escuela tÉcnica superior de arquitectura de madrid
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
S I S T E M A S P L A N O S D E E S T R U C T U R A S
(APROXIMACIÓN AL MODELO DE ANÁLISIS DE PIEZAS
' RECTAS DE HORMIGÓN ARMADO EN ESTADO ULTIMO)
- POR
ANTONIO-J.OSE MAS-GUINDAL LAFARGA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA DE MADRID
MADRID, MAYO 1.981 TOMO I I
co
m
LU
\ tí
\C ti»
;.x.
momento anteultimo vaho
FIGURA 7.1.1.
momento] u11 imo apoyo
CALCULO DE DEFORMACIONES
Dentro de este capitulo nos adentramos en el proce
so de plastificación de la pieza, como una solución
recurrente para'describir su deformación.
En estado próximo a rotura, interesa determinar las
flecha reales f como último nivel al que en servi -
ció la pieza no puede acceder nunca. Fig 7.1.1.
La pieza seguirá siendo estructural hasta la forma -!
ción de la segunda rótula plástica, hecho que la -
convierte en mecanismo.
Si, conforme se ha demostrado en el capitulo ante -
rior, el momento último se ha alcanzado en el apoyo
-entendiendo como apoyo sólo el vínculo-, la pieza-
estabiliza tensiones en ese mismo apoyo para satu -
rarse de tensión en la zona central, donde aparece
rá el segundo momento máximo de la pieza.
Si en estas condiciones, en la sección central apa
rece otra articulación plástica, tendremos un meca
nismo, pero si se detiene la entrada de carga en el
139.
1 p |eal+I
£bl
d
lea!+Iebl
Curvatura en un punto.
ds
instante en el cuál, la sección de momento máximo ~
en el vano presenta su momento anteultimo -armadu -
ras trabajando a su límite elástico-, se habrá de£i_
nido una situación que corresponde al instante ante
rior al colapso de la pieza. Este instante es el
que se debe considerar para calcular flechas -
en estado último- Fig.7.1.2.
Según lo apuntado en el capitulo anterior, el giro-
residual en el apoyo es sólo debido a la suma de a-
d8 = ds (longitud de arco) alargamientos plásticos del acero en esa situación o
lo que lo mismo la suma de amplitudes máximas de £!_
suras más deformaciones plásticas divididas por el-
canto útil.
EN EL INTERVALO Ej_ cgiCulo de la flecha se hará computando todas
las flechas locales del intervalo (71) para esa si^
tuación de alargamientos en el instante de rotura.
(7l) Según la Norma EH-80, el cálculo de flechas consiste en
-F— = d0(ángu1o)
6= I *| 1 b l ds FLECHA LOCAL
FIGURA 7-1.2. establecer la ley de variación de curvatura de la pieza determinando después la flecha por doble integración.
1 s' 'c rJj^ck art? 45.2.
FIGURA 7.1.3.
En el caso que nos ocupa, de pieza doblemente empo
trada^ comenzaremos a contabilizar curvaturas desde
la mitad, por considerar la doble simetria.
Si se integra por la fórmula de los trapecios,
E e <5 c ¿ s . expresión de la flecha local.
d
ds ( C ( 0 ) * C ( 2 5 ) + E C(K.)) = flecha máxima Fig.7.1.3. 2 o X
donde C(í/)y CÍ25) son las curvaturas primera y úl
tima y las C(K.) son las curvaturas intermedias, -
siendo ds la amplitud del intervalo tomado -en to -
dos los ejemplos igual a 10 cm.-.
Este proceso de discretización permite el análisis-
de piezas complejas, pudiéndose acotar con preci
sión el resultado sin más que variar el número de -
intervalos reincidiendo de forma repetitiva sobre -
el algoritmo utilizado.
141
M"
-k'
X / 1 Im /
0.003Í
e p
==•
EEEEEE
M* "
%
O 9
O O
FIGURA 7,2 .1
ROTULA
FIGURA 7 - 2 , 2 .
? FORMACIÓN DE ROTULAS PLÁSTICAS
a
una vez determinado el "giro plástico en el apoyo"s
como giro residual que -aparecía en aquel cuando no-
se le permitía girar por imponer la condición de em
potramientq, perfecto. Tal giro era debido a deforma
ciones plásticas del acero únicamente. Por lo que -
de forma aproximada se puede establecerf
Fig.7.2,1. 0 d = A (alargamiento plástico)
Siempre posible si se confunde el giro residual en
el apoyo con el valor de la tangente de ese ángulo
por tratarse de valores muy pequeños.
Estos alargamientos que aparecen, motivados por
los escalones de cedencia del acero, hacen que nos
introduzcamos más en el proceso de plastificación-
es decir abandonar la zona de " no linealidad " e-
videnciando con claridad la zona de influencia del
acero, tal zona dará la magnitud de la rótula plás_
tica, Fig.7.2.2,
142,
i í5?ífl.#í. W ^ 5 ~f! ^ í - ¡
FIGURA 7 . 2 . 3 .
I»» longifud e +A - «iefojraaciSa «axtiots. é&t aceto
roas alargamiento plástico- debe asociarse a la si -
tuación límite y de momento último.
Podría entrarse en la cuestión de determinar la for
uta de fluir del acero en la i zona de plastif icación-
hecho que por el momento no interesa y podría ob -
viarse a través de un trazado de puntos en situacio
nes intermedias.
Como quiera que no llegaremos a la situación e + e
y siempre se estará en una intermedia, se podrá to
mar como deformación total su promedio. >
e +. e , a p
2
Este promedio dará por un cierto incremento de pie
za -Ax- el recorrido total Ay.
e + e Ay = Ax ( — ) Fig. 7.2.3.
2
Teniendo en cuenta que en la zona inferior del apo
yo -momentos negativos-, las deformaciones han lle-
143
gado al 0.0035, el «oviaieaf» ©a la .
siones. será áx.0.0035 = á b
Con los dos escalones de cedencia del acero y hormi
gón determinados y puede calcularse el giro en el a-
poyo en situación última, sin más que asimilarlo a-
su tangente, A + A^
« . y b plást, ,
Este giro plástico, va a ser elemento de compara
ción con aquel giro obtenido ya con anterioridad
que procedía de la situación de un armado especifi
co exclusivamente y~que era distinto para cada una-
de las armaduras y su disposición.
Como en definitiva, lo que se pretende es determí -
nar la rótula para el armado concreto, una regla de
tres, en función de los valores obtenidos marcará -
la longitud "afectada de pieza plastificada o ró
tula plástica.
GIRO UNITARIO PLÁSTICO - • — ALARGAMIENTO PLÁSTICO
GIRO ENTRE APOYO Y MITAD~ PARA ARMADURA DADA EN SERVICIO ________ LONGITUD DE LA ROTULA
PLÁSTICA 144
U'« 6 c»2, V • 3 cm2. luz» 5
Sección 40.25
hú
Pultima 8^13,07 kp.
FIGURA 7.3.1.
\ t 7.3.
EJEMPLOS
SECCIÓN RECTANGULAR
En función de los datos de la figura -7,3.1,- la
máquina operando con los programas £33 y £34 f de
finidos en el anexo arroja los siguientes valo -
£ + e = |-O = 0049561 + |0.00352| = 0.008476
°- 0 0 8 4 7 6 , 0.004233
e + E, a b + e, = 0.004233 + 0.0035 = 0.007733 2 " b
Si se toma una longitud Ax igual al canto útil de
38 era., la cifra resultante es ya el giro unitario
buscado. valor que se sitúa en el doble casi del -
producido en situación "no última", para los valo
res de las armaduras dadas de valor 0.003823.
U=3cm2. U'/U=2
U'=6 cm29 0,007733 38
0.003823 Rótula
TABLA 7.3.2.
CARGA ULTIMA 8.413,0? kp/ml
DISTANCIA AL APOYO
80
70
60
50
4o
30
20
10
0
cm.
PROFUNDIDAD PLASTIF.
0.0349 ero.
2.006
3.506
4.986
6.581
8.023
9.642
10.673
12.603
GIRO PLÁSTICO EN EL APOYO GIRO ARMADO DADO ALARGAMIENTO PLÁSTICO MOMENTO ULTIMO APOYO MOMENTO ANTEULTIMO VANO
-0.009262 rad 0.003823 " 0.003520 cm 22543,70 mkp 3747,07 "
ñ <\ h 1> IM|| -f ft
Regla de tres que á& como resultado ti ©», «pus *»»»
la longitud de la rótula plástica.
Por ser en este caso el giro en el apoyo para unas
armaduras dadas inferior al que se desarrolla en -
la situación última, la pieza no es viable y ha
bría que aumentar armaduras.
Con independencia de que la rótula se extienda só
lo a una zona de 18 cm. el estado de "no lineali -
dad" del hormigón abarca 80 cm.Tabla. 7.3.2.-
La rótula supone el 49% del canto útil.
O1 =2.66 cm2,
U=1.33 cm2.
0.003733 0.001516
18.59
7.3,2» SECCIÓN m I ! í \l«
Analizando la sección del forjado» análogamente al
caso anterior -basando el estudio en cualidades de
deformación únicamente^-, el alargamiento plástico-
de 0,001516 del acero, deberá acumularse a la de -
formación elástica propiaf
e + A = 0.003733+0.001516 = 0.005249 a p
D.005249 0.002625 *-promedio-<-
Si se toma un canto útil de 18 cm. y se calculan -
* alargamientos,
0.110250
ACERO A = 18x0.002625 = 0.04725
HORMIGÓN Aw = 18x0.0035
0 .006125
0.063
18
FIGURA 7.3.2.
Si el giro que se produce, para unas armaduras da
das, es 0.006371 se comprueba que 0.006125<0.006371
con lo que la rótula necesaria es 6 3x18 1 Q __ ~61 1«,03
o lo que es lo mismo un 3.3 % más del canto útil.
v v
Rótula necesaria = 1.033 x 18 = 18,594 cm.
147
TABLA 7.3-3
CARGA ULTIMA 1223,62 kp/ml
DISTANCIA AL APOYO
60 cm.
50
4o
30
20
10
O
PROFUNDIDAD PLASTIF,
0.416 cm.
1,331
2.229
3.145
3.955
4.684
5.640
GIRO PLÁSTICO EN EL APOYO GIRO ARMADO DADO ALARGAMIENTO PLÁSTICO MOMENTO ULTIMO APOYO MOMENTO ANTEULTIMO VANO
-0.008424 rad. 0.006371 " 0,001516 cm, -3034,97 kpm. 788,85 "
De los dos ejemplos anteriores se aespren&fe <fa» •*
la p^eza en T responde de forma muy distinta a la
rectangular, pues habiendo partido en los dos ca
sos de relaciones de armado 2/1 en el caso de la-
sección rectangular el tamaño de la rótula apenas
llega a la mitad del canto útil mientras que en -
el caso de sección T, la rótula precisa de más
del canto útilf cirscunstancia que obvia el predo
minio del trabajo a momentos positivos de un for
jado y la inconsistencia en los métodos de análi
sis que lo asimilan a piezas rectangulares.
En el caso del forjado la rótula necesaria es de
más del doble que en la pieza rectangular. Tabla7.3.3
Hecho que justifica en los forjados la práctica -
del macizado.en los apoyos.
•
i i M Wv>«¡
7.4. ESTADO DE PLASTIFICACION
Ep este punto y, en base a lo expuesto, se entien
de que la formación de una rótula plástica, no es-
un hecho fisico de dimensiones acotadas, sino un -
estado al cuál se va llegando, progresivamente a -
base de progresivos estados de carga.
Los resultados anteriores, función de hipótesis de
criterio, muestran que el fenómeno de la plastifi-
cación de una pieza, como estado anelastico de i -
nestabilidad aparece como un problema complejo en-
su tratamiento, ya que, al margen de la exposición
teórica desarrollada, pueden incidir cuestiones se
cundarias en el proceso - constructivo, tales como,-
velocidad de entrada en carga, discontinuidades lo
cales de la masa, correcta colocación de las arma
duras, granulometrias incorrectas y todos los pro
blemas derivados de la puesta en obra del hormigón.
El hormigón hasta llegar a rotura atraviesa por un-
Wt-
a-
<L t (^ ( U L
conjunto de estados de plastificación admxsible a
lo la rgo de toda la pieza, ocasionados por zonas-
de "no linealidad" y alargamientos plásticos del
acero. Fig 7.4=1.
0.0035 eCp
Ifi^i^lJjLLijUyL JL A_A_\1 \ s LINEAL!DAD II NO LINEAL I DAD PLASTIFICACION NO LINEAL!DAD LINEAL!DAD
ROTULA
e Deformación del hormigón para su límite de proporcionalidad.
e Deformación del acero para su límite elcjs-'LE t i co,
FIGURA ?.4.1.
En los términos anteriores, si la pieza se encuen
tra muy armada a tracción con alto límite elástico
-y dejando de lado consideraciones locales de aahe
rencia y anclaje-t los giros plásticos pueden lle
gar a ser incompatibles, con el hormigón que se ha
ce saltadizo y no presenta aviso alguno a rotura,-
l
Este caso en patología del *»*v.!-J::.-.. .- .- .
rotura rragii. ( ) y es el aspecto »i«s |iej,i« B©éw <m¡%
las ruinas en hormigón armado»
En el otro extremo estaríar la otra posible ruina -
por fallo de la armadura traccionada, también con -
trolable desde el modelo f pues se produce ai experi^
mentar, la armadura traccionada alargamientos supe
riores al 10 %0. Las ruinas por este motivo son más-
facilmente detectables, por las fisuras que genera-
el escalón de cedencia del acero en fases previas a
rotura. Fig.7,4,2.
Las fisuras previas a los estados anteriores, no
continuas, de hasta 0.2 ron. de abertura, no deben -
considerarse peligrosasf pero por ellas se inician-
procesos de ruinas ajenos al propio proceso mecáni
co que se está describiendo, tales como, penetra
ción de agua yformación de hielo, corrosión de arma
duraf perdida de resistencia a esfuerzo cortante, -
factores en los que no se entra a considerar.
i71) PATOLOGÍA Y TERAPÉUTICA DEL HORMIGÓN ARMADO. H. Canova.
Las fisuras suelen ser anctiasg si mm, «til4«* mmm
ordinario como armadura de tracción» por el contra.
x±o, estrechas y abundantesf si el acero es corru
gado de alta adherencia.
En todo el proceso no se trata de la colaboración-
de las armaduras de compresión, pero el simple he
cho de pasar la armadura inferior a través del apo
yo ahecho además bastante frecuente en la práctica
- reduce notablemente las longitudes de plastifica
ción y naturalmente habría que aumentar la armadu
ra de tracción en esa misma cuantía A para poder -
ser tenida en cuenta, Fig.7,4.3.
De todo lo expuesto, se desprende que la plastifi-
cación de la pieza, es un fenómeno que se asocia -
más a zona de pieza que a sección y que, por lo
tanto, no tiene sentido hablar de sección plastifi_
cada sino de zona de pieza, aún cuando la cantidad
de plastificación -no linealidad + alargamientos -
sea variable.
!
De los ejemplos anteriores, se desprende que tam
poco es necesario que las secciones más agotadas-- — — - • — - —
de la pieza estén totalmente en estado de "no li-
nealidad", pues como se ha visto las profundida -
des de los bloques rectangulares plásticos de hor
migón no guardan relación con los momentos últi -
¡nos, condicionados estos por las deformaciones lí
mites del hormigónf por convenio fijadas en 0,0035.
Si, por ejemplo, en la pieza de 40.25 las mayores
"no linealidades" son del orderi de 12,6 era. de pro_
fundidad, según lo obtenido, supone el 30% del can
to, en estas condiciones, no tiene sentido inves -
tigar la existencia de módulos resistentes mayores
provocados por mayores profundidades del bloque
plastificado del hormigón, ya que para la profund^
dad de 12,6 cm. mencionada se han producido los rao
mentos últimos de apoyo y vano, en consecuencia la
pieza no esta capacitada para asumir más solicita-
ción.
GRÁFICO ROTULAS-CUANTÍAS J
De los resultados de los programas en uso -£30 al
f34, ver Tomo II Anexos-, se puede establecer un-
gráfico que relacione rótulas y cuantías con re
lación entre armaduras.
Se considera importante, establecer la variación-
entre las longitudes de piastificación -rótulas -
y las distintas cuantías y proporción entre arma
duras .
Del gráfico adjunto, se deduce que para U+U'=lcm2
a 6cm2.1os gráficos tienen coherencia aproximando
se a arcos de parábola, sin embargo al saltar de-
8 a 12 cm2. los resultados no son comparables, -•
presentando la última un mínimo para ü'/ü=3. Es -
tas discontinuidades de la tabla son debidas cía--
ramente a la rotura frágil del hormigón al supe -
rar su deformación límite en flexión del 0.0035%o.
FIGURA 7-5.
GRÁFICO ROTULAS-CUANTÍAS
155.
Rotula
2Q_
FIGURA 7.5.1.
Entre 8 y 12 cra2. de cuantía, los armados son iló
gicos para la geometría propuesta, donde antes de-
producirse estas curvas extremas, se habrían mani
festado otros problemas como, falta de adherencia-
recubrimientos mínimos insuficientes, difícil hor
migonado , separación de armaduras incorrecta, co -
queras,..etc. En estas condiciones cabe pensar que
la carga P que obtiene el programa es mayor que la
P ultimai y supone estar armando en condiciones po
co mecánicasf obteniéndose valores no significati
vos, Fig 7,5,1,
Lo que si puede establecerse* es que, para propor
ciones entre 2 y 3 cm2. las rótulas que se forman-
en un forjado doblemente empotrado, no superan el-
canto -8 a 20 era.-, pudiéndose sacar conclusiones
operándose con una casuística de geometrías y cuan
tías diversas.
En esta misma linea confeccionamos la tabla 7.5.2.
para un acero A-42? en donde se añaden las longitu
des de pieza en estado de "no iinealidad" en serví
ció y rotura. 156
'acero L,E.= 0.003733 m/nt
ROTULA
ü'
0
NO LIN. E.S.
NO LIN. E.R.
0.6
14.70
24.74
32.10
37.75
46.23
*44.55
*43.02
1.0
110
90
70
60
5
40
10
30
20
10
13.90
21.79
27.02
30.82
36.13
*33.79
*31.85
1.6
110
90
70
5
60
10
40
20
30
30
20
11.75
17.24
20.55
22.74
25.19
\
*23.06
*18.68
110
90
70
10
60
20
4Q
30
30
40
20
2.0
10.45
110
14.85
90
17.20
70
18.72 10
60
20.18 30
40
*17.92 40
30
*12.17 50
20
9
2.3
9.08
12.41
14.02
14,91
15,07
*12.79
*5.73
110
90
70
20
60
30
50
40
30
50
20
3.0 4.0
7.95
110
10.49
90
11.52
70
11.99 20
60
6.22
7.69
8.02
7.62
m . Q 6 40&3.42
5Q
*8.91 50*2.85
30
*6.30 60*8.12
20
110
90
70
30
60
40
50
50
30
70
20
ÜHJ'=1 cra2.
2
3
4
6
8
12
TABLA 7-5.2.
(*) En e s t a s s i t u a c i o n e s l a c a r g a o b t e n i d a de l a s a rmadura s e s mayor que l a ú l t i m a .
157»
wn
U'/U \2
LONGITUDES
\ 1 9 0 1' oo cm.
FIGURA 7 = 5,3. / LINEALIDAD
DIAGRAMA "NO LINEAL IDAD"-CUANTIA,
De la tabla anterior se desprende, que en servicio
los Frieres de la longitud de "no linealidad" -su
perior derecha- se hacen crecientes con la cuantía
para la carga ultima -inferior derecha en la casi-
11a"- son exactamente iguales, por lo que no depen
den de la cuantía»
Las zonas de "no linealidad" solo dependen de U+U'
no de como esté distribuida, Pig. 7.5-3.
Peí estudio, que se realiza sobre la sección T de-
20 cm. de canto y 5 m, de luz, se desprende que la
mayor contribución, no viene de la cantidad de ar
maduras sino de la forma de disponerla ~0f/ü--
Las estrategias clásicas, basan sus métodos en con
diciones de deformación, basadas a su vez en condi^
clones de geometría -como pueden ser el método de-
Cross, aplicado a viguetas continuas, como rezan -
algunos catálogos en circulación-.
158.
El proceso descrito de plastificaeiGn» por tratar
se de ,zona de pieza y no de sección, se produce si
esa zona existe y solo así, de ahí que este razona
miento desemboque en la necesidad de existencia de
esa zona o cantidad de apoyo en la pieza-Fig.7.5.4.
Resumiendo el proceso ha sido,
i. Aparición del alargamiento plástico.
2. Deformación en momento último del acero más alargamiento plástico.
3. Giro producido para el armado especifico.
4. Determinación de la rótula.
6 " RESUMEN DEL PROCESO HATEMATICO
Se p a r t e de l a p i e z a de s e c c i ó n T mode lo , con -
una c i e r t a c u a n t í a f i j a d a y d i s p u e s t a de forma-
e s p e c i f i c a .
Se a n a l i z a l a p i e z a con 50 i n t e r v a l o s .
Se o b t i e n e l a c a r g a ú l t i m a de l a p i e z a en s i t ú a
c i ó n de momento ú l t i m o en e l apoyo y a n t e ú l t i
mo en v a n o .
El momento ú l t imo de apoyo, se ha obtenido des_ pues de un proceso de no l i n e a l i d a d en e l compor tamiento de l hormigón, en e l i n s t a n t e en e l cua l se agota en f l ex ión para £ = 0 .0035. En e_ se i n s t a n t e se e n t i e n d e , se produce e l p r o g r e s ivo aumento de momentos p o s i t i v o s h a s t a que -e l hormigón comprimido de l vano l l e g a a l a mis ma deformación extrema acompañando a l acero Aquí, se ha ana l izado e l i n s t a n t e a n t e r i o r a l -comienzo de l a f luenc ia de l a c e r o , es d e c i r a l l í m i t e e l á s t i c o . Con l o s dos momentos, se ob t i ene un momento i -s o s t a t i c o y de e l l a carga ú l t ima .
Con la carga última y los momentos últ imos, se -
recorre -a pieza desde e l medio a l apoyo - só lo ,
por haber s imet r ía - integrando curvaturas y se-
obtiene e l giro res idual en e l apoyo que ha su
frido e l acero.
I í
\ \ |w n\f
En todo el proceso la mSqmtoa» tie»ei jr%f ist*iitf •
tqdo el proceso en todas las secciones, pediendo
comprobarse localmente cualquier variable en el-
instante último que analizamos. Para el caso ana
lizado de U'=2.66cm2. y U=1.33cm2. U'/U=2
»G" =0.000627 -deformación frontera de linealidad del hormigón H-175 usado-.
N(0) = -0.002359 Deformación del hormigón en el-apoyo antes de producirse la segunda rótula plástica.
N(25)= 0.000215 Deformación del hormigón en el-instante anterior a producirse la se gunda rótula plástica en el vano o -instante último de comportamiento e-lástico del acero.
Debe hacerse notarf que el hormigón bajo la carga última alcanza deformaciones mucho mayores a-las de 0.0002. La diferencia entre la obtenida -de -0.002359 y el -0.0002 -deformación límite en-compresión usada para definir el escalón de no -linealidad-, se explica en la espera en deformaciones plásticas que el hormigón del apoyo debe-sufrir, entre la aparición de la primera rótula-y la segunda que ocasiona la ruina de la pieza.
161
* CONSIDERACIONES SOBRE EL PROCESO DE ROTURA
7.7,1. ACERO
Dentro del proceso de carga al que esta sometida la
pieza, conviene puntualizar, que, si la pieza estu
viese constituida solo por acero, podrían aumentar
se paulatinamente las cargas hasta llegar al límite
de proporcionalidad '-límite de linealidad-, sin que
las condiciones elásticas del material variaran, pe
ro en la pieza de hormigón estas condiciones, como-
se ha visto varian desde tensiones relativamente ba
jas y cuando nos aproximamos a rotura cambian nota
blemente. Al salir del límite de linealidad, la pie
za se deforma más y más, manteniéndose constante la
solicitación en la armadura.
En estas condiciones f se produce un aumento de bra^
zo de palanca, como único medio que le queda a la -
pieza de resistir los sucesivos incrementos de car
convenida
> -rotura rea!
X+dX
z*dz
TEORÍA CLASICA brazo independiente de M X no v a r i a F no depende de M
COMPORTAMIENTO REAL brazo v a r i a b l e -*- X va r . F v a r i a con la pos i c ión
s . -aunque en secciones p r ó ximas a ro tu ra no v a r i a
FIGURA 7 . 7 . 1 .
ga, hasta que reduciéndose p*t>grestv«»ftn.<fcfe <é% *»&&-
que comprimido de la sección más so l ic i t ada la pie
za rompe í77) incapaz de soportar nuevos aumentos-
de carga.
Este es un aspecto in te resante a des tacar , sobre -
lo expresado en normas y manuales, pues, dentro de
es te proceso se establece que e l momento último o-
último momento que la sección r e s i s t e sin roraper,-
se ha es tablecido sobre la base de que la armadura
en es ta fase f ina l de ro tu ra , es capaz de desarro
l l a r un esfuerzo de t racción igual a l producto de-
su sección por su l ími te e l á s t i c o , F i g , 7 . 7 . 1 .
Analizar es te proceso desde la única óptica del lí_
mite e l á s t i c o empobrece la visión del fenómeno. De
bido a l hecho de que, ni la sección del acero en -
e l ins tan te de rotura es la nominal -real»-, ni en-
todo e l proceso se están analizando los acortamien_
( 7 7 ) Al d e c i r l a p i eza rompe, no se d i s c u t e l a forma de rom p e r , que puede s e r , f r á g i l , por a largamiento exces ivo-de l a c e r o , c o r t a n t e no t o l e r a b l e por e l hormigón o s i multáneamente algunas de e l l a s . Sobre e l tema "LOS ESFUERZOS CORTANTES EN HORMIGÓN ARMADO". Alfredo Paez.
tos trasversales» cpie son reales 5 6». «esfea tssslA •*
no se contempla por ser parte, de poca importancia.
Ni tampoco la rotura supone el establecimiento de
fronteras en lo referente al acercamiento ai limi
te elástico, sino que, según se ha dicho, ocasiona
una serie de situaciones distintas por las que va-
pasando el bloque comprimido, que dependen de la a
plicación de la carga, de la propia solicitación y
de los estadios del acero en cuanto a su relaja -
ción.
El hecho de cifrar la capacidad límite en el lími
te elástico de acero, se justifica en la propiedad
especifica de los aceros ordinarios. Fig.7.7.2. de
presentar una zona considerable de tramo horizon -
tal en el diagrama tensión-deformación.
Alcanzado este límite la barra se alarga con gran
des deformaciones sin que la tensión sufra incre *-
mentos relevantes.
En este trabajo, se intenta, precisamente analizar
los valores de deformación a partir del aiargamien
' Tl-
tO plástico del acero, intentando corregir 3.os alcf, ni
res des las normas, en base a este fenómeno.
Además, el propio valor ' de límite elásticos es -
también imprecisof aunque de más flabilidad que el-
resistencia caracteristica en el hormigón, por lo -
disperso de este último. Al decir impreciso quiere-
decirse que para su definición hay que acudir a un-
valor de convenio, por el cuál al descarga la barra
en L,E. deben aparecer deformaciones remanentes i -
guales al 0.2 %. Fig.7,7,3.
Si en aceros ordinarios? este hecho puede admitirse
en el caso de aceros de alta resistencia, ó los usa
dos para pretensarf no parece correcto debido al he
cho de la especial forma del tramo final de la grá
fica y su falta de relación de correspondencia en -
las deformaciones finales. De aquí la especial inci_
dencia que tiene la plastíficación del acero en todo
el proceso, como método de acercamiento a la situa
ción real. (78)
C 7 8) HORMIGÓN PRETENS&DO, G. Leonhard,
165.
ESTADO 1
ESTADO 2
cargas
carga fi surae.I
alargara, ac.
) flechas
FIGURA 7-7.2,
1'1'2' E L HORHIGON
En relación con el hormigón interesa precisar que„
si es pretensadof ya inicialmente el acero alcanza-
tensiones muy altas que dismuyen con la retracción-
y la fluencia del hormigón. Es la aparición de la -
primera fisura la que determina un salto repentino-
de la tensiónt ya que es el acero el que tomará la-
fuerza de tracción que soportaba la sección antes -
de fisurarse, Fig.7.7.2.
El hormigón pretensado supone una filosofia de com
portamiento distinta a la que desarrollamos y en es
te sentido sólo interesa consignar que sus estados-
últimos están condicionados por la aparición de la-
primera fisura. En el hormigón armado en servicio,-
este hecho sólo condiciona la cantidad de cortante-
capaz de ser asumido por la sección fisurada.
En el hormigón armado que se"trata, estos hechos
vienen explicados por el reparto interno de tensio
nes en gran medida y en consecuencia, en su incxden
cia en la carga tot. 1 de rotura.
Se debe al menos admitir, como en e3emplos anterio-
res se ha visto quef la fibra más solicitada sobre
pase las tensiones máximas y con ello se logre un a
«mentó de momento flector al efecto de que se mani
fiesten los alargamientos plásticos y de esta forma
vayan saturándose de tensión las fibras contiguas.
En compresión simple, en la cuál no se entra, no ha
lugar hacer distinciones porque simultáneamente to
das las fibras alcanzan su tensión máxima y ese es
tado corresponde a la carga máxima que resiste la -
sección.
Sin embargo, en la practica interesa analizar el lí_
mite anteriorf en el cuál el acero comienza a no -
presentar alargamientos, al efecto de realizar com
probaciones sobre piezas dañadas.
El agotamiento puede lograrse por exceso de carga o
por defecto del material. En la práctica, al aumen
tar las cargas aumentan las tensiones, en el segun
do caso -defecto- el agotamiento se logra con ten -
167
MODELO DE SAUSIER
Rectangular*- ¡angular
Otros: Parábola de 2°grado Parábola de 3°grado Parábola de 5°grado Elipse
rectangular TALBOT MEUSCH 1NGE-LYSE 'REHPT0N"DYT0N
FIGURA 7-7--3
siones menores. Ep. nuestro caso uoserico, u:;-- ;'.u.-
gramas hanseguido el modelo ds Sal Liuier -recta:\yu-
lar-triangular^- Fig, 7 ., 7 = 3 .
Con independencia del modelo elegido, todos igual
mente discutibles, ha quedado precisado que la ar
madura ha de experimentar deformaciones superiores"
a las que normalmente se admiten para determinar <r
el estado de agotamiento de la armadura.
Intentar obtener más precisión, en un proceso tan-
complejo como el descrito, es dificil como .discutí
ble, desde la propia elección de diagramas de tra
bajo.
De todas formas la aplicación práctica del método-
no exije tanto y por eso el estudio se ha centrado
en la descripción de los estados que separan el
servicio de la rotura.
ai V
©
Lü
oo
L
U
CZ5
OO
oo
c_>
O
o
oo
u_
UJ
ii i ^ <pf \ $• & n} ^
FIGURA 8 . 1 , 1 .
8*1* CALCULO DE BEFORHACIONES
El proceso desarrollado, se ha basado en un control
sistemático del giro en el apoyo, pero el objetxvo-
es realmente tener calculada la flecha máxima, pues
es el factor dominante en el diseño, por su necesa
ria compatibilidad con el uso de la estructura.
El método a seguir será similar al utilizado con el
cálculo de giros, partiendo de estos, y construyen
do una nueva matriz de giros acumulados comenzando-
por la sección del vano que dá tangente horizontal,
al llegar ai apoyo en este proceso de acumular gi -
ros el yalor obtenido multiplicado por el intervalo
en era. dá directamente la flecha en era. Fig.8.1.1.
El programa f30 usado para definir el giro sirve -
de base dividiendo por 1.60 la carga que se obte -
nia del agotamiento de las armaduras para determi
nar ,
1. Flecha máxima admisible en servicio para una P-obtenida de las armaduras U+U" .
2, Flecha debida a la concarga para U+U8.
170.
i¡ * v>\M¡mm., t:f¡m*fmw^(>iffi-wpwipwwn
SUBRUTINA CALCULO DE FLECHAS-
2 5 £« + £ r 1 2 _2 L = Curvaturas C(K.) f——) o d l p
Ax { c ( ° ) + c ( 2 5 ) } + j C ( K . ) } •*• GIRO EN EL APOYO
25 25
E Ax { C ( K . ) } •*• -*• MATRIZ DE GIROS o i o
8 -*- 6 25 a c u 2 5
0 + 8 -> 8 2k 25 acu21*
8 + 0 + 8 -»• 8 23 Zk 2 5 23 " <-•» Í... acu
0 + 0 + 0 + 8 -*• 0 22 23 Zk 2 5 a C U 2 2
25
E 0 i acumul. apoyo
0 + 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 -> 6 1 2 3 " * Zk 25 aCQ
0 + 0 2S
A x {__^C0 a£25_ + z g j = fi
o t o t a l
Por a p l i c a c i ó n de la fórmula de los t rapec ios
TABLA 8,2.
Este primer análisis de la flecha en servicio» a * »
través del registro de todas las flechas locales -
permite conocer la distinta participación de cada-
zona de pieza, en cada instante de puesta en carga
en el proceso general de deformación, i
8e2° EXPLICACIÓN DEL CALCULO DE FLECHAS EN SERVICIO
Partiendo del registro general de curvaturas, como
propiedad del estado de deformación máxima en cada
una de las secciones analizadas, se organiza una •>-
matriz lineal de giros sin más que multiplicar por
el intervalo, Tabla 8.2.
G(K) .Ax -»• G(K)
y de aquí otra de giros acumulados, en la forma de
sumar a cada giro todos ios anteriores? o EÍGÍK) + G(K-l) } •*• G(K) L/2
que dada la simetría, se realizará solo en la mitad
dandqeos esta última acumulación los valores de las
flechas locales por intervalo con la aproximación -
de la tangente y del número de intervalos que tome
mos. Si con estos valores locales, se inicia una ú]L_
tima integración de estos el valor f al llegar al -
apoyo habrá sido la acumulación de todas las flechas
locales y en consecuencia, la total.
De esta manera el proceso general queda como sigue;
Dada una pareja de armaduras en la pieza de referen
cia y en consecuencia los momentos isostaticos da -
dos por la suma de. las armaduras, se determina la -
carga P para la cuál se agotan esas dos armaduras.
Posteriormente es interesante determinar la reía
ción entre la carga de rotura, obtenida de los mo -
mentos últimos de apoyo y vano y la carga P obteni
da del agotamiento de las armaduras como acabamos -
de decir, ambas se verá son muy parecidas. También-
el momento en el apoyo queda determinado por las ar_
172
1 " «adoras, con lo cu&X to<ia la ley»
Como el estudio en estado de servicio hay que reali_ «
zarlo en condición de giro nulo en el apoyo -empo -
tramiento perfecto*-# esa situación se habrá logrado
a costa de tanteos y correcciones sobre el momento-
de apoyo que acabará siendo muy distinto al dado
por el armado.
Con el giro nulo, se ha obtenido una aproximación -
bastante fiel de la 'ley real de momentos con los
cuales la pieza está reaccionando sección a sección
Este estudio se ha realizado inicialmente para cuan
tías de 0+Us=l, 2, 285, 3, 4 y 6 cm2.
En ocasiones este análisis, no concluye en giro nu
lo o mejor "exactamente nulo" en sexta decimal -pre
cisión elegida de máquina*-, pero se ha tomado como-
valido dado que solo afecta en la corrección de la-
tercera decimal del área de las armaduras dato.
Veamos la comparación de los estados de servicio y-
rotura en la tabla 8.3.
173
TABLA 8.3-1•
1 CM2 2 CM2
Agotamiento de armaduras
arm sup.
arm inf.
üs /ü
P
M~/M+
Mizq
Mvano
Flecha max.
Servicio p/1
arm sup
arm inf
U' /O
P ser.
Giro apoyo
M~/M+
Flecha max.
0.82
0.18
4.56
210.37
9.256
-593.30
64.10
2.1519 tíifl
. 6=P sev.
0.395
0.605
0.6529
131.48
0,000049
1.503
0.8321
1.63
0,37
4.41
420.94
8.303
-1175.30
140.70
3.3187
0.784
1.216
0.6447
262.96
0.000015
1.474
0.8694
8*3», COMPARACIÓN FLECHAS SERVICIO V JWBtrtAHti-N'.o LAS ARMADURAS,
3 CH2 4 CM29 b CM28
2.79
0.21
13.28
631.10
7.582
-1742.41
229.76
1,9403
3.62
0.37
9.56
841.46
6.148
-2261.71
367.86
1.8759
5.15
0.84
6.06
1262.19
4.423
-3216.97
727.37
1.9259
1.170
1.830
0.6393
394.43
0.000009
1.456
0.8992
1.550
2.450
0.6327
525.91
0.000028
1.433
0.9291
2.300
3.700
0.6216
788.87
0.000057 =^0
1.396
0.9828
¿i rin i n f 1.83
Pserv. 394.43 kpe . ..
Giro en apoyo 0,000009 rad.
k=25
k=2S .
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11 .
10
'•?
8
7
6
0,000000
0,002438
0.000978
. 0.30-1371
0.006762
0.009596
0.012850
0,016500
0.020516
0.024867
0.029514
0,034419
0.039537
0,044819
0.050214
0.055665
0,061111
Q.066443
0.071541
• 0.076284
nc la t-M-iLa ¿ntarior - ó . 2 .1- ¿^ i,,íLk;!L \ _ , ..v..., .
tancia que tiene la cantidad U+U" de armadura .jlc-.bul.
s;; si1 valor total de la flecha. Untre 1 y 6 cu>2.-
dar* Ollr; ~ "~ " ~ •'-«"--- ^ ~-*.-T?.—z* z: ~~ - •,;• - •. r* «-" ? r-s •-" /•-*--* ~i o '-*~ ""• o -P "* •> .-<"** -.
de servicio superiores a i mía.
En la tabla 8.3,2, se muestra el despiece de flechas
locales acumuladas en intervalos a 10 cm. considera
dos en la iiiitad de la pieza, pudiéndose observar la-
distinta participación que tienen - las secciones en -
base a su estado de deformación.
La tabla 8,3.3.' v 8,3,4. refleían las elásticas rea
les para cuantías de 4cm2. la primera y 6 cm2. la -
segunda en situación de carga que agota.el armado y-
carga de servicio,
TABLA 8.3,2-
0.080540
0,084173
0.087038
0.088986 • •
0,089859 Fmax, 0,8992 cm.
5
4
3
2
1
17 5
mBLA 8,|»s.i%
'•'• ¡ ^MÍ'<fT%'4W
GRÁFICAS DE FLECHAS :i6
0.
2.
k-
6-
8-10. 12.
i*»4
16.
18-20,
f (mm)
m ( k . m )
CARGA UNIFORME OBTENIDA A PARTIR DE U+U
P~1262Kg/7Q U-6cm2
K \mom. .el as.
^r
1.9¿
TABLA 8.3.3.2.
GRÁFICA DE MOMENTOS' . • • ';
.CARGA UNIFORME DE SERVICIO OBTENIDA A PARTIR Ut ü+ü"
0
2
is_
6 .
8 .
10-
\
\
1 — 1
^ ^ - \ v moro.
\
V
~*"*^-^e las.
^ ^
P-788.78Kg/70
^ _ _
— - - _
U-6cm2
— - - _ _ 0.98
-1028
177.
TABLA 8.3.^.1.
GRÁFICA DE FLECHAS ' ;
CARGA UNIFORME OBTENIDA A PARTIR DE' ih-U
2261 , P=8M.|í6:kg/70 U-4cm2.
TA8t* #,3*%*1. \ %: \ '" i T A|
GRÁFICA DE MOMENTOS
CARGA UNIFORME DE SERVICIO OBTENIDA A PARTIR DE U+U
Q.
2-
h-
6-
8-10-
~~^%68 'V ^—"T-1
^ \ m o o i . |
^ ^ . l
" " ^ - - ^ e l a s .
P-525.91 kg/70 U-4cm2
\ 0.9291
179.
liPfftlf* \> \ 4X ¡i ;>\i.}\ i f l f in f ip i l , '
FLECHAS DE NORMA EH-80
L/H III IV
apo-apo
continua
voladizo
1 lh
1 28
1 16
0 01 3
cr •— X I ra 4-»
•— c c m 4-1 . 1- in O O
O 3 i/i E
O — 2 : C
1 20
1 24
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H - £
C ro 4-f u T f i l 0 »n< Q. 0
t/s
Todo este proceso lleva a variaciones sustanciales —
entre JLa flecha de norma y la flecha obtenida en ser
vicio estando la pieza sometida a la ley de momentos
reales. La primera de las cuales para el ejemplo que
se está desarrollando se expone en la tabla 8.3.5 ad
junta. No debiendo confundirse flecha en estado últi-
con las situaciones admisibles dadas por norma.
En el Anexo 5 -abacos-, se dan las superposiciones -
de algunos casos a modo de modelo de manual. Para las
hipótesis manejadas todos casos en estado de servicio
se mantienen dentro de norma.
Solo los casos de pieza apoyada-apoyada, para algunas
disposiciones de la armadura situaciones no admisibles
por norma.
180
V *
CONSIDERACIONES GENERALES ACERCA DE LA FLECHA
Conseguida la situación de giro nulo, para la sitúa
ción de servicio, se ha pasado, como se ha expues
to a analizar la flecha con distintas cuantías de -
armado U+Us.
Interesa precisar que este giro nulo, puede llegar-
a lograrse para una misma cuantía ü+üs en infinitas
relaciones üs/ü , -como figura en $ 8.3. anterior-,y
— +
en consecuencia, en infinitas relaciones M /M rea
les, lejanas normalmente de 2/1 correspondiente al -
empotramiento perfecto tradicionalmente utilizado.
Curiosamente, este análisis dá como resultado que -
la disposición de armadura ü'/U que dá menos flecha
es la más próxima a 1 -ver Tomo II anexo de tabias-
en estado de servicio. Este hecho se corresponde a-
su vez con el que en la actualidad en sección cons
tante proporciona armados y momentos iguales en apo
yo y vano.
En todo este proceso basado en esta forma de anali
zar pieza la seguridad se obtendría, en una acota -
eión ponderadaf entre las flechas obtenidas en ser
vicio y las últimas que arruinarían la pieza.
Aquí se trata más de evaluar esas diferencias como
base del método de comprobación de piezas que aco
tarlas , hecho que entraría más dentro de unos manua
les?.
Todo lo realizado se refiere forjados de hormigón-
armado compuestos por asociación básicamente de vi_
guetas más hormigón vertido en obra. Donde aparece
un aspecto no recogido en lo tratado en lo referen
te a la asociación de dos hormigones de diferente-
edad de procesos de ejecución y resistencias dis -
tintas. Este es el caso de una semivigueta almace
nada años y usada después, hecho que parece no te
ner mucha importancia en el hormigón armado y mas
en el pretensado en donde las deformaciones diferi_
das condicionan más los resultados.
r
Horra.
Acero
0.9fck
1
y^¿L.E.
/ /
w -
-X... (i n 1 c i a 1)
LN
| D //
tens ión
2%°
m
§ / / / /
/
deformación
SECCIÓN i
FIGURA 8.5.1.
8.5. RESUMEN DEL FR0CESO SEgEttM.*
El método se basa en realizar un proceso de coraproba -
ción de*una viga T, armada con una cierta cuantía y -
disposición, en la consideración de dos hipótesis dis
tintas. De un lado* el proceso de análisis discreto a-
nivel sección y por otro, idera a nivel pieza, en donde
la aplicación de las condiciones de contorno, permite-
estabiecer conclusiones en función de ios resultados.
En la primera de las fases es necesario hacer una esti_
mación de la carga con la cuál el programa opera. Como
quiera que las variaciones del brazo de palanca son
muy pequeñas, puede utilizarse una carga última a par
tir del momento isostatico obtenido de la suma de las-
capacidades mecánicas U+Us -trabajando ai límite elásti_
co- por 0.9d, y de la misma forma la misma carga divi
dida por 1.6 como una carga de servicio.
A continuación,para la pieza así cargada, el momento i_
sostatico, como es natural no basta para conocer la so
licitación y es necesario realizar una estimación de -
la linea de cierre. Con la ley de momentos así prede -
terminada, el programa equilibra sección a sección to
da la pieza, para las tensiones del acero en cada caso
y su correspondiente componente de hormigón comprimido.
Este equilibrio? es realizado por el programa de forma
automática, a base de tanteos sobre la posición de la-
linea neutra, desde una X, inicial de 2/3 del canto -
' In
hasta que las resultantes de acero y hormigón arrojen-
diferencias inferiores a +2%. Fig.8.5.1.
^M
rlíMl •i i
2»5
ESTIMACIÓN DE LA LÍNEA DE CIERRE FIGURA 8,5,2,
h;I paso &¿z iiueai j-cinu -_•. -.-. •• ..:•_...
valores de deformación del hormiyón del 21.
Equilibrada la sección por aplicación de un algoritmo-
de comprobación ciclico, se pasa a Ir. sección contiyua
hasta llegar al apoyo.
La segunda fase,, opera sobre la pieza, a partir de los
valores registrados de las deformaciones del acero y -
hormigón de la fase anterior de equilibrio de sección.
Un proceso de integración numérica de las curvaturas -
localest entre la sección central y el apoyo conduce -
al valor del giro relativo entre ambas secciones.
En el estado de servicio elegido, el giro relativo men
clonado se logra con proporciones M^/M =2'5a3 superio
res a las definidas en resistencia de materiales M""/M+
de valor 2.
Si el giro relativo es distinto de cero, se justifica
rá la mala estimación de la linea de"cierre y la nece
sidad de corregir estar al efecto de cumplir la condi_
ción de contorno -"-tangente horizontal en el apoyo y -
en vano-- si de pieza doblemente empotrada se trata.
Giros en el apoyo positivos -agujas del reloj- suponen
incorrecta estimación del momento del vano por exceso •
y giros negativosf por defecto, Fig.,8.5,2..
El estado último, queda asi definido como aquel en el-
cufil se llega simultáneamente a deformaciones del ñor
migón del 0,0035?, el momento último en el apoyo puede
ser mayorf igual o menor ai obtenido del agotamiento-
de la armadura. En el primero de los casos no intere-
NO LINEAL i DAD PIASTIFICACION{1NO LINEALIDAD
Momento
inf. al 10%°
0.0035
ESTADO ULTIMO
tensiones
FIGURA 8.5-5.
1
del límite plástico del honRíg&tvBr» i»s «eme©..-; •„• \ o. 1. .. -
plástico en el apoyo, para la carga ultimase debe a a
largamientos plásticos del acero, y se resume con su-
valor el estado de flsuración de la pieza. El sentido
de este giro plástico,indica si la linea de cierre
-próxima a la que se obvió por agotamiento de las ar
maduras- se estimó correctamente o no,
la aplicación del método lleva a establecer que en el-
estado último todos los forjados piastifican en el a-
poyo requiriendo una zona de estabilización de momen
tos -rótula^- variable con la cuantía y conservandose-
toda la pieza en estado de no linealidad.
En estado de servicio, para algunas disposiciones de
sarmado hay plastxficación de apoyo y las zonas de pie
za en estado de no linealidad suponen entre el 15% y-
el 30% de longitud de pieza.-$ 6,3.---
Definido el estado último, como aquel cuya carga últi
raa se obtiene del momento isostatico suma de los mo -
mentos últimos de apoyo y vano, se establece cuál es-
la zona necesaria plastificada. Esta zona se define -
en función del alargamiento plástico -obtenido del gi
ro plástico- en estado último y el giro relativo en -
tre el vano y el apoyo para las armaduras dadas,—$7.2-
El establecimiento de esta zona, evidencia la necesi
dad de materializar de forma especifica el apoyo en
cada caso. Fig,8,5,3<,
185.
eo
OO <c fT?) (=_=) csí U J u_ { B , ^
(T)
CO LLJ
ss¡ CS J _ *
o
O *™9 t_) > ™ *
> QC U J oo U J (Z3
o CZ3 <C l__ OO
LÜ OO O LLJ
OO O
O <£ U_
x
( *» * ; t 'iV-\ \f\ w»»p
9.1.
DEFORMACIONES DIFER1DASS
Retracción y fluencia, son dos fenómenos difici -
les de cuantificar en el proceso global, debido a
su independencia con el desarrollo mecánico que -
estamos analizando.
Pero por venir contemplados en norma como fenóme
nos dependientes de la geometría y la edad del
hormigón no es dificil acumular sobre los cálcu -
los, los valores de aquella -art° 26.8 EH-80-
Naturalmente, y en rigor, una evaluación más afina
da de la retracción debería realizarse teniendo -
en cuenta, las diversas variables que inciden en-
el fenómeno, en especial el grado de humedad am -
biente, el mayor ó menor espesor de la pieza, com
posición del hormigónr cantidad de armaduras y
tiempo transcurrido desde la ejecución.
Todas ellas que? para hormigón en masa se rigen -
por la fórmula, e = 3 £„,£„-* +. 4- 01 02
í {•», * * Wí» » * #¥| ^ » » * > I t «Hpü fFp t f f i p f
/
1
FIGURA 9.1.1.
(3 Evolución de la retracción con el tiempo.
eA, a Coeficiente dependiente de la humedad ambiente, 01 e Coeficiente dependiente del espesor ficticio.
se hacen tanto más complejas con la forma del ele -
mentó. En el caso del forjado manifestará fisura
ción por retracción allí donde los espesores son me
nores. Fig. 9.1,1.
Como quiera que la armadura mínima de norma cubre -
con margen esta deformación no parece importante es
tablecer un apartado en el modelo para obviar la in
fluencia de una deformación de carácter instantáneo
que suele aparecer en los dos primeros días.
L a fluencia sin embargo, engloba todas las deforma
ciones diferidasf tanto elásticas como plásticas.
La EH-80 considera las deformaciones por fluencia -
proporcionales a las deformaciones elásticas instan
taneas, Calculadas estas a partir del módulo de de
formación instantánea del hormigón E =19000/f~^
188.
\
28 9 Duenda del hoiniigon La dcfoimai ion total prodm id.i rn un elemento de hormigón, ts suma de diversas defoiniauoties parciales, que puedan clasificarse como sigue
Deformaciones
Itcut rsihlt s
Irnvtrsililis
J)(.ppii(tiinUs de la Urtmon
instantáneas
1"1 tstu ts
lUm mi Ml«t>
Uift-ridas {fluencia)
S-ITÍÍK a-; diferidas
1'lasiK is diferid w
Independientesde la Sinsion
l (rmohi^roitK irir ts
!t< lr.it cum
Valor básico <pa áe la fluencia y valor del coeficiente o
AMBIENTE
en el agua
en atmosfera muy húmeda
en ambiente medio
en atmosfera seca
Humedad relativa aproximada I
100
90
70
40
<Po
0,8
1.3
2,0
3,0
a
30
5
l.B
1,0
TABLA 9.1,1,1,
Los factores que intervienen en la fluencia pueden
evaluarse como,
'-Humedad ambiente-
-Espesor o menor dimensión de la pieza.
^Composición del hormigón.
-Edad del hormigón en su momento de entrada en carga.
Para su evaluación se tomará su expresión según EH-80
i o «*- V c
0 Tensión del hormigón constantemente aplicada.
E Módulo de deformación longitudinal secante a 28 d.
el coeficiente é , depende de las deformaciones elás
ticas y plásticas,' ambas diferidas, é = i|> ( g r. 3 )to,4B' t o t j tt*"3
donde i|> se saca de norma, en tabla 9.1.2., de la o
misma se saca B y ($., Los espesores ficticios se cal t 3 —
culan a partir de, 0
u
a Coeficiente sacado, de la tabla 9.1.2,
A Sección trasversal del elemento.
189
FIGURA 9.1.2.
U Perímetro de la sección trasversal que está en con
' to ?cr BT. a laman to ,
Si ufta de las dimensiones es grande, con relación a-
la otra el espesor ficticio coincide con el real.
La edad teórica del hormigón en t dias se tomará
del eje de abcisas de la misma tabla. Si la tempera
tura del hormigón no coincide con las normales, se -
tomará , , l CT-t-10)
t = —i-
30
j = n°dias de endurecimiento a T°,
Manejando las indicaciones de la EH-73 solo con la
precisión suficiente para conocer la evolución de -
la deformación por fluencia en una determinadas co
ordenadas de edadf ya .que de todos los factores- que
influyen solo podemos extraer deformaciones a deter
minadas edades, pero no puede construirse la curva-
edad-deformación de la pieza, toda vez que se ve a_l
terada por los factores descritos, en forma distin
ta en cada instante, {91)
(91) La EH-80 da t ^ l j ) +.%v%2 <3t" Pj) + °'4^j
$ y $¡ú7 dependen del medio ambiente y espesor. 1
n VARIACIÓN DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA DIFERIDA
COEFICIENTE J3'
2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
t^
pl (J)
Pt CD
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m c m 3 •13 r" o
pp> ñ
Duración teór ica
t(dias)
'• FIGURA 9,2,2,
PUNTOS DE
0
1
2
3
k
5
6
7
LA CURVA UTILIZADOS EN LA INTERPOLACIÓN
(0,0'2i|)
Í20s0>52)
(i§0,0'62
(60,0'69)
(8o,o^)
(100,0>78)
Í500s0'97)
(1000'1) TABLA 9.2.3,
Como la curva de la tabla 28.9.2 de la KH-73 no se
ajust^a a una formulación matemática.-Fig 9.2.2.- -
se dará una expresión resultante de la interpola -
ción por puntos de la curva referida, y con esa
trabajará el programa -ver anejo de programas en -
Tomo II , f31- a partir de la construcción del de -
terminante de Vandermonde -distinto de 0- que re -
suelva la ecuación de la que solo conocemos pun
tos, -TabL9.2B38-
Se trata pues de determinar los valores de la fun
ción en cualquier punto x tal que x0< x< x emple
ando sólo los pares de valores -x., y.- dados por-
la curva de la cuál sólo conocemos el aspecto se -
gún tabla de norma. Así puess
a0= 0.24
0.74= 0.24 + 80a + 80 2a 2 + 803a3
i 0,97= 0.24 + 500a + 5002a + 5003 a3
1 2 3
1.00= 0.24 + 1000a!+10002a + 1000 a3 2
la solución del sistema dá los coeficientes, (9S)
( 9 3 ) Puede c o n s u l t a r s e ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS J .M. S a l a s E l p r o b l e m a y l o s métodos de i n t e r p o l a c i ó n C°20 $ 1 6 3 .
MwmwW^^W€' W ffw?\ ^ iiv^xwww^wm pt wfw| | i^M s*, f|!
ara sup 1.00 ara inf 1.00 U'/U 1.00 P 262,96
e( 0.000000 rad. Luz=5m. b=20cm.
RESULTADOS SIN CONSIDERAR FLUENCIA
M"/ M+ = 2S698
FLECHA = 0,865 cm
RESULTADOS CONSIDERANDO FLUENCIA
M"/M+ = 1.83
FLECHA = 0,939 cm.
0,939 0,865
1.12
En este caso la fluencia aporta un ÍZ% más de deformación para las condiciones Impuestas.
TABLA 9-2.4.
a = 0.24
ai= 0,00466
a2" ^-0.0000089
a3= 0.000000004809615
por lo que la ecuación que puede sustituir a la cur
va es,
y = 0.24 + 0.00466X - 0,0000089x^+0.000000004809615x3
A partir de aquí se determinan f según el proceso des_
crito las deformaciones diferidas por fluencia.
Naturalmentef en este cálculo la consideración de la
— + fluencia hace variar las relaciones üs/U y M /M en-
lo referente a la obtención de giro nulo en el apoyo.
La tabla 9.2.4. aporta en un ejemplo la variación so
bre la flecha que puede obtenerse considerando defor
maciones debidas a fluencia, para un hormigón de 1000
dias de edad -aproximadamente 3 años- puesto en carga
ai año de estar construido, siendo los coeficientes -
de norma utilizados -los de la tabla adjunta. ( )
(94) En el anexo 4, se ha realizado el estudxo de, estado de se£ vicio y estado de servicio+fluencia, para cuantías de U+U'=
2 y 4 cm2, 193
a^
ÜJ Q_
O I
X >—i ÜJ Qu.
X
5
»
Hasta ahora el desarrollo f se ha limitado por la-
extenso del problema a establecer los supuestos de
plastificación en una pieza doblemente empotrada -
por ser esta situación la que posibilitaba ente -
rios en lo referente a momentos últimos de piezas-
que debían colapsar por el apoyo -vínculo-.
Las situaciones reales de los forjados por lo gene
ral no son las de empotramiento perfecto, siendo -
en este tipo de estructuras su deformabilidad -al
ta esbeltez- su característica primordial, hecho -
que les hace particularmente aptos para su trabajo
a momentos positivos.
En el otro extremo del modelo mecánico se halla
rá la pieza biapoyada, sobre la cual no se hará
ninguna consideración en este apartado por estar -
el caso contemplado con amplitud en las tablas del
anejo, por extensión de la pieza biempotrada si se
supone una cantidad insignificante de armadura en-
u
U"
X J^ 1
u A A
Secciones iguales con iguales momentos últimos FIGURA 10=1,
el a p o y o , 6 lo tjui2 os Lo misino r.iomm\v_oK ÍIUI •.•.-• -
Z'Z.^.~?.--~- "cr coiri'orobar, que aiteraciones se produ
cen en ios valores obtenidos, si se procede a libe
rar una de las entregas. Lógicamente, se producirá
un aumento de momentos positivos, que harán variar
sustancialmente los resultados.
El estudio de este caso será el transito necesario,
para resolver los casos de distintas disposiciones
de armado que, a su vez, supone el caso general de
la práctica, ya que las armaduras superiores -Fig.
10,1, - a momento negativo pasan de un vano a otro
generando momentos últimos iguales para uno y otro
vano.
Para el establecimiento de este caso primero -empo
trado-apoyado-f se ha llevado a cabo, analizando -
toda la pieza, como en el caso de la pie.za doble -
mente empotrada y actuando sucesivamente sobre el-
giro residual. La asimetría del problema, hace -que
196.
)> 1 M* «fHpppw
IM(O)
EA =0 ni
0 =0 !S HIwl
FIGURA 1 0 , 2 .
no pueda Integrarse el procesto estece la HAtea Y •.
apoyo, sino que actuando desde la sección corres-
pendiente al máximo momento positivo hasta el vín
culo de empotramiento, el balance entre las áreas-
de la gráfica de momentos positiva y negativa debe
ra ser el mismof así el área de la gráfica entre -
la ordenada positiva máxima y el apoyo libre dará-
exactaraente el valor de los que ha girado el apoyo
libre. Fig 10,2,
Los programas usados para establecer esta pieza en
los términos de esta tesis, serán ios mismos a los
usados en la pieza empotrada-enipotrada con las si
guientes consideraciones,
1. Cálculo de la ley de momentos flectores, partiendo de la carga definida por las armaduras en de valor,
n _ (Q,4U« +U)0.85d8 Jr —• •
L2
Obtenida como un promedio de los momentos que -en agotamiento dan las armaduras del empotra -miento y del vano.
197
t
2. Obtención de los momentos flectores por,
PLy Py2
"MÍO) + - = M(y)
2 2
3. Determinación de la máxima ordenada de momentos positivos, límite de las integrales numéricas.
4. Cambio de los límites integrales (J/2?0), siendo J el número de intervalos a (W,0), siendo W-la posición correspondiente al máximo momento -positivo.
En elAnexo 6correspondiente a programación se dan -
los programas f38, 39 y 40 que aportan resultados a
nálogos a los obtenidos para la pieza empotrada en-
materia de , comportamiento en servicio, cálculo de
momentos últimos y carga última,y determinación de
alargamientos plásticos y rótulas respectivamente.
198.
o o
UJ
oo
(» V i s f*i»p«"l
11,1, D E S C R I P C I 0N DEL ENSAYO REAL SOBRE ftt>B£LO DE LABORATORIO
Dentro del desarrollo del trabajo, existe un as
pecto de indudable interés a la hora de poder ca
lificar los resultados expuestos.
Para ello, y gracias a la colaboración del Labora
torio INTEMAC, se usará el ensayo realizado a pe
tición de Maesa para comprobar los resultados,! )
Si bien, los resultados perseguidos por tal ensa
yo seaparten de la linea de esta tesis, la descrié
ción de las deformaciones obtenidas en cada esca
lón de carga así como las obtenidas en rotura, han
sido de gran interés en la confrontación de resul
tados ,
El ensayo se llevó a cabo, sobre vigas de hormigón
armado de dimensiones 360x40x20 era. apoyadas en sus
extremos a distancia de 30 cm. del borde.
tu *) Puede consultarse el ensayo completo "Influencia de la relaci6n de tensión de rotura/limite elástico en la fi suracion y seguridad a rotura de las secciones de hormigón armado" en poder de la entidad de referenexa.
201
ACERO
K
DN
0
^
U13 1KSB
CUANTÍA
Al ta
Media
Baja
Al ta
Media
Baja
Al ta
Med la
Baja
<UL i um i
SUP
2¿6
2«á6
2éB
JE flfWWUtV»"
ARMADURA
INF
6© 12
3rf12
2aS8
6gí12
3«513
2§S8
7é&
6«Í12
W8
>
ESTRIBOS,
26(¡á8+6§56
32«56
19(á6
26g48+6^6
32«S6
19gS6
26^8+6^6
32«fó
19«í6
FIGURA 11,1
Se realizó sobre tres tipos de acero
Trefilado KARI AE-5QT (K)
Dureza Natural AE-50N (N) Altres.
Acero Ordinario AE-22L (O)
y en la consideración de tres cuantías: Alta, media-
y baja Fig. 11,1 empleando en todos los casos un hor
migón de 200 kp/cm2 de resitencia carcateristica a -
28 dias.
El hormigonado se realizó usando una armadura por vi_
ga, obteniendo las correspondientes probetas de con
trol y usando vibrador interno de aguja. Fig. 11.1
El curado se realizó a base de cámara de curado a los
20 dias -Humedad 60%, temperatura 20°C- hasta el mo -
mentó del ensayo.
202.
u.ao
o
1-20
i|Q
FIGURA 11 ,2 ,
P=F
^ i L k i L .MÍO) M | s o s -0 ,8F
w = F-0,8(3.6^0.8) = 0 J 8 F en nuestro caso
A 3s60
si 0 <y< a 0,78F"Fy=M(k)
si a <y< Lra 0,78F+Fy"F(ya)»M(k)
si l-a<y<L 0.78F+Fy*F(ya)»F(y«'(L-a)*M(k)
Este ensayo obvia la versatilidad del modelo pues en este caso esta analizando una pieza de seccidn rectangular sometida a la actuación de dos fuer * zas puntuales.
1
11.1,1 E L E M E N T 0 S D E CAR6A.
para cuantías bajas se uso un gato de 10 to. para
cuantía media de 30, y para cuantía alta dos de 30.
(" 2) , Fig,ll,2.
11 1 2 ' * ELEMENTOS DE MEDICIÓN.
1, Control de flechas en el centro de la luz? por-flexiraetros, en distintos estados de servicio y rotura.
2* Fisuras midiendo su anchura a nivel capa infe <-rior armadura, "-0,0 5 mm. de apreciación^.
3 Deformaciones unitarias de hormigón y acero mediante 5 bases ñe estensometró mecánico de 400mm
La flecha alcanzada se midió, hasta alcanzar un mí.
nimo de 1.1 la carga de servicio.
Existen otros aspectos del ensayo, derivados de su
propia práctica, que no se entra a considerar, don
de estarían, los ensayos de recepción del acero,ce
mentóf precisión en la forma de aplicar la carga, a_
ridos, ensayos de control de envejecimiento del a-
cero,,.,ect„ (ll ^ Para el ensayo se han corregido las leyes demomentos. 203.
1
11»2» RESULTADOS OBTENIDOS,
CUANTÍA ALTA
ESCALÓN
1
500
MOMENTOímTo)
2,02
2,82
3,62
6,42
7,22
8,02
9.62
10.42
0,72 cm, j g-
ACERO
N K O
N K O
N K O
N K O
N K O
N K O
N K O
N K O
1,20 era
FLECHA DE ENSAYO mm, FLECHA DE MODELO mm.
1.82 1.80 0.53
1 . 1 , 0 ,
3 , 4 , 2 ,
6, 7, 3,
7,
5
8 10
5
,17 ,24 ,90
,38 ,10 ,30
,06 ,49 , 9 3
,56 , 5 0 . 2 4
, 8 0 , 6 7 , 9 1
6,90
7,94 6.45 6 ,65
204.
N 9
10
11 O
DN
K
O
10,42
11,22
12,02
o
N K O
N K
Rotura de horm.
Rotura de horm.
Rotura de horm.
f = 5725 kp pm2, fy =* 7776 fS = 188 MSl= 12?09 mkp
f = 5482 kp/cra2 7 fy = 5507 fS = 185 c Mul= 10,87 rakp
£ = 7709 kp/cm2, fy = 3415 fS = 189 Mul= -
205»
CUANTÍA MEDIA
ESCALÓN
1
2
3
4
5
6
7
MOMENTO (mTo)
X 9 £» &•
2 . 2 2
3 , 2 2
3 . 6 2
4 . 0 2
% e¡ *S £*
4 . 8 2
AC
N K 0
N K 0
N K 0
N K 0
K 0
N K 0
N K 0
1 T| i
FLECHA DE ENSAYO rom. FLECHA DE MODELO rom.
0.59 0,50 0.57
1.64 3.59 2,45 5.81 0.95 1.81
3.94 4,47 2.30
5,40 5,55 2.82
6.29 6.32 3,47
7,34 3.94 7,37 7.16 4,16 7.14
i En adelante se produce rotura del hormigón.
206.
DN
CUANTÍA BAJA
ESCALÓN MOMENTO(mTo) ACERO
0.42
N K O
0.62 N K O
0.82 N K O
0.98 N K O
\f f i f!f^fi\
f = 5783 kp/cm2. fy= 7791 £ = 170 Mul-6,58 mkp
f = 5570 kp / cra2, fy= 5573 fS= 19X MSl=6.48 mkp
f = 2580 kp/cm2. fy= 3768 fs= 205 Mul=6s98 mkp
FLECHA DE ENSAYO mm. FLECHA DE MODELO mm,
0.05 Q.07 0.02
0817 0.30 0.22 0.34 0,11 0.16
0,33 0.32 0.23
0,43 0.46 0,33'
207
1.14 Sí
o
1,30 N K O
1.46. N K O
DN
O
0,49
0?44
0,72 0o63 0,73 0.63 0,57 0.33
•f En adelante se produce rotura de hormigón,
£ = 5518 Jcp/cm2„ fV» 7893 fS= 187 Mul=2,43 mkp
f = 5715 kp/cm2„ fy= 5742 fs= 175 Mul=2.23 mkp"
f = 2984 kp yfcm29 f y = 4250 f s = 196 Mul=2840 mkp9
2 0 8 .
\
Se advierte paralelismo entre los resultados del eJa_
sayo real y los obtenidos por aplicación del modelo
en donde se ha introducido el sistema de cargas del
ensayo y la geometría rectangular* si se tienen en-
cuenta las siguientes consideraciones que pueden -
justificar en parte las posibles inconsistencias de
uno y otro ensayo.
1, Discontinuidades entre la masa real y el material
homogéneo que supone el modelo.
2, Participación del esfuerzo cortante en el proceso
de deformación de la pieza de canto, del ensayo -
real# no tenido en cuenta en el modelo.
Haciéndose la consideración de que este efecto si
en piezas planas no tiene importancia en las de - •
canto su cuantificación puede ser más relevante.
3, Diferencias entre los diagramas o,e del modelo y-
y los reales, en el acero y hormigón.
4 Consideración de las deformaciones reales instan
táneas por retracción, no tenidas en cuenta en el
modelo.
209.
CM
oo
oo
i* \ w w mi
12. CONCLUSIONES
SIEMPRE QUE LA SUMA DE LAS CAPACIDADES MECÁNICAS DE LAS ARMADURAS (SU
PERIOR E INFERIOR) GENEREN UN MOMENTO ELECTOR DE VALOR. EL MOMENTO I -
SOSTATICO MAYORADO DE LA CARGA. LA PIEZA ES VIABLE,
LA DISPOSICIÓN DE ARMADO u7u. INFLUYE EN LOS DISTINTOS ESTADOS DE "NO
LINEALIDAD" Y wPLASTIFICACION LOCAL1' POR LO QUE LA PROPORCIÓN M~/M+ -
REAL. RESPUESTA DE LA PIEZA. SERÁ VARIABLE CON LA DISPOSICIÓN DE LA -
ARMADURA»
CUALQUIER SITUACIÓN DENTRO DE LOS LÍMITES FIJADOS. GENERA SITUACIONES-
DE DIFERENTE DEFORMACIÓN DENTRO DE LA VIALIDAD DE LA PIEZA EN ESTADO -
DE SERVICIO. POR LO QUE TODA DISPOSICIÓN ES VALIDA CON LA LIMITACIÓN -
ANTERIOR,
LAS REDISTRIBUCIONES PLÁSTICAS QUE EXPERIMENTA LA PIEZA SON DISTINTAS-
EN FUNCIÓN DE LA CUANTÍA Y LA DISPOSICIÓN DE LA ARMADURA.
211.
EN CUALQUIER VIGA DE HORMIGÓN ARMADO EN ESTADO üfc SERVICIO, L.\ ¿l rcv.-i-• ,
DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO,.SE :-OSRA A BASE DE ESTADOS LOCALES DE NO Ll -
NEALIDAD DEL HORMIGÓN, LLEGANDO EN LAS SECCIONES MÁS SO-'^-.^.S A * LE
TIFICAR LA ARMADURA Y APARECIENDO EN ELLAS UN ALARGAMIENTO PLÁSTICO RES!
DUAL, EN CONSECUENCIA/ DISPOSICIONES" DE ARMADURA u7u=2/l TRADICIONAL -
MENTE SABIDAS COMO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO, CORRESPONDEN LEYES DE RES
PUESTA DE LA PIEZA M"/M+ MAYORES JUSTIFICADAS POR EL INCREMENTO DE TRABA
JO (AM.6) QUE EN EL APOYO DEBE REALIZARSE PARA CORREGIR LA SITUACIÓN A -
LA CORRESPONDIENTE AL EMPOTRAMIENTO PERFECTO (GIRO NULO).
EN ESTADO DE ROTURA, LA SITUACIÓN DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO ES ALCANZADA
CON ESTADOS VARIABLES DE PURIFICACIÓN-QUE OSCILAN ENTRE EL 30 Y60 % DE
LA LONGITUD DE LA PIEZA. ESTANDO TODA LA PIEZA EN ESTADO DE NO LINEALI -
DAD.Y PARA PROPORCIONES'M~/M+f 6 9 CM2,
LA LEY DE MOMENTOS REALES CON LA CUAL REACCIONA LA PIEZA, ESTABLECE UNA-
RELACIÓN M-/M+ QUE SE MANTIENE CONSTANTE, CUALESQUIERA QUE SE'A EL CANTO-
Y LA LUZ, EN ESTADO DE SERVICIO Y ÚLTIMO,. VARIANDO ÚNICAMENTE CON LA
CUANTÍA TOTAL U+Uf Y LA DISPOSICIÓN DE ESTA u-tu'.
*
LA MÍNIMA FLECHA EN ESTADO DE SERVICIO SE PRODUCE PARA 070=1, DISPOSI
CIÓN DE ARMADURA QUE COINCIDE CON LA QUE SE USA PARA MOMENTOS IGUALES ~
(MITAD DEL MOMENTO ISOSTATICO),
EN ESTADO ÚLTIMO LAS MÍNIMAS FLECHAS SE PRODUCEN PARA LA RELACIÓN ü7u-
MÁXIMA, ES DECIR EN DISPOSICIONES QUE TIENDEN AL ESQUEMA DE MÁXIMA ARMá
DURA EN EL APOYO,
LAS DEFORMACIONES DIFERIDAS POR FLUENCIA EN ESTADO DE SERVICIO AMPLIFI
CA LAS FLECHAS MÁXIMAS EN TORNO AL 10% EN EL PRIMER AÑO DE PUESTO EN -
CARGA.
LAS RÓTULAS PLÁSTICAS SON ZONAS DE PIEZAS DE ESTABILIZACIÓN DE TENSIO -
NES DE EXISTENCIA NECESARIA EN EL ESTADO ÚLTIMO,
LA EXISTENCIA DE LA ARMADURA DE COMPRESIÓN EN EL APOYO, BAJA NOTABLE -
MENTE LAS TENSIONES DE COMPRESIÓN EN ÉL, DESCENDIENDO EL VALOR DEL MO
MENTO ÚLTIMO OBTENIÉNDOSE EN CONSECUENCIA MENORES VALORES DE FLECHA EN
ESE ESTADO,
213.
10» EL ESTABLECIMIENTO DEL ALARGAMIENTO PLÁSTICO DEL ACERO COITO Wtt&l a i
GIRO PLÁSTICO EN EL APOYÓLES NECESARIO EN LA CONSIDERACIÓN DE ESTADO
ÚLTIMO.
11. LAS PIEZAS DOBLEMENTE APOYADAS POR PRESENTAR SU ROTURA EN MEDIO DEL -
VANO, PRESENTAN LONGITUDES DE ROTULA EN ESA ZONA MUY INFERIORES A LAS
OBTENIDAS EN AQUELLOS ESQUEMAS PARECIDOS DE MÍNIMA COACCIÓN DE APOYO-
(u'/U Y M*7M + MUY BAJAS) EN DONDE, LA MÍNIMA ARMADURA DE APOYO GENERA
ROTULAS GRANDES.
12. LAS RELACIONES F/L SE MANTIENEN CONSTANTES CUALESQUIERA QUE SEA LA -
LUZ Y EL CANTO PARA UNA MISMA ESBELTEZ (H/L).
EL HECHO DE QUE EN LOS ABACOS (F/L,0 APAREZCAN COMO CURVAS MUY TEN -
DIDAS LOS VALORES DE H/L, ES DEBIDO AL HECHO DE QUE LOS PROGRAMAS USA
DOS TRABAJAN CON EL CANTO ÚTIL Y NO EL TOTAL. LA CONSIDERACIÓN DEL SE
GUNDO DÁ RECTAS HORIZONTALES H/L EN LOS ABACOS MENCIONADOS.
13. A IGUALDAD DE CANTO, LA PIEZA DE SECCIÓN T RESPONDE DE i FORMA DISTINTA
214„
1 i ^ f t« i A LA PIEZA RECTANGULAR* DE ANCHO EL DE LAS ALAS* PRECISANDO V-'u\Sllrl~
CACIÓN MAYOR DE APOYO. POR» LO QUE SE OBVIA LA IDONEIDAD DE LAS PIEZAS
CON SECCIÓN T A MOMENTOS POSITIVOS Y LA INCONSISTENCIA DE LOS MÉTODOS
DE ANÁLISIS QUE LO ASIMILAN A PIEZAS RECTANGULARES.
JJL EN ESTADO DE SERVICIO, LAS LONGITUDES DE NO LINEALIDAD, CRECEN CON LA
CUANTÍA U+U\ SIN EMBARGO EN ESTADO ÚLTIMO PARA LA MISMA CUANTÍA LAS-
ZONAS DE NO LINEALIDAD SE MANTIENEN CONSTANTES,
15. ESTABLECIMIENTO DE UN MÉTODO DE ANÁLISIS QUE COMPROBANDO LA VIALIDAD-
DE LA PIEZA, CUANTIFICA LOS ¿LARGAMIENTUS PLÁSTICOS DEL ACERO Y LAS ZO
ÑAS DE PLASTIFICACIÓN (RÓTULAS),
EN LOS ALARGAMIENTOS PLÁSTICOS QUEDAN REGISTRADAS DE FORMA INTEGRAL -
LAS FISURAS PRODUCIDAS EN LA PIEZA, TANTO EN LAS ZONAS DE TRABAJO E -
LÁSTICO COMO LAS DE, NO LINEAL Y PLÁSTICO PARA UN DETERMINADO ESTADO-
DE CARGA, ARMADURA Y DISPOSICIÓN.
16, PROPUESTA DEL MÉTODO DE COMPROBACIÓN, DE EXACTITUD CONTROLADA,ÍDESCRi
TO EN LOS ANEXOS DE TABLAS, ABACOS, APLICACIONES...) QUE PUEDE USARSE
PARA DISEÑAR SIN MÁS QUE AÑADIR LAS LIMITACIONES DE ESBELTEZ DE NORMA. 215.
DONDE LA NOVEDAD ESTRIBA EN LA CONSIDERACIÓN DE TODOS LOS ESTKDOS BE ~
LAS SECCIONES DE LA PIEZA PARA CADA SITUACIÓN DE CARGA A LA LUZ DEL -
CÁLCULO PLÁSTICO.
17, LA FORMACIÓN DE RÓTULA PLÁSTICA, A DIFERENCIA DEL ACERO LAMINADO, NO -
IMPLICA LA PLASTIFICACIÓN TOTAL DE LA SECCIÓN. YA QUE AQUELLA APARECE-
CON EL VALOR-CONVENIO Ó.0035, VALOR QUE NO PROVOCA DIAGRAMAS TOTALMEN
TE RECTANGULARES EN LOS DIAGRAMAS DE TENSIONES DE COMPRESIÓN DEL HORMi
GÓN. ESTA PLASTIFICACIÓN LOCAL SERÁ VARIABLE CON LA ARMADURA Y SU DIS
POSICIÓN.
18, ESTA TESIS SUPONE EL INICIO DE LA CONTINUIDAD DE LA PIEZA, A LA LUZ -
DEL PROCESO DESCRITO, YA QUE EL HECHO DE HACER PASANTES LAS ARMADURAS-
PARA LAS DOS VIGAS, SE GENERAN SITUACIONES DE MOMENTO ÚLTIMO IGUALES -
PARA LAS DOS DEBIENDO ACUDIR A LOS ESTADOS DE DEFORMACIÓN Y COMPATIBI
LIDAD EN SERVICIO,
19, EL MÉTODO DESCRITO DE COMPROBACIÓN, PUEDE "APLICARSE A CUALQUIER PIEZA-
RECTA DE HORMIGÓN ARMADO DE GEOMETRÍA CONOCIDA, BIEN FUNCIONALMENTE 0~
EN FORMA PARAME! RICA CON CUALQUIER DISPOSICIÓN DE /\RI-\ADvj Y l-VWtK l ,\\...
COMO LO QUE SE PROPONE ES Ufl MÉTODO DE ANÁLISIS, CAMBIANDO LAS FOR -
MULACIONES PUEDE ESTABLECERSE OTRO SISTEMA PARALELO PAJv. :^v3":s -
PRETENSADOS, CAMPO BASTANTE AMPLIO EN LOS SISTEMAS PLANOS, HACIENDO-
LAS PERTINENTES CONSIDERACIONES EN LA 'EVALUACIÓN DE SU ESTADO.ÚLTIMO,
EL ESTABLECIMIENTO DEL PROCESO DISCRETO DE ANÁLISIS DE SECCIÓN Y PIE
ZA QUE PERMITE ANALIZAR CUALQUIER PIEZA DE HORMIGÓN ARMADO, DE FORMA
AUTOMÁTICA, PARA CUALQUIER ESTADO DE SERVICIO COMPATIBLE CON LA ARMá
DURA Y EN SU ESTADO ÚLTIMO, GENERADO ESTE POR EL AGOTAMIENTO DEL HOR
MIGÓN EN EL APOYO Y EN EL VANO,
EN ESTADO DE SERVICIO LA SITUACIÓN DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO SE LOGRA
CON PROPORCIONES M-/ñ4 =2/5-3 SUPERIORES AL 2/1 DEL' MOMENTO 1/12ÍPL )
DE RESISTENCIA DE MATERIALES CLÁSICA.
EN ESTADO ÚLTIMO DE AGOTAMIENTO DE LAS ARMADURAS EL MOMENTO DE- EMPOTRA
MIENTO PERFECTO "SIN ADMITIR GIROS PLÁSTICOS DEBIDOS A LOS ALARGAMIEN
TOS PLÁSTICOS DEL ACERO- SE LOGRA PARA PROPORCIONES DE MOMENTOS,M-/M"Hí
í
21, EL MÉTODO DE ANÁLISIS DESCRITO, NO SUPONE EN MEDIDA ALGUNA* JÜST1FI -
CAR INVALIDEZ DE LOS MÉTODOS. DE ANÁLISIS DE ESTRUCTURA CLÁSICOS -QUE-
OPERANDO CON CONDICIONES IDEALES DE MATERIAL ELUDEN FACTORES DERIVA -
DOS DE SU PROPIO ESTADO DE CARGA", NI POR OTRA PARTE, ANULAR EN ALGÚN
SENTIDO LOS DE COMPROBACIÓN DE SECCIÓN EN INCONSISTENCIA CON LOS ANTE
RIORES, SINO QUE* INTENTANDO* COMO SE HA EXPUESTO, DAR COHERENCIA AL-
PROCESO GENERAL DE ANÁLISIS Y COMPROBACIÓN DE SECCIÓN DE FORMA INTE -
6RAL, EN PARTE, SE HAN DEMOSTRADO LAS INCONSISTENCIAS DE LOS ANTERIO
RES, EN LA OPINIÓN DE QUE LOS MÉTODOS USADOS EN LA ACTUALIDAD, NO SON
MEJORES QUE OTROS DE FORMULACIONES MÁS SENCILLAS,
218.
as C4
<J3
P3
I« TEORÍA GENERAL
1.1. PRIMER CURSILLO DE LA EB-73 . COAM,
1.2. SEGUNDO CURSILLO DE LA EH-73 . COAM
1.3. HOJAS TECNOLÓGICAS DEL SEMINARIO DEL SEMINARIO DE ESTRUCTURAS. E.T.S.A.M.
1.4. ELASTICIDAD. Antonio Garcia de Arangoa, Dossat
1.5. METHODES DE CALCULES NUMERIQUE. E, Afosi, Eyrolles. •?Paris.
1.6. CALCULO DE ESTRUCTURAS RETICULARES. C, Fernandez Casado. Dossat.
1.7. TENSORES. R. Aroca Hdez-Ros. Seminario de Diseño de Estructuras.
1.8. DISEÑO ESTRUCTURAL EN ARQUITECTURA.M. Salvatori y Matthys Levy. Cecsa.
1.9. EL 10RMIGON PRETENSADO. Dreux. Blume.
1.10. HORMIGÓN PRETENSADO PROYECTO Y CONSTRUCCIÓN. G. Leonhard. Instituto Eduardo Torreja.
1.11. ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS. M. Salas. Valladolid 1.966
1.12. RESISTENCIA DE MATERIALES, S. Timoshenko. Tomos I y II. Espasa Calpe S.A.
1.13. CALCULO INTEGRAL APLICADO A LA FÍSICA Y A LA TÉCNICA. P, Puig Adam. Madrid 1.968.
1.14. CALCULO DIFERENCIAL APLICADO A LA FÍSICA Y A LA TÉCNICA. P. Puig Adam. Madrid 1.968.
1.15. ANÁLISIS ELEMENTOS DE ESTRUCTURAS. Morris y Vilbur. Me Graw Hill.
220.
1 ; ^ . 5 , TRAITE DE BETÓN ARME. Tomo I I LE CALCUL DE BETÓN ARME. D u n o d . P a r i s . 1 . 9 6 3 .
1 . 1 7 . ESTRUCTURAS DE E D I F I C I O S . C» F e r n a n d e z C a s a d o . D o s s a t , M a d r i d 1 . 9 5 5 .
1 . 1 8 . • SISTEMAS DE ESTRUCTURAS»' H e i p r i c h H e g e l . !Blume.
1 . 1 9 . HORMIGÓN ARMADO. A r a n d e s - R e n ú - G a l d ó s - M . L a f u e n t e , E . T . S , I . C . C , P . M a d r i d 1 . 9 7 1 .
1 . 2 0 . MÉTODOS MATRICIALES DE CALCULO DE ESTRUCTURAS. J . L i v e s l e y . RK B a r c e l o n a ,
1 . 2 1 . INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ELEMENTAL CON MATRICES, H a y r e t t i n K a r d e s t u n c e r . Me. Graw H i l l
1 . 2 2 . TEORÍA DE BARRAS, A n t o n i o G a r c i a d e A r a n g o a . ' E . T , S . A , M .
1 . 2 3 . CURSO FORTRAN. A n t o n i o G a r c i a d e A r a n g o a . E . T . S . A . M .
1 . 2 4 . ELASTICIDAD. J . A . T o r r o j a M i r e t , D o s s a t .
1 . 2 5 . PATOLOGÍA Y TERAPÉUTICA DEL HORMIGÓN ARMADO. H, C á n o v a s .
1 . 2 6 . ELEMENTOS DE ELASTICIDAD, P a s t o ñ a - A n d i ó n N u ñ e z .
1 . 2 7 . LAMINAS DE HORMIGÓN ARMADO. H a a s , • ._
1 . 2 8 . STATIQUE ET DINAMIQUE DES C O Q U E S . F l u g g e . ;
1 . 2 9 . ESTRUCTURAS PARA ARQUITECTOS. M. S a l v a t o r i . C e c s a ,
1 . 3 0 . - CALCULO DE LOSAS NERVADAS. C S I C . D o s s a t , '
Se en t i ende que e s t a b i b l i o g r a f í a en su t o t a l i d a d no guarda e s t r e c h a r e l a c i ó n con e l tema? pero
ha s i d o consul tada y a lud ida de forma gene ra l a lo l a rgo de l d e s a r r o l l o de l t r a b a j o . 2 2 1 .
\ II, TEORÍA APLICADA Y CALCULO
* • \"^m
2.1. HORMIGÓN ARMADO. Tomos I y II.P.J. Montoya, A.G. Meseguer, F. Moran Cabré. G.Gilx.
2.2. ELEMENTOS SUPERFICIALES PLANOS RESISTENTES A FLEXIÓN. Seminario de Diseño de Est. ETSAM.
2.3. FORJADOS. R. Cuvillo, Arenas de Pablo y Ripoll. Asociación de Fabricantes de Cemento.
2.4. CALCULO DE VIGAS DE HORMIGÓN. R. Escola, A. Ayarza y J.M. Ramos.
2.5. PLACAS. K. Sttinglat y H. Wippel. I.E.Torroja.
2.6. TABLAS PARA EL CALCULO DE PLACAS Y VIGAS PARED. R. Bares. G.Gili.
2.7. PANTALLAS DE HORMIGÓN ARMADO. Markus. Me Graw Hill,
2.8. YIELD-LINE THEORY. Johansen.
2.9. YIELD-LINE WORK (Texto programado pro Trabajos Virtuales).
2.10. DISEÑO PLÁSTICO DE MARCOS DE ACERO. Lynn S. Beedle. Cía. Continental Mej.España, Arg. y Ch)
2.11. CALCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS.Massonet y Save. Paris.
2.12. MANUAL PARA EL CALCULO DE PLACAS. Kallmanok. ínter Ciencia Dossat.
2.13. TEORÍA DE PLACAS Y LAMINAS. S. Timoshenko-S. Woinowsky-Krieger. Urmo S.A.
2.14. BETÓN ARME ET BETÓN PRECONTRAIT. CALCULE A LA RUPTURE.P. Moenaert. Dunod. París 1.967.
2.15. INFORME SOBRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN EL PLAN DE ENSAYOS PARA INVESTIGAR LA ™FLUEN CÍA DE LA RELACIÓN A ROTURA, LIMITE ELÁSTICO DE FISURACION Y SEGURIDAD A ROTURA DE LAS SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO. INTEMAC (Encargo de Maesa)
222
\ fW?#i
2.16. PLACAS CIRCULARES, Garcia Monge. Instituto Eduardo Torroja,
2.17. EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS. O.C, Zienkiewicz. Reverte S.A.
2.18. TEORÍAS PLÁSTICAS PARA EL CALCULO Y DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO. H. Jalmar Granholm. Instituto Técnico de la Construcción y el Cemento.
2.19. ELEMENTOS DE ESTRUCTURAS PRETENSADAS. Alfonso Olvera López.
, l<¥^»^|fffp III. ARTÍCULOS Y M0N06RAF1AS ESPtCl
j • i«
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10,
CALCULO DE SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO SOMETIDAS A SOLICITACIONES NORMALES EN ES TADO LIMITE ULTIMO. Moran Cabré. Monografía 301 Instituto E. Torroja,
CALCULO DE FORJADOS PRETENSADOS CON TENDONES NO ADHERENTES. Centro de Trabajos -Técnicos. S.A. BT, N°5 Noviembre 72. Robert L, Koons.
LA FISURACION EN LAS VIGAS DE HORMIGÓN ARMADO. Alvaro Garcia Messeguer. Informes de la Construcción. N° 422.
LOS ESFUERZOS CORTANTES EN LA FLEXIÓN EN EL HORMIGÓN ARMADO. Alfredo Paez. Monografía N°212. Instituto Eduardo Torreja. Madrid 65.
ESTUDIO DEL ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO MEDIANTE SUPERPO -SICION DE PROBLEMAS LINEALES DE DEFORMACIONES. Tomo I y II Antonxo Aguado Cea. Fe brero 80. ETSIICCPP. TESIS DOCTORAL.
DESIGN OF REINFORCED CONCRETE SECTIONS NUDES NORMAL LOADS AND STRESSES IN THE ULTÍMATE L1MIT STATE. F. Moran. Bulletin de InformatiÓnfN°83 del CEB. Abril //.
TEORÍAS PROBABILISTICAS DE LA SEGURIDAD.J.A. Antón Corrales. Monografía N306. Ins -tituto Eduardo Torroja. Noviembre 72.
FT COEFICIENTE DE SEGURIDAD Y EL MOMENTO DE ROTURA NOMINALES COMO BASE DE JUICIO -PA!¿ ÍL CONSOL DE PIEZAS MEDIANTE ENSAYOS A ROTURA POR FLEXIÓN. J.Calavera. Revxs-ta Hormigón y Acero.
ESTUDIO ANALÍTICO DE LA INFLUENCIA DE LAS DEFORMACIONES DIFERIDAS EN ESTRUCTURAS -M N E A Í E S ISOSTATICAS DE HORMIGÓN. PERDIDAS DIFERIDAS DE PRETENSADO. J. Murguia Ve -la. Hormigón y Acero.
UN MÉTODO TEÓRICO PARA EL ANÁLISIS DE PIEZAS DE HORMIGON ARMADO S U I D A S A ESFUERZO CORTANTE Y FLEXIÓN. • J.A. Lopez-V. Solana-S.Meca. Instituto Eduardo Torro3a.
224.
i, \» II (i ft( 1 P ^
3.11, LAS DEFORMACIONES DEL HORMIGÓN ARMADO POR EFECTO DE LAS CARGAS. E. Torreja Miret Instituto Técnico de la Construcción y la Edificación. Monografía N°47
3.12. SOBRE EL COMPORTAMIENTO ANELASTICO DEL HORMIGÓN ARMADO EN PIEZAS PRISMÁTICAS. C.I LAS DEFORMACIONES DEL HORMIGÓN POR EFECTO DE LAS CARGAS. C U COEFICIENTES DE SEGURIDAD EN LA COMPROBACIÓN DE SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO. C.III MÉTODOS HETERODOXOS PARA LA COMPROBACIÓN DE SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO. CIV. ENSAYO DE BASES PARA UNA RESISTENCIA DE MATERIALES ANELASTICA, APLICABLE A HORMIGÓN
ARMADO. C.V. ESTABLECIMIENTO DE UN NUEVO MÉTODO DE CALCULO ANELASTICO DE PIEZAS DE HORMIGÓN ARMADO. C.VI. CALCULO ANELASTICO DE SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO, C.VII.REGLAS Y FORMULAS PRACTICAS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES. C.VIII. CALCULO NUMÉRICO DE LOS ERRORES QUE REPRESENTAN LAS FORMULAS PRACTICAS.E Torroja M. Monografías Nos, 18, 19 y 20. Instituto Técnico de la Construcción y Edificación
fM
EPILOGA
Se entiende en este trabajo, que una Tesis Doctoral
supone para el que la realiza, un ejercicio más den
tro de un proceso de aprendizaje, en el terreno de
la didáctica personal y la investigación, que en el
caso del autor no será el último.
De ahí* deba ser leído, más como un intento de crear
método personal de investigación sobre ciertos aspee
tos de un problema, que elaborar erudición sobre te
mas complejos.
Cada paso ha sido fruto de experiencia personal y re
flexión siempre contrastada con la dirección del te
ma.
Con independencia de las conclusiones, en las cuales
creo y confio seguir desarrollando, estos motivos -
justifican plenamente el intento, para futuros traba
jos o
227,
4 V « w i v * »»fl > f wsmim» »|,fii>»i
ÍNDICE
TOMO I
Pag,
RESUMEN • •....... , . . . „ , . . . f ,,.. e s ii,
ÍNDICE «irift , ,, VI.
NOTACIONES **••............,...,., , ,.,...
1NTRODUCC ION "»",,**,»»»t»»tf»»t*ttrt»,»,,»..,»,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!.
I. SISTEMAS PLANOS. DEFINICIONES INICIALES,
1.1. Definición..,.......,,... ......... .. 24 #
1.2. Funcionamiento resistente ......... ic
II1 PROCESO DE ENTRADA EN CARGA,,
•1. Proceso de entrada en cara;
Pag.
2.1, Proceso de entrada en carga en la sección „„,t 9 s „ « > , > , 9... B . « , e e s „» e „«, 23.
& .zo Anaxxsis exastico» ••••••••••*••**••*••••»•••••»••••••*.••,••.«.••• 25®
III i CÁLCULO CLÁSICO,
3 11• Modelo elástico. Descripción «,, ••*.••*••«••.,......• ... 31,
3.2. Ecuaciones de equilibrio de la sección en T 34.
IV, ANÁLISIS POR A60TAM1ENT09
4.1. Crítica y consideraciones sobre el proceso seguido 45.
" » * 9 v d X v U X U C a l C a y C J l C ^ f l l J L C S O l U O e o e ® @ @ Q @ 9 9 Q { B o g e > Q 9 9 9 9 0 d 9 o e 9 9 e o o s a e o ® o o Q # e ® e o 3 C l e
TI o A ® *> o IJr.]LclC| i C & i l l c l S Q @ Q S I - O t l I l S C i O i l o s o e o o e e 9 @ s o o o e e o o o # e o # e o e e e # @ o o s o V «• o
4.2.3. Ecuaciones de equilibrio de la sección en T 63.
TÉ © <3 ® J r JL tíd» 1L» J L ^ ^ G a CJ1%!* JL I I I w ^ U I ^ H B J Q f f l O Q Q g © 0 0 a , © @ © Q a 0 0 o a g i © g o a a Q © @ a o a s o © Q o © © © © © o © ( S S © I j ; e
TS o «t o íL#%¡» <L-^3iL t l t J L ü JiCl. w JL%_^ÍLl U L C y -X- JL ILJ llS Q p 9 g @ Q 0 Q e ^ o e e o ® S D O O Q @ Q ® @ @ # ® @ o # o o o @ o o ® o e e Q o @ © «S1 ©
4.6. Curva de deformaciones del acero para un determinado armado inferior
II.
. ' _ Pag.
4.7, Interpretación de resultados o, .*:...,,, ....o.,.....,.....,,..,.., 7ge
V, DEFINICIÓN MATEMÁTICA DEL MODELO
5.1. Definición de plastif icación „ •. ,,.,,. ,....,........ 82.
5.2. Modelo de comportamiento ' ©,.©..,©, ©»©....©.©©©©© 84©
5.2.1. Curva modelo del hormigón ,..,., © 84.
5.2.2. Diagrama eláatioo t., ..,,,....•.,,.,.. 85.
5.2.3. Diagrama elasto-plástico' ...,..•..,...,,. 86.
5.2.4. Obtención del giro .,.....,..,........,.,*....,.. 87.
5.3. .Comportamiento de la pieza ........... ' nn
g- «. . H w ^>^ .».*•* JJ» .«. <w «* a . © © © ® ® © © © © © © © © © ® © . © ® . © . © . . . © . . . . © . . . O y ©
a© 4© Ejemplos .©..© •••••••••••• *••••.•••••••••••...•.... 95.
5.4.1© Cuadro de valores sobre la disposición de armadura 95.
5.4.2© Ejemplos de salida con distintos armados 96©
5.4.3© Variación del giro con la cuantía. Fórmula de los trapecios 100.
5.5. Variaciones de geometría en la pieza 101©
3.3.1. Macizados • •••»»•«•••••••••••.•••••.'•••........•..,..... 101. 5.5.2. Sección recatngular ' .... 102. 5.5.3© Piezas de sección recatngular acarteladas en los apoyos o-
tsn ex, vano •••••••»••....••»••.•»»..•««»••«•»•«»....».•« 103•
III.
Pag.
Errores cometidos con el nfimterG de intervalos ® „ .»s.. „ „ e. e«,, e „ e „ „ 103.
ANÁLISIS DEL PROCESO DE PLASTIFICACIÓN» ESTADO DE SERVICIO DE UNA VlfiA T.
Análisis del proceso de plastificación 105.
6.1.1. Conclusiones de los valores obtenidos ., 105.
6.1.2. Proceso de búsqueda de giro nulo en el apoyo 108.
6.1.3. Reconstrucción del proceso de deformación para una pieza-
armada con üVü-2/lf proporción de empotramiento perfecto 109.
© . 4. o t . D c C C X O f l i. . . . . . . . . . . o © . © . . . . © . . . . . . . . © © . . . . . © © © . . . . . . . . 1 1 4 ©
6.1©5. Pieza macizada en el apoyo .............'.......... 115.
6.1.6. Sección rectangular plana .©©©.©©©©©©. 116©
I r X C J I J J L CtlUC* o o 0 © 9 e ® © B © o » o o e o ® a © a © e e « s o f f l o o s o © o 0 a ® p o o o o o o © o o © o f f l « e o o o JL, JL O &
V f U l . L i J . U O X U I I C O o © © © © © o o © o @ e © © @ ( 3 s a o ® o o © o o o e o o © © o ® # a o © o o s o a o o o 0 O ® ® o X X H e>
6.3.1© Estrategia de armado sin plastificación de apoyo ni en vano 121©
6©3©2© Estrategia de armado con plastificación de apoyo y en vano 122©
6.3.3© Análisis del instante en el cuál comienzan a aparecer com
portamientos no lineales„ para distintas cuantías ©..©. 123.
6.3.4© Relaciones U"/U-Momento de servicio ©.©©.© 126©
6©3©4.1©Gráfico momentos de servicio-cuantía ............»©„©©^ 127.
Pag.
6.4.-. Agotamiento .............,,....,,,....,...>...,.,..,.,.. i28.
6.4.1, . introducción .,,,.,.,.,,.,,.. ,.,„,........ 128.
6.4.2, Cálculo del momento último ............... 132.
.6.4.3. Necesidad de entrar en el proceso de plastificación 135.
•6.4,4. Plastificación en servicio y rotura. Pieza T .... 136.
6.4.5. Extensión a secciones rectangulares ,. 137.
VIL PLASTIFICACIÓN DE APOYO • . . • • •
7.1. Cálculo de deformaciones .,.,.,,.., ..,, 139.
7.2. Formación de rótulas plásticas J 142.
7.3. Ejemplos . . . . . . i . . . , , , . 145.
7.3.1, Sección recatngular 145.
7.3.2. Sección T 147.
7,4,- • Estado de plastificación ....... ' • 1 AQ
7.5. Gráfico rótulas-cuantías • ...... ...................... 154.
7.6. Resumen del proceso matemático ........ 160.
7.7. Consideraciones sobre el proceso de rotura 162.
/»/,i. Acero ••••••••••••••••••.••........»,....<...... 162,
7.7,2. Hormigón ....................................... 166.
o ''• \ *• i k y> > « t
Pag.
VIII, DEFORMACIONES EN ESTADO DE SERVICIO Y*€STADO LÍMITE ÚLTIMO,
Sol. Cálculo de deformaciones .....»„..,,. • ..•.•*.»••••<,•». 170.
8.2. Explicación del cálculo de flechas en servicio 171=
8.3. Comparación de flechas en servicio y con agotamiento de las -
8.4. Consideraciones generales acerca de la flecha .....; 181.
8.5. Resumen del proceso general ».**» • ?«••....•••«.•. 183.
IX, INFLUENCIA DE LAS DEFORMACIONES DIFERIDAS EN LAS DEFORMACIONES -
EN ESTADO DE SERVICIO»
X* EXTENSIÓN DEL MODELO PARA PIEZA EMPOTRADA-APOYADA.
XI.ENSAYO SOBRE MODELO REAL,
11.1. Descripción del ensayo real sobre modelo de laboratorio .... 201.
11.1.1. Elementos de carga ••.....•«...•««..».«.«.•..».... zOj.
11.1»2« Elementos de medición »».••...*•••.«••••*•.••••*»•* '.¿o i.
11.2 Resultados obtenidos ..„„,,,,»,.#»••••••••••••••••*••••»••• ¿04.
XII. CGNCLOSIONES ................. .,..,,..,.,,.... 210,
BIBLIOGRAFÍA _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ . » « . « « « . í S s » < » e i f f l a o . 9 0 ® « e ^ ¿ » U i I. T e o r í a g e n e r a l .«, S T e 8» a®#<.«®»®«»t**?9o#»«»»*»»i"»
8 , , ,' , , 9 s °°
222 II. Teoría aplicada y cálculo .,•,,,.?*.*.••«* • .... ***, III. Artículos y monografías especializadas ,....„.. * <
227 EP1 LOGO .•.*.••• - - * * *_* *
TOMO II
ANEXO 1, TIPOLOGÍAS. 2 A.l. Tipologías ....................•••••••
2. A.1.1. Losa maciza
3 A. 1.2. Losa de hormigón encasetonada • • • •
3 A.1.3. Losa de chapa de acero
VII.
Pag,
A.1.4. ¥igueta senilresistente ...................................' 4.
A.1.5. Bloque forjante ......................................... 5.
A. 1.6. Vigueta semiresistente 5.
A. 1.6.1.Prefabricado total 7o
A.1.7. Tipologias en base a su resistencia 8.
A.1.8. Mecanismos de cálculo _ 9.
A.1.9. Sistemas industrializados 11.
ANEXO 2. ENTRADA EN CARGA EN LAS ALAS,
A.2. Ejemplo sobre la ley de entrada en carga en las alas 18.
ANEXO 3* CÁLCULO CLÁSICO, FiSURACIÓN* PROCESO MATEMÁTICO.
A. 3.1. Ejemplo de salida del programa 26.
A. 3.2. Esquema de funcionamiento de la pieza fisurada 27.
A. 3.3. Cálculo de tensiones a momento positivo 28.
A. 3.4. Cálculo de tensiones a momento negativo 30.
A. 3.5. Valor de la tensión de cortadura en las alas .... 32.
A. 3. 6. Tensión de rasante en el nervio f... 33.
VIII.
\<s >\ i t. «i \f. i vWWW^^vW^W^^^Tyfty^Wr*
A,3.7, Comentarlos ............ ...... ............ ........ .... ........... .......... 34,
A.3.8. Obtención de los giros en la pieza con dos momentos en el apoyo ... 36.
A.3.9. Descripción del proarama
A.3.10, Descripción matemática del programa _ 46e
A.3.11, Cálculo de las curvaturas elementales 50o
A.3.12. Ejemplo de viga apoyada 52o
A.3.13. Ejemplo de viga doblemente empotrada _ _ 53o
ANEXO 4, TABLAS.
A.4.1. Pieza empotrada-empotrada _ _ 55o
A.4.2. Pieza empotrada-apoyada ... ' „„, V jrClUO. . . . ^ 101.
ANEXO 5a ABACOS,
A.5.1. Abaco luz-f/L ' . ... s „ o 122.
A.5.2. Abaco esbeltez-h/L-f/L U/JL, Í/U 1 3 4 . '
A . 5 . 3 . Abacos c u a n t í a s U+U'-f/L <*•• «« « « i/I4 141.
A.5.4. Envolventes ..... ••••• 144.
A.5.4.1. Resultados de la superposición de las gráficas .......... 145.
.Pag.
ANEXO 6, PROGRAMAS .................................................... 147.
ANEXO 7. APLICACIONES
A. 7.1. Variación de luz y canto 181.
A.7.2. Aplicación a secciones recatngulares 197.
A.7.3. Variación del ancho en las alas 200.
A. 7. 4. Variación del ancho en el nervio 203.
A.7.5. Variación de la resistencia del acero 206.
A.7.6. Variación de la resistencia del hormigón 209.
A.7.7. Variación del espesor de las alas 212.
a
X o»
ir ,ff , •» , , , -» a , „ , a « • ' * —
i I ' I I \ i, t
FIGURA A . 1 . 1 ,
k\\V\M R;\\\\M
FIGURA A . 1 . 1 , 1 .
A * 1 * TIPOLOGÍA
A continuación, se dá una clasificación de los sis
temas, en relación con los parámetros descritos en
$1 y el proceso constructivo.
Arrancando de lo más simple que sería verter el
hormigón en un tablero, aparece en primer lugar,
A,1,1. Losa maciza de hormigón armado. Fig.A.1.1. -
1 Encofrado muy carof por el hecho de totalizar la superficie.
2, 4, 5, y 6 Hormigón barato, poco manipulable.
3 Acero en 0 o #„ puede sej: poco manipulable.
Barato su vertido, poca manipulación.
A.1.1.1. Losa maciza de hormigón armado, sin alige
rar# en este caso el peso propio es muy superior a
cualquier otro sistema,
A, 1.1,2. Losa maciza de hormigón armado aligerada,,
pors aire? árido ligero, cerámica perdida,...ect.-
El aligeramiento en si mismo ya es un factor a con
siderar en el coste global- Fig. A.1.1.1.
2
Cf <;, t 4
FIGURA A,1,2,
FIGURA A.1.3,
EIn ambos casos la losa de hormigón supone el caso-
cíe máxima bidireccionalidad^ del cuál este trabajo
no se ocupará»
A, 1,2 , Losaf de hormigón encagetonada.
Supone una variante de la anterior, en la que sus-
elementos se resuelven con,
1 Autoportancia nula, encofrado muy caro, dificii-rellenado de senos,
2 Aire, porespan, fibra, cerámica , ,,etc
3 Acero en 0,
4,5,6, Hormigón vertido,
Exige alta manipulación y un elevado control en el
replanteo, Fig A,1,2,
A,1,3, Losa de chapa de acero, Fig, A,1,3,
4, 5, 6, Hormigón vertido "in situ",
3, 2, 1, Acero en chapa plegada.
Pocos elementos, poco control de obra, poco pesado,
qubre poca luz, Empleado en USA donde es posible en
contrar dos jerarquías de vigas -beams y girders-no
existe obra auxiliar prácticamente, Supone el forja
do del futuro , Pig.A.1,3, por su alto nivel de es-
\K V ' * Hl !
FIGURA (\,t.
pecializaciór», VK
Con este tipo aparece la unidireccionalidad, caso
que se ha abordado en este trabajo.
La autoportancia es sólo parcial por ser rígido -
en un sentido,
A.1,4, Vigueta sefmiresistente,
1, A través de la propia vigueta más sopandas,
2, Bovedilla "-cerámica o de hormigón-*-,,
3„ Acero de la vigueta.
4S Acero en vigueta 6 colocado f,in situ"„
5f 6, Hormigón,
El acero en general tiene bajos costes en 3 y 4, La
bovedilla tiene poco pesof donde su función es ocu
par el espacio no necesariamente lleno de material-
resistente.
En algunos fabricantesf con complicación en el pro
ceso puede llegarse a la bidireccionalidad,
Autoportancia parcial minima. Fig, A,1.4,
4.
FIGURA A.1,5,
FIGURA A,1.6,
A.1,5. Bloque forjante.
lr2f ,con la bovedxlla
3f con bovedilla o "ifl situ",
4, Sf 6, con hormigón "in situ".
Pocos elementos, poco control de obraf si la trac -
ción se incluye en el bloque tiene poca obra auxi -
liar, Su autentica industrialización reside en la -
especialización del elemento bloque,
Autoportancia parcial, monodireccionalidad parcial,
Fig, A,1,5,
A,1,6, Vigueta resistentes
1, La propia vigueta.
2S La bovedilla,
3, Acero de la vigueta,
4, Hormigón del alma de la vigueta o acero.
5, Hormigón del ala superior de la vigueta.
6, Capa de nivelación no resistente.
La vigueta que garantiza 3, 4f 5 tiene coste relati_
vamente bajo. La bovedilla aquí tiene análogo corae-
Flg. A,1.6.
3 .
ttido que en el caso de vigueta semiresistente. Ade
cuado a plantas bajas sin posibilidad de sopandar.
Es la versión de nuestros dias del forjado tradicio
nal de viguetas de madera y relleno de rasillas y -
mortero de cal y en el cabe incluir el de viguetas-
formadas por perfiles metálicos de catalogo,
A.1.6.1Prefabricado total.
Solo un elemento, el facilitado por el fabricante -
Requiere maquinaria pesada para su puesta en obra -
Típico de los sistemas prefabricados pesados.
Alto nivel de espcialización y garantia de recep
ción correcta,, requiere un control de obra bajo,
Monodireccional y autoportante* En algunas patentes
el sellado entre elementos puede hacerse "in situ"
Corresponde a esquemas de cálculo muy estandarizados.
Es muy pesado. Supone el otro extremo de la losa "in
situ"f es decirf la presentación de un producto com
pletamente terminado frente a los anteriores, Fig.A.1.7.
MATERIAL ELEMENTOS RESISTEN TES INICIALMENTE
PERFILES METÁLICOS
PERFILES Y CHAPAS + HORMIGÓN
HORMIGÓN ARMADO
CERÁMICA ARMADA
HORMIGÓN PRETENSADO
CERÁMICA PRETENSADA
— _ .
* JL
JL 1
•) i\)(<A
TIPOLOGÍA EN B A S E A SU R E S I S T E N C I A
a
(*) Se r e f i e r e a l o s t r a t a d o s especí f icamente en e s t a t e s i s
ELEMENTOS SEMIRE ELEMENTOS NO RESIS ELEMENTOS SEMI SISTENTES I N I C . TENTES INICIALM, RESISTENTES ~
SIN FORMAR PAR TE DE LA ESTR.
* -\ r\ r\ T
* A
* A
A A
*
'
* , W ...
A,¡L*8* HECANISMOS DE CALCULO
En general los esquemas de cálculo serán del tipo,
A. 1.8,1. Tramos aislados.
Sus extremos pueden girar libremente, sin transfe
rir a sus adyacentes solicitación alguna por fie -
xión. Idoneidad a momentos positivos -tracciones -
inferiores-. Este esquema dá soluciones deformables
y vibrantes.
A,1,0.2, Tramos semiempotrados.
Si sus extremos admiten algún tipo de transieren -
cia de carga por flexión, Idoenidad a momentos po
sitivos y alguna a.momentos negativos, Sus solucio
nes reducen notablemente el momento del vano,
A,1,8,3, Continuidad total interior.
Colaboración total interior, hiperestatismo necesa
rio a tener en cuenta en análisis.
9.
LUCES CARGAS
BAJAS < k m. 500-600 kp/m2,
MEDIAS 4 < L < 6 m , 600-750
MEDIO ALTAS 6 <L <8 m. 700-1000
MUY ALTAS 8 < L < 1 0 m . >1000
TABLA A.1.8,3.
Los modelos apoyados dan soluciones que requieren
arriostramiento especifico, debido a la falta de-
rigidez de su vínculo.
Los semiempoteados, reducen el momento máximo en"
el vano y su rigidez de apoyo igual que los conti_
nuos, les hace tener participación en arriostra -
miento global del edificio.
Los bidireccionalesr más dentro del campo de las-
placas que del que se trata aquí, tienen gran ca
pacidad portante. Pudiendo establecerse sus meca
nismos de cálculo pors análisis elástico, plásti
co -lineas de rotura-, o la aproximación de ambos
que da la norma EH-80 en el procedimiento de pór
ticos virtuales.
La tabla A.1.8.3. dá algunos criterios en la con
sideración de las luces y cargas.
1 0
A , 1 ° 9 ' SISTEMAS INDUSTRIALIZADOS,
»
De alguna forma? cualquier sistema, tenderá en s«-
camino al óptimo a necesitar menos encofrado, obra
auxiliar y formar estructuras de funcionamiento
continuo. Casi todos coinciden en manifestar una -
clara sección T de trabajo, buscar un techo piano-
homogeneo? y ser la agrupación en mayor medida de»-
un producto industrial más un conjunto de adicio -
pes y operaciones en obra a realizar,
A continuación se expone una clasificación basada^
en lo que hoy el mercado puede ofrecer.
El hecho de que casi todos los sistemas se adapten
al esquema vigueta*-bovedilla-rellenO'-puntal supone
que, aun siendo un procedimiento arfc&sanal caro si_
gue siendo rentable frente a otros de más nivel de
industrialización,
" • " ^ f » ! * ! — I . . ! ? .
FIGURA A,1.9.1,
FIGURA A,1.9,2,
FIGURA A.1.9,3.
FIGURA A,1.9.h.
v
FIGURA A.1.9.5.
O tw hm^ ,A ^i^mwfw A.1.9.1. Sistema con nervios prefabricados, consti
tuidos por semiviguetas de hormigón en T -, invertida.Fig.A.1.9.1.
Requiere comprobación de adherencia entre-cordón comprimido y traccionado.
A41.9.2, Sistema con nervios semiresistentes prefabricados constituidos por semiviguetas dehormigón de sección doble T.Fig.A.1.9.2.
A.1.9.3. Sistema con nervios semiresistentes prefabricados, constituidos por semiviguetas de hormigón armado o pretensado de sección rectangular, provistas de armadura especifica a esfuerzo cortante. Fig.A.i,9.3.
A.1,9,4, Sistema con nervio semiresistente prefabri_ cado constituidos por semiviguetas de hormigón de sección especial. Fig,A.1,9,4.
A, 1.9,5. Sistema con nervios semiresistentes prefabricados, constituidos por elementos metálicos. Con, perfil, chapa plegada+hormigón perfiles laminados delgados. Fig.A.1.9.5.
* i f l
A , 1 , 9 , 6 ,
FIGURA A , 1 . 9 . 6 ,
£% g X ^ «? ^ / J
FIGURA A.1.9.7» i \ | X * , ¡ 7 f O g
o a
/ \
e <
FIGURA A.1.9 .8 .
¿\ if X | 3 i» J ^
FIGURA A,1.9,9.
A, 1 , 9 , 1 0
FSGURA A,1 ,9 .10
Sistemas con nervios semiresistentes que se ejecutan con piezas de cerámica a pie de obra. Fig, A.1,9.6.
Sistemas de nervios semiresistentes prefabricados constituidos con piezas de ce raraica armada pretensada. Fig,A.1,9,7.
Sistemas constituidos por placas semiresistentes que se completan con el vertido de capa superior y armaduras de contx_ nuidad en una dirección.Fig,A,1,9.8,
Sistemas aligerados armados en dos direc clones en los que se realiza la capa decompresión "in situ". Fi9- A.i.9.9.
Sistema constituidos por chapa de acero-acanalada o corruga que sirve de elemento de tracción y encofrado de la capa de compresión vertida
X -j «
i \%t * <a ^ \ \ m
FIGURA A.1.9.11
A,1,9,11, Sistemas constituidos por nervios semiresistentes prefabricados y elementos que -constituyen la capa de compresión, también
\ prefabricados de montaje "ín situ".
A,1,9.12, Sistemas con nervios semiresistentes de -hormigón pretensado de capacidad importan te y placas de compresión de hormigón pxe_ tensado, Fig. A,1.9.12. ~~
FIGURA A,1,9,12.
A,1,9.13. Sistemas con nervios semiresistentes de -hormigón armado o pretensado y placas dehormigón ó cerámica armada. Fig.A.1.9.13.
FIGURA A,1,9.13. A i a m e- 4- -A,1,9,14. Sistemas con nervios semiresistentes de -
cerámica armada pretensada o no, y placas de cerámica armada. Fig. A.1.9.14,
FIGURA A»1«9.14. A,1,9,15, Sistemas que se construyen con elementos
o placas prefabricadas autoresistentes -realizando "in situ™ simples rellenos de Fig. A.1,9.15.
FIGURA A,1,9.15.
juntas de colocación de armaduras üe con tinuidad o incluso sin realización algu
na»
A*i,9»16* Placas autoresistentes armadas o pretensadas constituidas por piezas ceraraicas--Q de mortero de hormigón- como aligeramiento y encofrado. Fig.A.1.9.16
FIGURA A,1.9.16,
A,1.9,17. Elementos o placas autoresistentes de -hormigón armado 6 pretensado que se adosan, rejuntan y organizan en continuidad. Fig. A,1.9.17.
FIGURA A, 1,9,17» ,_ , -,- ^ J ^ A. 1.9,18, Placas armadas y pretensadas aligeraclas-
mediante piezas de relleno, huecos o material ligero aislante. Fig.A.1.9.18.
FIGURA A , 1 , 9 , 1 8 . A,1.9.19, Placas prefabricadas destinadas a luces-medias y cargas medias. Fig A.1.9.19.
FIGURA A . 1 . 9 . 1 9 .
A,1,9,20. Placas prefabricadas destinadas a luces y cargas altas. Fig. A.1.9.20
20
A,1,9.21. Placas o elementos autoresistentes que se adosan sin rejuntar.
21 En cuanto a las bovedillas o elementos de aligera
miento podrán sers
—Cerámicas —50—80 cm.—
•¡-Cemento -mayor peso-
-yeso -másligeras-
-material sintético -Polistireno expandido, más -
caras-
Las limitaciones sobre legislación vigente se com
prenden de forma oficial en la EH-80 art°47 ai 56
y de forma oficiosa en las NTE.
r-
«a:
CS!
O
A 2 * " EJEMPLO SOBRE LA LEY DE ENTRADA EN CARGA DE
LAS ALAS,
Como se ha indicado en $2, partiendo de las tensio
nes unifórmente aplicadas derivadas de una sitúa
ción de momentos positivos, se pasa a determinar la
variación de la fuerza en el cordón obtenida a par
tir de la variación de momento. Naturalmente se ha
ce preciso introducir la corrección de rigor, corres
pondiente a la variación de brazo de palanca experi_
mentada de una sección a otra, en muchos casos poco
relevante, pero, real. Considerando esta variación-
como despreciable, que además un modelo automático-
tendría en cuenta, las tensiones a uno y otro lado-
de la rodaja de pieza, determinan unas tensiones
que supuestas iniciairaente uniformes, definen una -
ley de tensiones tangenciales, que determinan la
distorsión, donde por un proceso de discretización-
se obtendrá por integración local el giro total que
por efecto de la carga y actuando como ménsula apa-
rece en el extremo del ala.
Así \a determinación de las deformaciones longitu-
dinales es inmediata, si se tiene en cuenta que
las deformaciones longitudinales obtenidas a par -
tir de la distorsión, se pueden hallar nuevas ten
siones normales y en consecuencia entrar en un pro
ceso de recurrencia, que irá convergiendo, toda
vez que las diferencias entre las distorsiones y -
las e ya existentes se hace cada vez menor. Este -
punto se hace especialmente interesante porque es-
el que determina la transferencia de rasante de
las alas al nervio, justificando con su trabajo el
acartelamiento del ala así como en parte las arma
duras de reparto en las capas de compresión.
La variación de entrada en las alas de tipo parabó
lico, genera variaciones en la pendiente de la grá
fica de momentos a la cual est'an sometidas las alas
acusando crecimiento de valores ahí y como consecu
encia de material.
Fig. A.2.1
FIGURA A,2.2
-Este proceso de puesta en carga de las alas se hace
Incierto? si como se demuestra en esta tesis la pie
za en estado de servicio tiene grandes zonas de "no
linealidad" y en estado último esas zonas se extien
den a toda la pieza? no tiene sentido fundamentar -
el proceso en un desarrollo elástico.
Desarrollo del ejemplo,
Si se supone para el forjado de referencia una com
presión en las alas de 20.000 kp. a =0.475 m.
q=%50 kp, los esfuerzos cortantes en las alas serán
T = 50y + C?y ios momentos flectores M(y) =y2--8y-1280
T
r>El área de momentos es í-r , siendo f la flecha deis
la parábola dada por el valor del momento 400 kp.m.
El área de dicha parábola es 400.0*5 _ 33^33 m2kp 6
por aplicación del primer teorema de Morh.
2534 el momento de inercia 1= ., 2 ¡¡li = 5208*33 cm4.
333300 cm2kp . _ü_ = =0.000030 rad. E I 2100000kp/cm25208„33 cm%
Este diagrama de giros,
20
/ f, fjg*. ttiiip™^ if w w x?'<!¡™-
•sr o
o -a-
5
-3-
*—•
h
CM
3 2
<J
-a-
1 )
FIGURA A,2,3=
M(y) = y2-8y-1280 3 2
J*M(y)tiy = 3Í— - 8-¥ 1280y + C
6= - =¿-( ^- - 4y2-128Qy) El 3
Tomando el ancho de ais de 70 cmy suponiendo la
ley de moemntos flectores de la Fig. A.2.3. en
tre la sección 4 y 5
M(4)=278,9Q M(5)= 350 mto
se forma un incremento de momento de valor AM=71,10mkp
Los momentos flectores en los puntos intermedios de
las alas serán,
M(5)=29r41'27'5 = 111,21 mkp 2
M(4)= 71.17 mkp
M(3)= 40,03 mkp
M(2)= 17,70 mkp
M(l)= 4,44 rakp
M(0)= 0 mkp Fig.A.2.3.
Calculando ahora las curvaturas elementales, obten
dremos los giros/ si se multiplican por los interva
losf
21
-yr
i le 3 xy
FIGURA h,Zthe
Ie+yxy
Área room 8 = • Ax
E l
* 1
El= 2?1 .10 5 ,25 3 ,5 , - i - = 13671.1Q5
12
Organizando una integral numérica que? a par t i r de
los giros? tomará los mismos intervalos? se obtie
ne? la flecha debida a la distorsión por el segun
do teorema de Morh. Fig. A.2.4.
Intervalo Curvatura
(5,4) ' i r 1 " o* 2 9 - 1 0" 5 r a é L
(4f3) 0.23.Í0"5
(3,2) 0?16.10~5
(2,1) ,- Q.098J.Q' ' 5
'5 (1,0) 0.03210
y a par t i r de la distorsión? calcular las deforma
ciones e a par t i r de las ecuaciones de Elasticidad?
\ z Txz o v Y _ _ .Y = . e — * (a + a )
3^ G ' ** G X E E y Z
donde podemos deducir que existe deformación por a
y T por lo que es trabajo de las alas será debido
a ambas„
22.
FIGURA A,2.5.
m • f.f-.r.p,,,.
La deformación e a tensión normal, no ocasiona gi
ros y podría considerarse en primer estadio como,
0
E
de valor uniforme para cada rebanada* coincidien -
do con la distribución inicial uniforme, Fig A.2.5.
En primera aproximación,
J§ = o J 2500mkp = 1 4 7 0 5 ? 0 8 kp °-85z c 0,85.0,2
a = 14705,08 = 1 3 3 ? 6 5 k p / c m 2 o
3'5 .275
2
E 2100000 e="_2— = 133,08 = 0,000064 m/m.
ü = 14705,08 kp -, uc 2800 = 1 6 4 7 0 ' 5 9 k P
C2500
O - ü „™„ = 1 7 6 5 , 5 7 k p . c 2800 C2500
'2500+2800
' _L_ =x Y • e = 2 1— = 0 . 0 0 0 2 8 m/m G ^ Q,20.Q,85EA
2 3 .
•1.76
FIGURA A.2,6 ,
25
275 era,
FIGURA A.2,7,
T / G = Y ' t o t a l e s
1 4 , 1*2
12 ? 28
10 ,09
7 , 4 3
4 , 1 5
F i g , h.2,6,
0,000017 + 0.00028
0,000014 + 0.00028
0,000012 + 0.00028
0.000009 + 0.00028
0.000005 + 0.00028
0.000311
0.000294
0.000292
0.000289
0.000285
¿V partir de aquí* se debe poner en carga otra vez
las alas con las tensiones derivadas de estas de_
formaciones obtenidas en el ciclo.
Como se quería demostrar, a partir de las distor
siones t se obtiene-una corrección sobre el traba
jo desarrollado por las alas, proporcionando un -
nuevo diagrama de tensiones, Fig. A.2.7.'siguiendo
el ciclo, a -> y "*" T "*" ® variable
£ + e = £ -*• O cons. var. tot
Obteniéndose, así una variación en el diagrama de
carga de las alas, variación debida a la varia
ción de esfuerzo en las alas.
24.
LO
oo
OO
(_> O
hA O U
O X
oo
Ancho a las Ancho ne rv io Canto u t í l D Hormigón H Acero Espesor a la Canto t o t a l Luz E arm. sup. F arm. ¡ n f . N f a c t o r de equ
1<á12 i n f .
2¿12 I n f .
3e512 i n f .
héí2 i n f .
5«á12 i n f .
Juera 15cra 17cm 175 kg/cm2 A-12F h cm 20cmn 5 m 0 cm2. 1s512 + , . ,
f v . 10
PROFUNDIDAD LINEA NEUTRA
2,526 ero.
3.10 cm.
3.616 cm.
^.085 cm.
4.513 cm.
MOMENTO INERCIA HORMIGÓN C0MPR1M
2.802,102 o t a .
5.075,03*» cnrA.
7.176,814 cná.
9.12917Si» cm1».
10.952,028 cm1».
TABLA A , 3 . 1 .
A, 3.4EJEMPLO DE SALIDA DEL PROGRAMA
A continuación' se expone la salida del programa \
en donde se ha armado la misma pieza sin armadura
superior y con 1012 inferior que va aumentando -
hasta 5012 de acero 42F. Tabla A.3.1.
DO
El método expuesto, perteneciente a la teoría cía
sica del hormigón armado sólo vale para comprobar
tensiones, si se conoce el momento de servicio al
que está sometida la sección. Así, con la inercia
del hormigón comprimido, la profundidad de la LN
y dicho momento pueden determinarse las tensiones,
c 1^ ac.tr. c x
que deben en t o d o momento s e r menores a l a s admi
s i b l e s d e ; O-c5a¿taf0.45fc 1 O s 1 # a d m -^1.800 kp/cm2.
2 6 .
A,3,2. ESQUEMA DE FUNCIONAMIENTO DEL TRABAJO Dfe LA PIEZA FI SURADA
La reconstrucción de todo el proceso en los térmi
nos descritos con anterioridad lleva a la conside
ración del modelo como una pieza de geometría va -
riable cuyo comportamiento por efecto de las car -
gas hace que la forma resistente sea distinta con
la solicitación» Fig A.3.2.
FIGURA A,3.2.
SECCIONES FtSURADAS
HORMIGÓN COMPRIMIDO (C.CLASICO)
TENSIONES
1 J
<«l»B«i\k« »>*aM* «» .Amtátiniittámni •« » « \ *i»AM^iMllMi,»miméw¿ímk
X 0 ©
I \H
FIGURA A.3 ,3 .1
T | ~J0 Xn
FIGURA A J - 3 , 2 .
A'3«3CALCUL0 DE TENSIONES A MOMENTO POSITIVO
r x>c-
f§ + BC(x- §>* + -Í2=^R+ (X-C)A(<2^) +
2 2 +10EÍX-R) + lOF(D-x) = I (Momento de inercia hor
migón comprimido)
lOOMx
. 0c(X-C)
a =10 x
a_(D-x) =10
2 a -10 _£ - F i g^ A.3.3.i,
- X< C-
X<C
g. + (-yj) Bx + 10F(D~|-) = I
Fig> A.3.3.2
FIGURA A.3.3,3,
«I
X>C tQE(x-R) + I - IHC
X<C lOE(R-x) + I =:IHC \
donde usariamos las mismas fórmulas que en el ca
so anterior para determinar las tensiones de hor
migón y acero.
X>h-
55% BC{x- £ \ \ MÜZ£l2+ (h-C)A(h-C--ü^) +
12 12
+ l O E ( x - j ) + 10F(X-D) = IHC
O = ( x - h ) cmax cmax 2S
O = ( x - R ) 1 0 cmax S2 X
O , „,, 4 rs cmax = ( x - D ) 1 0
S i „
F i g . A . 3 , 3 . 3 .
29»
A.J.4CALCÜLU Oh i b N s i U N t s Pk MUMtNIO WfcViM i v u
Se supine momento negativo a la solicitación por
flexión que genera en la sección estado de trac
ción de la fibra superior.
X<Ó
f|'+ BC(X + 4 ) + *!%&-'* (H-C)A(K +SOp-' +
+ l O B t x - h + y ) + lOFCx+R) = IHC
Mx
cmax
0 , ={x-h) cmax cmtn — -
g = (x+R) 10 cmax ¿ X
0 = (x+D) 10 cmax-- F i g . A . 3 . 4 . 1 .
»»«»»%/«!,*%»,;»•;«%nii/A.i i ím¡'aB:i.<Pimít»SUi»í
G Área del acero superior en sección a M+
W Área del acero inferior en sección a M
FIGURA rA*3,k.2.
•0 <X< tv-C-
«A " 2
££ -f- (£) Ax - IHC
Mx
cmax
Ocmip ~ 0
lO'(h-R) cmax
10R cmax x
Fig. A.3.4.2,
31.
N+AN
/ / / /
M4
ir
N+AN
%M+AH
FIGURA A . 3 . 5 -
A. 3.5VALOR DE LA TENSIÓN DE CORTADURA EM LAS ALAS
A partir de los desequilibrios, producidos por
ios incrementos producidos, sección a sección-
se puede determinar la tensión de cortadura en
las alas.
Si se supone el estado de tensiones correspon -
diente a la Fig. A.3.5. el valor de la fuerza -
normal será el obtenido a partir del momento -
flector que solicita la sección dividido por el
brazo de palanca
— = N i AN será la"variación de normal en el -z cordón y tomando un brazo de palanca del orden-
del 0.85 del canto total tendremos,
AM a
A N = siendo "a" y "B" la luz del-G.85h B
vuelo del ala y "B" la anchura de las alas.
AM = T Ax
B-A
2 B la fuerza total en el bloque actuará segün,
32
dx
FIGURA A.3.6,
1QB (x<-R) + 25*'— x 2 3"
c ! |ü + 1 0 B ) xG
J T T " 0.9b ~
B-A
A.3.68JEMSÍON DE RASANTE EN EL NERVIO
El esfuerzo rasante en un trozo Ax, será,
R. « Jo' dA - 0 dA
M
z
edx
T
M' M
R max z'
T
max z.e
max g e ? z=^ 0.9h
T dx
T
N 0.9hA
Así, se intenta que la máquina facilite los valo
res de tensiones expresados con anterioridad a
partir del modelo fisurado y volverá a frailar los
nuevos valores de momento flector, esfuerzo cor -
tante y tensiones.
Una vez hecho esto, el camino a seguir será estu
diar el cálculo por agotamiento y rotura.
A.3.7 COMENTARIOS
La situación en cálculo elástico supone, que si -
no contamos con la resistencia a tracción del hor
raigón sólo hay colaboración de este en las zonas-
inferiores a la linea neutra, para momentos nega
tivo o superiores , para momentos positivos, mas
ías componentes que proporcionan las armaduras.
Este hecho ocasiona diversas consideraciones, ya
que las leyes de momento y cortante, serán las da
das por la carga, sin embargo, las leyes de ten -
siones se verán afectadas del signo del momento -
y serán función de la zona comprimida del hormi -
gón.
34.
El programa distingue todas las posibles posicxo
nes de la linea neutra, con escepción de aquellas
que generen estados de flexión compuesta, por no-
considerarse dentro del primer umbral de proble -
mas a estudiar.
De esta forma, y en el más lineal de los casos -
-igual profundidad de la linea neutra-, existe ti
na gráfica de momentos de inercia efectivos dadas
por la gráfica de momentos, en orden a elegir u
na u otra profundidad.
Utilizando un brazo de palanca de 0.9h# obtenemos
el valor de la tensión máxima de rasante de ala y
nervio.
A partir de aquí, se puede construir el diagrama-
de curvaturas, como herramienta, mejor que el de
momentos, puesto que las inercias son variables -
-dependiendo estas del signo de momentos-. Cons -
truido este diagrama, se puede pasar al de giros,
sin más que obtener el giro inicial izquierdo y -
los giros en todos los puntos.
El giro en una sección cualesquiera, será la suma
del inicial más las curvaturas acumuladas por el-
intervalo en esa sección.
A.3.8. OBTENCION DE GIROS EN LA PIEZA CON DOS MO -
MENTOS EN EL APOYO
Partiendo de la expresión que facilita el estado-
de momentos;
2
, P L Mi+ M2, p y M(X = -M + ( V -~—L)y i 2 L 2
y análogamente de la expresión del giro:
0(x) = Míx)dx + 80 = M l Y + ( - Ml+ M2 )4 "4V
y flecha,
M.+ M, <S(x) = M(x) + 0ox +60= Mi-*— +ÍÓ- + T }
2 2 L 2.3
+ 60 x +60
FIGURA A.3-8.1
A estas ecuaciones tendremos que aplicar las condi
ciones de contorno»
y = 0 flecha - 0
y = L flecha = 6
r
Fig. A.3.8.1.
1 #„ L . #PL Mi+M2 » L ~-(M Ó - + < }
•U l * 9 L
PL 2.3 2.3.4 s El •) = 8c
Así, por ejemplo el giro en el apoyo izquierdo;
q=21Q kp/m2. f luz=5m.; E=/¡^19.000 "kp/cm2. . f^= 175 kp/cm2
,1 0o (-1200(kpm)
25Cm2) . ,210x5 kpm _ 300 kgnij 25m2._ + * 5 m 6
5 (m)
210 kp 53 m3
2x3x4 25i.346Kp/cm2 4.160.12 cm4
Expresión, en su enunciado correcta,.pero en donde no
se contempla, tanto la variación de inercias como el-
estado de la sección en cada una de las posiciones.
Ver figura A<3,».2
FIGURA nA,3,8.2
38.
fte (M)
\L~wJ y twj/iujzB
U)
FIGURA A.3 .B .3 ,
Por este camino, la profundidad de la lxnea neutra
adopta dos posiciones básicas -a momento positívo-
y a momento negativo, esto conforma dos momentos -
de inercia con los que definimos la pieza.
Como se demostrará más tarde, y la experiencia de
muestra la profundidad de la linea neutra es varia
ble, pero aquí sólo se ha obtenido en el programa-
sin más que acudir a la ecuación ya planteada,
S = S + N A' (x-d« )- NA(d-x) = 0 Flq. A.3.8.3, e1 x ^
osea,
£5- + (B-A)C(x-f) + NA8 íx-d' ) - NAÍd-x) = 0
por lo tanto las tensxones o a obtener serán fun
ción del valor de la profundidad de la linea neu
tra en cada una de las situaciones.
Necesariamente, la incógnita ahora no es el momen
to -M- sino — — expresión más relacionada con la-
curvatura, en la expresión de la integral que gene
39
ricamente dá el giro.-Fig. A.3.8.4.
Será necesaria una integración numérica, método a-
proximado que con la sola variación del número de
intervalos , puede llegar a obtener la precisión <te_
seada.
Entre los métodos de aproximación* se puede tomar
los siguientes?
Fórmula de Poncelet -requiere numero par de interva
los-. Fórmula de Simpson». Métod de Newton-Cotes..ect.
Si tomamos la fórmula de Simpson* los intervalos de
Á,3.8,4, curva se subtituyen por arcos de parábola cuadrática
ó cúbica, según los casos C35)
\ f (x) dx *fg C (y - yn ) +4 (Yj +y3 + . . . +^n_) +2 (y2 +Yh + • • • +YrJ)
J Xo
C3S) CALCULO INTEGRAL APLICADO A LA FÍSICA Y A LA TÉCNICA Lección 12. P.Puig Adam
40.
i/iim i //>>n n ni i>i/i > Ai i / / /> i /• / > //r»tt •/// / / f/i
Macizado Sección rectangular
Sección T
FIGURAA.3.9.1.
«v ^ w u^\iAi)^é't#AlÜ
^•3-9'DESCRIPCION DEL PROGRAMA
Con independencia de que el programa que facilita -
las variables anteriormente definidas, se precisa -
1 en este tomo j se incluyen ejemplos de las salidas-
i donde ' se facilitan giros, curvaturas y flechas.
-Ver programa £7-
En todo este proceso no parece difícil, introducir-
variaciones sobre la geometría prevista, es decir,-
podría obtenerse la corrección de los resultados al
considerar macizados en los apoyos, hecho de relé -
vante importancia si se usan elementos a base de se
mivigueta, precomprimidos de origen. F±q. A.3.9.1.
El proceso sería el mismo, pero introduciendo en la
elección de inercia, la sección total debida ai ma
cizado.
El valor del momento de inercia de la sección maci
zada es,
I =^3+(D=2R)
2 (10G2+10W2) maz 32 ¿
Siendo G y Wlas áreas de armaduras superior e in -
41.
FIGURA A.3,9.2.
FIGURA £3.9.3,
ferior en la zona del apoyo.
El momento de inercia total de la sección en T será,
V u* V£éh* «*- § » BC + ikr + c " x)2+
+ lOG(x-R) +10W(x-R-x)
si M<0 1 en caso contrario» se tomará, — C 2 2
1 = 1 + 10E(x-!< ) + lOF(h-R-x) T 2
Donde E*F y G,W son las áreas de acero en vano y a-
poyo superior e inferior, respectivamente.
Las inercias correspondientes a la sección macizada
en lo referente a hormigón comprimido, quedan como-
sigue?
M>_0 3 2 2 2
I = 52L + Bxí*-) + lOE(x-R) + lOF(D-x) Fig.Jk.,3.9.2. c 12 ¿
M<0 % 3
j = BCh-x) + B(h-C) +- 10G(x_R)2+io W(D-x)
2 Fig. A. 3 i a.3 c 12 4
42.
M»
i
I
donde realmente tendrá interés esta corrección en la
geometría será en los apoyos en donde las variacio -
nes en la curvatura pueden llegar a ser importantes.
También en los resultados manifiesta relevancia el -
hecho de que en la colaboración del hormigón a trac
ción el hormigón todavia no se halla fisurado, por -
estar colaborando al equilibrio una sección de ancho
el de las alas.
En esta fase del trabajo se pretende analizar el cora
portamiento de una pieza armada de sección T -bajo -
cálculo elástico de hormigón armado con una determi
nada cuantía, cuando en vez de considerar la inercia
total consideramos la inercia que determinan los blo
ques comprimidos del hormigón en todas las situacio
nes para un determinado estado de carga. Esta situa
ción genera otra distinta de la inicial, en cuanto a
que la lev de inercias es variable en todos las posi
ciones <.
Si a partir de aquí, volvemos a poner en carga la
43
* «•> » >.t í tí H) 4. •UM-mmlil
pieza, los momentos son distintos, por lo que en -
teoria el problema es de convergencia infinita, a-
sí en la resolución solo hemos dado cuatro ciclos-
por considerarlo como suficiente.
La sección tipo sigue definiéndose, en general con
sus valores de geometría -canto, luz, anchos..ect-
donde de ahora en adelante fijaremos siempre un es
pesor de las alas de 3 era. carga uniforme en todos
los casos y la posibilidad de actuación de momentos
en los extremos.
Definida así la pieza a estudiar, el programa rea
liza las operaciones siguientes %
1 Toma de datos.
2 Calculo del momento flector en todas las posiciones -Se han tomado 50-.
3 Calcula la profundidad de la linea neutra
4 A partir de la linea neutra que es la que define-el bloque de compresiones, calcula los momentos -de inercia de los correspondientes bloques com -primidos, cualesquiera que sea el signo del momen to, considerando la"asimetría axil de la sección-respecto al eje horizontal.
5 Con esta información el ciclo del programa se de-
44
sarrolla entrando con los momentos almacenados en-
la matriz M(5Q) lineáis momentos iniciales que pro
ceden solo de la carga y momentos aplicados en los
externos,, en la pieza de inercia variable 1(50)
donde también se han tenido en cuanto las situado
nes locales de macizados en los extremos.
Así se logra corregir la primera ley de momentos -
por descuelgue.
Así pues,>-ver ejemplos- las zonas de momento posi
tivo presentan regiones de fuertes tensiones de
hormigón, dada la alta posición de la linea neutra
por tratarse de piezas en T, al cambiar de signo -
el momento, sólo se trabaja con la pequeña aporta
ción de hormigón comprimido que facilita el nervio
en el caso más general, sin macizados. Aquí se ha-
despreciado la colaboración del hormigón a trac
ción„ dada su escasa participación.
El programa en todo momento puede ,f acuitar, si -
se desea listados de los giros locales, y de las -
deformaciones locales entre secciones, aunque el -
45.
\ \ ¡> > >m#M||f
dato más relevante de diseño es la flecha en el pun
to medio para el estado de carga descrito.
A.3,10DESARROLLO MATEMÁTICO DEL PROGRAMA
QB = p -carga uniforme por ancho de alas-.
h-R = á canto útil 2
M + {^± - M J g % e r ) y „ 3 ± = M i e n t o i z q 2 L 2
M(K)<0
- ( B C - A C +10G +10W) = U
2 A ( - ! £ + AC _ iOCWd - GR)) = 0 2
(U+/U-Q) _ 1 '' **— X
M(K)>0
- (BC-AC+10E+10F)=U 2 2
2 A ( — + — - 10 (Fd + E R ) ) = 0 2 2
siendo la x la misma que en el caso anterior
46.
\ •) t i íí i
si el momento es negativo y se ha de macizar, la -
inercia comprimida del hormigón será,
B<^-x) + B(fa-x) + 10GÍX„R) +iow(d-x) =IHC „ . 4 maz 12 *
si y<.L- longitud del macizado se considerará la iner
cia anterior y análogamente en el extremo derecho, si
es que allí también se macizó.
Con arreglo a la linea neutra y sus posiciones,
Si x>C 3 3 2 2
líiZ*l + (h-x) A + ÍOGCX-R) + lOW(d-x) = I 12 4
Si x<C
(hzcÍ_A_ + (ihzcj_ + c _ x ) ¿ ( h _ c ) + Bi9zÁ + 12 ¿ xz
2
B(C-x) ( (^^- + 10W(d-x)2= I
M(K)(h-R) _ (tensión del hormigón comprimido 1 dentro del programa)
r(x-R)10r4 7 = ^5 tensión de acero traccionado v h-C
47.
(h-x-RJttlOr. = — = r (tensión del acero comprimido)
6 h-R
«
Si x>R I = 10(x-R)2G + IHC
Si X<R I = 10(R-x)2G + IHC
donde IHC es la obtenida con anterioridad, es decir
sólo se ha aumentado la contribución de la armadu -
ra, valor que a su vez sólo tiene interés teórico.
Si M>0
3 2 2 2
— + Bxíí-) + lOE(x-R) + lOF(d-x) = IHC 12 ¿
Si y < 1, la IHC anterior dá el momento de inercia
de la zona comprimida macizada, '
Si y corresponde al macizado derecho se considerará
igual IHC.
x>C
BC3+ B C (x_ £)* + (X-C) ^ = I
1¿ ¿ 12
A 2 2
j + (B~°) + ÍOE(X-R) + lOF(d-x) = I 4
48.
> X k}<
x<C
Rlf3 „ 2 X 2
— + (-=-) Bx + 10F(d- -^-)=I 12 2
X>R ; lOE(x-R) + 1 = 1
x<R ? 10E(R-x)2+ 1 = 1
finalmente las tensiones del hormigón quedan?
M ÍIO x % ' = r. (tensión hormigón comprimido) (K) 4
10r-(x-R) = rr (tensión del acero traccionado)
x 5
10 r^(d-x) (tensiones del acero comprimido) = r6
x
49»
FIGURA A.3-
( Vfíi
A.3.10.1jNERCIA TOTAL
I - f f + ^ L % BC(x-f ) \ A(h-C) < Í ^ S I - X)
M|K)<0
I + 10G(x-R}2+ lOWCh-R-x)2= I
M(K)>0
I = 10E(x*-C)2 + 1 0 F ( h - R - x ) 2 = I
A.3.11C A L Cy L 0 DE CURVATURAS ELEMENTALES
M(K) = N(K) (matriz de almacenamiento lineal)
El
calculadas con I total
L amplitud del intervalo J
L N(K)j Área elemental del diagrama de curvaturas
£ N(K)— (L—- ) valor de la flecha debida al gi J J —
o ro en el apoyo <50 - Fig. A. 3.11.
O =- = 8 si F(N) es la matriz de flechas locales ib o
k<J
¡ (-(L~)N(K)) + 5 = F.(N)
50.
\
N(K-l)-N(K)=ll(K) (Diferencia de áreas elmentales encerrada por la ley de curvaturas)
E<J(HÍK-1)~N(K))=8 (Giro relativo entre la posi -o ción k y el origen).
una vez esto e impresos por salida de programa los
valores de 6 y-6 se repetirá el ciclo con el valor
de la curvatura,
_MÍIi_ = H(K) EI(K)
donde todas las inercias son variables.
DATOS
Q Carga uniforme L Luz A Ancho nervio B Ancho alas C Espesor alas H Canto total D Canto útil R Recubrimiento F . Hormigón E Área arm sup F Área arm inf G Área arm sup W Área arm ¡nf m Longitud maci
vano vano apoyo apoyo íz apoyo
0.06 To/m2. 5 m. 15cm. yOcm, 3cm, 20cm. I8cm. 2cm.
175Kg/cm2, 0 2cm2. 2cm2. 0 Ocm.
A.3,12 EJEMPLO VIGA APOYADA
Linea neutra 2=93 era.
* Í \'é 1.4 mm
IHC apoyo IHC mitad
29423.66 cm4 6056.30 cm4
Momento máximo 1312.50 mkp
Curvatura izq. Curvatura der. Curvatura max cent.
0.00000000 0.00000000 0.00002548
ler. ciclo I,M
Giro izq. Giro der. Giro max.
0.004245 rad •0.004245 rad 0.004245 rad
Curvatura izq. Curvatura der. Curvatura Max cent.
0.00000000 0.00000000 0.00008065
M 2o ciclo IHC,Ir-
Giro izq. Giro der. Giro max.
Curvatura izq. Curvatura der. Curvatura max cent»
0.013437 rad -0.013437 rad 0.013437 rad
0.00000000 0.00000000 0.00008065
3o ciclo IHC, M EI-
Giro izq. Giro der. Giro max.
0.015172 rad -0.015172 rad 0.015172 rad
52
Datos
Q Carga uniforme L Luz A Ancho nervio B Ancho alas C Espesor alas H Canto total 0 Canto utí1 R Recubrimiento F . Hormigón E Área arm sup vano
Área arm Inf vano F G W MI M2 ro! m2
Área arm sup apoyo Área arm inf apoyo Momento izquierdo Momneto derecho Long, macizado izq. Long. macizado der.
0,06 To/m2. 5 m.
15cm. 70cm, 3cro,
20cra. I8cm. 2cra.
200Kp/cm2. 0 2cm2. 2CÍJJ2 .
2cm2, 1200Kg.m. 1200kg„m.
lOcm. lOcm.
A ' 3 a % J E M P L 0 VIGA POBLEHEiTE EMPOTRADA
Linea neutra
IHC apoyo IHC mitad
Momento max vano
2.86 cm.
29793.87 cm4 6056.30 cra4
112.50 cra4
Curvatura izg. Curvatura der. Curvatura max. +
-0.00001862 -0.00001862 0.00000218
ler. ciclo M,I
Giro izq. Giro der. Giro max.
Curvatura izq. Curvatura der. Curvatura max +
Giro izq. Giro der. Giro max.
Curvatura izq. Curvatura der. Curvatura max +
-0.001334 rad 0.001334 rad 0.001148 rad
-0.00001499 -0.00001499 0,00000691
-0.000812 rad 0.000812 rad 0.000672 rad
-0.00001499 0.00001499 0.000672
2°ciclo IHC,' M El
M 3er. ciclo IHC,El.
Giro izq. Giro der. Giro max.
-0.000812 0.000812 0.000672