LAS MATEMÁTICAS SON UN JUEGO. CEIP Manuel Siurot (La Palma del Condado).

Importante. Estos conceptos se usan solo para los NÚMEROS NATURALES (1, 2, 3, 4, 5, 6,…, hasta el infinito. El ‘0’ no se incluye). Algunos autores aplican estos conceptos también a los NÚMEROS NEGATIVOS, pero no es lo normal.

ESQUEMA DE LA UNIDAD.

1. ¿QUÉ SON LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES?

- MÚLTIPLOS: son todos los números naturales que se obtienen a multiplicar dicho número por todos

los números naturales(o los números que están en la “tabla” de multiplicar de un número, hasta el infinito).

Ejemplo: “Los múltiplos de 6 son”: 6 (6x1), 12 (6x2), 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,… (Todos los números de su tabla).

- DIVISORES: son todos los números naturales que dividen de forma exacta a otro número natural.

Ejemplo: “Los divisores del ‘15’ son: 1, 3, 5 y 15. (La división de ‘15’ entre cualquiera de esos números es exacta).

2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Es el múltiplo menor común que tienen entre sí dos o más números naturales.

Ejemplos:m.c.m. (7 y 10) = 70; m.c.m. (8 y 12) = 48; m.c.m. (15, 25 y 40) = 200 …

3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Es el divisor mayor común que tienen entre sí dos o más números naturales.

Ejemplos:M.C.D. (6 y 10) = 2; M.C.D. (48 y 60) = 12; M.C.D. (7 y 11) = 1 (ambos son primos) …

4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Existen numerosos criterios de divisibilidad. Los más usados son:

- “2”: un número es divisible entre “2” si acaba en cifra par (0, 2, 4, 6, 8).

- “3”: un número es divisible entre “3” si la suma de sus cifras es múltiplo de ‘3’.

- “5”: un número es divisible entre “5” si acaba en ‘5’ o en ‘0’.

- “6”: un número es divisible entre “6” si cumple los criterios de divisibilidad del “2” y del “3”.

- “9”: un número es divisible entre “9” si la suma de sus cifras es múltiplo de ‘9’.

- “10”: un número es divisible entre “10” si acaba en ‘0’.

5. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS.

- Números primos: aquellos que solo tienen 2 divisores: el ‘1’ y él mismo.

- Números compuestos: aquellos que tienen como mínimo 3 divisores: ‘1’, él mismo y, al menos, otro más.

- ‘Uno’: se considera que solo tiene un divisor, el ‘1’.

6. ANEXO: NÚMEROS MULTIPLICATIVOS y PARTITIVOS.

Doble, triple, cuádruple, quíntuple, séxtuple,… ;mitad, tercio, cuarto, quinto,…

* AMPLIACIONES.

- Prefijos múltiplos y submúltiplos.

- Descomposición en factores primos.

* “WEBGRAFÍA”.

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1. ¿QUÉ SON LOS MÚLTIPLOS Y DIVISORES? Vamos a conocer qué son los múltiplos y los divisores.

Ejemplo de múltiplos:

Los múltiplos de “6” son: 6, 12,

18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,

72, 78, 84…, así hasta el infinito.

Ejemplo de divisores:

Los divisores del “20” son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Según ciertos criterios, los NÚMEROS NEGATIVOS, se

aceptan como divisores o no de los números naturales; pero un NÚMERO DECIMAL, nunca se

acepta como divisor de un número natural.

Según ciertos criterios, a los NÚMEROS NEGATIVOS y

DECIMALES se les puede aplicar el concepto de ‘múltiplo’ o no.

ALGUNOS TRUCOS:

Para encontrar todos los múltiplos de un

número:

Multiplicando a ese número por todos los números

naturales.

Ejemplo: “Para encontrar los múltiplos del ‘7’,

multiplicamos el ‘7’ por todos los números naturales:

7x1 = 7; 7x2=14; 7x3=21…, así hasta el infinito.

Para saber si un número es múltiplo de otro:

Dividimos el número que queremos saber si es

múltiplo entre el otro (para ver si está en su

“tabla”).

Ejemplo: “Para saber si el número 5.739.024 es

múltiplo de ‘8’, dividimos ese número entre ‘8’:

5.739.024 : 8 = 717.378, y el resto es… ¡’0’!, por

tanto, como su división es exacta, ese número es

múltiplo de ‘8’.

Para encontrar todos los divisores de un número:

Dividimos el número dado entre los números naturales. Siempre y

cuando la división sea exacta, serán divisores de ese número tanto el

divisor como el cociente.

Además, siempre son divisores de un número el ‘1’ y él mismo.

Ejemplo: “Para encontrar los divisores del ‘18’, lo primero que sabemos

es que el ‘1’ y el ‘18’ son divisores. Luego lo vamos dividiendo entre ‘2’,

‘3’, ‘4’…, sucesivamente. Importante: solo llegamos hasta la mitad

menos 1 de ‘18’, o sea, hasta el ‘9’, ya que al hacer la división, si es

exacta, obtenemos dos divisores: el divisor y el cociente: “18:2=9”: son

divisores tanto el ‘2’ como el ‘9’; “18:3=6: son divisores tanto el ‘3’

como el ‘6’… Así sucesivamente. Divisores de ‘18’: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Para saber si un número es divisor de otro:

Simplemente hacemos la división del número dado entre el número

que queremos saber si es divisor (el mayor entre el menor).

Ejemplo: “Para saber si el ‘7’ es divisor el ‘126’, realizamos la división:

“126:7=18”, y el resto es ‘0’, por tanto, el ‘7’ es divisor de ‘126’.

ALGUNAS CONSIDERACIONES:

- Los múltiplos de un número son infinitos, pero los divisores son finitos.

- Todos los números comparten siempre un múltiplo y un divisor igual,

¿sabes cuál es? ÉL MISMO.

- El ‘0’ está considerado, por la mayoría de matemáticos, fuera de los

números naturales.

- Los divisores de un número también se llaman FACTORES PROPIOS.

DIVISORES PROPIOS:

Son todos los divisores de un número,

salvo él mismo.

Por ejemplo, los divisores del 24 son: 1,

2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Si quitamos él

mismo, nos quedan que los divisores

propios de ‘24’ son: 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12.

DIVISORES: Son todos los números naturales

que dividen a un número natural

con una división exacta.

MÚLTIPLOS:

Son todos los números

naturales que pertenecen a

la “tabla” de un número.

Los NÚMEROS NATURALES son todos los números enteros y positivos: 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7,…, hasta el infinito.

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2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Ejemplos:

m.c.m. (3 y 5) = 15. Para ello, primero calculamos los múltiplos de ‘3’ y ‘5’: - Múltiplos de ‘3’: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, …

- Múltiplos de ‘5’: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 58, …

Vemos cuáles tienen en común (iguales): 15, 30, 45,…De todos ellos

cogemos el menor: ‘15’.

mcm (3, 4, 6 y 15) = 60.

En este caso, tenemos muchos números. Escribir los múltiplos de cada uno sería tedioso. Vamos a ver un truco:

1º: Cogemos los múltiplos del número mayor: Múltiplos de 15 = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …

2º: Cogemos el siguiente número’6’: ¿Hay algún número de su tabla en los múltiplos de ‘15’? Los marcamos, porque son los únicos posibles: 30, 60, 90, 120…

3º: De los candidatos obtenidos, vemos cuáles son múltiplos de los siguientes números ‘3’ y ‘4’: el ‘30’ es múltiplo de ‘3’ pero no de ‘4’; el ‘60’ es múltiplo de ‘3’ y ‘4’, así que ese es.

M.C.M. (4 y 8) = 8.

En esta ocasión, como el ‘8’ es múltiplo de ‘4’, no tenemos más que buscar.

O sea, si un número es múltiplo de otro, su M.C.M. es el mayor de ellos.

MCM (7 y 13) = 91.

Ahora tenemos dos números primos. El MCM de dos números primos siempre

se calcula multiplicando a ambos: “7x13=91”.

OTRAS FORMAS DE CALCULARLO.

Existen varios métodos matemáticos para calcularlos, que en realidad son más eficaces y rápidos, sobre todo para números un poco “grandes”. Los dos métodos principales son:

► Método por DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. Este método es sencillo y el más eficaz y rápido. Lo explicamos en la

“Ampliación de contenidos”. (https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_enteros#Descomposici.C3.B3n_en_factores_primos).

► Conociendo el máximo común divisor de

dos números, se puede calcular el mínimo

común múltiplo de ellos, multiplicando ambos

números entre sí y dividiendo el resultado entre

su M.C.D.

Ejemplo: mcm (8 y 12): si sabemos que su MCD

= 4, entonces calculamos: (12x8):4 = 96:4 = 24.

Por tanto, el mcm (8 y 12) = 24.

* En la tabla adjunta tienes un cuadro para

encontrar el m.c.m. de distintos números.

►En esta página, puedes calcular el m.c.m. de hasta 3 números cualesquiera de forma automática:http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/minimo-multiplo-comun-tool.html

Es el múltiplo menor e igual de dos o más números naturales.

Lo expresaremos con la forma “mcm (a, b…) = …”.

En realidad, se pueden utilizar distintas siglas: m.c.m., mcm, M.C.M. o MCM.

El mcm se usa para sumar y restar

fracciones con distinto denominador:

el denominador común sería el mcm

de sus denominadores.

También para calcular el MCD,

y numerosos cálculos matemáticos

(problemas…).

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. 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Ejemplos:

M.C.D. (15 y 9) = 3. Para ello, primero calculamos los divisores de ambos: - Divisores de ‘15’: 1, 3, 5 y 15.

- Divisores de ‘9’: 1, 3 y 9.

Vemos cuáles tienen en común (iguales): 1 y 3. El mayor es ‘3’.

MCD (8, 20 y 30) = 2. Ahora vamos a probar una forma distinta. Solo calculamos los divisores de uno de ellos, ya que, como tienen que ser comunes, los demás también deberían tener sus divisores. Consejo: cogemos el que menos divisores creamos que tiene. - Divisores de ‘8’: 1, 2 y 8. Entonces, tiene que ser uno de esos números. Comprobamos que ‘8’, que es el mayor, no es divisor de alguno de los otros dos (20:8 no es exacta). Ahora con el siguiente, el ‘2’. Este sí es divisor, tanto de ‘20’ como de ’30’. Por tanto, MCD (8, 20 y 30) = 2.

mcd (40 y 29) = 1. En esta ocasión, tenemos un número primo. Si tenemos que calcular el MCD de varios números, y con que solo uno de ellos sea primo, entonces, su MCD será siempre ‘1’.

ALGUNAS CONSIDERACIONES:

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.

► Son dos o más números que solo tienen como divisor común el ‘1’ (y ‘-1’).

► Si tengo que calcular el MCD de dos o más números y, al menos, uno de ellos es primo, entonces todos ellos son PRIMOS ENTRE SÍ.

* En la tabla adjunta tienes un cuadro para

encontrar el m.c.m. de distintos números.

FORMAS DE CALCULARLO.

Búsqueda intuitiva de divisores comunes. Es el método que hemos visto. No es el método más eficaz, y solo es

rápido para números “pequeños”.

FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. Es el método más utilizado. Es fácil. Te lo explicamos en el “Ampliación”.

(Puedes consultarlo también en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=69CO9gjU-fE).

ALGORITMO DE EUCLIDES. Es un método muy eficaz. Fácil para números “pequeños” pero algo largo, aunque no es

difícil, para números más “grandes”. (Enlace con la explicación: https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides).

USANDO EL mcm. Si queremos saber el MCD (a, b), conociendo el mcm (a, b), es muy fácil. Simplemente

multiplicamos ambos números entre sí (a x b), y lo dividimos entre sus mcm. El resultado es el MCD.

Es el divisor mayor e igual de dos o más números naturales.

Lo expresaremos con la forma “MCD (a, b…) = …”.

En realidad, se pueden utilizar distintas siglas: M.C.D., MCD, m.c.d. o mcd.

También lo podemos definir así:

“Es el número natural mayor

que divide de forma exacta

a dos o más números”.

El MCD se usa para simplificar

fracciones.

También para calcular el mcm,

y numerosos cálculos

matemáticos (problemas…).

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4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

¿Para qué sirven los criterios de divisibilidad?

Nos ayudarán y harán más fácil la vida diaria y las tareas matemáticas:

- Nos ayudarán a calcular y a comprobar el m.c.m. y el M.C.D.

- Nos ayudarán a descomponer números.

- Nos ayudarán a buscar denominadores comunes en fracciones y a simplificar fracciones.

- Sabremos rápidamente si cualquier número es divisible entre los principales números naturales.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD MÁS COMUNES

Son los más utilizados y los más fáciles de comprobar (“¿Cuándo un número es divisible por …?”):

Nº CRITERIO DE DIVISIBILIDAD EJEMPLOS

2 Cuando el número termina en cifra ‘par’ (0, 2, 4, 6 u 8). 378: porque la última cifra (8) es par.

3 Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de ‘3’. 480: porque “4+ 8+ 0 = 12” es múltiplo de ‘3’.

4 Cuando el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de ‘4’ o cuando termina en doble cero (...00).

7.324: porque 24 es múltiplo de ‘4’. 8.200: porque termina en doble ‘00’.

5 Cuando su última cifra es ‘0’ o ‘5’. 485: porque acaba en ‘5’.

6 Cuando el número es divisible por ‘2’ y por ‘3’ (o sea, si acaba en cifra par y la suma de sus cifras es múltiplo de ‘3’).

5.346: porque acaba en cifra ‘par’ y la suma de sus cifras es múltiplo de ‘3’ (5+3+4+6=18).

9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (si las seguimos sumando hasta solo tener una cifra, esta será el ‘9’).

3.744: porque “3+7+4+4= 18” es múltiplo de ‘9’. Además, si seguimos sumando: “1+8=9”.

10 Cuando su última cifra es ‘0’. 470: termina en cifra ‘0’.

Cualquier número es divisible entre

‘1’.

Si divido cualquier número entre ‘1’,

siempre obtengo el mismo número.

Y si dividimos cualquier número

entre sí mismo, da ‘1’.

No se considera que el ‘0’ sea

divisor de ningún número, pero

cualquier número dividido entre ‘0’

da ‘0’.

Un número es divisible entre otro si su división es exacta.

Los criterios de divisibilidad nos dicen de forma rápida si un número es divisible entre

un número natural sencillo: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10…, y muchos más.

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TODOS LOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Vamos a ver los criterios de divisibilidad (“¿Cuándo un número es divisible por / entre …?”) más conocidos:

Nº CRITERIO DE DIVISIBILIDAD EJEMPLOS

2 Cuando el número termina en cifra ‘par’ (0, 2, 4, 6 u 8). 378: porque la última cifra (8) es par.

3 Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de ‘3’. 480: porque “4+ 8+ 0 = 12” es múltiplo de ‘3’.

4 Cuando el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de ‘4’ o cuando termina en doble cero (...00).

7.324: porque 24 es múltiplo de ‘4’.

8.200: porque termina en doble ‘00’.

5 Cuando su última cifra es ‘0’ o ‘5’. 485: porque acaba en ‘5’.

6 Cuando el número es divisible por ‘2’ y por ‘3’ (o sea, si acaba en cifra par y la suma de sus cifras es múltiplo de ‘3’).

5.346: porque acaba en cifra ‘par’ y la suma de sus cifras es múltiplo de ‘3’ (5+3+4+6=18).

7 Cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. Este proceso hay que repetirlo hasta que solo nos

quede una cifra.

8.358: la última cifra es ‘8’; lo multiplicamos por ‘2’ (8x2=16); lo restamos a las cifras restantes (835-

16=819). Repetimos el proceso (9x2=18); restamos (81-18=63). ‘63’ es múltiplo de “7”. Por tanto,

‘8.358’ es múltiplo de “7”.

8 Cuando el número formado por las ‘3’ últimas cifras es un

múltiplo de “8” (también si las 3 últimas cifras, o el número, las podemos dividir 3 veces seguidas entre ‘2’ de forma exacta, ya que 2x2x2=8).

27.280: porque ‘280’ es múltiplo de “8”. Además, “280:2=140”; “140:2=70”;

“70:2=35”; las tres divisiones son exactas.

9 Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (si las seguimos sumando hasta solo tener una cifra, esta será el ‘9’).

3.744: porque “3+7+4+4= 18” es múltiplo de ‘9’. Además, si seguimos sumando: “1+8=9”.

10 Cuando su última cifra es ‘0’. 470: termina en cifra ‘0’.

11

Cuando…: Sumando las cifras ‘impares’ por un lado y las ‘pares’ por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el

resultado es ‘0’ o un múltiplo de “11”, el número es divisible por “11”. Si el número tiene dos cifras iguales será múltiplo de “11” (ya que si las

restamos entre sí, también daría ‘0’).

42.702: porque “4+7+2=13” y “2+0=2” restados (13-2=11) es múltiplo de “11”.

66: porque las dos cifras son iguales. Además “6-6=0”.

12 Cuando el número es divisible por “3 “y “4”. 528: ver criterios “3” y “4”.

13 Cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por ‘9’ y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a ‘0’ o es

un múltiplo de “13”.

3.822: la última cifra es ‘2’; lo multiplicamos por ‘9’ (2x9=18); lo restamos a las cifras restantes (382-

18=364). Repetimos el proceso (4x9=36); restamos (36-36=0). Por tanto, ‘3.822’ es múltiplo de “13”.

14 Cuando es ‘par’ y divisible entre “7”. 14.546: es par y es divisible entre “7” (ver “7”).

15 Cuando es divisible entre “3” y “5”. 225: acaba en ‘5’ y la suma de sus cifras es múltiplo de “3” (2+2+5= 9).

17 Cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por ‘5’ y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a ‘0’ o es

un múltiplo de “17”.

2.142: la última cifra es ‘2’; lo multiplicamos por ‘5’ (2x5=10); lo restamos a las cifras restantes (214-

10=204). Repetimos el proceso (4x5=20); restamos (20-20=0). Por tanto, ‘2.142 es múltiplo de “17”.

18 Cuando es par y divisible por “9”: si es par y además la suma “consecutiva” de sus cifras es múltiplo de “9” (ya que “9x2=18”).

9.702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que es múltiplo de“9”.

20 Cuando sus dos últimas cifras son ‘ceros’ o múltiplos de “20”.

También si su última cifra es ‘0’ y la penúltima es ‘par’. 57.860: sus 2 últimas cifras son ‘60’, que es múltiplo

de “20” y, además, la última es ‘0’ y la penúltima ‘par’.

25 Cuandoacaba en ‘00’, ‘25’, ‘50’ o ‘75’ (múltiplos de “25”). 345.675: acaba en ‘75’ (múltiplo de “25”).

100 Cuando acaba en ‘00’. 905.800: acaba e ‘00’.

125 Cuando acaba en ‘000’ o múltiplo de “125” (250, 375, 500, 625, 750 o 875). 85.875: acaba en múltiplo de “125”.

200 Cuando acaba en “000” o múltiplo de “200” (400, 600, 800). O si acababa en “00” y su antepenúltima cifra es ‘par’.

56.800: acaba en múltiplo de “200”; o acaba en ‘00’ y su antepenúltima cifra es ‘par’.

1.000 Cuando acaba en “000”. 896.463.026.000: acaba en “000”.

Podríamos deducir otros Criterios de Divisibilidad bastante sencillos: “30”, “40”, “50”, “60”, “90”, “200”, “500”…

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5. NÚMEROS PRIMOS. Los números naturales se diferencian, según su divisibilidad, en:

- ‘UNO’: solo tiene ‘1’ divisor: el ‘1’ o él mismo, que también es el ‘1’.

- NÚMEROS PRIMOS: son aquellos números naturales que tienen solo 2 divisores: el ‘1’ y ellos mismos.

- NÚMEROS COMPUESTOS: aquellos que tienen 3 o más divisores: el ‘1’, ellos mismos y, al menos, otro divisor más.

ALGUNAS CURIOSIDADES y PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS PRIMOS y COMPUESTOS.

► Esta cita famosa resume su importancia: “Los matemáticos consideran a los números primos los números más importantes de todos, porque son los átomos de la matemática. Los números primos son los bloques de la construcción numérica, porque todos los otros números pueden ser creados multiplicando combinaciones de números primos”. Así es, cualquier número se calcula multiplicando números primos.

► Los números primos son muy estudiados desde la antigüedad. Los registros más antiguos datan de hace unos 20.000 años, del llamado “hueso de Ishango”. Hay numerosos datos sobre los números primos en todas las culturas antiguas: sumerios, babilonios, asirios, persas, egipcios, griegos, indios, chinos, aztecas, mayas, incas…

► Son muy utilizados en numerosas ciencias: matemáticas, física, química, ingeniería, aeronáutica, arquitectura, biología, economía, informática, seguridad…

Hueso de Ishango, hallado en Congo.

► Hasta el siglo XIX se consideraba al ‘1’ primo, pues es divisible entre ‘1’ y él mismo.

► Los únicos números compuestos que tienen 3 divisores son los cuadrados de los números primos (22 = 4; 32 = 9; 52 = 25; 72 = 49; 112 = 121…). El resto de números compuestos, tienen, al menos, 4 divisores.

►Todos los números primos que existen son impares, salvo el ‘2’. Ello implica que cualquier número primo, salvo el ‘2’ y el ’5’ poseen una de estas cifras: ‘1’, ‘3’, ‘7’ o ‘9’.

En relieve, los primos hasta el 100. Hay 25 números primos hasta el 100.

►Hay infinitos números primos. El primero en demostrar esta afirmación fue Euclides, hace unos 2300 años. Él partió de los números primos conocidos, y demostró que se pueden añadir infinitos números a esa lista. Si se multiplican entre sí todos los números primos de una lista y se le suma ‘1’, se obtiene un nuevo número, que bien es primo o si no es primo, tiene que ser divisible por un número primo, que no puede ser ninguno de los de la lista utilizada, ya que le hemos sumado ‘1’. Por tanto, obtenemos siempre, de una forma u otra, un nuevo número primo.

La fórmula correspondiente es: “Qa = (P1 x P2 x P3 x ... x Pn) + 1” Leonhard Euler (gran matemático del s. XVIII), averiguó algo increíble que demostraba de forma más fácil la infinidad de números primos, y permitió descubrir miles de ellos: “Todo número primo mayor que ‘2’ se puede calcular multiplicando un número natural por ‘4’ y sumándole o restándole ‘1’”. (Fórmula: 4n + 1 o bien 4n - 1).

Esta propiedad quiere decir que un número primo se puede expresar con esta fórmula, pero no que con esta fórmula siempre obtengamos un número primo. Además, demostró que todos los números primos que sean de la forma ‘4n-1’, se pueden

expresar como la suma de cuadrados perfectos. Por ejemplo: “13 = 22 + 32”.

►Teorema fundamental de la aritmética. Es muy aplicado en matemáticas y dice que “cualquier número natural, o es primo, o se puede expresar como el producto de números primos”. Esto se aplica en la DESCOMPOSICIÓN o FACTORIZACIÓN EN NÚMEROS PRIMOS. Por ejemplo, el número ‘20’ se puede expresar como: “2 x 2 x 5”.

►LA CONJETURA DE GOLDBACH. Christian Goldbach (1690-1764, Prusia), matemático e historiador de la Academia Imperial rusa, tutor de Pedro el Grande…, descubrió que: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”. Esta afirmación no solo no se ha podido confirmar, sino que se considera una de las más difíciles de comprobar. De todas formas, tranquilo, se cumple para todos los números hasta los trillones (1018).

Curioso: en el año 2000, Tony Faber ofreció un millón de dólares a quien demostrase esta conjetura. Nadie lo consiguió.

También descubrió que: “Todos los números impares se pueden obtener sumando tres números primos (salvo ‘3’ y ‘5’)” (Igualmente está por demostrar que se cumple siempre). Esta conjetura se realizó antes de excluir al ‘1’ como número primo. Con el ‘1’ podríamos obtener al ‘3’ y al ‘5’. Ejemplo: “13 = 5 + 5 + 3”.

NÚMEROS PRIMOS.

Solo tienen 2 divisores: el ‘1’ y él mismo.

UNO.

Solo tiene un divisor: el ‘1’.

NÚMEROS COMPUESTOS.

Tienen 3 o más divisores: el ‘1’, él mismo y, al menos, otro más.

Los ingleses y americanos tienen una

regla para recordarlos: “PRIME

PR = I & ME”. ¿Lo pillas?

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►Lema de Euclides. Si multiplicamos dos números enteros entre sí y un número primo es divisor de ese resultado, entonces ese número primos también es divisor de, al menos, uno de los números originales. (Así se redacta: “Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor de a o de b”).

►Pequeño teorema de Fermat. Si elevamos un número natural a un número cualquiera primos, y le restamos el mismo número natural, el resultado es divisible entre dicho número primo. (Así se redacta: “Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por p”).

►Existen más propiedades: Teorema de Wilson, Primer teorema de Sylow, Teorema de Cauchy, constante de Copeland-Erdős, El valor de la función zeta de Riemann,Diferencia entre dos números primos consecutivos, Hipótesis de Riemann, Postulado de Bertrand, numerosas aportaciones de Euler…

Los números primos hasta el 100.

Cicadaa faraona (Magicicada septendecim )

“¡HASTA LOS INSECTOS USAN LOS NÚMEROS PRIMOS!”

Hay muchas cigarras llamadas “periódicas”, que quiere decir que permanecen como ninfas varios años esperando a convertirse en adultas. La cicada faraona

(Magicicada septendecim), nativa de Estados Unidos y Canadá, tiene el ciclo vital más largo de los insectos. Sus ninfas esperan 17 años bajo tierra esperando

salir. Cuando salen en forma de cigarras adultas, lo invaden todo, y en unas semanas ponen los huevos y mueren. Los zoológos, intrigados, estudiaron el

porqué de un ciclo vital tan largo. Otra especie, la Magicicada tredecim tiene el ciclo vital de 13 años.

Si te has fijado, ambos son números primos, ¿casualidad? No. Se cree que lo hacen así para evitar a los parásitos que las matarían. Si estos parásitos tienen un ciclo vital de 2 años, solo coincidirían con ellas cada 34 años (17x2=34). Pero si los parásitos tuvieran un ciclo de 5 años, coincidirían con ellas cada ¡85 años! Esto permite que la especie se

multiplique y sobreviva a posibles ataques masivos de parásitos.

Incluso si los parásitos tuvieran un ciclo vital anual, solo podrían infectarlas cada 17 años, por lo que no se “acostumbrarían” a alimentarse de ellas.

Magicicada tredecim

¿SABÍAS QUE…?

- Se utilizan para cifrar códigos: lo utilizan desde los espías hasta los bancos para sus sistemas de seguridad y hasta para tus compras por internet. Se basan en distintas propiedades de los números primos, especialmente en su FACTORIZACIÓN. Descomponer un número muy grande en factores primos no es fácil. Por ejemplo, para compras en internet, crean un código (a modo de “cerradura”) con un número enorme, y para “abrirlo” se necesita los factores primos de ese número (“llave”).

La clave está en coger dos números primos muy grandes, multiplicarlos y obtener un número compuesto. Aunque se sepa el número compuesto, obtener los dos factores primos que lo han generado es muy, pero que muy difícil. Se necesitaría más de un año para que potentes ordenadores la encontrarán. Por eso, si tenemos un código con la clave (esos dos números primos tan largos), es muy difícil que nos la copien. Este sistema se utiliza en internet, cuentas bancarias… Se cambia periódicamente.

Máquina ‘Enigma’.

- Para ganar la 2ª Guerra Mundial. Una de las claves conocidas para la victoria contra los nazis fue crear la máquina (‘Ultra’)que

consiguió descifrar los mensajes alemanes de su máquina ‘Enigma’. Tanto para cifrar los mensajes, como para descifrarlos, eran

imprescindibles los números primos. El polaco Marian Rejewskidio los primeros pasos a partir de una máquina Enigma interceptada. En 1940,un grupo de matemáticos y otros expertos relacionados con la

criptografía, encabezados por Alan Turing, consiguieron crear la máquina ‘Ultra’, una especie de ordenador básico que consiguió descifrar mensajes alemanes, pero que mantuvieron en secreto.

Esto fue decisivo para poder ganar la guerra.

Máquina ‘Ultra’.

- ¿CUÁL ES EL NÚMERO PRIMO MÁS GRANDE QUE SE CONOCE? Hoy día, los potentes ordenadores permiten encontrar

números primos enormes. Utilizan, principalmente, la fórmula de los ‘Primos de Mersenne’ (forma 2p−1, donde p es primo). Si

bien, todos los números obtenidos con esta fórmula no son primos, se tienen muchas opciones de encontrarlos. Obtener

números es fácil, lo complicado es comprobar si son primos o no. A fecha, marzo de 206, el número primo más grande

conocido es 274207281, menos ‘1’. Este número tiene más 22 millones de cifras (22.338.618 exactamente).

¿Te has fijado que los números primos siempre están ‘al lado’ de un múltiplo de ‘6’?

LAS MATEMÁTICAS SON UN JUEGO. CEIP Manuel Siurot (La Palma del Condado).

¿CÓMO ENCONTRAR NÚMEROS PRIMOS? TESTS DE PRIMALIDAD.

Desde tiempos remotos, los matemáticos han buscado formas de ver si un número es primo, o de buscar números primos. A estos métodos se les llama “Tests de primalidad” o “Chequeo de Primalidad”.

Los métodos más conocidos, usados y fáciles son:

1.CRIBA DE ERATÓSTENES.

Sin duda es el método más fácil y conocido, a pesar de tener ya unos ¡¡2300 años!! (Fue creado por Eratóstenes de Cirene, un matemático griego del siglo III a. C.).Este método permite encontrar todos los números primos entre el ‘1’ y otro número cualquiera. Es útil para números pequeños, por ejemplo, del 1 al 100.

Método: imaginemos que queremos encontrar todos los números primos hasta el ‘100’. Se realiza una tabla con todos los números naturales hasta el ‘100’. Se empieza por el ‘2’. Como el ‘2’ es primo, se marca, y se tachan todos sus múltiplos (4, 6, 8, 10…). El primer número no tachado también será primo. Ese número es el ‘3’, y se marca. Se tachan todos sus múltiplos (6, 9, 12…). El siguiente número no tachado también será primo. Ese es el ‘5’, y se marca. Se tachan todos sus múltiplos (10, 15…). Así sucesivamente.

CRIBA DE ERATÓSTENES.

* Existen otros métodos más modernos:

2. Criba de Atkin. Es más compleja, pero más útil para números “grandes”.

3.Criba de Sundaram, genera todos los números compuestos existentes.

4. “DIVISIÓN POR TENTATIVA”. Es un método rápido y fácil, siempre y cuando no sean números muy grandes. Para ello, vemos si el número en cuestión tiene algún divisor. Para ello dividimos ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Es primo si ninguna división entre esos números es exacta.

5. División entre los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13…Este método es el más fácil y rápido (en este método se basa

la Criba de Eratóstenes). Se puede hacer mentalmente. Es válido para números menores de 100. A partir de ahí, tendríamos

dificultades.

NÚMEROS PRIMOS HASTA EL 1.000.

De todas formas, te mostramos los 168 números primos, hasta el

1.000, existentes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,

113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,

193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269,

271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353,

359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439,

443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523,

541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617,

619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709,

719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811,

821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907,

911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 y 997.

Los primos más cercanos a 10000 son 9991 y 10003

Pincha aquí para conocer los ¡¡10.000!! primeros números primos, casi hasta el 105.000.

(http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/10000_primos.htm)

También puedes descargarte, e imprimir si quieres, este bonito póster de los números primos.

(http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/primos-poster.pdf)

CURIOSIDADES.

Los números primos tienen multitud de utilidades, incluso para los nudos (teoría de nudos). Un nudo es primo cuando no se puede

descomponer en dos nudos más pequeños. Te mostramos algunos:

LAS MATEMÁTICAS SON UN JUEGO. CEIP Manuel Siurot (La Palma del Condado).

PRINCIPALES TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS.

o NÚMEROS OMIRP.

Son números primos no capicúas(palíndromos) que al escribir sus cifras en orden inverso dan lugar a otro número primo

(de ahí proviene su nombre, escrito de forma inversa a “primo”).

Ejemplos:

De dos cifras: 13/31; 17/71; 37/73; 79/97.

De tres cifras: 107/701; 113/311; 149/941; 157/751; 167/761; 179/971; 199/991; 337/733; 347/743;

359/953; 389/983; 709/907; 739/937; 769/967.

De cuatro cifras: 1009/9001; 1021/1201; 1031/1301; 1033/3301; 1061/1601; 1069/9601; 1091/1901;

1097/7901; 1103/3011; 1109/9011; 1151/1511; 1153/3511; 1181/1811; 1193/3911 …

o NÚMEROS PRIMOS GEMELOS.

Son dos números primos que se diferencian en dos unidades, o sea son dos números impares seguidos que son primos.

Ejemplos: Hay 35 parejas hasta el 1.000.No se sabe si son infinitos.

De dos cifras (8 parejas): (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) y (71, 73).

De tres cifras (27 parejas):(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859) y (881, 883).

* Hay una pareja muy especial (2, 3), son primos correlativos, se nos ocurre llamarlos PRIMOS GEMELOS SIAMESES.

o NÚMEROS SEMIPRIMOS o BIPRIMOS.

Son números naturales que son el producto de dos números primos, iguales o distintos.

Ejemplos: son infinitos, basta con multiplicar dos números primos, y el resultado será un semiprimo.

Los semiprimos menores que 100 son:4 (2x2),6 (2x3), 9(3x3), 10 (2x5), 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51,

55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77,82, 85, 86, 87, 91, 93, 94 y 95.

Los semiprimos que no son cuadrados perfectos se denominan PRIMOS DISCRETOS, o simplemente semiprimos. O sea, todos

menos 25, 49, 91…

o NÚMEROS SEMIPRIMOS o BIPRIMOS.

Son dos números naturales que son primos entre sí (su MCD = 1). Para ello, no pueden tener ningún divisor en común, o

lo que es lo mismo, si el único divisor que tienen es común es ‘1’ y ‘-1’. O sea, si su Máximo Común Divisor (M.C.D.) es ‘1’. Hay

muchísimos números que cumplen esta circunstancia. Ambos números por separados no tienen porqué ser primos. También

podría aplicarse a más de dos números entre sí.

Ejemplos: 9 y 16; 14 y 81; 55 y 63; 3.456 y 3.457; etc.

Comprobación: Divisores del “9”: 1, 3, 9. Divisores del 16: 1, 2, 4, 8, 16. Solo tienen en común el “1”.

Con el algoritmo de Euclides (para calcular el M.C.D. de dos o más números) se puede comprobar rápidamente si dos o más números son coprimos. M.C.D. (6,27) = 1.

Otras características y propiedades, de las muchas que hay, son:

- Si dos números son coprimos (llamémosles “a” y “b”), entonces existen dos números enteros (llamémosles “x” e “y”) con los que se cumple que: “a · x + b · y = 1”. (A esto se le llama Identidad de Bezout).

- Dos números consecutivos siempre son coprimos.

- El MCD de dos números coprimos siempre es ‘1’.

- La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean primos entre sí es igual a 6/π² (un poco más del 50%).

Si representamos en un eje de coordenadas a dos números y trazamos una línea desde el origen (0,0) hasta

el punto (a,b) y no intersecta ninguno de sus puntos, entonces “a” y “b” son coprimos.

Por ejemplo 4 y 9 (ver imagen).

- Dos números naturales “a” y “b” son primos entre sí, si y sólo si, los números 2a-1 y 2b-1 son primos entre sí.

- SI DOS NÚMEROS NO SON PRIMOS ENTRE SÍ, ENTONCES PODEMOS DECIR QUE SON COMPUESTOS ENTRE SÍ.

LAS MATEMÁTICAS SON UN JUEGO. CEIP Manuel Siurot (La Palma del Condado).

o NÚMEROS PRIMOS DE MERSENNE.

Son números que cumplen con la igualdad: ‘2n-1 = número primo’. Todos los números primos que puedan ser ‘n’ serán

primos de Mersenne.

Se conocen 49 números de Mersenne, aunque no se sabe si hay más.

Los primeros de la lista son: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423,

9689, 9941, 11.213, 19.937, 21.701, 23.209, 44.497, 86.243… (así hasta 49 números conocidos). Imagínate que potencias

de ‘2’ tan increíbles surgen de estos números primos. Los últimos números de la lista solo han podido ser descubiertos con

potentes ordenadores.

Ejemplos: ‘n=2’ 22-1 = 3; ‘n=5’ 25-1 = 31; ‘n=7’ 27-1 = 127 …

Esta afirmación no se cumple en todos los casos. Por ejemplo, para ‘n=11’ 211-1 = 2047, no es un número primo, porque es divisible entre 23 y 89.

* Nota: los descubrió el monje “matemático” francés MarinMersenne(1588-1648)

o NÚMEROS PRIMOS CAPICÚAS.

Sonnúmeros primos que además son capicúas.

La lista de números primos y capicúas es la siguiente: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181,

191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311,

11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061,

16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181,…

Hay más tipos de números primos, pero con formas más complejas de formularlos: Números primos de Fermat, Número

primo de Sophie Germain, Número primo de Wagstaff, números primos de Euclides, Primo de Solinas, Espiral de Ulam…

NÚMEROS PRIMOS MUY CURIOSOS.

o NÚMERO PRIMO de BELFEGOR.

Belfegor es un demonio que seduce a las personas ofreciéndoles inventos ingeniosos que

supuestamente les proporcionarán riquezas.

Hay un número primo muy especial que lleva su nombre ‘primo de Belfegor’. El físico Cliff

Pickover habla de este primo en una entrada en su web. Es el número:

1000000000000066600000000000001

que es un primo palindrómico -capicúa- con el número del diablo 666 colocado … ¡entre dos

parejas de 13 ceros!, y un ‘1’ al principio y al final.

¿SABÍAS QUE… en realidad el número del Diablo es el ‘616’?, lo que ocurrió que hace siglos hubo un error en su transcripción y ya se ha quedado en el ‘666’.

o UN NÚMERO PRIMO MUY SIMPÁTICO.

Te presentamos un número primo capicúa increíble: está formado por ¡¡99 cifras!!,solo con el ‘2’ y el ‘7’, y alternándolos:

727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727

o “RIZANDO EL RIZO”.

Si aún no estás con la boca abierta, prueba a conocer este número: 1808010808repetido 1560 veces y añadiendo un ‘1’

al final… ¡¡¡ES PRIMO!!! Además, es CAPICÚA y, por si fuera poco, también es un NUMERO ESPEJO (reflejado arriba-abajo).

O sea, se lee igual de derecha a izquierda o de arriba abajo. Sin palabras.

Si quieres conocer más números primos increíbles, entra en este blog: Nice Prime!

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TE MOSTRAMOS MÁS NÚMEROS PRIMOS CURIOSOS.

► El número 23456789, que tienen todas sus cifras consecutivas, pero en lugar de empezar en el ‘1’, empieza en el ‘2’.

► El número 9999999900000001. Se trata de ocho ‘9’, siete ‘0’ y un ‘1’ (ocho menos siete igual a uno).

► El número 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996469

es primo y tiene 100 cifras.

► Fíjate qué número primo: 1000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000001 1800000008 0101811009 0001181010 8000000081 1000000000

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

0000000000 0000000001.

► El número 7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

77777777777777777777777777777777777777722277777777777777777777. ¿Son todos ‘7’? Busca los ‘tres patitos’ (‘222’).

► Hay un número primo que tiene exactamente 1.000 cifras y son todas ‘9’, salvo sus últimos cuatro dígitos que son: ‘8231’.

► Hay un número primo que todos sus números son ‘9’, excepto por un ‘2’ en el medio, y tiene ¡¡5749 dígitos!!

► El número 1010101010101010101010101010101010101 es el resultado de la multiplicación de dos números primos.

► 317 números ‘1’ seguidos conforman al primo:

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 .

► Y por último, un primo capicúa que tiene sus dígitos en orden decreciente casi perfecto: 987646789.

BIBLIOGRAFÍA.

“El secreto de los números primos”.

“La soledad de los números primos”.

“La música de los números primos”.

“El misterio de los números primos”.

“El enigma de Fermat”.

Autor: José C. del Valle. Autor: Paolo Giordano Autor: Marcus du Sautoy Varios autores. Autor: Simon Singh.

EN LA WEB:

- Aquí encontrarás unos vídeos muy interesantes: http://matemalabo.blogspot.com.es/2013/01/curiosidades-numeros-y-numeros-primos.html

- Aquí encontrarás curiosidades que te gustarán: http://pinux.info/primos/curiosidades.html .

- En esta página no tienen sección específica sobre números primos, pero tienen multitud de artículos muy interesantes. Navega en su web a partir de esta dirección: https://ztfnews.wordpress.com/2012/07/21/simpatico-primo/

- Para conocer números primos muy curiosos: http://www.walkingrandomly.com/?p=4360

- Wikipedia (Profundiza mucho, pero está genial para un nivel avanzado): https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo.

- Información variada, sencilla y asequible: http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/primos-compuestos.html.

- Página con interesantes curiosidades: http://www.hispamates.com/blog/entry/los-numeros-primos-y-algunas-curiosidades-sobre-ellos.

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6. ANEXO: NÚMEROS MULTIPLICATIVOS Y PARTITIVOS. Con estos nombres vamos a designar a palabras que indican múltiplos y divisores. Vamos a verlo en la práctica:

- NUMERALES MÚLTIPLOS o MULTIPLICATIVOS:

doble, triple, cuádruple, quíntuple, séxtuple…, así sucesivamente.

- NUMERALES PARTITIVOS: serán la mitad, el tercio, el

cuarto, el quinto…, así sucesivamente.

Veamos en una tabla cómo podemos calcularlos:

MULTIPLICATIVO Forma numeral(ejemplo). PARTITIVO Forma numeral

Multiplicar x 2 DOBLE (duplo/pla) (2x4=8). Dividir: 2 MITAD (media parte) (8:2=4).

Multiplicar x 3 TRIPLE (triplo/pla)(3x4=12). Dividir: 3 TERCIO (tercera parte) (12:3=4).

Multiplicar x 4 CUÁDRUPLE (cuádruplo/pla) (4x4=16). Dividir: 4 CUARTO (cuarta parte) (16:4=4).

Multiplicar x 5 QUÍNTUPLE (quíntuplo/pla) (5x4=20). Dividir: 5 QUINTO (quinta parte)(20:5=4).

Multiplicar x 6 SEXTUPLE (sextuplo/pla) (6x4=24). Dividir: 6 SEXTO-SEISAVO (6ª parte) (24:6=4).

Multiplicar x 7 SEPTUPLE (septuplo/pla) (7x4=28). Dividir: 7 SÉPTIMO-SEPTENO (7ª parte) (28:7=4).

Multiplicar x 8 OCTUPLE (octuplo/pla) (8x4=32). Dividir: 8 OCTAVO (octava parte) (32:8=4).

Multiplicar x 9 NÓNUPLO/PLA (9x4=36). Dividir: 9 NOVENO (novena parte) (36:9=4).

Multiplicar x 10 DÉCUPLO/PLA (10x4=40). Dividir: 10 DÉCIMO (décima parte) (40:10=4).

Multiplicar x 11 UNDÉCUPLO/PLA (11x4=44). Dividir: 11 ONCEAVO-ONZAVO (undécima) (28:7=4).

Multiplicar x 12 DUODÉCUPLO/PLA (12x4=48). Dividir: 12 DOCEAVO-DOZAVO (duodécima) (28:7=4).

Multiplicar x 13 TERCIODÉCUPLO/PLA (13x4=52). Dividir: 13 TRECEAVO-TREZAVO (13ª parte) (28:7=4).

Multiplicar x 100 CÉNTUPLO/PLA (100x4=400). Dividir: 100 CENTÉSIMO (centésima parte)(400:10=4).

RELACIÓN CON LA LENGUA:

- Se forman usando los sufijos “-ble”, “-ple”, “-tuple”, “-uplo/-upla”, “-cuplo/cupla”.

- Existe una palabra que los engloba a todos de forma genérica: “múltiple”.

- También su utilizan palabras derivadas: “doble: doblete”, “triple: triplete”…

- En lenguaje culto, a veces se utilizan las formas: “dúplice” y “tríplice”.

- Fíjate que los NÚMEROS PARTITIVOS utilizan la misma forma que la fracción que les corresponde (salvo ‘mitad’

en lugar de ‘medio’).Este término coindice con el del determinante numeral ordinal del “3” al “10”.

- Otra opción es utilizar el término del determinante numeral ordinal que les corresponde (salvo en

‘mitad/media’) más la palabra “parte”: cuarta parte…

- Todas las formas admiten cambios de número (singular y plural), pero sólo algunas admiten cambio de género (masculino y femenino): “doble-dobles”.

- ADJETIVOS: los multiplicativos actúan como adjetivos en numerosas ocasiones: “Comeré una hamburguesa doble”; sin embargo, los partitivos no suelen usarse como adjetivos: “Comeré un tercio de hamburguesa”.

- También pueden funcionar como SUSTANTIVOS: “Comeré el doble”; “Comeré la mitad”.

- Son muy usados en comparaciones: “Yo como el doble que tú”; “Tú comes la mitad que yo...”

- Lo podemos sustituir por la forma “……. Veces”: “Cogí el triple de lechuga”, por “Cogí tres veces más de lechuga”.

Recuerda que existen otros tipos de numerales: - NUMERALES CARDINALES: forman la serie de

números naturales: un/uno, dos, tres… - NUMERALES ORDINALES: informan sobre el orden en una serie: primer/primero, segundo, tercer/tercero… Pueden funcionar como sustantivos o determinantes

numerales.

Los partitivos son en realidad FRACCIONES.

Por ejemplo, calcular el cuarto de 60 es lo

mismo que calcular 𝟏

𝟒de 60.

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AMPLIACIÓN.

PREFIJOS USADOS COMO MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS.

Se trata de prefijos, utilizados en lengua, que sirven para construir múltiplos y submúltiplos y divisores de magnitudes de

medida del S.I. (Sistema Internacional de Medidas). Estos son los oficiales:

Prefijo Significado Valor Símbolo Ejemplos

YOTTA- x 1.000.000.000.000.000.000.000.000 (un cuatrillón)

1024 Y Yottajulio (el Sol emite en 1 segundo unos 400 Yj)…

ZETTA- x 1.000.000.000.000.000.000.000 (mil trillones)

1021 Z Zettametro (radio estimado de la Vía Láctea = 1 Zm)…

EXA- x 1.000.000.000.000.000.000(un trillón)

1018 E Exasegundo (edad estimada el Universo 0,43 Es)…

PETA- x 1.000.000.000.000.000(mil billones) 1015 P Petametro (1 año luz equivale a 9.454 Pm)…

TERA- x 1.000.000.000.000(un billón) 1012 T Terabyte, terámetro (la distancia del Sol a Júpiter es 0,8 Tm)…

GIGA- x 1.000.000.000 (mil millones) 109 G Gigabyte, gigavatio, gigasegundo…

MEGA- x 1.000.000 (un millón) 106 M Megabyte, megavatio, megasegundo (poco usado)…

KILO- x 1.000 103 K / k Kilómetro, kilolitro, kilogramo, kilovatio, kilocaloría, kilopondio…

HECTO- x 100 102 H / h Hectómetro (100 metros), hectolitro, hectogramo, hectaedro…

DECA- x 10 101 Da / da Decámetro (10 metros), decalitro, decagramo, decaedro…

- x 1 (o :1). UNO o UNIDAD 100 - Metro, litro, gramo, vatio, caloría, byte, segundo…

Deci- x 0,1 (o :10) 10-1 d Decímetro (10 cm son 1 metro), decigramo, decibelio…

Centi- x 0,01 (o :100) 10-2 c Centímetro, centilitro, centigramo, centiárea, centígrado…

Mili- x 0,001 (o :1.000) 10-3 m Milímetro, mililitro, miligramo, milisegundo…

Micro- x 0,000001 (o : un millón) 10-6 µ Microfaradio, micrómetro (grosor de un hilo de seda 10 µm)…

Nano- x 0,000000001 (o : mil millones) 10-9 n Nanómetro (el radio del átomo de cloro mide aprox. 0,1 nm)

Pico- x 0,000000000001 (o : un billón) 10-12 p Picogramo (una bacteria unicelular pesa aprox. 1 pg)…

Femto- x 0,000000000000001 (o : mil billones)

10-15 f Femtómetro (el radio de un protón mide aprox. 1 fm)…

Atto- x 0,000000000000000001 (o : un trillón)

10-18 a Attosegundo (la luz tarda en atravesar un átomo 1 as)…

Zepto- x 0,000000000000000000001 (o : mil trillones)

10-21 z Zeptomol (para masa de átomos y moléculas)…

Yocto- x 0,000000000000000000000001 (o : un cuatrillón)

10-24 y Yoctogramo (un protón o neutrón pesa unos 1,7 yg)…

Consulta más información en Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Prefijos_del_Sistema_Internacional

OBSERVACIONES:

- El prefijo “miria-“ (miriámetro: 10.000 metros) no se utiliza en el S.I.

- En lugar de megagramo, se utiliza la tonelada (1.000 kilos).

- Para continuar los múltiplos tras ‘yotta-‘, se han propuesto, entre otros, los términos: ‘xenta’, ‘xona’ y ‘novetta’ (serían ‘mil

cuatrillones’).

- Existen muchos más prefijos relacionados con múltiplos y divisores, pero forman parte de la lengua y no están en el S.I.:

“semi-“, “hemi-“ (mitad); “mono-“ (uno); “bi-“, “di-“ (dos); “tri-“ (tres); “poli-“ (varios); etc.

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UN CASO ESPECIAL Y MUY USADO: LA INFORMÁTICA.

Los múltiplos de la unidad son habituales en el

ámbito de los computadores, siendo empleados en la

información y unidades de almacenamiento

tipo bit y byte.

Siendo 210 = 1024 y 103 = 1000, los prefijos del SI se

emplean siguiendo la ley de los prefijos binarios, como se

observa en las siguientes líneas.

k = 210 = 1 024

M = 220 = 1 048 576

G = 230 = 1 073 741 824

T = 240 = 1 099 511 627 776

P = 250 = 1 125 899 906 842 624

De todas formas, estos prefijos mantienen el significado

de las potencias de 1000 cuando de lo que se trata es de

expresar la velocidad de la transmisión de datos

(cantidad de bits): la red Ethernet de 10 Mbit/s es capaz

de transmitir 10 000 000 bit/s, y no 10 485 760 bit/s. El

problema se acrecienta por no ser las unidades de

información bit y byte unidades del SI. En el SI el bit, el

byte, el octeto, el baudio o la cantidad de signos se

darían en hercios. Aunque es más claro emplear "bit"

para el bit y "b" para el byte, a menudo se emplea "b"

para el bit y "B" para el byte (en el SI, B es la unidad del

belio, siendo la del decibelio dB).

Unidades de información (del byte)

Sistema Internacional (decimal)

ISO/IEC 80000-13 (binario)

Múltiplo (símbolo) SI Múltiplo (símbolo)

ISO/IEC

kilobyte (kB) 103 kibibyte (KiB) 210

megabyte (MB) 106 mebibyte(MiB) 220

gigabyte (GB) 109 gibibyte(GiB) 230

terabyte (TB) 1012 tebibyte (TiB) 240

petabyte (PB) 1015 pebibyte(PiB) 250

exabyte (EB) 1018 exbibyte(EiB) 260

zettabyte (ZB) 1021 zebibyte(ZiB) 270

yottabyte (YB) 1024 yobibyte(YiB) 280

Véase también: nibble • byte • sistema octal

De esta forma, la Comisión Electrotécnica Internacional (International ElectrotechnicalCommission —IEC—)eligió

nuevos prefijos binarios en 1998, que consisten en colocar un 'bi' tras la primera sílaba del prefijo decimal (siendo el símbolo

binario como el decimal más una 'i'). Por lo tanto, ahora un kilobyte (1 kB) son 1000 byte, y un kibibyte=(1 KiB)= 210 bytes =

1024 octetos o bytes. De la misma forma, un mebibyte= MiB= 220bytes, un gibibyte= 1 GiB= 230bytes, tebi (Ti; 240), pebi (Pi;

250) y exbi (Ei; 260). Aunque el estándar del IEC nada diga al respecto, los siguientes prefijos alcanzarían hasta zebi (Zi; 270) y

yobi (Yi; 280). Hasta el momento el empleo de estos últimos ha sido muy escaso.

* Fuente: información copiada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Prefijos_del_Sistema_Internacional

¿EL BIT DARÁ PASO AL CUBIT? Hoy día se están desarrollando y perfeccionando ORDENADORES CUÁNTICOS. Se ha conseguido un ordenador cuántico de 12 cubits que funcione correctamente. Este tendría la capacidad de un ordenador de hace unos 50 años. Se dice que un

ordenador de 60 cubits, que funcionase correctamente, tendría mayor capacidad de almacenamiento que todos los ordenadores existentes juntos.

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DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS. Descomponer en factores primos es muy fácil. Solo tienes que dividir un número, entre todos los números primos

que sea divisible, sucesivamente, hasta que el resultado sea ‘1’. Para ello, prueba con los primeros números primos: ‘2’,

‘3’, ‘5’…, eso sí, puedes utilizar cada uno las veces que lo necesites.

Luego, expresa el número mediante los factores (divisores) que lo componen. Cuando tengas factores repetidos,

como se multiplican entre sí, exprésalos en forma de potencia.

Mira estos ejemplos, con distintas formas de hacerlo, son muy ilustrativos:

Los ejemplos de la izquierda se

expresarían:

120 = 23 · 3 · 5

45 = 32 · 5

70 = 2 · 5 · 7

Esta sería otra forma de hacerlo:

Para más información, te dejamos algunos enlaces:

- Aquí lo explican paso a paso: http://www.aulafacil.com/cursos/l10652/ciencia/matematicas/matematicas-basica-divisibilidad-y-numeros-primos/descomponer-un-numero-en-factores-primos

- En esta página está aún más claro: http://www.portaleducativo.net/quinto-basico/773/factores-primos

- También puedes verlo en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=G3qUmqCF0YE

CÁLCULO DEL mcm y DEL MCD MEDIANTE LA DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.

mcm MCD

Se calcula multiplicando todos los factores comunes y no

comunes elevados a la mayor potencia.

Ejemplo: mcm (120, 45 y 70) = 2.520.

- El factor repetido en los tres es el ‘5’, y está elevado solo

a ‘1’.

- Los factores no repetidos son el ‘2’ (la mayor potencia es

23), el ‘3’ (la mayor potencia es 32) y el ‘7’.

Por tanto, habrá que multiplicar: 5 x 23 x 32 x 7 = 2520.

Se calcula multiplicando los factores comunes elevados

a la menor potencia.

Ejemplo: MCD (120, 45 y 70) = 5.

- El único factor común es el ‘5’, y la menor potencia a la

que está elevado es a ‘1’. Por tanto, será ‘5’.

Ejemplo: MCD (32 y 68) = 4.

- Tienen repetido el factor ‘2’, elevado a ‘2’. Entonces

será: 22 = 4. Ese será el MCD.

Puedes verlo en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=n-KFb-iRA3s

Puedes verlo en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=69CO9gjU-fE

Otro ejemplo:

Otro ejemplo:

LAS MATEMÁTICAS SON UN JUEGO. CEIP Manuel Siurot (La Palma del Condado).

“WEBGRAFÍA”.

Te mostramos una serie de páginas web y vídeos en internet (youtube…) con más información sobre los

contenidos tratados en este bloque. Muchos enlaces los hemos visto en los apartados que conforman este bloque

de contenidos:

Descripción del enlace Enlace Nivel de Primaria para el

que lo recomendamos

PÁGINAS WEB

Página con información, actividades interactivas, enlaces, y

vídeos explicativos:

https://luisamariaarias.wordpress.com/m

atematicas/tema-4-multiplos-y-divisores/

2º y 3er ciclo.

Documento en pdf donde explican los múltiplos y divisores,

números primos y compuestos, y muchos aspectos

interesantes sobre este contenido. También incluye

actividades para practicar:

http://recursostic.educacion.es/descartes

/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_

multiplos_y_divisores/1quincena2.pdf

2º y 3er ciclo.

“Disfruta las matemáticas” es una página donde se explican

de forma clara y amena los principales contenidos de las

matemáticas.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/

numeros/minimo-multiplo-comun.html 2º y 3er ciclo.

VÍDEOS

MÚLTIPLOS y DIVISORES: con animaciones para niños muy

claro, atractivo y motivador.

https://www.youtube.com/watch?v=YW_

04Esg4QQ 2º ciclo.

Explicando múltiplos, divisores, números primos… con piezas

de Lego.

https://www.youtube.com/watch?v=owC

gyHbCF1c 2º y 3er ciclo.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. https://www.youtube.com/watch?v=1bfcw

Np6Etg 2º y 3er ciclo.

Dos alumnos de Primaria nos explican qué son los NÚMEROS

PRIMOS, los MÚLTIPLOS y otros contenidos.

https://www.youtube.com/watch?v=kpRX

ZYGRkTg 2º y 3er ciclo.

NÚMEROS PRIMOS. Muy interesante. Tienes partes básicas y

otras más avanzadas, pero abordadas de forma básica.

https://www.youtube.com/watch?v=2a52

rKpHGT8 3er ciclo.

NÚMEROS PRIMOS: CRIBA DE ERATÓSTENES. Conócela de

forma sencilla.

https://www.youtube.com/watch?v=zTXbj0

S47Q8 3er ciclo.

Vídeo sobre el DOBLE o la MITAD de un número. https://www.youtube.com/watch?v=XLF6

nN-11cA 1er y 2º ciclo.

NÚMEROS MULTIPLICATIVOS Y PARTITIVOS. https://www.youtube.com/watch?v=fk0Pj

m0uVIw 3er ciclo.