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ESERCITAZIONE DI LABORATORIO SULLA DETERMINAZIONE DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA

DI UN FILTRO PASSIVO PASSA-BASSO COSTITUITO DA UNO STADIO RC

Premessa Un filtro è un quadripolo capace di operare una selezione, tra i segnali applicati in ingresso, in funzione della

frequenza; per un filtro possiamo definire Attenuazione )( fA& il rapporto tra il fasore rappresentativo della tensione in uscita ed il fasore rappresentativo della tensione in ingresso.

)()(

)(fVfV

fAi

o&

&& =

fig. 1 Le misure principali che si eseguono su di un filtro sono:

I filtri passivi si distinguono, in funzione della loro risposta in frequenza in: Filtri passa-basso; Filtri passa-banda; Filtri passa-alto; Filtri escludi banda.

Filtri passa-basso Un filtro passa-basso ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali a frequenza inferiore a quella per cui

è stato calcolato (frequenza di taglio) ed attenua tutti i segnali a frequenza superiore. Nei filtri reali il passaggio dalla frequenza di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l’andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso “ideale” e in alcuni casi reali ed un esempio di filtro passa-basso RC.

• rilievo del modulo della attenuazione )( fAA &= del segnale in uscita, rispetto a quello in ingresso, in

funzione della frequenza, il modulo viene espresso in dB: )log(20)( iodB

VVfA ⋅=& ;

• rilievo dello sfasamento )( fA&∠ del segnale in uscita, rispetto a quello in ingresso, in funzione della frequenza.

FILTRO

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Filtri passa-alto Un filtro passa-alto ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali a frequenza superiore a quella per cui

è stato calcolato (frequenza di taglio) ed attenua tutti i segnali a frequenza inferiore. Nei filtri reali il passaggio dalla frequenza di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l’andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso “ideale” e in alcuni casi reali ed un esempio di filtro passa-alto RC. Filtri passa-banda

Un filtro passa-basso ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali compresi in un intervallo di frequenze delimitato da una frequenza di taglio inferiore ed una frequenza di taglio superiore a quella per cui è stato calcolato (frequenza di taglio) ed attenua tutti i segnali a frequenza superiore. Nei filtri reali il passaggio dalle frequenze di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l’andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso “ideale” e in un caso reale. Filtri escludi-banda

Un filtro escludi-banda ideale è un dispositivo che lascia passare tutti i segnali non compresi in un intervallo di frequenze delimitato da una frequenza di taglio inferiore ed una frequenza di taglio superiore per cui è stato calcolato ed attenua tutti i segnali compresi nell’intervallo di frequenza. Nei filtri reali il passaggio dalle frequenze di taglio avviene in modo graduale senza brusche discontinuità. Nelle figure seguenti sono riportati: in diagramma l’andamento della attenuazione in funzione della frequenza nel caso “ideale” e in un caso reale.

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Analisi del filtro passivo passa-basso costituito da uno stadio RC Il circuito oggetto della prova è di seguito riportato, dall’analisi del circuito risulta:

)1(

1

111

CjR

VCj

V io

ωω +

⋅=&

& ⇒

1111

CRjVVA

i

o

ω+==

&

&& da cui

fig. 2

211 )(1

1

CRAA

ω+== & )()( 11CRarctgfA ωϕ −=∠=∆ &

La frequenza di taglio ft del filtro è quella in corrispondenza della quale la potenza trasmessa si dimezza e quindi

il modulo della attenuazione assume valore:

707,02

1===

i

o

VVA& ⇒

1121

CRft π

=

nel caso in esame, essendo R1 = 10 kΩ e C1 = 47 nF ⇒ ft ≅ 340 Hz Il modulo della attenuazione )( fAA &= , espresso in dB )log(20)( iodB

VVfA ⋅=& , è di seguito

rappresentato in funzione della frequenza; si osserva che in corrispondenza della frequenza di taglio (ft ≅ 340 Hz) l’attenuazione assume il valore –3 dB .

Lo sfasamento )()( 11CRarctgfA ωϕ −=∠=∆ & del segnale in uscita, rispetto a quello in ingresso, è di seguito rappresentato in funzione della frequenza; si osserva che in corrispondenza della frequenza di taglio (ft ≅ 340 Hz) lo sfasamento assume il valore ∆ϕ = – 45° (π/4).

fig. 3 fig. 4

Progetto del circuito di misura e scelta degli strumenti

Il circuito oggetto della prova è realizzato con: • un resistore in pasta di valore nominale R1 = 10 kΩ, potenza massima 0,25 W, tolleranza: ± 5%: è quindi

applicabile al massimo una d.d.p. pari a: VRPV 50101025,0 3 =⋅⋅=⋅= ;

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• un condensatore in poliestere di capacità C1 = 47 nF, tolleranza: ± 5%, tensione massima 200 V. Il circuito di misura prevede un generatore di forme d’onda per produrre la tensione sinusoidale in ingresso Vi,

un frequenzimetro per la misura della frequenza ed un’oscilloscopio digitale per la misura dei livelli di tensione in ingresso ed in uscita e per la misura del ritardo ∆t del segnale in uscita rispetto al segnale in ingresso; quest’ultima misura, nota la frequenza f, consente la determinazione dello sfasamento tft ∆⋅=∆⋅=∆ πωϕ 2 , dove ∆t è il ritardo temporale tra tensione in ingresso e tensione in uscita (come indicato in fig. 6). Allo scopo di facilitare la misura di ∆t e contemporaneamente ridurre le incertezze di misura, è opportuno “dilatare” la scala dei tempi solo per la misura di ∆t.

Lo schema del circuito di misura è di seguito riportato:

fig. 5

fig. 6

Dall’analisi del circuito di fig. 5 risulta che per bassi valori di frequenza del segnale di stimolo Vi il condensatore

presenta una elevata reattanza, di conseguenza la tensione in ingresso Vi la ritroviamo in uscita ai capi del condensatore; per elevati valori di frequenza il condensatore tende a presentare una bassa reattanza e quindi la tensione Vi si ripartisce in percentuale maggiore sulla resistenza, quindi, supponendo di non variare la tensione in ingresso durante la prova, la massima tensione applicabile al circuito non deve superare 50 V.

Per quanto riguarda la frequenza del segnale in ingresso, dall’analisi dei diagrammi teorici di fig. 3 e di fig.4, ci si accorge che è senz’altro opportuno eseguire le misure sia all’interno della decade che contiene la frequenza di taglio (100 Hz, 1 kHz) sia nelle decadi attigue (10 Hz, 100 Hz) e (1 kHz, 10 kHz); tale scelta garantisce la possibilità di tracciare una caratteristica sperimentale sufficientemente ampia ed indicativa delle proprietà del filtro. Le frequenze di misura vanno poi opportunamente determinate considerando che, se la scala delle frequenze è logaritmica, per poter costruire correttamente le curve di risposta, le frequenze di misura devono essere scelte in modo tale da essere geometricamente equispaziate sulla scala delle ascisse.

Così, ad esempio, se nella decade (1 Hz, 10 Hz) si vogliono 5 punti di misura geometricamente equispaziati, considerato che log(1) = 0 e log(10) = 1 , è necessario scegliere le frequenze in modo che:

log(f1) = 0 ⇒ f1 = 1,000 Hz ; log(f2) = 0,25 ⇒ f2 = 1,778 Hz ; log(f3) = 0,50 ⇒ f3 = 3,162 Hz ; log(f4) = 0,75 ⇒ f4 = 5,623 Hz ; log(f5) = 1 ⇒ f5 = 10,000 Hz ; Analogamente per le altre decadi.

Generatore di funzioni Frequenzimetro Oscilloscopio

Hz Hz

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Si sceglie quindi, per il segnale sinusoidale in ingresso, un generatore di funzioni che renda disponibile una tensione inferiore a 50 V nonché sia in grado di regolare la frequenza almeno nell’intervallo (0 Hz 10 kHz). La scelta cade, anche per disponibilità del laboratorio, sul generatore di forme d’onda arbitrarie Agilent 33120 A. Detto generatore svolge anche la funzione di frequenzimetro, in appendice A sono riportate le specifiche tecniche del generatore, in particolare alla seconda pagina della appendice sono evidenziate le caratteristiche di precisione del frequenzimetro.

Per la misura dei valori efficaci della tensione in ingresso e della tensione in uscita nonché del ritardo ∆t del segnale in uscita rispetto al segnale in ingresso si sceglie un oscilloscopio digitale. La scelta cade, anche per disponibilità del laboratorio, sull’oscilloscopio digitale Agilent 54600 B (o sul modello Agilent 54603 B) completi di sonde di tensione 10:1 Agilent 10071 A. In appendice B sono riportate alcune specifiche tecniche, in particolare sono evidenziate le caratteristiche di precisione sia del sistema verticale (misura della tensione) sia del sistema orizzontale (misura del tempo). Sono da scegliere le indicazioni di incertezza relative alle misure con doppio cursore perché la tensione efficace, anche se misurata in modo automatico, prevede l’uso di due cursori.

Si osservi che effettuando misure con il doppio cursore sia di tempo che di tensione, al fine di determinare l’incertezza di misura è necessario conoscere il “full scale” dello strumento dato dal prodotto tra il guadagno verticale (espresso in V/div o in s/div, è indispensabile annotarlo durante la prova!) ed il numero massimo di divisioni (10 orizzontali ed 8 verticali).

I dati rilevati sperimentalmente vanno riportati in tabella (si prenda come riferimento la tabella riportata in appendice C) e successivamente in diagramma opportunamente interpolati.

Incertezza di misura Per quanto riguarda l’incertezza di misura, resta da determinare quella relativa alle grandezze determinate in

modo indiretto ovvero lo sfasamento ∆ϕ e l’attenuazione A espressa sia in valore assoluto che in dB. Per quanto riguarda lo sfasamento, essendo determinabile tramite l’espressione: tft ∆⋅=∆⋅=∆ πωϕ 2 ,

calcoliamo subito l’incertezza relativa di caso peggiore:

tf uuu ∆∆ +=ϕ , da cui si ottiene l’incertezza assoluta di caso peggiore: ( )tf uuU ∆∆ +⋅∆= ϕϕ .

Dalle caratteristiche tecniche allegate risulta che fu è data direttamente (20 ppm), mentre per quanto riguarda

l’incertezza sulla misura del ∆t, questa è data (in valore assoluto) mediante la relazione (Horizontal System – Cursor

Accuracy): 200%2,0%01,0 ++∆=∆ FSOtU t ps, pertanto possiamo scrivere (con il full scale FSO ed il ∆t espressi in secondi):

ttFSOu t ∆

⋅+

∆+=

−

∆

1210200002,00001,0

Va però precisato che, essendo f e ∆t non correlate (le misure sono eseguite con strumenti distinti), gli errori sulla frequenza e sul ∆t sono chiaramente indipendenti, pertanto è possibile applicare la formula del caso più

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probabile (con una significativa riduzione dell’incertezza), determinando quindi l’incertezza standard:

( ) ( ) ( ) ( ) 2,

22,

22,

22

,

2

, 22)( stdtstdfstdtstdfstd UfUtU

tU

fU ∆∆∆ ⋅+⋅∆=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∂∆∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∆∂

= ππϕϕϕ

dividendo ambi i membri per ∆ϕ si avrà: 2,

2,, stdtstdfstd uuu ∆∆ +=ϕ

Per quanto detto prima, la distribuzione degli errori sulla misura dello sfasamento sarà approssimativamente gaussiana, per il Teorema del Limite Centrale, essendo relativa ad una variabile aleatoria funzione di più variabili aleatorie (almeno quattro), ciascuna con una propria distribuzione (che qui assumeremo uniforme, in mancanza di informazioni precise del costruttore degli strumenti). Pertanto l’incertezza assoluta standard prima calcolata definisce con buona approssimazione un intervallo di confidenza con grado di fiducia 68 %, mentre altri intervalli di confidenza possono essere determinati con le consuete regole.

Per quanto riguarda l’attenuazione, sia in valore assoluto che in dB, considerando che le grandezze da cui

dipende sono misurate dallo stesso strumento e quindi correlate e di conseguenza i corrispondenti errori sono non indipendenti, si deve in ogni caso determinare l’incertezza di caso peggiore:

i

o

VVA = ⇒ ViVoA uuu += ⇒ ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=+⋅=

i

Vi

o

VoViVoA V

UV

UAuuAU

)log(20i

odB V

VA ⋅= )log(20)log(20 iodBVVA ⋅−⋅=

Pertanto l’incertezza assoluta su A (espresso in dB) vale:

( )dB)()10ln(

20)10ln(

20)10ln(

20)10ln(

20ViVo

i

Vi

o

Vo

i

Vi

o

VoVi

iVo

oA uu

VU

VU

VU

VUU

VAU

VAU +⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅+⋅=

∂∂

+∂∂

=

Considerato che l’attenuazione (espressa in dB) assume valori prossimi allo 0 non è opportuno esprimere la sua incertezza in termini relativi.

In appendice C è riportata la tabella su cui riportare le incertezze di misura. Approfondimenti Ritorniamo all’incertezza di caso peggiore sull’attenuazione, calcolata nel caso particolare in cui, oltre ad usare

lo stesso strumento (oscilloscopio) per misurare le due tensioni Vo e Vi, lo adoperiamo anche sulla stessa portata. In questo caso, con buona approssimazione, possiamo ritenere identici gli errori di guadagno nella misura delle due tensioni, conseguendo quindi una riduzione sensibile dell’incertezza di caso peggiore nella misura del rapporto A. A tal fine, riportiamo la dichiarazione d’incertezza per le misure d’ampiezza dell’oscilloscopio (Vertical System – Dual cursor Accuracy):

PVGVV UVuFSOVU +=+= %%4,0%9,1

in cui possiamo ritenere l’1,9% come un’incertezza di guadagno, maggiorante del modulo dell’errore di guadagno sulla retta di riferimento, per ipotesi indipendente dalla lettura effettuata. Pertanto, come già visto dalla teoria, se effettuiamo una misura di rapporto, il contributo dell’errore di guadagno si elimina e rimane solo il contributo degli altri tipi d’errore:

1 1A PV

o i

U A UV V

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ovviamente, quanto detto si estende anche al caso dell’espressione di A in dB:

( )20 20 1 1( ) dBln(10) ln(10)A Vo Vi PV

o i

U u u UV V

⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

pag. 7

Appendice A

pag. 8

pag. 9

Appendice B

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pag. 11

pag. 12

Appendice C

Dati rilevati

n. f (Hz) Vi (V) KVi (V/div.) ∆t (s) Kt

(s/div.) VO (V) KVo (V/div.)

A (p.u.)

A (dB)

∆ϕ (rad)

1 1 2 2 3 3 4 6 5 10 6 18 7 32 8 56 9 100 10 180 11 320 12 560 13 1 000 14 1 800 15 3 200 16 5 600 17 10 000

Incertezze di misura

n. uf (%) uVi (%) uVo (%) u∆t (%) uA (%) UA (p.u.) UA (dB) U∆ϕ (rad) U∆ϕ,std (rad)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17