Examen Prueba 2

1. Describa la estructura del problema artificial que se utiliza en la Fase I del metodo sımplex.Demuestra que el valor objetivo optimo del problema artificial es positivo si y solo si el problema

original es infactible.

2. Si durante la utilizacion del algoritmo sımplex dual se obtiene una solucion que verifica lacondicion b = B−1b = 0, entonces ...

(a) nos hemos equivocado en los calculos.

(b) (Correcta) hemos llegado a la solucion optima del problema primal.

(c) la solucion es primal factible, aunque puede no ser dual factible.

(d) ninguna de las otras opciones.

3. Dadas las soluciones optimas de los problemas primal y dual, una consecuencia del teorema deholguras complementarias es que ...

(a) si una variable de holgura del problema primal es distinta de cero, entonces la restriccionprimal correspondiente es redundante.

(b) (Correcta) si una variable de holgura del problema primal es distinta de cero, entonces lavariable dual asociada tiene valor cero.

(c) si una variable de holgura del problema primal es distinta de cero, entonces no se puede decirnada sobre la variable dual asociada.

(d) si una variable de holgura del problema primal es distinta de cero, entonces existen variablesde holgura duales con valor cero.

4. Indique cual es el dual del siguiente problema lineal:

Max x1 + 3x2 + 2x3

s.a. x1 − x2 + 2x3 5 93x1 + 2x2 − x3 = 3

x1, x2 = 0x3 5 0

(a) min{9u1 + 3u2 s.a. u1 + 3u2 5 1,−u1 + 2u2 5 3, 2u1 − u2 = 2, u1 = 0, u2 5 0}.

(b) min{9u1 + 3u2 s.a. u1 + 3u2 5 1,−u1 + 2u2 5 3, 2u1 − u2 = 2, u1 5 0, u2 = 0}.

(c) min{9u1 + 3u2 s.a. u1 + 3u2 = 1,−u1 + 2u2 = 3, 2u1 − u2 5 2, u1 5 0, u2 = 0}.

(d) (Correcta) min{9u1 + 3u2 s.a. u1 + 3u2 = 1,−u1 + 2u2 = 3, 2u1 − u2 5 2, u1 = 0, u2 5 0}.

5. Al minimizar la funcion x1 − x2 + 2x3 sobre una region poliedrica se ha obtenido la siguientetabla optima:

x1 x2 x3 x4 x5 LD

x2 −2 1 0 −2 3 1x3 −1 0 1 −2 1 2

−1 0 0 −2 −1 3

Entonces, el rango de variacion del coeficiente de costo de x2 que mantiene la optimalidad de estatabla es ...

(a) c2 = −2/3.

(b) (Correcta) −3/2 5 c2 5 −2/3.

(c) −2/3 5 c2 5 3/2.

(d) c2 5 −3/2.

6. Al aplicar la Fase I del metodo sımplex a un problema lineal (P) se ha obtenido la siguientetabla:

x1 x2 x3 x4 x5 LD

x3 0 2 1 3 0 2x1 1 −3 0 4 0 3x5 0 −1 0 0 1 0

donde x5 es la unica variable artificial. Entonces ...

(a) (P) es factible y su tercera restriccion es redundante.

(b) (P) es infactible.

(c) (P) es factible y al pasar a la Fase II la base estara formada por {x3, x1, x4}.

(d) (Correcta) (P) es factible y al pasar a la Fase II la base estara formada por {x3, x1, x2}.

7. Al maximizar la funcion 2x1 + 2x2 + x3 sobre una region poliedrica se ha obtenido la siguientetabla optima, en la que las variables x4 y x5 son de holgura:

x1 x2 x3 x4 x5 LD

x1 1 2 0 2 −1 2x3 0 −1 1 −2 −1 5

0 1 0 2 3 9

Entonces, si se desea obtener la maxima mejora posible en el valor objetivo optimo, convendrıa ...

(a) (Correcta) Aumentar el termino independiente de la primera restriccion.

(b) Aumentar el termino independiente de la segunda restriccion.

(c) Disminuir el termino independiente de la primera restriccion.

(d) Disminuir el termino independiente de la segunda restriccion.

8. La solucion optima del problema lineal

Max 2x1 + 3x2

s.a. x1 − 2x2 5 2x1 + x2 5 5

2x1 + x2 5 8x1, x2 = 0

es el punto x∗ = (0, 5). Entonces, si u∗ = (u∗

1, u∗

2, u∗

3) denota la solucion optima del problema dual,

segun el teorema de holgura complementaria se verificara necesariamente que ...

(a) (Correcta) u∗

1= 0, u∗

3= 0.

(b) u∗

2= 0, u∗

3= 0.

(c) u∗

2= 0.

(d) u∗

16= 0, u∗

26= 0, u∗

36= 0.

Solucion.La tabla del sımplex inicial serıa:

Max 2 3 0 0 0x1 x2 h1 h2 h3 b

h1 1 −2 1 0 0 2h2 1 1 0 1 0 5h3 2 1 0 0 1 8

−2 −3 0 0 0 0

La tabla optima es:Max 2 3 0 0 0

x1 x2 h1 h2 h3 b

h3 1 0 0 −1 1 3h1 3 0 1 2 0 12x2 1 1 0 1 0 5

1 0 0 3 0 15

Solucion optima x∗ = (0, 5) con z∗ = 15.

9. Dado el siguiente problema de programacion lineal:

max 2x1 + x2

s.a. 3x1 + 2x2 = 64x1 + 5x2 5 20

x1, x2 = 0

(a) Obtener la solucion optima del problema aplicando el metodo de las dos fases.

(b) Escribir el problema dual asociado a este problema.

(c) La tabla optima asociada a este problema es:

x1 x2 x3 x4 b

x1 1 5/4 0 1/4 5x3 0 7/4 1 3/4 9

0 3/2 0 1/2 10

A partir de esta tabla obtener la solucion optima del problema dual. ¿Cual es el recurso masinfluyente en el valor objetivo optimo?

(d) Usando el analisis de sensibilidad, encontrar la nueva solucion optima si c2 se cambia a 4?

(e) Usando el analisis de sensibilidad, ¿cuales son los posibles valores de b2 para los que esta tablasigue siendo optima?

(f) Supongamos que se anade la restriccion x1 + x2 5 4. Encontrar la solucion optima usando elanalisis de sensibilidad.

(g) Supongase que se propone una nueva variable x5 con c5 = 2 y vector en las restriccionesat

5= (1, 1). Encontrar la nueva solucion optima.

Solucion.Apartado (a) Metodo de las dos fases:

Min 0 0 0 0 1x1 x2 h1 h2 a1 b

a1 3∗ 2 −1 0 1 6 2h2 4 5 0 1 0 20 5

3 2 −1 0 0 6

Min 0 0 0 0 1x1 x2 h1 h2 a1 b

x1 1 2/3 −1/3 0 1/3 2h2 0 7/3 4/3 1 −4/3 12

0 0 0 0 −1 0

Max 2 1 0 0x1 x2 h1 h2 b

x1 1 2/3 −1/3 0 2 −1h2 0 7/3 4/3∗ 1 12 9

0 1/3 −2/3 0 4

Max 2 1 0 0x1 x2 h1 h2 b

x1 1 5/4 0 1/4 5h1 0 7/4 1 3/4 9

0 3/2 0 1/2 10

La solucion optima unica es x∗ = (5, 0) con z∗ = 10.Apartado (b) El dual asociado a este problema serıa:

Min 6u1 + 20u2

s.a. 3u1 + 4u2 = 2 (x1)2u1 + 5u2 = 1 (x2)

u1 5 0, u2 = 0

Apartado (c) Al existir la solucion optima del problema primal, sabemos que tambien existela solucion optima del problema dual (es finita).

Sabemos que la solucion optima dual asociada se determina por u∗ = c∗BB−1, informacion quese puede obtener directamente de los zj−cj asociados a las variables de holgura (variables de excesocambiados de signo):

u∗ = (u∗

1, u∗

2) = (0, 1/2), z∗D = 10

Apartado (d) Se trata del coeficiente de costo asociado a una variable no basica, por lo quelo unico que se modifica es su z2 − c2 = −3/2, por tanto:

Max 2 4 0 0x1 x2 h1 h2 b

x1 1 5/4∗ 0 1/4 5 4h1 0 7/4 1 3/4 9 36/7

0 −3/2 0 1/2 10

Max 2 4 0 0x1 x2 h1 h2 b

x2 4/5 1 0 1/5 4h1 −7/5 0 1 2/5 2

6/5 0 0 4/5 16

La nueva solucion optima es x∗ = (0, 4) con z∗ = 16.

Apartado (e) Consideramos que el vector b original es

(

6b2

)

. Por lo que la tabla del sımplex

optima tendrıa b = B−1b, y debe tener todas sus componentes no negativas, es decir:

b = B−1b =

(

0 1/4−1 3/4

)(

6b2

)

=

(

1

4b2

−6 + 3

4b2

)

= 0

De donde:b2 = 0b2 = 8

⇔ b2 = 8

Apartado (f) La solucion x∗ = (5, 0) no verifica la restriccion x1+x2 5 4, por lo que tendremosintroducir esta restriccion en la tabla del sımplex optima para obtener la nueva solucion optima.

Las variables no basicas son x2 y x4, luego en primer lugar escribimos esta nueva restriccion enfuncion de ellas. Para ello obtenemos la expresion de x1 (variable basica) en funcion de las variablesbasicas de la tabla optima:

x1 +5

4x2 +

1

4x4 = 5 ⇔ x1 = 5 −

5

4x2 −

1

4x4

Por lo que la restriccion serıa:

5 −5

4x2 −

1

4x4 + x2 5 4 ⇔ −

1

4x2 −

1

4x4 5 −1

Anadimos una nueva variable de holgura x5 para escribir la restriccion como una ecuacion (formatoestandar):

−1

4x2 −

1

4x4 + x5 = −1

Y la introducimos en la tabla optima, para inmediatamente resolver con el algoritmo dual delsımplex:

Max 2 1 0 0 0x1 x2 h1 h2 x5 b

x1 1 5/4 0 1/4 0 5h1 0 7/4 1 3/4 0 9x5 0 −1/4 0 −1/4∗ 1 −1

0 3/2 0 1/2 0 10−1 6 −1 2 −1

Max 2 1 0 0 0x1 x2 h1 h2 x5 b

x1 1 1 0 0 1 4h1 0 1 1 0 3 6h2 0 1 0 1 −4 4

0 1 0 0 2 8

La nueva solucion optima es x∗ = (4, 0) con valor objetivo optimo z∗ = 8.Apartado (g) Anadir una nueva variable al problema supone anadir una nueva columna a la

tabla optima y5 = B−1a5:

y5 = B−1a5 =

(

0 1/4−1 3/4

)(

11

)

=

(

1/4−1/4

)

El valor de z5 − c5 = −3/2 por lo que se ha perdido la optimalidad y tenemos que iterar con elalgoritmo del sımplex:

Max 2 1 0 0 2x1 x2 h1 h2 x5 b

x1 1 5/4 0 1/4 1/4∗ 5 20h1 0 7/4 1 3/4 −1/4 9 −1

0 3/2 0 1/2 −3/2 10

Max 2 1 0 0 2x1 x2 h1 h2 x5 b

x5 4 5 0 1 1 20h1 1 3 1 1 0 14

6 9 0 2 0 40

La nueva solucion optima serıa x∗ = (0, 0, 14, 0, 20) con valor objetivo optimo z∗ = 40.

10. Un agricultor cultiva girasol y trigo en su granja de 45 Ha. Puede vender como maximo 140 kgde trigo y 120 kg de girasol. Cada Ha de trigo produce 5 kg de trigo, y cada Ha de girasol produce4 kg de girasol. El trigo se vende a 30 euros/kg y el girasol a 50 euros/kg. La cosecha de una Halleva 6 horas y la de girasol 10. Se pueden conseguir hasta 350 horas de trabajo a 10 euros/hora.Formule el problema de programacion lineal para maximizar las ganancias y obtenga la solucionoptima con ayuda de Excel.Solucion.

Las datos en forma de tabla son:

Venta maxima Produccion/Ha Precio venta Horas/Ha(kg) (kg) (euros/kg) (horas)

Girasol 120 4 50 10Trigo 140 5 30 6

Sea x1 =“numero de Ha de granja dedicadas al cultivo de trigo”, x2 =“numero de Ha de granjadedicadas al cultivo de girasol”.

Tenemos que maximizar ganancias; siendo ganancias = ganancias en ventas-costes. Las ganan-cias por las ventas son: 150x1 + 200x2 y lo perdido por costes es: 60x1 + 100x2. Ası la funcionobjetivo es: z = 150x1 + 200x2 − (60x1 + 100x2) = 90x1 + 100x2.

La formulacion de programacion lineal es:

Max 90x1 + 100x2

s.a. x1 + x2 5 455x1 5 1404x2 5 120

6x1 + 10x2 5 350x1, x2 = 0

Aplicando el algoritmo del sımplex, la solucion obtenida es: z = 4250 con x1 = 25, x2 = 20.