Espalhamento Raman

Dinâmica de átomos em cristais: fônons

prop. físicaselétrons

mov. dos átomos

veloc. do som, prop. térmicas

calor específico, dilatação térmica, condutividade térmica(semicond. e isolantes)

Aproximação adiabática (Born & Oppenheimer):

mov. elétrons = mov. caroço(+ rápidos) (+ lentos)

x (0,0,0)

n-ésima célula unitária

átomo

r

rn=n1a1+n2a2+n3a3

rn=rn+r

un

O potencial

Energia total do cristal depende da posição do caroço

O potencial

Expansão em série de Taylor:

Termos lineares 0 (em torno da posição de equil.)

Eq. acima generaliza o pot. de oscilador harmônico para várias partículas

Aproximação harmônica

O potencial

(const. de acoplamento)

Força no at. na célula n e direção i, quando at. na célula m e direção j se move de umj

Num cristal, a invariância de translação implica em:

As equações de movimento

Força total = 0

N cel. unitáriasr at. na célula 3rN eq. dif. acopladas

Para sist. periódicos desacoplamento

uni onda plana

(Ansatz)

(só é definida nos ptos da rede rn)

As equações de movimento

Substituindo na eq. anterior:

(matriz dinâmica)

Então:

(sist. linear homogêneo de ordem 3r)

As equações de movimento

Rede primitiva: r=1 (1 átomo), i. e., para cada q temos 3 eq. para resolver, graças a simetria translacional

Só tem solução se:

Para cada q: 3r soluções diferentes para (q)

(q) relação de dispersão (3r ramos)

A cadeia linear diatômica

Modelo:

n nn-1 n+1 n+1

a

f f f f

Lembrando:

, : 1 ou 2i : só um valor (linear), podemos desprezarm: n+1, n ou n-1 (Só interação 1os. vizinhos)

A cadeia linear diatômica

Então neste caso:

Onde as constantes de acoplamento são:

A cadeia linear diatômica

Então:

Ansatz (ondas planas):

A cadeia linear diatômica

Substituindo nas eq. anteriores:

A cadeia linear diatômica

A matriz dinâmica fica:

E o determinante secular fica:

A cadeia linear diatômica

Fazendo Det=0 obtemos a relação de dispersão:

A qual é periódica para:

Para uma rede qualquer vale:

Portanto:

e

Curvas de dispersão

http://www.personal.psu.edu/pce3/images/phonon_dispersion.gif

/a /a

(2f / M1)1/2

(2f / M2)1/2

(2f /)1/2

1a. Zona de Brilluoin

ramo óptico

ramo acústico

Modos acústicos e ópticos

acústico

óptico

Rede bidimensional quadrada

Interações até 2os. vizinhos

Matriz dinâmica:

f2 f112

3 5

84

7

6

0

Rede quadrada:

i, j x, y, só 1 átomo podemos desprezarm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (1os. e 2os. vizinhos)

Em nosso caso:

f2 f112

3 5

84

7

6

0

fn

0

n

ê

u(n)

u(0)

Fn = -fn{ê.[u(0) - u(n)]} ê

Supondo a força como:

As const. de acoplamento

Lembrando:

Força no at. na célula n e direção i, quando at. na célula m e direção j se move de umj

Voltando:

Então:

f2 f112

3 5

84

7

6

0

Lembrando também que:

Temos:

Da mesma maneira podemos calcular os outros termos !

E o determinante secular fica:

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Brillouin_zone.svg

zona de Brillouin

1a. zona de Brillouin

Alguns pontos e direções de alta simetria

XX

RR

qy

qx

2/a

Pontos e direções de alta simetria

Ao longo da linha , onde :

Em soluções para iguais a zero, em R iguais a (4f1/M)1/2

XX

RR

qy

qx

2/a

Pontos e direções de alta simetria

Ao longo da linha , onde qx = q e qy = 0 :

Em soluções para iguais a zero, em X iguais a [4(f1+f2)/M]1/2

e (4 f2 /M)1/2

XX

RR

qy

qx

2/a

Dispersão rede quadrada

XX

RR

qy

qx

2/a

(4f1/M)1/2

X

T

q

freqüênci

a

L

[4(f1+f

2)/M]1/2

(4f2/M)1/2

T

L

freqüênci

a

q

max. se f1<4f2

1a. zona de Brillouin - FCC

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Fcc_brillouin.png

Dispersão de fônons para o BN cúbico

http://wolf.ifj.edu.pl/phonon/Public/refer/bn.gif

Dispersão de fônons para o Si

http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/Figs/tubino721_Si.gif

Si