Esercizi

1. Si traccino i diagrammi di Bode ed il diagramma polare per un sistema la cui funzione ditrasferimento µe

W (s) =s2 ¡ 11s+ 10

(s2 + s+ 1)(s+ 10)

2. Un sistema a tempo continuo µe caratterizzato dal seguente polinomio caratteristico

p(¸) = 2¸5 + 3¸4 + 2¸3 + ¸2 + 6¸+ 9

Il sistema µe stabile asintoticamente o semplicemente?

3. Si scriva la rappresentazione con lo stato di un sistema dinamico lineare che ha un guadagnok = 10 ed una costante di tempo ¿ = 0:01

4. Si tracci il diagramma polare di

F (s) = Ks+ 1

(s2 + 9)(s¡ 1)Si discuta la stabilitµa del sistema controreazionato con guadagno d'anello unitario, al variaredel guadagno K.

5. Dato il sistema

_x(t) =

0BBBBB@¡32

12

32

12 ¡3

2 ¡12

0 0 0

1CCCCCAx(t) +0BBBBB@2

0

0

1CCCCCAu(t)

y(t) = ( 1 ¡1 1 ) x(t) + 2u(t)

a. studiare la stabilitµa interna del sistema;

b. studiare la stabilitµa esterna del sistema;

c. calcolare la funzione di trasferimento;

d. studiare, al variare di K 2 R, la stabilitµa interna del sistema complessivo ottenutoconnettendo in serie il sistema dato ed uno con funzione di trasferimento

P (s) = Ks+ 10

s2

e controreazionando il tutto, con reazione unitaria (negativa);

6. Si tracci il diagramma polare di

F (s) = Ks2 + 1

(s+ 1)(0:1s+ 1)2

Si discuta la stabilitµa del sistema controreazionato con guadagno d'anello unitario, al variaredel guadagno K.

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7. Un sistema lineare e stazionario a tempo continuo µe descritto dalla seguente matrice di funzionidi trasferimento:

W (s) =¡ s+ 1s2 + 5s+ 6

s+ 2s+ 3

¢Si calcoli una realizzazione in forma canonica raggiungibile ed una in forma canonica osser-vabile.

Per una delle due realizzazioni,

a. si calcoli la risposta forzata all'ingresso u1(t) = 0, u2(t) = sen(t¡ 2)±¡1(t);b. si calcoli, se esiste, la risposta a regime permanente all'ingresso u1(t) = t±¡1(t), u2(t) = 0;

c. si disegni uno schema di simulazione;

8. Condizioni di esistenza della risposta a regime permanente

9. Un sistema lineare e stazionario a tempo continuo µe descritto dalla seguente matrice di funzionidi trasferimento:

W (s) =

0@ s¡ 1s2 + 3s+ 2

s+ 3s+ 1

1ASi calcoli una realizzazione minima.

Per tale realizzazione,

a. si indichino quali stati iniziali eccitano un solo modo naturale alla volta

b. si calcoli la risposta forzata all'ingresso u(t) = t±¡1(t¡ 1);c. si calcoli, se esiste, la risposta a regime permanente all'ingresso u(t) = sen(t¡ 1)±¡1(t);d. si disegni uno schema di simulazione;

10. Si consideri il sistema

_z = (¡2 2 ) x¡ z_x =

µ0 ¡10 0

¶x+

µ01

¶u

y = x1

a. Calcolare la funzione di trasferimento

b. Rendere, se possibile, asintoticamente stabile il sistema con una controreazione dall'uscita.

11 Dato il sistema descritto dalla funzione di trasferimento F (s) = s2 + 13s+ 30s(s2 + 1)

si studi la

stabilita' del sistema controreazionato con guadagno di anello k. Si traccino i diagrammipolari

12 Si consideri il sistema con funzione di trasferimento

F (s) =s2 ¡ 2s+ 4s(s2 + 2s+ 4)

a) Si studi con il criterio di Routh la stabilitµa del sistema controreazionato con guadagnodi anello k.

b Si determini una realizzazione minima. Giusti¯care la scelta

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