7/29/2019 esercitazione 7

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Alessandro Tazzini

Esercitazioni di Dinamica delle Strutture, 7

Controllo delle vibrazioni di una trave con attuatori piezoelettrici

Durante questa esercitazione abbiamo misurato le frequenze proprie di una trave a sbalzo soggetta a delle

vibrazioni forzate allestremit. In realt, dato che allestremit libera collegato un sensore e lo shaker, loschema strutturale di cui valutiamo le frequenze proprie il seguente:

Si sviluppato un modello analitico per determinare la rigidezza K e la massa M equivalenti che

giustifichino le frequenze proprie misurate del sistema.

Il modello considerato quello di trave incastrata ad un estremo e collegata ad una molla ed ad una massa

all'altro estremo, che schematizzano la presenza di uno shaker. Naturalmente presupposto perch questo

modello dia risultati buoni che lo shaker abbia effettivamente un comportamento lineare. Stiamo inoltre

trascurando eventuali effetti ulteriori che potrebbero essere presenti, come per esempio una rigidezza

torsionale indotta dallo shaker, od una forzante trasmessa eccentrica.

L'equazione del moto trasversale per una trave di Eulero-Bernoulli simmetrica, di lunghezza L e

sufficientemente snella da poter trascurare l'inerzia rotatoria :

, (; ) + (; ) = (;)

Imponendo la soluzione

(; ) = ()sin()

e considerando il caso di vibrazioni libere

,

= 0 ,

= 0,

=

La cui soluzione generale della forma

() = cos() + sin() + # cosh() + sinh()

Le condizioni al contorno sono:

(0) = 0, (0) = 0

, (%) = 0

, (%) = & (%) + '(%)

Tramite le prime due equazioni al contorno si ottiene un altro sistema nelle due incognite C3 e C4.

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Essendo un sistema lineare omogeneo, per ottenere una soluzione non banale necessario annullare il

determinante della matrice dei coefficienti; si ottiene cos l'equazione delle frequenze, nella quale si

evidenziano le incognite k ed m.

Facendo i calcoli lequazione delle frequenze risulta essere:

# cos2(%) cosh2(%) sin2(%) +sinh2(%)*+ 2&2 '(sin(%) cosh(%) cos(%) sinh(%)) = 0

Essendo la soluzione analitica molto complicata, abbiamo risolto il problema con una soluzione numerica,

svolgendo i calcoli con una trave modellata in Nastran e Patran, con 100 elementi beam ed elementi

puntiformi allestremit, modificando i valori dati alle propriet concentrate.

Quindi abbiamo cercato una combinazione di massa e rigidezza applicate tali per cui i risultati numerici si

avvicinassero a quelli sperimentali. Notiamo che leffetto dello shaker di aumentare le frequenze naturali,

rispetto a quanto si avrebbe con la semplice trave a sbalzo: questo significa che leffetto preponderante che

introduce quello di un aumento di rigidezza, pi significativo dellaumento di massa.

Per ottenere valori delle frequenze naturali simili a quelli ottenuti in laboratorio poniamo: m= 11 g, K= 2000 Pa

Con questa scelta si ottiene:

Frequenze

teoriche della

trave a sbalzo

Frequenze del

modello con shaker

Frequenze misurate

sperimentalmente

fn1 [Hz] 13,5 38,8 38

fn2 [Hz] 84,2 93,9 93,1

fn3 [Hz] 234,9 234,4 237,5

fn4 [Hz] 369,8 454,0 455,0

fn5 [Hz] 461,3 748,8 698,0

fn6 [Hz] 762,3 1117,9 819,0

fn7 [Hz] 1138,5 1560,9 1144,0

Confronto fra le frequenze

Vediamo come i risultati si accordino bene per le prime frequenze, per le quali fino alla quarta lerrore ben

entro il 5% dei dati misurati sperimentalmente.

Alle frequenze pi elevate possibile che il comportamento effettivo dello shaker muti, in quanto potrebbe

diventare significativo lo smorzamento, che noi abbiamo trascurato, e che farebbe diminuire le frequenze

naturali pi alte (come effettivamente si riscontra confrontando i risultati sperimentali e numerici).