7/25/2019 Esercizio Albero 2gdl CMAM

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Ottenere le VCF di un albero a 2 gdl con disco non in mezzeria partendo dai risultati

del modello a 4 gdl e imponendo che il piano della deformata ruoti alla stessa velocit

angolare e nello stesso verso dellalbero.

Leuazione caratteristica dellalbero a 4 gdl !"

#$a%m&2'($c%)*&2'%b2+2,$a%m&2'2()-2(-2( &

2 $*'

/ssendo0 per ipotesi0 la velocit dellalbero uguale e concorde a uella del

piano della deformata $-, &' si ottiene"

#$a%m&2'($c%)*&2'%b2+2,$a%m&2'2()-2(&4 $2'

1i estragga la radice e per lipotesi di verso concorde si scelga il segno negativo *"

#$a%m&2'($c%)*&2'%b2+ ,%$a%m&2'()-(&2 $'

3a cui"

#$a%m&2'($c%)*&2)-(&2'%b

2+ ,- $4'

/ssendo 5,)*%)-si ricava"

#$a%m&2'($c%5(&2'%b2+ ,- $6'

7er il momento i parametri a0b e c sono delle rigidezze poich8 ci si trova ancora nel

caso dellalbero a 4 gdl per passare al caso a 2 gdl ! necessario trasformare ueste

rigidezze in cedevolezze0 ovvero i reciproci delle rigidezze.

ac m5 &4 % mc &2 ac % b2 , - $9'

m5 &4 % $a5mc' &2 ac : b2, - $;'

'

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ALLEGATO

In questa pagina si dimostra che prendere il segno negativo dellequazione

equivale a scegliere rotazioni concordi.

1i suppone di trovarsi nel caso di albero a 4 gdl1i ricordi che leuazione caratteristica0 $*'0 ! unAeuazione di ottavo grado e pertanto fornisce = soluzionidi &B 4 soluzioni corrispondono alle soluzioni che possono essere chiamate &0 relative al segno 0e lealtre 4 a soluzioni che possono essere chiamate & %0 che sono relative al segno %0 ovviamente &% , %&. seconda di come si prendono le soluzioni si sceglie di essere in diverse zone del diagramma diCampbell0 la determinazione di ueste zone avviene studiando il segno del rapporto" v-Du-.Euesto rapporto ! stato determinato partendo dal sistema delle 4 euazioni del moto0 in cui si ! sostituitala forma modale"

(

u0

v0

0

0

)e

j t$*-'

Fa si poteva benissimo sostituire la sua complessa coniugata che avrebbe comunue portato allasoluzione.

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det(2 M+C+K )=0

[ (c J0 2 )(a m 2 ) b2 ]2

=(a m 2 )2

J0

2

0

2

2

[ (c J0 2 )(a m 2 ) b2 ]= ( a m 2 )J0 0

0

J0(a m 2 )

( a m 2 )(c J1 2 )b2

= 1

v0

u0

= j

$*4'

1i potrebbe pensare che le euazioni $*' e $*4.e' ottenute da due procedimenti diversi siano diverse0 in

realt rappresentano la stessa euazione poich8 risolte dagli stessi valori di .

Gralasciando il sgn$0' si studi il segno del rapporto e uesto permetter di identificare il segno delle

zone del diagramma di Campbell"

0 J0(a m 2 )

( a m 2 )(c J12 ) b2

>0

Confrontando il diagramma di Campbell con lo studio del segno0 si deduce che ogni ramo del diagramma

ha un segno diverso. d esempio si scelga il ramo 20 il uale ha segno negativo e adesso si studia il

sgn$-'. 3allAeuazione [ (c J0 2 )(a m 2 ) b2 ]= ( a m 2 )J0 0 si hanno 4 soluzioni , %essendo unAeuazione di uarto grado0 uindi0 scegliendo tali soluzioni si puH scrivere e ricordando che %I

, e %I$D2'"

v0

u0=j sgn(

0)

v

0=j u

0sgn(

0)

u0'

=

A

2 e

j (meno

t+ 2)

$*6'

+ +

+ +

+ +

- -

--

- -ramo1 ramo2 ramo4ramo3

min(a/m, c/J1) - max(a/m, c/J1) + a/m

N

D

2

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nalogamente dallAeuazione [(c J02 )(a m 2 ) b2 ]=+(a m 2 )J0 0 si ha"

v0

u0=j sgn (

0)

v0=j u0sgn (0)

u0' '=

A

2e

j (pit)

=A

2ej (

menot+)

v0' '=

A

2sgn (0) e

j (pit+2)

=A

2 sgn(0) e

j (menot+2)

$*9'

desso si combina linearmente u-,u-A u-AA e v-, v-A v-AA e si hanno le coordinate di J

u0=Acos ( meno t+)

v0=A sgn ( 0 )sen (meno t+ )

$*;'

@ella figura si ! segnata la posizione di J rispetto ad O $ $J%O' rappresenta il piano della deformata visto

dallAalto' 0 nota grazie alle euazioni trovate finora poi si ! segnata la rotazione del disco d.La rotazionedellAalbero - deve essere concorde ad d 0 poich8 ovviamente disco e albero ruotano insieme0 ciH che sivuole dimostrare ! come ! direzionata la velocit 0 velocit del piano della deformata0 e se essa !concorde alla velocit dellAalbero. tal proposito si calcola d"

d k(G )=G ! d[k(G )]2= [ k(G )] G $*='

dove [k (G )]2

! pari ad 20 pertanto"

d=

0 0 1

Ac Asgn ( 0 ) 0 A s Asgn ( 0 ) 0

A2

=sgn ( 0 )= sgn ( )sgn ( 0 )=sgn ( 0 )$*>'

1i ! adesso dimostrato che la velocit del piano della deformata ! concorde a uella del disco dipendendo

dal valore assoluto di 0 infatti prendendo una velocit dallAalbero negativa anche la velocit del pianodella deformata0 ,sar negativa essendo sgn$-' negativo per valori negativi di -.

!

x

"

#

$

$