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ESRI Discussion Paper Series No.225-J DSGE-VARモデルの日本のマクロデータへの応用 渡部 敏明 October 2009 内閣府経済社会総合研究所 Economic and Social Research Institute Cabinet Office Tokyo, Japan

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Page 1: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

ESRI Discussion Paper Series No.225-J

DSGE-VARモデルの日本のマクロデータへの応用

渡部 敏明

October 2009

内閣府経済社会総合研究所 Economic and Social Research Institute

Cabinet Office Tokyo, Japan

Page 2: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研

究者および外部研究者によって行われた研究成果をとりまとめたものです。学界、研究

機関等の関係する方々から幅広くコメントを頂き、今後の研究に役立てることを意図し

て発表しております。 論文は、すべて研究者個人の責任で執筆されており、内閣府経済社会総合研究所の見

解を示すものではありません。 The views expressed in “ESRI Discussion Papers” are those of the authors and not those

of the Economic and Social Research Institute, the Cabinet Office, or the Government of Japan.

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��������モデルの日本のマクロデータへの応用�

渡部敏明�

一橋大学経済研究所

概 要

��������モデルでは ���モデルのパラメータをベイズ推定するときの事前分布をあたかも ����モデルから人工的なデータを発生させたものとして選択する ����

モデルをより信頼する場合には ����モデルからより多くのデータを発生させればよい そこで ����モデルから発生させるデータ数を変えて推定し 周辺尤度によって���モデルのデータへの当てはまりの良さを比較することにより ����モデルからの事前情報が ���モデルの推定にどれだけ有用か 言い換えると ����モデルの定式化がどの程度正しいかを分析できる 本稿では こうした ��������モデルについて解説を行うとともに ��������モデルの日本のマクロデータへの応用を行った ����

モデルには �� ������� ���������� ��� ����� ���� ����� で提案されている 物価・賃金の硬直性 消費の習慣形成 投資の調整コストなどさまざまな市場の摩擦を加えたニュー・ケインジアン・モデルを用いている ���モデルを ����モデルとした��������モデルを日本のゼロ金利前のマクロデータに当てはめた結果 ���モデルは定式化の誤りはあるものの 有用な情報を含んでいるとの結果が得られた これは ��

!�" � �� � ����#� の米国のマクロデータについての結果と同様である

�内閣府経済社会総合研究所の国際コンファレンス参加者から貴重なコメントを頂いた� 本稿に残っている誤りはすべて筆者の責任である�

�〒 �������� 東京都国立市中 ��� 一橋大学経済研究所 ��� �� ��������� ���� ���������

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� 序論

確率的動学一般均衡 ������� �� ��� ������� ������������ ����� モデルは� 近年�

マクロ経済学において有力な分析手法としてよく用いられている� このモデルは企業や家

計の動学的最適化を基礎とするマクロ理論に基づくので� 例えばベクトル自己回帰 ������

������������� �� � モデルのような他のマクロ計量モデルと比べて� さまざまなショック

の識別が簡単にできるという長所がある� そこで� マクロ経済学者だけでなく中央銀行のよ

うな政策当局からも� 政策効果の分析という観点から注目を集めている�

����モデルは !������ ��� "����� ��#$%� らの実物景気循環 ����� ����� ����

&'� モデルに端を発するが� こうした新古典派的モデルは現実のマクロデータの動きをう

まく捉えられないので� その後� 市場の摩擦を加えたニュー・ケインジアン・モデルへと発展

している� そうしたニュー・ケインジアン・モデルの中で欧米のマクロデータに当てはまり

が良いとされているのが� ' �������� �� ������ ��� ���� �%(()� によって提案された

'��モデルである� このモデルには ��� '����型名目価格・賃金の硬直性� �%� 消費の習慣

形成� �*� 投資の調整コスト� �+� 可変資本稼働率 といったさまざまな市場の摩擦が導入され

ている� その結果� 新古典派モデルではうまく捉えられないインフレや生産のショックの持

続性を説明するのに成功している�

����モデルは�近年�マルコフ連鎖モンテカルロ法 �,��-�� ��� ,���� '����� ,','�

することが多い� � ベイズ統計学の事後オッズ比に基づくモデル選択では� ����モデルと

�� モデルのように互いに入れ子になっていないモデルでも比較を行うことができる� そ

こで� ���� ��� .����� �%((*� は� 事後オッズ比を用いて '��モデルと�� モデルとの

比較を行い� '��モデルの当てはまりが �� モデルとほぼ同等であるとの結果を報告して

いる� しかし� その後� この結果は事前分布や標本期間の選択に依存することが明らかになっ

ている��

����モデルを評価する別の方法として� ��� /���� ��� � ��0 ���� �%((+� や ��� /����

�� ��� �%((1� らによって提案された ����2�� モデルを用いる方法がある�� このモデル

では� �� モデルのパラメータをベイズ推定するときの事前分布をあたかも ����モデル

から人工的なデータを発生させたものとして選択する� ただし� 実際に人口データを発生さ

せてそれに基づいて事前分布を選択すると� 事前分布が人工的データに依存して変動するの

で� 事前分布に含まれる人工的データの標本 %次モーメントを ����モデルから理論的に計

���� モデルの � � を用いたベイズ推定法について解説した文献には ! �"#� �� ��� $����% &�'��( ���"�)�� (� $���*% +���,��(�-�. ���/��(� $���0% ��"/� $���*% ���"�' ��( ��/� $���*% 12�����-23

$���*% などがある��例えば ��� 4�'�" �� ��� $����% を参照されたい������.&5モデルについてより平易に解説したものに ��� 4�'�" ��( ���"�)�� (� $����% がある�

%

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算される母集団モーメントに置き換える� そこで� 実際には� 人工的データを発生させるわ

けではない� ����モデルをより信頼する場合には� ����モデルからより多くのデータを

発生させればよい� そこで� ����モデルから発生させるデータ数を変えて推定し� �� モ

デルのデータへの当てはまりの良さを比較することにより� ����モデルからの事前情報が

�� モデルの推定にどれだけ有用か� 言い換えると ����モデルの定式化がどの程度正し

いかを分析できる�

本稿は� こうした����2�� モデルについて解説を行うとともに� ����2�� モデルの

日本のマクロデータへの応用を行ったものである� ,','ベイズ推定法を用いて ����モ

デルを日本のマクロデータに当てはめているものに� 3��� � �� ��� �%((1�� ���� ��� 4���

�%(($� があるが� それらは ����モデルの当てはまりの良さの評価は行っていない� また�

����2�� モデルの日本のマクロデータへの応用はこれまで全く行われておらず� 本稿が初

めての試みである� 本稿で用いている ����モデルは 3��� � �� ��� �%((1� で用いているモ

デルと同じであり� 上記'��モデルともほぼ同じモデルである� データについても� 3��� �

�� ��� �%((1� と同じく� 日本の主要な 5つのマクロ変数 �実質 ��"� 消費� 投資� 労働� 実質

賃金� インフレ率� 名目利子率� を用いている� また� 標本期間は� ゼロ金利の期間をはずし�

�#5(年第 3 四半期から �##$年第 3� 四半期までとしている�

����2�� モデルをこれらの日本のマクロデータに応用した結果� '��モデルには定式

化の誤りはあるものの� �� モデルの推定において有用な情報を含んでいることが明らかに

なった� これは� ��� /���� �� ��� �%((1� が米国のマクロデータについて得ている結果と同

様である�

本稿の以下の構成は次の通りである。まず� 第 %節で����2�� モデルとそれを用いて

����モデルを評価する方法を説明する� 次に� 第 *節において� 本稿で ����モデルとし

て用いた '��モデルについて説明し� 第 +節で本稿で推定に用いた日本のマクロデータに

ついて説明する� 第 )節で����2�� モデルの推定結果から '��モデルの評価を行う� 最

後に第 1節で本稿のまとめを行うとともに今後の発展について述べる�

� ������モデルのベイズ分析

��� ������モデル

次数 �の �� モデルは以下のように表せる�

�� 6 ������ 7 � � �7������ 7 ��� �� � ��� ������ ���

ここで� ��は �個のマクロ変数 �ただし� 事前に平均は引いてあるものとする� のベクトルを

表し� 誤差項 ��は平均 �� 分散共分散行列��の独立な正規分布に従うものとする�

*

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いま� � 個の標本 �� �� 6 �� � � � があるものとする� このとき� � を 第 � 行が ���

の � � �行列� すなわち� � 6 8���� ���� 9

� とする� また� 6 ��とし� � を第 �行が

��� 6 8������ ��

����9の � � 行列� � を第 �行が �

��の � � �行列� � 6 8��� ���9

�とす

る� そうすると� �� モデル ��� は次のように表せる�

� 6��7� �%�

����2�� モデルでは� �� モデルのパラメータ � と �� をベイズ推定する� そのと

き� ����モデルのパラメータ �を条件とする ������の条件付事前密度 ���������を,あ

たかもパラメータ �の����モデルから人工的データを発生させたものとして選択する�

いま� パラメータ �の����モデルから � � 6 � の人工データ �� �����を発生させた

とする� そうすると� データを � �����とする �� モデルの尤度関数は次のように表せる�

��� ����������

� ���������

� �:;

���

%������� ��

��� � ���

���� � � � �����7��

���������

�*�

実際に� 人工的データ �� �����を発生させてそれを尤度の評価に使うと� 尤度は �� �����

に依存して確率的に変動する� そこで�人工的なデータを発生させる代わりに� � ��� ������ ��

� ���� と����� をそれらの期待値に置き換える� 以下� <������ 6 �� 8�����9� <

������ 6

�� 8�����9 ��� <

������ 6 ��8���

��9 とする� ����モデルのパラメータ � の値が与えられる

と� これらのモーメントは解析的に求められる� これらのモーメントの計算方法については�

第 *)節で説明する�

さらに ������� � ����������� とすると� �*� は次のような事前分布に変換できる�

���������

6 ����������� �

��������

� �:;

���

%��� ����

� �<���������<������� <

�������7�

<����������

�+�

ここで� ������ は事前分布 �+� の積分が �になるための基準化定数である�

事前分布 �+� は以下のよく知られた逆ウイッシャート=正規型事前分布である�

���� � 3.� �������� � � � �� �)�

������ � /��������� � � �<

�������

��� �1�

ここで�

����� 6 <����� ���<

������ �5�

������ 6 <

������� <

������<

����� ���<

������ �$�

+

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� 7 �であり� <������の逆行列が存在すれば� 事前分布 �+� の基準化定数は次のよう

に計算できる�

���� 6 �%����� �<����������� ���

�������������

�%�������������������

<8� � � 7 �� ���%9 �#�

ここで� <8 � 9 はガンマ関数を表す�

��� ������モデルの事後分布

�� モデルのパラメータ ������ と����モデルのパラメータ � の同時事後分布は次

のように表せる�

���������� � 6 �������� �������� � ��(�

事前分布 �)�� �1� の下では� この事後分布も次のような逆ウイッシャート=正規型になる�

���� �� � 3.�� 7 ��� >������ � 7 ��� � � �� ����

��� ����� � /� >������� � � �<������ 7�

����� ��%�

ここで�

>���� 6� �<������ 7��

����� �<������ 7��

� � ��*�

>�� 6�

� 7 ���

� �<������ 7 �

�� �<������ 7 ��

��� �<������ 7��

����� �<������ 7��

� ��

��+�

次に� ����モデルのパラメータ � の周辺事後分布は以下のように表せる�

����� � � ��� ������� ��)�

ここで� 尤度関数 ��� �� ������� は以下のように計算できる�

��� ���

6��� ���������������

�������� �

6� �<������ 7�

������� 7 ��� >������������������

� �<����������� ���

�������������

��%������%�����������

���� <8�� 7 ��� � 7 �� ���%9

%��������

��� <8� � � 7 �� ���%9��1�

)

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事前密度 ���� については以下で説明する�

� を周辺事後分布 ��)� からサンプリングできれば� � と �� を ���� と ��%� からサン

プリングするのは容易である� 先行研究では� ��)� からのサンプリングに次のランダム・ウ

オーク・メトロポリス・ヘイスティングス・アルゴリズムを用いている�

ランダム・ウオーク・メトロポリス・ヘイスティングス・アルゴリズム

��� 適当な初期値 �を選択し� � 6 �とする�

�%� ����� ��� を次のランダム・ウオーク・モデルからサンプリングする�

����� ��� 6 ��� 7 ��� �� � ������/�(� ��

先行研究の多くは� ���� 6 �� ����� � と定義すると� を ���� のモード � 6 ?� におけ

る ���� の %次微分の逆数にマイナスをつけたもの� すなわち 6 �������?�� としてい

る� また� � は調整係数であり� これについては以下で説明する�

�*� �%�でサンプリングされた ����� ��� と �回前の ���回目にサンプリングされた ���

を用いて� 以下の式から受容確率 � を計算する�

� 6 ���

����

���� ��� �� �

������� �� �

�+� �%�でサンプリングされた ����� ��� を確率 � で受容し� 残りの確率 �� � で棄却する�

受容された場合は� � 6 ����� ��� とし� 棄却された場合は� � 6 ��� とする�

�)� � � � であれば� � 6 �7 � とし� �%�に戻る� � 6 � であれば� 終了�

このアルゴリズムを実行すると� ���� ��� � がサンプリングされるが� � とする

と� �� は ����� � からサンプリングされた変数に確率収束する� そこで� �� � を十分大き

な数とし� � 6 � 7� として上記アルゴリズムを実行し� 最初の ���� �� � を捨て �こ

の捨てる回数 � のことをバーン・イン �����2��� と呼ぶ�� 残りの �� ��� �� ��� を事

後分布 ����� � からサンプリングされたものと見なして� 推定に用いればよい�

このアルゴリズムでは� �+�で棄却されると� �回前にサンプリングされたのと同じ値がサ

ンプリングされることに注意する必要がある� そこで� �*�の受容確率 �が低いと� 同じ値が

続けて何度もサンプリングされることになり非効率である� �が小さくならないようにする

ためには� ����� ��� が ��� とそれほど大きく乖離しないようにする必要がある� そのため

には� �%�のランダム・ウオーク・モデルの誤差項の分散共分散行列の調整係数 �を小さくす

るのが望ましい� しかし� �をあまり小さくすると� ����� ��� が ���の周りの狭い範囲から

1

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しかサンプリングされなくなるので� それも効率的でない� そこで� 通常� 受容確率が %)@程

度になるように �を調整する�

��� 周辺尤度

����2�� モデルでは� 実際には����モデルから人工的データを発生させさるわけで

はないが� あたかも����モデルから人工的データを発生させたかのように考えて �� モ

デルのパラメータの事前分布を選択する� ����モデルから発生させる人工的データの数

� � 6 � を増やせば増やすほど� �� モデルのパラメータに課される����モデルの制約

が強くなる� そこで� を変えて ����2�� モデルを推定し� データへの当てはまりの良さ

を比較することで� ����モデルの評価を行うことができる�

ベイズ統計学におけるモデル選択は� 事後オッズ比を用いて行われる� モデル��とモデ

ル�� の事後オッズ比は以下のように表される�

"A 6������ �

������ �6��� ����

��� ����

�����

�������5�

ここで� ��� �������� ���� と ����������� は� それぞれ� ベイズ・ファクターおよび事前

オッズ比と呼ばれる� また� ベイズ・ファクターの分子 ��� ����と分母 ��� ����はそれぞ

れ� モデル��と�� の周辺尤度と呼ばれる�

この事後オッズ比が �を上回れば �下回れば�� モデル�� ���� を選択する� どちらのモデ

ルが正しいか事前情報がない場合には� 通常� 事前オッズ比は �に設定される� そうすると�

事後オッズ比はベイズ・ファクターに等しくなるので� 周辺尤度の高いモデルが選択される

ことになる� 本稿では� 先行研究に従い� 周辺尤度を� ��B�-� ��###� の修正調和平均法を用

いて計算している� この方法について詳しくは補論 �を参照されたい�

� ���モデル

����モデルは� 現実のマクロ変数の変動をうまく説明できるように� 市場の摩擦を加え

たニュー・ケインジアン・モデルに発展している� そうしたモデルの中で� 米欧のマクロデー

タに当てはまりがよいとされているのが� ' �������� �� ������ ��� ���� �%(()� によっ

て提案された '��モデルである� このモデルには� ��� '����型名目価格・賃金の硬直性�

�%� 消費の習慣形成� �*� 投資の調整コスト� �+� 可変資本稼働率 といったさまざまな市場の�自動的に受容確率を調整する方法に効率的ランダム・ウオーク�6アルゴリズムがある� この方法につい

ては 5"����# ��( 5"#������ $���*% 5"����# ��( 5"#������ $����% 5"#������ $����% を参照されたい� また � � ��( 5��������2 $����% は 独立メトロポリス・ヘイスティングス・アルゴリズムと � ��# �������

を組み合わせたより効率的な方法を提案している�

5

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摩擦が導入されている� 本稿では����モデルとしてこのモデルを用いるので� 本節でこの

モデルについて簡単に説明する�

��� 家計

����� 選好と予算制約

家計は連続的に存在すると仮定し� 各家計のインデックスを � � �(� ��とする� また� 各家

計は消費と余暇に対して同一の選好を持つものとし� 家計 �は次の効用関数を最大化するも

のと仮定する�

���

��

������� ����

����

�� ��������

����

� 7 ��

���$�

ここで� ����� は実質総消費� �� は外生的な消費の習慣形成� ����� は労働供給を表す� 各家

計は差別化された労働を供給する� すなわち� 労働市場で独占的に労働供給量を決められる

ものと仮定する� パラメータ � は割引率� �� は長期の異時点間の代替の弾力性� �� は労働

供給の弾力性を表す� 簡単化のため� ����� と ����� は互いに加法分離的 ���������2�;�������

であると仮定する�

家計 � の予算制約式は以下の通りである�

����� 7 �� 8����� 7 ������� 7 �������������9 ��#�

6 ���������� 7!��������� 7 �>����� 7�������

ここで� ����� は名目債券保有量� �� は実質総消費財の価格指数 �すべての家計に共通��

������� は物理的な投資� ��� は � � �期から �期までの粗名目利子率� !���� は家計 �の

差別化された労働供給に対して支払われる名目賃金率� ������� は家計 �が所有する企業か

らの名目配当収入を表す� この配当収入は企業の利潤最大化によって既に決まっているため�

家計の効用最大化問題では外生変数となる�

家計は消費者および労働供給者として行動するだけでなく� 投資家としても行動する� 言

い換えると� 家計 � は資本����� を企業に対して貸し� その内の稼動資本 >����� からレン

タル料 � を受け取る� 稼動資本は,以下のように� 実際の資本量に資本稼働率を掛けたも

のとして定義する�>����� 6 ���������� �%(�

家計は資本稼働率を上げることによりレンタル料収入を増やすことができるが� そうするこ

とにより� ������������� の資本稼動費用を支払う必要があると仮定する� 資本稼動費用関数

�������� は増加関数であり� 下に凸の関数である ������ " (� ������ " (�と仮定する� さらに�

資本稼働率が定常状態 ��� 6 � にあるとき� 資本稼動費用は (であると仮定する ����� 6 (��

$

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予算制約式 ��#� の左辺は家計 �の �期の総支出 �債券投資� 消費支出� 物理的投資� 資本稼

動費用の和� を表し� 右辺は総収入 �� � �期から保有している債券とその利子収入� 労働収

入� レンタル料収入� 配当収入の和� を表す�

予算制約式 ��#� は名目であり� それを実質化すると以下のように表せる�

#���� 7 ����� 7 ������� 7 ������������� �%��

6 ���

C�#������ 7 $��������� 7 %

� ���������� 7 &������

ここで� #���� 6 �������� は実質債券所有� C� 6 ������� は � � �期から �期までのインフ

レ率� $���� 6 !������� は実質賃金� %� 6 � ��� は実質レンタル率� &������ 6 ����������

は実質配当を表す�

����� 資本蓄積と資本調整コスト

家計は次の式に従って資本を蓄積する�

������� 6 ��� ������ 7

��� '

�������

���������

��������� �%%�

ここで� Æ は資本減耗率� '��� は資本調整コストを表す� 資本調整コストには以下のような %

次関数を仮定する�

'

��������

���������

6

%(

��������

���������� �

�%*�

この定式化からわかるように� 現在の物理的投資と �期前の物理的投資の乖離が大きくなれ

ばなるほど� 調整コストも大きくなる� この調整コストが存在するために� 家計は物理的投

資を時間を通じて平滑化しようとする� 定常状態では� 調整コストは (� すなわち� '��� 6 (�

'���� 6 (� さらに� 定常状態では� ( 6 ��'����� である�

����� 家計のオイラー方程式

各家計の初期条件は同一であり� 商品市場は完備であると仮定する� したがって� 以下で

は� 賃金と労働供給以外� 家計のインデックス �は省略する� 予算制約式 �%�� と資本蓄積の

式 �%%� を制約とする家計 �の動学的最適化問題は以下のように表せる�

) 6 �

���

��

����� ����

����

�� ��������

����

� 7 ��

7 �

� ���

C�#��� 7 $��������� 7 %

� ���� 7 &��� � #� � �� � ���� � �������

�7 ��

���� *��� 7

��� '

�����������

����� �����

���%+�

#

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ここで� � は �期の予算制約式のラグランジュ乗数� �� は資本蓄積式のラグランジュ乗数を

表す� 家計 � は効用を最大化するように現在の消費� 債券保有量� 資本稼働率� 物理的投資

額� 資本保有量を選択する� 労働供給量の選択については� 独占的競争の仮定から� 特殊な取

り扱いが必要なので� これらとは別に分析する必要がある�

すべての家計について� ��� #�� ��� ����� ��に関して以下の �階の条件が成り立つ�

消費D � 6 ��� ������� �%)�

債券保有D � 6 ���

� �

C��� ���

��%1�

資本稼働率D %� 6 ������ �%5�

物理的投資D � 6 ��

��� '

�����������

� '�

�����������

����������

�7 �������

�'��������

����

�������

����

��

�%$�

資本保有D �� 6 ����������� *� 7 ���

%������� � �������

���%#�

����� 賃金設定と労働供給

ここでは� 家計は差別化された労働サービス ������� � � �(� ��� を独占的に供給すると仮定

している� 家計はこのサービスを代表的な競争企業に売り� 企業はそれを以下の��:��2�������E

型関数によって総労働投入 �� に変換する�

�� 6

�� �

�����

������� � &�

������*(�

ここで� � は賃金マークアップとして解釈できる�

����� に対する需要曲線は以下のように与えられる�

����� 6!����

!�

�������������� �+% � � � � �*��

ここで� !� は総名目賃金率� すなわち� �� の名目価格である� また� !� と !���� との間に

以下の関係があることを容易に示すことができる�

!� 6

� � �

!����

����� &�

�����*%�

家計は �� と !� を所与とし� 企業による価格設定と同様のメカニズムに従って自らの賃金

率を設定する� 各期において� 家計の一定の割合 �� ,� だけが賃金を最適化できると仮定す

�(

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る� 賃金を最適化できるかどうかは家計や期とは独立であるとする� �期においてある家計

が賃金を最適化できない場合� その家計は以下の式に従って賃金 !���� を改定する�

!���� 6

�����

����

���

!������ �**�

ここで� -� は賃金の過去のインフレ率に対する連動の度合いを表す� 賃金が最適化されい場

合� -� 6 ( であれば� 過去のインフレ率には連動せず� -� 6 � であれば� 過去のインフレ率

に完全に連動する�

最後に� 総賃金指数の定義から� その変動は以下のように表せる�

!������ 6 ,�

�!���

�!���

!���

��������

7 ��� ,�� >$������ �*+�

ここで� >$ は最適化問題によって改定された以下の賃金を表す�

>$�����

���

�� ,��

�����������

�����������

� ������� . ����

� 7 �6 ��

���

�� ,�� ������� .���� �*)�

ただし� . ���� は労働の限界不効用� .

���� は消費の限界効用を表す�

��� 企業

����� 生産技術と費用最小化

'��モデルでは� 企業行動のモデル化は '���� ��#$*� に基づいている� �個の独占的競

争企業はそれぞれ差別化された製品 /��� を生産し� 中間財市場でそれを売る� 各独占的企業

の生産関数は同一であり� 以下の式で定義される�

生産関数D /��� 6 0� >����� �

������ �F �*1�

ここで� 0� はすべての企業の生産性に影響を与える経済全体の技術ショック� >���� は企業 1

の資本借り入れの中の稼動資本� ���� は �期に企業 1に雇用されている労働力� F は固定費用

を表す� 生産関数 �*1� の中に固定費用が存在するために� 企業の生産技術は収穫一定ではな

く� 収穫逓増になっている�

資本レンタル市場の完全競争の仮定と企業が労働市場で価格受容者 �;���2��-���なので�

企業 1はレンタル料 %� と実質賃金指数 $� を所与とする� 目標生産水準 /��� が与えられる

と� 企業 1の費用最小化問題は以下のように表せる�

費用関数D ���� ��������

$����� 7 %�>���� 72����

/��� �0� >�

���� �

������ 7F

��*5�

��

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ここで� ラグランジュ乗数 2���� は� 生産 /��� の限界費用であると解釈できる� この費用最小

化問題の �階の条件は次の通りである�

$�

%�6�� 3

3

>����

�����*$�

ここで� �*$�式の左辺は資本投入と労働投入の間の機会費用を表し� 右辺はそれら %つの生

産要素の間の技術的限界代替率を表す� さらに� 企業 1の限界費用は以下のように表せる�

限界費用D 2���� 6�

0�

3����� 3�������

�$���� �%� �

� �*#�

�*#�式からわかるように� 限界費用は添字 1に依存しない� このことは� 限界費用は企業間で

同一であることを意味している� これは� 生産関数の定式化および資本市場と労働市場で企

業が価格受容者であることによる� 限界費用が企業間で同一なので、以下では添字 1を省略

する�

����� 粘着価格の下での最適価格設定ルール

次に� 中間財 /��� の市場で独占的に行動する企業 1の最適価格設定行動について説明する�

そのためには� まず中間財 /��� の需要関数を定式化する必要がある� '��モデルでは� 先行

研究に従い� 以下のような標準的な定式化を行っている�

中間財需要関数 /���D /��� 6

�������

����������

/� �+(�

ここで� /� は最終財� �� は最終財 /� の価格指数を表す� � は需要の価格弾力性を決めるパ

ラメータである� '���� ��#$*� 型粘着価格モデルでは� 各期 � において� 全体の ,� の割合の

企業が自らの価格 ���� を改訂することができず� 残りの ��� ,�� の割合の企業が価格を改定

できると仮定する� 価格 ���� を改定できる企業は� 以下の利潤最大化問題を解く�

利潤関数D ��:����

��

���

�� ,��

����������

�����

�2����

���������

�����������/��� �+��

この利潤最大化の �階の条件は以下の通りである�

��

���

�� ,�� /�����

���������

� �� 7 �� 2����

�6 ( �+%�

この式から企業 1 の最適価格設定ルールが以下のように得られる�

������

6 �� 7 ����

���

����2���� �+*�

�%

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ここで�

���� 6��,�����������

���������/��������� �

�,���������������/�����

�++�

�+*�式からわかるように� 企業は価格を将来の限界費用の流列の加重平均にマークアップ率

�� 7 �� を掛けたものに等しくなるよう設定する�

'��モデルでは� 価格を最適化しない企業は以下のように自らの価格を部分的に過去のイ

ンフレ率に連動させると仮定する�

価格のインフレ率への連動D >���� 6�����

����

��

>������ �+)�

ここで� パラメータ -� は過去のインフレ率に対する連動の度合いを表す� この仮定の下で

は� 最適価格設定ルールは以下のように修正される�

��

���

�� ,�� /�����

�>��������

�������

����

��

� �� 7 �� 2����

�6 (� �+1�

ここで� >���� は �期に価格を最適に改訂できた企業の最適価格を表す�

最後に� 総物価指数の定義から� 総物価指数の変動は以下の式で表せる�

������� 6 ,�

�����

�����

����

��������

7 ��� ,��>��������� �+5�

��� 市場の均衡条件

最終財市場の均衡のためには� 最終財市場の供給と最終財の消費� 投資� 稼動資本� 政府支

出としての総需要が等しくなる必要がある� したがって� 均衡条件は以下の式で表せる�

/� 6 �� 7 ���� 7 ��������� 7 4� �+$�

�� モデルの対数線形化

合理的期待均衡を解析的に導出するために� 上記モデルを定常状態の周りで対数線形化す

る� 以下� 5��を変数 5の定常状態での値� また ?5 6 ��5� ��5�� と定義する�

����� 家計の均衡条件

��� 消費のオイラー方程式D

?�� 6�

� 7 �?���� 7

� 7 ���?���� �

�� �

�� 7 ����� ? � ��� ?C���� 7

�� �

�� 7 �������� ����

����� �+#�

�*

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ここで� 追加的な仮定として� 外生的な習慣形成 �� は �� 6 � ���� として過去の総消費

に比例するものとする� ただし� � は習慣の持続の度合いを表すパラメータである� 消費の

ショック ��� は定数項 (� 係数 6� の � ���モデルに従うものと仮定する� したがって� 期待

値 ������� は 6���� となる�

�%� 投資のオイラー方程式

����� 6 �

� 7 �������� 7

� 7 ���������� 7

(

� 7 �?�� 7

� 7 �����

����� � �

��� � �)(�

ここで� ( 6 �� G'�� と定義すると� その逆数 ��( は投資の資本価格に対する弾力性を表す� 投

資のショック ���� は定数項 (� 係数 6�� の � ���モデルに従うものと仮定する� したがっ

て� 期待値 �������� は 6������ となる�

�*� 資産価格のオイラー方程式D

?�� 6 �� ? � ��� ?C���� 7�� *

�� * 7 %��?���� 7

%

�� * 7 %��?%

��� 7 7

�� �)��

ここで� � 6 ���� � * � G%�� * は減耗率� G% は定常状態のレンタル料を表す� 7�� は債券投資

に要求されるリターンのショックであり� これは外生的なプレミアムの変動に対する資本コ

ストの変化を表している� 7�� はホワイト・ノイズであると仮定する�

�+� 実質賃金の変動D

?$� 6�

� 7 ��� ?$��� 7

� 7 �?$��� 7

� 7 ��� ?C��� �

� 7 �-�� 7 �

?C� 7-�� 7 �

?C��� �)%�

� ���� �,����� ,��

�� 7 ��� � 7 �� 7 �����,�

�?$� � ��?�� �

���� �

�?�� � �?������ ��� � 7

��

�実質賃金 ?$� は期待賃金と過去の賃金� 期待� 現在� 過去のインフレ率の関数であり� その

ウエイトは最適な賃金に改定されない場合のインデクゼイションの度合い -� に依存する�

-� 6 ( の場合には� 実質賃金は過去のインフレ率に依存しない� 最後の項は� 実際の実質賃

金が賃金が伸縮的な場合の実質賃金から乖離することの負の効果を表す� この効果は� 賃金

の硬直性� 労働需要の弾力性� 労働供給の弾力性の逆数 �� が低いほど� 大きくなる� 労働供

給のショック  ��� は� ���モデルに従い� 実質賃金のショック 7�� はホワイト・ノイズであ

ると仮定する�

�)� 資本蓄積D?�� 6 ��� *� ?���� 7 *������� �)*�

�+

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資本 �� は資本減耗によって減少し� 投資によって増加する� * には %つの意味がある� 一つ

は資本の減耗率� もう一つは投資・資本比率であり� 右辺第 �項は前者� 右辺第 %項は後者で

ある�

����� 企業の均衡条件

�1� 費用最小化条件D?�� 6 � ?$� 7 �� 7 8�?%

� 7

?���� �)+�

ここで� 8 6 8�����8����� は資本稼動費用関数の弾力性の逆数を表す� 資本ストックを所与

とすると� 労働需要は実質賃金 ?$� と負の関係になり� 資本のレンタル料 ?%� と正の関係にな

る�

�5� 生産関数D

?/� 6 9?��� 7 93 ?���� 7 938?%

� 7 9��� 3�

?�� �))�

ここで� 9 は生産における固定費用の比率に �を加えたものであり� ?��� は生産性のショック

である� この式は生産関数 ��*�式から導かれる�

�$� インフレ率D

?C� 6�

� 7 �-��� ?C��� 7

-�� 7 �-�

?C��� 7��� �,����� ,��

�� 7 �-��,�

�3?%� 7 ��� 3� ?$� � �

�� 7 7

��

��)1�

インフレ率 ?C� は� 過去のインフレ率と将来の期待インフレ率� 資本レンタル料 ?%� の関数で

ある現在の限界費用� 実質賃金 ?$�� 生産性ショック ��� の関数である� -� 6 ( の場合� この式

は通常の 0��B���2���-��� なフィリップス曲線になる� 言い換えると� インデクゼーション

の度合い -� はインフレ率が ��-B���2���-��� である度合いを表す� 限界費用の変化に対

するインフレ率の弾力性�3?%� 7 ��� 3� ?$� � �

�� 7 7

��

�は� 主に価格の硬直性の度合いに依存

する� すべての価格が伸縮的 �,� 6 (� で価格マークアップショック 7�� が (の場合� この式

は� 価格が伸縮的な場合に実質限界費用が �に等しくなるという通常の条件になる�

�#� 雇用D

?:� 6 �?:��� 7��� �,����� ,��

,��?�� � ?:�� �)5�

�)

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ここで� :� は雇用� �� は労働投入量� ,� は企業が雇用を望ましい総労働投入量に調整できる

確率 �一定� を表す� この式は雇用が労働投入よりもゆっくり反応するという事実を反映し

ている�

����� その他の式

��(� 市場の均衡条件D

?/� 6 ��� *� � 4��?�� 7 *������ 7 %� 8�?%� 7 4���� �)$�

ここで� � は定常状態での資本・生産比率� 4� は定常状態での政府支出・生産比率を表す�

政府支出は � ���モデル ��� 6 6������ 7 7

�� に従うと仮定する�

���� 金融政策ルールD

? � 6 6� ? ��� 7 ��� 6���; ?C��� 7 ;�?/�

�7 7�� �)#�

金融当局はテイラー・ルールに従うものと仮定する� すなわち� 金利 ? � を過去のインフレ

率 �ここでは目標インフレ率は (@とする�� 過去の生産ギャップ ?/� に依存させて徐々に調整

する� パラメータ 6� は� インフレ率の平滑化の度合いを表す� 金融政策のショック 7�� はホ

ワイト・ノイズであると仮定する�

����� 持続的なショックと予測誤差

これまでの式に現れる )つのショックは� 以下のように� 誤差項の分布が正規分布の � ���

モデルに従うものとする�

��%� 選好ショックD

��� 6 6������ 7 7

��

��*� 投資ショックD

���� 6 6�������� 7 7���

��+� 労働ショックD

��� 6 6������ 7 7

��

��)� 生産性ショックD

��� 6 6!����� 7 7

��

�1

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��1� 政府支出ショックD

��� 6 6������ 7 7

��

さらに� 以下のように 1つの予測誤差を考える�

��5� インフレ予測誤差D

< � 6 ?�� �����?��

��$� 実質賃金予測誤差D

<�� 6 ?$� ����� ?$�

��#� 債券プレミアム予測誤差D

<�� 6 ?�� �����?��

�%(� 投資予測誤差D

<��� 6����� ����������

�%�� 消費予測誤差D

<�� 6 ?�� �����?��

�%%� レンタル料予測誤差D

<"� 6 ?%� �����?%�

���� 対数線形モデル

定常状態の周りで対数線形化したモデルは以下のようにまとめることができる�

<� 6 <���� 7H�� 7C�� �1(�

ここで� � は内生変数ベクトルD

� 6 8 /�� ��� $�� �� ����� ��� �� %� � )�� ������� ��$���� ������� ��������� ������� ��%

����

��� � ���� � ��� � �

�� � �

�� 9�

�� は外生変数ベクトルD

�� 6 87�� � 7

��� � 7�� � 7

�� � 7

�� � 7

�� � 7

�� � 7

�� � 7

�� 9

�� は予測誤差ベクトルD

�� 6 8< � � <

�� � <

�� � <

��� � <�� � <

"� 9

�� �� �� � はパラメータ行列� これらの行列について詳しくは補論 & を参照されたい�

�5

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��� 状態空間表現

ここで� ��� �%((%� の方法を用いると� �1(�式は次のように解くことができる�

� 6 ���� 7 ��� �1��

�詳細は補論 ' を参照されたい�� また� 観測される変数ベクトル �� については次のように

表すことができる�

�� 6 � �1%�

ここで� は観測変数 �� と観測されない変数 � の関係を表す �� の行列である�

�1��式と �1%�式は線形ガウシアン状態空間モデルを構成する� ����モデルのパラメータ

� を所与とすると� ��)�式の中の母集団モーメント <������ 6 ��8�����9� <

������ 6 ��8���

��9�

<������ 6 ��8�����9 を以下の式により計算できる�

��8����

�9 6 ���������

��� �1*�

�� 8����

��#9 6 ���� �#����

�1+�

ここで� ��� 6 �� 8��

�9 であり� それは次の式から計算できる�

������� 6 8� � � � �9�� ��

� � �

��

�1)�

データ

以下では� '��モデルを ����モデルとした ����2�� モデルを日本のマクロデータ

に応用することにより� '��モデルの日本のマクロデータに対する当てはまりの良さを評価

する� 日本のマクロデータとして用いたデータは� 生産� 消費� 投資� 労働投入� 実質賃金� イ

ンフレ率� 名目利子率の 5つの四半期データである� 日本では� �##�年第 3 四半期以降はゼ

ロ金利の期間なので� その時期ははずして� 標本期間は �#5(年第 3 四半期から �##$年第 3�

四半期までとした�

5つのマクロ変数の詳細は以下の通りである� まず� 生産� 消費� 投資には� それぞれ� 労

働人口 �人当たりの実質 ��"� 実質消費� 実質投資の季節調整値を用いた� 労働投入には�

労働時間指数 �総雇用者数を労働人口で割ったものを用いた� 実質賃金には� 名目賃金指数

を��"デフレータで割ったものを用いた� これら )つの変数はそれぞれ対数化し� I����-

��� "����� �I"� フィルタによってトレンドを除去した� インフレ率と名目利子率には�

それぞれ ��"デフレータの変化率とを用いた� これら %つの変数は� 対数化しないで I"

フィルタを適用しトレンドを除去した� 以上のデータからさらに平均を除去した� インフレ

�$

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率の平均の除去では� 5(年代� $(年代� #(年代ではそれぞれインフレ目標が異なるものと仮

定し� 5(年代と $(年代の %つのダミー変数を用いて平均を除去した� コール・レートに関

しても同様の方法で平均を除去した� 資本ストックと資本のレンタル料については� ����

��� .����� �%((*� に従い� 観測されない変数として扱っている�

���� ��� .����� �%((*�� A���-� ��� .������ �%((+�� J����� A���-�� .������ ���

.������ �%(()� 等の先行研究に従い� '��モデルのいくつかのパラメータは推定せず� 尤

らしい値に固定した� 具体的には� まず� 割引率 � は (�##� 資本減耗率 * は (�%)� 資本シェ

ア 3 は (�* に固定した� また� 定常状態における政府支出・総生産比率 4� を (�%� 資本・生

産比率 � を %�% に固定した� さらに� 賃金設定のマークアップ率を表すパラメータ � の値

が必要であるが� このパラメータは識別されないので� (�() に固定した� これらの値の多く

は� I��� � ��� "����� �%((%� に従っている� 定常状態における資本のレンタル料につい

ては� G% 6 �$ � ��� *� として計算した�

推定を行う他の %5個のパラメータについては� 表 �のように事前分布を設定した� ショッ

クの分散の事前分布については� すべて標準偏差を %と大きめにした逆ガンマ分布を用いて

いる� )つの持続的なショックの � ���係数の事前分布には� 平均 ($)� 標準偏差 (�のベー

タ分布を用いている� ベータ分布は �(� ��の間の値しかとらないので� ベータ分布を用いるこ

とで定常性の制約を課すことができる� また� 平均を ($)と高めにし� 標準偏差を (�と小さ

くすることで� ショックの持続性を事前分布に反映できる� 技術� 効用� 価格設定のパラメー

タの事前分布には正規分布� もしくは �(� ��の制約が必要な場合にはベータ分布を用いた�

8 表 � 挿入 9

補論 & に '�� モデルの設定についてまとめてある�

� ������モデルによる���モデルの評価

�� モデルのラグ字数は +とした� 事前分布が ;��;��でなければ� 周辺尤度を計算できな

いことに注意が必要である� � � 7 ���� であれば� 事前分布は ;��;��になる� そこで�

の値を (*� �事前分布が ;��;��になるための最小の値�� ()� (5)� �� �%)� �)� %� )� と変え

て� それぞれ周辺尤度を計算した� 各 の値で� ,','によるシミュレーションを �)(�(((

回行い� 最初の )(�(((回を ����2��として捨て� 残りの �((�(((回のサンプルを用いて周辺

尤度を計算した�

図 �は の異なる����2�� モデルの周辺尤度の対数値を図示したものである� 横軸は�

ではなく� 5 6 ��� 7 � となっていることに注意されたい� 対数周辺尤度は逆 4字型を

しており� が �(*�� (5)� の間は と共に増加しているが� が (5)を超えると� 逆に減少

�#

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している� このことは� '��モデルには定式化の誤りがあるものの� '��モデルは �� の

推定にある程度有益な情報を与えてくれることを意味している�

8 図 � 挿入 9

次に� = 6 (� すなわち� 消費の習慣形成がないものとして� 同様の分析を行った� 結果は図

%にまとめられている� の値に関係なく� 周辺尤度の値は習慣形成を考慮したモデルの方が

考慮しないモデルよりも高いので� このことから� 日本経済において消費の習慣形成が重要

であることがわかる�

8 図 % 挿入 9

� 結論

本稿では� ����および ����2�� モデルについて解説を行うと共に� 欧米のマクロ経

済データに当てはまりが良いとされる '��モデルを����モデルとした����2�� モデ

ルを日本のマクロ経済データに応用した� ゼロ金利の期間を除いた �#5(年第 3 四半期から

�##$年第 3� 四半期までの日本の主要なマクロデータを用いて分析を行った結果� '��モデ

ルには定式化の誤りは見られるものの� '��モデルからの情報は日本経済でもある程度有用

であることが明らかになった�

本稿は ����2�� モデルを日本のマクロデータに初めて応用したという意味で意義が

あるが� 今後に向けてまだ拡張の余地がある� まず� 各ショックに対するインパルス応答関

数を ����モデルと ����2�� モデルから計算し� 比較を行うことは重要である� また�

����2�� モデルを用いることにより各マクロ変数の予測パフォーマンスが改善するかど

うかも興味深い�

補論 � 周辺尤度の修正調和平均推定量

,','を用いた周辺尤度の計算にはいくつかの方法が提案されているが� 本稿では� ����

や ����2�� モデルの先行研究に従い� ��B�-� ��###� によって提案された修正調和平均

推定量を用いている� 以下では� 条件である �� や �� を省略して� 周辺尤度を ��� � と表

すことにする� まず� 4��� を何らかの確率密度関数であるとする� そうすると� 以下の式が

%(

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成り立つ�

�4���

��� �������

�6

�4���

��� ������������ �&�

6

�4���

��� �������

��� �������

��� �&�

6

�4���

��� �&�

6�

��� �

�4���&�

6�

��� �����

したがって� 周辺尤度は以下のように推定できる�

��� � 6�

��

����%�� ���%���

� ��

����

4����

��� ���������

���

��%�

/�B��� ��� �0���� ��##+� は� 4��� 6 ���� とすることを提案している� そうすると�

��%�式は以下のように簡単になる�

��� �

��

����

��� ����

���

��*�

これは� 周辺尤度の調和平均推定量と呼ばれる� しかし� ��� ���� が ( に近くなることがあ

るので� そうすると値が不安定になる�

この問題を解消するために� ��B�-� ��###� は 4��� を以下の切断正規分布にした修正調

和平均推定量を提案している�

4��� 6 *���%������������ �:;

���

%�� ��������� � ��

���

��� ��������� � �� � >��

&��

�*��

��+�

ここで� は � の次元� >��&��

�*� は自由度 の ?� 分布の �0の逆関数である� ��B�-� ��###�

では� � と � を� それぞれ,','により事後分布からサンプリングされた �の標本平均と

標本分散共分散行列にしている� �8�9 は括弧の中の不等式が満たされれば �� 満たされなけれ

ば (となる指示関数である�

この修正調和平均推定量では� � の値として極端な値がサンプリングされた場合に� ��%�

式の 4�����8��� ���������9が (になるため� 周辺尤度の値が不安定になるのを防ぐことがで

きる� 本稿では� * 6 (#)とした�

%�

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補論 �� ���モデルのまとめ

線形対数化したモデル

家計の均衡条件

�� 消費のオイラー方程式D

?�� 6=

� 7 =?���� 7

� 7 =��?���� �

�� =

�� 7 =���� ? � ���?����� 7

�� =

�� 7 =������ 6�����

ここで� ������� 6 6���� �

%� 投資のオイラー方程式D

����� 6 �

� 7 �������� 7

� 7 ���������� 7

(

� 7 �?�� 7

� 7 ���� 6�������

ここで� �������� 6 6������ �

*� 資産価格のオイラー方程式D

?�� 6 �� ? � ���?����� 7�� *

�� * 7 G%��?���� 7

G%

�� * 7 G%��?%

��� 7 7

��

+� 賃金設定式D

?$� 6�

� 7 ��� ?$��� 7

� 7 �?$��� 7

� 7 ���?���� �

� 7 �-�� 7 �

?�� 7-�� 7 �

?����

��

� 7 �H�

�?$� � �� ?)� �

���� =

�?�� � =?������ ��� � 7

��

�ここで� H� 6

���$'�����'����

�������

�'�

企業の均衡条件

�� 生産関数D

?/� 6 9��� 7 93

?��� 7 938?%� 7 9��� 3�

?)�

%� 労働需要D?)� 6 � ?$� 7 �� 7 8�?%

� 7

?���

*� "��� ������ ���������D

?�� 6�

� 7 �-���?���� 7

-�� 7 �-�

?���� 7�

� 7 �-�H�

�3?%� 7 ��� 3� ?$� � �

�� 7 7

��

�ここで� H� 6

���$'�����'��'�

%%

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その他の均衡条件

�� 資源制約D

?/� 6 ��� *��4��?�� 7 *������ 7 G%8�%� 7 4����%� 資本蓄積D

?� 6 ��� *�?��� 7 *�������

*� 金融政策ルールD

? � 6 6� ? ��� 7 ��� 6�� 8; ?���� 7 ;�?/�9 7 7��

持続的ショック

�� D 選好ショックD ��� 6 6������ 7 7

��

%� D 投資ショックD ���� 6 6�������� 7 7���

*� D 労働ショックD ��� 6 6������ 7 7

��

+� D 生産性ショックD ��� 6 6!����� 7 7

��

)� D 政府支出ショックD ��� 6 6������ 7 7

��

予測誤差

�� インフレ予測誤差D ?�� 6 ����?�� 7 < �

%� 賃金予測誤差D ?$� 6 ���� ?$� 7 <��

*� K予測誤差D ?�� 6 ����?�� 7 <��

+� 投資予測誤差D ����� 6 ��������� 7 <���

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Page 26: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

内生変数

/� D 生産

�� D インフレ率

$� D 名目賃金

� D 資本ストック

�� D 資本ストックのシャドー価格

���� D 物理的投資

�� D 消費

� D 名目利子率

%� D 資本のレンタル率 �資本コスト�

)� D 労働投入

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外生ショック �独立な正規分布�

7�� D 選好ショック

7��� D 投資ショック

7�� D 証券プレミアムショック

7�� D 労働ショック

7�� D 賃金マークアップショック

7�� D 生産性ショック

7�� D 価格マークアップショック

7�� D 政府支出ショック

7�� D 金融政策ショック

予測誤差

< � D インフレ予測誤差

<�� D 実質賃金予測誤差

<�� D 証券プレミアム予測誤差

<��� D 投資予測誤差

<�� D 消費予測誤差

<"� D レンタル率予測誤差

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初期設定

推定するパラメータ

=D 習慣形成� ��D 長期 3��の逆数� ��D 労働供給弾力性の逆数� (D 調整費用の逆数�

9D 固定費用のシェア� 8D 資本稼動費用� -�D 価格インデクゼーション� -�D 賃金イ

ンデクゼーション� ,�D カルボ型の価格を改定できない確率� ,�D カルボ型の賃金を改

定できない確率� 6�D 過去のインフレ率� ; D インフレ率の反応� ;�D 生産の反応�

6�D 選好の持続性� 6��D 投資の持続性� 6�D 労働供給の持続性� 6�D 生産性の持続性�

6�D 政府支出の持続性� 7�D 選好ショックの標準偏差� 7��D 投資ショックの標準偏差�

7�D 証券プレミアムの標準偏差� 7�D 労働供給ショックの標準偏差� 7�D 賃金マークアッ

プショックの標準偏差� 7!D 生産性ショックの標準偏差� 7�D 価格マークアップショック

の標準偏差� 7�D 政府支出ショックの標準偏差� 7�D 金融政策ショックの標準偏差�

値を固定したパラメータ

割引率D � 6 (##

資本減耗率D * 6 ((%)

資本シェアD 3 6 (*

資本・生産比率D � 6 %%

政府支出・生産比率D 4� 6 (%

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定常状態のレンタル率D G% 6 �$ � � 7 * ����� ��� .����� %((*� ;��*)�

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Page 28: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

線形合理的期待モデル

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Page 29: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

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Page 33: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

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Page 34: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

補論 �� ����モデルの解法

�1(�式

<� 6 <���� 7H�� 7C��

は以下のように解くことができる�

行列 < と <� KL分解により以下のように分解できる�

@�MA � 6 <� @�NA � 6 <�

ここで� @�@ 6 A �A 6 � であり� K と L は複素数になる可能性もある� N と M は上三角

行列で� これらも複素数になる可能性がある� こうした KL分解は必ず存在する� ここで�

B� 6 A�C� とし� �1(�式の両辺の前に @ を掛けると� 次式が得られる�

M�� 6 N���� 7@H�� 7@C�� �'��

KL分解は解が �つには決まらないが� N と M の対角成分の比率 �B��� ��� �一般化固有値

と呼ばれる� は一般的に �つである� 行列 N と M は ������� B�� ��;�� �� � � �������

����� �0 � � ����� 一般化固有値 �B��� ��� の絶対値の小さいものから大きい方ものへと順番

に並べられる� �'��式を �B��� ��� � G, となる安定的な一般化固有値と �B��� ��� � G, となる

不安定な一般化固有値の %つのブロックに分けることにより� 以下の �'%�式のように書き

換える� O � �;;�� ��� � � ��B�� �� �������� �'%�式の上と下は� それぞれ安定的なブロッ

クと不安定なブロックである� ここで� G, は� 横断性条件 ������������� '��������� を満た

す内生変数 � の成長率の上限である�

�� M�� M��

( M��

� �� B-���

B. ���

� 6�� N�� N��

( N��

� �� B-��� ��

B.��� ��

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@�

� �H7��� 7 C<��� �'%�

ここで� @� と @� は行列 @ の第 �列と第 %列である� �'%�式から予測誤差 ����を消去

するために� B� ;�������;�� �������� �'%�式の前に 8� � F9を掛け� 安定的なブロックを

�'*�式の上に移動させる� F は線形結合 @�C 6 F@�C を満たすように設定する� この予

測誤差 ���� の線形結合は ����モデルの安定条件である�

�'%�式の不安定な �下側の� ブロックでは� 最後の項 @�C<��� は前向きに �0��B���� に

解く� �この解法について詳しくは� ��� �%((%� を参照されたい�� そうすると� それは

@�C<��� 6��

�������N��

�� @�HD��� となる� ここで� � 6 N���� M�� である� それを �'%�

式に代入すると� 以下の式が得られる�

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Page 35: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

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���N���� @�H7���

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ここで� �'*�式の最後の項を ���7���� 6 ( �C 6 � � � � � � とし� B� 6 A �C� を使うと� 下記の

�'+�式のように逐次的な式が得られる�

� 6 ���� 7 ���� �'+�

ここで�

� 6 A�M���� 8N�� �N�� �FN���9A

6 �

�� @� � F@�

(

� H� 6 A

�� M���� �M��

�� �M�� �FM���

( �

� Aまたここで� A� は行列 A の最初の行を表す� �'+�式は均衡に収束する安定的な軌道であ

り� ����モデルの解となる�

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Page 36: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

参考文献

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� ���� �� %1� ��*=%�#�

8%9 '����� �� �� ��#$*�� Q��������� "��� �� 4������2,�:���E��� P����B��-�R �������

�� ������ ��������� �%� *$*=*#$�

8*9 '������ P� �%((5�� ����� ��� ������ ����������� ������� "������� 4�����2

��� "���

8+9 ' ��� �� ��� ������� �� �� �%(($�� QO������� ,����;��2���- ,',' ,�� �� 0��

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8)9 ' �������� J� S�� ,� �� ������ ��� '� ���� �%(()�� Q/������ �������� ��� � �

������ �T�� �0 � � �- �� ,������� ;�����R ������� �� ��������� ������� ��*�

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0�� �� �R ������������ ������� ����� +)� 1+*=15*�

8$9 ��� /����� ,� ��� P� � ��0 ���� �%((1�� QI�B ���� � . �� V��W�� ���X ����2

�� � � O���-�� 0�� ���������� ���� ,�����R ����� ���� ���� �� �������

������� ����� #�� %�=*5� ������������ ������� ����� +)� 1+*=15*�

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!������� ,�����R �B�� �������� ������ �� ������� � ������� ���������

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8�(9 P���Y����E2����������� S� �%((#�� QO � ��������� �0 ���� ,�����R /&�

.��-��� "�;�� /���+155�

8��9 ��B�-�� S� ��##%�� Q���������� � � ����� �0 ��;����2���� �;;��� � �� � �

��������� �0 ;������� �������R �� S�,�&�������� S�A�&������ ��"���B�� ���

��P�,����� ����� ������� ���������� �� A:0��� 4�������� "��� A:0����

8�%9 ��B�-�� S� ��###�� Q4��� ���������� ,�� �� 0�� &������ ��������� ,����D

3�0������ ������;���� ��� '������������R ��������� ������ �$� �2�%1�

*+

Page 37: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

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Page 38: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

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Page 39: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

表 �� ���モデルのパラメータの事前分布パラメータ 意味 分布型 平均 標準偏差

構造パラメータ

= 習慣形成 ベータ (�5 (��

�� 長期 $��の逆数 正規 � (�*5)

�� 労働供給弾力性の逆数 正規 % (�5)

��( 調整費用の逆数 正規 + ��)

9 固定費用のシェア 正規 ��+) (�%)

8 資本稼動費用 正規 (�% (�(5)

-� 価格インデクゼーション ベータ (�5) (��)

-� 賃金インデクゼーション ベータ (�5) (��)

,� �� �� 型の価格を改定しない確率 ベータ (�5) (��)

,� �� �� 型の賃金を改定しない確率 ベータ (�5) (��)

金融政策パラメータ

6� 過去の利子率への反応 ベータ (�$ (��

; インフレ率への反応 正規 ��5 (��

;� 生産への反応 正規 (��%) (�()

ショックの持続性

6� 生産性 ベータ (�$) (��

6� 選好 ベータ (�$) (��

6� 政府支出 ベータ (�$) (��

6� 労働供給 ���� (�$) (��

6�� 投資 ���� (�$) (��

ショックの標準偏差

7� 選好ショック 逆ガンマ (�% %

7�� 投資ショック 逆ガンマ (�� %

7� 証券プレミアムショック 逆ガンマ (�+ %

7� 生産性ショック 逆ガンマ (�+ %

7� 価格マークアップショック 逆ガンマ (��) %

7� 労働供給ショック 逆ガンマ ��( %

7� 賃金マークアップショック 逆ガンマ (�%) %

7� 政府支出ショック 逆ガンマ (�* %

7� 金融政策ショック 逆ガンマ (�� %

*5

Page 40: ESRI · ESRIディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研 究者および外部研究者によって行われた研究成

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図 1: CEEモデルをDSGEモデルとしたDSGE-VARモデルの対数周辺尤度

1900

1950

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

0.25 0.33 0.43 0.50 0.56 0.60 0.67 0.83 1.00

λ/(1+λ)

図 2: 消費の習慣形成のあるモデルとないモデルの対数周辺尤度

1850

1900

1950

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

0.25 0.33 0.43 0.50 0.56 0.60 0.67 0.83 1.00

λ/(1+λ)

習慣あり

習慣なし