esercizio: rappresentare con una rete di petri il seguente protocollo di comunicazione: ciascun...
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Esercizio: rappresentare con una rete di Petri il seguente protocollo di comunicazione: ciascun utente in modo ciclico trasferisce dati e/o passa la comunicazione all’utente successivo
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Token ring
token
non attivo
trasferiscedati
attivo
non trasf.dati
token
non attivo
trasferiscedati
attivo
non trasf.dati
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Token ring
token
utente
Non attivo
Trasferiscedati
attivo
Non trasf.dati
token
utente
Non attivo
Trasferiscedati
attivo
Non trasf.dati
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Esercizio: rappresentare un senso unico alternato costituito da due tratte stradali senza visibilità reciproca (reciprocamente dietro un angolo); introdurre uno o più tipi di controllo con semafori ai due ingressi e rappresentarli
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A libera
B libera
Fine A
In A
In B
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controllo
A libera
B libera
Fine A
In A
In B
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Controllo: verde per 1
Coda 1
1 nella tratta A+B
Coda 2
Interruzione coda 1
2 nella tratta A+B
1 entra: temporizz.
Controllo: verde per 2
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Controllo: verde per 1 rosso per 2
Coda 1
1 nella tratta A+B
Coda 2
Interruzione coda 1
2 nella tratta A+B
1 entra: temporizz.
Controllorosso per 1 rosso per 2
Tau: percorrenza della tratta
Tau +
>>Tau
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2.5 Invarianti di posto, di transizione; grafi di sincronizzazione; controllo supervisore di una macchina:invarianti
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p1 p2
p3
p4
p6
t1
t2
t3
p5
scatto di t2 :
0 0 1 0 0 0
M2= M1+ C e2
+
0 1 0-1-1 1
1 0-1 1 0 0
-1-1 1 0 0 0
0 1 0
= M1+C e2
Sequenza di scatti s12 : t1 t2
Conteggio di scatti s12= e1 + e2
= M0 + C s12
M2 =
EQUAZIONE DI TRANSIZIONE
M2= M0 + C s12
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Struttura delle Reti di Petri
P-INVARIANTI
Un invariante di posto è un vettore riga definito positivo* che annulla la matrice di incidenza
* con almeno una componente positiva e le altre positive o nulle
XMi= XM0 + XC s
X 0: XC = 0XMi = XM0
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-1-1 1 0 0 0 0 0
INVARIANTI DI POSTO
01110000
10100000
00000110
0 0 0 0 0-1 1 1
1 0-1 1 0 0 0 0
0 1 0-1-1 1-1 0
11210110
p7
p5
p4
p3
p2
p1
p6
p8
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Insieme di posti supporto di X: Px P
Px Insieme dei posti le cui
corrispondenti componenti in X sono strettamente positive
pi Px x(i)>0
INVARIANTI DI POSTOInvariante
( [01110 0] )
p1 p2
p3
p4
p6
t1
t2
t3
p5
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I p-invarianti sono caratterizzati graficamente da una sottorete N’
- T’ transizioni collegate con posti di Px
- A’ A = (P X T) (T X P)
- A’ = (Px X T’) (T’ X Px)
Invariante( [01110 0] )
p1 p2
p3
p4
p6
t1
t2
t3
p5
P-INVARIANTI
N’ = (Px, T’, A’)
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p. att. lav.
p. in lav.
op.
scambiop. in usc.
p.att.usc.
condizione della macchina: disp.
pezzo
in
ing
r.
Interpretazione delle sottoreti “supporto”
forcellaliberada p.in usc.
pezzi fuori
P-INVARIANTI
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p1 p2
p3
p4
p6
t1
t2
t3
p5
0 1 0-1-1 1
1 0-1 1 0 0
-1-1 1 0 0 0
righe nulla
011100
101000
P-INVARIANTI
000011
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t4
lav
t1
t2
t3
t5
t6
t8
t7
*non esiste un invariante con almeno una componente più piccola
In questo grafo ogni ciclo è supporto (ovvero lo sono i suoi posti) di un p-invariante minimale*
P-INVARIANTI minimali*
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In tali grafi i posti di ogni ciclo sono supporto di un p-invariante minimale
t4
lav
t1
t2
t3
t5
t6
t8
t7
GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni posto ha solo una transizione di ingresso e una di uscita
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GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni ciclo è supporto di un p-invariante minimale
Ogni riga (posto p*) ha un solo 1 (nella colonna t*-in) e un solo -1 (nella t*-out)
Nel ciclo, p* ha un solo predecessore, la relativa riga ha -1 nella t*-in, e un solo successore e la relativa riga ha 1 nella t*-out
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GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni ciclo è supporto di un p-invariante minimale
Di conseguenza la somma delle righe dei posti del ciclo è nulla e quindi il ciclo è supporto di un invariante
L'invariante è minimale, infatti l’esclusione di una o più righe rende la somma non nulla
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p1 p2
p3
p4
t1
t2
t3
0 1 0-1
1 0-1 1
-1-1 1 0
righe nulla
0111
1010
GRAFI DI SINCRONIZZAZIONE: ogni ciclo è supporto di un p-invariante minimale
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p6
p4
-1-1 1 0 0 0 0 0
01110000
10100000
00000110
0 0 0 0 0-1 1 1
p.att. lav.
op.
scambiop.in usc.
p.att.usc.
condizione dellamacchina
pe
zzo in in
gr .
Interfaccia con il sistema di trasporto
pezzi fuori
forcellalibera
p7
p5p3
p2
p1
p8
1 0-1 1 0 0 0 0
0 1 0-1-1 1-1 0
11210110
Senza p5 e p8 è conservativa
p. in lav.
(diventa un grafo di sincronizzazione)
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1
2
3
4
12 3
Gli invarianti di due sottoreti con posti in comune (ma non transizioni) sono la traccia degli invarianti della rete globale e viceversa questi sono la composizione di quelli
-1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1
1 1 1
1 1 -1 1 1 -1
1 1 -1 1 1 -1
CX
C’X’
X” C”
P-INVARIANTI
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Una rete è ricoperta da p-invarianti quando ogni posto p P appartiene ad almeno un invariante minimale
se una rete è ricoperta da p-invarianti esiste unp-invariante globale per cui Px = P
1
2
3
4
12 3
-1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1
1 1 1
N.B.: un solo invariante, minimale e globale, due cicli (non è un grafo di sincronizzazione)
Gli invarianti minimali formano una base per tutti gli invarianti
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Un grafo di sincronizzazione marcato è vivo se ogni ciclo contiene almeno una marca
Proprietà dei Grafi di sincronizzazione
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t4
lav
t1
t2
t3
t5
t6
t8
t7
P-invarianti e limitatezzaP-invarianti e limitatezza
Se la rete è ricoperta di p-invarianti (minimali)è limitata
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P-invarianti e conservativitàP-invarianti e conservatività
Se esiste un invariante globale° la rete è conservativa per ogni marcatura iniziale con lo stesso peso * w (e viceversa?)
°con x>0: xMi = xM0 + xCs = xM0
per ogni possibile M0 e s*in questo caso la rete si dice strutturalmente conservativa
t4
lav
t1
t2
t3
t5
t6
t8
t7
W=2 W=2
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Una rete è ricoperta da p-invarianti quando ogni posto p P appartiene ad almeno un invariante minimale
1 -1 0 0-1 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 -1 1 0 0 1 -1
1
2 3
4
5
1 2
34
Non è ricoperta
E’ un grafo di sincronizzazione: i cicli sonosupporto di invarianti
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Algoritmo di Alaiwan-ToudicAlgoritmo di Alaiwan-Toudic
Serve a determinare gliinvarianti minimali
Con trasformazioni matriciali si riducono progressivamente le dimensioni fino a
trovare le soluzioni intere positive minime di XC=0
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Controllo con invariantiControllo con invarianti
Costruendo un invariante con un
posto del controllo si può
imporre il valore della somma
delle marche in assegnati posti
del processo controllatoCiò può corrispondere a specifiche
significative per il processo
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Controllo con invariantiControllo con invarianti
Cp : matr. inc. del processo Mp0 : stato iniziale del processoCc : matr. inc. del controllo Mc0 : stato iniziale del controlloLc : matrice delle specifiche B : limiti specificati
SPECIFICHE PER IL PROCESSO: LcMp B
con Lc e B assegnati
Cc := - Lc Cp => le righe di [ Lc Ic ] annullano la matrice di incidenza a ciclo chiuso Cp
Cc
sono cioè degli invarianti del sistema processo-controllo, ovvero:
LcMp0 + Mc0 = LcMp + Mc
Quindi se Mc0 := B - LcMp0
LcMp = B - Mc B
B = LcMp + Mc
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Controllo con invariantiControllo con invarianti
GATTO TOPO
St.2 St.2St.3
St.1
St.5
St.3
St.1
St.5St.4St.4
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Controllo con invariantiControllo con invarianti
GATTO TOPO
St.2 St.2St.3
St.1
St.5
St.3
St.1
St.5St.4St.4
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1
2
3
4
12 3
-1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1
T-INVARIANTIT-INVARIANTI
1100
0011
1111
Y 0: C Y = 0
Se unasequenza s riinizializza, il suo conteggio di scatti s è un t-invariante:
Mi=Mi+ C s= Mi
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1
2
3
4
12 3
-1 1 0 0 1 -1 -1 1 0 0 1 -1
T-INVARIANTI
1100
0011
dato un t-invariante di 0 e 1, il suo supporto dà una sequenza che,se è ammissibile, riinizializza
![Page 36: Esercizio: rappresentare con una rete di Petri il seguente protocollo di comunicazione: ciascun utente in modo ciclico trasferisce dati e/o passa la comunicazione](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062512/5542eb57497959361e8c1e4c/html5/thumbnails/36.jpg)
p1p2
p3
p4
t1
t2
t3
0 1 0-1
1 0-1 1
-1-1 1 0
colonne nulla
Invariante: 111
T-INVARIANTI
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Magazzino componenti
Magazzino utensili
NORD
SUDscheda
testa nord
testa sud
braccio
MACCHINE SMTArchetti, Sciomachen: RAPPRESENTAZIONE ED ANALISI, CON RETI DI PETRI, DI SISTEMI DI LAVORAZIONE - 1989 Consorzio Autofaber, Milano
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- modulo B (“tool change & pick”): in cui una testa cambia attrezzo e preleva, mentre l’altra resta ferma
- modulo C (“pick & place”): in cui le operazioni di fissaggio e di prelievo di un componente sono svolte concorrentemente dalle due teste
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- modulo D (“pick”): in cui viene affettuato un prelievo di un componente da una delle due teste, mentre l’altra è ferma
- modulo E (“place”): in cui viene affettuato solamente un fissaggio di un componente da una delle due teste, mentre l’altra è ferma
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pick nord place sud
357
NFM NHM
BM
scheda
AMN
testa nord
testa sud
braccio
1
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pick nord place (sud)
scheda
testa nord
testa sud
braccioPKN
17
13 11 9
357 2
NFM NHM
BM
AMN 1
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BM: movimenti della scheda
AMN: movimenti del braccio da sud a nord
NFM: movimenti del magazzino nord
NHM: movimenti di allineamento della testa nord per prelievo
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AMS: movimenti del braccio da nord a sud
SFM: movimenti del magazzino sud
SHM: movimenti di allineamento della testa sud per prelievo
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NFM NHM AMN
PKN
17
13 11 9
PLN
21
SHT
15357 B
M
1
2
19
4 623 25
46
P&Pnord
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NHT: attività di preparazione della testa nord per fissaggio
SHT: attività di preparazione della testa sud per fissaggio
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PKS
SHMSFM AMS NHT
PLS
BM2
2014
PKN
NHMNFM AMN SHT
PLN
2624
18 22
10
8 6 4 161
7 5 3 15
23 25
17 21
1991113
P&Pnord
P&Psud
SMT
12
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23
AMN
PKN
PKS
AMS
17
9
10
4
18
3 24
Un invariante di posto
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Tutta la rete P&P è il supporto di un invariante di transizione minimale:
YT = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Infatti la transizione BM deve scattare due volte e le altre 18 una sola per tornare alla condizione iniziale
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NFM NHM AMN
PKN
17
13 11 9
PLN
21
SHT
153
57 BM
1
2
19
23 25
46
P&Pnord
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SHT
PLNPKN
CSS AS S AS
d
ca
bAMAS
S AS
BR BM
BS
CR
NFM
NTC
AR
N
TN
e
![Page 51: Esercizio: rappresentare con una rete di Petri il seguente protocollo di comunicazione: ciascun utente in modo ciclico trasferisce dati e/o passa la comunicazione](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062512/5542eb57497959361e8c1e4c/html5/thumbnails/51.jpg)
S AS S AS
d c ea b
S AS
STC
N AS N AS
d c ea b
BM
AM
AS
S
AR BR BS
CS
CR
N
CS
TS
TN
CR
PLS
SFM
NHT
SHT
PLNPKN
NFM
NTC
PKS