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ESERCIZIO 1
Una piastra di larghezza totale 100 mm e spessore 5 mm, con cricca centrale passante (fig. 1),
è soggetta ad una forza di trazione P=50 kN.
1) Determinare le condizioni di cedimento della piastra.
2) Determinare la lunghezza massima ammessa per la cricca, nel caso che si voglia
garantire un coefficiente di sicurezza pari a 3 sul carico.
Materiale: Alluminio 2014- T651 (KIC = 24 MPam; sn= 430 MPa).
2a
2W
P
P
aK I
Fig. 1
Non conoscendo la dimensione della cricca (e quindi non conoscendo ) dobbiamo risolvere il
problema in maniera iterativa.
Assumiamo che il rapporto a/W valga 0.3. In tal caso ≈ 1.12, da cui, imponendo che KI sia
uguale a KIC si può scrivere:
245100
5000012.1
aa .
Si ricava a = 0.0146 m = 14.6 mm
Ricalcolando per a/W= 14.6/50= 0.29, si ottiene ≈ 1.05. Procedendo, si ricava:
2
245100
5000005.1
aa
da cui a = 16.6 mm.
Per il nuovo valore a/W=0.33, dal diagramma di fig. 1 si ottiene un valore di di circa 1.07, e
quindi, nei limiti dell'approssimazione consentita dal grafico, molto vicino al valore precedente
di 1.05. Possiamo quindi scegliere un valore intermedio =1.06 e procedere con l'ultima
iterazione di calcolo
245100
5000006.1
aa ,
ottenendo una lunghezza a = 16.3 mm
Verifichiamo le condizioni di applicabilità della meccanica della frattura lineare elastica
(MFLE).
VERIFICATONONmm 7.8 mm 55.2
2
sn
ICKB
La condizione non è rispettata, in quanto lo spessore è minore di 7.8 mm.
Verifichiamo allora le diseguaglianze
mm 4 mm 7.334
mm 4 mm 3.614
2
2
sn
IC
f
sn
IC
f
KaW
Ka
che risultano tutte verificate. E’ pertanto possibile utilizzare la MFLE.
Verifichiamo anche la condizioni di plasticizzazione globale della piastra.
Il carico di collasso plastico della piastra è pari a
kN 144.953.162100430 nettasnplcoll AP
poichè risulta
kN 115.9 kN 50
plcollPP
il collasso della piastra avviene effettivamente per propagazione instabile della cricca, quando
la sua lunghezza totale raggiunge 2a = 2·16.3 = 32.6 mm.
3
Per determinare la lunghezza massima di cricca per un coefficiente di sicurezza pari a =2 sul
carico, scriviamo l’equazione che ci fornisce la lunghezza critica della cricca per un carico di
3·50 kN:
245100
500002
a
L’equazione può essere risolta in maniera iterativa, analogamente a quanto visto in precedenza.
Un calcolo più veloce può essere condotto assumendo che il valore di = 1 sia sufficientemene
accurato (la dimensione di cricca, e quindi anche il valore di , sarano sicuramente più piccoli
di quelli ottenuti per la condizione critica per un carico P = 50 kN, per la quale era pari a
circa 1.06).
In tal caso, si ottiene:
245100
5000021
a
da cui
a ≈ 3.5 mm (lunghezza totale della cricca = 7 mm)
(poiché a/W= 0.007, si può verificare sul diagramma di fig. 1 l’accettabilità dell’assunzione di
=1 per questo calcolo)
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ESERCIZIO 2
Una piastra di larghezza W = 40 mm e con una cricca passante di bordo di lunghezza
a = 6 mm (fig. 1) è soggetta ad una forza di trazione P=55 kN.
1) Determinare lo spessore minimo della piastra nel caso che si richieda un coefficiente
si sicurezza pari a 3 sul carico
Materiale: Acciaio 300-M (KIC = 65 MPam; sn= 1740 MPa).
a
W
P
P
aK I
Fig. 1
Poiché conosciamo la dimensione della cricca a e la larghezza W della piastra, possiamo
ricavare immediatamente il valore del parametro dal diagramma di fig. 1.
Per a/W = 6/40 = 0.15, si ricava ≈ 1.3
La condizione di propagazione della cricca, per un coefficiente di sicurezza sul carico pari a
3, si scrive quindi come:
65006.040
5500033.1
BaK I
Da questa equazione si può ricavare lo spessore B (incognita del problema):
B = 11.3 mm
5
Verifichiamo le condizioni di applicabilità della MFLE.
mm 6.0 mm 343
4
mm 6.0 mm 63
4
mm 5.3 mm 3.115.2
2
2
2
sn
IC
f
sn
IC
f
sn
IC
KaW
Ka
KB
Le condizioni sono tutte verificate ed è pertanto possibile utilizzare la MFLE.
Verifichiamo anche le condizioni di plasticizzazione globale della piastra.
Il carico di collasso plastico della piastra, per la lunghezza di cricca pari a 6 mm, è pari a
kN6693.116401740 nettasnplcoll AP
poichè risulta
kN 535 kN 150
3
plcollPP
lo spessore B di 11.3 mm è effettivamente lo spessore che garantisce il coefficiente di sicurezza
richiesto ed il collasso della piastra avviene per propagazione instabile della cricca, quando il
carico raggiunge il valore di 150 kN.
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ESERCIZIO 3
Una piastra d’acciaio di larghezza 150 mm, spessore 25 mm e con una cricca passante centrale
di lunghezza totale 2a = 5 mm, è soggetta ad uno sforzo alternato tra un valore massimo pari a
max = 83 MPa ad un valore minimo pari a max = 0. Noti i valori di KIC e dei coefficienti della
curva di Paris del materiale, calcolare il numero di cicli che porta la piastra al cedimento.
2a
2W
aK I
oppure, in forma analitica
W
a
2sec
N.B: la formula è valida per angoli espressi in radianti
I dati di partenza sono quindi:
Geometria Proprietà del materiale
Lunghezza cricca = 5mm (ai = 2.5 mm)
Larghezza 2W = 150 mm; (W = 75 mm)
Spessore B = 25 mm
KIc = 120 MPam
sn = 1600 MPa
Coefficienti della legge di Paris
C=7.5E-8; n=3.5
(da/dN in mm/ciclo e KI in MPam)
Carico
min= 0 MPa
max= 83 MPa
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La lunghezza critica della cricca si ottiene imponendo che
1208315.0
sec
metriin esprimendo ossia,
2sec
aa
a
KaW
aaK ICI
L’equazione nell’incognita a, che si può risolvere per tentativi o per via numerica, fornisce il
valore della dimensione della cricca che corrisponde alla propagazione instabile:
af = 0.07 m = 70 mm
Verifichiamo l’applicabilità della meccanica della frattura lineare elastica.
La diseguaglianza 5.2
2
sn
ICKB
è verificata in quanto m0.01415.2
2
sn
ICK
Le diseguaglianze
2
3
4
sn
IC
f
Ka
e
2
3
4
sn
IC
f
KaW
risultano anche esse verificate, in
quanto mm 4.23
42
sn
ICK
e mm. 5 faW
Verifichiamo inoltre la condizione di collasso per plasticizzazione, controllando che il rapporto
tra il carico massimo applicato (Pmax) non porti alla plasticizzazione totale della sezione
(Pcoll pl). Nel caso in esame:
Pmax=83 (150·25)=311.25 kN
Pcoll pl=1600 (2W-2af)·B = 1600·(150-140) ·25= 400 kN
EssendoPmax / Pcoll pl = 0.78, il cedimento della piastra avviene per propagazione della cricca
quando questa raggiunge la dimensione critica af· = 70 mm
Possiamo quindi procedere al calcolo del numero di cicli che produce la propagazione della
cricca dal valore iniziale ai =2.5 mm a quello finale af = 70 mm (che corrisponde alla
propagazione instabile della cricca con cedimento finale del pannello).
Per effettuare una stima approssimata del numero di cicli a rottura, dividiamo l’intervallo tra
la lunghezza iniziale di cricca ai =2.5 mm e quella finale af = 70 mm in cinque passi di calcolo.
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Suddivisione in 5 incrementi di cricca
Passo amin - amax a
1 2.5mm – 12.5mm 10 mm
2 12.5 mm – 25 mm 12.5 mm
3 25 mm – 37.5 mm 12.5mm
4 37.5 mm – 50mm 12.5 mm
5 50 mm – 70 mm 20 mm
Possiamo pertanto costruire la tabella 1, nella quale riportiamo la sequenza dei calcoli. Il fattore
è calcolato utilizzando la formula analitica sopra riportata.
Tabella 1
amin
amax a amedio
W
amedio
2sec
1000
medioaK n
KCdN
da
dN
da
aN
N
mm mm mm - MPam mm/ciclo cicli cicli
2.5
12.5 10 7.5 1.006 12.82 0.567E-3 17629
0
17629
12.5
25 12.5 18.75 1.040 20.96 3.169E-3 3944
21573
25
37.5 12.5 31.25 1.123 29.20 10.11E-3 1236
22809
37.5
50 12.5 43.75 1.282 39.43 28.97E-3 431
23240
50
70 20 60 1.799 64.82 164.9E-3 121
23361
Nota: l’unità di misura da utilizzare per K nella formula di Paris è MPam. E’ pertanto necessario introdurre il valore di
amedio in m (e non in mm) per calcolare K (ciò spiega la divisione di amedio per 1000 nella formula in colonna 5).
La crescita della cricca in funzione del numero di cicli è riportata in Fig. 1.
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Fig. 1
Dal grafico si può notare come il numero di cicli più elevato sia speso per le lunghezze di cricca
più piccole. Ad esempio, per fare avanzare la cricca da 2.5 mm a 12.5 mm (incremento della
lunghezza a pari a 10 mm) sono necessari 17629 cicli, mentre per fare avanzare la cricca da 50
mm a 70 mm (incremento della lunghezza a pari a 20 mm) sono richiesti solo 121 cicli.
Questo indica che per migliorare la stima del numero di cicli totale è conveniente ridurre
l’incremento della cricca a utilizzato nei calcoli soprattutto nel campo iniziale (lunghezze di
cricca piccole).
Supponiamo ad esempio di scegliere di dividere l’intervallo tra la lunghezza iniziale di cricca
ai =2.5 mm e quella finale af = 70 mm in otto sotto-intervalli. Poiché conviene utilizzare sotto-
intervalli a ridotti soprattutto per valori di cricca vicini a quella iniziale, possiamo scegliere
la seguente suddivisione per i passi di calcolo:
Suddivisione in 8 incrementi di cricca
Passo amin - amax a
1 2.3 mm – 5.5 mm 3 mm
2 5.5 mm – 8.5 mm 3 mm
3 8.5 mm – 12.5 mm 4 mm
4 12.5 mm -17.5 mm 5 mm
5 17.5 mm – 25 mm 7.5 mm
6 25 mm – 37.5 mm 12.5 mm
7 37.5 mm – 50 mm 12.5 mm
8 50 mm – 70 mm 20 mm
La tabella 2 riporta la sequenza dei calcoli associata alla suddivisione per gli otto intervalli di
calcolo sopra definiti.
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Tabella 2
amin
amax a amedio
W
amedio
2sec
1000
medioaK
nKC
dN
da
dN
da
aN
N
mm mm mm - MPam mm/ciclo cicli cicli 2.5
5.5 3 4 1.002 9.32 0.1860E-3 16138
0
16138
5.5
8.5 3 7 1.005 12.37 0.5014E-3 5984
22122
8.5
12.5 4 10.5 1.012 15.26 1.044E-3 3832
25954
12.5
17.5 5 15 1.025 18.48 2.038E-3 2453
28407
17.5
25 7.5 21.25 1.053 22.57 4.109E-3 1825
30232
25
37.5 12.5 31.25 1.123 29.20 10.11E-3 1236
31468
37.5
50 12.5 43.75 1.282 39.43 28.97E-3 431
31889
50
70 20 60 1.799 64.82 164.9E-3 121
32010
La fig. 2 riporta il confronto tra la stima del numero di cicli necessari per far crescere la
lunghezza di cricca a da 2.5 mm a 70 mm utilizzando le suddivisione a 5 ed 8 passi di
integrazione. Il grafico riporta anche la curva di crescita della cricca ottenuta effettuando
un’integrazione ciclo per ciclo, che fornisce una vita a rottura di 34840 cicli. L’errore relativo
è pertanto di circa il 30% per l’integrazione a 5 passi e di circa l’8% per l’integrazione ad 8
passi.
Fig. 2
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ESERCIZIO 4
Una barra d’acciaio di diametro 40 mm presenta una cricca circonferenziale assial-simmetrica
di lunghezza radiale a = 4 mm; la barra è soggetta ad un carico di fatica di trazione con valore
massimo pari a Pmax = 120 kN e rapporto di fatica pari a R = 0.2. Noti i valori dei coefficienti
della curva di Walker del materiale, calcolare la lunghezza della cricca dopo 17000 cicli di
carico.
Geometria Proprietà del materiale (Al 2024 – T3)
Lunghezza cricca a = 4 mm
Raggio della sezione b = 20 mm
KIc = 34 MPam
sn = 353 MPa
Coefficienti della legge di Walker C=1.42E-11; m = 0.68; n = 3.59
(da/dN in m/ciclo e KI in MPam)
Pmax = 120 kN MPa5.9520 2
max
max
P
Per effettuare una stima approssimata della lunghezza raggiunta dalla cricca dopo 17000 cicli
di carico, scegliamo di dividere la durata in 6 intervalli; poiché la cricca avanza più
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velocemente all’aumentare del numero di cicli, è conveniente scegliere ampiezze degli
intervalli N che si riducono progressivamente al crescere di N.
Suddivisione in 6 intervalli di cicli
Passo Cicli N
1 1
5000 5000
2 5001
10000 5000
3 10001 12000
2000
4 12001 14000
2000
5 14001 16000
2000
6 16001 17000
1000
Possiamo pertanto costruire la tabella 1, nella quale riportiamo la sequenza dei calcoli. Il fattore
F è calcolato utilizzando la formula analitica sopra riportata. Si noti che la lunghezza di cricca
utilizzata per i calcoli all’interno di ogni passo di carico (di ampiezza N) è necessariamente
quella iniziale ai, poiché la lunghezza finale af non è nota (sarà nota solo alla fine del calcolo
del passo in esame).
Tabella 1
N ai F minaFK
nm
RKCdN
da 11
NdN
daa af N
(cicli) (m) - (MPam) (m/ciclo) (m) (m) (cicli)
5000 4E-3 1.225 10.49 84.87E-9 0.4243E-3 4.4234E-3 1
5000
5000 4.4234E-3 1.247 11.23 108.35E-9 0.5418E-3 4.9663E-3 5001
10000
2000 4.9661E-3 1.279 12.20 145.90E-9 0.2918E-3 5.2579E-3 10001 12000
2000 5.2579E-3 1.298 12.74 170.44E-9 0.3409E-3 5.5988E-3 12001 14000
2000 5.5988E-3 1.322 13.39 203.78E-9 0.4076E-3 6.0064E-3 14001 16000
1000 6.0064E-3 1.353 14.20 251.60E-9 0.2516E-3 6.258E-3 16001 17000
Si ottiene dunque una lunghezza di cricca pari a circa 6.3 mm dopo 17000 cicli di carico.
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Svolgendo i calcoli in maniera più accurata utilizzando un’integrazione ciclo per ciclo si ottiene
invece un valore di cricca finale pari a 6.9 mm. Il grafico di fig. 1 riporta le curve di crescita
della cricca ottenute con l’integrazione in sei passi sopra illustrata e con l’integrazione ciclo
per ciclo dell’equazione di Walker.
Fig. 1
Possiamo ora verificare le condizioni della barra dopo 17000 cicli. Utilizziamo la lunghezza
di cricca prevista mediante integrazione ciclo per ciclo (a = 6.9 mm).
mMPa1.200069.05.95431.1max aFK I < mMPa34IcK
Il coefficiente di sicurezza sul carico è pertanto pari a 69.11.20
34 secondo la MFLE.
Verifichiamo le condizioni di applicabilità della MFLE e la condizione di collasso plastico.
Poichè si tratta di una cricca di superficie (non passante), si può ritenere che il materiale in
prossimita dell’apice della cricca si trovi in stato di deformazione piana.
VERIFICATO0039.00069.0353
34
3
40069.0
3
422
sn
Ic
f
Ka
VERIFICATO0039.01.13353
34
3
49.620
3
422
sn
Ic
f
Kab
Carico di collasso plastico kN3.1909.62035322 abP snplcoll
63.03.190
120max plcollP
P
La MFLE è dunque applicabile e la barra può essere sottoposta a 17000 cicli di carico senza
che la cricca si propaghi.