estabilidade - apostila - josé carlos

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecânicaGrupo de Análise e Projeto Mecânico

CCUURRSSOO DDEE EESSTTAABBIILLIIDDAADDEE EESSTTRRUUTTUURRAALL

PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa

FFlloorriiaannóóppoolliiss,, oouuttuubbrroo ddee 22000055

SSUUMMÁÁRRIIOO 1 – FLAMBAGEM DE COLUNAS1 – FLAMBAGEM DE COLUNAS ______________________________________________________________________________ 11

1.1 – Introdução1.1 – Introdução ______________________________________________________________________________________________________ 11

1.2 – Análise de colunas1.2 – Análise de colunas ________________________________________________________________________________________ 11

1.3 – Equilíbrio adjacente1.3 – Equilíbrio adjacente ________________________________________________________________________________________ 55

1.4 – Coluna levemente curvada1.4 – Coluna levemente curvada ____________________________________________________________________________ 88

2 – BARRAS RETAS2 – BARRAS RETAS ________________________________________________________________________________________________ 1100

2.1 – Introdução2.1 – Introdução ____________________________________________________________________________________________________ 1100

2.2 – Instabilidade em flexão de colunas2.2 – Instabilidade em flexão de colunas ______________________________________________________________ 1100

2.2.1 – Influência das condições de contorno2.2.1 – Influência das condições de contorno __________________________________________________ 1100

2.2.2 – Colunas com restrições elásticas em rotação2.2.2 – Colunas com restrições elásticas em rotação ______________________________________ 1155

2.3 – Colunas pórticos2.3 – Colunas pórticos __________________________________________________________________________________________ 2200

3 – PLACAS RETANGULARES3 – PLACAS RETANGULARES________________________________________________________________________________ 3300


3.2 – Teoria de elementos de placa em flexão3.2 – Teoria de elementos de placa em flexão______________________________________________________ 3300

3.3 – Equações não lineares de equilíbrio3.3 – Equações não lineares de equilíbrio ____________________________________________________________ 3333

3.4 – Energia potencial estacionária3.4 – Energia potencial estacionária ____________________________________________________________________ 3366

3.5 – Equações lineares de estabilidade3.5 – Equações lineares de estabilidade ______________________________________________________________ 4422

3.5.1 – Critério do equilíbrio adjacente3.5.1 – Critério do equilíbrio adjacente ______________________________________________________________ 4422

3.5.2 – Critério da mínima energia potencial3.5.2 – Critério da mínima energia potencial ____________________________________________________ 4444

3.6 – Aplicações das equações de estabilidade3.6 – Aplicações das equações de estabilidade____________________________________________________ 4477

3.6.1 – Placa simplesmente apoiada nas quatro extremidades3.6.1 – Placa simplesmente apoiada nas quatro extremidades ________________________ 4477

3.6.2 – Outras condições de contorno3.6.2 – Outras condições de contorno ______________________________________________________________ 5500

3.6.3 – Carregamento cisalhante3.6.3 – Carregamento cisalhante ______________________________________________________________________ 5533

3.6.4 – Carregamento combinado3.6.4 – Carregamento combinado ____________________________________________________________________ 5555

4 – CASCAS CILÍNDRICAS CIRCULARES4 – CASCAS CILÍNDRICAS CIRCULARES ____________________________________________________________ 5599


4.2 – Equações diferenciais não lineares de equilíbrio - Donnell4.2 – Equações diferenciais não lineares de equilíbrio - Donnell__________________________ 5599

4.2.1 – Soma das forças e dos momentos4.2.1 – Soma das forças e dos momentos ________________________________________________________ 6600

4.2.2 – Energia potencial estacionária4.2.2 – Energia potencial estacionária ______________________________________________________________ 6644

4.3 – Forma de Donnell para as equações lineares de estabilidade4.3 – Forma de Donnell para as equações lineares de estabilidade ____________________ 6688


4.3.2 – Critério da mínima energia potencial4.3.2 – Critério da mínima energia potencial ____________________________________________________ 7711

4.4 – Aplicações das equações de estabilidade4.4 – Aplicações das equações de estabilidade____________________________________________________ 7733

4.4.1 – Pressão lateral uniforme4.4.1 – Pressão lateral uniforme ________________________________________________________________________ 7733

4.4.2 – Compressão axial4.4.2 – Compressão axial __________________________________________________________________________________ 7777

4.4.3 – Torção4.4.3 – Torção____________________________________________________________________________________________________ 8811

4.4.4 – Carregamento combinado4.4.4 – Carregamento combinado ____________________________________________________________________ 8833

5 – CASCAS GENÉRICAS5 – CASCAS GENÉRICAS ______________________________________________________________________________________ 8866


5.2 – Equações diferenciais de equilíbrio não lineares5.2 – Equações diferenciais de equilíbrio não lineares ________________________________________ 8866

5.3 – Equações lineares de estabilidade5.3 – Equações lineares de estabilidade ______________________________________________________________ 9900

5.3.1 – Critério da energia potencial mínima5.3.1 – Critério da energia potencial mínima ____________________________________________________ 9900


5.4 – Cascas de revolução5.4 – Cascas de revolução ____________________________________________________________________________________ 9944

5.4.1 – Equações de estabilidade com rotações de pré-flambagem retidas5.4.1 – Equações de estabilidade com rotações de pré-flambagem retidas ____ 9966

5.4.2 – Equações de estabilidade com rotações de pré-flambagem omitidas5.4.2 – Equações de estabilidade com rotações de pré-flambagem omitidas __ 9988

5.5 - Aplicações das equações de estabilidade5.5 - Aplicações das equações de estabilidade __________________________________________________ 110000

6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ESTABILIDADE6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ESTABILIDADE __________________________ 110011

6.1 – Estabilidade em vigas6.1 – Estabilidade em vigas ________________________________________________________________________________ 110011

6.2 – Matrizes de rigidez de um elemento de viga6.2 – Matrizes de rigidez de um elemento de viga ______________________________________________ 110011

6.3 – Matriz de rigidez de um elemento de barra6.3 – Matriz de rigidez de um elemento de barra ________________________________________________ 111155

6.4 – Estabilidade em pórticos6.4 – Estabilidade em pórticos ____________________________________________________________________________ 111188

6.5 – Estabilidade em placas6.5 – Estabilidade em placas ______________________________________________________________________________ 112255

A – MÉTODOS VARIACIONAISA – MÉTODOS VARIACIONAIS ____________________________________________________________________________ 113333

A.1 – Métodos Variacionais em Sistemas ContínuosA.1 – Métodos Variacionais em Sistemas Contínuos__________________________________________ 113344

A.2 – Equações de EulerA.2 – Equações de Euler ____________________________________________________________________________________ 113377

A.3 –Critério de TrefftzA.3 –Critério de Trefftz ________________________________________________________________________________________ 113399

Bibliografia

[1] Brush, D. O. and Almoroth, B. O., Buckling of Bars, Plates and Shells, McGraw-

Hill, 1975.

[2] Timoshenko, S. P. and Gere, J. M., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 1961,

2a edição.

[3] Yang, T, Y., Finite Element Structural Analysis, Prentice-Hall, 1986.

Curso de Estabilidade Estrutural

1

11 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE CCOOLLUUNNAASS

11..11 –– IInnttrroodduuççããoo

O projeto de elementos estruturais e de máquinas é baseado em três

características: resistência, rigidez e estabilidade. No estudo da flambagem de

colunas, onde se analisa a possibilidade de instabilidade dos sistemas estruturais,

deve-se obter parâmetros críticos adicionais que determinam se uma dada

configuração ou deformação em um dado sistema é permitido.

Para o estudo da flambagem de vigas, utilizar-se-á barras delgadas,

denominadas colunas, com carregamento axial, submetidas simultaneamente à

flexão. O problema consiste portanto em determinar as magnitudes das cargas

axiais críticas nas quais ocorre flambagem e as correspondentes formas das colunas

flambadas.

11..22 –– AAnnáálliissee ddee ccoolluunnaass

Considere uma coluna de comprimento L sujeita à uma carga compressiva

passando pelo centróide as seção transversal, Fig. 1.1. Os esforços internos

atuando num elemento infinitesimal da coluna são: N, componente longitudinal da

força, Q, componente transversal da força e M o momento fletor, Fig. 1.2. Para levar

em consideração a influência da rotação no comportamento da coluna, as equações

de equilíbrio serão obtidas em um elemento levemente deformado. Neste caso, as

rotações de seção β são assumidas pequenas comparadas com a unidade, logo:

sen β ≈ β e cos β ≈ 1. As equações diferenciais de equilíbrio são obtidas impondo o

equilíbrio estático das forças nas direções x e z, e o equilíbrio de momentos.

z

x P dx

Figura 1.1 – Coluna suje

x
P
ita à compressão

Flambagem de Colunas 2

M

M+dM

Q+dQ Q

β

β+dβ N+dN

N

z x

Figura 1.2 – Forças e momentos atuando em um elemento de coluna deformado

O equilíbrio das forcas na direção x fornece:

→ ∑ , xF = 0 N (N dN) Q (Q dQ)( d ) 0− + + − β + + β + β =

N' Q ' Q' 0+ β + β = (1.1)

onde dNdx

=N' , dQQ'dx

= e d'dxβ

β = .

O equilíbrio das forcas na direção z fornece:

↑ , zF =∑ 0

'

Q (Q dQ) N (N dN)( d ) 0− + + + β − + β + β =

N ' N' Q' 0− β −β + = (1.2)

E, o equilíbrio de momentos fornece:

, M M 0=∑ (M dM) Q dx 0− + − =

Q M= − (1.3)

Para colunas esbeltas em consideração, as interações entre as forças de

cisalhamento transverso e as rotações podem ser desprezíveis, assim, as eqs. (1.1),

(1.2) e (1.3) se tornam:

N' 0Q' N ' 0Q M'

=− β == −

(1.4)


3

Derivando a força transversa Q e substituindo na segunda equação da eq.

(1.4), temos:

N' 0M'' N ' 0

=+ β =

(1.5)

A eq. (1.5) expressa o equilíbrio de uma coluna esbelta contendo 3 incógnitas,

N, M e β.

Sabe-se da teoria de flexão de vigas que:

2

2

dwdx

d w ME Idx

β = −

= (1.6)

onde w é o deslocamento transverso, E o módulo de elasticidade do material da viga

e I o momento de inércia da seção transversal.

Reagrupando a eq. (1.6), temos:

w 'M EIw 'β = −= '

(1.7)

Derivando a eq. (1.7) e substituindo na eq. (1.5), o equilíbrio de uma coluna

esbelta se reduz agora a 2 incógnitas.

N' 0(EIw '')'' N w '' 0

=− =

(1.8)

Para o caso da rigidez EI ser constante ao longo do comprimento da coluna:

iv

N' 0

EIw N w '' 0

=

− = (1.9)

Da eq. (1.9), conclui-se que a força longitudinal é constante e igual a, N = - P.

Conseqüentemente, chega-se a expressão familiar de uma coluna esbelta em

flambagem: ivEIw P w '' 0+ = (1.10)


Apesar do fato da eq. (1.10) levar em consideração a influência da não

linearidade geométrica devido ao termo P w’’, a equação é uma equação diferencial

linear para valores fixos de P.

A solução da eq. (1.10) tem a forma:

1 2 3w(x) C senkx C coskx C x C= + + + 4 (1.11)

onde 2 PkEI

= e as constantes C1, C2, C3 e C4 são determinadas aplicando-se as

condições de contorno do problema. Para a coluna bi-articulada, conforme mostrado

na Fig. 1.1, as condições de contorno são:

P / x 0 w(0) 0 e M(0) E I w ''(0) 0P / x L w(L) 0 e M(L) E I w ''(L) 0

= ⇒ = = == ⇒ = = =

(1.12)

Aplicando a eq. (1.12) na eq. (1.11), temos:

2 3 4 1C C C C senkL 0= = = = (1.13)

Na forma deformada, C1 deve ser diferente de zero, logo:

sen k L = 0 ⇒ k L = n π (1.14)

Substituindo o valor de k na eq. (1.14), elevando ao quadrado e isolando a

carga Pn: 2 2

n 2n EP

Lπ

=I (1.15)

Como a carga crítica procurada é o menor valor na qual a coluna flamba, n =

1. Assim, a carga crítica para uma coluna biapoiada tem a expressão, denominada

carga de flambagem de Euler: 2

cr 2E IPL

π= (1.16)

Substituindo a relação k L = n π na expressão de deflexão, eq. (1.11), tem-se

o modo com que a coluna irá deformar, ou a forma flambada da coluna:


5

1nw(x) C sen xLπ

= (1.17)

A curva que exprime o equilíbrio de uma coluna bi-articulada, pode ser obtida

plotando a carga P versus a deflexão no meio do vão da coluna (w para x=L/2), Fig.

1.3.

2

cr 2E IPL

π=

trajetória secundária

trajetória primária

P

-w +w w para x=L/2

Figura 1.3 – Curva de equilíbrio para uma coluna bi-articulada

Na Fig. 1.3, os pontos ao longo da trajetória primária representam o equilíbrio

de colunas comprimidas, porém ainda retas. No entanto, pontos situados ao longo

da trajetória secundária representam o equilíbrio de colunas comprimidas fletidas. A

simetria da Fig. 1.3 indica que a coluna pode se deslocar em qualquer direção. A eq.

(1.16) fornece o ponto de bifurcação e a eq. (1.17) a trajetória secundária. A

trajetória secundária permanece horizontal por causa da independência entre a

carga P e a deflexão w.

11..33 –– EEqquuiillííbbrriioo aaddjjaacceennttee

A equação diferencial que exprime o equilíbrio da coluna na segunda

trajetória, eq. (1.10) é linear por causa da força interna N que é independente da

coordenada x, eq. (1.9a). Isto é uma peculiaridade de colunas e nos casos mais

gerais como placas, anéis e cascas, a equação diferencial que exprime o equilíbrio

do elemento é não linear. No entanto, pontos de intersecção entre a trajetória

primária e secundária, ou seja, pontos que fornecem a expressão de carga crítica,

equações diferenciais lineares podem ser utilizadas. Estas equações diferenciais

lineares são obtidas das equações não lineares usando a técnica da perturbação, na


qual o deslocamento u é substituído por u0 + u1, onde u é o campo de deslocamento,

u0 representa o deslocamento de uma configuração de equilíbrio e u1 um pequeno

incremento. Todos os termos contendo u0 se anulam por ser uma configuração de

equilíbrio, enquanto que somente os termos de primeira ordem em u1 são retidos.

Para ilustrar a linearização de equações diferenciais de equilíbrio, tomaremos

a equação de uma coluna. Esta técnica no entanto, é valida para os casos mais

gerais. Considere então a relação:

duN E A E Adx

= = ε (1.18)

A expressão de deformação não linear, pode ser dada da forma:

( )2

2du 1 dw 1u' w 'dx 2 dx 2

ε = + = +

(1.19)

Substituindo a eq. (1.19) na eq. (1.18) e posteriormente substituindo nas eqs.

(1.9), temos:

( )

( )

2

2iv

1E A u' w ' ' 02

1EIw E A u' w ' w '' 02

+ = − +

= (1.20)

Substituindo o campo de deslocamentos u e w por u0 + u1 e w0 + w1,

respectivamente, e considerando que:

Os deslocamentos u0 e w0 satisfazem a eq. (1.20) por serem deslocamentos

de uma configuração de equilíbrio,

Termos de segunda e terceira ordem em u1 e w1 podem ser omitidos por

serem valores incrementais.

Assim, na eq. (1.20a), temos:

( ) ( )

(1.21) ' '0 0u w

2'0 1 0 1

' '0 1

' ' '1 0 1

1u u ' w w ' 02

w w ' 0

u w w ' 0

+ + + = + + + = + =

2 2' '1 1

1 1u w2 2

+

E na eq. (1.20b), temos:


7

( ) ( ) ( ) ( )

(1.22)

iv ' ' 20 0

1EIw EA u w w2

− +

2iv '0 1 0 1 0 1 0 1

" ' ' ' "0 0 1 00 1

iv ' ' 2 " " "1 0 0 1 1

iv ' ' 2 " ' ' ' "1 0 1 0 1 00 1

1EI w w E A u u ' w w w w '' 02

EA u w w w

1EIw EA u w w EA w 02

1EIw EA u w w EA u w w w 02

+ − + + + + =

− +

+ − + − = − + − + =

'10 1

u w ' '1 w w+

As eqs. (1.21) e (1.22) são lineares em u1 e w1, como desejado, sendo que u0

e w0 são coeficientes.

Para colunas, o equilíbrio da trajetória primária representa uma configuração

não fletida, ou seja, o deslocamento transversal w0 = 0 (w’0 = w”0 = 0) . Assim, as

eqs. (1.21) e (1.22) reduzem a: "1

iv ' "1 10

u 0

EIw E Au w 0

=

− = (1.23)

O deslocamento u0 numa configuração não fletida de uma coluna é da

seguinte forma:

0Pu

E A= − x (1.24)

Introduzindo a eq. (1.24) na eq. (1.23), tem-se: iv "1 1EIw P w 0+ = (1.25)

A eq. (1.25) é a equação diferencial de equilíbrio linearizada para colunas

numa configuração levemente fletida. Soluções não triviais da eq. (1.23)

representam configurações de equilíbrio, adjacentes a forma reta da coluna, onde

ocorre um ponto de bifurcação. A eq. (1.25) é análoga a eq. (1.10), exceto que w é

substituído por w1. A solução da eq. (1.25) fornece o ponto de bifurcação, ou seja, a

carga crítica. No entanto, como w1 é um pequeno incremento, nenhuma informação

é obtida sobre a inclinação inicial ou a forma da trajetória secundária (modo de

flambar).


11..44 –– CCoolluunnaa lleevveemmeennttee ccuurrvvaaddaa

Geralmente as estruturas não são perfeitamente retas, como as colunas têm

sido consideradas até agora. As imperfeições iniciais podem ser consideradas para

se avaliar o comportamento de estruturas sob cargas compressivas. Para ilustrar

este problema, considere uma coluna bi-articulada, cuja forma inicial pode ser

representada por uma série infinita:

* *m

m 1

m xw C sin m 1,2,3,L

∞

=

π= =∑ … (1.26)

onde são constantes conhecidas. *mC

A inclinação é aumentada de uma inclinação inicial, também pequena, do tipo: *

* *dw (w )'dx

β = − = − (1.27)

Substituindo a eq. (1.27) na eq. (1.5), tem-se:

( )*M'' N ' 0+ β + β = (1.28)

Substituindo a eq. (1.7) na eq. (1.28) e considerando que o momento interno

M surge somente quando surgir um deslocamento transversal w, a equação

resultante é da forma:

( )iv *EIw P w w '' 0+ + = (1.29)

Introduzindo a eq. (1.26) na eq. (1.29), temos: 2

iv *m

m 1

m mEIw P w '' P C sinL L

∞

=

π π + =

∑ x (1.30)

Contrariamente a equação diferencial de equilíbrio para uma coluna reta, eq.

(1.10), a eq. (1.30) é não homogênea. A solução desta equação é da forma:

* * *1 2 3

2 2 2

2 2 2

x 2 x 3 xPC sin PC sin PC sinL L Lw

EI 4 EI 9 EIP P PL L L

π π π

= + +π π π

− − −…+ (1.31)


9

É possível verificar na eq. (1.31) que, a magnitude do deslocamento

transversal w aumenta na medida que a carga aplicada P se aproxima de 2

2EI

Lπ . Isto

acontece independentemente da forma inicial da coluna e dos coeficientes C ,

desde que ao menos . Para ilustrar o problema, a Fig. 1.4 apresenta a

evolução da carga aplicada P versus o deslocamento no meio do vão da coluna, na

qual é considerado e todos os outros coeficientes nulos.

*m

*1C ≠

0>

0

*1C

2

cr 2E IPL

π=

C1*

P

w para x=L/2

Figura 1.4 – Curva de equilíbrio para uma coluna bi-articulada levemente curvada

Uma comparação da Figs. (1.3) e (1.4) mostra que para grandes

deslocamentos a carga crítica, tanto para uma coluna reta como para uma coluna

levemente curva, ocorre em 2

cr 2E IL

π=P .

Barras Retas 10

22 –– BBAARRRRAASS RREETTAASS


Este capítulo trata da instabilidade em flexão e em torção de colunas

inicialmente retas, instabilidade lateral de vigas e a instabilidade não linear em flexão

e em torção de colunas tipo viga. Para todos os casos, as equações diferenciais de

equilíbrio são lineares e o procedimento de linearização discutido no capítulo

anterior não será necessário.

22..22 –– IInnssttaabbiilliiddaaddee eemm fflleexxããoo ddee ccoolluunnaass

22..22..11 –– IInnfflluuêênncciiaa ddaass ccoonnddiiççõõeess ddee ccoonnttoorrnnoo

4

A equação de equilíbrio de uma coluna inicialmente reta e levemente fletida,

como mostrada no capítulo anterior é da forma: ivEIw P w '' 0+ = (2.1)


1 2 3w(x) C senkx C coskx C x C= + + + (2.2)

onde 2 PkEI

= e as constantes C1, C2, C3 e C4 são determinadas aplicando-se as

condições de contorno do problema.

a) Coluna bi-articulada:

A carga crítica nestas condições de contorno, conforme visto anteriormente é: 2

cr 2E IPL

π= (2.3)

E a forma da coluna fletir é dada pela eq. (2.4), conforme ilustra a Fig. 2.1:

1nw(x) C sen xLπ

= (2.4)


11

L

P P

Figura 2.1 – Forma flambada de uma coluna bi-articulada

b) Coluna bi-engastada

Para uma coluna engastada nas duas extremidades, as condições de

contorno são:

P / x 0 w(0) 0 e w'(0) 0P / x L w(L) 0 e w'(L) 0

= ⇒ = == ⇒ = =

(2.5)

Aplicando as condições dadas pela eq. (2.5) na eq. (2.2), e colocando na

forma matricial, temos:

1

2

3

4

C0 1 0 1Ck 0 1 0

0CsenkL coskL L 1Ck coskL k senkL 1 0

= −

(2.6)

Rearranjando as equações do sistema da eq. (2.6), as relações entre as

constantes é: ( )2

coskL 1C

senkL−

= 1C

=

, C3 = - kC1 e C4 = - C2. Substituindo as constantes

na terceira ou quarta equações, resulta em:

kLsenkL 2coskL 2 0+ − (2.7)

Sabendo que:

2

kL kLsenkL 2sen cos2 2

kLcoskL 1 2sen2

=

= − (2.8)

Substituindo a eq. (2.8) na eq. (2.7), tem-se:

kL kL kLen kLcos 2sen 02 2 2 −

2 s (2.9) =

Barras Retas 12

Uma solução da eq. (2.9) é:

kL kLsen 0 n n 1,2,32 2

= ⇒ = π = … (2.10)


carga Pn: 2 2 2

n 22 n E IP

Lπ

= (2.11)

Como a carga crítica procurada é o menor valor na qual a coluna se torna

instável, n = 1. Assim, a carga crítica para uma coluna engastada nas extremidades,

com esta solução, tem a expressão:

( )2 2

cr 2 24 E I E IP

L L2

π π= = (2.10)

Substituindo a relação k L = 2 π no sistema de equações lineares dado pela

eq. (2.6), as constantes podem ser obtidas e são: C1 = C3 = 0 e C4 = - C2.

Substituindo as constantes na expressão de deflexão, eq. (2.2), tem-se o modo com

que a coluna irá deformar, ou a forma flambada da coluna:

42 xw(x) C 1 cos

Lπ = −

(2.11)

A outra solução da eq. (2.9) é:

kL kLtan2 2

= (2.12)

A menor raiz da eq. (2.12) é (ver Fig. 2.2):

kL 4,492

= (2.13)


13

πta

n kL

/2

tan

kL/2

2 2π

tan

kL/2

y

4,49

y=kL/2

x = kL/2

Figura 2

Substituindo o valor de k

carga Pn: 2 2

cr 22 4,49 E IP

L=

Comparando as duas ca

percebe-se que a menor carga cr

Derivando duas vezes a eq

de inflexão, ou um ponto onde o m

nas duas extremidades é simétric

momento nulo é L/2, Fig. 2.3.

z L/4

P

Figura 2.3 – Forma flambad

π/2

.2 –

na

rga

ítica

. (2

om

a, p

x

a de

3π/

Soluçã

eq. (2.1

s crítica

é a da

.11) e ig

ento é

ercebe-

L

uma co

o da eq. (2.12)

3), elevando ao quadrado e isolando a

(2.14)

s dadas pelas eqs. (2.10) e (2.14),

eq. (2.10).

ualando a zero, encontramos um ponto

nulo, x = L/4. Como a coluna engastada

se que a distância entre dois pontos de

L/4/2

P

luna engastada nas extremidades

Barras Retas 14

c) Coluna engastada-articulada

Para uma coluna engastada numa extremidade e articulada na outra, as

condições de contorno são:

P / x 0 w(0) 0 e w'(0) 0P / x L w(L) 0 e w''(L) 0

= ⇒ = == ⇒ = =

(2.15)



1

2

3

4

C0 1 0 1Ck 0 1 0

0CsenkL coskL L 1CsenkL coskL 0 0

=

(2.16)

Substituindo a quarta equação na terceira, tem-se as seguintes relações: C2 =

- C4, C3 = - C1 k e C4 = - C3 L. Substituindo estas relações na quarta equação,

temos:

tankL kL= (2.17)

A menor raiz da eq. (2.17) é (ver Fig. 2.2):

kL 4,49= (2.18)


carga Pn, a carga crítica para uma coluna engastada numa extremidade e articulada

na outra tem a expressão:

( )

2 2

cr 2 22,04 E I E IP

L 0,7Lπ π

= = (2.19)

Substituindo a eq. (2.17) no sistema de equações lineares dado pela eq.

(2.16), as constantes podem ser obtidas e são: C2 = -kLC1, C3 = -kC1, C4 = kLC1.

Substituindo as constantes na expressão de deflexão, eq. (2.2), tem-se o modo com

que a coluna irá deformar, ou a forma flambada da coluna:

[ ]1w(x) C senkx kLcoskx k(L x)= − + − (2.20)


15

Pode-se perceber aqui também que a distância entre dois pontos de momento

nulo é 0,7 L, Fig. 2.4.

x

z 0,7L

P P

Figura 2.4 – Forma flambada de uma coluna engastada-articulada

22..22..22 –– CCoolluunnaass ccoomm rreessttrriiççõõeess eelláássttiiccaass eemm rroottaaççããoo

Este caso trata de problemas de colunas com restrições elásticas em rotação

e restrições rígidas em deslocamento. As condições de contorno gerais para este

tipo de problema são, Fig. 2.5:

11

1

22

2

MP / x 0 w(0) 0 e w'(0)

MP / x L w(L) 0 e w'(L)

= ⇒ = = − = −βα

= ⇒ = = = βα

(2.21)

onde α1 e α2 são rigidezes rotacionais.

β2

β1

y X

w’(L)w’(0) x

z

M2

P

M1 L

P

Figura 2.5 – Restrições elásticas em rotação



Barras Retas 16

1 1

12

3

4 2

2

0C0 1 0 1 MCk 0 1 0CsenkL coskL L 1 0Ck coskL ksenkL 1 0 M

− α = −

α

(2.22)

Da equação diferencial de viga, sabe-se que: 2

2d wM=EIdx

(2.23)

Aplicando a eq. (2.23) na eq. (2.2), tem-se: 2

1 22

2 1 2

M = EIk C

M = EIk (C senkL C coskL)

−

− + (2.24)

Introduzindo a eq. (2.24) no sistema de equações dado pela eq. (2.22):

( )

12

1 2

32 2

42 2

0 1 0 CΦ Φ L 0 C

0senΦ cosΦ L 1 CCΦcosΦ Φ senΦ ΦsenΦ Φ cosΦ L 0

−λ

1

= + λ − − λ

(2.25)

onde:

11

22

EI=L

EI=L

Φ kL

λα

λα

=

(2.26)

A solução não trivial do sistema de equações homogêneas, eq. (2.25), é da

forma:

( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 21 Φ ΦsenΦ 2 Φ Φ cosΦ 2 0− λ − λ − λ λ + + λ + λ − = (2.27)

Para o caso especial de restrições iguais nas duas extremidades, λ1=λ2=λ, a

eq. (2.27) se simplifica:


17

( )2Φ Φtan Φ 2 Φ tan Φ 02 2

+ λ + λ − =

(2.28)

As raízes da eq. (2.28) são da forma:

( )2

Φ Φtan 22 2

ΦΦ 2tan2 Φ1 2 2

= − λ

=+ λ

(2.29)

Sabe-se que λ ≥ 0, Φ22

− λ ≤ 0 e como ( )2Φ1 2 12 + λ

> , a relação

( )2Φ Φ20

2Φ1 2 2

≤+ λ

≤ é verdadeira.

( )2Φ

2yΦ1 2 2

=+ λ

Φy 2=

Φy 22

= − λ

Φx2

=

tan Φ

/2

y

2π 3π/2 π/2

tan Φ

/2

tan Φ

/2

π

Figura 2.6 – Solução das eq. (2.26)

Pela Fig. 2.6, observa-se que a menor raiz é:

Φtan Φ2= −λ (2.30)

Barras Retas 18

As expressões que fornecem a carga crítica para os três casos analisados até

o momento, bi-articulada, bi-engastada e engastada-articulada são respectivamente,

(2.3), (2.10) e (2.16). Estas expressões podem ser obtidas a partir da eq. (2.30) da

forma:

1 – Para uma coluna bi-articulada, α1 = α2 = 0. Então λ → ∝ e, da eq. (2.30),

Φtan2= −∞ ⇒ Φ

2 2π

= ⇒ kL . Logo, a carga crítica é da forma = π2

cr 2E IL

π=P .

2 – Para uma coluna bi-engastada, α1 = α2 = → ∝. Então λ = 0 e, da eq. (2.30),

Φtan 02= ⇒ Φ

2= π⇒ kL . Logo, a carga crítica é da forma 2= π

( )

2

cr 2E I

0,5Lπ

=P .

3 – Para uma coluna engastada para x = 0 e articulada para x = L, α1 → ∝ e α2 = 0,

logo λ1 = 0 e λ2 → ∝. A eq. (2.27) dividida por λ2 fornece

2 2 21 11

2 2 2 2 2

1 21 Φ ΦsenΦ Φ Φ cosΦ 0 λ λ

− − − λ + + + − = λ λ λ λ λ

2 , Substituindo λ1 = 0 e

λ2 → ∝, tem-se ( )senΦ ΦcosΦ 0− + =Φ . As raízes dessa equação são Φ 0= e

. Como a primeira raiz é a solução trivial, a solução do problema é tan kL =

kL. A expressão de carga crítica é então da forma

tanΦ Φ=

( )

2

cr 2E I

0,7Lπ

=P .

d) Coluna engastada-livre

Em todos os casos considerados anteriormente, as colunas eram rigidamente

restringidas com relação ao deslocamento lateral (w = 0 para x = 0, L). Considere

agora um caso de uma coluna engatada-livre, Fig. 2.7.

δ

x

z L

P

P

Figura 2.7 – Forma flambada de uma coluna engastada-livre


19

Considerando a eq. (2.23), que 2 PkEI

= e que:

dMQ=dx

− (2.31)

as condições de contorno para este caso são as seguintes:

PP / x 0 w(0) 0, w'(0) 0 e w''(0)=EI

P / x L w(L) e w''(L) 0

δ= ⇒ = =

= ⇒ = δ = (2.32)

Introduzindo as eqs. (2.32) na eq. (2.2), as constantes podem ser obtidas e

são da forma, C1 = C3 = 0, C2 = -C4 e C2 cos kL=0. Logo, a equação que fornece o

deslocamento transversal é da forma:

(4w(x) C 1 coskx= − ) (2.33)

Considerando a solução não trivial de C2 cos kL=0, temos:

kL=(2n+1) (n 0,1, 2,...)2π

= (2.34)

Assim, considerando que 2

EIPk = , a carga crítica, para n = 0, é da forma:

2

cr 2E IP

(2L)π

= (2.35)

Pode-se perceber aqui também que a distância entre dois pontos de momento

nulo é 2 L, Fig. 2.7.

De uma forma geral, a expressão que fornece a carga crítica de uma coluna

para uma é: 2

cr 2E IP

(KL)π

= (2.36)

onde KL é o comprimento efetivo (ou equivalente) da coluna e, é função das

condições de contorno da coluna.

Barras Retas 20

22..33 –– CCoolluunnaass ppóórrttiiccooss

a) Pórtico plano bi-apoiado

Considere um pórtico restrito de maneira a deformar-se somente no plano,

Fig. 2.8. A coluna e a viga têm comprimento L e rigidez EI. Estes elementos estão

rigidamente unidos e as colunas nos suportes estão articuladas.

δ2 PP

L

L

P P

(a) (b)

Figura 2.8 – Possíveis formas flambadas de um pórtico plano

Na forma flambada (a), onde os deslocamentos transversais das colunas são

restritos, pode-se utilizar a eq. (2.27), onde a rigidez rotacional na extremidade

inferior (articulação), é nula, α1 = 0, logo λ1 → ∝. A eq. (2.27), dividida por λ1 é então

da forma:

2 2 22 22

1 1 1 1 1

1 21 Φ ΦsenΦ Φ Φ cosΦ 0 λ λ

− − − λ + + + − = λ λ λ λ λ

2 (2.37)

O que reduz-se a:

( )221 Φ senΦ ΦcosΦ+ λ = (2.38)

Considerando que Φ kL= , temos:


21

( )22

kLtankL1 kL

=+ λ

(2.39)

Da teoria de deflexão de vigas, se a viga se deformar na forma de um arco

(a), a rotação em um apoio de uma viga bi-articulada submetido à momentos de

mesma intensidade nos apoios, porém de sentido contrário, é da forma,

2 22

M L M L M L3EI 6EI 2EI

β = + = 2 (ver Figura 2.9).

β2 β2

M2

P

M2

P β2

M2 M2

Figura 2.9 – Deformada da viga na forma de um arco

A influência do deslocamento vertical no apoio pode ser considerada

desprezível. Como, 22

2

Mα

β = , a rigidez rotacional neste ponto é 22EIL

α = . Logo,

22

EI 1L 2

λ = =α

. Conseqüentemente:

( )2kLtankL 11 kL2

=+

(2.40)

Barras Retas 22

( )2kLy 11 kL

2

=+

y

tan

kL

y=kL

3,59

2π 3π/2 π/2

tan

kL

tan

kL

π x = kL

Figura 2.10 – Solução da eq. (2.40)

A menor raiz da eq. (2.40) é conforme mostrado na Fig. 2.10 é, kL=3,59.

Como, 2 PEI

=k , a carga crítica para a coluna do pórtico é da forma:

2

cr 23,59 EIP

L= ⇒

2

cr 2EI

L3,59

π=

π

P ⇒ ( )

2

cr 2EI

0,87Lπ

=P (2.41)

Percebe-se que a carga crítica encontrada está entre a carga de uma coluna

apoiada-engastada, ( )

2

cr 2EIP

0,7Lπ

= e a carga crítica de uma coluna bi-apoiada,

2

cr 2EIP

Lπ

= .

No entanto, se a viga se deformar na forma de um S (b), a rotação em um

apoio de uma viga bi-articulada submetido à momentos de mesma intensidade nos

apoios, agora de mesmo sentido, é da forma, 2 22

M L M L M L3EI 6EI 6EI

= − = 2β , (ver Figura


23

2.11). Logo, a rigidez rotacional é 22

2

M 6EL

α = =β

I . Como neste caso, o deslocamento

lateral não é nulo, assim a eq. (2.27) não é mais válida.

Para resolver este problema, é preciso resolver a equação diferencial da

forma: 2d wEI =M=Pwdx

(2.42)

δ2

M2

P

M2

P

β2

β2

M2

M2

Figura 2.11 – Deformada da viga na forma de um S


1 2 3w(x) C senkx C coskx C x C= + + 4+

2

2

−δ

(2.43)

As condições de contorno para este tipo de problema são:

2 2

P / x 0 w(0) 0, w''(0) 0P / x L w(L) , EIw''(L) M

= ⇒ = == ⇒ = −δ =

(2.44)

Aplicando as eqs. (2.44) na eq. (2.43), tem-se:

( )

2 4

2

1 2 3 4

2 21 2

w(0) C C 0w''(0) C 0w(L) C senkL C coskL C L C

EIw''(L) EI C k senkL C k coskL M

= + =

= =

= + + + =

= − − =

(2.45)

Barras Retas 24

Pelo equilíbrio de momento, tem-se que M2 = Pδ2 e ainda, sabe-se que

2 PkEI

= . Logo as constantes podem ser obtidas e são da forma, C2 = 0, C3 = 0, C4 =

0 e 21C

senkLδ

= − . Logo, a eq. (2.40) é da forma:

2w(x) senkxsenkLδ

= − (2.46)

Da eq. (2.46), pode-se agora obter a inclinação e o momento para x = L,

22

ktankLδ

β = , . Assim, a rigidez rotacional neste ponto é 22M EIk= 2δ

22

2

Mα = =

βEIk tankL . Igualando esta rigidez rotacional com a rigidez encontrada pela

teoria de viga, tem-se:

6tankLkL

= (2.47)

6ykL

=

tan

kL

y

1,35

2π 3π/2 π/2

tan

kL

tan

kL

πx = kL



Como, 2 PEI

=k , a carga crítica para a coluna do pórtico na forma deformada (b) é:


25

2 2

cr 2 2E I E IP 0,184L (2,33L

π π= =

) (2.48)

Geralmente, quando o deslocamento lateral é nulo, K ≤ 1, e em caso contrário

K > 1, assim como apresentado pelas equações (2.41) e (2.48).

b) Pórtico plano bi-engastado

Considere um pórtico as colunas e a viga com comprimento L e rigidez EI.

Estes elementos estão rigidamente unidos e as colunas nos suportes estão

engastadas.

P P

L

L

PP

L

L

(a) (b)

Figura 2.13 – Possíveis formas flambadas de um pórtico bi-engastado

Na forma flambada (a), onde os deslocamentos transversais das colunas são

restritos, pode-se utilizar a eq. (2.27), onde a rigidez rotacional na extremidade

inferior (articulação) é infinita, α1 → ∝., logo λ1 = 0. Assim, na eq. (2.27):

( ) ( )22 21 ΦsenΦ 2 Φ cosΦ 2 0− λ + + λ − = (2.49)

Substituindo a eq. (2.8) na eq. (2.46):

( ) ( )2 22 2

Φ Φ Φ1 Φ2sen cos 2 Φ 1 2sen 2 02 2 2

− λ + + λ − − =

(2.50)

Barras Retas 26

Após algumas manipulações matemáticas, a eq. (2.50), se torna:

( ) ( )22 2 2

Φ Φ Φ2sen 1 cos 2 Φ sen Φ 02 2 2φ − λ − + λ + λ =

2 (2.51)

Como no caso anterior (pórtico articulado) na forma deformada como um arco

(a), 212

λ = . Logo em (2.51):

2Φ Φ Φ 1 Φ 12sen cos 2 Φ sen Φ 02 2 2 2 2 2 − + + =

2 (2.52)

y

1 2 3 4 5 6

-10

-5

5

10

15

20

x = φ


A primeira raiz da eq. (2.52) para a forma flambada (a) do pórtico é Φ 5= .

Assim: 2

cr 25 EIPL

= ⇒ 2

cr 2EI

L5

π=

π

P ⇒ ( )

2

cr 2EI

0,63Lπ

=P (2.53)

Percebe-se que a carga crítica encontrada está entre a carga de uma coluna

bi-engastada, ( )

2

cr 2EIP

0,5Lπ

= e a carga crítica de uma coluna engastada-apoiada,

( )

2

cr 2EIP

0,7Lπ

= .


27

Na forma flambada (b), a eq. (2.27) não pode ser mais utilizada. O pórtico

nesta forma flambada pode ser separado nos seus elementos estruturais da forma

apresentada na Figura 2.15.

As condições de contorno para a coluna nesta configuração são:

R

2 2

P / x 0 w(0) 0, w'(0) 0, EIw''(0) MP / x L w(L) , EIw''(L) M

= ⇒ = = = −

= ⇒ = −δ = (2.54)

MR

M2

P

MR

δ2

M2

P β2

β2

M2

M2

Figura 2.15 – Deformada da viga na forma de um S

Aplicando as eqs. (2.54) na eq. (2.40), tem-se:

( )

( )

2 4

1 3

22 R

1 2 3 4

2 21 2

w(0) C C 0w'(0) C k C 0

EIw''(0) EI C k M

w(L) C senkL C coskL C L C

EIw''(L) EI C k senkL C k coskL M

= + =

= + =

= − = −

= + + + =

= − − =

2

2

−δ

2

(2.55)

Pelo equilíbrio dos momentos na coluna, tem-se que M PR 2 M= δ − e sabe-se

ainda que 2 PkEI

= . Logo:

Barras Retas 28

4 2

3 1

2 2 2

1 2 1 2

21 2

C CC C kPC P M

C senkL C coskL C kL CM

C senkL C coskLP

= −

= −

− = − δ +

+ − − =

+ = −

2−δ

(2.56)

Desenvolvendo as eqs. (2.56):

22 2

21 2

MC

PM

C kL CP

= δ −

− − − = −δ2

(2.57)

Substituindo uma equação na outra em (2.57), tem-se:

2 21 2 2 1 3

M MC kL C 0 C 0

P P

− − − δ − = −δ ⇒ = ⇒ =

(2.58)

Logo, a deformada da coluna tem a forma:

(2w(x) C coskx 1= )−

L

(2.59)

Da eq. (2.59), pode-se agora obter a inclinação e o momento para x = L,

, . Assim, a rigidez rotacional neste ponto é 2 2C ksenkLβ = 22 2M EIC k cosk= −

22

2

M EIkse

−α = =

βcoskLnkL

. Da teoria de vigas, a rigidez rotacional para a viga

deformada na forma de um S é 2

2

M 6EL

=2 βI

α = . Igualando as rigidezes, tem-se:

EIk coskL 6EI kLtankLsenkL L 6

− −= ⇒ = (2.60)


Como, 2 PEI

=k , a carga crítica para a coluna do pórtico na deformada (b) é da forma:


29

2

cr 22,72 EIP

L= ⇒

2

cr 2EI

L2,72

π=

π

P ⇒ 2

cr 2E I

(1,15L)π

=P (2.61)

Percebe-se novamente que, quando o deslocamento lateral é nulo, K ≤ 1, e

em caso contrário K > 1, assim como apresentado pelas equações (2.53) e (2.61).

x = kL π

y ta

n kL

tan

kL

tan

kL

π/2 3π/2 2π

y = - kL/6

y = -kL

2,72


Placas Retangulares 30

33 –– PPLLAACCAASS RREETTAANNGGUULLAARREESS


Este capítulo trata da instabilidade de placas retangulares submetidas à

diferentes carregamentos do tipo membrana. Para todos os casos, as equações

diferenciais de equilíbrio são não lineares e um procedimento de linearização será

necessário para a resolução das equações diferenciais de equilíbrio.

33..22 –– TTeeoorriiaa ddee eelleemmeennttooss ddee ppllaaccaa eemm fflleexxããoo

Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, e

espessura h submetido à esforços de membrana e à uma carga distribuída p. Os

eixos x e y são colocados no plano médio da placa e o eixo z é medido a partir do

plano médio, Fig. 3.1.

yN

yxN

xN

xyN

dx

dy

xQyQp

xyM yxM

xM

yM y

z

x

Figura 3.1 – Esforços internos atuantes sobre um elemento de placa

Os esforços internos são forças e momentos por unidade de comprimento e,

estão relacionados com as tensões internas pelas equações:


31

h / 2 h / 2

x x y yh / 2 h / 2h / 2 h / 2

xy xy yx xyh / 2 h / 2

h / 2 h / 2

x xz y yzh / 2 h / 2

h / 2 h / 2

x x y yh / 2 h / 2h / 2

xy xy yx yxh / 2 h

N dz N dz

N dz N dz

Q dz Q dz

M z dz M z dz

M z dz M z

− −

− −

− −

− −

− −

= σ = σ

= τ = τ

= τ = τ

= σ = σ

= τ = τ

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫h / 2

/ 2∫ dz

(3.1)

As tensões x xy, ,σ τ etc., são tensões em um ponto qualquer ao longo da

espessura da placa, diferente de σx, τxy, etc., que são tensões na superfície média

(z=0).

A teoria de placas finas é obtida a partir das seguintes hipóteses

simplificadoras:

1 – Planos normais à superfície média indeformada permanecem normais, retos e

inextensíveis durante a deformação, conseqüentemente as deformações normais e

cisalhantes transversas obtidas do campo de deslocamentos são nulas,

2 – A tensão normal transversa e assumida ser muito pequena quando comparada

com as outras tensões normais, conseqüentemente ela pode ser desprezada.

Estas aproximações são conhecidas como hipóteses de Kirchhoff. Como

conseqüência, os deslocamentos em qualquer ponto da placa u, v e w podem ser

obtidos em termos dos deslocamentos u, v e w da superfície média, Fig. 3.2.

v

w

yβ

w

v

hz y

z

Figura 3.2 – Normal a superfície média antes e depois da deformação


x

y

u u zv v z

w w

= + β= + β

=

(3.2)

onde e x wβ = − ,x ,yy wβ = − são rotações de seção relativo aos eixos y e x,

respectivamente.

As deformações são definidas sendo consideradas pequenas quando

comparadas à unidade, as rotações com relação aos eixos x e y são

moderadamente pequenas e a rotação com relação ao eixo z é desprezível. Logo as

deformações em um ponto genérico da placa é da forma:

2x ,x ,x

2y ,y ,y

xy ,y ,x ,x ,y

1u w21v w2

u v w w

ε = +

ε = +

γ = + +

(3.3)

onde os índices precedidos de vírgula são derivadas com relação à x e y.

Introduzindo as eqs. (3.2) em (3.3) tem-se:

x x

y y y

xy xy xy

zz

2 z

ε = ε + κε = ε + κ

γ = γ + κ

(3.4)

onde εx, εy e γxz são deformações da superfície média e são dadas da forma:

( )

2x ,x x

2y ,y y

xy ,y ,x x y

1u21u2

u v

ε = + β

ε = + β

γ = + + β β

(3.5)

Os termos κx, κy e κxy são curvaturas e são dadas da forma:

( )

x x,x

y y,y

xy x,y y,x12

κ = β

κ = β

κ = β + β

(3.6)


33

A lei de Hooke generalizada para um estado plano de deformações para

materiais isotrópicos tem a forma:

( )

( )

( )

x x y

y y z

xy xy xy

1E1E

2 11G E

ε = σ − ν σ + σ

ε = σ − ν σ + σ

+ νγ = τ = τ

z

x (3.7)

onde ν e G são o coeficiente de poisson e o modulo de cisalhamento do material.

Como conseqüência da segunda hipótese da teoria de placa fina, z 0σ = .

A relação inversa da eq.(3.7) é da forma:

( ) ( )

( ) ( )

( )

x x2

y y2

xy xy

E1

E1

E2 1

σ = ε + νε − ν

σ = ε + νε − ν

τ = γ+ ν

y

x (3.8)

Introduzindo as eqs. (3.8) e (3.4) nas eqs. (3.1) e integrando, temos:

( ) ( )( ) ( )

( )

x x y x x y

y y x y y x

xy xy xy xy

N C M D

N C M D

1N C M D 12

= ε + νε = κ + νκ

= ε + νε = κ + νκ

− ν= γ = − ν κ

(3.9)

onde as constantes C e D são rigidezes extensional e flexional, respectivamente e,

são colocadas da seguinte forma:

( )3

2 2Eh EhC D

1 12 1= =

− ν − ν (3.10)

33..33 –– EEqquuaaççõõeess nnããoo lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo

Para levar em consideração as interações entre forças e rotações, as

equações representando o equilíbrio de forças e momentos devem ser obtidas para

um elemento de placa de dimensões dx e dy em uma configuração levemente


deformada, Fig. 3.3. As forças e os momentos (ambos por unidade de comprimento)

estão colocados em suas posições positivas. As rotações βx e βy representam o

ângulo entre os eixos coordenados e as tangentes à superfície média no vértice

superior da placa. Como as forças e os momentos variam ao longo do elemento, a

notação Nx+ é usada para considerar (Nx+Nx,xdx). Como os ângulos βx e βy são

pequenos, pode-se considerar que sen βx = βx e sen βy = βy e, cos βx = cos βy = 1.

Qx

Qx+

Qy+

Qy

p

Nxy

Nxy+

Nx+

Nx

Ny+

Nyx+

Nyx Ny

βy

βx

x

y

z

Mx

Mx+

Mxy+

Mxy

Myx+ My

+

My Myx

βy

βx

x

y

z

Figura 3.3 – Esforços internos em um elemento de placa numa configuração

deformada


35

Impondo o equilíbrio das forças na direção x, temos:

( ) ( )x x x,x yx yx yx,yN dy N N dx dy N dx N N dy dx 0− + + − + + = (3.11)

Simplificando, a eq. (3.11) resulta em:

x,x yx,yN N+ = 0

0

p

(3.12)

Do equilíbrio das forças na direção y, tem-se a seguinte equação diferencial:

xy,x y,yN N+ = (3.13)

Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y y y y,y y y,y

x x x x,x x x,x

y y y,y x x x,x

xy y xy xy,x y y,x

yx x yx yx,y x x,y

N dx N N dy dx dy

N dx N N dx dy dx

Q dx Q Q dy dx Q dy Q Q dx dy

N dy N N dx dy dx

N dx N N dy dx dx pdxdy 0

β − + β + β

+ β − + β + β

− + + − + +

+ β − + β + β

+ β − + β + β + =

(3.14)

Reagrupando a eq. (3.14), desprezando os termos de ordem superior, e

considerando as eqs. (3.12) e (3.13), e que Nxy = Nyx, temos que:

x x,x xy y,x x,y y y,y x,x y,yN N ( ) N Q Q− β − β + β − β + + = − (3.15)

Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:

( ) ( ) ( )y y y,y xy xy xy,y y y,yM dx M M dy dx M dy M M dx dy Q Q dy dx.dy

dyp dx dy 02

− + + − + + +

=

+

0

(3.16)

Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (3.16) resulta em:

y,y xy,x yM M Q+ − = (3.17)

Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se a eq.

(3.18):


x,x yx,y xM M Q+ − = 0

p

p−

) =

)

(3.18)

Portanto as 5 equações de equilíbrio se resumem da forma:

x,x xy,y

xy,x y,y

x,x y,y x x,x xy y,x x,y y y,y

y y,y xy,x

x x,x xy,y

N N 0

N N 0

Q Q N N ( ) N

Q M M

Q M M

+ =

+ =

+ − β − β + β − β = −

= +

= +

(3.19)

Introduzindo a derivada da eq. (3.17) com relação à y e, a derivada da eq.

(3.18) com relação à x na eq. (3.19c), temos:

x,xx xy,xy y,yy x x,x xy y,x x,y y y,yM 2M M N N ( ) N+ + − β − β + β − β = (3.20)

Introduzindo as equações cinemáticas e constitutivas dadas pelas eqs. (3.5),

(3.6) e (3.9) na eq. (3.20), temos:

( ) (,xxxx ,xxyy ,yyyy x ,xx xy ,xy y ,yyD w 2w w N w 2N w N w p+ + − + + (3.21)

Ou, de forma mais compacta através da introdução da função laplaciano:

D w (3.22) (4x ,xx xy ,xy y ,yyN w 2N w N w p∇ − + + =

As eqs. (3.21) e (3.22) são equações análogas àquela obtida para colunas,

eq. (1.9b), . iv ''EIw Nw 0− =

33..44 –– EEnneerrggiiaa ppootteenncciiaall eessttaacciioonnáárriiaa

Aqui, as equações não lineares de equilíbrio são obtidas a partir do critério de

energia potencial estacionária, onde considera-se que a placa carregada está em

equilíbrio se sua energia potencial V é estacionária, e V é estacionária se o termo a

ser integrado na expressão para V satisfaz as equações de Euler nos cálculos das

variações.


37

A energia potencial total da placa sujeita à um carregamento lateral p(x,y) e à

uma carga nas suas extremidades é a soma da energia de deformação U e da

energia potencial das cargas aplicadas, Ω:

V U Ω= + (3.23)

A expressão geral de energia de deformação de um material isotrópico

medida num sistemas de eixos ortogonais é colocada da forma:

( )x x y y z z xy xy yz yz zx zx1U d2

= σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ∫∫∫ x dy dz (3.24)

Das hipóteses da Teoria de Kirchhoff, o cisalhamento transverso é nulo,

yz zx 0γ = γ = , e a tensão normal à placa é nula, z 0σ = , logo:

( )2 2 2x y x y xy2

E 1U 2 dx dy dz22 1− ν = ε + ε + νε ε + γ

+ ν ∫∫∫ (3.25)

Introduzindo a eq. (3.4) na eq. (3.25) e integrando com relação a z, tem-se

que a energia total de deformação pode ser colocada da forma:

M FU U U= + (3.26)

onde UM é a energia de deformação de membrana e UF é a energia de deformação

de flexão dadas pelas expressões:

( )

2 2 2M x y x y xy

2 2 2F x y x y xy

C 1U 22 2DU 2 2(1 )2

− ν = ε + ε + νε ε + γ

= κ + κ + νκ κ + − ν κ

∫∫

∫∫

dx dy

dx dy

(3.27)

A eq. (3.27) pode ser obtida de uma outra forma se forem consideradas as

eqs. (3.1) e (3.9):

( )

( )

M x x y y xy xy

F x x y y xy xy

1U N N N dx dy21U M M M dx2

= ε + ε + γ

= κ + κ + κ

∫∫

∫∫ dy (3.28)


A energia potencial das cargas aplicadas para um sistema conservativo é o

trabalho realizado pelas cargas a menos de um sinal. Conseqüentemente, a energia

potencial para uma carga transversal p é:

Ω p w dx dy= −∫∫ (3.28)

A expressão da energia potencial das cargas aplicadas nas extremidades da

placa depende da natureza das cargas. Como exemplo, considere uma placa sujeita

à uma carga compressiva Px, uniformemente distribuída ao longo das extremidades,

x = 0 e x = a, Fig. 3.4. Para esta carga, a energia potencial é escrita da forma:

[ ]xΩ P u(a) u(0)= − (3.29)

Ou, colocando de uma outra forma, considerando que u( xa) u(0) ∆u ∆L− = = ε :

b a

x ,x0 0

1Ω P u dxb

= ∫ ∫ dy (3.30)

x

Px

Px

h

y

x

a

b

Figura 3.4 – Placa sujeita à uma carga compressiva


39

Assim, para esse caso, para uma placa sujeita à uma carga lateral e uma

carga compressiva, a expressão de energia potencial Ω é:

x ,x1Ω P u pw dx dyb

= − ∫∫

(3.31)

De forma geral, a energia potencial total pode ser colocada da forma:

V F dx d= ∫∫ y (3.32)

onde:

( )

2 2 2x y x y xy

2 2 2x y x y xy

x ,x

C 1F 22 2

D 2 2(1 )21P u pwb

− ν = ε + ε + νε ε + γ

+ κ + κ + νκ κ + − ν κ

+ −

(3.33)

No equilíbrio, a energia potencial deve ser estacionária, ou seja, δV deve ser

nulo. Dessa forma o termo F, eq. (3.33), deve satisfazer as equações de Euler no

cálculo das variações.

,x ,y

,x ,y

2 2 2

2 2,x ,y ,xx ,xy ,yy

F F F 0u x u y u

F F F 0v x v y v

F F F F F F 0w x w y w w x y w wx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂=

(3.34)

Da eq. (3.33), e considerando as eqs. (3.5) e (3.6), tem-se que:


( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

xx y

,x

xy,y

xy y x,x ,y

x y ,x xy ,y,x

y x ,y xy ,x,y

x y,xx ,xy

F F C P0 2 2u u 2 bF C F1 0u 2 v

F C F C F1 2 2v 2 v 2 w

F C 2 2 w 1 ww 2F C 2 2 w 1 w

w 2

F D F D2 2 4(1 )w 2 w 2

∂ ∂= = ε + νε +

∂ ∂

∂ ∂ = − ν γ = ∂ ∂

∂ ∂ = − ν γ = ε + νε = ∂ ∂

∂ = ε + νε + − ν γ ∂

∂ = ε + νε + − ν γ ∂

∂ ∂= − κ + νκ = − − ν κ

∂ ∂

p∂−

∂

( )

xy

y x,yy

F D 2 2w 2

∂= − κ + νκ

∂

(3.35)

Introduzindo as eqs. (3.35) na eq. (3.34) temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y xy,x ,y

xy y x,y ,y

x y xy y x,xx ,xy ,yy

x y ,x xy ,y,x

y x ,y xy ,x,y

1C 0

2

1C 0

2

D 2 1

1C w w

2

1C w w p

2

− νε + νε + γ =

− ν

γ + ε + νε = − κ + νκ + − ν κ + κ + νκ − ν

− ε + νε + γ

− ν− ε + νε + γ =

(3.36)

Introduzindo as eqs. (3.9) nas eqs. (3.36), tem-se:

( )

x,x xy,y

xy,x y,y

4x ,xx xy ,xy y ,yy

N N 0

N N 0

D w N w 2N w N w p

+ =

+ =

∇ − + + =

(3.37)

As equações de equilíbrio são não lineares pelo fato de haver acoplamento

entre os esforços de membrana Nx, Nxy, Ny e o deslocamento transversal w, dado

pela eq. (3.37c). As três incógnitas u, v e w podem ser determinados introduzindo as


41

relações cinemáticas dadas pelas eqs. (3.4), (3.5), (3.6), pelas relações

constitutivas, dadas pela eq. (3.9), o que resulta em:

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2,x ,x ,y ,y ,y ,x ,x ,y ,y

,x

2 2,y ,x ,x ,y ,y ,y ,x ,x,x

,y

4 2 2,x ,x ,y ,y ,xx

,y ,x ,x ,y

11 1u w v w u v w w2 2 2

1 1 1u v w w v w u w2 2

1 1D w C u w v w w2 2

1 C u v w w

− ν + + ν + + + +

− ν + + + + + ν + =

∇ − + + ν + − − ν + +

0

02

=

,xy

2 2,y ,y ,x ,x ,yy

w

1 1C v w u w w p2 2

− + + ν + =

(3.38)

As equações lineares de equilíbrio de placas são obtidas eliminando os

termos quadráticos nas expressões de deformação. Assim, as equações

correspondentes são:

x,x xy,y

xy,x y,y

4

N N

N N

D w p

+ =

+ =

∇ =

0

0 (3.39)

As equações não lineares (3.37) governam as trajetórias primária e

secundária, Fig. 3.6. A trajetória de equilíbrio determinada pela solução das

equações de equilíbrio apresentam a existência de um ponto de bifurcação e a

magnitude da carga crítica correspondente. Conseqüentemente, uma solução

separada da estabilidade não é necessária para a determinação da carga crítica. No

entanto, a trajetória de equilíbrio mostrada na Fig. 3.5 é baseada numa solução

numérica das equações não lineares de equilíbrio. A proposta da análise de

estabilidade é permitir a determinação da carga no ponto de bifurcação pela solução

das equações diferenciais lineares.




Px

-w +w

Figura 3.5 – Curva de equilíbrio para placa sujeita à um carregamento compressivo

no plano

33..55 –– EEqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eessttaabbiilliiddaaddee

As equações diferenciais lineares de equilíbrio para a determinação da carga

no ponto de bifurcação para uma placa retangular submetida à uma carga

compressiva (a carga transversal p = 0) podem ser obtidas pela aplicação do critério

de equilíbrio adjacente, ou método de perturbação. As mesmas equações podem

também ser obtidas com o uso do critério da mínima energia potencial.

33..55..11 –– CCrriittéérriioo ddoo eeqquuiillííbbrriioo aaddjjaacceennttee

Para investigar a possibilidade de configurações com equilíbrio adjacente, é

dado aos deslocamentos, pequenos incrementos e examina-se duas configurações

adjacentes representadas pelos deslocamentos antes e depois do incremento.

Assim, considera-se os deslocamentos da forma:

o 1

o 1

o 1

u u uv v v

w w w

→ +

→ +

→ +

(3.40)

onde u1, v1 e w1 são deslocamentos incrementais, arbitrários e pequenos e, uo, vo e

wo e, u, v e w são deslocamentos em duas configurações adjacentes em equilíbrio.

Introduzindo a eq. (3.40) na eq. (3.38), obtém-se termos lineares, quadráticos e

cúbicos em termos de uo, vo e wo e u1, v1 e w1. Nas novas equações, os termos em

uo, vo e wo sozinhos levam a zero pois estes deslocamentos são de uma


43

configuração de equilíbrio e, os termos quadráticos e cúbicos em u1, v1 e w1 podem

ser omitidos porque estes deslocamentos são incrementais. Assim, a equação

resultante é homogênea e linear em u1, v1 e w1 com coeficientes variáveis em uo, vo e

wo.

Os coeficientes de uo, vo e wo são no entanto, governados pela equação não

linear original. Por esta razão, é desejável que a faixa de aplicabilidade das

equações linearizadas sejam confinadas à uma configuração governada pelas

equações de equilíbrio lineares, eq. (3.39). Para o caso de uma placa sujeita à

esforços de compressão nas suas extremidades, Fig. 3.4, esta limitação implica em

w0 e suas derivadas iguais à zero.

Os incrementos nos deslocamentos, conforme as eqs. (3.40), correspondem à

mudanças nos esforços internos da forma:

x xo x

y yo y

xy xyo xy

N N ∆NN N ∆N

N N ∆N

→ +

→ +

→ +

(3.41)

onde os termos com índices 0 correspondem à uo, vo e wo e as variações ∆

correspondem aos incrementos u1, v1 e w1. Considera-se também que os esforços

Nx1, Ny1 e Nxy1 representam partes das variações ∆Nx, ∆Ny e ∆Nxy, respectivamente,

que são lineares em u1, v1 e w1. Por exemplo, das eqs. (3.5) e (3.9), tem-se que:

2 2x ,x ,x ,y ,y

1 1N C u w v w2 2

= + + ν +

(3.42)

Desde que, w0 e suas derivadas são nulas, para o caso de uma placa sujeita

à uma carga compressiva, tem-se:

2x x o,x 1,x 1,x o,y 1,y 1,y

1 1N ∆N C u u w v v w2 2

+ = + + + ν + + 2

(3.43)

Então:

( )

( )

xo o,x o,y

2 2x 1,x 1,x 1,y 1,y

x1 1,x 1,y

N C u v

1 1∆N C u w v w2 2

N C u v

= + ν

= + + ν +

= + ν

(3.44)


Introduzindo as eqs. (3.41) nas eqs. (3.37) temos:

( )

x1,x xy1,y

xy1,x y1,y

41 xo 1,xx xyo 1,xy yo 1,yy

N N 0

N N 0

D w N w 2N w N w 0

+ =

+ =

∇ − + + =

(3.45)

onde:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

xo o,x o,y x1 1,x 1,y

yo o,y o,x y1 1,y 1,x

xyo o,y o,x xy1 1,y 1,x

N C u v N C u v

N C v u N C v u

1 1N C u v N C u v2 2

= + ν = + ν

= + ν = + ν

− ν − ν= + = +

(3.46)

As eqs. (3.45) são equações de estabilidade para uma placa sujeita à uma

carga compressiva, Fig. 3.4. Observa-se agora que a eq. (3.45c) está desacoplada

das eqs. (3.45a) e (3.45b).

A eq. (3.45c) é uma equação homogênea em w1 com coeficientes variáveis

em Nx0, Ny0 e Nxy0. Estes coeficientes são determinados pelas equações lineares

(3.39a) e (3.39b). A equação homogênea (3.45c) tem solução somente para valores

discretos de carga aplicada, onde para cada um desses valores existem duas

configurações de equilíbrio, uma na trajetória primária e outra na trajetória

secundária. As equações linearizadas não fornecem no entanto, informações sobre

a forma da trajetória secundária, mas as cargas obtidas no ponto de bifurcação,

dadas pela eq. (3.45c), que representam a perda de estabilidade.

33..55..22 –– CCrriittéérriioo ddaa mmíínniimmaa eenneerrggiiaa ppootteenncciiaall

Neste caso, as equações de estabilidade (3.45) são obtidas pela aplicação do

critério da energia potencial mínima. A forma flambada da placa está em uma

configuração de equilíbrio para todos os valores de carga aplicada. Para cargas

suficientemente pequenas o equilíbrio é estável. O equilíbrio deixa de ser estável

quando a expressão de energia potencial total V deixa de ser mínima. O critério de

perda de estabilidade é que o integrante na expressão do segundo variante de V

satisfaça as equações de Euller para o cálculo das variações.


45

A expressão de energia potencial total para o caso da placa bi-apoiada e

submetida à um carregamento compressivo nas extremidades, Fig. 3.4 é dada pelas

eqs. (3.32) e (3.33). Para obter a segunda variação, os deslocamentos são

considerados da forma:

o 1

o 1

o 1

u u uv v v

w w w

→ +

→ +

→ +

(3.47)

onde u0, v0 e w0 é a configuração de equilíbrio na trajetória primária e u1, v1 e w1 é o

incremento. A segunda variação da energia potencial total é a soma de todos os

termos na expressão de energia potencial incremental que são quadráticos em u1, v1

e w1. A obtenção do segundo variacional pode ser feita termo a termo, como por

exemplo:

2x ,x

1u w2

ε = + ,x (3.48)

E o quadrado da eq. (3.48) tem a forma:

2 2 2,x ,x ,xx ,x

1u u w w4

ε = + + 4 (3.49)

Introduzindo a eq. (3.47) na eq. (3.49) e considerando na configuração de

equilíbrio w0 = 0 e, desprezando os termos de segunda ordem, temos

2 2 2 20,x 1,xx 1,x

1 ( ) u u w2δ ε = + (3.50)

Introduzindo equações similares à eq. (3.50) para as deformações εy e γxy na

segunda variação de energia de deformação de membrana, temos:

( )

( ) ( )( )( )

22 2 2m 1,x 1,y 1,y 1,x1,x 1,y

2 20,x 0,y 1,x 0,y 0,x 1,y

0,y 0,x 1,x 1,y

1 C 1U u v 2 u v u v2 2 2

u v w v u w

1 u v w w dxdy

− ν δ = + + ν + + + ν + + ν

+ − ν +

∫∫ +

(3.51)

Utilizando as equações constitutivas, a eq. (3.51) pode ser colocada da forma:


( )

( )

22 2 2m 1,x 1,y 1,y 1,x1,x 1,y

2 2x0 1,x xy0 1,x 1,y y0 1,y

1 C 1U u v 2 u v u v dxdy2 2 2

1 N w 2N w w N w dx dy2

− ν δ = + + ν + +

+ + +

∫∫

∫∫ (3.52)

E a segunda variação da energia de deformação de flexão é da forma:

( )2 2 2 2f 1,xx 1,yy1,xx 1,yy 1,xy

1 DU w w 2 w w 2 1 w d2 2

δ = + + ν + − ν ∫∫ x dy

f

(3.53)

Como a eq. (3.31) da energia potencial das cargas aplicadas não tem termos

quadráticos e nem de ordem superior em deslocamento, tem-se que δ2Ω = 0. Logo 2 2 2

mV U Uδ = δ + δ (3.54)

A expressão final da segunda variação pode ser colocada da forma: 2V C Fdx dyδ = ∫∫ (3.55)

onde:

( )

( )( )

22 21,x 1,y 1,x 1,y 1,y 1,x

22

x0 xy0 1,x 1,y y0 1,y1,x

22 2 2

1,xx 1,yy1,xx 1,yy 1,xy

1F u v 2 u v u v2

1 N w 2N w w N wEh

h w w 2 w w 2 1 w12

− ν = + + ν + +

− ν+ + +

+ + + ν + − ν

2 (3.56)

As equações que governam a perda de estabilidade são equações de Euller

para o integrante na expressão da segunda variação. Para o integrante colocado da

forma da eq. (3.56), as equações de Euller são da seguinte forma:

1 1,x 1,y

1 1,x 1,y

2 2 2

2 21 1,x 1,y 1,xx 1,xy 1,yy

F F F 0u x u y u

F F F 0v x v y v


∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂=

(3.57)


47

Introduzindo a eq. (3.56) na eq. (3.57) temos:

( ) ( )

( ) ( )( )

1,x 1,y 1,y 1,x,x ,y

1,y 1,x 1,y 1,x,y ,x

41 x0 1,xx xy0 1,xy y0 1,yy

1u v u v 02

1v u u v 02

D w N w 2N w N w 0

− ν+ ν + + =

− ν+ ν + + =

∇ − + + =

(3.58)

Escrevendo a eq. (3.58) de forma compacta:

( )

x1,x xy1,y

xy1,x y1,y

41 x0 1,xx xy0 1,xy y0 1,yy

N N 0

N N 0

D w N w 2N w N w 0

+ =

+ =

∇ − + + =

(3.59)

onde Nx1, Ny1 e Nxy1 são definidos pela eq. (3.46). Percebe-se que as eqs. (3.59) são

as mesmas que as eqs. (3.45).

33..66 –– AApplliiccaaççõõeess ddaass eeqquuaaççõõeess ddee eessttaabbiilliiddaaddee

As eqs. (3.59) são aplicadas para todos os possíveis carregamentos no plano

como apresentado pela Fig. 3.4. Nos casos mais gerais, os coeficientes Nxo, Nyo e

Nxyo, são funções das coordenadas x e y. Por enquanto, as aplicações serão

somente para os casos onde estes coeficientes são constantes. Problemas com

coeficientes não constantes serão vistos posteriormente.

Para simplificar a notação, os índices 1 serão omitidos das quantidades

incrementais (u1, Mx1, etc.)

33..66..11 –– PPllaaccaa ssiimmpplleessmmeennttee aappooiiaaddaa nnaass qquuaattrroo eexxttrreemmiiddaaddeess

Considere então uma placa simplesmente apoiada sujeita a um carregamento

compressivo uniformemente distribuído, como apresentado na Fig. 3.4. Usando as

eqs. (3.39a) e (3.39b), tem-se:

xxo yo xyo

PN N Nb

= − = = 0 (3.60)

Introduzindo a eq. (3.60) na eq. (3.45c):


4 x,xx

PD w w 0b

∇ + = (3.61)

As condições de contorno são para este caso, w = Mx = 0 para x = 0 e x = a,

e w = My = 0 para y = 0 e y = b. Das eqs. (3.6) e (3.9) são M E e ( )x ,xxI w w= − + ν ,yy

),xx(y ,yyM EI w w= − + ν . As condições de contorno podem então ser escritas:

,xx

,yy

w w 0 para x = 0, aw w 0 para y = 0, b= =

= = (3.62)

A eq. (3.61) é uma equação com coeficiente constante com solução da forma:

1m x n yw C sen sen m,n 1, 2,3,...

a bπ π

= = (3.63)

Introduzindo a eq. (3.63) na eq. (3.61) temos: 4 2 2 4 2

xm m n n P mD 2a a b b b a

π π π π π + + −

0= (3.64)

Para valores discretos de Px para a qual a eq. (3.61) tem solução não trivial

temos: 22 2 2

xP a m nD mb m a b

π = + =

…1,2,3, (3.65)

A carga crítica correspondente ao menor valor de n, n = 1 para a > b. Logo: 22 2

xP a m 1Db m a b

π = +

2

(3.66)

A eq. (3.66) pode ser expressa da forma: 2

x cDP k

bπ

= (3.67)

onde:


49

2

cmb aka mb

= +

(3.68)

O coeficiente kc é a função da relação a/b e do comprimento de onda m. Para

uma relação a/b, o valor de m pode ser escolhido por tentativa para se obter o

menor valor de kc. A Fig. 3.6 apresenta valores de kc versus a relação a/b.

10

2

cr c2D k

b hπ

σ = 8

6

kc

4

2

0 0

1 5 4 2 3a/b

Fig. 3.6 – Tensão crítica para uma placa simplesmente apoiada sujeita à uma

compressiva

Fig. 3.8 – Forma flambada de uma placa sujeita à uma carga compressiva (a/b = 2)


A Fig. 3.9 mostra os modos de flambagem para n = 1 e m = 1, 2, 3 e a Tab.

3.1 mostra a comparação dos valores de Px obtidos analiticamente e numericamente

pelo método dos elementos finitos para a/b = 2.

m = 2 m = 3 m = 1

Fig. 3.9 – Modo de flambagem para diferentes números de onda

Tabela 3.1 – Comparação analítica/numérica de Px

n = 1 m Analítica (kN) Numérica (kN) Erro (%)

2 57,844 56,851 -1,7

3 67,886 66,814 1,5

1 90,381 89,532 0,9

33..66..22 –– OOuuttrraass ccoonnddiiççõõeess ddee ccoonnttoorrnnoo

Para um caso mais geral de condições de contorno, onde para y = 0 e y = b

as condições não são especificadas, a eq. (3.66) não é válida. A menor carga crítica

está associada ao caso de extremidades livres em y = 0 e y = b. Neste caso, a placa

pode ser considerada como uma coluna cuja rigidez em flexão EI pode ser

substituída por Db. Assim, da eq. (1.15): 2

2x 2

DbP ma

π= (3.69)

A placa nestas condições é chamada de coluna larga, e o menor autovalor

para este caso é para m = 1.

Num caso mais geral, a equação diferencial e as condições de contorno para

x = 0 e x = a são satisfeitas por uma solução da forma:


51

m xw f(y)senaπ

= (3.70)

Introduzindo a equação (3.70) na eq. (3.61), chega-se a seguinte equação

diferencial ordinária: 2 4 24 2

x4 2

d f m d f m P m2a a Db ady dy

π π π − + −

f 0= (3.71)

A eq. (3.71) é uma equação homogênea com coeficientes constantes.

Conseqüentemente, sua solução é independente das condições em y = 0 e y = b. A

equação característica ou o polinômio característico tem a forma: 2 4 2

4 2 xm m P m2a a Db a

π π π λ − λ + − =

0 (3.72)

As raízes da eq. (3.72) são: 1/ 2

xm m Pa a Db

π πλ = ± ±

(3.73)

Como 1/ 2

xP mDb a

π= para colunas largas, eq. (3.69), e sabendo que

1/ 2xP mDb a

π>

, - , i , -iλ = α α β β

para quaisquer outras condições em y = 0 e y = b.

Conseqüentemente para outros casos, a eq. (3.73) pode ser escrita como,

, onde α e β são reais positivos e são da forma:

1/ 2

x

1/ 2

x

m m Pa a Db

m m Pa a Db

π πα = +

π πβ = − +

(3.74)

Portanto a solução da equação diferencial ordinária (3.71) pode ser escrita da

forma:


y y1 2 3 4f C e C e C cos y C sen y−α α= + + β + β

0

β

(3.75)

As constantes C1, C2, C3 e C4 são constantes a serem determinadas impondo-

se as condições de contorno em y = 0 e y = b.

Como exemplo de aplicação, considere uma placa simplesmente apoiada em

y = 0 e livre y = b. Para y = 0, as condições de contorno são:

,yyw w 0= = (3.76)

Para y = b, as equações podem ser colocadas da forma:

( ),yy ,xx y

,yyy ,xxy y xy

w w M 0

w 2 w Q M

+ ν = =

+ − ν = = = (3.77)

Das eqs. (3.76) e (3.77) tem-se que C3 = 0 e C1 = - C2. Assim, a eq. (3.75) se

reduz em:

f A senh y B sen y= α + (3.78)

onde A e B são novas constantes. Introduzindo a eq. (3.78) nas eqs. (3.77), tem-se:

( ) ( )

2 2 2 22 2

2 2

2 2 2 22 2

2 2

m msenh b A sen b B 0a a

m m2 cosh b A 2 cos ba a

π πα − ν α − β − ν β =

π π α α − − ν α − β β − − ν β =

B 0

(3.79)

A solução não trivial da eq. (3.79), impõe que o determinante da matriz dos

coeficientes de A e B seja nulo. Logo: 2 22 2

2 2m b m bb ( b) tanh b b ( b) tan ba a

π β α − ν α = α α + ν β

π (3.80)

onde das eqs. (3.74), temos que:


53

1/ 22x

1/ 22x

m b m b P bba a D

m b m b P bba a D

π π α = +

π π β = − +

(3.81)

Para qualquer relação a/b, a carga crítica acontece para m = 1. A expressão

da carga crítica pode ser colocada da forma: 2

x cDP k

bπ

= (3.82)

onde kc é um coeficiente adimensional de flambagem para carga compressiva. A

Fig. 3.9 na referência Brush and Almroth, apresenta os resultados de kc para

diferentes condições de contorno e diferentes relações a/b.

33..66..33 –– CCaarrrreeggaammeennttoo cciissaallhhaannttee

Para uma placa sujeita à um carregamento cisalhante distribuído

uniformemente, Fig. 3.10, a eq. (3.45c) é da forma: 4

xy0 ,xyD w 2N w 0∇ − = (3.83)

Nxy0

Nxy0

y

x

a

b

Figura 3.10 – Placa sujeita à um carregamento cisalhante


A eq. (3.83), assim como a eq. (3.61) para um carregamento compressivo, é

uma equação com coeficientes constantes. No entanto, a solução da eq. (3.83) não

é da mesma forma como a eq. (3.63), isso por causa da ordem das derivadas, o que

impede de colocar em evidência termos como m xsenaπ , n ysen

bπ , m xcos

aπ ou

n ycosbπ . A solução deste problema é assumida ser da forma:

ikx /bw f(y)e= (3.84)

onde k é um parâmetro de comprimento de onda longitudinal e b é a largura da

placa. Introduzindo a eq. (3.84) na eq. (3.83) e rearranjando temos: 222

xy02

2Nd f k ik dffb D b dydy

− −

0= (3.85)

onde a função f(y) é assumida ser da forma: iky /bf(y) C eλ= (3.86)

onde Cλ é constante. A eq. (3.85) pode ser colocada sob a forma de um polinômio

de quarta ordem:

xy04 2 2 42N2k k k 0

Dλ + λ + λ + = (3.87)

Para cada valor específico de k, a eq. (3.87) tem quatro raízes, designadas

por λ1, λ2, λ3 e λ4. A solução da equação ordinária (3.85) pode então ser escrita

como: i y /bi y /b i y /b i y /b31 2

1 2 3 4f(y) C e C e C e C eλλ λ λ= + + + 4 (3.88)

Logo, a solução para w é da forma:

( )i y /bi y /b i y /b i y /b ikx /b31 2 41 2 3 4w C e C e C e C e eλλ λ λ= + + + (3.89)

onde C1, C2, C3 e C4 são constantes determinadas em função das condições de

contorno e os valores críticos de Nxy0 podem ser determinados assim como em


55

§3.62. Para placas simplesmente apoiadas em y = 0 e y = b (w = w,yy = 0) e para

placas engastadas em y = 0 e y = b (w = w,y = 0), a carga crítica pode ser colocada

da forma: 2

xy0 s 2DN k

bπ

= (3.90)

onde Ks é um coeficiente adimensional de flambagem ao cisalhamento. A tensão de

cisalhamento crítica, segundo as condições de contorno, pode ser conforme

representado da Fig. 3.11.

Ks

5

7

9

11

13 2

cr s2D k

b hπ

σ =

Simplemente apoiada

engastada

15

3 0 1 5 4 2 3a/b

Figura 3.11 – Tensão crítica para uma placa simplesmente apoiada sujeita à uma

compressiva

33..66..44 –– CCaarrrreeggaammeennttoo ccoommbbiinnaaddoo

Para uma placa sujeita à um carregamento compressivo nas direções x e y,

como apresentado na Fig. 3.12, os esforços podem ser colocados da forma:

yxx0 xy0 y0

PPN N 0 Nb a

= − = = − (3.91)


Py

Px

y

x

a

b

Figura 3.12 – Placa sujeita à um carregamento compressiva nas direções x e y

Introduzindo as eqs. (3.91) na eq. (3.45c):

y4 x,xx ,yy

PPD w w w 0b a

∇ + + = (3.92)

A eq. (3.92) é uma equação homogênea, mas com coeficientes

independentes. Esta equação pode ser transformada num único parâmetro fazendo:

y xP PRa b

= (3.93)

onde R é uma constante adimensional. A equação resultante pode ser resolvida por

séries para valores específicos de R. Introduzindo a eq. (3.93) na eq. (3.92) tem-se:

(4 x,xx ,yy

PD w w Rw 0b

∇ + + =) (3.94)

Para um caso de uma placa simplesmente apoiada onde as condições de

contorno são como colocadas pela eq. (3.62), a solução da eq. (3.94) é também da

forma da eq. (3.63). Introduzindo a eq. (3.68) na eq. (3.94) e rearranjando, a carga

crítica pode ser colocada da forma:


57

2

x ccDP k

bπ

= (3.95)

onde

( )

( )

22 2

cc 2 2

mb / a nk

mb / a Rn

+ =

+ (3.96)

Para valores de R e de relações a/b, a carga crítica pode ser obtida

escolhendo os valores de m e n que fornecem o menor valor de Kcc. Para uma

relação a/b = 1, o coeficiente Kcc pode ser obtida conforme apresentado na Tabela

3.2:

R m n Kcc

1 1 1 2

0 1 1 4

-1 2 1 8,33

A Fig. 3.13 apresenta os modos de flambagem para diferentes números de

ondas e a Tabela 3.3 apresenta uma comparação dos valores de Px obtidos

analíticamente e numericamente pelo métodos dos elementos finitos para a/b = 1.

m = 1 e n = 1

m = 2 e n = 1


m = 1 e n = 2

m = 2 e n = 2

Fig. 3.13 – Modos de flambagem para diferentes números de onda (R = 1)

Tab. 3.3 – Comparação analítica/numérica de Px (R = 1)

m n Analítica (kN) Numérica (kN) Erro (%)

1 1 28,922 29,551 2,2

2 1 72,305 73,375 1,5

1 2 72,305 74,538 3,1

2 2 115,688 119,900 3,6


59

44 –– CCAASSCCAASS CCIILLÍÍNNDDRRIICCAASS CCIIRRCCUULLAARREESS


Este capítulo trata exclusivamente da instabilidade de cascas cilíndricas por

causa da simplicidade das equações diferenciais.

44..22 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss nnããoo lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo -- DDoonnnneellll

Considere uma casca cilíndrica circular de comprimento L, de espessura h e

raio da superfície média a, com h << a. A superfície média do cilindro é referenciada

pelas coordenadas cilíndricas x e θ e as distâncias da superfície neutra são medidas

pela coordenada z. Os componentes do deslocamento são u, v e w nas direções x,

θ e z, respectivamente. O cilindro é considerado estar sujeito à um carregamento

compressivo nas extremidades e a uma carga distribuída lateralmente, p(x,θ).

Sob um elemento infinitesimal de dimensões dx, adθ, e espessura h atuam

esforços de membrana Nx, Nθ e Nxθ, esforços de flexão Mx, Mθ e Mxθ e esforços

transversais Qx, Qθ e p. Os eixos x e y são colocados no plano médio da placa e o

eixo z é medido a partir do plano médio, Fig. 4.1.

dxadθ

p

xN θxN

xQ

xM θ

xMNθ

xNθ

Qθ

xMθ Mθ

h

θ

z

x

Figura 4.1 – Esforços internos atuantes sobre um elemento de casca

Os esforços internos são forças e momentos por unidade de comprimento e,

estão relacionados com as tensões internas pelas equações:

Cascas Cilíndricas Circulares 60

h/ 2 h / 2

x xh / 2 h / 2h / 2 h / 2

x x x xh / 2 h / 2

h / 2 h / 2

x xz zh / 2 h / 2h / 2

x xh / 2 h /

zN 1 dz N dza

zN 1 dz N dza

zQ 1 dz Q dza

zM a 1 z dz M a z dza

θ θ− −

θ θ θ θ− −

θ θ− −

θ θ− −

= σ + = σ

= τ + = τ

= τ + = τ

= σ + = σ

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

h / 2

2h / 2 h / 2

x x x xh / 2 h / 2

zM a 1 z dz M a z daθ θ θ θ

− −

= τ + = τ

∫

∫ ∫ z

(4.1)

As tensões x xy, ,σ τ etc., são tensões em um ponto qualquer ao longo da

espessura da placa, diferente de σx, τxy, etc., que são tensões na superfície média

(z=0). Para uma casca suficientemente fina, a relação z/a é desprezível comparado

à unidade.

44..22..11 –– SSoommaa ddaass ffoorrççaass ee ddooss mmoommeennttooss

As equações não lineares de equilíbrio são obtidas impondo o equilíbrio das

forças e dos momentos em um elemento em uma configuração levemente

deformada, Fig. 4.2. As rotações βx e βθ representam o ângulo entre os eixos

coordenados e as tangentes à superfície média no vértice superior da placa. Como

as forças e os momentos variam ao longo do elemento, a notação Nx+ é usada para

considerar (Nx+Nx,xdx). Como os ângulos βx e βy são pequenos, pode-se considerar

que sen βx = βx e sen βθ = βθ e, cos βx = cos βθ = 1. Os termos quadráticos

representando interações não lineares entre as forças cisalhantes transversas e as

rotações são assumidas nulas.


61

Nθx

Nθ

Qx

Qx+

Qθ+

Qθ

p

Nxθ

Nxθ+

Nx+

Nx

Nθ+

Nθx+

βθ

βx

x

θ

z

Mx Mxθ

Mx+

Mxθ+ Mθx

+ Mθ

+

Mθ

Mθx

βθ

βx

x

θ

z

Figura 4.2 – Esforços internos em um elemento de casca cilíndrica numa

configuração deformada

Impondo o equilíbrio das forças na direção x, temos:

( ) ( )x x x,x x x x,N ad N N dx ad N dx N N d dx 0θ θ θ θ− θ + + θ − + + θ = (4.2)

Simplificando, a eq. (4.2) resulta em:

x,x x,aN N 0θ θ+ = (4.3)


Impondo o equilíbrio das forças na direção θ, temos:

( ) ( ), x x x ,xN dx N N d dx N ad N N dx ad Q dxd 0θ θ θ θ θ θ θ θ− + + θ − θ + + θ+ θ = (4.4)

Do equilíbrio das forças na direção θ, tem-se a seguinte equação diferencial:

x ,x ,aN N Q 0θ θ θ θ+ + = (4.5)

O termo relativo ao cortante Qθ na eq. (4.5) pode ser desprezado quando a

espessura da casca cilíndrica é muito pequena.

Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, ,

x x x x,x x x,x

, x x x,x

x x x ,x ,x

x x x x, x x,

N dx N N d dx d N dxd

N ad N N dx ad dx

Q dx Q Q d dx Q ad Q Q dx ad

N ad N N dx ad dx

N dx N N d dx d pdxad 0

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

β − + θ β + β θ − θ

+ θ β − + θ β + β

− + + θ − θ + + θ

+ θ β − + θ β + β

+ β − + θ β + β θ + θ =

(4.6)

Reagrupando a eq. (4.6), desprezando os termos de ordem superior e

considerando as eqs. (4.3) e (4.5), temos que:

x,x , x x,x x ,x x x, ,aQ Q aN N aN N N paθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ+ − β − − β − β − β = − (4.7)

Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:

( ) ( ), x x x ,xM dx M M d dx M ad M M dx ad Q dxad

adpdxad 02

θ θ θ θ θ θ θ θ− + θ + θ − + θ +

θ+ θ =

θ

x ,x

x,

(4.8)

Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (4.8) resulta em:

,aQ M aMθ θ θ θ= + (4.9)

Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação a θ é:

x x,xaQ aM Mθ θ= + (4.10)


63

Introduzindo as derivadas das eqs. (4.9) e (4.10) na eq. (4.7), as 3 equações

de equilíbrio se resumem em:

x,x x,

x ,x ,

2x,xx x ,x x,x , x x,x

2 2x ,x x x, ,

aN N 0aN N 0

a M aM aM M aN a N

a N aN aN pa

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θ θ θ θ

+ =

+ =

+ + + − −

− β − β − β = −

2 β

2

(4.11)

Considerando que Nxθ = Nθx e Mxθ = Mθx, as eqs. (4.11) reduzem em:

( )

x,x x ,

x ,x ,

2 2x,xx x ,x , x x,x x ,x x, ,

aN N 0aN N 0

a M 2aM M aN a N aN a aN pa

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ

+ =

+ =

+ + − − β − β + β − β = −

(4.12)

As relações constitutivas para o caso de cascas cilíndricas finas (z/a << 1)

são da seguinte forma:

( ) ( )( ) ( )

( )

x x x x

x

x x x x

N C M D

N C M D1N C M D 1

2

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= ε + νε = κ + νκ

= ε + νε = κ + νκ

− ν= γ = − ν κ

x (4.13)

onde as constantes C e D são dadas pelas eqs. (3.10) e εx, εy e γxz são deformações

da superfície média e são dadas da forma:

2x ,x x x ,x x x,x

, ,2

, xx ,x x x ,

1u w2

v w w1a 2 a a

u 1va 2 a

θ θθ θ θ θ

θ θθ θ θ

ε = + β β = − κ = β

+ βε = + β β = − κ =

β γ = + + β β κ = + β

,

,x

θ θ

θ

(4.14)

Comparando as expressões de deformações e curvaturas para cascas

cilíndricas com as expressões de deformações e curvaturas para placas tem-se:


( ) ( )

2x ,x x x ,x x x,

2,y , ,

x , ,x x x x, ,x

1u w21v w2

1u v2

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

ε = + β β = − κ = β

ε = + β β = − κ = β

γ = + + β β κ = β + β

x

θ (4.15)

Introduzindo as equações constitutivas, eq. (4.13), e as equações

cinemáticas, eq. (4.14), nas eq. (4.12), as equações diferenciais de equilíbrio se

resumem em:

x,x x,

x ,x ,

4x ,xx x ,x ,2

aN N 0aN N 0

1 2 1D w N N w N w N w pa a a

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

+ =

+ =

∇ + − + + =

θθ

(4.16)

onde o divergente em coordenadas cilíndricas é da forma:

4,xxxx ,xx ,2 4

2 1w w w wa aθθ∇ = + + θθθθ (4.17)

As eqs. (4.16) são equações de equilíbrio não lineares, pois relacionam os

esforços de membrana, Nx, Nxθ e Nθ, com o deslocamento transversal w.

44..22..22 –– EEnneerrggiiaa ppootteenncciiaall eessttaacciioonnáárriiaa

Aqui, as equações não lineares de equilíbrio são obtidas a partir do critério de

energia potencial estacionária, onde considera-se que a placa carregada está em

equilíbrio se sua energia potencial V é estacionária, e V é estacionária se o termo a

ser integrado na expressão para V satisfaz as equações de Euler nos cálculos das

variações.

A energia potencial total da placa sujeita à um carregamento lateral p(x,y) e à

uma carga nas sua extremidades é a soma das energias de deformação U e energia

potencial das cargas aplicadas, Ω:

V U Ω= + (4.18)


65

A expressão de energia total de deformação pode ser colocada da forma que

para placas, onde UM é a energia de deformação de membrana e UF é a energia de

deformação de flexão dadas pelas expressões:

( )

M F

2 2 2M x x x

2 2 2F x x x

U U UaC 1U 22 2

aDU 2 2(1 )2

θ θ θ

θ θ θ

= +

− ν= ε + ε + νε ε + γ θ

= κ + κ + νκ κ + − ν κ

∫∫

∫∫

dxd

dxd

θ

(4.19)

A eq. (4.19) pode ser obtida de uma outra forma se forem consideradas as

eqs. (4.13) e (4.14):

( )

( )

M x x x x

F x x x x

aU N N N dx2aU M M M d2

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= ε + ε + γ

= κ + κ + κ

∫∫

∫∫

d

x d

θ

θ

θ

(4.20)

A energia potencial das cargas aplicadas para um sistema conservativo é o

trabalho realizado pelas cargas a menos de um sinal. Conseqüentemente, a energia

potencial para uma carga transversal p é:

Ω a p w dx d= − θ∫∫ (4.21)

De uma forma mais compacta, a energia potencial total pode ser colocada da

forma:

V F dx d= ∫∫ (4.22)

No equilíbrio, a energia potencial deve ser estacionária, ou seja, δV deve ser

nulo. Dessa forma o termo F, eq. (4.22), deve satisfazer as equações de Euler no

cálculo das variações.

,x ,

,x ,

2 2 2

2 2,x , ,xx ,x ,

F F F 0u x u uF F F 0v x v v

F F F F F F 0w x w w w x w wx

θ

θ

θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂θ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂θ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + +

∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂∂ ∂θ θθ

=

(4.23)


Aplicando as equações de Euler, eq. (4.23), nas eqs. (4.19) e (4.21) e

considerando as eqs. (4.14) temos que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x,x ,

x x,x ,

,x x ,x

,x

, ,xx x2

,

1F F aC F aC0 2 2u u 2 u 2 a

F F aC F aC 10 1 2 2v v 2 v 2 a

wF aC 1 F aCpa 2 2 w 1w 2 a w 2

w wF aC 2 1w 2 aaF

w

θ θθ

θ θθ

θθ θ

θθ θ

θ

− ν∂ ∂ ∂= = ε + νε = γ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = = − ν γ = ε + νε ∂ ∂ ∂

x aθ ∂ ∂ = − + ε + νε = ε + νε + − ν γ ∂ ∂

∂= ε + νε + − ν γ ∂

∂∂

( )

( )

x x,xx ,x

x 2,

aD F aD 12 4(1 )2 w 2 a

F aD 12w 2 a

θ θθ

θθθ

∂ = − κ + νκ = − − ν κ ∂

∂ = − κ + νκ ∂

(4.24)

Introduzindo as eqs. (4.24) na eq. (4.23) temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x,x ,

x x,x ,

x x x2,xx ,x ,

x ,x x ,,x

x , x ,x,

1C a 0

2

1C a 0

2

2 1Da 1 Caa aa

1Ca w w

2

1Ca w w pa

2

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ θθ θθ

θ θ θ

θ θ θθ

− νε + νε + γ =

− ν

γ + ε + νε =

− κ + νκ + − ν κ + κ + νκ + ε + νε − ν

− ε + νε + γ

− ν− ε + νε + γ =

x1

(4.25)

Introduzindo as eqs. (4.13) nas eqs. (4.25), tem-se:

x,x x ,

x ,x ,

x,xx x ,x , x ,xx x ,x ,2 2

aN N 0aN N 0

2 1 1 2 1M M M N N w N w N wa a aa a

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ θ θθ

+ =

+ =

− + + + − + + = p

(4.26)

E, de forma compacta


67

x,x x ,

x ,x ,

4x ,xx x ,x ,2

aN N 0aN N 0

1 2 1D w N N w N w N w pa a a

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

+ =

+ =

∇ + − + + =

θθ

(4.27)

As equações de equilíbrio são não lineares pelo fato de haver acoplamento

entre os esforços de membrana Nx, Nxy, Ny e o deslocamento transversal w, dado

pela eq. (4.27c). As três incógnitas u, v e w podem ser determinadas introduzindo as

relações cinemáticas, dadas pelas eqs. (4.14), e constitutiva, dada pela eq. (4.13).

As equações lineares de equilíbrio de cascas cilíndricas são obtidas

eliminando os termos quadráticos nas expressões de deformação. Assim, as

equações correspondentes são:

x,x x ,

x ,x ,

4

aN N 0aN N 0

1D w Na

θ θ

θ θ θ

θ

+ =

+ =

∇ + = p

(4.28)

onde as deformações são agora da forma:

x ,x

,

,x ,

uv w

au

v a

θθ

θθ

ε =

+ε =

γ = + x

(4.29)

As equações lineares de equilíbrio para cascas cilíndricas, eq. (4.28), formam

um conjunto de três equações acopladas com quatro variáveis, Nx, Nθ, Nxθ e w. As

três equações com três variáveis são obtidas introduzindo as equações constitutivas,

(4.13), e equações cinemáticas (4.29), resultando em:

( )

2,xx , ,x ,x

2,x ,xx , ,

4, ,x2

1 1a u u av aw 02 2

1 1au a v v w 02 2

1D w C v w au pa

θθ θ

θ θθ

θ

− ν + ν+ + + ν

+ ν − ν+ + +

∇ + + + ν =

θ

=

= (4.30)


Para o caso de uma casca cilíndrica, assumida ser infinitamente longa,

submetida à uma carga compressiva, as trajetórias primária e secundária são como

apresentadas na Fig. 4.3. A trajetória primária representa uma configuração circular

cilíndrica e a trajetória secundária representa uma configuração não cilíndrica. As

trajetórias de equilíbrio apresentam a existência de um ponto de bifurcação e a

magnitude da carga crítica correspondente.



P

deslocamento axial u

Figura 4.3 – Curva de equilíbrio para casca cilíndrica à uma carga axial compressiva

44..33 –– FFoorrmmaa ddee DDoonnnneellll ppaarraa aass eeqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eessttaabbiilliiddaaddee

As equações diferenciais de equilíbrio lineares para a determinação da carga

do ponto de bifurcação para uma casca cilíndrica sujeita à uma carga compressiva

na sua extremidade e uma pressão lateral podem ser obtidas pela aplicação do

critério de equilíbrio adjacente, ou método de perturbação. As mesmas equações

podem também ser obtidas com o uso do critério da mínima energia potencial.



dado aos deslocamentos pequenos incrementos e examina-se duas configurações


Assim, considera os deslocamentos da forma:


69

o 1

o 1

o 1

u u uv v v

w w w

→ +

→ +

→ +

(4.31)


wo e, u, v e w são deslocamentos em duas configurações adjacentes em equilíbrio.

Os incrementos nos deslocamentos, conforme as eqs. (4.31), correspondem à

mudanças nos esforços internos da forma:

x xo x

o

x x o

N N ∆NN N ∆NN N x∆Nθ θ θ

θ θ

→ +

→ +

→ + θ

(4.32)

onde os termos com índices 0 correspondem à uo, vo e wo e as variações ∆Nx, ∆Nθ e

∆Nxθ correspondem aos incrementos u1, v1 e w1. Considera-se também que os

esforços Nx1, Nθ1 e Nxθ1 representam partes das variações ∆Nx, ∆Nθ e ∆Nxθ,

respectivamente, e que são lineares em u1, v1 e w1. Por exemplo, das eqs. (4.13) e

(4.14), tem-se que:

2, ,2

x ,x ,x 2

v w w1N C u w2 a 2 a

θ θ + = + + ν +

1 (4.33)

Então, considerando a eq. (4.31):

2 2x x o,x 1,x o,x o,x 1,x 1,x

2o, o 1, 1 o, o, 1, 1,

2 2

1 1N ∆N C u u w w w w2 2

v w v w w w w w1 1a a 2 a 2a a

θ θ θ θ θ

+ = + + + + + +

+ν + + + +2θ

(4.34)

Reagrupando a eq. (4.34):

2o, o o,2

xo o,x o,x 2

21, 1 o, 1, 1,2

x 1,x o,x 1,x 1,x 2

v w w1 1N C u w2 a 2 a

v w w w w1 1∆N C u w w w2 a a 2 a

θ θ

θ θ θ

+ = + +ν + + = + + +ν + + θ

(4.35)


E:

( ) 1, 1 o, 1,x1 1,x o,x 1,x

v w w wN C u w w

a aθ θ + = + +ν + θ

(4.36)

Introduzindo as eqs. (4.31) e (4.32) nas eqs. (4.26), todos os termos em uo, vo

e wo sozinhos e em p desaparecem porque uo, vo e wo é uma configuração de

equilíbrio, isto é, é solução das equações de equilíbrio. Além disso, termos

quadráticos e de ordem superior em u1, v1 e w1 podem ser desprezados pois estes

são pequenos. Logo:

( )

( ) ( )

x1,x x 1,

x 1,x 1,

41 1 xo 1,xx o,xx x1

x o 1,x o,x x 1 o 1, o, 12

aN N 0aN N 0

1D w N N w w Na

2 1N w w N N w w N 0a a

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ θ θ θ θθ θθ θ

+ =

+ =

∇ + − +

+ + + + =

(4.37)

onde:

( ) ( )( ) ( )

xo xo o x1 x1 1

o o xo 1 1 x1

x o x o x 1 x 1

N C N C

N C N C1 1N C N C

2 2

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= ε + νε = ε + νε

= ε + νε = ε + νε

− ν − ν= γ = γ

(4.38)

e:

2xo o,x o,x x1 1,x o,x 1,x

2o, o o, 1, 1 o, 1,

o 12 2

o, o,x o, 1, o,x 1, o, 1,xx o o,x x 1 1,x

1u w u w w2

wv w v w w w1a 2 aa a

u w w u w w w wv v

a a a a a

θ θ θ θ θθ θ

θ θ θ θθ θ

ε = + ε = +

+ +ε = + ε = +

γ = + + γ = + + +

θ

(4.39)

Em análise de estabilidade, os deslocamentos (uo, vo e wo) são comumente

chamados de deformações de pré-flambagem e os deslocamentos (u1, v1 e w1) são

chamados de modo de flambagem. As eqs. (4.37), (4.38) e (4.39) diferem das

correspondentes equações para placas, eqs. (3.45) e (3.46), pois incluem as

rotações de pré-flambagem. Infelizmente, a deformação de cascas antes de perder a


71

estabilidade não tem rotação livre. A presença destas rotações de pré-flambagem

nas equações de estabilidade introduzem uma complicação substancial. Felizmente,

a influência das rotações de pré-flambagem são pequenas e podem ser

desprezadas.

A omissão dos termos contendo wo,x e wo,θ das eqs. (4.37) fornecem as

equações de estabilidade que são da forma:

x1,x x 1,

x 1,x 1,

41 1 xo 1,xx x o 1,x o 1,2

aN N 0aN N 0

1 2 1D w N N w N w N w 0a a a

θ θ

θ θ θ

θ θ θ θ

+ =

+ =

∇ + − + + = θθ

(4.40)

A omissão também desses termos na expressões de deformação fornecem:

xo o,x x1 1,x

o, o 1, 1o 1

o, 1,x o o,x x 1 1,x

u uv w v w

a au u

v va a

θθ θ

θ θθ θ

ε = ε =

+ +ε = ε =

γ = + γ = +

θ (4.41)

As eqs. (4.40) são equações homogêneas nas variáveis u1, v1 e w1.

44..33..22 –– CCrriittéérriioo ddaa mmíínniimmaa eenneerrggiiaa ppootteenncciiaall

Neste caso, as equações de estabilidade (4.40) são obtidas pela aplicação do

critério da energia potencial mínima.

A expressão de energia potencial total para o caso de uma casca cilíndrica

sujeita à uma pressão lateral é dada pela soma das eqs. (4.19) e (4.21). Para obter a

segunda variação da energia potencial total, os deslocamentos são considerados da

forma:

o 1

o 1

o 1

u u uv v v

w w w

→ +

→ +

→ +

(4.42)

Introduzindo as eqs. (4.42) na expressão da energia potencial total e retendo

todos os termos quadráticos em u1, v1 e w1 e considerando que a energia potencial


Ω da pressão lateral é uma função linear dos componentes dos deslocamentos,

então δ2Ω = 0. Assim, a expressão da segunda variação da energia potencial total é:

( )

2 2 2 2x1 1 x 1x1 1

21, 1,2

xo 1,x o x o 1,x2

2 21, 1, 1,x2

1,xx 1,xx4 2 2

1 C 1V a 2 dxd2 2 2

w wa N w N 2N w dxd2 aa

w w wDa w 2 w 2 1 dx2 a a a

θ θθ

θ θθ θ

θθ θθ θ

− ν δ = ε + ε + νε ε + γ θ

+ + + θ

+ + + ν + − ν

∫∫

∫∫

∫∫ d

θ

(4.43)

Como anteriormente, a influência das rotações de pré-flambagem, wo,x e wo,θ

é desprezível.

Aplicando as equações de Euller no integrante da eq. (4.43) e introduzindo as

equações constitutivas, eq. (4.38), e as equações cinemáticas, eq. (4.39), temos:

( )

21,xx 1, 1,x 1,x

21,x 1,xx 1, 1,

41 1, 1 1,x xo 1,xx x o 1,x o 1,2 2

1 1a u u av aw 02 2

1 1au a v v w 02 2

1 2D w C v w au N w N w N w 0aa a

θθ θ

θ θθ θ

θ θ θ

− ν + ν+ + + ν =

+ ν − ν+ + + =

∇ + + + ν − + + =

1θ θθ

(4.44)

As eq. (4.44) são equações acopladas nas variáveis u1, v1 e w1. Como

apresentado por Donnell, estas equações podem ser parcialmente desacopladas

fazendo o seguinte:

41 1,xxx 1,x3

41 1,xx 1,2 4

28 4

1 1,xxxx xo 1,xx x o 1,x o 1,2 2

1u w wa a2 1v w wa a

1 2 1D w Cw N w N w N w 0aa a

θθ

θ θθθ

θ θ θ θθ

ν∇ = − +

+ ν∇ = − −

− ν ∇ + −∇ + + =

(4.45)

onde . ( )8 4 41 1w w∇ = ∇ ∇

As eqs. (4.45) são chamadas de equações de estabilidade de Donnell numa

forma desacoplada. A eq. (4.45c) é uma equação linear homogênea em w1 somente,

com variáveis em Nxo, Nθo e Nxθo. Por causa da influência dos termos de pré-


73

flambagem wox e woθ terem sido desprezadas, os coeficientes Nxo, Nθo e Nxθo são

governados pela equação linear de equilíbrio, eq. (4.28).

44..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddaass eeqquuaaççõõeess ddee eessttaabbiilliiddaaddee

Neste tópico, as equações de estabilidade de Donnell são aplicadas. Para

simplificar a notação, os índices 1 serão omitidos das quantidades incrementais (u1,

Mx1, etc.)

44..44..11 –– PPrreessssããoo llaatteerraall uunniiffoorrmmee

Para este primeiro exemplo, considere uma casca cilíndrica apoiada nas suas

extremidades e sujeita à uma pressão uniforme lateral pe. Sob este carregamento, a

deformação de pré-flambagem da casca (uo, vo e wo) é axisimétrica, Fig. 4.4. A

pressão crítica pcr é definida como a menor pressão na qual a forma axisimétrica

perde a estabilidade.

Se o cilindro está livre para estender horizontalmente quando a pressão

lateral é aplicada, Nxo = 0. Além disso, Nxθo = 0 na ausência de carregamento

torcional. Introduzindo estes valores na eq. (4.45) a expressão se simplifica:

( )2

8 4,xxxx o ,2 2

1 1D w Cw N w 0a a θ θθ− ν

∇ + − ∇ = (4.46)

wo wo

2a

p

L

(a) (b)

Fig. 4.4 – Cilindro sujeito à uma pressão uniforme

A eq. (4.46) é uma equação linear com um coeficiente variável Nθo(x). Por


causa da deformação de pré-flambagem acarretar numa flexão, o coeficiente é

governado pelas equações lineares de flexão, eq. (4.28). Modificando estas

equações para simetria axial, tem-se:

x

ive

N' 01Dw N pa θ

=

+ = − (4.47)

Das equações constitutivas, eq. (4.13), e das equações de deformações, eqs.

(4.29), sabe-se que, x ,xwua

= + ν

N C e ,xw uaθ

= + ν

N C . Mas, e

da eq. (4.47a), N

( )2C Eh / 1= − ν

x = 0. Assim:

wN Ehaθ = (4.48)

Introduzindo a eq. (4.48) na eq. (4.47), tem-se que:

ive2

EhwDw pa

+ = − (4.49)

A eq. (4.49) é conhecida como a equação de equilíbrio para deformações

axisimétricas de uma casca cilíndrica. A solução da equação apresenta que a função

w(x) inclui um fator de decaimento rápido, portanto, a flexão da parede da casca

está confinada a uma região estreita próxima das extremidades do cilindro, como

mostra a Fig. 4.4a. Desprezando este efeito localizado da flexão, a forma do

deslocamento pode ser considerada como apresentado na Fig. 4.4b. Então, o

coeficiente Nθo é governado pelas equações de membrana, fazendo D = 0 na eq.

(4.28), em vez da equação linear de momento. Assim, da equação linear de

membrana, eq. (4.28), tem-se:

o eN pθ = − a (4.50)

Introduzindo a eq. (4.50) na eq. (4.46), tem-se a equação de estabilidade para

uma casca cilíndrica sujeita à uma pressão externa lateral uniforme: 2

8,xxxx e ,2

1 1D w Cw p w 0aa θθ

− ν∇ + + ∇ =4 (4.51)


75

As condições de contorno nas extremidades do cilindro são periódicas em θ e

são:

,xxw w 0 para x 0, L= = = (4.52)

A eq. (4.51) é uma equação homogênea com coeficiente constante e sua

solução tem a forma:

1mw C sen x sen na

= θ (4.53)

onde C1 é uma constante, m aLm π= , e m,n = 1, 2, 3, ..., satisfazem a equação

diferencial e as condições de contorno. Introduzindo a eq. (4.53) na eq. (4.51) e

rearranjando, temos:

( ) ( )2 4 242 2 2 2

e8 2 4 41 1 m 1 nD m n C p m n

aa a a a− ν

+ + − + =2

0 (4.54)

Isolando a pressão lateral pe, tem-se:

( )

( )( )

22 2 42

e 2 2 22 2 2

m n D m 1 Cn a n m n

+= +

+p a (4.55) − ν

Os autovalores correspondem a cada par de valores de m e n. O menor

autovalor em cada caso é visto corresponder a m = 1 (isto é, aL

π=m ), (ver Tab.

4.1). Assim:

( ) ( )( )

( )22 2 4

2e 2 2 222 2

a /L n a /LDp a 1 Cn a n a /L n

π + π = + π +

− ν (4.56)

Introduzindo as constantes de rigidez C e D, e rearrajando:

( ) ( )( )

( )( )

22 2 2 4e

2 22 22 2

a /L n h / a a /Lp aEh n 12 1 n a /L n

π + π = +− ν π +

(4.57)


Tabela 4.1 – Modos de flambagem para diferentes números de ondas longitudinais

m = 1

m = 2

m = 3

Para valores particulares de L/a e a/h, o valor de n correspondente ao menor

autovalor é determinado por tentativa. Para L/a próximo do infinito, a eq. (4.57) se

reduz a:

2e 3

Dp na

= (4.58)

O valor de n no qual a pressão pe é crítica é obtido pela minimização analítica

da eq. (4.57). Os resultados desse procedimento de minimização podem ser obtidos

introduzindo os seguintes parâmetros:

( )2 2 1/ 22

e2L a nL Lp p n Z 1

a ahD= = = −

ππν (4.59)

ondep é um parâmetro de pressão adimensional,n é um parâmetro de

comprimento de onda cincunferencial e Z é uma variável geométrica cilindrica

conhecida como parâmetro de Batdorf.

Introduzindo estes parâmetros na eq. (4.57) e rearranjando, temos:

( )( )

222

2 2 2

1 n 1 12pn n 1 n

+= +

π+2 4 Z (4.60)


77

A minimização dep em relação an na eq. (4.60) fornecepcr com função de

um simples parâmetro Z, em vez de dois parâmetros L/a e a/h. Os resultados desse

procedimento estão apresentados na Fig. 4.5. Para um cilindro relativamente longo

(grandes valores de L ou Z), o procedimento de minimização analítica é

excessivamente impreciso, porque n é pequeno e não pode ser tratado

satisfatoriamente como uma variável contínua.

Para um cilindro submetido à uma pressão lateral externa, a tensão

circunferencial σθ está relacionada com a pressão pela equação σθ = pa/h. Então a

tensão crítica é σcr = pcra/h.

10000

1 10 100 1000 10000 1

2

cr 2Dp p

L aπ

=

2L 5a h

<

a

( )2 1/ 22LZ 1

ah= − ν

1000

100

10

p

Figura 4.5 – Valores críticos de pressão para cilindros sujeitos à uma pressão

externa lateral

44..44..22 –– CCoommpprreessssããoo aaxxiiaall

Considere como um segundo exemplo, um cilindro simplesmente apoiado nas

suas extremidades e sujeito à uma carga axial compressiva uniformemente


distribuída P. Sob essas condições, o cilindro se encurta e aumenta seu diâmetro,

com exceção das suas extremidades. Como no exemplo anterior, a deformação

inicial é axisimétrica, Figura 4.6, e a carga crítica Pcr é a menor carga na qual o

equilíbrio deixa de ser estável numa forma axisimétrica.

O deslocamento wo é novamente função de x e, é assumido por simplicidade

que a deformação de pré-flambagem pode ser determinada com suficiente precisão

pelas equações lineares de membrana. Assim, a forma axisimétrica da Figura 4.6a.

é substituída pela forma da Figura 4.6b.

xoP

2 a= −

π N

wo

2a

L wo

(a) (b)

Fig. 4.6 – Cilindro sujeito à uma carga compressiva uniforme

Das equações de equilíbrio de membrana da forma não flambada cilíndrica,

tem-se que Nxo = – P/2πa e Nxθo = Nθo = 0. Introduzindo estes valores na eq. (4.46c)

a expressão simplifica: 2

8,xxxx ,xx2

1 PD w Cw w 02 aa

− ν∇ + + ∇ =

π4 (4.61)

A eq. (4.61) é uma equação linear com um coeficiente constante. As

condições de contorno e a forma da solução, eq. (4.53), é a mesma que no caso

anterior. Introduzindo a eq. (4.53) na eq. (4.61) e rearranjando, temos:

( ) ( )2 4 24 22 2 2 2

8 2 4 61 1 m P mD m n C m n

2 aa a a a− ν

+ + − + =π

0 (4.62)


79

Isolando a carga P, tem-se:

( )( )

( )22 2 2

22 2 22 2

m nP D m 12 a m a m n

+= +

π +C− ν (4.63)

Para cilindros com comprimento intermediário (L/a não muito grande e não

muito pequeno), o menor autovalor pode ser obtido pela minimização analítica de P

com relação a quantidade ( )22 2m n /m+ 2 na eq. (4.63). Introduzindo as expressões

de C e D e diferenciando a eq. (4.63), a carga P é mínima para:

( ) ( )22 2

1/ 222

m n a2 3 1hm

+ = − ν (4.64)

Introduzindo a relação (4.64) na eq. (4.63) e rearranjando, tem-se:

( )2

cr1/ 22

P Eh / a2 a 3 1

=π − ν

(4.65)

Considerando que a tensão normal é σcr = Pcr/2πah, da eq. (4.65) obtêm-se

que a expressão da tensão crítica é da forma:

( )cr 1/ 22

Eh / a

3 1σ =

− ν

(4.66)

Para um valor de ν = 0,3, a eq. (4.66) se torna:

cr 0,605 Eh / aσ = (4.67)

Pelo fato de m e n serem inteiros e positivos e m aL

π=m , é impossível

satisfazer a eq. (4.64) para cilindros curtos (L/a pequeno). Tal dificuldade acontece

para valores de Z menores que 2,85. Em tais casos, a eq. (4.63) pode ser utilizada

onde a carga crítica pode ser determinada por tentativa e erro. Os cálculos são

simplificados se a eq. (4.63) é expressa em termos de Z e n . Os resultados desses

cálculos são apresentados na Fig. 4.7, onde:


2

a c2L hk

D= σπ r (4.68)

Para Z > 2,85, os valores de σcr dados pela Fig. 4.7 e pela eq. (4.66) são os

mesmos.

Quando o raio do cilindro se aproxima do infinito e Z se aproxima de zero, o

coeficiente ka na Fig. 4.7 se aproxima de 1. Então: 2

xocr cr 2DN h

Lπ

= σ = (4.69)

A eq. (4.69) é a equação da carga crítica para uma “coluna larga”, uma placa

simplesmente apoiada nas extremidades carregadas e livre na extremidade não

carregada (ver eq. (2.3)).

2

cr a2D k

L hπ

σ =

10000

1000

100

10

10000

( )2 1/ 22LZ 1

ah= − ν

100010010 1 1

ak

Figura 4.7 – Valores críticos de pressão para cilindros sujeitos à uma carga

axial compressiva


81

44..44..33 –– TToorrççããoo

Para uma casca cilíndrica sujeita à um momento torçor, a eq. (4.45c) é

simplificada para (Nx = Nθ = 0) : 2

8 4,xxxx x o ,x2

1 2D w Cw (N w ) 0aa θ θ

− ν∇ + − ∇ = (4.70)

É assumido, por simplicidade, que a análise de membrana é adequada para a

deformação de pré-flambagem. Então, Nxθo é uma constante, e a eq. (4.70) pode ser

reescrita da forma: 2

81,xxxx x o ,x2

1 2D w Cw N w 0aa θ θ

− ν∇ + − ∇ =4 (4.71)

Assim como a expressão de uma placa sujeita à uma carga cisalhante, a eq.

(4.71) tem uma derivada ímpar com relação as coordenadas x e θ (∇ ) e duas

derivadas pares com relação a coordenada x. Conseqüentemente, a eq. (4.53) não é

solução da eq. (4.71). A solução da eq. (4.71) para a torção é da forma:

4,xw θ

1mw C sen x na

= −

θ (4.72)

onde C1 é uma constante e m aLm π= . A eq. (4.72) satisfaz a eq. (4.71) assim como

satisfaz as condições de periodicidade da coordenada circunferencial, mas não

satisfaz as condições de contorno comumente usadas para cilindros.

Conseqüentemente, esta expressão pode ser utilizada somente para cilindros longos

cujas condições de contorno têm pouca influência no valor da carga crítica.

Para tais cilindros, a introdução da eq. (4.72) na eq. (4.71) e rearranjando

fornece:

( ) ( )2 44 28 2 2 2 2

x o8 2 4 51 1 m 2 mnD m n C N m n

aa a a aθ− ν

∇ + + − + 0= (4.73)

Isolando a carga Nxθo, temos:


( )( )

( )22 2 3

2x o 2 22 2

m n D mN 12mn a 2 m n n

θ

+= +

+C− ν (4.74)

Para cilindros longos, a casca cilíndrica flamba em duas ondas

circunferenciais, isto é, o menor valor de Nxθo corresponde a n = 2, (ver Tab. 4.2).

Introduzindo este valor na eq. (4.74) temos:

( )( )

( )22 3

2x o 2 22

m 4 D mN 14m a 4 m 4

θ

+= + −

+Cν (4.75)

Tabela 4.2 – Modos de flambagem para diferentes números de onda circunferenciais

n = 1

n = 2

n = 3

Para cilindros suficiente longos, ( )2m a /L 4π << , a eq. (4.75) se transforma

em:

( )3 2

x o 2

m 1 C4DN64maθ

− ν= + (4.76)

O valor de m para o qual Nxθo é mínimo pode ser determinado pela

minimização analítica de Nxθo na eq. (4.76) com relação a m . Introduzindo as

expressões de C e D e diferenciando a eq. (4.76), obtêm-se que Nxθo é mínimo para

( )2

42

64 hma9 1

= − ν

(4.77)

Introduzindo a eq. (4.77) na eq. (4.76) e rearranjando temos:


83

( )3 / 2

cr 3 / 42

0,272E ha1

τ = − ν

(4.78)

onde . cr x oN /hθτ =

Para cilindros curtos, a tensão crítica pode ser obtida em termos de um

coeficiente de tensão crítica kt definido pela relação (ver Fig. 4.8): 2

t c2L hk

D= τπ r (4.79)

2

cr t2D k

L hπ

σ =

( )2 1/ 22LZ 1

ah= − ν

tk

2aZ 10h

<

10000

1000

100

Engastada nas extremidades

10 Simplesmente apoiada nas extremidades

1 10000 10001001 10

Figura 4.8 – Valores de tensão de cisalhamento crítico para cilindros em torção

44..44..44 –– CCaarrrreeggaammeennttoo ccoommbbiinnaaddoo

Como um exemplo de carregamento combinado, considere uma casca

cilíndrica simplesmente apoiada nas extremidades submetida à uma carga axial

compressiva P e uma carga lateral externa pe. Se uma análise de membrana é

assumida ser adequada para deformação axisimétrica, na eq. (4.45c), temos:


28 4

,xxxx ,xx e ,21 P 1D w Cw ( w p w ) 0

2 a aa θθ− ν

∇ + +∇ + =π

(4.80)

A eq. (4.80) pode ser alterada pela introdução de uma constante adimensional

R:

eP Rp a

2 a≡

π (4.81)

Introduzindo a eq. (4.81) na eq. (4.80) temos: 2

8 4,xxxx e , ,xx2

1 1D w Cw p ( w aRw ) 0aa θθ

− ν∇ + + ∇ + = (4.82)

Introduzindo a função de deflexão dada pela eq. (4.53) na eq. (4.82) e

rearranjando, temos:

( ) ( )2 4 2 24 22 2 2 2

e8 2 4 4 61 1 m 1 n mD m n C p aR m n

aa a a a a − ν

+ + − + + =

0 (4.83)

Isolando a carga pe, tem-se:

( ) ( ) ( )( ) ( )

42 2 2 4 2

e 22 2 2 2

m n D/ a m 1 Cp a

m n n Rm

+ + −=

+ +

ν (4.84)

Para cada relação de R, há um correspondente autovalor para cada par de

valores m e n. O mínimo autovalor pode ser determinado por tentativa e erro.

Um caso de interesse particular é para R = ½, onde P = πa2pe e a cilindro está

sujeito a uma pressão uniforme pe nas laterais e nas extremidades. Este tipo de

carregamento é chamado de pressão hidrostática. Os resultados da eq. (4.84) são

apresentados na Fig. 4.9 em função do parâmetro Z.


85

2

cr 2Dp p

L aπ

=

1 10

( )2 1/ 22LZ 1

ah= − ν

100 1000 10000 1

10

100

1000

2L 5a h

<

a

Pressão axial

Pressão lateralPressão hidrostática

p

10000

Figura 4.9 – Comparação de valores críticos – pressão hidrostática, lateral e axial

Cascas Genéricas 86

55 –– CCAASSCCAASS GGEENNÉÉRRIICCAASS


Uma casca é definida como um corpo onde uma dimensão é muito menor

comparado às outras duas. Este fato permite reduzir um problema tridimensional em

um problema bidimensional, e dessa forma, o deslocamento de qualquer ponto no

interior da casca pode ser expresso em termos das componentes do deslocamento

da superfície neutra.

55..22 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss ddee eeqquuiillííbbrriioo nnããoo lliinneeaarreess

Considere uma casca fina de forma arbitrária feita de material elástico,

homogêneo e isotrópico. A superfície de referência é a superfície média, os eixos x e

y são chamados coordenadas linhas-de-curvatura, os eixos X, Y e Z são eixos

cartesianos e os raios de curvatura são Rx e Ry, Figura 5.1. As distâncias ao longo

das linhas de curvatura são dadas pelas relações:

x ydS A dx dS B dy= = (5.1)

onde A e B são chamados de coeficientes de Lamé dados por: 1/ 22 2 2

1/ 22 2 2

X Y ZAx x x

X Y ZBy y y

∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂

(5.2)

A espessura da casca é h e a distância de um ponto genérico até a superfície

neutra é z.

A teoria para cascas elásticas finas é válida para deflexões de qualquer

magnitude, contanto que as deformações permaneçam pequenas. A teoria é

baseada na expressão de energia de deformação obtida em termos das seguintes

hipóteses (Koiter):

1 – A casca é fina, h/R<<1, onde R é o menor raio de curvatura da superfície

média indeformada,


87

2 – As deformações são pequenas comparadas com a unidade e a energia de

deformação do corpo é dada pela função quadrática das componentes de

deformação para um sólido isotrópico elástico,

3 – O estado de tensão é aproximadamente plano, isto é, o efeito do

cisalhamento transverso e da tensão normal à superfície média pode ser

desprezado na expressão de energia de deformação.

z

x y Y

Z

X

Figura 5.1 – Sistema de coordenadas global (X, Y e Z) e local (x, y e z)

Assumindo as hipóteses acima, a energia de deformação para uma casca

elástica fina é da forma:

( )( )

M F

2 2 2M x y x y xy

2 2 2F x y x y xy

U U UC 1U 2 ABd2 2DU 2 2 12

= +

− ν = ε + ε + νε ε + γ

= κ + κ + νκ κ + − ν κ

∫∫

∫∫

x dy

ABdx dy

(5.3)

onde εx, εy e γxy são deformações de membrana da superfície média, e κx, κy e κxy

são curvaturas e torção da superfície média.

A energia potencial total V de uma casca carregada é a soma das energias de

deformação U e da energia potencial Ω das cargas aplicadas:

V U Ω= + (5.4)

Para obter a expressão da energia potencial Ω, considere px, py e pz,

componentes em x, y e z da carga distribuída sobre a superfície da casca e u, v e w


as componentes de deslocamento de um ponto da superfície média. Então, a

expressão de energia potencial pode ser colocada da forma:

( )x y zΩ p u p v p w AB dx dy= − + +∫∫ (5.5)

As equações de equilíbrio e estabilidade desenvolvidas até aqui são

baseadas em relações cinemáticas não lineares de uma forma relativamente

simples:

2x xx x x xx

2y yy y y yy

yx xy x y xy xy

1e21e21e2

ε = + β κ = χ

ε = + β κ = χ

γ = + β β κ = χ

(5.6)

onde eij, βi e χij são funções lineares das componentes do deslocamento da

superfície média, u, v, e w. As relações cinemáticas expressas pela eqs. (5.6) são

tais que: (1) eij são de mesma ordem de grandeza que ε2, onde ε é muito pequeno

comparado à unidade, (2) as rotações βi e βj são de mesma ordem de grandeza que

ε, e (3) as rotações relativas à normal à superfície média é desprezível comparada

às outras duas. Para o caso de cascas genéricas, as equações cinemáticas dadas

por Sanders podem ser escritas da seguinte forma:

,y ,y,x ,xxx yy

x y

,y ,x ,y,xxy

,y,xx y

x y

,y y y,yx,x ,x xxx yy

y,x x,y ,y x ,x yxy

A v vu Bw we eu

A AB R B AB R

u B v A uve

A B ABww u v

A R B R

A BA AB B AB

A B2

A B AB

= + + = + +

+= + −

β = − + β = − +

β ββ βχ = + χ = +

β β β + βχ = + −

(5.7)

Experiência com exemplos numéricos, mostram no entanto que os termos

contendo os deslocamentos u e v nas rotações βx e βy são desprezíveis. Dessa

forma, tem-se que esta rotações podem ser colocadas da forma:


89

,y,xx y

wwA B

− β = −β = (5.8)

Introduzindo as eqs. (5.8) nas expressões de curvatura nas eqs. (5.7) e

simplificando, temos:

,y ,y,xx ,x xxx 2 3

,yy ,y ,y ,x ,xyy 2 3 2

,xy ,y ,x ,x ,yxy 2 2

2

A ww A wA A ABw B w B wB B Aw A w B wAB

B

A B AB

χ = − + −

χ = − + −

χ = − + +

(5.9)

As equações simplificadas (5.7), (5.8) e (5.9) são chamadas relações

cinemáticas de Donnell-Mushtari-Vlasov (DMV) para cascas quase-rasas.

As equações diferenciais de equilíbrio para cascas genéricas são obtidas

introduzindo as relações cinemáticas dadas pelas eqs. (5.7), (5.8) e (5.9) na

expressão de energia potencial total, eq. (5.4), e aplicando o princípio da energia

potencial estacionária. As equações de Euler resultantes do cálculo das variações

são:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x xy ,x y ,y xy x,x ,y

y xy ,y x ,x xy y,y ,x

,y ,xx x y,x ,y

,x ,y ,x,y

,y y,x xxy,xy xy xy

x y,y,x

x x

BN AN B N A N = ABp

AN BN A N B N = ABp

A B1 1BM M AM MA B B A

A NB N2 M M M ABA B R

BN

+ − + −

+ − + −

− + −

+ + + − +

− β( ) ( )xy y y y xy x z,x ,yBN AN AN ABp + β + β + β = −

y

R

(5.10)

onde os esforços internos são da forma:

( ) ( )( ) ( )

( )

x x y x x y

y y x y y x

xy xy xy xy

N C M D

N C M D

1N C M D 12

= ε + νε = κ + νκ

= ε + νε = κ + νκ

− ν= γ = − ν κ

(5.11)


As eqs. (5.10) são equações diferenciais de equilíbrio não lineares para

cascas elásticas finas de forma genérica. As equações diferenciais de equilíbrio

lineares são obtidas omitindo os termos quadráticos ou de ordem superior em u, v e

w.

A partir das eqs. (5.10) pode-se chegar nas equações de equilíbrio de placa,

eqs. (3.37), fazendo A = B = 1 e 1/Rx = 1/Ry = 0 e nas equações de equilíbrio de uma

casca cilíndrica, eqs. (4.16), fazendo A = 1, B = Ry = a e 1/Rx = 0.

55..33 –– EEqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eessttaabbiilliiddaaddee

Neste seção, o critério de energia potencial mínima é usado para obter a

expressão de segunda variação da energia potencial de uma casca genérica em

termos dos parâmetros lineares de deslocamento eij, βi e χij nas eqs. (5.7). As

equações de perda de estabilidade são obtidas pela introdução das relações

cinemáticas de DMV.

55..33..11 –– CCrriittéérriioo ddaa eenneerrggiiaa ppootteenncciiaall mmíínniimmaa

U


dado aos deslocamentos pequenos incrementos e examina-se duas configurações


Assim, considera os deslocamentos da forma:

o 1

o 1

o 1

u u uv v v

w w w

→ +

→ +

→ +

(5.12)


w e, u, v e w são deslocamentos em duas configurações adjacentes em equilíbrio.

Em termos dos parâmetros lineares de deslocamento, exx é substituído por exx0 +

exx1, etc., e os termos quadráticos com relação ao índice 1 são omitidos. A

expressão de energia potencial das forças externas é função linear dos

deslocamentos u, v e w, logo, ela não tem nenhuma contribuição na sua segunda

variação, . Conseqüentemente, 2Ω 0δ = 2 2Vδ = δ . Ou:

o


91

2 2 2M FV U Uδ = δ + δ (5.13)

Assim, as expressões da segunda variação das energias de deformação de

membrana e de flexão são da forma:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2 222M x y x y

2 2xo yo x yo xo y

2xyo xy

222F x y x y

2xy

1 C 1U 22! 2 2

1 ABdx dy2

1 DU 22! 2

2 1 ABdx dy

− ν δ = δε + δε + ν δε δε + δγ + ε + νε δ ε + ε + νε δ ε− ν + γ δ γ

δ = δκ + δκ + ν δκ δκ+ − ν δκ

∫∫

∫∫

xy

` (5.14)

onde, das eqs. (5.7), temos que as variações são da forma: 2 2

x xx1 xo x1 x x1 x xx12 2

y yy1 yo y1 y y1 y yy1

2yx xy1 yo x1 xo y1 yx x1 y1 xy xy1

e

e

e 2

δε = + β β δ ε = β δκ = χ

δε = + β β δ ε = β δκ = χ

δγ = + β β + β β δ γ = β β δκ = χ

(5.15)

Das eqs. (6.11), tem-se que:

( )( )

xo xo yo

yo yo xo

xyo xyo

N C

N C

1N C2

= ε + νε

= ε + νε

− ν= γ

(5.16)

Introduzindo as eqs. (5.14) e (5.15) na eq. (5.13), a expressão da segunda

variação da energia potencial total tem a expressão:


( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )

222xx1 xo x1 yy1 yo y1

xx1 xo x1 yy1 yo y1

2xy1 xo y1 yo x1

2 2xo yo xyo x1 y1x1 y1

2 2 2xx1 yy1 xx1 yy1 xy1

1 CV e e2! 2

2 e e

1 e ABdx dy21 N N 2N ABdx dy2

D 2 2 1 ABd2

δ = + β β + + β β

+ ν + β β + β β

− ν + + β β + β β

+ β + β + β β

+ χ + χ + νχ χ + − ν χ

∫∫

∫∫

∫∫ x dy

(5.17)

A eq. (5.17) é a expressão genérica da segunda variação da energia potencial

total para uma casca fina (rasa ou não rasa) sujeita à um carregamento. Para uma

casca quase rasa, os parâmetros de deslocamento incrementais de DMV são

aproximados por:

,y 11,x 1xx1

1

1,xx1

,y y1x1,xxx1

A vu weA AB RwA

AA AB

= + +

β = −

ββχ = +

(5.18)

Os outros parâmetros de deslocamentos são obtidos por analogia.

As equações diferenciais de equilíbrio não lineares na sua forma mais

genérica, onde as rotações de pré-flambagem, βxo e βyo, não são desprezadas, são

então colocadas como:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x1 xy1 ,x y1 ,y xy1,x ,y

y1 xy1 ,y x1 ,x xy1,y ,x

,y ,xx1 x1 y1 y1,x ,y

,x ,y ,x,y

,y ,xxy1,xy xy1 xy1

,y,x

BN AN B N A N =0

AN BN A N B N =0

A B1 1BM M AM MA B B A

A B2 M M M AB

A B

+ − +

+ − +

− + −

+ + + −

( ) ( )

( ) ( )

y1x1

x y

xo x1 xyo y1 xo x1 yo xy1,x ,x

yo y1 xyo x1 yo y1 xo xy1,y ,y

NNR R

BN BN B N B N

AN AN A N A N 0

+

− β + β + β + β+ β + β + β + β =

(5.19)


93

onde os esforços internos incrementais são da forma:

( ) ( )( ) ( )

( )

x1 xx1 xo x1 yy1 yo y1

y1 yy1 yo y1 xx1 xo x1

xy1 xy1 xo y1 yo x1

,y y1 y1,yx1,x ,x x1x1

y1,y ,y y1,x x1 x1,xy1

N C e e

N C e e

1N C e2

A BM D

A AB B AB

ABM D

B AB A AB

= + β β +ν + β β = + β β +ν + β β − ν

= + β β + β β

β ββ = + +ν +

β ββ β

= + +ν +

β

y1,x x1,y ,y x ,x yxy1

A B1M D2 A B AB

β β β + β − ν= + −

(5.20)

e os parâmetros de deslocamento incrementais são da forma:

,y 11,x 1xx1

x

1,y ,x 1 1yy1

y

1,y ,x 1 ,y 11,xxy1

1,x 1x

x

1,y 1y1

y

A vu weA AB R

v B u weB AB R

u B v A uve

A B ABw uA Rw vB R

= + +

= + +

+= + −

β = − +

β = − +

(5.21)

Introduzindo as eqs. (5.20) e (5.21) nas eqs. (5.19), tem-se três equações

homogêneas lineares em u, v e w com coeficientes variáveis Nxo, Nyo, Nxyo, βxo e βyo.

Estes coeficientes são determinados pelas equações não lineares de equilíbrio

dadas pelas eqs. ( 5.10)


As equações diferenciais de equilíbrio lineares (5.19) podem ser obtidas de

uma forma alternativa, a partir das equações de equilíbrio não lineares, eq. (5.10),


aplicando o critério de equilíbrio adjacente, na qual os deslocamentos são colocados

da forma:

o 1

o 1

o 1

u u uv v v

w w w

→ +

→ +

→ +

(5.22)

onde uo, vo e wo representa a configuração em equilíbrio que está sendo

considerada, u, v e w é uma configuração em equilíbrio adjacente correspondente ao

mesmo valor da carga aplicada na configuração uo, vo e wo, e u1, v1 e w1 são

deslocamentos arbitrários e pequenos. Além disso, os incrementos nos esforços

internos devido aos incrementos nos deslocamentos são da forma:

x xo x

y yo y

xy xyo xy

x xo x1

y yo y1

N N ∆NN N ∆N

N N ∆N

→ +

→ +

→ +

β →β +β

β →β +β

(5.23)

onde ∆Nx, ∆Ny, ∆Nxy, βx1 e βy1 são incrementos devido a u1, v1 e w1. Os esforços Nx1,

Ny1, Nxy1 representam porções de ∆Nx, ∆Ny, ∆Nxy. Nenhum incremento é dado à

carga aplicada (px, py, pz). Introduzindo as eqs. (5.22) e (5.23) nas eqs. (5.10) e

omitindo os termos quadráticos e de ordem superior em u1, v1 e w1, a equações

resultantes são também da forma das eqs. (5.19) e (5.20).

55..44 –– CCaassccaass ddee rreevvoolluuççããoo

Uma casca de revolução é formada pela rotação de uma curva plana em

torno de um eixo, Fig. 5.2. Planos normais ao eixo de revolução interceptam a casca

em curvas chamadas de paralelos, e planos que contêm o eixo de revolução e

interceptam a casca são chamadas de meridianos. Pontos da superfície da casca

são referenciados com coordenadas φ e θ, onde φ é o ângulo entre o eixo de

revolução e a normal a superfície da casca, e θ é a coordenada circunferencial.


95

meridiano

paralelo

θ

φ

Figura 5.2 – Casca de revolução

Os raios de curvatura com relação à φ e θ são respectivamente rφ e rθ. E, o

raio de um paralelo numa posição φ é relacionado da forma (ver Fig. 5.3):

r r senθ= φ (5.24)

φ

w

u

r

rθ

Figura 5.3 – Meridiano da casca de revolução

As dimensões de um elemento infinitesimal da casca de revolução são:


ds r d

ds r dφ φ

θ

= φ

= θ (5.25)

Assim, se φ e θ são tomados corresponder a x e y respectivamente, os

coeficientes de Lamé são:

x y

A r B r

R r R rφ

φ θ

= =

= = (5.26)

Além disso, e da Fig. 5.3:

dr ds cosφ= φ (5.27)

As eqs. (5.25) e (5.27) são também relacionadas da forma:

dr r cosd φ= φφ

(5.28)

As variáveis rφ, rθ e r caracterizam a forma da superfície média da casca

indeformada e são função somente de φ. Os deslocamentos u, v e w são

componentes de deslocamento de um ponto da superfície média da casca nas

direções φ, θ e normal à casca, respectivamente.

55..44..11 –– EEqquuaaççõõeess ddee eessttaabbiilliiddaaddee ccoomm rroottaaççõõeess ddee pprréé--ffllaammbbaaggeemm rreettiiddaass

Substituindo as eqs. (5.26) nas eqs. (5.19) e (5.20), tem-se:

( )( )

( )

( ) ( )

( ) (

1 1, 1,

y 1 1, 1,

1 1, 1,,,

1, 1 1 1,

o 1 o 1 1 1 o 1, ,

o 1

rN r N r N cos =0

rN r N r N cos =0

r1 rM 2 M M cosr r

rM M cos rN r N sen

r

rN rN r N r N

r N N

φ φ φθ θ φ θφ

θ φ θ θ φ φθφ

φφ φθ φθ φθ θφ

φ φ

φθ θθ θ φ φ θφ

φ φ φθ θ φ φ φ φθφ φ

φ θ θ φ

+ − φ

+ + φ

+ + φ

+ − φ − + φ − β + β + β + β

+ β +( ) (o 1 o 1 o 1, ,r N Nθ φ φ θ θ φ φθθ θ

β + β + β =

)

) 0

` (5.29)


97

onde as forças e momentos internos e as variáveis de deslocamento são dadas por:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

1 1 o 1 1 o

1 1 o 1 1 o

1 1 o 1 o 1

1,1 1, 1

1 1, 1 1,

1,11

,

N C e e

N C e e

1N C e2

M D cosr r

1M D cosr r

1 rM D2 r r r

φ φφ φ φ θθ θ θ

θ θθ θ θ φφ φ φ

φθ φθ φ θ θ φ

φ φφ θ θ φ

φ

θ θ θ φ φ φφ

φ φθφθ

φ φ

= + β β + ν + β β = + β β + ν + β β − ν

= + β β + β β

β ν= + β + β φ

ν

= β + β φ + β

ββ− ν = +

1

1

( )

( )

1 1, 1

1,11

,

1 1, 1 1

1, 1,1 1

1e u wr

ur ver r r

1e v u cos w senrw wr r

φφ φφ

θθθ

φ φ

φθ θ

φ θφ θ

φ

= +

= +

= + φ + φ

β = − β = −

(5.30)

As equações não lineares de equilíbrio que governam os coeficientes Nφo, Nθo,

Nφθo, βφo e βθo podem ser obtidas pela introdução das eqs. (5.26) nas eqs. (5.10). Se

o carregamento é axisimétrico, a deformação que causará perda de estabilidade

será também axisimétrica. Então βθo = 0 e os coeficientes Nφo, Nθo, Nφθo, βφo são

função somente de φ. Assim, as equações não lineares de cascas de revolução com

deformação axisimétrica são da forma:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

d rN r N cos rr pdd rN r N cos rr pd

d 1 d drM M cosd r d d

drN r N sen rN rr pd

φ φ θ φ φ

φθ φ φθ φ θ

φ θφ

θ φ θ φ φ φ

− φ = −φ

+ φ = −φ

− φ

φ φ φ

− + φ − β = −φ

(5.31)


onde pφ, pθ e p são componentes do carregamento nas direções φ, θ e normal à

casca, respectivamente. Das eqs. (5.11), as equações constitutivas são:

( ) (( ) (

))

N C M D

N C M D

1N C2

φ φ θ φ φ

θ θ φ θ θ

φθ φθ

= ε + νε = κ + νκ

= ε + νε = κ + νκ

− ν= γ

θ

φ (5.32)

e das eqs. (5.6), (5.7a), 5.7c) e (5.8), as relações cinemáticas são:

( )

21e e2

1 du 1e w e u cos w sinr d r

r d v 1 dwer d r r d

d1 1 cosr d r

φ φφ φ θ θθ φθ φθ

φφ θθφ

φθ φφ φ

φφ φ φ

φ

ε = + β ε = γ =

= + = φ + φ

= β = − φ φ

βκ = κ = β φ

φ

e

φ

(5.33)

Se a casca não está sujeita à um carregamento torcional, o coeficiente Nφθo =

0.

55..44..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee eessttaabbiilliiddaaddee ccoomm rroottaaççõõeess ddee pprréé--ffllaammbbaaggeemm oommiittiiddaass

Para análises nas quais as rotações de pré-flambagem podem ser

desprezadas, as equações de estabilidade podem ser obtidas a partir das eqs.

(5.29) omitindo os termos em βφo e βθo:

( )( )

( )

( ) ( )

( ) (

1 1, 1,

1 1, 1,

1 1, 1,,,

1, 1 1 1,

o 1 o 1 o 1 o 1, ,

rN r N r N cos =0

rN r N r N cos =0

r1 rM 2 M M cosr r

rM M cos rN r N sen

r

rN rN r N r N 0

φ φ φθ θ φ θφ

φθ φ θ θ φ φθφ

φφ φθ φθ φθ θφ

φ φ

φθ θθ θ φ φ θφ

φ φ φθ θ φ θ θ φ φθ φφ θ

+ − φ

+ + φ

+ + φ

+ − φ − + φ − β + β + β + β = )

` (5.34)


99

onde as forças e momentos internos e as variáveis de deslocamento são dadas por:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1, 1 1, 1 1

1 1, 1 1 1,

1,11

,

1,1 1, 1

1 1, 1 1,

1N C u w v u cos w senr r

1N C v u cos w sen u wr r

u1 r vN C2 r r r

M D cosr r

1M D cosr r

M

φ φ θφ

θ θ φφ

θφθ

φ φ

φ φφ θ θ φ

φ

θ θ θ φ φ φφ

ν= + + + φ +

ν

= + φ + φ + +

− ν = +

β ν= + β + β φ

ν

= β + β φ + β

1

φ

1,11

,

1, 1,1 1

1 rD2 r r r

w wr r

φ φθφθ

φ φ

φ θφ θ

φ

ββ− ν = +

β = − β = − (5.35)

Os coeficientes Nφo, Nθo, Nφθo na eq. (5.34) podem ser obtidos pela equações

lineares de equilíbrio. A omissão dos termos não lineares da eq. (5.31) fornece as

equações:

( )

( )

( ) ( ) ( )

d rN r N cos rr pdd rN r N cos rr pd

d 1 d drM M cos rN r N sen rr pd r d d

φ φ θ φ φ

φθ φ φθ φ θ

φ θ φ φ θφ

− φ = −φ

+ φ = −φ

− φ − + φ =

φ φ φ φ−

φφ

(5.36)

onde as equações constitutivas e relações cinemáticas são dadas pelas eqs. (5.32)

e (5.33), exceto que:

eφε = (5.37)

Em uma aproximação simplificada para a determinação dos coeficientes de

estabilidade, as equações lineares de flexão são freqüentemente substituídas pelas


equações lineares de membrana. Assim, eliminando os termos de flexão da eq.

(5.36), tem-se que:

( )

( )

d rN r N cos rr pdd rN r N cos rr pdrN r N sen rr p

φ φ θ φ φ

φθ φ φθ φ θ

φ φ θ φ

− φ = −φ

+ φ = −φ+ φ =

(5.38)

As eqs. (5.38) são estaticamente determinadas, portanto as soluções podem

ser obtidas sem o uso das relações constitutivas e cinemáticas.

Novamente, se a casca não está sujeita à um carregamento torcional, Nφθo =

0. Em tais casos, as equações de estabilidade obtidas pela substituição das eqs.

(5.35) nas eqs. (5.34) podem ser reduzidas em equações diferenciais ordinárias pela

introdução das soluções da forma:

( )( )( )

1 n

1 n

1 n

u u cosn

v v senn

w w cosn

= φ θ

= φ θ

= φ θ

(5.39)

Concluindo, as equações de estabilidade para cascas de revolução são dadas

pelas eqs. (5.29) e (5.34) com retenção ou não dos termos de pré-flambagem. As

equações de equilíbrio não lineares para carregamento simétrico são dadas pelas

eqs. (5.31). As equações lineares de flexão são dadas pelas eqs. (5.36) e as

equações lineares de membrana são dadas pelas eqs. (5.38)

55..55 -- AApplliiccaaççõõeess ddaass eeqquuaaççõõeess ddee eessttaabbiilliiddaaddee


101

66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS EEMM EESSTTAABBIILLIIDDAADDEE

66..11 –– EEssttaabbiilliiddaaddee eemm vviiggaass

O problema da estabilidade em estruturas do tipo pórtico (viga e barra) se

resume em resolver o segundo variacional da energia potencial total (ver eq. A.43): 22 2L 2

22

0

1 1 u w wV EA EI P2 2 x xx

∂ ∂ ∂ δ = + − ∂ ∂ ∂ ∫ dx (6.1)

Observa-se no lado direito da eq. (6.1) que o primeiro termo é a energia de

deformação de membrana, o segundo termo a energia de deformação de flexão, e o

terceiro termo está relacionado ao trabalho realizado pela força axial P para encurtar

a coluna. As matrizes de rigidez em estruturas do tipo viga podem ser determinadas

aplicando o primeiro teorema de Castigliano na eq. (6.1) da forma:

(ii

F U Ωq∂

= +∂

) (6.2)

onde qi é o deslocamento (ou a rotação) que ocorre no ponto i e na direção da força

(ou do momento) Fi, aplicada também no ponto i.

66..22 –– MMaattrriizzeess ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee vviiggaa

Considere um elemento de viga de comprimento L, módulo de elasticidade E,

e momento de inércia I. As duas extremidades são denotadas pontos nodais (ou

simplesmente nós) 1 e 2. Em cada nó há uma deflexão w e uma rotação θ (∂w/∂x),

chamados graus de liberdade. Correspondendo a estes dois graus de liberdade w e

θ há dois esforços internos, uma força cortante F e um momento M,

respectivamente, Fig. 6.1.

A deflexão w é assumida ser uma função polinomial cúbica em x:

1

22 3 2 31 2 3 4

3

4

aa

w(x) a a x a x a x 1 x x xaa

= + + + =

(6.3)

Métodos dos Elementos Finitos em Estabilidade 102

z, w

F2, w2 F1, w1

E, I x

L M2, θ2 M1, θ1

21

Figura 6.1 – Elemento de viga reto com seção constante

Considerando que: 4

4

3

13

22

1 22

3 212 3

4 3 21 23 4

d w 1 q(x)EIdx

d w 1 q x cEIdx

d w 1 q x c x cEI 2!dx

dw 1 q cx x c x cdx EI 3! 2!

1 q c cw(x) x x x c x cEI 4! 3! 2!

=

= +

= + +

= + + +

= + + + +

(6.4)

Portanto, a eq. (6.3) é exata quando a carga distribuída q(x) é nula.

As constantes a1, a2, a3 e a4 da eq. (6.3) são determinadas pela imposição

das condições de contorno:

1 1

2 2

wp / x 0, w(0) w , (0)xwp / x L, w(L) w , (L)x

∂= =

∂∂

= =∂

= θ

= θ

(6.5)

Aplicando as condições de contorno, eq. (6.5), na eq. (6.3), temos:

1 1

1 22 3

2 33

2 4

1 0 0 0w a0 1 0 0 a

w a1 L L La0 1 2L 3L

θ = θ

(6.6)

A matriz inversa da eq. (6.6) fornece as constantes a1, a2, a3 e a4:


103

31 1

32

2 23 2

4 2

L 0 0 0a wa 0 L 0 0a w3L 2L 3L La 2 L 2 L

θ = − − −

θ −

1

2θ

(6.7)

Substituindo a eq. (6.7) na eq. (6.3) e reagrupando, obtemos a forma final da

função deflexão:

1 1 2 1 3 2 4w(x) f (x) w f (x) f (x) w f (x)= + θ + + (6.8)

onde f1(x), f2(x), f3(x) e f4(x) são funções de forma dadas por: 2 3

1

2 3

2 2

2 3

3

2 3

4 2

x xf (x) 1 3 2L L

x xf (x) x 2L L

x xf (x) 3 2L L

x xf (x)L L

= − +

= − +

= −

= − +

(6.9)

A primeira e a segunda derivada da deflexão dada pela eq. (6.8) são:

' ' ' '1 1 2 1 3 2 4

2'' '' '' ''1 1 2 1 3 2 42

w f (x) w f (x) f (x) w f (x)xw f (x) w f (x) f (x) w f (x)

x

∂= + θ + +

∂∂

= + θ + +∂

2

2

θ

θ (6.10)

Aplicando o primeiro teorema de Castigliano na eq. (6.1) e considerando as

eqs. (6.10), tem-se:

( )L

'' '' '' '' ''1 1 1 2 1 3 2 4

1 0L

' ' ' ' '1 1 2 1 3 2 4 2 1

0

2 E IF U Ω f (x)w f (x) f (x)w f (x) f (x)dxw 2

2 P f (x)w f (x) f (x)w f (x) f (x)dx2

∂ = + = + θ + + θ ∂

+ θ + + θ

∫

∫

2 1 −

(6.11)

Colocando a eq. (6.11) de forma mais compacta:


( ) ( )1 11 1 12 1 13 2 14 2 G11 1 G12 1 G13 2 G14 2F k w k k w k k w k k w k= + θ + + θ − + θ + + θ

x

x

x

x

x

dx

(6.12)

onde: L

'' ''11 1 1

0L

'' ''12 1 2

0L

'' ''13 1 3

0L

'' ''14 1 4

0

k EI f (x).f (x) dx

k EI f (x).f (x) d

k EI f (x).f (x) d

k EI f (x).f (x) d

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

(6.13)

e: L

' 'G11 1 1

0L

' 'G12 1 2

0L

' 'G13 1 3

0L

' 'G14 1 4

0

k P f (x).f (x) dx

k P f (x).f (x) d

k P f (x).f (x) d

k P f (x).f (x)

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

(6.14)

Considerando que M ( , e generalizando para os graus de liberdade

θ

U Ω)∂= +∂θ

1, w2 e θ2, tem-se a forma generalizada para os termos da matriz de rigidez: L

'' ''ij i j

0

k EI f (x).f (x) d= ∫ x

x

(6.15)

e a forma generalizada para os termos da matriz de rigidez geométrica, também

chamada de matriz de rigidez geométrica ou matriz de tensão inicial:

L

' 'Gij i j

0

k P f (x).f (x) d= ∫ (6.16)


105

Colocando em forma matricial o resultado das integrais dadas pelas eqs.

(6.15) e (6.16), obtêm-se as matrizes de rigidez elementar para um elemento de

viga:

[ ] [ ]

1 1

1 12

2 2

2 2

G

12 121 112 12 L L6 6F wL L 4L L1 1M 6 4L 6 2LE I P 3 3F w12 12 10 12 12L 6 6 1 1

L L L LM6 2L 6 4L L 4L1 1

3 3ou

F k k

− − − − θ − = − − − − − − − θ − − −

= − q

(6.17)

onde [k] é a matriz de rigidez clássica de viga em flexão e [kG] é a matriz de rigidez

geométrica. O termo 2PL

10EI é definido como sendo autovalor e o vetor q como

sendo autovetor. A eq. (6.17) é resolvida impondo a nulidade do determinante da

matriz global dada pela soma das matrizes elementares dadas pela eq. (6.17), e

pela imposição das condições de contorno.

Exemplo 6.1: Determine pelo método dos elementos finitos a carga crítica para uma

coluna bi-engastada de comprimento l e rigidez EI, usando somente um elemento do

tipo viga e em seguida dois elementos.

P

z, w

E I x

l

P

M1, θ1

F1, w1

M2, θ2

F2, w2


Devido à simetria do problema, pode-se analisar somente uma metade da

coluna, nas quais as condições de contorno são: w1 = θ1 = θ2 = 0 e F1 = F2 = 0.

Impondo as condições de contorno na eq. (6.17), o problema se resume em:

2 2E I 12 P 12F 0 w

L 10 LL = = −

2

Como o comprimento do elemento é L = l /2, a carga crítica encontrada é: 2

cr 2 240EI EIP

(0,497π

= =l l)

Comparado com a expressão que fornece o valor exato da carga crítica 2

cr 2EIP

(0,5π

=l)

, o erro obtido usando o método dos elementos finitos com apenas um

elemento é de 1,32 %.

Resolvendo o problema com dois elementos, considerando também a simetria

do problema, onde as condições de contorno são agora, w1 = θ1 = θ3 = 0 e F1 = F2 =

F3 = 0. Neste caso o sistema de equações de resume em:

2

22

3

12 12 1212 12 12 1 16 6 L L L0 wL L LE I P 4L 4L0 6 6 4L 4L 6 1 1 110 3 3L0 12 12 12 126 1L L L L

+ − + − + − + − = − + + − − − + + − θ − − − −

w

Chamando de 2

10EIPL

λ = , o sistema de equações pode ser colocado da forma:

2

2

3

24 12(1 ) 0 (1 )L L w

0 8L(1 ) (6 )3

w12 12(1 ) (6 ) (1 )L L

− λ − − λ

λ − − − λ θ = − − λ − − λ − λ

0

O polinômio característico quando se impôe o determinante da matriz igual a

zero é:


107

( )( )21 15 52 12− λ λ − λ + = 0

onde as raízes são λ1 = 0,2486, λ2 = 1,0 e λ3 = 3,2181.

Substituindo o comprimento do elemento L por = l /4, a menor carga crítica é

agora cr 239,78EIP =

l, o que corresponde a um erro de 0,8 % quando comparado com

o valor exato.


coluna bi-articulada de comprimento l e rigidez EI, usando somente um elemento do

tipo viga.

F2, w2

M2, θ2

P P

z, w

E I x

l

F1, w1

M1, θ1

Devido à simetria do problema, pode-se analisar somente uma metade da

coluna, na qual as condições de contorno são: w1 = θ2 = 0 e F1 = F2 = 0.


1 12

2 2

4L4L 6 1M 0 E I P 312F 0 w10 126L 1L L

− − = θ = − = − −

Chamando de 2

10EIPL



( )

1

2

4L 1 (6 ) 03w 012(6 ) 1

L

λ − − − λ θ = − − λ − λ


zero é:

( )215 52 12 0λ − λ + =

onde as raízes são λ1 = 0,2486, λ2 = 3,2181. Como L = l /2, a carga crítica

encontrada é: 2

cr 21,01 EIP π

=l


cr 2EIP π

=l




coluna engastada-livre de comprimento l e rigidez EI, usando somente um elemento

do tipo viga.

P

z, w

E I x

l

P

F2, w2

M2, θ2

F1, w1

M1, θ1


109

As condições de contorno do problema são: w1 = θ1 = 0 e F1 = F2 = 0.


2 22

2 2

1212 1F 0 w6E I P LLM 0 4L10L 6 4L 1

3

− = − = − = θ − −

Chamando de 2

10EIPL


( )1

2

12 1 (6 )0L

w 0(6 ) 4L 13

− λ − − λ θ = λ − − λ −


zero é: 215 52 12 0λ − λ + =

onde as raízes são λ1 = 0,2486, λ2 = 3,2181. Como L = l, a carga crítica encontrada

é: 2

cr 2EIP

(1,99π

=l)


cr 2EIP

(2π

=l)




coluna engastada-rotulada de comprimento l e rigidez EI, usando somente um

elemento do tipo viga.


P

z, w

E I x

l

P

F2, w2

M2, θ2

F1, w1

M1, θ1

As condições de contorno do problema são: w1 = θ1 = w2 = 0 e F1 = F2 = M2 =

0.


[ ] 2 22E I P 4LM 0 4L

10 3L = = − θ

Como L = l, a carga crítica encontrada é:

( )

2

cr 2 230EI EIP

0,574π

= =l l


cr 2EIP

(0,7π

=l)



Resolvendo o problema com dois elementos, onde as condições de contorno

são agora, w1 = θ1 = w3 = 0 e F1 = F2 = F3 = 0. Neste caso o sistema de equações de

resume em:


111

2

22

3

12 1212 12 1 1 16 6 6 L L0 wL LE I P 4L 4L L0 6 6 4L 4L 2L 1 110 3 3 3L0 6 2L 4L L 4L1

3 3

+ − + + − + = − + + − − + + − θ θ −

Chamando de 2

10EIPL


2

2

3

24 (1 ) 0 (6 )L w

0 8L(1 ) L 23 3

(6 ) L 2 4L(1 )3 3

− λ − λ

λ λ − + θ

θ λ λ − λ + −

0=


zero é:

3 222010 128 48 03

λ − λ + λ − =

A menor raíz do polinômio característico é λ1 = 0,5175. Substituindo o

comprimento do elemento L por = l/2, a menor carga crítica é agora é 2

cr 2EIP

(0,691π

=l)

, o que corresponde a um erro de 2,6 % quando comparado com o

valor exato.


coluna engastada-livre de comprimento l e rigidez EI com uma mola de rigidez k

colocada na extremidade livre, usando somente um elemento do tipo viga.

k

P

z, w

E I x

l

P


F2, w2

M2, θ2

F1, w1

M1, θ1

As condições de contorno do problema são: w1 = θ1 = 0 e F1 = 0 e F2 = - k w2.

A rigidez da mola pode ser colocada da forma 312 E I

L= αk .


2 22

2 2

1212 1F k w w6E I P LLM 0 4L10L 6 4L 1

3

− = − − = − = θ − −

2

Chamando de 2

10EIPL


( )2

2

12 1 (6 )w 0L

0(6 ) 4L 13

+ α − λ − − λ = λ θ − − λ −


zero é:

( )215 52 12 16 (3 ) 0λ − λ + + α − λ =

Como L = l, a carga crítica encontrada, colocada em função do parâmetro α é

conforme mostra a figura abaixo:


113

2,25

2,00

ma

ap

Ex

col

col

= 0

α0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,50

1,00

1,25

0

cr2

P

2EIπl

Observa-se que quanto maior α maior a rigidez da mola, consequentemente,

is a extremidade se aproxima de um apoio rígido, e mais a carga crítica se

roxima do valor 2

cr 2EI

(0,7π

=l)

P .

emplo 6.6: Determine pelo método dos elementos finitos a carga crítica para uma

una bi-articulada de comprimento l e rigidez EI, com uma mola de rigidez k

ocada nno meio do vão.

l/2

k

P P

y, w

E I x

l/2

F2, w2

M2, θ2

F1, w1

M1, θ1

As condições de contorno do problema são: w1 = w3 = 0, F1 = F3 = 0, M1 = M3

e F2 = k w2. A rigidez da mola pode ser colocada da forma 324 E I

L= αk .



1 1

2 2 22

2 2

3

4L L1 03 34L 6 2L 0M 0 12 1212 12 1 1 1 1F k w w6 6 6 6E I P L LL LM 0 L 4L 4L L10L 2L 6 6 4L 4L 2L 1 13 3 3 3M 0 0 6 2L 4L L 4L0 1

3 3

− − − = θ − + − + = − − + − + = − = θ − + + − − + + −

= −

3

θ

Chamando de 2PL

10EIλ = , o sistema de equações pode ser colocado da

forma:

( ) 1

2

2

3

4L 1 6 L(2 ) 03 3

0246 1 0 6w 0L

0L(2 ) 0 8L 1 L(2 )3 3 3 0

0 6 L(2 ) 4L 13 3

− − + +

− + + − − = + − + − + −

λ λλ

θλ α λ λ

λ λ λ θθ

λ λλ


zero é:

4 3 2 3 23200 320100 100 3296 3072 576 1088 3072 2304 03 3

λ − λ + λ − λ + − α λ − λ + λ + =

Como L = l/2, a carga crítica encontrada, colocada em função do parâmetro α

é conforme mostra a figura abaixo:

5,00

4,00

1,00

2,00

3,00 cr2

2

PEIπl

4,0 3,01,000

α2,0


115

Observa-se que quanto maior α maior a rigidez da mola, consequentemente,

mais a extremidade se aproxima de um apoio rígido, e mais a carga crítica se

aproxima do valor 2

cr 24 EIπ

=l

P .

66..33 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee bbaarrrraa

Considere um elemento de barra de comprimento L, módulo de elasticidade

E, e seção transversal A, Fig. 13.1. As duas extremidades são denotadas pontos

nodais (ou simplesmente nós) 1 e 2. Sobre estes nós estão atuando as forças

(externas ao elemento) P1 e P2, respectivamente. Correspondendo a estas duas

forças, há dois deslocamentos u1 e u2 chamados graus de liberdade.

E, A

x

L P2, u2 P1, u1

21

Figura 6.2 – Elemento finito de barra

Para um elemento de barra com tensão axial constante ou deformação axial

constante, o deslocamento axial pode ser assumido variar linearmente em x:

xaa)x(u 21 += (6.18)

com a1 e a2 constantes à serem determinadas pela imposição das condições de

contorno:

Luu

aLaau)L(u)x(u,Lx/p

au)0(u)x(u,0x/p

122212

11

−=⇒+====

==== (6.19)

Substituindo os resultados de a1 e a2 da eq. (6.19) na eq. (6.18), temos:

2211 u)x(fu)x(f)x(u += (6.20)

onde f1(x) e f2(x) são ditas funções de forma e são como:


Lx)x(f

Lx1)x(f

2

1

=

−= (6.21)

Para o caso de tensões e deformações uniaxiais, a deformação é definida

como:

xu∂∂

=ε (6.22)

Substituindo as eqs. (6.20) e (6.21) na eq. (6.22), temos:

2'21

'12

21

1 u)x(fu)x(fux

)x(fux

)x(f+=

∂∂

+∂

∂=ε (6.23)

A força axial atuando ao longo do elemento é obtida da forma:

xuAEAEAP∂∂

=ε=σ= (6.24)

Substituindo as eqs. (6.20) e (6.21) na eq. (6.24), tem-se:

[ ]2'21

'1 u)x(fu)x(fAEP += (6.25)

A expressão de energia de deformação para o caso de barras solicitadas

axialmente é da forma:

dxAE2

PUL

0

2

∫= (6.26)

Substituindo eq. (6.25) na eq. (6.26), temos:

[ ] dxu)x(fu)x(f2AEU

L

0

22

'21

'1∫ += (6.27)

Aplicando o primeiro teorema de Castigliano, PuU=

∂∂ , derivando a energia

com relação ao deslocamento u1, temos:


117

[ ] dx)x(fu)x(fu)x(f2

AE2uUP '

1

L

02

'21

'1

11 ∫ +=

∂∂

= (6.28)

Desenvolvendo a eq. (6.28), temos:

2

L

0

'2

'11

L

0

'1

'11 udx)x(f).x(fAEudx)x(f).x(fAEP

+

= ∫∫ (6.29)

E, aplicando o primeiro teorema de Castigliano, derivando a energia com

relação ao deslocamento u2, temos:

[ ] dx)x(fu)x(fu)x(f2

AE2uUP '

2

L

02

'21

'1

22 ∫ +=

∂∂

= (6.30)

Desenvolvendo a eq. (6.30), temos:

2

L

0

'2

'21

L

0

'1

'22 udx)x(f).x(fAEudx)x(f).x(fAEP

+

= ∫∫ (6.31)

Colocando as eqs. (6.29) e (6.31) na forma matricial:

[ ] ukPouuu

kkkk

PP

2

1

2221

1211

2

1 =

=

(6.32)

onde [k] é a matriz de rigidez do elemento de barra com seus coeficientes definidos

da seguinte maneira:

∫=L

0

'j

'iij dx)x(f).x(fAEK (6.33)

Aplicando a eq. (6.21) na eq. (6.33), a matriz de rigidez elementar é:

[ ]

−

−=

1111

LAEk (6.34)


66..44 –– EEssttaabbiilliiddaaddee eemm ppóórrttiiccooss

As matrizes de rigidez de um elemento de viga, dadas pela eq. (6.17) são

obtidas quando o elemento está disposto paralelamente ao sistema de eixos X-Z.

Para os casos mais gerais, como por exemplo os pórticos, as vigas estão dispostas

aleatoriamente no plano X-Z. Assim, é necessário determinar matrizes de rigidez

genéricas, fazendo um ângulo φ com o eixo x, Fig. 6.3:

1 1X , u

1 1Z , w

2 2X , uz x

X

2 2Z , w

φ

M1, θ1

1

E, I, L

M2, θ2

1X1, u1

Z1, w1M1, θ1

φ

M2, θ2

Z2, w2

2

2

X2, u2

Z

Figura 6.3 – Elemento de viga disposto aleatoriamente no plano X-Z

As forças e os momentos no sistema de coordenadas local (x estão

relacionados com as forças e momentos no sistema de coordenadas global (X, Z)

pela matriz de transformação:

,z)

[ ]

11

11

11

22

22

22

Xc s 0 0 0 0XZs c 0 0 0 0ZM0 0 1 0 0 0M

ou F T FX0 0 0 c s 0XZ0 0 0 s c 0ZM0 0 0 0 0 1M

− = −

= (6.35)

com c = cos φ, s = sen φ e [T] é a matriz de transformação.


119

Uma mesma relação pode ser obtida considerando os deslocamentos:

[ ] q T q= (6.36)

Observa-se que a eq. (6.17), as matrizes de rigidez são obtidas no sistema de

coordenadas paralelo à viga, ou seja, ( . Logo, conforme a Fig. (6.3), a eq. (6.17)

é:

x,z)

GF k k = − q (6.37)

Substituindo as eqs. (6.35) e (6.36) na eq. (6.37), temos:

[ ] [ ] GT F k k T q = − (6.38)

ou:

[ ] [ ] [ ] [ ] 1 TG GF T k k T q T k k T q− = − = − (6.39)

Logo, a matriz de rigidez de um elemento de viga obtida em um sistema de

coordenadas arbitrário na qual são considerados os efeitos de membrana e de

flexão é:

[ ]

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

12IALc sL

12I 12IAL cs Rs c simetricaL L

6Is 6Ic 4ILEk12I 12I 12IL ALc s AL cs 6Is ALc sL L L

12I 12I 12I 12IAL cs ALs c 6Ic AL cs ALs cL L L L

6Is 6Ic 2IL 6Is 6Ic 4IL

+ − +

−= − − − + +

− + − − − − +

− −

(6.40)

onde R é definido como a relação entre a seção transversal A e o momento de

inércia I (R = A/I)

A matriz de rigidez geométrica de um elemento de viga obtida em um sistema

de coordenadas arbitrário é:


[ ]

2

2

G2 2

2 2

12 sL12 12cs c simetricaL L

4Ls cP 3k10 12 12 12s cs s s

L L L12 12I 12 12cs c c cs cL L L L

L 4s c s c3 3

− − = −

− − −

− − − L

(6.41)

Exemplo 6.7 – Determine a carga crítica para o pórtico plano bi-engastado como

mostrado abaixo.

Z

X 1 4

3

EI

PEI

EI

2

P

l

l

Figura 6.4 – Forma flambada de um pórtico no plano bi-engastado

As matrizes de rigidez elementares dos elementos 1-2 e 3-4, sabendo que

cos φ = 0 e sen φ = 1 (φ = 90°), são:


121

[ ] 2

12IL0 R sim6I 0 4ILEk

12I 12IL 0 6IL L

0 AL 0 0 AL6I 0 2IL 6I 0 4IL

− = −

− −

[ ]G

12L0 0 sim

4L1 0P 3k10 12 120 1

L L0 0 0 0 0

L 41 c 1 03 3

L

−

= − − −

e as matrizes de rigidez elementares do elemento 2-3, sabendo que cos φ = 1 e sen

φ = 0 (φ = 0°), são:

[ ] 2

AL12I0 simL

0 6I 4ILEkAL 0 0 ALL

12I 12I0 6I 0L L

0 6I 2IL 0 6I 4IL

=− − − −

[ ]G

0120 simL

4L0 cP 3k10 0 0 0 0

12I 120 1 0L L

L 40 1 0 13 3

L

= − − − −

As condições de contorno do problema são: u1 = w1 = θ1 = w2 = w3 = u4 = w4 =

θ4 = 0.

12 1 0 0L

4L1 03

10 0 0 1L L

0 0 13

2 2 3 3 2 2 3 3

2

22

3

3

u u u u

u00ILE P

u2IL0

4IL 4L

θ θ θ

θ = − θ

12I AL 6I AL 0L

0 6I 4IL 4IL 0 20 1AL 0 AL 6I

0 2IL 6I 4IL

+ −

+

− + +

12

θ

Devido a anti-simetria da forma flambada do pórtico, tem-se também que: u2 =

u3 e θ2 = θ3. Assim, o problema se reduz para:


22

2

1212 1 u0 6EI P LL4L0 10L 6 10L 13

= − θ

Chamando de 2

10EIPL


2

2

12 (1 ) (6 )u 0L

4L 0(6 ) 10L3

− λ − λ = θ − λ − λ

O polinômio característico quando se impõe o determinante da matriz igual a

zero é: 215 124 84 0λ − λ + =

onde a menor raiz é λ1 = 0,7445.

Logo, a menor carga crítica é cr 27,445EI

=l

P , o que corresponde a um erro de

1,48 % comparado com o valor exato, cr 27,344EI

=l

P .

Exemplo 6.8 – Determine a carga crítica para o pórtico plano bi-articulado como

mostrado abaixo, considerando as duas formas de flambar do pórtico (a) e (b).

(a) (b)

Z

X 4

32

1 4

3 2

1

δ2 PP

L

L

P P


123

As condições de contorno no caso (a) são: u1 = w1 = u2 = w2 = u3 = w3 = u4 =

w4 = 0.

1 2 3 4 1 2 3 4

1

22

3

4

4L L 0 03 3

0 4IL 2IL 0 0 L 4L 4L L 00 2IL 4IL 4IL 2IL 0E P 3 3 3 30 0 2IL 4IL 4IL 2IL 10 L 4L 4L LL 0

3 3 3 30 0 0 2IL 4ILL 4L0 03 3

θ θ θ θ θ θ θ θ

− θ − + − θ+ = − θ+ − + − θ −

Devido a simetria da forma flambada do pórtico neste caso, tem-se também

que: θ4 = – θ1 e θ3 = – θ2. Assim, o problema se reduz para:

12

2

4L L0 4 L 2 LEI P 3 30 2 L 6 L 10 L 9LL

3 3

− θ = − θ −

Chamando de 2PL

10EIλ = , o sistema de equações de colocada da forma:

1

2

4 L 1 L 203 30

L 2 3 L(2 )3

λ λ − + θ = θλ + − λ


zero é: 235 192 180 0λ − λ + =

A menor raiz do polinômio é λ1 = 1,2. Logo, a menor carga crítica é

cr 212EIP =

l, o que corresponde a um erro de 6,61 % comparado com o valor exato,

2

cr 2E IP 1,302 π=l

.


As condições de contorno no caso (b) são: u1 = w1 = w2 = w3 = u4 = w4 = 0. u u u u1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4

4L L1 0 0 03 3

4IL 6I 2IL 0 0 0 121 0 1 0 0 0 012I L6I AL 6I 0 AL 0 00 L L0 2IL 6I 0 4IL 4IL 0 2IL 0E P

2 100 12IL 0 AL 0 AL 0 6I 0 6IL0

0 0 2IL 0 6I 4IL 4IL 2IL0 0 0 0 6I 2IL 4IL

θ θ θ θ θ θ θ θ

−

+ +

+ + −

− + + = − − + + +

+ + +

1u24L 4L L1 0 0 0

3 3 3 3 2u12 30 0 0 0 0 1 1

L 3L 4L 4L L 40 0 0 13 3 3 3

L 4L0 0 0 13 3

θ + + − θ + + + θ θ − + + −

+ −

Devido a simetria da forma flambada do pórtico neste caso, tem-se também

que: θ4 = θ1, u3 = u2 e θ3 = θ2. Assim, o problema se reduz para:

1

22

2

4L L14 L 6 2 L 3 30EI 12 P 120 6 6 1 1

L 10 LL0 2 L 6 10 L L 7L13 3

−

uθ = − θ

−

Chamando de 2

10EIPL

λ = , o sistema de equações se coloca da forma:

1

2

2

4 L 1 (6 ) L 23 3 0

12(6 ) (1 ) (6 ) u 0L

07L 2 (6 ) L 103 3

λ λ − − λ + θ − λ − λ − λ =

θ λ λ + − λ −


zero é: 3 295 786 1332 216 0λ − λ + λ − =

A menor raiz do polinômio é λ = 0,1811. Logo, a menor carga crítica é

cr 21,811EIP =

l, o que corresponde a um erro de 0,3 % comparado com o valor exato,


125

2

cr 2E IP 0,184 π

=l

.

66..55 –– EEssttaabbiilliiddaaddee eemm ppllaaccaass

O problema da estabilidade em estruturas do tipo placa se resume em

resolver o segundo variacional da energia potencial total (ver eq. 3.59):

( )

( )

( )

22 2 21,x 1,y 1,x 1,y 1,y 1,x

22 2

x0 xy0 1,x 1,y y0 1,y1,x

22 2 2

1,xx 1,yy1,xx 1,yy 1,xy

1 1V u v 2 u v u v2 2

1 N w 2N w w N wEh

h w w 2 w w 2 1 w dxd12

− ν δ = + + ν + +

− ν+ + +

+ + + ν + − ν

∫ ∫

y

u u u

(6.42)

Considere os deslocamentos e suas derivadas como sendo uma aproximação

da forma:

i iu f (x,y)= ∑ u f , u f,x i,x i(x,y)= ∑ ,y i,y i(x,y)= ∑

i iv f (x,y)= ∑ v v v , ,x i,x iv f (x,y)= ∑ ,y i,y iv f (x,y)= ∑

i iw f (x,y)= ∑ w w w , ,x i,x iw f (x,y)= ∑ ,y i,y iw f (x,y)= ∑ , (6.43)

,xx i,xx iw f (x,y)= ∑ w w w, , ,xy i,xy iw f (x,y)= ∑ ,yy i,yy iw f (x,y)= ∑

Como o deslocamento transverso w deve ser derivável duas vezes em x e

duas vezes em y, o elemento a ser tomado deve considerar este fato.

Aplicando o primeiro teorema de Castigliano no segundo variacional, temos:

( ) ( )( )x1 1,x i,x i i,y i i,y i i,x i 1,y1

(U W)F 2f f u f v 1 f u fu

∂ − = = + ν + − ν + ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ v f

( ) ( )(y1 1,y i,y i i,x i i,y i i,x i 1,x1

(U W)F 2f f v f v 1 f u fv

∂ − = = + ν + − ν + ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ )v f (6.43)

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

z1 x0 i,x i 1,x xy0 1,x i,y i i,x i 1,y y0 i,y i 1,y1

2

1,xx i,xx i i,yy i 1,yy i,yy i i,xx i i,xy i 1,xy

(U W) 1F 2 N f w f N f f w f w f N f w fw Eh

h2 f f w f w f f w f w 2 1 f w f12

∂ − − ν = = + + + ∂

+ + ν + + ν + − ν

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑


Aplicando o primeiro teorema de Castigliano em todos os nós, o sistema de

equações se colocada da forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1,xx 1,xx 1,yy 1,yy 1,yy 1,xx 1,xy 1,xy12

2,xx 1,xx 1,yy 2,yy 1,yy 1,xx 2,xy 1,xy 2

1,x 1,x 1,x 2,x2

x0 2,x 1,x 2,x 2,x

f f f f f f 2 1 f f wh f f f f f f 2 1 f f w6

f .f f .f12 N f .f f .f

Eh

+ ν + + ν + − ν + ν + + ν + − ν +

− ν +

1,y 1,y 1,y 2,y1 12

2 y0 2,y 1,y 2,y 2,y 2

1,x 1,y 1,y 1,x 1,x 2,y 1,y 2,x 12

xy0 2,x 1,y 2,y 1,x 2,x 2,y 2,y 2,x 2

f .f f .fw w1w 2 N f .f f .f w

Eh

f .f f .f f .f f .f w12 N f .f f .f f .f f .f w

Eh

− ν +

+ +

− ν+ + +

00

=

(6.44)

Para um caso particular onde Ny0 = Nxy0 = 0, e fazendo ( )2

x0x03

12 1 NNDEh

− ν= o

problema de autovalor-autovetor se resume da forma:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1,xx 1,xx 1,yy 1,yy 1,yy 1,xx 1,xy 1,xy

2,xx 1,xx 1,yy 2,yy 1,yy 1,xx 2,xy 1,xy

1,x 1,x 1,x 2,x 1

2,x 1,x 2,x 2,x 2

f f f f f f 2 1 f f

f f f f f f 2 1 f f

f .f f .f w 0f .f f .f w 0

+ ν + + ν + − ν + ν + + ν + − ν

+λ =

(6.45)

Considere um elemento de placa quadrangular quadrático como representado

na Fig. 6.4, onde o deslocamento transverso w pode ser aproximado por um

polinômio da forma:

2 2 20 1 2 3 4 5 6 7

2 2 2 2i

w(x,y) a a x a y a x a xy a y a x y a xyou

w(x,y) 1 x y x xy y x y xy a

= + + + + + + +

=

2

(6.46)


127

y6 = y8

y3 = y4 = y7

y1 = y2 = y5

x2 = x3 = x6

8

7

6

5

4 3

2 1

x5 = x7 x1 = x4 = x8

y

x

Figure 6.4 – Elemento de placa quadrangular quadrático

Impondo as condições de contorno em cada nó, temos:

2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1

12 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 332 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4i 2 2 2 25 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

2 2 2 266 6 6 6 6 6 6 6 6 6

77

8

1 x y x x y y x y x yw

1 x y x x y y x y x yw1 x y x x y y x y x yw

w 1 x y x x y y x y x yww 1 x y x x y y x y x yw 1 x y x x y y x y x yw

1 x yw

= =

[ ]

0

1

2

3i

4

5

62 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7 7

72 2 2 28 8 8 8 8 8 8 8 8 8

aaaa

C aaaa

x x y y x y x ya

1 x y x x y y x y x y

=

(6.47)

Portanto, o deslocamento transverso w, e suas derivadas, podem ser

colocadas da forma:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

12 2 2 2i

12,x i

12,y i

1,xx i

1,yy i

1,xy i

w(x,y) 1 x y x xy y x y xy C w

w (x,y) 0 1 0 2x y 0 2xy y C w

w (x,y) 0 0 1 0 x 2y x 2xy C w

w (x,y) 0 0 0 2 0 0 2y 0 C w

w (x,y) 0 0 0 0 0 2 0 2x C w

w (x,y) 0 0 0 0 1 0 2x 2y C w

−

−

−

−

−

−

=

=

=

=

=

=

(6.48)


As matrizes de rigidez clássica e de rigidez geométrica podem ser obtidas

considerando as coordenadas dos nós do elemento como sendo x1 = x4 = x8 = 0, x2

= x2 = x6 = Lx, x5 = x7 = Lx/2, y1 = y2 = y5 = 0, y3 = y4 = x7 = Ly, y6 = y8 = Ly/2. Dessa

forma, a matriz de rigidez geométrica é:

[ ] xG

y

52 84 230 17 80 6 40 652 17 23 80 6 40 6

52 28 40 6 80 652 40 6 80 6Lk

90L 160 0 80 0sim 48 0 48

160 048

− − − − − − − − − − =

−

−−

(6.49)

E a matriz de rigidez em flexão clássica é:

( )

( )

( )

( )

( )

y x11 3 3

x y x y x yyx

y x12 3 3

x y x y x yyx

y x13 3 3

x y x y x yx y

y x14 3 3

x y x y x yx y

y15 3

x

16L 4 16L 4 11K 2L L L L 3L L3L 3L

16L 4 8L 4 1K 2L L L L L L3L 3L

8L 4 8L 4 5K 2L L L L 3L L3L 3L

8L 4 16L 4 1K 2L L L L L L3L 3L

32L 8K 2 13L3L

= + ν + + ν + − ν

= + ν + + ν − − ν

= + ν + + ν − − ν

= + ν + + ν − − ν

= − − − ν

1

1

1

1

( )

( )

( )

x y

x16 3

x y x y x yy

y17 3

x yx

x18 3

x y x y x yy

L

16L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

16L 8K 2 13L L3L

32L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

= − − ν − ν + − ν

= − + − ν

= − − ν − ν − − ν


129

( )

( )

( )

( )

( )

y x22 3 3

x y x y x yyx

y x23 3 3

x y x y x yx y

y x24 3 3

x y x y x yx y

y25 3

x yx

x26 3

x y x y x yy

27

16L 4 16L 4 11K 2L L L L 3L L3L 3L

8L 4 16L 4 1K 2L L L L L L3L 3L

8L 4 8L 4 5K 2L L L L 3L L3L 3L

32L 8K 2 13L L3L

32L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

K

= + ν + + ν + − ν

= + ν + + ν − − ν

= + ν + + ν − − ν

= − − − ν

= − − ν − ν − − ν

1

1

1

( )

( )

y3

x yx

x28 3

x y x y x yy

16L 82 13L L3L

16L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

= − + − ν

= − − ν − ν + − ν

( )

( )

( )

( )

( )

y x33 3 3

x y x y x yyx

y x34 3 3

x y x y x yx y

y35 3

x yx

x36 3

x y x y x yy

y37 3

x yx

x38 3

x yy

16L 4 16L 4 11K 2L L L L 3L L3L 3L

16L 4 8L 4 1K 2L L L L L L3L 3L

16L 8K 2 13L L3L

32L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

32L 8K 2 13L L3L

16L 8 8KL L3L

= + ν + + ν + − ν

= + ν + + ν − − ν

= − + − ν

= − − ν − ν − − ν

= − − − ν

= − − ν − ν

1

1

( )x y x y

82 1L L 3L L

+ − ν


( )

( )

( )

( )

( )

y x44 3 3

x y x y x yyx

y45 3

x yx

x46 3

x y x y x yy

y47 3

x yx

x48 3

x y x y x yy

16L 4 16L 4 11K 2L L L L 3L L3L 3L

16L 8K 2 13L L3L

16L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

32L 8K 2 13L L3L

32L 8 8 8K 2 1L L L L 3L L3L

= + ν + + ν + − ν

= − + − ν

= − − ν − ν + − ν

= − − − ν

= − − ν − ν − − ν

1

( )

( )

y55 3

x yx

56x y x y

y57 3

x yx

58x y x y

64L 16K 2 13L L3L

16 16KL L L L

32L 16K 2 13L L3L

16 16KL L L L

= + − ν

= ν + ν

= − − ν

= ν + ν

( )

( )

x66 3

x yy

67

x68 3

x yy

64L 16K 2 13L L3L

K 032L 16K 2 1

3L L3L

= + − ν

=

= − − ν

( )y77 3

x yx

78x y x y

64L 16K 2 13L L3L

16 16KL L L L

= + − ν

= ν + ν

( )x88 3

x yy

64L 16K 2 13L L3L

= + − ν

Considerando Lx = Ly = L e ν = 0,25, a matriz de rigidez clássica se torna:


131

[ ] 2

109 36 29 51 88 32 8 112109 36 29 88 112 8 32

109 51 8 112 88 32109 8 8 88 881k

176 48 16 486Lsim 176 0 16

176 48176

− − − − − − − − − − − − − − − − =

(6.50)

Exemplo: Determine a carga crítica de uma placa bi-apoiada e x = 0 e x = L se E =

200GPa, ν = 0,25 e h = 10 mm.

x02

109 36 29 51 88 32 8 112109 36 29 88 112 8 32

109 51 8 112 88 32109 8 8 88 88 N1

176 48 16 48 D6Lsim 176 0 16

176 48176

52 84 230 17 80 6 40 652 17 23 80 6 40 6

52 28 40 6 80 652 40 61

90

− − − − − − − − − − − − − − − − −

− − −− − −− − −− −

1

2

3

4

5

6

7

8

wwww80 6

0w160 0 80 0wsim 48 0 48w160 0w48

− = −

As condições de contorno do problema são: w1 = w2 = w3 = w4 = w6 = w8 = 0.

Logo o sistema de equações se reduz a:

xy0 12

2

N w176 16 160 801 0w16 176 90D 80 1606L

− =

Chamando de 2

x06LN90D

λ = :


( ) ( )( ) ( )

16 11 10 16 1 50

16 1 5 16 11 10 − λ − λ

= − λ − λ

O polinômio característico fazendo o determinante da matriz igual a zero é: 275 210 120 0λ − λ + =

As raízes do polinômio são λ1 = 0,8 e λ2 = 2. Logo, a menor carga crítica é: 2

x06LN 090D

λ = = ,8

( )3

x0 2 212 EhN 213L 12 1

= =− ν

,3 N/mm

O valor correto da carga crítica é:

( )2 3

x0 2 2EhN 175,

L 12 1π

= =− ν

5 N/mm

O valor obtido pelo software Ansys com 1 elemento é 205,1 N/mm.


133

AA –– MMÉÉTTOODDOOSS VVAARRIIAACCIIOONNAAIISS

1

A resolução de problemas de mecânica estrutural é conseguida basicamente

pela solução de equações diferenciais de equilíbrio, as quais são obtidas por um

método vetorial (soma de forças e de momentos) ou por um método energético. Nos

métodos energéticos, nem sempre familiares, considera-se que o sistema está em

equilíbrio se sua energia potencial total está estacionária e, o equilíbrio é estável se

a energia potencial tem um mínimo relativo.

A energia potencial é colocada como sendo a soma da energia de

deformação do corpo U, com a energia potencial das forças externas atuantes neste

corpo, Ω.

V U Ω= + (A.1)

Se por exemplo, a energia potencial total é função de um deslocamento w(x)

= wo, deseja-se saber se o sistema estará em equilíbrio nesta configuração, ou seja,

se V está estacionaria. E, para que o equilíbrio seja estável, V deverá ter um mínimo

relativo. Para determinar isso, é preciso examinar a variação da energia potencial

total ∆V devido ao acréscimo no deslocamento da seguinte forma:

ow w w= + (A.2)

onde w1 é um deslocamento arbitrário e pequeno.

Devido a esse acréscimo de deslocamento, a energia potencial total será

então da forma: 2 3

2o o o1 12 3

dV(w ) dV (w ) dV (w )1 1V ∆V V w w wdw 2! 3!dw dw

+ = + + + +31 (A.3)

onde a variação da energia potencial total ∆V é colocada como uma expansão da

séria de Taylor.

O termo de primeira ordem em w1 na eq. (A.3) é dito, primeiro variacional de

V, e é simbolizado como δV. O termo de segunda ordem em w1 na eq. (A.3) é dito,

segundo variacional de V, e é simbolizado como δ2V. Assim, a variação da energia

potencial total é colocada sob a forma:

Métodos Variacionais 134

2 31 1∆V V V V2! 3!

= δ + δ + δ + (A.4)

Portanto, para a estacionaridade de V (equilíbrio do sistema), o primeiro

variacional de V deve ser nulo:

odV(w )V 0 ou seja 0dw

δ = = (A.5)

e para um mínimo relativo (estabilidade do sistema), o segundo variacional de V

deve ser não negativo: 2

2 o2

dV (w )1 V 0 ou seja 02! dwδ ≥ ≥ (A.6)

AA..11 –– MMééttooddooss VVaarriiaacciioonnaaiiss eemm SSiisstteemmaass CCoonnttíínnuuooss

Considere um como exemplo, uma viga em balanço sujeita à uma carga

uniformemente distribuída, Fig. A.1.

z

x

q(x)= –qo

L

Figura A.1 – Viga em balanço sujeita a uma carga uniformemente distribuída

As condições de contorno do problema são colocadas como sendo:

w w ' 0 em x 0w '' w ''' 0 em x L= = == = =

(A.7)

onde as condições de contorno em x = 0 são ditas forçadas, e em x = L são ditas

naturais.

A energia potencial das cargas aplicadas Ω, é equivalente ao trabalho

realizado por essas cargas:


135

L

0

Ω q w dx= ∫ (A.8)

e a energia de deformação para esse carregamento transversal considerado é:

( )L

2

0

EIU w ''2

= ∫ dx (A.9)

Então, a energia potencial total é:

( )L

2

0

EIV w '' q w2

= + ∫ dx (A.10)

O integrante da eq. (A.10), chamado de funcional, é da forma:

( )2EIF w '' q2

= + w (A.11)

Para se verificar o equilíbrio e a estabilidade do sistema, deve-se examinar a

variação da energia potencial total devido a uma variação de deslocamento colocado

como na eq. (A.2), sendo que, w1 = ε ζ(x), onde ε é uma constante arbitrária

pequena e ζ(x) é uma função admissível e arbitrária (é contínua e derivável duas

vezes no intervalo de análise, 0 < x < L, e satisfaz à todas as condições de

contorno). Assim, a energia potencial total será da forma:

( ) ( )L

2o o

0

EIV ∆V w '' '' q w2

+ = + ε ζ + + ε ζ ∫ dx (A.12)

Desenvolvendo a eq. (A.12) e reagrupando os termos, a variação da energia

potencial total ∆V tem a forma:

( ) ( )L L

22o

0 0

EI∆V EIw '' '' q dx '' dx2

= ε ζ + ζ + ε ζ∫ ∫ (A.13)

Colocando a eq. (A.13) de uma forma mais compacta:

21∆V V2!

= δ + δ V (A.14)


onde o primeiro variacional de V é:

(L

o0

V EIw '' '' q dxδ = ε ζ + ζ∫ ) (A.15)

e o segundo variacional de V é:

( )L

22 2

0

1 EIV ''2! 2δ = ε ζ∫ dx (A.16)

Para ε suficientemente pequeno, 2V Vδ > δ . Para que V tenha um mínimo

relativo, é necessário que δV = 0. Para sistemas contínuos, esta é a condição

necessária de estacionaridade de V.

Para δV = 0 e ε arbitrário, tem-se :

( )L

o0

EIw '' '' q dx 0ζ + ζ =∫ (A.17)

A primeira integral na eq. (A.17) pode ser resolvida por integração por partes,

conforme expressão dada pela eq. (A.18), onde as funções u(x) e v(x) são contínuas

no intervalo x1 ≤ x ≤ x2.

( ) [ ] ( )x x2 2

x2x1

x x1 1

u.v ' dx u.v u'.v dx= −∫ ∫ (A.18)

Aplicando a eq. (A.18) na eq. (A.17), e observando que a função ζ(x) deve

satisfazer as condições de contorno, a expressão resultante é da forma apresentada

pela eq. (A.19):

[ ] [ ]

( )o o o o

Liv

o0

EI w ''(L) '(L) w ''(0) '(0) EI w '''(L) (L) w '''(0) (0)

EIw q dx 0

ζ − ζ − ζ − ζ

+ + ζ =∫ (A.19)

Aplicando as condições de contorno dadas pelas eqs. (A.7), a eq. (A.19) se

reduz a:


137

( )L

ivo

0

EIw q dx 0+ ζ =∫ (A.20)

Para que a eq. (A.20) seja zero, e considerando que a função ζ(x) é arbitrária

e não nula, o fator deverá ser nulo no intervalo 0 ≤ x ≤ L.

Conseqüentemente:

( ivoEIw q+ )

ivo oEIw q q= − = (A.21)

A eq. (A.21) fornece a equação diferencial de equilíbrio, obtida da condição de

estacionaridade de V, ou seja, δV = 0. Observa-se que δ2V é positivo para qualquer

função arbitrária ζ(x). Logo a configuração em wo é estável.

AA..22 –– EEqquuaaççõõeess ddee EEuulleerr

Assim como na eq. (A.10), o integrante F pode ser colocado como uma

função de uma variável independente x, de uma variável dependente w e de sua

derivadas. x1

x0

V F(x,w,w ',w '') dx= ∫ (A.22)

Para uma variação de deslocamento na forma da eq. (A.2), a energia

potencial final é da forma: x1

x0

V ∆V F(x,w ,w ' ',w '' '') dx+ = + ε ζ + ε ζ + ε ζ∫ (A.23)

ou seja:

[ ]x1

x0

∆V F(x,w ,w ' ',w '' '') F(x,w,w ',w '') dx= + ε ζ + ε ζ + ε ζ −∫ (A.24)

A expressão do integrante em uma série de Taylor para a primeira variação

tem a forma:


x1

o o ox0

F F FV 'w w ' w ''

∂ ∂ ∂δ = ε ζ + ζ + ζ∂ ∂ ∂

∫ '' dx (A.25)

onde ∂F/∂wo representa ∂F/∂w para w = wo, etc. Novamente, para V estar em

equilíbrio, δV = 0. Como ε é arbitrário, tem-se que: x1

o o ox0

F F F' '' dxw w ' w ''

∂ ∂ ∂ 0ζ + ζ + ζ =∂ ∂ ∂ ∫ (A.26)

Integrando por partes a eq. (A.26) e impondo as condições de contorno,

lembrando que a função ζ(x), satisfaz as condições de contorno, a expressão

resultante tem a forma (ver eq. (A.20)): x 21

2o o ox0

F d F d F dx 0w dx w ' w ''dx

∂ ∂ ∂− + ζ∂ ∂ ∂

∫ = (A.27)

e, assim como anteriormente: 2

o2o o o

F d F d F 0 x x xw dx w ' w ''dx∂ ∂ ∂

− + = ≤∂ ∂ ∂ 1≤ (A.28)

A eq. (A.28) é conhecida como a equação de Euler para o cálculo dos

variantes.

Para ilustrar a aplicação da equação de Euler, basta aplicar a eq. (A.28) na

expressão do integrante, eq. (A.11). A expressão resultante é a eq. (A.21), onde

∂F/∂w = q, ∂F/∂w’ = 0 e ∂F/∂w’’ = Eiw’’.

Para o caso do funcional F ser uma função de uma variável independente x,

de duas variáveis dependentes, u(x) e w(x), e das derivadas de primeira ordem de u

e de primeira ordem e segunda ordem em w, a aplicação das equações de Euler

fornecem:

2

2

F d F 0u dx u'F d F d F 0w dx w ' w ''dx

∂ ∂− =

∂ ∂∂ ∂ ∂

− +∂ ∂ ∂

= (A.29)


139

Para o caso do funcional F ser função de duas variáveis independentes x e y,

de três variáveis dependentes u(x,y), v(x,y) e w(x,y), e das derivadas de primeira

ordem de u e v, e de primeira e segunda ordem em w, a aplicação das equações de

Euler fornecem:

,x ,y

,x ,y

2 2 2

2 2,x ,y ,xx ,xy ,yy

F F F 0u x u y u

F F F 0v x v y v


∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂=

(A.30)

AA..33 ––CCrriittéérriioo ddee TTrreeffffttzz

As equações de Euler representam o critério de estacionaridade de V, ou

seja, δV=0. Já a estabilidade do sistema depende do sinal do segundo variacional de

V, δ2V≥0. A carga crítica que determina a estabilidade de um sistema é a menor

carga para o qual δ2V deixa de ser positivo. Para esta carga o equilíbrio muda de

estável para instável.

Considere como exemplo uma coluna sujeita a uma carga compressiva P. Na

inimência da coluna se tornar instável, a energia potencial total pode ser escrita

como:

M FV U U Ω= + + (A.31)

onde UM e UF são energias de deformação de membrana e de flexão, e Ω é a

energia potencial das forças aplicadas. As expressões das energias de deformação

elástica ( ), são da forma: Eσ = ε

( )

L2

M0

L2

F0

EAU d2

EIU w ''2

= ε

=

∫

∫

x

dx

(A.32)

onde ε é a deformação extensional colocada da forma:


( )21u' w '2

ε = + (A.33)

A energia potencial da carga aplicada P é:

[ ] LoΩ P u(L) u(0) P.u= − = (A.34)

A eq. (A.33) pode ser escrita, usando a regra da integração por partes, eq.

(A.18), como: L

0

Ω P u' dx= ∫ (A.35)

Introduzindo as eqs. (A.32) e (A.35) na eq. (A.31), a expressão de V resulta

em:

( )2L

22

0

EA 1 EIV u' w ' w '' P u'2 2 2

= + + +

∫ dx (A.36)

A expressão do segundo variacional de V é obtido fazendo:

o 1

o 1

u u uw w w→ +

→ + (A.37)

onde uo e wo são os deslocamentos da coluna antes da ocorrência da instabilidade,

e u1 e w1 são deslocamentos incrementais pequenos necessários para que ocorra a

instabilidade.

Introduzindo a eq. (A.37) na eq. (A.36), tem-se:

( ) ( ) ( )2L

2 2o 1 o 1 o 1 o 1

0

EA 1 EIV ∆V u ' u ' w ' w ' w '' w '' P u ' u '2 2 2

+ = + + + + + + +

∫ dx

0

(A.38)

Para a configuração da coluna antes da ocorrência da instabilidade, (coluna

totalmente reta), sabe-se que:

o o ow w ' w ''= = = (A.39)

Substituindo (A.39) na eq. (A.38) e desenvolvendo:


141

( )

2 2 2 2 4L o o 1 1 o 1 1 1 1

201 o 1

EA 1u ' 2u 'u ' u ' u ' w ' u 'w ' w '2 4V ∆V d

EI w '' P u ' u '2

+ + + + + + + =

+ +

∫ x (A.40)

Na eq. (A.40) há termos associados à configuração inicial, V(uo’), há termos

pertencentes ao primeiro variacional, δV(u1’ e w1’), termos pertencentes ao segundo

variacional, δ2V (u1’2, w1’2 e u1’ w1’) e termos de ordem superior. Desta forma, o

segundo variacional é:

( )L

2 2 21 o 1 1

0

1 EA EIV u ' u 'w ' w ''2 2 2

δ = + + ∫ 2 dx (A.41)

O deslocamento axial pode ser colocado da forma:

oPu

EA= − x (A.42)

Substituindo a derivada da eq. (A.42) na eq. (A.41), o segundo variacional de

V pode ser colocado como:

( ) ( ) ( )L

2 2 221 1 1

0

1 1V EA u ' EI w '' P w '2 2

δ = + −∫ dx

0

(A.43)

O valor da carga crítica de P é o menor valor para o qual δ2V deixa de ser

positivo. Este limite de δ2V ser definido positivo é o chamado Critério de Trefftz.

Portanto, para pequenos valores de P, δ2V > 0 para qualquer variação de u1(x) e

w1(x) não nulas. E, para grandes valores de P, δ2V < 0 para algumas variações de

u1(x) e w1(x).

As equações de estabilidade são então obtidas impondo a estacionaridade de

δ2V, ou seja:

( )2Vδ δ = (A.44)

Aplicando as equações de Euler no funcional F do segundo variacional, δ2V,

tem-se:


1 12

21 1 1

F d F 0u dx u '

F d F d F 0w dx w ' w ''dx

∂ ∂− =

∂ ∂

∂ ∂ ∂− +

∂ ∂ ∂=

21

(A.45)

onde F é:

( ) ( ) ( )2 21 1F EA u ' EI w '' P w '= + − (A.46)

Aplicando as eqs. (A.45) no funcional dado pela eq. (A.46) e simplificando, as

equações resultantes são:

1iv

1 1

u '' 0

EIw P w ' 0

=

+ = (A.47)

A eq. (A.47b) é a equação diferencial para a determinação da carga crítica de

colunas. Portanto, o critério para avaliar a perda de estabilidade é representado pela

aplicação das equações de Euler no segundo variacional δ2V.

Sabe-se que a elongação em uma barra pode ser obtida por:

NL∆uAE

= (A.48)

Assim, o esforço axial interno pode ser colocado como:

∆uN AE AEL

= = ε (A.49)

A derivada da eq. (A.49) representa: 2

2d uN' AE ' AE AEu'dx

= ε = = ' (A.50)

Logo, a eq. (A.47a) é equivalente a eq. (1.9a).

estabilidade - apostila - josé carlos

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