el muestreo se haga sin remplazo, entonces:

Ésta es la distribución hipergeométrica. La media y la varianza para esta distribución son

Si decimos que el número total de canicas blancas y rojas es N, mientras que las proporciones de canicas blancas y rojas son p y q = 1 – p, respectivamente, entonces

De esta manera se convierten, respectivamente, en:

Conclusión

Existen diversas distribuciones según el tipo de problema que se presente, estas distribuciones son útiles para la toma de decisiones, ya que permiten representar gráficamente los datos estadísticos facilitando su comprensión.

Además de los las distribuciones mencionadas en este trabajo, existen otras como la Distribución uniforme, la distribución de Cauchy, entre otras.

Anexos

Ejemplos.