escuela de matemática instituto tecnológico de costa rica
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Escuela de Matemaacutetica
Instituto Tecnoloacutegico de Costa Rica
Praacutectica del curso
Aacutelgebra lineal para computacioacutenSeleccioacuten de ejercicios
I Semestre 2018
Revista digital
Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica)
Iacutendice generalmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
1 MATRICES PAacuteGINA 311 Operaciones baacutesicas 312 Propiedades de la suma y el producto 313 Ejercicios 414 Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana 815 Ejercicios 916 Matriz inversa 10
Propiedades de la matriz inversa 1017 Ejercicios 10
2 DETERMINANTES PAacuteGINA 1621 Definicioacuten y propiedades 1622 Ejercicios 17
3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PAacuteGINA 2131 Resultados importantes 2132 Ejercicios 21
4 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PAacuteGINA 2641 Grupos y subgrupos 2642 Anillos y campos 2643 Ejercicios 27
5 ESPACIOS VECTORIALES PAacuteGINA 3251 Espacios y subespacios vectoriales 3252 Ejercicios 3353 Bases y dimensioacuten 3454 Ejercicios 3655 Coordenadas de un vector en una base 4056 Ejercicios 40
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 1
6 TRANSFORMACIONES LINEALES PAacuteGINA 4261 Preliminares 4262 Ejercicios 4363 Matriz asociada a una transformacioacuten 4564 Ejercicios 4665 Vectores y valores propios 4966 Ejercicios 50
7 EXAacuteMENES Y SUS SOLUCIONES PAacuteGINA 5371 I parcial I semestre 2018 5372 II parcial I semestre 2018 5973 III parcial I semestre 2018 6574 Reposicioacuten I semestre 2018 68
BIBLIOGRAFIacuteA PAacuteGINA 72
8 SOLUCIOacuteN DE LOS EJERCICIOS PAacuteGINA 74
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 2
Creacuteditos
Esta praacutectica ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacutenrdquo es el resultado de la seleccioacuten deejercicios de las praacutecticas consignadas en la bibliografiacutea que aparece al final de este documento En la ela-boracioacuten de este material participaron los siguientes profesores
Walter Mora F CoordinadorCristian Paacuteez P CoordinadorManuel AlfaroErick Chacoacuten
Bryan RodriacuteguezRandy Wynta
Asistentes
Este material se distribuye bajo licencia Craetive Commons ldquoAtribucioacuten-NoComercial-SinDerivadas 40 Internacionalrdquo (CC BY-NC-ND 40)httpscreativecommonsorglicensesby-nc-nd40deedes
Citar comoW Mora et al ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Seleccioacuten de ejerciciosrdquoRevista digital Matemaacutetica Educacioacuten e InternethttpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibrospracticas
1
Cap
iacutetulo
Matricesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
11 Operaciones baacutesicas
Recordemos que la entrada ijijij de la matriz A es 〈〈〈A〉〉〉ij y que la fila i es A(i) y la columna j es A(j) Usamosla notacioacuten An = Antimesn
1) Si A y B son matrices del mismo orden en-tonces 〈〈〈Aplusmn B〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ij plusmn〈〈〈B〉〉〉ij
2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij
3) 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji
5) 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
6) 1n =
111
ntimes1
12 Propiedades de la suma y el producto
1) Para α β isinR y A BC isinMmtimesn se cumple
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + 0mtimesn = 0mtimesn + A = A
d) A + (minusA) = (minusA) + A = 0mtimesn
e) α(βA) = (αβ)A
f ) α(A + B) = αA + αB
g) (α + β)A = αA + βA
h) IT = I
i) (αA)T = αAT
j) (A + B)T = AT + BT
2) Para α isinR A B isinMmtimesnC isinMntimesp D isinMptimess F isinMrtimesm se cumple
a) F(A + B) = FA + FBb) (A + B)C = AC + BCc) Im A = A = AIn
d) A(αC) = (αA)C = α(AC)
e) (AT)T = A
f ) (AC)T = CT AT
g) 0rtimesm A = 0rtimesn
h) A0ntimesp = 0mtimesp
i) (AC)D = A(CD)
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4
13 EjerciciosOperaciones baacutesicas
Y 131 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A13
Y 132 Si X =
103
calcule XXT y XT X
Y 133 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A
xyz
Y 134 Si A =
1 22 3minus1 0
calcule AAT minus (3I)2
Y 135 Sea A =
[1 minus1minus1 1
]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0
2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0
3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA
Y 136 Sea X =[
x y]
y A =
[1 22 3
] Calcule X A XT
Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[
x y]
A[
xy
]+[
x y][ d
e
]+ f
Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =
i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
j si i le j0 si i gt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
i + j si i gt j
0 si i = jiminus j si i lt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
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4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
-
- Ejercicios
-
- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
- Ejercicios
-
- Sistemas de ecuaciones lineales
-
- Resultados importantes
- Ejercicios
-
- Estructuras Algebraicas
-
- Grupos y subgrupos
- Anillos y campos
- Ejercicios
-
- Espacios Vectoriales
-
- Espacios y subespacios vectoriales
- Ejercicios
- Bases y dimensioacuten
- Ejercicios
- Coordenadas de un vector en una base
- Ejercicios
-
- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
Iacutendice generalmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
1 MATRICES PAacuteGINA 311 Operaciones baacutesicas 312 Propiedades de la suma y el producto 313 Ejercicios 414 Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana 815 Ejercicios 916 Matriz inversa 10
Propiedades de la matriz inversa 1017 Ejercicios 10
2 DETERMINANTES PAacuteGINA 1621 Definicioacuten y propiedades 1622 Ejercicios 17
3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PAacuteGINA 2131 Resultados importantes 2132 Ejercicios 21
4 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PAacuteGINA 2641 Grupos y subgrupos 2642 Anillos y campos 2643 Ejercicios 27
5 ESPACIOS VECTORIALES PAacuteGINA 3251 Espacios y subespacios vectoriales 3252 Ejercicios 3353 Bases y dimensioacuten 3454 Ejercicios 3655 Coordenadas de un vector en una base 4056 Ejercicios 40
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 1
6 TRANSFORMACIONES LINEALES PAacuteGINA 4261 Preliminares 4262 Ejercicios 4363 Matriz asociada a una transformacioacuten 4564 Ejercicios 4665 Vectores y valores propios 4966 Ejercicios 50
7 EXAacuteMENES Y SUS SOLUCIONES PAacuteGINA 5371 I parcial I semestre 2018 5372 II parcial I semestre 2018 5973 III parcial I semestre 2018 6574 Reposicioacuten I semestre 2018 68
BIBLIOGRAFIacuteA PAacuteGINA 72
8 SOLUCIOacuteN DE LOS EJERCICIOS PAacuteGINA 74
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 2
Creacuteditos
Esta praacutectica ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacutenrdquo es el resultado de la seleccioacuten deejercicios de las praacutecticas consignadas en la bibliografiacutea que aparece al final de este documento En la ela-boracioacuten de este material participaron los siguientes profesores
Walter Mora F CoordinadorCristian Paacuteez P CoordinadorManuel AlfaroErick Chacoacuten
Bryan RodriacuteguezRandy Wynta
Asistentes
Este material se distribuye bajo licencia Craetive Commons ldquoAtribucioacuten-NoComercial-SinDerivadas 40 Internacionalrdquo (CC BY-NC-ND 40)httpscreativecommonsorglicensesby-nc-nd40deedes
Citar comoW Mora et al ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Seleccioacuten de ejerciciosrdquoRevista digital Matemaacutetica Educacioacuten e InternethttpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibrospracticas
1
Cap
iacutetulo
Matricesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
11 Operaciones baacutesicas
Recordemos que la entrada ijijij de la matriz A es 〈〈〈A〉〉〉ij y que la fila i es A(i) y la columna j es A(j) Usamosla notacioacuten An = Antimesn
1) Si A y B son matrices del mismo orden en-tonces 〈〈〈Aplusmn B〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ij plusmn〈〈〈B〉〉〉ij
2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij
3) 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji
5) 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
6) 1n =
111
ntimes1
12 Propiedades de la suma y el producto
1) Para α β isinR y A BC isinMmtimesn se cumple
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + 0mtimesn = 0mtimesn + A = A
d) A + (minusA) = (minusA) + A = 0mtimesn
e) α(βA) = (αβ)A
f ) α(A + B) = αA + αB
g) (α + β)A = αA + βA
h) IT = I
i) (αA)T = αAT
j) (A + B)T = AT + BT
2) Para α isinR A B isinMmtimesnC isinMntimesp D isinMptimess F isinMrtimesm se cumple
a) F(A + B) = FA + FBb) (A + B)C = AC + BCc) Im A = A = AIn
d) A(αC) = (αA)C = α(AC)
e) (AT)T = A
f ) (AC)T = CT AT
g) 0rtimesm A = 0rtimesn
h) A0ntimesp = 0mtimesp
i) (AC)D = A(CD)
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4
13 EjerciciosOperaciones baacutesicas
Y 131 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A13
Y 132 Si X =
103
calcule XXT y XT X
Y 133 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A
xyz
Y 134 Si A =
1 22 3minus1 0
calcule AAT minus (3I)2
Y 135 Sea A =
[1 minus1minus1 1
]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0
2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0
3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA
Y 136 Sea X =[
x y]
y A =
[1 22 3
] Calcule X A XT
Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[
x y]
A[
xy
]+[
x y][ d
e
]+ f
Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =
i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
j si i le j0 si i gt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
i + j si i gt j
0 si i = jiminus j si i lt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
-
- Ejercicios
-
- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
- Ejercicios
-
- Sistemas de ecuaciones lineales
-
- Resultados importantes
- Ejercicios
-
- Estructuras Algebraicas
-
- Grupos y subgrupos
- Anillos y campos
- Ejercicios
-
- Espacios Vectoriales
-
- Espacios y subespacios vectoriales
- Ejercicios
- Bases y dimensioacuten
- Ejercicios
- Coordenadas de un vector en una base
- Ejercicios
-
- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 1
6 TRANSFORMACIONES LINEALES PAacuteGINA 4261 Preliminares 4262 Ejercicios 4363 Matriz asociada a una transformacioacuten 4564 Ejercicios 4665 Vectores y valores propios 4966 Ejercicios 50
7 EXAacuteMENES Y SUS SOLUCIONES PAacuteGINA 5371 I parcial I semestre 2018 5372 II parcial I semestre 2018 5973 III parcial I semestre 2018 6574 Reposicioacuten I semestre 2018 68
BIBLIOGRAFIacuteA PAacuteGINA 72
8 SOLUCIOacuteN DE LOS EJERCICIOS PAacuteGINA 74
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 2
Creacuteditos
Esta praacutectica ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacutenrdquo es el resultado de la seleccioacuten deejercicios de las praacutecticas consignadas en la bibliografiacutea que aparece al final de este documento En la ela-boracioacuten de este material participaron los siguientes profesores
Walter Mora F CoordinadorCristian Paacuteez P CoordinadorManuel AlfaroErick Chacoacuten
Bryan RodriacuteguezRandy Wynta
Asistentes
Este material se distribuye bajo licencia Craetive Commons ldquoAtribucioacuten-NoComercial-SinDerivadas 40 Internacionalrdquo (CC BY-NC-ND 40)httpscreativecommonsorglicensesby-nc-nd40deedes
Citar comoW Mora et al ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Seleccioacuten de ejerciciosrdquoRevista digital Matemaacutetica Educacioacuten e InternethttpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibrospracticas
1
Cap
iacutetulo
Matricesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
11 Operaciones baacutesicas
Recordemos que la entrada ijijij de la matriz A es 〈〈〈A〉〉〉ij y que la fila i es A(i) y la columna j es A(j) Usamosla notacioacuten An = Antimesn
1) Si A y B son matrices del mismo orden en-tonces 〈〈〈Aplusmn B〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ij plusmn〈〈〈B〉〉〉ij
2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij
3) 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji
5) 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
6) 1n =
111
ntimes1
12 Propiedades de la suma y el producto
1) Para α β isinR y A BC isinMmtimesn se cumple
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + 0mtimesn = 0mtimesn + A = A
d) A + (minusA) = (minusA) + A = 0mtimesn
e) α(βA) = (αβ)A
f ) α(A + B) = αA + αB
g) (α + β)A = αA + βA
h) IT = I
i) (αA)T = αAT
j) (A + B)T = AT + BT
2) Para α isinR A B isinMmtimesnC isinMntimesp D isinMptimess F isinMrtimesm se cumple
a) F(A + B) = FA + FBb) (A + B)C = AC + BCc) Im A = A = AIn
d) A(αC) = (αA)C = α(AC)
e) (AT)T = A
f ) (AC)T = CT AT
g) 0rtimesm A = 0rtimesn
h) A0ntimesp = 0mtimesp
i) (AC)D = A(CD)
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4
13 EjerciciosOperaciones baacutesicas
Y 131 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A13
Y 132 Si X =
103
calcule XXT y XT X
Y 133 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A
xyz
Y 134 Si A =
1 22 3minus1 0
calcule AAT minus (3I)2
Y 135 Sea A =
[1 minus1minus1 1
]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0
2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0
3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA
Y 136 Sea X =[
x y]
y A =
[1 22 3
] Calcule X A XT
Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[
x y]
A[
xy
]+[
x y][ d
e
]+ f
Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =
i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
j si i le j0 si i gt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
i + j si i gt j
0 si i = jiminus j si i lt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
-
- Ejercicios
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- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
- Ejercicios
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- Sistemas de ecuaciones lineales
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- Resultados importantes
- Ejercicios
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-
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- Anillos y campos
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- Espacios Vectoriales
-
- Espacios y subespacios vectoriales
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- Bases y dimensioacuten
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- Coordenadas de un vector en una base
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- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
(httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 2
Creacuteditos
Esta praacutectica ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacutenrdquo es el resultado de la seleccioacuten deejercicios de las praacutecticas consignadas en la bibliografiacutea que aparece al final de este documento En la ela-boracioacuten de este material participaron los siguientes profesores
Walter Mora F CoordinadorCristian Paacuteez P CoordinadorManuel AlfaroErick Chacoacuten
Bryan RodriacuteguezRandy Wynta
Asistentes
Este material se distribuye bajo licencia Craetive Commons ldquoAtribucioacuten-NoComercial-SinDerivadas 40 Internacionalrdquo (CC BY-NC-ND 40)httpscreativecommonsorglicensesby-nc-nd40deedes
Citar comoW Mora et al ldquoPraacutectica del curso Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Seleccioacuten de ejerciciosrdquoRevista digital Matemaacutetica Educacioacuten e InternethttpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibrospracticas
1
Cap
iacutetulo
Matricesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
11 Operaciones baacutesicas
Recordemos que la entrada ijijij de la matriz A es 〈〈〈A〉〉〉ij y que la fila i es A(i) y la columna j es A(j) Usamosla notacioacuten An = Antimesn
1) Si A y B son matrices del mismo orden en-tonces 〈〈〈Aplusmn B〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ij plusmn〈〈〈B〉〉〉ij
2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij
3) 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji
5) 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
6) 1n =
111
ntimes1
12 Propiedades de la suma y el producto
1) Para α β isinR y A BC isinMmtimesn se cumple
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + 0mtimesn = 0mtimesn + A = A
d) A + (minusA) = (minusA) + A = 0mtimesn
e) α(βA) = (αβ)A
f ) α(A + B) = αA + αB
g) (α + β)A = αA + βA
h) IT = I
i) (αA)T = αAT
j) (A + B)T = AT + BT
2) Para α isinR A B isinMmtimesnC isinMntimesp D isinMptimess F isinMrtimesm se cumple
a) F(A + B) = FA + FBb) (A + B)C = AC + BCc) Im A = A = AIn
d) A(αC) = (αA)C = α(AC)
e) (AT)T = A
f ) (AC)T = CT AT
g) 0rtimesm A = 0rtimesn
h) A0ntimesp = 0mtimesp
i) (AC)D = A(CD)
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4
13 EjerciciosOperaciones baacutesicas
Y 131 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A13
Y 132 Si X =
103
calcule XXT y XT X
Y 133 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A
xyz
Y 134 Si A =
1 22 3minus1 0
calcule AAT minus (3I)2
Y 135 Sea A =
[1 minus1minus1 1
]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0
2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0
3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA
Y 136 Sea X =[
x y]
y A =
[1 22 3
] Calcule X A XT
Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[
x y]
A[
xy
]+[
x y][ d
e
]+ f
Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =
i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
j si i le j0 si i gt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
i + j si i gt j
0 si i = jiminus j si i lt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
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- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
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- Sistemas de ecuaciones lineales
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- Resultados importantes
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- Coordenadas de un vector en una base
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- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
1
Cap
iacutetulo
Matricesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
11 Operaciones baacutesicas
Recordemos que la entrada ijijij de la matriz A es 〈〈〈A〉〉〉ij y que la fila i es A(i) y la columna j es A(j) Usamosla notacioacuten An = Antimesn
1) Si A y B son matrices del mismo orden en-tonces 〈〈〈Aplusmn B〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ij plusmn〈〈〈B〉〉〉ij
2) 〈〈〈αA〉〉〉ij = α〈〈〈A〉〉〉ij
3) 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
4) 〈〈〈AT〉〉〉ij = 〈〈〈A〉〉〉ji
5) 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
6) 1n =
111
ntimes1
12 Propiedades de la suma y el producto
1) Para α β isinR y A BC isinMmtimesn se cumple
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A + (B + C)
c) A + 0mtimesn = 0mtimesn + A = A
d) A + (minusA) = (minusA) + A = 0mtimesn
e) α(βA) = (αβ)A
f ) α(A + B) = αA + αB
g) (α + β)A = αA + βA
h) IT = I
i) (αA)T = αAT
j) (A + B)T = AT + BT
2) Para α isinR A B isinMmtimesnC isinMntimesp D isinMptimess F isinMrtimesm se cumple
a) F(A + B) = FA + FBb) (A + B)C = AC + BCc) Im A = A = AIn
d) A(αC) = (αA)C = α(AC)
e) (AT)T = A
f ) (AC)T = CT AT
g) 0rtimesm A = 0rtimesn
h) A0ntimesp = 0mtimesp
i) (AC)D = A(CD)
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4
13 EjerciciosOperaciones baacutesicas
Y 131 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A13
Y 132 Si X =
103
calcule XXT y XT X
Y 133 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A
xyz
Y 134 Si A =
1 22 3minus1 0
calcule AAT minus (3I)2
Y 135 Sea A =
[1 minus1minus1 1
]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0
2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0
3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA
Y 136 Sea X =[
x y]
y A =
[1 22 3
] Calcule X A XT
Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[
x y]
A[
xy
]+[
x y][ d
e
]+ f
Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =
i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
j si i le j0 si i gt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
i + j si i gt j
0 si i = jiminus j si i lt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
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[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
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5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
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6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
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-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 4
13 EjerciciosOperaciones baacutesicas
Y 131 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A13
Y 132 Si X =
103
calcule XXT y XT X
Y 133 Si A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
calcule A
xyz
Y 134 Si A =
1 22 3minus1 0
calcule AAT minus (3I)2
Y 135 Sea A =
[1 minus1minus1 1
]1) Determine alguna matriz B2times2 6= 0 tal que AB = 0
2) Determine alguna matriz C2times2 tal que AC 6= 0
3) Determine alguna matriz D2times2 6= 0 tal que AD = DA
Y 136 Sea X =[
x y]
y A =
[1 22 3
] Calcule X A XT
Y 137 Determine una matriz A2times2 tal que
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f =[
x y]
A[
xy
]+[
x y][ d
e
]+ f
Y 138 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij =
i si i ge j0 si i lt j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
j si i le j0 si i gt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
Y 139 Sea A3times3 definida por 〈〈〈A〉〉〉ij = (minus1)i+j y B3times3 definida por 〈〈〈B〉〉〉ij =
i + j si i gt j
0 si i = jiminus j si i lt j
Determine expliacutecitamente A y B y realice el producto AB
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
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5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
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5428 iumlY
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5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
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6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
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- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 5
Y 1310 Muestre que para realizar el producto AntimeskBktimesm se deben hacer nkm multiplicacio-nes
Y 1311 Considere los productos equivalentes A3times4(B4times2C2times5) y (A3times4B4times2)C2times5 iquestCuaacutel esla escogencia de pareacutentesis oacuteptima es decir iquestEn cuaacutel producto A(BC) o (AB)C se deben hacermenos multiplicaciones
Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
Y 1312 En esta lista no debe asumir las propiedades de matrices enunciadas maacutes arriba perosiacute las operaciones baacutesicas Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) (αA)T = αAT
2) In An = An
3) (AnBnCn)T = CTBT AT
4) (AnT Bn)T = Bn
T An
5) (ATn BnCn)T = Cn
T BnT An
6) si A isinMptimesq B isinMrtimesq y C isinMqtimesr entonces A(Bminus 2CT)T = ABT minus 2AC
7) si A isinMrtimesp B isinMqtimesr y C isinMrtimesq entonces (2BT minus C)T A = 2BAminus CT A
Y 1313 Sean A y B matrices de tamantildeo ptimes q y sea C alguna matriz de tamantildeo ptimesm Demues-tre entrada por entrada que ATC + BTC = (A + B)T C
Y 1314 Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Y 1315 Muestre ldquoentrada por entradardquo que
1) si An es triangular inferior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i lt j ) y si Bn es triangular inferior enton-ces AB es triangular inferior
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
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5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
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5428 iumlY
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5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
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6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
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65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
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666 iumlY
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Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
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- Operaciones baacutesicas
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- Ejercicios
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- Preliminares
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- Matriz asociada a una transformacioacuten
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- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 6
2) si An es triangular superior (es decir 〈〈〈A〉〉〉ij = 0 si i gt j ) y si Bn es triangular superior en-tonces AB es triangular superior
3) si Bm estaacute definida por 〈〈〈B〉〉〉ij = 0 si i 6= j y las entradas 〈〈〈B〉〉〉ii 6= 0 y todas distintos (B es unamatriz ldquodiagonalrdquo) entonces en general AmBm 6= Bm Am iquestQueacute propiedad deberiacutea tener Apara que conmute con B
4) si An tiene la fila i llena de ceros (una ldquofila nulardquo) entonces ABn tambieacuten tiene al menosuna fila nula
5)12(An + AT
n ) es simeacutetrica (es decir que la entrada ij es igual a la entrada ji )
Y 1316 Sean α isinR A 0 isinMptimesw (R) y B isinMptimesm (R) con 0 matriz nula Demuestre entrada
por entrada que((αA + 0)T B
)T= α
(BT A
)Caacutelculos usando propiedades de matrices
Y 1317 Use solo aacutelgebra de matrices para simplificar las siguientes expresiones
1) (ABT)T
2) (A + BT A)T + AT
3) [AT(B + CT)]T
4) [(AB)T + C)]T
5) [(A + AT)(Aminus AT)]T
Y 1318 Si AB = BA desarrolle (A + B)(Aminus B)
Y 1319 Si AB = BA desarrolle (A + B)2
Y 1320 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1321 Utilice induccioacuten matemaacutetica y demuestre que foralln isinZ+[
1 10 1
]n
=
[1 n0 1
]
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
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- Matriz inversa
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- Propiedades de la matriz inversa
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- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
13 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 7
Y 1322 Sean BC isinMn(R) tales que A = B + C BC = CB y C2 = 0nDemuestre usando Induccioacuten Matemaacutetica que foralln isinNn ge 0 se cumple que
An+1 = Bn [B + (n + 1)C]
Y 1323 Matrices simeacutetricas y antisimeacutetricas
1) Sea Amtimesn isinMmtimesn(R) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas
2) Muestre que si Antimesn es simeacutetrica y si Bntimesm es una matriz arbitraria entonces BT AB essimeacutetrica
3) Muestre que A es simeacutetrica si y soacutelo si AT es simeacutetrica
4) Muestre que si A es simeacutetrica entonces An es simeacutetrica
5) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA Muestre que
a) si A es antisimeacutetrica entonces A debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal debenser ceros
b) A + AT es simeacutetrica forallA isinMntimesn
c) Aminus AT es antisimeacutetrica forallA isinMntimesn
6) Muestre que si Antimesn y Bntimesn son antisimeacutetricas entonces (AB)T = BA
7) Muestre que si A y B son simeacutetricas entonces AB es simeacutetrica si y soacutelo si AB = BA
Y 1324 Una matriz de tamantildeo mtimesm se dice que es antisimeacutetrica si cumple que AT = minusA
1) Si A =
0 a bminus8 0 cd 3 0
determine valores para a b c y d de manera que A sea una matriz
antisimeacutetrica
2) Demuestre que Bminus BT es antisimeacutetrica con B de tamantildeo ntimesn
Y 1325 Se dice que una matriz A isinMn (R) es simeacutetrica si cumple que AT = A Demuestre quesi B isinMp (R) es una matriz simeacutetrica y C isinMptimesq (R) entonces CTBC es una matriz simeacutetrica
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
-
- Ejercicios
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- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
- Ejercicios
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- Sistemas de ecuaciones lineales
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- Resultados importantes
- Ejercicios
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- Espacios y subespacios vectoriales
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- Bases y dimensioacuten
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- Coordenadas de un vector en una base
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-
- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
14 OPERACIONES ELEMENTALES REDUCCIOacuteN GAUSSIANA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 8
14 Operaciones elementales Reduccioacuten GaussianaForma escalonada Recordemos que una matriz estaacute escalonada por filas si cumple con las siguientespropiedades
a) Todos las filas nulas estaacuten en la parte inferior de la matriz
b) El primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) estaacute a la derecha del primer elemento no nulo dela fila anterior
Forma escalonada reducida La matriz estaacute en forma escalonada reducida si estaacute escalonada y cumple
c) En cada fila no nula primer elemento no nulo de cada fila (ldquopivoterdquo) es igual a uno
d) Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos
Por ejemplo las siguientes matrices estaacuten en forma escalonada reducida (los pivotes estaacuten en cajas pivote )
Escalonada Escalonada reducida
0 minus3 1 50 0 2 00 0 0 0
1 0 0
0 1 00 0 1
0 1 0 0 0 minus50 0 0 1 0 40 0 0 0 1 minus50 0 0 0 0 0
[1 0 5 minus60 1 3 4
]
Operaciones elementales Tenemos tres operaciones elementales de fila
AcFiminusrarr Aprime multiplica la fila i de A por el escalar c 6= 0 El resultado es la nueva matriz Aprime
AcFi+hFjminusminusminusminusrarr Aprime multiplica las filas i y j de A por los escalares c h 6= 0 luego suma miembro a miembro
y reemplaza la fila j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
AFi Fjminusminusrarr Aprime Intercambia las filas i y j de A El resultado es la nueva matriz Aprime
La barra en Fj se usa para especificar cuaacutel fila va a ser modificada
Eliminacioacuten Gaussiana Este algoritmo reduce una matriz hasta una forma escalonada ldquoEliminacioacutenGauss-Jordanrdquo reduce hasta las forma escalonada reducida En seudocoacutedigo seriacutea
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
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Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
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326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
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Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
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434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
-
- Ejercicios
-
- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
- Ejercicios
-
- Sistemas de ecuaciones lineales
-
- Resultados importantes
- Ejercicios
-
- Estructuras Algebraicas
-
- Grupos y subgrupos
- Anillos y campos
- Ejercicios
-
- Espacios Vectoriales
-
- Espacios y subespacios vectoriales
- Ejercicios
- Bases y dimensioacuten
- Ejercicios
- Coordenadas de un vector en una base
- Ejercicios
-
- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
15 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 9
Algoritmo 11 Eliminacioacuten Gaussiana sin pivoteo parcialfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1 cambia de columna
Eliminar en columna k debajo de la diagonalfor (i in (k+1)n)
Fi = Fi - a_ika_kk Fk
Eliminacioacuten libre de fracciones En aacutelgebra comptacional (factorizacioacuten de polinomios caacutelculo de pri-mitivas etc) se hace eliminacioacuten sobre matrices con entradas enteras o con polinomios con coeficientesenteros (con entradas como α α2minus 1 etc) y se usa una variante llamada ldquoAlgoritmo de Bareissrdquo de doblepaso ([5 pp 389-399]) Para caacutelculos ldquoa manordquo podemos usar una versioacuten muy simple llamada ldquoelimina-cioacuten libre de divisionesrdquo (su problema es el creciemnto incomtrolable de las entradas)
Algoritmo 12 Eliminacioacuten Gaussiana libre de divisionesPreferiblemente usar algoritmo de Bareissfor (k in 1(n-1)) desde columna k=1 hasta k=n-1
if(a_kk==0)c = Indice primera fila con a_ck =0 cgtkFkFc intercambio de filasSi c no existe k=k+1
Eliminar en columna kfor (i in (k+1)n) debajo de la diagonal
Fi = a_kkFi - a_ik Fk
15 EjerciciosY 151 Use eliminacioacuten Gauss-Jordan para obtener la forma escalonada y la forma escalonadareducida de las siguientes matrices
1) A =
[1 minus78 3
]2) B =
5 1 08 0 5minus2 minus2 3
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
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3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
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4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
- Matrices
-
- Operaciones baacutesicas
- Propiedades de la suma y el producto
- Ejercicios
- Operaciones elementales Reduccioacuten Gaussiana
- Ejercicios
- Matriz inversa
-
- Propiedades de la matriz inversa
-
- Ejercicios
-
- Determinantes
-
- Definicioacuten y propiedades
- Ejercicios
-
- Sistemas de ecuaciones lineales
-
- Resultados importantes
- Ejercicios
-
- Estructuras Algebraicas
-
- Grupos y subgrupos
- Anillos y campos
- Ejercicios
-
- Espacios Vectoriales
-
- Espacios y subespacios vectoriales
- Ejercicios
- Bases y dimensioacuten
- Ejercicios
- Coordenadas de un vector en una base
- Ejercicios
-
- Transformaciones Lineales
-
- Preliminares
- Ejercicios
- Matriz asociada a una transformacioacuten
- Ejercicios
- Vectores y valores propios
- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
16 MATRIZ INVERSA (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 10
3) C =
2 1 0 41 0 minus5 20 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
16 Matriz inversa
Una matriz Antimesn es invertible (o ldquono singularrdquo) si existe Bntimesn tal que AB = BA = I Se escribe B = Aminus1
161 Propiedades de la matriz inversaSi A isinMntimesn es invertible entonces
Aminus1 es uacutenica y ademaacutes si AB = I entonces B = Aminus1 (no hay que probar BA = I )
a) (Aminus1)minus1 = A
b) (AT)minus1 = (Aminus1)T
c) (αA)minus1 =1α(A)minus1 si α 6= 0
d) Si Bntimesn es invertible (AB)minus1 = Bminus1Aminus1
Observacioacuten En general A + B no es invertible auacuten cuando A y B son invertibles La inversa de lasuma existe bajo ciertas condiciones Por ejemplo eun caso especial del teorema inverso del binomio estableceque dadas las matrices Aptimesp Bptimesp donde A B y B + BAminus1B son invertibles entonces
(A + B)minus1 = Aminus1 minus(
A + ABminus1A)minus1
Una exposicioacuten maacutes general la puede ver en httpsenwikipediaorgwikiWoodbury_matrix_identity
17 EjerciciosY 171 Use eliminacioacuten Gaussiana para determinar si la inversa de las siguientes matrices existeSi existe determine la inversa
1) A =
1 0 11 0 02 1 1
2) B =
1 minus1 00 1 minus10 0 1
3) C =
1 x y0 1 z0 0 1
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
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13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
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7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
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1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
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Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
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2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
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Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
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326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
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Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
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5428 iumlY
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5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
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627 iumlY
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6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
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6415 iumlY
6416 iumlY
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65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
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- Ejercicios
-
- Exaacutemenes y sus soluciones
-
- I parcial I semestre 2018
- II parcial I semestre 2018
- III parcial I semestre 2018
- Reposicioacuten I semestre 2018
-
- Bibliografiacutea
- Solucioacuten de los ejercicios
-
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 11
4) D =
1 1 0 0 00 0 0 0 03 3 1 0 minus1minus2 minus2 1 1 0
5) E =
1 2 11 0 02 4 2
6) Sea k 6= 0 calcule la inversa de A =
k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
Y 172 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABXminus A = X
Y 173 Sean C D X isin Mn (R) tales que(
2XTCminus In
)T= C (Dminus X)
a) Si se sabe que C una matriz simeacutetrica e invertible utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices paradespejar a la matriz X
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
D =
(minus3 minus1
4 1
)C =
(2 11 0
)Y 174 Muestre que si A es invertible y AB = 0 entonces B = 0
Y 175 Muestre que si A es invertible y AB = I entonces A(ABminus BA)= 0 (es decir AB = BA)
Y 176 Muestre que si A3ntimesn = 0 entonces (Iminus A)minus1 = I + A + A2
Y 177 Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2Iminus AT) son invertibles y
2 (X A)T = B + AT AXT
a) Utilice uacutenicamente aacutelgebra matrices para despejar la matriz X
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 12
b) Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
Y 178 Sean A B C X isinMntimesn Supongamos que A y B son matrices invertibles tales que(AXB)T + C = I Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B C e I
Y 179 Sean A B X isinMntimesn Supongamos que AminusB es invertible y que X AT = I + (BXT)T Use solo aacutelgebra de matrices para despejar X en teacuterminos de A B e I
Y 1710 Sean A B isinMntimesn Supongamos que B y (Iminus AB) son matrices invertibles Muestreque
1) (Iminus AB)minus1 = Bminus1(Bminus1minus A)minus1
2) B(Iminus AB)minus1Bminus1minus B(Iminus AB)minus1A = I
3) Use los resultados anteriores para verificar que (Iminus AB)minus1 = I + A(Iminus BA)minus1
Y 1711 Considere las matrices Amtimesm y Bmtimesn
a) Determine el orden de las matrices X y D de tal manera que se pueda realizar los productosen la ecuacioacuten X AT minus BT = XDT
b) Si (Aminus D)T es invertible y si X AT minus BT = XDT use solo aacutelgebra de matrices para despejarX en teacuterminos de A B y D
Y 1712 Sea A =
1 x y0 1 z0 0 1
B =
3 40 19 0
y C =
1 11 00 0
Determine una matriz X tal que
A(XT + B) = C
Y 1713 Considere las matrices siguientes
A =
1 2minus1 01 minus1
B =
0 minus11 13 0
y C =
0 1 01 0 10 1 0
Utilizando uacutenicamente aacutelgebra de matrices determine de manera expliacutecita la matriz X que satis-face la ecuacioacuten matricial siguiente
X ABT = ABT + XC2
Y 1714 Considere las matrices R S y U definidas por
R =
0 1 minus14 minus3 43 minus3 4
S =
minus1 52 minus23 5
U =
minus1 5minus3 2
7 4
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 13
1) Determine Rminus1
2) Determine la matriz W que satisface la igualdad R(
W T + S)= U
Y 1715 Sea k isinR y considere las matrices reales A y C definidas como
A =
3 0 k0 3 minus10 1 2
C =
k 0 minus10 1 0minus1 0 k
Si se sabe que ABT + A = (2C)T + 2BT determine la matriz B que satisface dicha ecuacioacuten (usan-do aacutelgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno)
Y 1716 Considere las matrices A =
2 minus1 minus11 0 00 minus2 1
y B =
2 minus1 minus1minus2 0 minus20 minus2 0minus2 0 minus2
Determine sin resol-
ver sistemas de ecuaciones la matriz P que satisfaga APminus B = I3
Y 1717 Sean A =
[2 1 00 minus1 1
]y B =
1 0minus2 1minus1 2
1) Verifique que (ABminus I2)
minus1 = AB
2) Sin resolver sistema de ecuaciones alguno determine la matriz X tal que ABX minus A = X
Y 1718 Considere las matrices siguientes
A =
minus1 20 12 0
B =
2 0 0minus1 3 3
1 0 0
C =
1 0 0minus1 2 1
0 1 1
Determine la matriz X que satisface la igualdad siguiente BX minus A = CX
Y 1719 Sean A y B dos matrices no singulares de orden n tales que A + B = AB Demuestreque (In minus B)minus1 = minusBminus1A
Y 1720 Antimesn es ortogonal si AAt = I
1) Muestre que toda matriz ortogonal es invertible (iquestcuaacutel seriacutea su inversa)
2) Verifique que la siguiente matriz P es ortogonal y calcule su inversa sin utilizar eliminacioacuten
P =
1radic2
1radic6
1radic3
minus1radic2
1radic6
1radic3
0minus2radic
61radic3
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 14
Y 1721 Sea A una matriz cuadrada Muestre que si A2 + 2A minus I = 0 entonces A debe serinvertible
Y 1722 Mostrar que si An tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo (es decirlasuma de las entradas de cada fila es igual para todas las filas) entonces si Aminus1 existe tambieacutentiene esta propiedad es decir tiene la propiedad de que todas sus filas suman lo mismo Suge-rencia Si la suma de cada fila es a calcule An1n =
Y 1723 Sean A Q isinMn(R) y B = Qminus1AQ
1) Demuestre utilizando induccioacuten matemaacutetica que
forallk isinN Bk = Qminus1AkQ
2) Considere las matrices siguientes
P =
[1 41 5
] Pminus1 =
[5 minus4minus1 1
]y C =
[1 00 2
]Si D = Pminus1CP utilice el resultado del inciso (a) y determine de manera expliacutecita la matrizD7
Y 1724 Sean las matrices A =
α 0 0minus3 1 minus1
5 minus1 2
y B =
1 0 00 minus1 00 0 0
con α una constante real
distinta de cero
1) Halle Aminus1
2) Determine de manera expliacutecita la matriz Q tal que (AQ)AT = B
Y 1725 Sea A alguna matriz de orden n se dice que A es nilpotente si y soacutelo si existk isinN tal que
Ak = 0n Demuestre que si α 6= 0 entonces la matriz A =
[1 αminus1αminus1
]es nilpotente
Y 1726 Sea A alguna matriz de orden n si A2 = In se dice que A es involutiva y si A2 = A sedice que A es idempotente
1) Determine si la matriz H =
4 3 3minus1 0 minus1minus4 minus4 minus3
es involutiva idempotente o si no es de alguno de
los tipos mencionados
2) Demuestre que si B es alguna matriz de orden n tal que B es idempotente entonces la matrizC = 2Bminus In es involutiva
17 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 15
3) Si P es una matriz involutiva o una matriz idempotente iquestcuaacuteles son los posibles valores paraDet(P)
2
Cap
iacutetulo
Determinantesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
21 Definicioacuten y propiedades
Si A isinMntimesn ldquoel determinante de Ardquo se denota Det(A) o tambieacuten Det(A) El determinante de A sedefine por recurrencia pero es bueno tener a mano el determinante de las matrices 2times 2 y 3times 3
- Si A2times2 =
[a1 b1
a2 b2
]=rArr Det(A) = a1b2 minus a2b1
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
+ + +minus minus minus
Si A3times3 =
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
=rArr Det(A)= = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
minusminusminusminus a3b2c1 minus b3c2a1 minus c3a2b1
Foacutermula de Laplace Si A isinMntimesn el ldquomenorrdquo MAij es el determinante de la matriz (nminus 1times (nminus 1))
que se obtiene removiendo la fila i y la columna j de A El cofactor Aij se define como Aij = (minus1)i+j MAij
Si k es cualquier fila fija de A entonces la expansioacuten por cofactores (o regla de Laplace) es
Det(A) =n
sumj=1
(minus1)k+j 〈〈〈A〉〉〉kj MAkj
Propiedades del determinanteSean A BC isinMntimesn
1) Si AFi Fjminusminusrarr B =rArr Det(A) = minusDet(B)
2) Si AhFi+kFjminusminusminusminusrarr B =rArr Det(A) =
1k
Det(B) (recordemos que hk 6= 0)
3) Det(λ Antimesn) = λnDet(A)
4) Si A es triangular (superior o inferior) entonces Det(A) = 〈〈〈A〉〉〉11〈〈〈A〉〉〉22 middot middot middot〈〈〈A〉〉〉nn
5) Si A tiene una fila o una columna con uacutenicamente ceros entonces Det(A) = 0
6) Det(A) = Det(AT)
7) Det(AB) = Det(A)Det(B)
8) Det(A) 6= 0 si y solo si Aminus1 existe
9) Det(Aminus1) =1
Det(A)si la inversa existe
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 17
Determinantes e inversas La adjunta de A es Adj(A) = AT donde A es la matriz de cofactores esdecir 〈〈〈A〉〉〉ij = Aij = (minus1)i+1MA
ij Se tiene
Aminus1 =1
Det(A)Adj(A) =
1Det(A)
〈〈〈A〉〉〉11 〈〈〈A〉〉〉n1
〈〈〈A〉〉〉12 〈〈〈A〉〉〉n2
〈〈〈A〉〉〉1n 〈〈〈A〉〉〉nn
Observacioacuten En general Det(A + B) 6= Det(A) + Det(B) Bajo ciertas condiciones se pueden estableceralgunas identidades para el determinante de la suma por ejemplo si Antimesn es invertible y si Bntimesn se puededescomponer como Bntimesn = UntimesmV T
ntimesm entonces
Det(A + B) = Det(Im + V T Aminus1U)Det(A)
22 EjerciciosY 221 Calcule el determinante de las siguientes matrices (recuerde que si usa eliminacioacuten Gaus-sina el pivote debe ser no nulo la foacutermula de expansioacuten por cofactores no tiene esta restriccioacuten ypodemos combinar ambos meacutetodos)
1) A =
1 2 32 3 4minus1 0 4
2) B =
1 2 k2 3 4minus1 0 4
3) C =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
4) D =
k 2 02 k 40 0 k
5) E =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
6) A =
2 1 3 14 3 1 4minus1 5 minus2 11 3 minus2 minus1
Y 222 Si A =
1 4 minus1 11 a 1 12 a 3 11 1 3 minus1
y si a 6= 1 use la adjunta de A para completar las entradas
que faltan en el caacutelculo de la inversa
Aminus1 =1
2minus 2amiddot
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4
a + 1 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 3aminus 4
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 18
Y 223 Para las siguientes matrices determine el o los valores de k para los cuales la inversaexiste y use la matriz adjunta para calcular la inversa (en el caso de que exista)
1) A =
k 2 02 k 40 0 k
2) B =
2 2 0 21 k 4 20 0 k 00 0 k 0
Y 224 Sea A =
cosθ senθ 0minussenθ cosθ 0
0 0 1
Verifique que A es invertible y calcule Aminus1
Y 225 Si AntimesnBntimesn = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 muestre que entonces |A| = |B| = 0
Y 226 Sea Q isinMntimesn Verifique que si QQT = I entonces |Q| = plusmn1
Y 227 Muestre Det(In + In) 6= Det(In) + Det(In) si n gt 1
Y 228 Sea P isinMntimesn Verifique que si P =minusPT entonces |PT |= (minus1)n|P| y en particularque si n es impar entonces |P| = 0
Y 229 Si se sabe que A y B son matrices cuadradas de orden cinco y ademaacutes Det(A) = 2 yDet(B) = minus3 calcule Det(2Aminus1BT)
Y 2210 Si A B isinMntimesn tales que Det(B) =18
y A3 = 2Bminus1 Calcule Det(2AT Aminus1A2)
Y 2211 Si A B C isinM4times4 tales que |A| = minus5 |Bminus1| = 43
Calcule∣∣2BAdj(AT)
∣∣Y 2212 Si A B C isinM3times3 tales que 2AC = I + BC y |2Aminus B|= 2 Calcule
∣∣∣(6Aminus 3B)minus1CT∣∣∣
Y 2213 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2214 Si |A5times5 | = 2 calcule |3(AT + A)T Aminus1 minus 2I |
Y 2215 Sean A3times3 y B3times3 matrices invertibles Si |B | = 10 calcule | (AB)minus1A + Bminus1 |
Y 2216 Sean A B C isinM3times3(R) Si se sabe que 2AC = I3 + BC y Det(2Aminus B) = 2 calcule
Det((6Aminus 3B)minus1 CT)
Y 2217 Sean A B X isin M3 (R) Calcule∣∣∣ (6Aminus 3B)minus1 XT
∣∣∣ si se sabe que 2AX = I3 + BX y∣∣∣2Aminus B∣∣∣ = 2
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 19
Y 2218 Sea AisinM3(R) Si B=
2 1 04 minus1 52 0 1
y se sabe que Det (A) =minus3 calcule Det(
A2 (minus2B)BT)Y 2219 Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Y 2220 Sea A =
1 1 1a b cx y z
tal que Det(A) = 2 y B =
3minus x 3minus y 3minus za + 2x b + 2y c + 2z
2x 2y 2z
Calcule
Det(B)
Y 2221 Sean A =
n minus1 14 m minus1s 1 r
y B =
2s 2 2r4minus 2s mminus 2 minus1minus 2r
n minus1 1
Si Det (A) = 2α con
α 6= 0 y si las matrices A y B son matrices equivalentes por filas (una se obtiene de la otra con unasucesioacuten de operaciones elementales) calcule Det
(4Aminus1αBT
)
Y 2222 Verifique que A =
∣∣∣∣∣∣1 x x2
1 y y2
1 z z2
∣∣∣∣∣∣ = (yminus x)(zminus x)(zminus y)
Y 2223 Si
∣∣∣∣∣∣a 1 bb 1 cc 1 a
∣∣∣∣∣∣ = 1999 calcule
∣∣∣∣∣∣aminus b 3 abminus c 3 bcminus a 3 c
∣∣∣∣∣∣Y 2224 Si A =
a b c4 0 21 1 1
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) B =
2a 2b 2c4 4 42 0 1
2) C =
a b c3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1
Y 2225 Si A =
a b cd e fg h i
Calcule el determinante de las siguientes matrices
1) Det(3A)
2) Det(2Aminus1)
22 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 20
3) Det(B) si B =
a b c2d + g 2e + h 2 f + i
d e f
Y 2226 Considere las matrices A y B dadas por
A =
minus4z1 z1minus2y1 x1minus4z2 z2minus2y2 x2minus4z3 z3minus2y3 x3
y B =
x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3
Si se sabe que |B| = minus2 halle
∣∣∣AT (3B)minus1∣∣∣
Y 2227 Calcule |A| si se tiene que
A =
1 a b + c1 b a + c1 c b + a
Y 2228 Supongamos que existe una matriz invertible P tal que B = Pminus1AP
1) Muestre que Det(A) = Det(B)
2) Muestre que Det(Aminus αI) = Det(Bminus αI)
3
Cap
iacutetulo
Sistemas de ecuaciones linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
31 Resultados importantes
Consideremos el sistema AntimesnX = b Entonces
1) Si Det(A) 6= 0 el sistema tiene solucioacuten uacutenica
2) Si Det(A) = 0 el sistema o tiene infinitas soluciones (ldquocon paraacutemetrosrdquo) o no tiene solucioacuten
3) Si Aprime es la forma escalonada (o la forma escalonada reducida) de la matriz A entonces los sistemasAntimesnX = b y AprimentimesnX = b tiene la misma solucioacuten (que podriacutea ser conjunto vaciacuteo)
Rango El rango de una matriz Antimesm es el nuacutemero de filas no nulas en la forma escalonada reducida
Consideremos el sistema AntimesmX = b Entonces
1) Si Rango(A) lt Rango(A|b) entonces el sistema no tiene soluciones
2) Si Rango(A) = Rango(A|b) = m entonces el sistema tiene solucioacuten uacutenica
3) Si Rango(A) = Rango(A|b) lt m entonces el sistema tiene infinitas soluciones con una catidad deparaacutemetros igual a mminus Rango(A)
32 EjerciciosY 321 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + y + 2z = 9
2yminus 7z = minus173x + 6yminus 5z = 0
2)
x + y + z = 0
minus2x + 5y + 2z = 0minus7x + 7y + z = 0
3)
2xminus 3y = minus2
2x + y = 13x + 2y = 1
4)
2xminus 3y + w = minus2
2x + yminus z = 13x + 2y + z = 1
Y 322
x + y = 22x + 2y =
es[
xy
]= t
[minus11
]+
[20
]con t isin R
Y 323 iquestPara queacute valores de λ el siguiente sistema tiene infinitas soluciones(λminus 3)x + y = 0x + (λminus 3)y = 0
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 22
Y 324 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga infinitas soluciones ycalcule estas soluciones
axminus by = bx + by = 0
Y 325 Determine los valores de a y b para que el sistema que sigue tenga a) solucioacuten uacutenica yb) infinitas soluciones Calcule estas soluciones
ax + by = 0bxminus by = 0
Y 326 Considere el siguiente sistema de ecuaciones donde mn isin R determine lo que se pideen cada caso
mxminus 3y = 12mx + my = n
iquestQueacute valores deben tomar m y n respectivamente para que el sistema
1) tenga solucioacuten uacutenica
2) no tenga solucioacuten
3) posea infinito nuacutemero de soluciones
Y 327 Sea ab isinR y considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + ayminus z = 0ax + y + z = bx + y + az = 0
Determine todos los valores de a y de b en caso de que hubieran de manera que para cadacaso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 328 Sea α isinR y Considere el sistema de ecuaciones lineales dado porx + αyminus 7z = 4αminus 1x + (α + 1)yminus (α + 6) z = 3α + 1αyminus 6z = 3αminus 2
Determine todos los valores de α de manera que para cada caso el sistema anterior
a) Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacuten
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 23
b) No tenga solucioacuten
c) Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Y 329 Sean α β isinR y considere el sistema lineal
xminus αy = β2x + y = α
Determine todos los valores para α y para β de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Sea inconsistente
3) Tenga infinito nuacutemero de soluciones e indique una solucioacuten particular
Y 3210 Encuentre el valor o los valores (si hubiera) de k para que el sistema que sigue tengaotras soluciones ademaacutes de la solucioacuten trivial x = 0 y = 0 y z = 0 Indique las soluciones
2xminus 3y + 5z = 0minusx + 7yminus z = 04xminus 11y + kz = 0
Y 3211 iquestCoacutemo se deben elegir los coeficientes a b y c de modo que el sistemaax + byminus 3z = minus3minus2xminus by + cz = minus1
ax + 3yminus cz = minus3
tenga la solucioacuten x = 1 y = minus1 z = 2
Y 3212 Considere el sistema de ecuaciones linealesa1x + a2y + a3z + a4w = a1b1x + b2y + b3z + b4w = b1c1x + c2y + c3z + c4w = c1
d1x + d2y + d3z + d4w = d1
Si se sabe que tiene solucioacuten uacutenica obtenga los valores de x y z y w (Sugerencia use Cramer)
Y 3213 Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + z = 1
2x + py + 2z = minus24x + 2py + 4z = m
1) Determine todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema tengainfinito nuacutemero de soluciones dependiendo de un paraacutemetro
2) iquestExiste alguacuten valor para p de manera que el sistema de ecuaciones posea solucioacuten uacutenicaJustifique
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 24
3) Indique todos los valores de p y m respectivamente de manera que el sistema sea inconsis-tente
Y 3214 Considere el sistema
x + 4y minus z + w = 1x + ay + z + w = 0
2x + ay + 3z + w = 0x + y + 3z minus w = 1
1) Verifique que el sistema tiene solucion uacutenica solo si a 6= minus1
2) Use la regla de Cramer para obtener las soluciones que faltan
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
Y 3215
Sea a isinR Considere el sistema de ecuaciones lineales siguientex + y + az = 1x + ay + z = 1ax + y + z = 1
Determine el valor o los valores (en caso de existir) que debe tomar la constante real a para que elsistema de ecuaciones anterior
1) Tenga solucioacuten uacutenica (halle el conjunto solucioacuten)
2) Posea infinito nuacutemero de soluciones (enuncie una solucioacuten particular)
3) No tenga solucioacuten
Y 3216 Considere el sistema lineal
a 1 11 a 11 1 a
xyz
=
1aa2
con a isin R Utilizando el meacutetodo
eliminacioacuten de GaussndashJordan determine su conjunto solucioacuten para a = minus2
Y 3217 Considere el sistema lineal
1 1 11 minus1 31 minus1 12 2 α
x
yz
=
460
con α isinR
Determine todos los valores para α de manera que el sistema
1) Posea solucioacuten uacutenica
2) Tenga infinito nuacutemero de soluciones
3) Sea inconsistente
32 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 25
Y 3218 Si se tiene que[
1 0 minus1 α0 1 2 α
]es matriz aumentada de alguacuten sistema de ecuaciones
lineales determine todos los valores para α y para β de manera que
21β
sea una solucioacuten del
sistema
Y 3219 Resuelva el siguiente sistema homogeacuteneo
xminus yminus z = 02xminus y + z = 0 y deacute un par de soluciones
particulares
4
Cap
iacutetulo
Estructuras Algebraicasmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
41 Grupos y subgrupos
La estructura algebraica (Glowast) es un grupo si
1) lowast es cerrada en G
2) lowast es asociativa en G
3) Existe e isin G tal que a lowast e = e lowast a = a para todo a isin G Al elemento e se le llama ldquoelemento neutrordquode G respecto a lowast y se demuestra maacutes adelante que es uacutenico
4) Para todo a isin G existe un inverso aminus1 isin G tal que a lowast aminus1 = aminus1 lowast a = e donde e es el elementoneutro
Si lowast es conmutativa (Glowast) se dice ldquogrupo abelianordquo
Consideremos un grupo (Glowast) Si H es subconjunto no vaciacuteo de G tal que (Hlowast) es grupo entonces de-cimos que H es subgrupo del grupo G y usamos la notacioacuten H le G
Sea (Glowast) un grupo Entonces H le G si y soacutelo si a lowast bminus1 isin H para todo ab isin H
42 Anillos y camposEl triple (Gopluslowast) tiene estructura de anillo si
1) (Goplus) es un grupo conmutativo
2) La ldquomultiplicacioacutenrdquo lowast es asociativa
3) Para todo ab c isin G a lowast (boplus c) = a lowast boplus a lowast c y (boplus c) lowast a = b lowast aoplus c lowast a
Si la ldquomultiplicacioacutenrdquo es conmutativa (Gopluslowast) se dice anillo conmutativo
Si H es un subconjunto no vaciacuteo de G entonces (Hopluslowast) es un subanillo de (Gopluslowast) si y solo si aoplusminusb isinH y a lowast b isin H para todo ab isin H
Si G tiene maacutes de un elemento el triple (Gopluslowast) tiene estructura de campo si (Gopluslowast) es un anillo con-mutativo y (Gminus 0G lowast) es un grupo El campo es conmutativo si la operacioacuten lowast es conmutativa
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 27
Nota Si H subMmtimesn entonces la estructura (H+ middot) (suma y multiplicacioacuten usual de matrices) hereda laconmutatividad y la asociatividad en la suma la asociatividad en el producto y la distribuitividad de lasuma respecto al producto
43 Ejercicios
Y 431 Sea G =
[a bc d
]tal que ab cd isin R andandand adminus bc = 1
Consideremos el par (G middot) don-
de lsquomiddotrsquo es la multiplicacioacuten usual de matrices Verifique que (G middot) es un grupo (un subgrupo deM2(R))
Y 432 Sobre Rlowast se define la operacioacuten a lowast b = 2ab Verifique que (Rlowastlowast) es un grupo conmu-tativo
Y 433 Sea G = (ab) isin RtimesR tal que a 6= 0 y (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) Verifique que(Glowast) es un grupo no conmutativo
Y 434 Verifique que Rminus minus1 con la operacioacuten a b = a + b + ab es un grupo abeliano
Y 435 En RtimesRlowast se define la operacioacuten lowast como
(ab) lowast (cd) = (a + c + 32bd)
Si se sabe que (RtimesRlowastlowast) es un grupo abeliano calcule
(minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2
Y 436 Sea G =
[a aa a
]con a isin R y a 6= 0
Consideremos el par (G middot) donde lsquomiddotrsquo es la multi-
plicacioacuten usual de matrices
a) Verifique que forallA B isin G AB = BA
b) iquest[
1 00 1
]isin G
c) Verifique que si A isin G entonces |A| = 0
d) Verifique que existe E isin G tal que E A = A forallA isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 28
e) Asumiendo que la matriz E del iacutetem anterior es uacutenica verifique que forallA isin G existe A isin Gtal que AA = E
Y 437 Sea G =
[a aa a
]con a isin R
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multipli-
cacioacuten usual de matrices Verifique que (G+ middot) es un campo (ver ejercicio 436)
Y 438 Sea G =
[a a + b
a + b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 439 Sea G =
[a aminus b
aminus b b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4310 Sea G =
[a ab b
]tal que ab isin Z
iquestEs (G+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
Y 4311 Sea D =
[a 00 b
]tal que ab isinR
Si se sabe que (D+ middot) es anillo verifique que
es conmutativo con elemento unidad iquestPosee divisores de cero iquestEs un campo
Y 4312 Sea S=
[a b0 d
]tal que abd isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4313 Sea S =
[a 00 0
]tal que a isin R
iquestEs (S+ middot) un subanillo del anillo (M2times2+ middot)
iquestEs un campo
Y 4314 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Z
Probar que (G+ middot) es un subanillo de Mntimesn
Y 4315 Sea G =
[a b
2b a
]con ab isin Q
Probar que (G+ middot) es un campo (ver el ejercicio
4318)
Y 4316 Muestre que (Roplusotimes) es un campo si aoplus b = a + b + 1 y aotimes b = a + b + ab
Y 4317 Sea Z[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Z
iquestEs (Z[radic
2]+ middot) es un anillo
Y 4318 Sea Q[radic
2] =
a + bradic
2 tal que ab isin Q
a) Verifique que no existen pq isin Q tal quepq=radic
2 (Sugerencia Razone por contradiccioacuten suponga
que la fraccioacuten estaacute totalmente simplificada y quep2
q2 = 2 Luego deduzca que pq deberiacutean ser pares)
b) Hay elemento neutro multiplicativo determine cuaacutel es
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 29
c) Verifique que el inverso multiplicativo de p + qradic
2 esp
p2 minus rq2 +minusq
p2 minus rq2
radic2 Observe que
por el iacutetem a) este inverso estaacute bien definido para cuaquier pq isin Q
d) Muestre que (Q[radic
2]+ middot) es una campo
Y 4319 Sea (Glowast) alguacuten grupo con elemento neutro e Usando induccioacuten matemaacutetica demues-tre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4320 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el simeacutetrico del elemento (11)
Y 4321 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acd + bminus 4)
Si se defineH =(x4) tal que x isinRlowast
y se sabe que (RlowasttimesRotimes) es grupo abeliano demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4322 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast)Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si (x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
Y 4323 Si se sabe que (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y a isin G con a fijo demuestre
queH =
x isin G tal que x lowast a = a lowast x
es subgrupo de G
Y 4324 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isin RlowasttimesR
(ab) otimes (cd) = (3acb + d + 5) Si se define H =(x5k) tal que x isin Rlowastk isin Z
y se sabe que(
RlowasttimesRotimes)
es grupo demuestre que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4325 Si se sabe que(
Z6+ middot)
es un anillo determine si este posee divisores de cero o noJustifique su respuesta
Y 4326 Sea m isinZ+ m fijo Se define el conjunto mZ de la manera siguiente
mZ =
x isinZ tal que existk isinZ con x = mk
Demuestre que (mZ+) es subgrupo de (Z+)
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 30
Y 4327 En RlowasttimesR se define la operacioacuten otimes de la manera siguiente forall (ab) (cd) isinRlowasttimesR
(ab)otimes (cd) = (3acb + d + 5)
Si se defineH =(x5k) tal que x isinRlowastk isinZ
y se sabe que
(RlowasttimesRotimes
)es grupo demuestre
que (Hotimes) le (RlowasttimesRotimes)
Y 4328 SeaH=
x isinQlowast tal que x =
2m
3k con mk isinZ
Demuestre que (H middot) es subgrupo de
(Qlowast middot)
Y 4329 Sea (Glowast) alguacuten grupo cuyo elemento neutro es e Usando induccioacuten matemaacutetica de-muestre que forallxy isin Gforalln isinZ+ se cumple que
(xprime lowast y lowast x
)n= xprime lowast yn lowast x
Y 4330 Considere los grupos(
Z2+)
y(
Z3+)
y sea G = Z2timesZ3 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine los seis elementos de G
2) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
3) Encuentre el elemento simeacutetrico de(1 1)
Y 4331 Sea(Glowast
)un grupo cuyo elemento neutro es e y sea t un elemento fijo de G Si H =
x isin G tal que x lowast t = t lowast x
demuestre que(Hlowast
)es subgrupo de
(Glowast
)Y 4332 Sea (Glowast) un grupo cuyo elemento neutro es e demuestre que si (x lowast y)2 = x2 lowast y2forallxyisinG entonces (Glowast) es abeliano
Y 4333 SiW =
x isinR tal que x =
5k
7m con km isinZ
pruebe que (W middot) es subgrupo de (Rlowast middot)
Y 4334 Sea H 6= empty y sean ~ y dos opeaciones binarias Si se sabe que (H~) es anillounitario indique las uacutenicas propiedades que hacen falta para que (H~) sea campo
Y 4335 Sea Rlowast = Rminus 0 Si ldquomiddotrdquo representa la multiplicacioacuten usual de nuacutemeros reales
1) Demuestre que (Rlowast middot) es un grupo abeliano
2) SiH = x isinRlowast tal que x ge 1 determine siH es subgrupo de Rlowast o no lo es
Y 4336 Sea e el elemento neutro del grupo (Glowast) Demuestre que G es abeliano si y soacutelo si(x lowast y)2 = x2 lowast y2 forallxy isin G
43 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 31
Y 4337 Si (A+ middot) es un anillo y x isin A se dice que x es idempotente si x2 = xPara cada uno de los anillos que se enuncian a continuacioacuten determine todos sus elementosidempotentes
1) (Z4+ middot)
2) (Z5+ middot)Y 4338 Sea (A+ middot) un anillo conmutativo iquestCuaacuteles son las propiedades adicionales a las deanillo que se deben cumplir para que (A+ middot) sea campo
Y 4339 Sean oplus y otimes dos operaciones internas definidas sobre A =
ab cd
Asumiendo que(Aoplusotimes
)es anillo complete las tablas de operacioacuten binaria que se enuncian a continuacioacuten
Justifique coacutemo obtiene cada uno de los elementos que hacen falta
oplus a b c da a b c db b a cc c d ad d b a
otimes a b c da a a a ab a bc a ad a b c
Sugerencia Complete primero la tabla de operacioacuten binaria para (Aoplus) Luego desarrolle
dotimes (doplus b) = (dotimes d)oplus (dotimes b) y (doplus b)otimes d = (dotimes d)oplus (botimes d)
Y 4340 Considere los grupos(
Z3+)
y(
Z2+)
y sea G = Z3timesZ2 forall (ab) (cd) isin G se define
(ab) lowast (cd) = (a + cb + d)
Si se sabe que (Glowast) es grupo
1) Determine la tabla de operacioacuten binaria para (Glowast)
2) Encuentre el simeacutetrico de cada uno de los elementos de GY 4341 Si (Glowast) es alguacuten grupo con elemento neutro e y x isin G se dice que x es un elementoinvolutivo de G si y solo si x2 = e
1) Determine todos los elementos involutivos del grupo(
Z4+)
2) Determine todos los elementos involutivos del grupo (Rlowast middot)Y 4342 Considere la estructura (Rotimes) donde se defineotimes de la manera siguiente
forallab isinR aotimes b = 5b2 minus ab + a2 minus b
1) Determine si la estructura (Rotimes) posee elemento neutro o no
2) Se dice que un elemento z de R es idempotente si zotimes z = z Determine todos los elementosidempotentes de (Rotimes)
Y 4343 Demuestre queH =
x isinRlowast tal que x = 3m m isinZ
es subgrupo de (Rlowast middot)
5
Cap
iacutetulo
Espacios Vectorialesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
51 Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial V (o espacio lineal) sobre R es un conjunto de objetos sobre los cuales se ha definidouna suma denotada con el siacutembolo rdquo+rdquo y un producto escalar (una manera de multiplicar estos objetos connuacutemeros reales) denotado de la manera usual y que cumple las siguientes propiedades
1) v + w isin V forallv w isin V
2) α v isin V forallv isin V forallα isinR
3) v + w = w + v forallv w isin V
4) u + (v + w) = (u + v) + w foralluv w isin V
5) exist0V isin V tal que v + 0V = v forallv isin V
6) forallv isin V exist minus v isin V tal que v + (minusv) = 0V
7) (α + β)v = α v + βv forallv isin V forallα β isinR
8) (v + w)α = α v + α w forallv w isin V forallα isinR
9) (α β)v = α (βv) forallv isin V forallα β isinR
10) 1v = v forallv isin V
Ejemplos de espacios vectoriales son los conjuntosMntimesm(R) y Rn con las operaciones de suma y produc-to por un escalar ya definidas De ahora en adelante llamaremos ldquovectoresrdquo a los elementos de un espaciovectorial Frecuentemente 0 se sobreentiende en el contexto como el neutro aditivo 0V mientras que 0 esel escalar nulo
Propiedades Sea V un espacio vectorial real entonces forallv w isin V y forallα β isinR se tiene
1) 0 middot v = 0V
2) α 0V = 0V
3) α v = 0V =rArr α = 0 or v = 0V
4) Si α 6= 0 y α v = α w =rArr v = w
Subespacios vectoriales empty 6=W sube V es subespacio vectorial de V si W es espacio vectorial Esta rela-cioacuten se denota W leV Tomando en cuenta las propiedades que W hereda de V se puede usar el siguientecriterio W le V si W 6= empty y v + αu isin W forall vu isin W forallα isinR
52 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 33
52 Ejercicios
Y 521 SiW =(xyz) isinR3 tal que ax + by + cz = 0 con ab y c nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es un subespacio de R3
Y 522 Demuestre que siW1 yW2 son subespacios de alguacuten espacio vectorial real V entoncesW1 +W2 = u1 + u2 tal que u1 isinW1u2 isinW2 tambieacuten es subespacio de V
Y 523 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 524 SeaH=
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
Determine siH es subespaciode P2 (R) o no lo es Justifique
Y 525 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a = 0b = cd ge 0
V =M2 (R)
2) W =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que 2aminus b = 3c
V = P2 (R)
3) W =(xy) isinR2 tal que 2xminus y = 0
V = R2
Y 526 Demuestre queW =(ab cd) isinR4 tal que b + c + d = 0
es subespacio de R4
Y 527 Considere los subconjuntos deMn (R) que se enuncian y seguacuten sea el caso demuestreque H es subespacio de Mn (R) o justifique por queacute no se cumple que H sea subespacio deMn (R)
1) H = A isinMn (R) tal que AA = A
2) H =
A isinMn (R) tal que AT = A
Y 528 Si se sabe que V es un espacio vectorial real determine en cada uno de los casos siW essubespacio de V o no lo es Justifique
1) W = p (x) isin P3 (R) tal que p (0) = p (1) V = P3 (R)
2) W =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que a ge 0b = cd = 0
V =M2 (R)
3) V =(xy) isin R2 tal que x = y y xy lt 0
Y 529 SiW =
(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 34
Y 5210 Si se tiene queW =
a + bx + cx2 isin P2 (R) tal que aminus 2b + 3c = 0
verifique queWes subespacio de P2 (R)
Y 5211 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
demues-
tre queW es subespacio de R3
Y 5212 Demuestre queH =
A isinMn (R) tal que
n
sumi=1〈A〉ii = 0
es subespacio deMn (R)
Y 5213 Sea V alguacuten espacio vectorial real y sean W1 y W2 subespacios de V Demuestre queW1 capW2 es tambieacuten subespacio de V
Y 5214 Si S1 y S2 son dos subconjuntos no vaciacuteos de un espacio vectorial V entonces la suma
de S1 y S2 que se expresa como S1 + S2 es el conjunto
x + y tal que x isin S1 y isin S2
Demues-
tre que si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V entonces W1 +W2 es tambieacutensubespacio de V
Y 5215 SeaW =(xyyminus x) isinR3 tal que y ge 0
iquestEsW subespacio de R3 Justifique
Y 5216 Sea V =
f isin C[ab] tal que f (a) = minus f (b) forallx isin [ab]
iquestEs V subespacio de C[ab]Justifique
Y 5217 SeaW =
[0 minusaa b
]tal que ab isinR
Demuestre queW es un subespacio deM2(R)
53 Bases y dimensioacutenLa definicioacuten de ldquodimensioacutenrdquo de un espacio vectorial se hace de manera algebraica En un espacio vectorialcomo (Rn+ middot) el concepto de dimensioacuten tiene el sentido geomeacutetrico usual La cantidad de ejes (o vectoresque generan estos ejes) El sistema de ejes es lo que llamamos una ldquobaserdquo del espacio Por ejemplo R3 tienetres ejes el eje X generado por e1 = (100) el eje Y generado por e2 = (010) y el eje Z generado pore3 = (001) Entonces e1e2e3 es una ldquobaserdquode R3 y la dimensioacuten de este espacio es 3
Independencia LinealSea V un espacio vectorial Si B =
v1v2 vk
sube V entonces decimos que B es un conjunto lineal-
mente independiente (y lo abreviamos ldquolildquo) si el sistema linealk
sumi=1
aivi = 0V tiene como uacutenica solucioacuten
a1 = 0 a2 = 0 ak = 0 En otro caso se dice que B es linealmente dependiente (y lo abreviamos ldquoldrdquo)
Lo que se garantiza con la definicioacuten anterior es que si un conjunto es ld entonces al menos un vj se puededespejar como una combinacioacuten lineal de los otros vprimeis Si el conjunto es li esto no puede pasar
53 BASES Y DIMENSIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 35
Conjunto generador W es generado por B =
v1v2 vk
si W =
w tal que w =k
sumi=1
aivi ai isin R
EscribimosW = Gen
v1v2 vk
Base Sea B =
v1v2 vk
un subconjunto del espacio vectorial V Decimos que B es una base de V siB genera a V y si B es li El espacio es de dimensioacuten finita si tiene una base finita
Una base del Rn es(100 0) (010 0) (00 01)
=
e1e2 en
y dimRn = n A esta base se lellama base canoacutenica o base ldquonaturalldquo Esta base corresponde a los vectores que generan los ejes usuales enlos espacios R2 y R3
La base canoacutenica de Mntimesm (R) son las nm matrices B = E11 E12 Enm donde la matriz Eij tiene todassus entradas nulas excepto la entrada ij que es 1 Por tanto dimMntimesm (R) = nm
Por ejemplo la base canoacutenica de M2times2 (R) es B =
[1 00 0
][
0 10 0
][
0 01 0
][
0 00 1
]y dimM2times2 (R) = 4
La base canoacutenica de Pn (R) es B = 1 x xn y por tanto dimPn (R) = n + 1
En general una base de V juega el mismo papel que un sistema de ejes en el Rn Una base nos permitehablar de las ldquocoordenadasrdquo de un vector en una base dada
Espacio de columnas Si V se puede ver como el conjunto generado por las columnas de una matrizAmtimesn (el espacio de columnas de A) es decir V = AX tal que X isin Mntimes1 entonces como las opera-ciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependencia de los vectores columna una base deV esta conformada por las columnas de A que corresponden a las columnas que contienen los pivotes en laforma escalonada reducida de A Esta uacuteltima matriz revela las dependencias entre las columnas de A
Espacio de filas Si V se puede ver como el conjunto generado por las filas de una matriz Amtimesn (el espaciode filas de A)entonces como las operaciones elementales de fila no cambian las relaciones de dependenciade los vectores fila una base de V esta conformada por las filas no nulas de forma escalonada reducidade A Para obtener una base en teacuterminos de las filas de la matriz original A podriacuteamos usar el algoritmocorrespondiente para el espacio de columnas de AT
Teorema 51
1) Si V tiene una base con un nuacutemero finito k de elementos todas las bases de V tiene este mismonuacutemero de elementos En este caso decimos que la dimensioacuten de V es k y escribimos diacutem V = k
2) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces diacutem V le k
3) Si V = Gen
v1v2 vk
entonces si el rango de la matriz A =[v1v2 vk
]es k entonces
diacutem V = k
4) Si diacutem V = k y si B =
v1v2 vnsub V con n gt k entonces B es ld
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 36
5) SiW es subespacio de V y V es de dimensioacuten finita entonces diacutemW lediacutem V Si tienen lamisma dimensioacuten entonces W = V
6) Si V es de dimensioacuten finita cualquier subconjunto li en V es parte de una base
54 EjerciciosY 541 Determine si los siguientes subconjuntos de R3 son ldquolirdquo o ldquoldrdquo en R3
a) B = (123) (111)
b) B = (123) (111) (201)
c) B = (123) (111) (147)
Y 542 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si el conjunto B es ld o li
a) B = (1 minus23) (2 minus20) (017) en R3
b) B = 1 xminus 1 (xminus 1)2 (xminus 1)3 en P4(R)
c) B = (minus12) (2 0) (03) enR2
d) B = (1 minus30) (11 minus612) enR3
e) B = xminus 2x2 x2 minus 4x 8x2 minus 7x enP2(R)
f) B = (4400) (0066) (minus5055) enR4
g) B = 3minus x 2x(xminus 1) x2 minus 1 3 (2minus x2) x + 2 enP2(R)
Y 543 Determine si los vectores u1 = (2minus10minus1) u2 = (101minus1) y u3 = (minus1110) son li-nealmente dependientes o linealmente independientes en R4
Y 544 En P5(R) iquestel conjunto B =
x x2 x3 + x + 1
es li
Y 545 Determine si el conjunto S =
[1 2 minus34 0 1
][
1 3 minus46 5 4
][
3 8 minus1116 10 9
]es linealmente
dependiente o linealmente independiente enM2times3 (R)
Y 546 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorialreal V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine si D = ym t eslinealmente depediente o linealmente independiente
Y 547 EnM2times2 iquestel conjunto B =
[1 01 1
][
0 00 2
]es li
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 37
Y 548 Considere el conjunto B = (kminus 21 minus1) (2 minusk 4) (8 minus111 + k) Para queacute valor(o valores) de k se cumple que B es ld
Y 549 Consideremos el subespacioW = (t sminus t s) tal que t s isinR Deacute un conjunto genera-dor paraW
Y 5410 Consideremos el subespacio W =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute un con-
junto generador paraW
Y 5411 Sean S = (119 minus4) (2 minus132) (minus111 minus3) y u = (a b 0 minus1) Determine elvalor (o los valores) de los paraacutemetros a y b de manera que se cumpla que u isin Gen (S)
Y 5412 Para cada uno de los casos que se enuncian determine si los vectores uv y w generanR3 Si generan R3 iquestson base
a) u = (111) v = (220) y w = (300)
b) u = (110) v = (011) y w = (101)
c) u = (2 minus13) v = (412) y w = (8 minus18)
Y 5413 Considere los vectores de P3(R) definidos por
p(x) = 4x2 + x + 2 q(x) = 3x2 minus x + 1 r(x) = 5x2 + 2x + 3 y s(x) = 5x2 + 9x + 5
Determine si s(x) isin Genp(x)q(x)r(x)
Y 5414 Determine la dimensioacuten de cada uno de los subespacios siguientes (debe justificar surespuesta)
a) V =
[0 aminusa b
]tal que ab isinR
b) W =
(a b c) isinR3 tal que aminus 4bminus c = 0
c) W = (a b 0) tal que ab isinR
d) W =(a b c) isinR3 tal que 2aminus 7b + c = 0
e) W = (a 0 a + b b aminus b) tal que ab isinR
f) W =
[minusb aa b
]tal que ab isinR
g) W =
(a b c d) isinR4 tal que a + bminus c = 0minus2aminus b + 3c = 0
h) W =
[a bc a
]tal que ab c isinR
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 38
i) W = (a 2a 3a) tal que a isinR
Y 5415 SeaW = Gen
121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
Determine la dimensioacuten deW
Y 5416 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
paraW
Y 5417 Consideremos el subespacioW =(xyz) isinR3 tal que xminus 2y + z = 0
Deacute una base
de Wperp =
u isin R3 tal que u middotw = 0 forallw isin W
Y 5418 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5419 Si xyz es un subconjunto li de alguacuten espacio vectorial real V determine la relacioacutenpara las constantes reales a y b de manera que xminus ay ayminus zzminus by tambieacuten sea subconjuntoli de V
Y 5420 Sea W =
p (x) = a + bx + cx2 + dx3 isin P3 (R)
tal que a + b + c + d = 0 pprime (1) = 0Determine un conjunto S de manera que Gen (S) =W
Y 5421 Sea B = uw xz alguacuten subconjunto linealmente independiente de un espacio vecto-rial real V Si se definen y = 2uminus xminus 3z m = 2x + 3wminus 4u t = wminus 2z determine siH = ym tes linealmente depediente o linealmente independiente
Y 5422 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus b = 0 c + 2d = 0
es subespacio de
M2 (R) determine una base deW y dim (W)
Y 5423 Sean A1 y A2 vectores definidos como A1 =
10minus2
y A2 =
253
1) Verifique que A =
4106
es combinacioacuten lineal de A1 y A2
2) Si el vector v estaacute definido como v =
minus2α1minus 8αminus5αminus 3
determine todos los valores de la constante
real α para que v isin Gen (A1 A2)
Y 5424 Sea xyz un conjunto linealmente independiente de R3 Demuestre queB= x x + yyminus zes una base de R3
54 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 39
Y 5425 Considere los vectores uwisinR3 tales que u = (minus4αminus 10) y w = (22minus β0) con α βisinR Encuentre los valores de α y β para que se cumplan de manera simultaacutenea las condicionessiguientes
1) u y w son linealmente dependientes
2) u isin Gen ((213) (minus101))
Y 5426 En P3 (R) considere los siguientes cuatro vectores p (x) = 2 minus 5x + 3x2 + x3 q (x) =1 + x2 + x3 r (x) = 3minus x minus 2x2 + 2x3 y s (x) = minus1 + 3x + x2 Escriba en caso de ser posible elvector p (x) como una combinacioacuten lineal de los vetores q (x) r (x) y s (x)
Y 5427 Sean V alguacuten espacio vectorial real y S = u1u2 un un subconjunto de V tal queS es linealmente independiente Si x isin V tal que x 6isin Gen (S) demuestre que el conjunto H =xu1u2 un es tambieacuten linealmente independiente
Y 5428 Determine si los vectores u = (2minus10minus1) v = (101minus1) y w = (minus1110) son lineal-mente dependientes o linealmente independientes Determine una forma general para expresarel espacio vectorial Genuvw
Y 5429 Considere el conjunto B definido como B =
1 + x1minus x1minus x2 x3 + x2 + x + 1
De-
termine si el polinomio p(x) = x3 + 2x2 minus 4x + 1 se puede escribir como combinacioacuten lineal delos vectores de B o no
Y 5430 SiW =(ab c) isinR3 tal que δa + λbminus c = 0 con δ y λ nuacutemeros reales fijos
Si sabe-
mos queW es subespacio de R3 determine una base para este espacio
Y 5431 Si A =
1 0 1 4 minus50 1 minus1 minus2 32 0 2 minus1 80 minus2 2 minus2 6
encuentre una base para el espacio de las soluciones
del sistema homogeacuteneo Ax = 0
Y 5432 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 13xminus 6y = 9 iquestEsS un espacio vectorial
Y 5433 SeaS el conjunto solucioacuten del sistema
xminus 2y + z = 03xminus 6y = 0 Verifique queS es espacio
vectorial y determine una base para S
Y 5434 Si se sabe queW =
[a bc d
]isinM2 (R) tal que aminus d = 02bminus c = 0
es subespacio de
M2 (R) determine
1) Una base deW y dim (W)
2) Una base deM2 (R) a partir de la base deW
Y 5435 Si se sabe que V =
A isinM2 (R) tal que
[1 minus12 0
]A = A
[1 minus12 0
]es subespacio de
M2 (R)
55 COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 40
1) Halle tres elementos de V
2) Determine una base de V y dim (V)
55 Coordenadas de un vector en una baseSi B =
v1v2 vn
es una base de Rn entonces las coordenadas de un punto P = (p1 p2 pn) isin Rn en
la baseB son
[P]B = (a1 a2 an) con P = a1v1 + a2v2 + + anvn
Las coordenadas de P en la base canoacutenica son
[P]C = (p1 p2 pn) pues P = p1e1 + p2e2 + panen
Seleccione y arrastre los vectores o el punto
Wolfram CDF Player
Figura 51 Coordenadas de un punto P en la base B
ComoPn(R) tiene base canoacutenica B = 1 x x2 xn entonces
[a0 + a1x + + anxn]C = (a1 a2 an)
56 EjerciciosY 561 B = (13) (1minus3) es una base deR2 Determine [(21)]B y haga una representacioacutengraacutefica mostrando la base (vectores) y las coordenadas de (21) en la base B
Y 562 B = (121) (1minus25) (minus1minus21) es una base deR3
56 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 41
a) Determine [(minus451)]B y haga una representacioacuten graacutefica mostrando la base (vectores) y lascoordenadas de (minus451) en la base B
b) Determine [(xyz)]B
c) Determine [(a a a)]B
d) Determine [(ab a)]B
Y 563 Se sabe queW = p(x)isinP4(R) tal que p(4) = 3p(2) es un subespacio vectorial deP4(R)Ademaacutes una base deW es B = xminus 1 x2 + 2 x3 + 20 x4 + 104 Para los siguientes elementosdeW determine
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B
Y 564 Se sabe queW =
[a bc d
]tal que a + 3bminus cminus 5d = 0 y minus 2aminus 6b + 3c + 14d = 0
es
un subespacio vectorial deM2(R) Ademaacutes una base deW es B =
[minus3 10 0
][
1 0minus4 1
] Para
los siguientes elementos deW determine
a)[(minus9 212 minus3
)]B
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B
6
Cap
iacutetulo
Transformaciones Linealesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
61 PreliminaresSi V y W son espacios vectoriales una funcioacuten T V rarrrarrrarrW es una transformacioacuten lineal abreviado ldquotlrdquo si
T (v + αu) = T (v) + αT (u) forall vu isin V forallα isinR
La accioacuten de T es enviar combinaciones lineales de V en combinaciones lineales de W (en Rn enviacutea liacuteneasa liacuteneas y el cero al cero)
Teorema 61
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
a) T (αv) = αT (v) α isinR
b) T (0) = 0
c) Si B = v1v2 vn es un conjunto generador de V entonces si v = a1v1 + a2v2 + + anvnse tiene T (v) = T (a1v1 + a2v2 + + anvn) = a1T (v1) + a2T v2) + + anT vn)
Esto dice que T se conoce totalmente por su accioacuten sobre una base
Si T V rarrrarrrarrW es tl entonces el nuacutecleo de T es NuclT = v isin V tal que T (v) = 0 sube V A veces seescribe KerT Este conjunto es subespacio vectorial de V
Si T VrarrrarrrarrW es tl entonces la imagen de T es ImgT = w isin W tal que existv isin V con T (v) = w subeW Este conjunto es subespacio vectorial de W
Teorema 62
Sea T V rarrrarrrarrW tl entonces
1) T es inyectiva (invertible) si y soacutelo si NuclT = 0V
2) T es sobreyectiva si ImgT =W
3) 0V isin NuclT
4) T (0) = 0W isin ImgT
5) Si T es biyectiva (isomorfismo) tenemos
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 43
a) B es li en V si y soacutelo si T (B) es li en Wb) B es un conjunto generador de V si y soacutelo si T (B) en un conjunto generador de Wc) B es una base de V si y soacutelo si T (B) en una base de W
6) dimNuclT + dim ImgT = dimV
7) Si dimV = dimW (finita) entonces T es inyectiva lArrrArr T es sobreyectiva
62 EjerciciosY 621 Demuestre que si T1 y T2 son transformaciones lineales tales que T1(xi) = T2(xi) forallxi isin Bsiendo B = x1x2 xn una base de V entonces T1(u) = T2(u) forallu isin V
Y 622 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Nucl (T ) es subespacio de V
Y 623 Sea T R2rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que T (10) = (120) y T (01) = (034)Determine T (xy)
Y 624 Sea T R2rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal tal que T (11) = (56) y T (1minus1) = (78)Determine T (xy)
Y 625 Sea T R3rarrrarrrarrR2 tal que T (xyz) = (x x + y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 626 Sea T R3rarrrarrrarrR3 tal que T (xyz) = (xminus y x + y y + z)
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 627 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = a + b x2
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Determine dos elementos de Nucl (T )
3) Determine una base para Img (T )
4) Determine dim (Nucl (T )) y dim (Img (T ))
Y 628 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d
62 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 44
1) Verifique que T es transformacioacuten lineal
2) Determine una base para Nucl (T )
3) Determine una base para ImgT
Y 629 Sea A3times3 una matriz fija y T M3times1(R)rarrrarrrarrM3times1(R) definida por T (X) = AX Muestreque T es transformacioacuten lineal
Y 6210 Considere la transformacioacuten lineal T V rarrrarrrarrW Si Nucl (T ) =
0V
y el conjunto de
vectores
v1v2 vn
es linealmente independiente demuestre que el conjunto de vectores
T (v1)T (v2) T (vn)
tambieacuten es linealmente independiente
Y 6211 Considere el conjunto B =
2x xminus 32minus x2 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si T P2 (R)rarrrarrrarrR3 es una transformacioacuten lineal con T (2x) = (021) T (xminus 3) = (0minus4minus2)y T
(2minus x2 + x
)= (0minus22) determine T
(a + bx + cx2) siendo a + bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6212 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal Demuestre que Img (T ) es subespacio deW
Y 6213 Considere el conjunto B =
x23xminus 2x23 + x
a) Verifique que B es una base de P2 (R)
b) Si se sabe que T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) es una transformacioacuten lineal con T(x2) = minus4x minus 2x2
T(3xminus 2x2) = 2x + x2 y T (3 + x) = minus2x minus 2x2 determine T
(a + bx + cx2) siendo a +
bx + cx2 isin P2 (R)
Y 6214 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrR3 tal que T(a + bx + cx2) = (2bminus c a cminus 2aminus 2b)
1) Verifique que T es una transformacioacuten lineal
2) Obtenga el nuacutecleo de T y la nulidad de T
3) Obtenga el rango de T y una base de la imagen de T
Y 6215 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T(a + bx + cx2)= (3b + a)+ (a + bminus c) x+(c + 2b) x2
una transformacioacuten lineal Determine si T es inyectiva o no lo es Justifique
Y 6216 Sea A =
[1 13 2
]y T M2times1(R)rarrrarrrarrM2times1(R) definida por T (X) = AX
a) Muestre que T es transformacioacuten lineal
b) Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T invertible si es asiacute calcule T minus1(X)
c) Determine una base para el la imgen de T
63 MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIOacuteN (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 45
63 Matriz asociada a una transformacioacutenSea T RnrarrrarrrarrRn Recordemos que si C = e1e2 en es la base canoacutenica de Rn entonces si
v = a1e1 + a2e2 + + anen
se tieneT (v) = T (a1e1 + a2e2 + + anen) = a1T (e1) + a2T (e2) + + anT (en)
Si escribimos cada T (ei) como un vector columna entonces tenemos una versioacuten matricial del resultadoanterior
T (v) =
a1T (e1) T (e2) T (en)
a1
a1
a2
an
Si C1 = e1e2 en es la base canoacutenica de V y T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal entonces la matrizasociada (o matriz estaacutendar) de T es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de cada T (ei) en la basecanoacutenica C2 de W
AT =
a1[T (e1)
]C2
[T (e2)
]C2
[T (en)
]C2
a1
Tambieacuten se escribe AT =[T]C2
C1y en este caso big[T (v)
]C2
= AT[v]C1
En particular si V =W = Rn entonces T (v) = ATv (escribiendo T (v) como vector columna)
Si B1 = v1v2 vn es una base de V y B2 = w1w2 wm es una base de W y si T V rarrrarrrarrW estransformacioacuten lineal entonces la matriz T de la base B1 en la base B2 es la matriz cuyas columnas sonlas coordenadas de cada T (vi) en la base B2 de W
[T]B2
B1=
a1[T (v1)
]B2
[T (v2)
]B2
[T (vn)
]B2
a1
En este caso [
T (x)]
B2= [T ]B2
B1[x]B1
es decir si conoce las coordenadas de x en la base B1 y la matriz [T ]B2B1
entonces puede calcular las coor-denadas de T (x) en la base B2 usando un producto matricial
La matriz de cambio de base de la base B1 a la base B2 se construye con la transformacioacuten identidad[I]B2
B1 En este caso [x]B2
= [I]B2B1[x]B1
Si S V rarrrarrrarr U y T U rarrrarrrarrW y si B1 B2 y B3 son bases de V U y W respectivamente entonces
[T S ]B3B1= [T ]B3
B2[S ]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 46
En particular si V = U =W y C su base canoacutenica entonces [T S ]C = [T ]C [S ]C A veces por abuso dellenguaje se escribe TS para indicar la composicioacuten
Si T V rarrrarrrarrW es transformacioacuten lineal invertible entonces([T ]B2
B1
)minus1=[T minus1
]B2
B1
y en particularAminus1
T =[T minus1
]C
64 EjerciciosY 641 Sea T R3rarrrarrrarr R3 una tl definida por T (xy) = (xy x + y + z) Cosidere las bases deR3
B1 = (100) (010) (111) y B2 = (110) (010) (001)
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((113))]B2
Y 642 Sea T R2rarrrarrrarrR2 una tl definida por T (xy) = (xminus y x + y) Sea B1 = (11) (minus12)y B2 = (10) (minus22) bases de R2
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((25))]B2
Y 643 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (130) (110) (001) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(130) = (260) T(110) = (110) y T(001) = (000)
a) Calcule [T]BB
b) Calcule [T ]CBc) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
d) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
e) Sin usar el item d) calcule T(xyz)
Y 644 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal Considere las bases de R3
B = (100) (010) (01minus1) y C = (100) (010) (001)
Si se sabe que T(100) = (200) T(010) = (030) y T(01minus1) = (111)
a) Calcule [T]BB y [T]CB
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 47
b) Calcule las coordenadas del vector (xyz) en la base B es decir calcule [(xyz)]B
c) Usando la matriz [T ]CB calcule T(xyz) = [T(xyz)]C
Y 645 Sea T R3rarrrarrrarrR3 definida por T (xy) = (xminus yz x+ y) Sea B1 = (111) (minus123) (001)y B2 = (100) (minus222)minus1minus1minus1 bases de R3
a) Calcule la matriz estaacutendar de T
b) Calcule [T ]B2B1
y usando esta matriz calcule [T ((224))]B2
Y 646 Sea T P2 (R)rarrrarrrarr P2 (R) tal que T(a + b x + c x2) = aminus a x + (a + c) x2 una transforma-
cioacuten lineal Considerando las bases B1 =
1 x22x
y B2 =minusx1 x2 de P2 (R)
a) Calcule [2xminus x2 + 5]B1 y T(2xminus x2 + 5
)b) Determine a matriz estaacutendar de T
c) Determine a matriz de la transformacioacuten de T de la base B1 a la base B2 y use esta matrizpara calcular
[T(2xminus x2 + 5
)]B2
Y 647 Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (bminus a) x + c + d T es trans-
formacioacuten lineal
1) Determine la matriz estaacutendar de T
2) Calcule T([
1 22 3
])usando la matriz estaacutendar de T
Y 648 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 649 Sea T P1 (R)rarrrarrrarr R2 tal que T (a + b x) = (2a + b a + b) Si T es una transformacioacutenlineal biyectiva determine
1) Una matriz asociada de T
2) La foacutermula expliacutecita para T minus1
Y 6410 Sea T P2 (R)rarrrarrrarrP3 (R) tal que T(a + b x + c x2) =minus2a + (2bminus c + a) x + b x2 + 2c x3
una transformacioacuten lineal Si se tiene que B1 =
x1 x2 y B2 =
x3minusx2 x2 son bases del do-minio y del codominio de T respectivamente conteste lo que se pide en cada caso
1) Determine la matriz[T]B2
B1
64 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 48
2) Calcule [2 minus 3x + 4x2]B1 y utilizando la matriz de representacioacuten de T que obtuvo en elinciso (a) verifique que[
T(
2minus 3x + 4x2)]
B2= [8x3 minus 3x2 minus 8xminus 4]B2
Y 6411 Sean B = (10minus1) (011) (minus110) C = 1minus x1 + x y T R3rarrrarrrarr P1 (R) tal queT (ab c) = b + c + (a + b) x
1) Demuestre que T es transformacioacuten lineal
2) Demuestre que B y C son bases de R3 y P1 (R) respectivamente
3) Determine la matriz de representacioacuten de T relativa a las bases B y C
Y 6412 Sean T R3rarrrarrrarr P1 (R) una transformacioacuten lineal tal que T (ab c) = (b + c) + (a + b) xB1 = (101) (110) (100) una base de R3 B2 = 1minus x x una base de P1 (R) y w un vector
de R3 tal que [w]B1=
minus123
1) Obtenga la matriz para T asociada a las bases B1 y B2 es decir [T ]B2
B1
2) Calcule [T (w)]B2sin utilizar la matriz [T ]B2
B1
3) Calcule [T (w)]B2utilizando la matriz [T ]B2
B1
Y 6413 Sea B =
ex sen x ex cos x
un conjunto linealmente independiente y V = Gen (B) Si
T V rarrrarrrarr V es una transformacioacuten lineal tal que T ( f (x)) = f prime (x) forall f isin V determine
1) T (ex sen x) y T (ex cos x)
2) [T ]B3) T minus1 (αex sen x + βex cos x) forallα β isinR
Y 6414 Si se sabe que M =
minus2 minus1 minus20 2 minus11 0 1
es la matriz asociada de T R3rarrrarrrarr P2 (R) relati-
va a las bases canoacutenicas del dominio y del codominio de T respectivamente y que T es tantoinyectiva como sobreyectiva determine la foacutermula expliacutecita para T minus1 P2 (R)rarrrarrrarrR3
Y 6415 Si se sabe que B =
1 + 2x xminus x21 + 3x2 es una base de P2 (R) C1 es la base estaacutendar(canoacutenica) de P2 (R) C2 es la base estaacutendar (canoacutenica) de R2 y T P2 (R)rarrrarrrarrR2 es una transforma-cioacuten lineal tal que T (1 + 2x) = (2minus4) T
(xminus x2) = (minus12) y T
(1 + 3x2) = (1minus2) determine
[T ]C2C1
65 VECTORES Y VALORES PROPIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 49
Y 6416 Sea T V rarrrarrrarrW una transformacioacuten lineal tal que Nucl(T ) =
0
Demuestre que siv1v2 vn
es un conjunto linealmente independiente en V entonces
T (v1)T (v2) T (vn)
es un conjunto linealmente independiente enW
Y 6417 Sean B = v1v2 y D = w1w2 bases de R2 tales que w1 = v1minus v2 y w2 = 3v1 Si se
sabe que [T]DB =
[1 02 minus1
] para alguna transformacioacuten lineal T R2rarrrarrrarrR2
1) Calcule [T (2v1 minus v2)]D
2) Encuentre [T]B
3) Calcule [I]DB donde I R2rarrrarrrarrR2 es la transformacioacuten identidad
65 Vectores y valores propiosPreliminares El nuacutemero real λ es valor propio de Antimesn si existe v isin Rn con v 6= 0 tal que Av = λv
Si λ es valor propio de A entonces Avminus λv = 0 tiene infinitas soluciones v (incluida la solucioacuten v = 0)y la matriz asociada Aminus λI tiene determinante nulo Los valores propios reales de A son las raiacuteces realesdel polinomio caracteriacutestico p(x) = |Aminus xI| (si A es simeacutetrica todos los valores propios son reales)
Si λi es valor propio de A el espacio solucioacuten del sistema Av = λiv es el espacio (vectorial) propio Eλi
asociado a λi
Si λ1 λ2 λk son los valores propios (distintos) de A y si B = v1 vk es un conjunto de vectorespropios asociados donde vi esta asociado a λi entonces B es li
a) An tiene a lo sumo n valores propios
b) Si A es triangular los miembros de la diagonal son los valores propios de A
c) Cminus1 AC y A tienen los mismos valores propios
Diagonalizacioacuten An es diagonalizable si existe Cn invertible y una matriz D diagonal tal que
Cminus1AC = D
a) An es diagonalizable si y soacutelo si An tiene n vectores propios li
b) Si An es diagonalizable entonces D =
λ1 0 middot middot middot 0
0 λ2
0 λn
y las columnas de C son los respectivos
vectores propios de la diagonal (las bases de cada espacio propio) Si un espacio propio tiene bases
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 50
con maacutes de un elemento el vector propio asociado se repite en la diagonal de D
Ademaacutesn
sumi=1
dim Eλi = n
c) Observe que como caso particular An es diagonalizable si tiene n valores propiso distintos
66 EjerciciosVectores y valores propios
Y 661 Considere la matriz A definida como A =
[2 minus4minus4 2
]Determine
1) Todos los valores propios λ de A
2) Un vector propio asociado con cada valor propio λ
Y 662 Considere la matriz A dada por A =
0 0 minus21 2 11 0 3
a) Compruebe que λ = 1 y λ = 2 son los uacutenicos valores propios de A
b) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 2
Y 663 Considere la matriz C definida por C =
[4 0minus4 2
]1) Determine los valores propios de A
2) Determine una base para cada espacios propio Eλ
Y 664 Considere la matriz A definida como A =
1 minus14
c 0
iquestQueacute valor o valores debe tomar c
para que A tenga dos valores propios reales diferentes
Y 665 Considere la matriz A dada por
A =
1 1 minus11 2 1minus1 1 3
Determine los valores propios de A y el espacio propio asociado al valor propio
Y 666 Considere la matriz A dada por A =
5 4 24 5 22 2 2
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 51
1) Compruebe que λ = 1 y λ = 10 son los uacutenicos valores propios de A
2) Determine una base del espacio propio asociado al valor propio λ = 1
Y 667 Sea A =
2 0 06 minus4 63 minus3 5
1) Determine todos los valores propios de A
2) Halle una base para E2
Y 668 Sea Amtimesn isinMmtimesn(R)
a) Verifique que las matrices AAT y AT A son simeacutetricas y que tienen los mismos valores pro-pios no nulos
b) (lowast) Verifique que los valores propios de las las matrices AAT y AT A son nuacutemeros ge 0(es decir no son negativos) Sugerencia Recuerde que ||Antimes1||2 = AT A y que este es unnuacutemero no negativo Verifique que ||Av||2 = λ||v||2 y luego concluya
Diagonalizacioacuten
Y 669 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables Si es asiacute determine C y D
a) A =
[1 24 3
]
b) A =
4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
c) A =
1 1 11 1 11 1 1
d) A =
1 1 01 1 00 1 2
La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
Y 6610 Para las siguinetes transformaciones lineales obtenga la representacioacuten matricial en labase B indicada
a) T1 R2rarrrarrrarrR2 T1(xy) = (x + 2y 4x + 3y) Si B = (1minus1) (12) calcule [T1]BB
66 EJERCICIOS (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 52
b) T2 R3rarrrarrrarrR3 T2(xyz) = (4xminus 3yminus 3z 3xminus 2yminus 3zminusx + y + 2z)Si B = (101) (110) (minus3minus31) calcule [T2]
BB
c) T3 R3rarrrarrrarrR3 T3(xyz) = (x + y + z x + y + z x + y + z)Si B = (minus110) (minus101) (111) calcule [T3]
BB
Y 6611 Determine una matriz A3times3 no trivial (es decir no triangular) tal que
a) A solo tiene un uacutenico valor propio λ = 5
b) A solo tiene dos valores propios λ = 5 y λ = minus5
c) A solo tiene dos valores propios λ = 5 λ = minus5 y λ = 0
Y 6612 Determine una matriz A3times3 con tres valores propios tales que
El valore propio λ = 1 este asociado a u =[1 0 minus 1
]T
El valore propio λ = minus2 este asociado a u =[1 1 1
]T
El valore propio λ = 2 este asociado a u =[minus 1 2 1
]T
7
Cap
iacutetulo
Exaacutemenes y sus solucionesmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
71 I parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
I Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sean A BC X isinMntimesn(R) tales que A y(2I minus AT) son invertibles y 2 (X A)T = B + AT AXT
a) [3 puntos] Utilice uacutenicamente propiedades de las operaciones entre matrices para despejar lamatriz X
Solucioacuten
2 (X A)T = B + AT AXT
2X A = BT + X AT A
X(
2Aminus AT A)
= BT
X(
2I minus AT)
A = BT
X = BT Aminus1(
2I minus AT)minus1
b) [3 puntos] Determine expliacutecitamente la matriz X para el caso particular en que
A =
[2 31 2
]B =
[1 00 1
]
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 54
Solucioacuten
Aminus1 =
[2 minus3minus1 2
]y(
2I minus AT)minus1
=
[0 minus13minus1 0
]=rArr X = BT Aminus1
(2I minus AT
)minus1=
[3 minus23minus2 13
]
2) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que(A2 + BT
)T= B +
(AT)2
Solucioacuten
foralli = 12 nforallj = 12 n se tiene que
〈(
A2 + BT)T〉ij = 〈A2 + BT〉ji= 〈A2〉ji + 〈BT〉ji= 〈BT〉ji + 〈A2〉ji= 〈BT〉ji + 〈AA〉ji
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉jk〈A〉ki
= 〈BT〉ji +n
sumk=1〈A〉ki〈A〉jk
= 〈B〉ij +n
sumk=1〈AT〉ik〈AT〉kj
= 〈B〉ij + 〈AT AT〉ij= 〈B〉ij + 〈
(AT)2〉ij
= 〈B +(
AT)2〉ij
3) [4 puntos] Sean C D isinM3times3(R) tales que |CD| = 4 y |2D| = 64 Calcule∣∣∣D C2 DT (4C)minus1
∣∣∣Solucioacuten
Como |2D| = 64 =rArr 23 |D| = 64 =rArr |D| = 648 = 8
Ademaacutes |CD| = 4 =rArr |C| |D| = 4 =rArr |C| = 48 = 12
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 55
∣∣∣D C2 DT (4C)minus1∣∣∣ = |D|
∣∣C2∣∣ ∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2
∣∣∣DT∣∣∣ ∣∣∣(4C)minus1
∣∣∣= |D| |C|2 |D|
∣∣∣(4C)minus1∣∣∣
= |D| |C|2 |D| 1|4C|
= |D|2 |C|2 1|4C| =
12
4) Considere el sistema de ecuaciones lineales de variables x y y dado poraxminus 3y = 1
2ax + ay = b
Determine el valor o los valores de las constantes reales a y b de manera que para cada caso elsistema anterior
a) [2 puntos] Tenga solucioacuten uacutenica y enuncie la solucioacutenb) [3 puntos] No tenga solucioacutenc) [3 puntos] Tenga infinito nuacutemero de soluciones y enuncie el conjunto solucioacuten
Solucioacuten
La matriz asociada es A =
[a minus3
2a a
] entonces |A| = a(a + 6)
a) Si Det(A) 6= 0 =rArr a 6= 0 andandand a 6= minus6 En este caso el sistema tiene solucioacuten uacutenica
[a minus3 1
2a a b
]minus2F1+F2minusminusminusminusrarr
[a minus3 10 a + 6 bminus 2
]=rArr
axminus 3y = 1
(a + 6)y = bminus 2=rArr
x = a+3b
a(a+6)
y = bminus2a+6
b) Si Det(A) = 0 =rArr a = 0 ororor a = minus6 En este caso la solucioacuten depende del valor de b
Si a = 0 =rArrminus3y = 1
0 = b=rArr
Si b = 0 =rArr S =
(xminus 1
3
) x isin R
Si b 6= 0 =rArr No hay solucioacuten
Si a = minus6 =rArrminus6xminus 3y = 1minus12xminus 6y = b
minus2F1+F2minusminusminusminusrarrminus6xminus 3y = 1
0 = bminus 2
there4
Si b = 2 =rArr S =
(xminus 1
3 minus 2x)
x isin R
Si b 6= 2 =rArr No hay solucioacuten
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 56
5) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
xminus y + w = 0minusx + 2y + z = 03yminus 2z + w = 22xminus z + 4w = 0
a) [3 puntos] Verifique que el sistema tiene solucioacuten uacutenica usando el determinante de su matrizasociada
Solucioacuten
El determinante de la matriz asociada es distinto de cero el sistema de ecuaciones poseesolucioacuten uacutenica
1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
minus2F1+F4minusminusminusminusrarrF1+F2
1 minus1 0 10 1 1 10 3 minus2 10 2 minus1 2
=rArr |A| = 1 middot
∣∣∣∣∣∣1 1 13 minus2 12 minus1 2
∣∣∣∣∣∣ = 1 middot minus6 =
minus6
b) [3 puntos] Utilice la regla de Cramer para determinarel valor de y
Solucioacuten
y =
∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0 1minus1 0 1 0
0 2 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 minus1 0 1minus1 2 1 0
0 3 minus2 12 0 minus1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2 middot minus1 middot
∣∣∣∣∣∣1 0 1minus1 1 0
2 minus1 4
∣∣∣∣∣∣minus6
=minus2 middot 3minus6
= 1
6) Sea G =
[a b
2b a
]tal que ab isinQ
Consideremos (G+ middot) con las operaciones usuales de suma y
producto en Mntimesn(R) Si se sabe que (G+) es grupo abeliano
a) [4 puntos] muestre que (G+ middot) es anillo conmutativo
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 57
Solucioacuten
Note que G 6= empty ya que la matriz nula estaacute en G Ademaacutes la multiplicacioacuten es una
operacioacuten interna en G ya que forall[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + ba1
2ba1 + 2ab1 2bb1 + aa1
]=
[aa1 + 2bb1 ab1 + a1b
2 (ab1 + a1b) aa1 + 2bb1
]isin G
Dado que (G+) es grupo abeliano para que (G+ middot) sea anillo conmutativo solo hacefalta probar que la multiplicacioacuten sea conmutatica asociativa y distributiva con respectoa la suma Estas uacuteltimas dos propiedades son inmediatas (se heredan de las propiedadesen matrices con estas operaciones)
bull Conmutatividad de la multiplicacioacuten sean[
a b2b a
][
a1 b1
2b1 a1
]isin G
[a b
2b a
]middot[
a1 b1
2b1 a1
]=
[aa1 + b2b1 ab1 + ba1
2ba1 + a2b1 2bb1 + aa1
]=
[a1a + b12b a1b + b1a
2b1a + a12b 2b1b + a1a
]=
[a1 b1
2b1 a1
]middot[
a b2b a
]
Y asiacute queda demostrado que (G+ middot) es anillo conmutativo
b) [4 puntos] muestre que (H+ middot) es campo donde
H =
[a 00 a
]tal que a isinQ
Solucioacuten
Note que H posee maacutes de un elemento pues las matrices nula e identidad estaacuten en HAdemaacutes H es subconjunto de G y ya hemos demostrado que G es anillo conmutativo
bull Ambas operaciones son operaciones internas en H[a 00 a
]+
[b 00 b
]=
[a + b 0
0 a + b
]isin H y
[a 00 a
][b 00 b
]=
[ab 00 ab
]isin H
bull (H+) es grupo abeliano pues + es asociativa y conmutativa en H (se hereda de G)Ademaacutes
71 I PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 58
0 =
[0 00 0
]isin H Y si
[a 00 a
]isin H =rArr
[a 00 a
]prime=
[minusa 00 minusa
]isin H
bull (H minus 0 middot) es grupo abeliano pues middot es asociativa y conmutativa en H (se hereda deG)
I =[
1 00 1
]isin H minus 0 Si
[a 00 a
]isin H minus 0 =rArr
[a 00 a
]prime=
[ 1a 00 1
a
]isin H minus 0
bull La multimplicacioacuten es distributiva con respecto a la adicioacuten se hereda de las propiedadesde matricesCon todo lo anterior se demostroacute que (H+ middot) es campo
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 59
72 II parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 40 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 35 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
II Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
a) [4 puntos] Verifique que W es un subespacio vectorial de M3times2
Solucioacuten
Primero W 6=empty pues
0 00 00 0
isinW
Hay que probar que αu + v isin W para todo uv isin W y α isin R Si se toman
u =
a ba + b 0
0 c
isin W y v =
d ed + e 0
0 f
isin W para demostrar que W es un subes-
pacio vectorial de M3times2
αu + v = α
a ba + b 0
0 c
+
d ed + e 0
0 f
=
αa + d αb + eαa + αb + d + e 0
0 αc + f
=
αa + d αb + e(αa + d) + (αb + e) 0
0 αc + f
isin Wpues esta matriz tiene efectivamente la forma de los elementos de W
b) [3 puntos] Determine un conjunto generador para W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 60
Solucioacuten
Basta con reescribir los elementos de W como una combinacioacuten lineal de tres matrices
W =
a b
a + b 00 c
tal que ab c isin R
=
a 0
a 00 0
+
0 bb 00 0
+
0 00 00 c
tal que ab c isin R
=
a
1 01 00 0
+ b
0 11 00 0
+ c
0 00 00 1
tal que ab c isin R
Entonces W = Gen
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
c) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
Como el conjunto B =
1 0
1 00 0
0 11 00 0
0 00 00 1
genera W entonces solo falta
probar B que es linealmente independiente para demostrar que este conjunto es base deW
Resolvemos el sistema a1
1 01 00 0
+ a2
0 11 00 0
+ a3
0 00 00 1
=
0 00 00 0
a1 a2
a1 + a2 00 a3
=
0 00 00 0
=rArr
a1 = 0a2 = 0a3 = 0
Como la solucioacuten a1 = a2 = a3 = 0 es uacutenica B es base de W
2) A continuacioacuten se dan tres conjuntos ninguno de ellos es subespacio vectorial del espacio vectorialV quese indica Explique por queacute
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 61
a) [2 puntos] W =
[a bab a
]tal que ab isin R
W 6le M2times2
Solucioacuten
Si[
a bab a
]isin W y α isin R para asegurar que W es un subespacio vectorial de M2times2 se
debe cumplir α
[a bab a
]isinW pero si α 6isin 0plusmn1 y ab 6= 0 entonces
α
[a bab a
]6isin W pues
[αa αbαab αa
]6=[
αa αbαa middot αb αa
]
b) [2 puntos] W es el conjunto solucioacuten del sistema
x + yminus 3z = 0xminus 2y + z = 1
W 6le R3
Solucioacuten
Es claro que (xyz) = (000) isin R3 no es solucioacuten del sistema de ecuaciones propuestopues por la segunda ecuacioacuten se llega al absurdo 0 = 1 por tanto (000) 6isin W
c) [2 puntos] W =
a + bx + cx2 isin P2(R) tal que c ge 0
W 6le P2(R)
Solucioacuten
Tomando cualquier a + bx + cx2 isin W y cualquier α isin R para asegurar que W es unsubespacio vectorial de P2(R) se debe cumplir α
(a + bx + cx2) isinW No obstante si α lt
0 y si c gt 0 tenemos
α(a + bx + cx2) = αa + αbx + αcx2 6isin W pues αc lt 0
3) Considere el conjunto A =
2
70
0minus3minus6
y el vector u =
6λ
712β
con λ β isin R
a) [2 puntos] Verifique que w =
minus3minus12minus3
isin Gen(A)
Solucioacuten
Se debe verificar que w se puede escribir como combinacioacuten lineal de los elementos de A
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 62
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
minus3minus12minus3
=rArr
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
minus3minus12minus3
=rArr
2α = minus3
7a1 minus 3a2 = minus12minus6a2 = minus3
=rArr
a1 = minus3
2
a2 =12
b) [3 puntos] Si se sabe que u isin Gen(A) determine el valor de la expresioacuten 7λ + 2β
Solucioacuten
Como u isin Gen(A) existen a1 a2 isinR tales que
a1
270
+ a2
0minus3minus6
=
6λ
712β
es decir
2a1
7a1 minus 3a2
minus6a2
=
6λ
712β
Entonces
2a1 = 6λ
7a1 minus 3a2 = 7minus6a2 = 12β
=rArr
a1 = 3λ
7a1 minus 3a2 = 7a2 = minus2β
=rArr
7 middot 3λminus 3 middot minus2β = 7 there4
7λ + 2β =73
4) [5 puntos] Consideremos el subespacioW =Gen(3minus161) (minus210minus60) (minus15minus30) (1901)Determine la dimensioacuten de W
Solucioacuten
Necesitamos una base para W
Primera manera Si se toman
u = (3minus161)v = (minus210minus60)
w = (minus15minus30)x = (1901)
se puede notar que v = 2w y que x = u + v por tanto uvwx es ld ReescribiendoWobtenemos
W = Genuvwx = a1u + a2v + a3w + a4x tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
a1u + a2v +a3
2v + a4(u + v) tal que a1 a2 a3 a4 isinR
=
(a1 + a4)u + (a2 +
a3
2+ a4)v tal que a1 a2 a3 a4 isinR
there4 W = Genuv
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 63
Ademaacutes uv es li pues α1u + α2v = (0000) =rArr
3α1 minus 2α2 = 0minusα1 + 10α2 = 0
6α1 minus 6α2 = 0α1 = 0
=rArr
α2 = 0α1 = 0
there4 uv es una base de W y dimW = 2
Segunda manera Las relaciones v = 2w y x = u + v se pueden obtener reduciendo el espacio
de columnas Como W es el espacio generado por las columnas de A =
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
y como las operaciones elementales de fila no modifican las relaciones de dependencia entrelos vectores columna obteniendo la forma escalonada reducida logramos informacioacuten de losvectores que conforman una base de W
3 minus2 minus1 1minus1 10 5 9
6 minus6 minus3 01 0 0 1
rarrrarrrarr rarrrarrrarr
v1 v2 v3 v4
1 0 0 10 1 1
2 10 0 0 00 0 0 0
Esto nos dice dimW = 2 y que una base de W es uv pues de la matriz reducida se ve quev3 =
12 v2 y que v4 = v1 + v2
5) ConsidereW =
a + bx + cx2 isin P2 (R)
a + 2bminus c = 0
a) (3 puntos) Verifique que W es subespacio vectorial de P2(R)
Solucioacuten
Una opcioacuten es reescribir W =
a + bx + (a + 2b)x2 isin P2(R)
1 + 2 middot x + 5 middot x2 isin W por tanto W 6= empty
Sean uv isin W con u = a+ b x + (a+ 2b) x2 y v = p+ q x + (p+ 2q) x2 Debemos verificarque u + αv isin W para todo α isin R
u + αv = a + b x + (a + 2b) x2 + p + q x + (p + 2q) x2
= a + p + (b + q) x + [a + p + 2(b + q)] x2 isin W
72 II PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 64
b) (4 puntos) Determine una base B para W
Solucioacuten
W =
a + bx + (a + 2b) x2 isin P2 (R)
=
a(1 + x2)+ b
(x + 2x2) tal que ab isinR
there4 W = Gen
1 + x2 x + 2x2
Falta demostrar que
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente
a1(1 + x2)+ a2
(x + 2x2) = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr a1 + a2x + (a1 + 2a2) x2 = 0 middot 1 + 0 middot x + 0 middot x2
=rArr
a1 = 0a2 = 0
a1 + 2a2 = 0=rArr
a1 = 0a2 = 0
Por lo tanto como
1 + x2 x + 2x2 es linealmente independiente y genera W entoncesesuna base deW
c) (2 puntos) Verifique que p(x) = 2minus 5x minus 8x2 isin W y ademaacutes calcule las coordenadas de p(x)en la base B es decir calcule [p(x)]B
Solucioacuten
Primero note que p(x) = 2minus 5xminus 8x2 isin W pues 2 + 2 middot (minus5)minus (minus8) = 0
Por otro lado como B =
1 + x2 x + 2x2 es base deW basta encontrar α β isinR tales que
α(1 + x2)+ β
(x + 2x2) = 2minus 5xminus 8x2
α + βx + (α + 2β) x2 = 2minus 5xminus 8x2 =rArr
α = 2β = minus5
α + 2β = minus8=rArr
α = 2β = minus5
Por lo tanto [p(x)]B = (2minus5)
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 65
73 III parcial I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 2 HORAS 10 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 36 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
III Examen Parcial
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) Sea T M2 (R)rarrrarrrarrP2 (R) tal que T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b) x
a) [3 puntos] Verifique que T es transformacioacuten lineal
b) [4 puntos] Determine una base para el nuacutecleo de T iquestEs T inyectiva
c) [2 puntos] Determine la dimensioacuten de Img T
Solucioacuten
a) Hqm T (v + αw) = T (v) + αT (w)
T([
a bc d
]+ α
[aprime bprime
cprime dprime
])= T
([a + αaprime b + αbprime
c + αcprime d + αdprime
])= 2(a + αaprime)x2 + (c + αcprime minus bminus αbprime)x
= 2ax2 + αaprimex2 + (cminus b)x + α(cprime minus bprime)x
= 2ax2 + (cminus b)x + 2αaprimex2 + α(cprime minus bprime)x
= T([
a bc d
])+ αT
([aprime bprime
cprime dprime
])
b) T([
a bc d
])= 2ax2 + (cminus b)x = 0 middot x2 + 0 middot x =rArr a = 0 andandand b = c
NclT =
[0 cc d
]isin M2(R)
=
c middot[
0 11 0
]+ d middot
[0 00 1
]con cd isin R
= Gen[
0 11 0
][
0 00 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 66
El conjunto[
0 11 0
][
0 00 1
]es li pues a1
[0 11 0
]+ a2
[0 00 1
]=
[0 00 0
]=rArr a1 = a2 = 0
(uacutenica)
there4[
0 11 0
][
0 00 1
]es base del nuacutecleo de T y ademaacutes T no es inyectiva
c) Como dim Nuacutecl T +dim Img T = 4 entonces dim Img T = 2
Esto tambieacuten se puede establecer observando que
x2 x
es base de la imagen
2) Las siguientes transformaciones no son lineales indique por queacute
a) [2 puntos] T R3rarrrarrrarrR3 T (xyz) = (x x + y + z + 1 xminus z)
b) [2 puntos] T P2(R)rarrrarrrarrM2(R) T (a + bx + cx2) =
[a bc2 c
]
Solucioacuten
a) T (000) = (010) 6= (000)
b) En general αT (a + bx + cx2) =
[αa αbαc2 αc
]6=[
αa αbα2c2 αc
]= T (αa + αbx + αcx2)
3) Sea T R4rarrrarrrarr R2 una transformacioacuten lineal Si B1 = (1000) (0100) (1110) (00minus11) esuna base de R4 y si se sabe que T (1000) = (10) T (0100) = (02)T (1110) = (00) y T (00minus11) =(minus11) y si C es la base canoacutenica de R2
a) [2 puntos] Determine la matriz [T ]CB1
b) [2 puntos] Verifique que [(xyzw)]B1 = (xminus zminus w yminus zminus w w + z w)
c) [3 puntos] Usando la matriz [T ]CB1 determine T (xyzw) = [T (xyzw)]C
d) [4 puntos] Si B2 = (10) (1minus1) es una base de R2 determine la matriz [T ]B2B1
Solucioacuten
a)
[T ]CB1=
[ [T (1000)
]C
[T (0100)
]C
[T (1110)
]C
[T (00minus11)
]C
]=
[1 0 0 minus10 2 0 1
]
73 III PARCIAL I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 67
b) Se verifica directamente que
(xyzw) = (xminus zminus w) middot (1000) + (yminus zminus w) middot (0100) + (w + z) middot (1110)
+w middot (00minus11)
c) [T (xyzw)]C =[T]C
B1[(xyzw)]B1 =
[1 0 0 minus10 2 0 1
]xminus zminus wyminus zminus w
w + zw
=
[xminus zminus 2w
2yminus 2zminus w
]
d) [T ]B2B1=[ [T (1000)
]B2
[T (0100)
]B2
[T (1110)
]B2
[T (00minus11)
]B2
][T (1000)
]B2
=
[10
]pues T (1000) = (10) = 1middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (0100)
]B2
=
[2minus2
]pues T (0100) = (02) = 2middot(10)minus2middot(1minus1)
[T (1110)
]B2
=
[00
]pues T (1110) = (00) = 0middot(10) + 0middot(1minus1)
[T (00minus11)
]B2
=
[0minus1
]pues T (00minus11) = (minus11) = 0middot(10)minus1middot(1minus1)
there4 [T ]B2B1=
[1 2 0 00 minus2 0 minus1
]
4) Considere la matriz A =
0 1 00 0 127 minus27 9
a) [3 puntos] Calcule el polinomio caracteriacutestico de A
b) [1 puntos] Verifique que λ = 3 es el uacutenico valor caracteriacutestico de A
c) [3 puntos] Determine una base para el espacio propio asociado a λ = 3
Solucioacuten
a) p(λ) =
∣∣∣∣∣∣0minus λ 1 0
0 minusλ 127 minus27 9minus λ
∣∣∣∣∣∣ = minusλ3 + 9λ2 minus 27λ + 27
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 68
b) Aplicando divisioacuten sinteacutetica obtenemos p(λ) = (λminus 3)(minusλ2 + 6λminus 9) = minus(λminus 3)3 esdecir λ = 3 es el uacutenico valor propio de A
c) Aminus 3I =
minus3 1 00 minus3 1
27 minus27 6
9F1+F3minusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 minus18 6
minus6F2+F3minusminusminusminusrarr
minus3 1 00 minus3 10 0 0
minus3x +y = 0
minus3y +z = 0=rArr z = 3y andandand x =
y3
E3 =
y(
13
13)
tal que y isin R
=rArr E3 = Gen
(13
13)
y por tanto una base
para E3
es(
13
13)
por ser este conjunto li
74 Reposicioacuten I semestre 2018INSTITUTO TECNOLOacuteGICO DE COSTA RICA TIEMPO 3 HORAS 45 MINUTOS
ESCUELA DE MATEMAacuteTICA PUNTAJE 41 PUNTOS
AacuteLGEBRA LINEAL PARA COMPUTACIOacuteN I SEMESTRE DEL 2018
Examen de reposicioacuten Solucioacuten breve
Instrucciones Esta es una prueba de desarrollo por lo tanto deben aparecer todos los pasos que le per-mitieron obtener cada una de las respuestas Trabaje en forma clara y ordenada utilizando uacutenicamenteboliacutegrafo azul o negro para resolver la prueba en un cuaderno de examen o en hojas debidamente grapa-das No son procedentes reclamos sobre preguntas resueltas con laacutepiz ni lapicero de tinta borrable o quepresenten alguacuten tipo de alteracioacuten Solo se permite el uso de calculadora cientiacutefica no programable
1) [4 puntos] Si A B isinMntimesn(R) demuestre entrada por entrada que (Aminus B)T A = AT Aminus BT A
Solucioacuten
Hqm 〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 69
〈〈〈(Aminus B)T A〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈(Aminus B)T〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈Aminus B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj minus 〈〈〈B〉〉〉ki 〈〈〈A〉〉〉kj
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj minus
n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik 〈〈〈A〉〉〉kj = 〈〈〈AT Aminus BT A〉〉〉ij
2) Considere las matrices A2times3 B3times2 C2times2 y X2times2 Se sabe que ABminus C y C son invertibles
a) [3 puntos] Usando uacutenicamente aacutelgebra de matrices verifique que si X ABCminus1 minus Cminus1 = X en-tonces la matriz X que satisface la relacioacuten es X = (ABminus C)minus1
Solucioacuten
X ABCminus1 minus Cminus1 = X =rArr X ABminus I = XC
=rArr X ABminus XC = I
=rArr X(ABminus C) = I
=rArr X = (ABminus C)minus1
b) [3 puntos] Sabiendo que A =
[2 minus1 00 minus1 0
] B =
1 0minus2 1minus1 2
y C =
[3 minus2minus3 minus7
] determine
la matriz X
Solucioacuten
Como ABminus C y C son invertibles podemos aplicar el despeje de X
ABminus C =
[4 minus12 minus1
]minus[
3 minus2minus3 minus7
]=
[1 15 6
]Caacutelculo de X = (ABminus C)minus1 [
1 1 1 05 6 0 1
]minus5F1+F2minusminusminusminusrarr
[1 1 1 00 1 minus5 1
]minusF2+F1minusminusminusminusrarr
[1 0 6 minus10 1 minus5 1
]there4 X =
[6 minus1minus5 1
]
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 70
3) [2 puntos] G =
[a bb a
]con ab isin Q
Consideremos el par (G+ middot) con la suma y la multiplicacioacuten
usual de matrices Asumiendo que (G+ middot) es un anillo conmutativo verifique que (G+ middot) no esun campo
Solucioacuten
La operacioacuten ldquordquo es cerrada pero ldquofallardquo en los inversos Como I2 isin G las inversas se calculande la manera usual Y la inversa de A existe solo si Det(A) 6= 0
Si A =
[a bb a
]isin Gminus 0G =rArr Det(A) = a2 minus b2 que se anula si a = b
4) [4 puntos] Considere el sistema de ecuaciones lineales
xminus 2y + 3z = 0minusxminus y + 6z = 0x + 2y + az = 0
Determine el o los valores de a para los que el sistema tiene infinitas soluciones y obtenga el conjuntosolucioacuten del sistema
Solucioacuten
La matriz asociada al sistema es A =
1 minus2 3minus1 minus1 61 2 a
y Det(A) = minus27minus 3a Por lo tanto
la uacutenica posibilidad de que haya infinitas soluciones ocurre si a = minus9 Ahora aplicamoseliminacioacuten con a = minus9 para determinar si el sistema tiene solucioacuten y si hay obtener elconjunto solucioacuten 1 minus2 3 0minus1 minus1 6 0
1 2 a 0
F1minusF3minusminusminusrarrF1+F2
1 minus2 3 00 minus3 9 00 minus4 12 0
4F2minus3F3minusminusminusminusrarr
1 minus2 3 00 minus3 9 00 0 0 0
Tenemos
xminus 2y + 3z = 0
minus3y + 9z = 0=rArr
x = y
z =y3
5) SeaW =
[a bc d
]isin M2times2 tal que aminus b = 0 andandand aminus c = 0
a) [3 puntos] Verifique queW es subespacio vectorial de M2times2
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
6= empty
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 71
[a aa d
]+ α
[p pp q
]=
[a + αp a + αpa + αp d + αq
]isin W
b) [3 puntos] Determine una base para W
Solucioacuten
W =
[a aa d
]tal que ad isin R
=
a[
1 11 0
]+ d
[0 00 1
]tal que ad isin R
Entonces W estaacute generado por el conuunto[
1 11 0
][
0 00 1
]y como este conjunto
es li entonces es una base de W
6) Consideremos el conjunto B =(2minus30) (4 a0) (a21 a)
a) [3 puntos] Determine el o los valores de a de tal manera que el conjunto B sea ld (linealmentedependiente)
Solucioacuten
El sistema a1 middot (2minus30) + a2 middot (4 a0) + a3 middot (a21 a) = (000) tiene matriz asociada A = 2 4 a2
minus3 a 10 0 a
y como Det(A) = 2a2 + 12a entoces el conjunto es ld si a = 0 o a = minus6
b) [3 puntos] Verifique que si a = minus6 entonces (344minus6) isin Gen (B)
Solucioacuten
Si a = minus6 entonces (344minus6) = minus1 middot (2minus30) + 0 middot (4 a0) + 1 middot (a21 a)
7) Consideremos los conjuntos B1 = (101) (111) (00minus1) y B2 = (minus100) (020) (021) Es-tos conjuntos son bases de R3 Sea T R3rarrrarrrarrR3 una transformacioacuten lineal tal que
T (101) = (000) T (111) = (minus5205) y T (00minus1) = (minus141)
a) [4 puntos] Determine[T]B2
B1
74 REPOSICIOacuteN I SEMESTRE 2018 (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 72
Solucioacuten
T (101) = (000) = 0 middot (minus100) + 0 middot (020) + 0 middot (021)
T (111) = (minus5205) = 5 middot (minus100) + 5 middot (020) + 5 middot (021)
T (00minus1) = (minus141) = 1 middot (minus100) + 1 middot (020) + 1 middot (021)=rArr
[T]B2
B1=
0 5 10 5 10 5 1
b) [2 puntos] Determine a2 si se sabe que[(xyz)
]B1=
xminus ya2
xminus z
Solucioacuten
[(xyz)
]B1=
xminus yy
xminus z
c) [3 puntos] Determine[T (123)
]B2
usando la matriz[T]B2
B1
Solucioacuten
[T (123)
]B2=[T]B2
B1
[(123)
]B1=
0 5 10 5 10 5 1
minus12minus2
=
888
8) [4 puntos] Considere la matriz A =
minus5 6 0minus3 4 00 0 1
Sabiendo que λ = 1 es un valor propio de A
determine una base para del espacio propio asociado a a este valor propio
Solucioacuten
Una base para E1 es (001) (110)
Bibliografiacuteamdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
[1] Anton H Elementary Linear Algebra Wiley 2010
[2] Arce C Gonzaacutelez J Castillo W ldquoAacutelgebra Linealrdquo Editorial Universidad de Costa Rica 2009
[3] Bronson R Linear Algebra An Introduction Academic Press 1995
[4] Fonseca C Ejercicios de Aacutelgebra Lineal Folleto Univesidad de Costa Rica 2012
[5] K Geddes S Czapor G Labahn Algorithms for Computer Algebra Springer 1992
[6] Grossman S ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ed Iberoameacutericana
[7] Gutieacuterrez M Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Determinantes Folleto de praacutecticas FolletoITCR
[8] Hoffman K y Kunze R ldquoAacutelgebra Linealrdquo Ediciones Zacatenco 1965
[9] Larson R Elementary Linear Algebra Wadsworth Publishing Co Inc 2012
[10] Paacuteez C (2013) Matrices y sistemas lineales Costa Rica httpstecdigitaltecaccrrevistamatematicaLibros
[11] mdashmdashmdash- (2015) Estructuras algebraicas Libreriacutea del TEC
[12] mdashmdashmdash- (2015) Espacios vectoriales Libreriacutea del TEC
[13] mdashmdashmdash- (2015) Transformaciones lineales Libreriacutea del TEC
[14] Rodriacuteguez Kendall Ejercicios Resueltos de Aacutelgebra Lineal para Computacioacuten Foolleto ITCR 2013
8
Cap
iacutetulo
Solucioacuten de los ejerciciosmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdashmdash-
Soluciones del Capiacutetulo 113 Operaciones baacutesicas
131 iumlY A13 =
693
132 iumlY XXT =
1 0 30 0 03 0 9
XT X = 10
133 iumlY
x + 2y + 3z2x + 3y + 4z
4zminus x
134 iumlY
minus4 8 minus18 4 minus2minus1 minus2 minus8
135 iumlY Hay infinitas opciones por ejemplo B =
[a aa a
] C =
[1 23 4
]y D =
[x yy x
]con x 6= y
136 iumlY X A XT = x2 + 4xy + 3y2
137 iumlY A =
[a b
2b2 a
]
138 iumlY A =
1 0 02 2 03 3 3
B =
1 2 30 2 30 0 3
y AB =
1 2 32 8 123 12 27
139 iumlY A =
1 minus1 1minus1 1 minus1
1 minus1 1
B =
0 minus1 minus23 0 minus14 5 0
y AB =
1 4 minus1minus1 minus4 11 4 minus1
1310 iumlY Cada entrada del producto requiere k multiplicaciones pues 〈〈〈AntimeskBktimesm〉〉〉ij =k
sumi=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
y como el producto AB tiene nm entradas entonces son nkm multiplicaciones
1311 iumlY En la primera opcioacuten se hacen 100 multilpicaciones y en la segunda 54
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 75
13 Demostraciones ldquoentrada por entradardquo
1312 iumlY
1) 〈〈〈(αA)T〉〉〉ij = 〈〈〈αA〉〉〉ji = α〈〈〈A〉〉〉ji = α〈〈〈AT〉〉〉ij
2) Usamos la definicioacuten 〈〈〈I〉〉〉ij =
1 si i = j0 si i 6= j
〈〈〈IA〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈I〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj = 0 + 0 + + 〈〈〈I〉〉〉ii〈〈〈A〉〉〉ij + 0 + 0 = 〈〈〈A〉〉〉ij
3)4) Usamos la definicioacuten del producto
〈〈〈(AT B)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT B〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT〉〉〉jk〈〈〈B〉〉〉ki
=n
sumk=1〈〈〈BT〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj
= 〈〈〈BT A〉〉〉ij
5) Usamos la definicioacuten del producto y el hecho de quen
sumk=1
[n
sumh=1
aij
]=
n
sumh=1
[n
sumk=1
aij
]〈〈〈(AT BC)T〉〉〉ij = 〈〈〈AT BC〉〉〉ji
=n
sumk=1〈〈〈AT B〉〉〉jk〈〈〈C〉〉〉ki
=n
sumk=1
[n
sumh=1〈〈〈AT〉〉〉jh〈〈〈B〉〉〉hk
]〈〈〈C〉〉〉ki ahora intercambiamos sumatorias y acomodamos
=n
sumh=1
[n
sumk=1〈〈〈CT〉〉〉ik〈〈〈BT〉〉〉kh
]〈〈〈AT〉〉〉jh
=n
sumh=1〈〈〈CT BT〉〉〉ih〈〈〈A〉〉〉hj
= 〈〈〈CT BT A〉〉〉ij
6) Inicio Como A es de orden ptimes q y (Bminus 2CT)T es de orden qtimes r entonces
〈〈〈A(Bminus 2CT)T〉〉〉ij =q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈(Bminus 2CT)T〉〉〉kj =
q
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈Bminus 2CT〉〉〉jk =
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 76
7) Inicio Como (2BT minus C)T es de orden qtimes r y A es de orden rtimes p entonces
〈〈〈(2BT minus C)T A〉〉〉ij =r
sumk=1〈〈〈(2BT minus C)T〉〉〉ik〈〈〈A〉〉〉kj =
1313 iumlY
1314 iumlY
1315 iumlY
1) Hqm 〈〈〈AB〉〉〉ij = 0 si i lt j
Supongamos que i lt j entonces analizamos los sumandos de 〈〈〈AB〉〉〉ij =n
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj
〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si k lt j es decir si k = 1 2 i le jminus 1
〈〈〈A〉〉〉ik = 0 si i lt k es decir si k = i + 1 i + 2 n
there4 〈〈〈AB〉〉〉ij =i
sumk=1〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj +
n
sumk=i+1
〈〈〈A〉〉〉ik〈〈〈B〉〉〉kj = 0 si i lt j
2)3) Desarrolle 〈〈〈AB〉〉〉ij y 〈〈〈BA〉〉〉ij usando la propiedad de B para establecer doacutende estaacute la diferenciaLuego puede construir un contra-ejemplo
El caacutelculo anterior probariacutea que A conmuta con B si A es diagonal
4)5)
1316 iumlY
13 Demostraciones usando propiedades de matrices
1317 iumlY
1)2) AT(2I + B)3)4)5)
1318 iumlY
1319 iumlY
1320 iumlY
1321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 77
1322 iumlY
1323 iumlY
1) Debe mostrar que (BT AB)T = BT AB
2) Use la definicioacuten
3) Use la definicioacuten
4) A se dice antisimeacutetrica si AT = minusA
a) ATntimesm = minusAmtimesn =rArr n = m y 〈〈〈A〉〉〉kk = minus〈〈〈A〉〉〉kk =rArr 〈〈〈A〉〉〉kk = 0
b) Debe mostrar que (A + AT)T = A + AT
c) Debe mostrar que Aminus AT = minus(
Aminus AT)T
5)
6)
1324 iumlY
1325 iumlY
14 Forma escalonada reducida
151 iumlY
1) A =
[1 00 1
]
2) B =
1 0 00 1 00 0 1
3) C =
1 0 minus5 20 1 10 00 0 0 0
4) D =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
16 Matriz inversa
171 iumlY
1) Aminus1 =
0 1 0minus1 minus1 11 minus1 0
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 78
2) Bminus1 =
1 1 10 1 10 0 1
3) Cminus1 =
1 minusx xzminus y0 1 minusz0 0 1
4) Dminus1 =
1 1 0 0 00 0 1 0 minus10 0 0 1 10 0 0 0 0
5) E no es invertible
6) Aminus1 =
1k
0 0 0
1k3 minus 1
k21k
0
minus 1k4
1k3 minus 1
k21k
172 iumlY
173 iumlY
a) X = 13 Cminus1(CD + I)
b)[minus1 0
53 minus 1
3
]
174 iumlY
175 iumlY Por asociatividad A(ABminus BA)= Aminus (AB)A = 0 =rArr AB = BA usando el iacutetem anterior
176 iumlY Debe verificar que (Iminus A)(I + A + A2) = I Proceda
177 iumlY
178 iumlY X = Aminus1(Iminus CT)Bminus1
179 iumlY X = [(Aminus B)minus1]T
1710 iumlY Observe que (Iminus AB)minus1 = (Bminus1Bminus AB)minus1 Con este puede resolver el iacutetem 1) y usandoeste uacuteltimo el iacutetem 2) El iacutetem 3) resulta de verificar que (Iminus AB)(Bminus1Bminus AB)minus1 = I
1711 iumlY Tenemos Xntimesm y Dmtimesm y X = BT [(Aminus D)T ]minus1
1712 iumlY X =
[minusxminus 2 1 minus9minus3 minus1 0
]
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 79
1713 iumlY Si ABT minus C2 es invertible entonces
X ABT minus XC2 = ABT
=rArr X(ABT minus C2) = ABT
=rArr X = ABT(ABT minus C2)minus1
Luego solo queda calcular con las matrices dadas
ABT =
minus2 3 30 minus1 minus31 0 3
(ABT minus C2)minus1 =
minus 13 minus 1
3 minus 16
0 minus 13 minus 1
20 0 1
2
X =
23 minus 1
313
0 13 minus1
minus 13 minus 1
343
1714 iumlY
1715 iumlY
1716 iumlY
1717 iumlY
1718 iumlY
1719 iumlY
1720 iumlY
1721 iumlY A(A + 2I) = I entonces puede deducir que la inversa existe y decir quieacuten es
1722 iumlY
1723 iumlY
1724 iumlY
1725 iumlY
1726 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 80
Soluciones del Capiacutetulo 221 Determinantes
221 iumlY
1) Det(A) = minus3
2) Det(B) = 3kminus 12
3) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(C) = 0
4) Det(D) = k(k2 minus 4
)5) Una estrategia es primero hacer una reducioacuten en la primera columna y luego calculamos usandoexpansioacuten por cofactores Det(A) = minus2minus 2a6) Det(A) = minus180
222 iumlY Aminus1 =1
2minus 2a
1 28minus 2a 2aminus 18 8minus 2a0 minus6 4 minus2
a + 1 2aminus 13 8minus 2a aminus 4a + 1 4aminus 17 10minus 4a 3aminus 4
223 iumlY
224 iumlY Det(A) = 1 y Aminus1 =
cosθ minussenθ 0senθ cosθ 0
0 0 1
225 iumlY Por contradiccioacuten Si |A| 6= 0 entonces A es invertible es decir AB = 0 =rArr B = 0 contra-diccioacuten
226 iumlY
227 iumlY Det(In + In) = Det(2In) = 2nDet(In) = 2n 6= Det(In) + Det(In) = 2
228 iumlY
229 iumlY
2210 iumlY Det(2AT Aminus1A2) = 128
2211 iumlY Primero despeje Adj(A) en la foacutermula de la inversa∣∣2BAdj(AT)
∣∣ = minus1500
2212 iumlY Observe que |2Aminus B| = 2 y |2ACminus BC| = |2Aminus B| |C| = |I| = 1 Entonces
Det((6Aminus 3B)minus1CT) =1
108
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 81
2213 iumlY | (AB)minus1A + Bminus1 | = |Bminus1Aminus1A + Bminus1 | = |2Bminus1 | = 23
|B| =23
10
2214 iumlY
2215 iumlY
2216 iumlY
2217 iumlY
2218 iumlY
2219 iumlY12
2220 iumlY Det(B) = 12
2221 iumlY
2222 iumlY
2223 iumlY
2224 iumlY
1) |B| = minus12
2) |C| = 3
2225 iumlY
1) Det(3A) = 135
2) Det(2Aminus1) =85
3) Det(B) =
2226 iumlY
2227 iumlY
2228 iumlY
1) Det(B) = Det(Pminus1)Det(P)Det(A) = Det(A)
2) Det(Bminus αI) = Det(Pminus1APminus αPminus1P) = Det(Aminus αI) (sacando los factores comunes Pminus1 y P )
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 82
Soluciones del Capiacutetulo 331 Sistemas de ecuaciones lineales
321 iumlY
1)
2) x =1015
y = minus535
z = minus35
3) No tiene solucioacuten4)
322 iumlY La solucioacuten es y = t x = 2minus t solo resta poner[
xy
]como combinacioacuten lineal de matrices
323 iumlY
324 iumlY
325 iumlY
a) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = minusb(a + b) 6= 0 elsistema tiene solucioacuten uacutenica Como es homogeacuteneo solo hay la uacutenica posibilidad de x = 0 y = 0 sib 6= 0 y a 6= minusb
b) Como es un sistema 2times 2 podemos usar el criterio del determinante Si Det(A) = 0 entonces el siste-ma o no tiene solucioacuten o tiene infinitas soluciones Como el sistema es homogeacuteneo deberiacutean entonceshaber infinitas soluciones
Det(A) =
∣∣∣∣[ a bb minusb
]∣∣∣∣ = minusb(a + b) = 0 =rArr
b = 0a = minusb
Anaacutelisis de casos
a) Si b = 0 entonces
ax = 00 = 0
=rArr
x = 0 si a 6= 0x arbitrario si a = 0
there4
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Si b = 0 and a 6= 0 =rArr X =
[0y
] y isin R
b) Si a = minusb entoncesminusbx + by = 0
bxminus by = 0=rArr
x = y si b 6= 0
xy arbitrarios si b = 0
there4
Si b 6= 0 and a = minusb =rArr X =
[xx
] x isin R
Si b = 0 and a = 0 =rArr X =
[xy
] xy isin R
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 83
326 iumlY
327 iumlY Det(A) = a minus a3 Hay solucioacuten uacutenica si a 6= 0 y a 6= plusmn1 En este caso x =
(a2 + 1
)b
a (a2 minus 1)
y =12(a2xminus abminus ax + bminus 2x
)y z =
12(b + ab + 2xminus axminus a2x)
Si Det(A) = 0 entonces no hay solucioacuten si b 6= 0 Para el caso b = 0 tenemos infinitas soluciones
y x isin R y =12(a2 minus aminus 2
)y z = minus1
2(a2 + aminus 2
)x
328 iumlY Det(A) = (α + 2)(α minus 3) Si (α + 2)(α minus 3) 6= 0 tenemos solucioacuten uacutenica x =α2 minus αminus 4
αminus 3
y = minusα2 + αxminus αminus x + 3 y z = minus1minus α + x
Si Det(A) = 0 solo hay solucioacuten cuando α = minus2 En este caso x isin R y = 1minus 3x y z = 1 + x En el casoα = 3 no hay solucioacuten
329 iumlY
3210 iumlY El determinante de la matriz asociada A es Det(A) = 11k minus 95 Si k 6= 9511
hay solucioacuten
uacutenica x = 0 y = 0 y z = 0 Si k =9511
la solucioacuten es y =3x32
z = minus11x32
(infinitas soluciones)
3211 iumlY
3212 iumlY x =|A||A| = 1 y =
0|A| = 0 (pues |A2| = 0 ya que sus dos primeras filas se repiten)
3213 iumlY
3214 iumlY
1) |A| = 2minus 2a =rArr |A| 6= 0 si a 6= minus1
2)
x = minus3minus 2aa + 1
y = z = minus 2aminus 32(a + 1)
w =
y =1
a + 1 w = minus 4aminus 3
2(a + 1)
3215 iumlY
3216 iumlY
3217 iumlY
3218 iumlY
3219 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 84
Soluciones del Capiacutetulo 443 Grupos
431 iumlY
a) Cerradura Si A B isin G =rArr Det(AB) = Det(A)Det(B) = 1 =rArr AB isin G
b) La asociativodad la hereda deM2(R)
c) El neutro multiplicativo es I2 isin G pues Det(I2) = 1
d) Si A isin G entonces la inversa existe y Det(Aminus1) =1
Det(A)= 1 =rArr Aminus1 isin G
432 iumlY
a) Cerradura a lowast b = 2ab isin Rlowast pues ab 6= 0
b) Asociatividad
a lowast (b lowast c) = a lowast 2bc = 4abc(a lowast b) lowast c = 2ab lowast c = 4abc
c) Neutro
a lowast e = a =rArr a = 2ae =rArr e =
12
12lowast a = a
d) Inversos
a lowast aprime = 2aaprime =
12
=rArr aprime =14a
pues a 6= 0
14alowast a = 2
14a
a =12
there4there4there4 foralla isin Rlowast aminus1 =14a
e) El grupo (Glowast) es conmutativo pues a lowast b = b lowast a = 2ab
433 iumlY
a) Cerradura (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) isin G pues ac 6= 0
b) Asociatividad
(ab) lowast ((cd) lowast (pq)) = (acp acq + ad + b)((ab) lowast (cd)) lowast (pq) = (acp acq + ad + b)
c) Neutro
(ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (a middot e1 a middot e2 + b) = (ab) =rArr (e1 e2) = (10)(e1 e2) lowast (ab) = (10) lowast (ab) = (ab)
d) Inversos
(ab) lowast (aprimebprime) = (10) =rArr (aprimebprime) =
(1a
minusba
)pues ab 6= 0
(1a
minusba
)lowast (ab) = (10) there4there4there4 forall(ab) isin G (ab)minus1 =
(1a
minusba
)
e) El grupo (Glowast) no es conmutativo pues (ab) lowast (cd) = (ac ad + b) pero (cd) lowast (ab) = (ac bc + d)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 85
434 iumlY
a) Cerradura Si ab isin R minus minus1 es claro que a b = a + b + ab isin R Solo falta probar que a b =
a + b + ab isin Rminus minus1 es decir a + b + ab 6= minus1 Para probar esto observe que
a + b + ab = minus1 lArrrArr a + b + ab + 1 = 0 lArrrArr (a + 1)(b + 1) = 0 lo cual es imposible pues ab isinRminus minus1
b) Asociatividad
(a b) c = (a + b + ab) c = a + b + ab + c + (a + b + ab)ca (b c) = a (b + c + bc) = a + b + c + bc + a(b + c + bc)
Desarrollando se verifica que las os expresiones son iguales
c) Conmutatividad a b = a + b + ab = b + a + ba = b a pues la suma y el producto son conmutativasen R
d) Neutro Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a e = a
a e = a lArrrArr a + e + ae = a lArrrArr e(a + 1) = 0 lArrrArr e = 0 pues a isin Rminus minus1
e) Inversos Por el iacutetem anterior solo necesitamos resolver la ecuacioacuten a a = e = 0
a a = 0 lArrrArr a + a + aa = 0 lArrrArr a(1 + a) = minusa =rArr a = minus a1 + a
isin Rminus minus1 pues minus a1 + a
6= minus1
Como a 6= minus1 todos los elementos de Rminus minus1 tienen inverso
435 iumlY (minus41)3 = (minus41) lowast (minus41) lowast (minus41) = (minus4 +minus4 + 3 2 middot 1 middot 1) lowast (minus41) = (minus5 2) lowast (minus41) =(minus6 4)
Para calcular (2minus3)minus2 requerimos calcular el neutro (e1 e2) para poder calcular inversos
a) Neutro (ab) lowast (e1 e2) = (ab) =rArr (e1 e2) =
(minus3
12
)
b) Inversos (ab) lowast (aprimebprime) =(minus3
12
)=rArr (aprimebprime) = (ab)minus1 =
(minus6minus a
14b
)pues b isin Rlowast
c) (minus41)3 lowast[(
143
)lowast (2minus3)minus2
]2= (minus64) lowast
[(1
43
)lowast(minus13
172
)]2= (minus64) lowast
(minus9
127
)2=
(minus18
16729
)
436 iumlY
a)
b)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 86
c)
d) E =
[ 12
12
12
12
]isin G
e) A =
[ 14a
14a
14a
14a
]isin G
43 Anillos y campos
437 iumlY
438 iumlY
439 iumlY
4310 iumlY
4311 iumlY
4312 iumlY
4313 iumlY
4314 iumlY
4315 iumlY Debe probar las propiedades adicionales de campo (recuerde que algunas propiedades seheredan deM2(R)) Por ejemplo
Cerradura[
a b2b a
][aprime bprime
2bprime aprime
]=
[aaprime + 2bbprime baprime + abprime
2 (baprime + abprime) aaprime + 2bbprime
]isin G
El inverso multiplicativo Si A =
[a b
2b a
]=rArr Aminus1 =
[ aa2minus2b2 minus b
a2minus2b2
minus 2ba2minus2b2
aa2minus2b2
]
Observe que para todoabisin Q
ab6=radic
2
4316 iumlY
4317 iumlY
4318 iumlY
4319 iumlY
4320 iumlY
4321 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 87
4322 iumlY
4323 iumlY
4324 iumlY
4325 iumlY
4326 iumlY
4327 iumlY
4328 iumlY
4329 iumlY
4330 iumlY
4331 iumlY
4332 iumlY
4333 iumlY
4334 iumlY
4335 iumlY
4336 iumlY
4337 iumlY
4338 iumlY
4339 iumlY
4340 iumlY
4341 iumlY
4342 iumlY
4343 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 88
Soluciones del Capiacutetulo 552 Subespacios vectoriales
521 iumlY
522 iumlY
523 iumlY
524 iumlY
525 iumlY
1) W =
[0 bb d
]isinM2 (R) tal que d ge 0
v + αu =
[0 b1
b1 d1
]+ α
[0 b2
b2 d2
]=
[0 b1 + αb2
b1 + αb2 d1 + αd2
]
Mmmmm tiene la forma de los elementos de W pero podriacutea pasar que d1 + αd2 lt 0 tomando d1d2
y α lt 0 de manera adecuada Por ejemplo si d1 = 1 d2 = 3 y α = minus1 entonces d1 + αd2 lt 0 there4 Wno es subespacio vectorial de V
2) W =
a + (2aminus 3c)x + cx2 isin P2 (R)
siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes
v + αu = a1 + (2a1 minus 3c1)x + c1x2 + αa2 + α(2a2 minus 3c2)x + αc2x2
= a1 + αa2 + [2(a1 + αa2)minus 3(c1 + αc2) ]x + (c1 + αc2)x2 isin W
3) W =(x2x) isinR2 siacute es subespacio de V puesW 6= empty (iquestpor queacute) y ademaacutes si vu isin W entonces
digamos que v = a(12) y u = b(12) Asiacute
v + αu = (a + αb)(12) isin W
526 iumlY
527 iumlY
528 iumlY
1) No es subespacio vectorial Si A isin W =rArr αA 6isin W pues en general αAαA 6= αA
2) Siacute es subespacio vectorial W 6= empty (iquestpor queacute) y (A + αB)T = AT + αBT = A + αB forall A B isin W yα isin R
3) W = empty entonces no es subespacio vectorial de R2
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 89
529 iumlY
5210 iumlY
5211 iumlY
5212 iumlY
5213 iumlY
5214 iumlY
5215 iumlY
5216 iumlY
5217 iumlY
54 Independencia lineal
541 iumlY
a)
x + 2y + 3z = 0
x + y + z = 02x + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
b)
x + 2y + 3z = 0x + y + z = 0
=rArr x = 0 y = 0 z = 0 there4 B es li
c) B es ld pues resolviendo el sistema obtenemos (147) = 3(123)minus 2(111)
542 iumlY
543 iumlY
544 iumlY Solucioacuten Si escribimos a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 esto quiere decir que a1x + a2x2 +
a3(x3 + x + 1) es una funcioacuten constante (en este caso es el polinomio nulo que es el neutro aditivo enP5[R] ) asi que la ecuacioacuten a1x + a2x2 + a3(x3 + x + 1) = 0 es vaacutelida para todo x Luego
bull poniendo x = 0 obtenemos a3 = 0
bull poniendo digamos x = 1 y x = 2 obtenemos el sistema homogeacuteneo
a1 + a2 = 02a1 + 4a2 = 0
que tiene solu-
cioacuten uacutenica a1 = 0 a2 = 0 dado que el determinante de la matriz asociada es 6= 0
545 iumlY
546 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 90
547 iumlY Solucioacuten a1
[1 01 1
]+ a2
[0 00 1
]= 02times2 =rArr
a1 + 0a2 = 00a1 + 0a2 = 0a1 + 0a2 = 0a1 + 2a2 = 0
de donde obtenemos
a1 = a2 = 0
548 iumlY
549 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que
(t sminus t s) = t(1minus10) + s(011)
Esto nos dice queW = Gen
(1minus10) (011)
5410 iumlY Solucioacuten Podemos obtener un conjunto generador para W observando que los vectores deW son de la forma (2yminus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice queW = Gen
(210) (minus101)
5411 iumlY
5412 iumlY
5413 iumlY
5414 iumlY
5415 iumlY Solucioacuten Puesto que B =(121) (1minus25) (minus1minus21) (120)
es un conjunto de 4
elementos de R3 entonces es ld y B solamente genera a W Como Det
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
6= 0 entonces
B =(121) (1minus25) (minus1minus21)
siacute es una base deW y dimW = 3 es decirW = R3
Otra manera de obtener la dimensioacuten de W es calcular el rango de la matriz A que sigue (obteniendo laescalonada reducida)
A =
1 2 11 minus2 5minus1 minus2 1
1 2 0
rarr middotmiddot middot rarr
1 2 10 4 minus40 0 20 0 0
Esto nos dice que Rang(A) = 3 luego la dimensioacuten de W es 3 es decir W = R3
5416 iumlY Solucioacuten Podemos obtener una base deW observando que los vectores deW son de laforma (2y minus zyz) = y(210) + z(minus101) Esto nos dice que W = Gen
210) (minus101)
Ademaacutes este
conjunto es li por lo que es una base deW
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 91
5417 iumlY Solucioacuten Por definicioacuten si u = (u1u2u3) isinWperp entonces u middotw = 0 forallw isinW De aquiacute obte-nemos que u middotw = u middot (a1(210) + a2(minus101)) = 0 Para satisfacer esta relacioacuten basta con que u middot ((210) +(minus101)) = 0 Asiacute obtenenemos el sistema
2u1 + u2 = 0minusu1 + u3 = 0
Este sistema tien infinitas soluciones Una manera de expresar estas soluciones es poniendo u1 = t u2 =
minus2t u3 = t t isinR Luego u = t(1minus21) Esto muestra queWperp = Gen(1minus21)
y como este es un con-
junto li entonces una base deW es (1minus21)
(pues la dimsensioacuten deW no puede ser maacutes grande que1)
5418 iumlY
5419 iumlY
5420 iumlY
5421 iumlY
5422 iumlY Veamos que siv isin W entoncesv =
[a aminus2d d
]= a
[1 10 0
]+ d
[0 0minus2 1
] Por tanto
W = Gen[
1 10 0
][
0 0minus2 1
]
Ahora resolviendo el sistema a1
[1 10 0
]+ a2
[0 0minus2 1
]=
[0 00 0
]obtenemos solucioacuten uacutenica a1 = 0 y a2 = 0
Por tanto el conjunto generador es una base deW
5423 iumlY
5424 iumlY
5425 iumlY
5426 iumlY
5427 iumlY
5428 iumlY
5429 iumlY
5430 iumlY
5431 iumlY
5432 iumlY No (000) 6isin S
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 92
5433 iumlY S = (2t t0) tal que t isin R Una base es B = (110)
5434 iumlY
5435 iumlY
56 Coordenadas de un vector en una base
561 iumlY
562 iumlY
a) [(minus451)]B =(
5minus 154 3
2
)b)
c) [(a a a)]B =(minus 2a a a
)d) [(ab a)]B =
(12 (bminus 5a) 1
4 (5aminus b) a)
563 iumlY
a) [x4 + 5x2 + 2x + 112]B = (2501)
b) [minus4x4 + x2 minus 414]B = (010minus4)
c) [minus2x4 + 8x3 + x2 minus 46]B = (018minus2)
564 iumlY
a)[(minus9 212 minus3
)]B= (2minus3)
b)[(
2cminus 3a aminus8c 2c
)]B= (a2c)
Soluciones del Capiacutetulo 662 Transformaciones lineales
621 iumlY Solucioacuten Como B es base de V y u isin V entonces
T1(u) = T1(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= a1T1(x1) + a2T1(x2) + + anT1(xn)
= a1T2(x1) + a2T2(x2) + + anT2(xn) (por hipoacutetesis)= T2(a1x1 + a2x2 + + anxn)
= T2(u)
622 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 93
623 iumlY T (xy) = T (x(10) + y(01)) = xT (10) + yT (01) = (x2x + 3y4y)
624 iumlY T (xy) = (6xminus y7xminus y)
625 iumlY
626 iumlY
627 iumlY
628 iumlY
629 iumlY
6210 iumlY
6211 iumlY
6212 iumlY
6213 iumlY
6214 iumlY Solucioacuten
1) Sean a + bx + cx2 a1 + b1x + c1x2 isin P2 (R) y α isinR
T(α(a + bx + cx2)+ a1 + b1x + c1x2)
= T(αa + αbx + αcx2 + a1 + b1x + c1x2)
= T((αa + a1) + (αb + b1) x + (αc + c1) x2)
= (2 (αb + b1)minus (αc + c1) αa + a1 (αc + c1)minus 2 (αa + a1)minus 2 (αb + b1))
= (2αb + 2b1 minus αcminus c1αa + a1αc + c1 minus 2αaminus 2a1 minus 2αbminus 2b1)
= (2αbminus αcαaαcminus 2αaminus 2αb) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= α (2bminus c a cminus 2aminus 2b) + (2b1 minus c1 a1 c1 minus 2a1 minus 2b1)
= αT(a + bx + cx2)+ T (a1 + b1x + c1x2)
2) Sea a + bx + cx2 isinNucl (T )
Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T(a + bx + cx2) = (000)
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (2bminus c a cminus 2aminus 2b) = (000)
=rArr
2bminus c = 0a = 0cminus 2aminus 2b = 0
=rArr c = 2b
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 94
De esta manera Nucl (T ) =
bx + 2bx2b isinR
Una base de Nucl (T ) es el conjunto B =
x + 2x2 asiacute nulidad de T es 1
Como la nulidad de T es 1 se tiene que el rango de T es igual a 2 (note que la dimensioacuten del dominioes 3)
Dado que una base del nuacutecleo de T es B =
x + 2x2 a partir de esta se puede obtener una base parael dominio
El conjunto B1 =
x + 2x21 x
es una base del domio (fueron agregados los vectores 1 y x) El con-junto B2 = T (1) T (x) = (01minus2) (20minus2) es una base de la imagen de T
6215 iumlY SolucioacutenHay que recordar que T es inyectiva si y solo si su nuacutecleo estaacute conformado uacutenicamente por el vector nuloSea a + bx + cx2 isinNucl (T )Como a + bx + cx2 isinNucl (T ) =rArr T
(a + bx + cx2) = 0
T(a + bx + cx2) = 0
=rArr (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0
Si x = 0 se tiene que 3b + a = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad (3b + a) + (a + bminus c) x + (c + 2b) x2 = 0 se obtiene a + bminusc + 2 (c + 2b) x = 0Evaluando nuevamente en x = 0 se tiene a + bminus c = 0Al derivar en ambos miembros de la igualdad a + bminus c + 2 (c + 2b) x = 0 se obtiene 2 (c + 2b) = 0
Asiacute debe cumplirse que
3b + a = 0a + bminus c = 02 (c + 2b) = 0
Utilizando el meacutetodo de GaussndashJordan se tiene que1 3 0 01 1 minus1 00 4 2 0
sim1 0 minus3
2 00 1 1
2 00 0 0 0
=rArr
a = 3c
2
b = minusc2
De esta manera Nucl (T ) = 3c
2 minusc2 x + cx2c isinR
y se concluye que T no es inyectiva
6216 iumlY
64 Matriz de una transformacioacuten
641 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 95
a) Matriz estaacutendar de T
T (100) = (101)
T (010) = (011)
T (001) = (001)
=rArr AT =
1 0 00 1 01 1 1
b) [T ]B2B1
T (100) = 1 middot (110)minus 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (010) = 0 middot (110) + 1 middot (010) + 1 middot (001)
T (111) = 1 middot (110) + 0 middot (010) + 3 middot (001)
=rArr [T ]B2B1=
1 0 1minus1 1 01 1 3
(113) = minus2 middot (100)minus2 middot (010) + 3 middot (111) =rArr [(113)]B1 = (minus2minus23)
[T (113)]B2 =
1 0 1minus1 1 01 1 3
minus2minus23
=
105
642 iumlY
643 iumlY
a) [T]BB =
2 0 00 1 00 0 0
b) [T ]CB =
2 1 06 1 00 0 0
c) [(xyz)]B =
(yminus x
2
3xminus y2
z)
d) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T ]CB [(xyz)]B =
2 1 06 1 00 0 0
yminusx2
3xminusy2
z
=
y+x
25y+3x
2
0
e) Utilizamos el teorema 61 c)
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 96
T(xyz) = T[
yminus x2
(130) +3xminus y
2(110) + z (001)
]=
yminus x2
T(130) +3xminus y
2T(110) + z T(001)
=yminus x
2(260) +
3xminus y2
(110) + z (000)
=
(y + x
2
5y + 3x2
0)
644 iumlY
a) [T]BB =
2 0 10 3 20 0 minus1
y [T]CB =
2 0 10 3 10 0 1
b) (xyz) = a1(100) + a2(010) + a3(01minus1) =rArr a1 = x a2 = y + z y a3 = minusz
there4 [(xyz)]B = (xy + zminusz)
c) T(xyz) = [T(xyz)]C = [T]CB [(xyz)]B =
2 0 10 3 10 0 1
xy + zminusz
=
2xminus z3y + 2zminusz
645 iumlY
646 iumlY
647 iumlY Como T([
1 00 0
])= 2x2 minus x T
([0 10 0
])= x T
([0 01 0
])= 1 T
([0 00 1
])= 1
entonces si C1 es la base canoacutenica deM2 y C2 la base canoacutenica de P2 tenemos en coordenadas
1) AT =
[[T([
1 00 0
])]C2
[T([
0 10 0
])]C2
[T([
0 01 0
])]C2
[T([
0 00 1
])]C2
]
AT =
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
2)[T([
1 22 3
])]C2
=
0 0 1 1minus1 1 0 0
2 0 0 0
1223
=
512
es decir T([
1 22 3
])= 5 + x + 2x2
648 iumlY
649 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 97
6410 iumlY
6411 iumlY
6412 iumlY
6413 iumlY
6414 iumlY
6415 iumlY
6416 iumlY
6417 iumlY
65 Vectores y valores propios
661 iumlY
662 iumlY
a) Si λ es un valor propio de la matriz A se cumple que
∣∣∣∣∣∣0 0 minus2
1 2 11 0 3
minus λ
1 0 00 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr
∣∣∣∣∣∣minusλ 0 minus21 2minus λ 11 0 3minus λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot∣∣∣∣ minusλ minus2
1 3minus λ
∣∣∣∣ = 0
=rArr (2minus λ) middot [minusλ (3minus λ)minus 1 middot minus2] = 0
=rArr (2minus λ)(λ2 minus 3λ + 2
)= 0
=rArr (2minus λ) (λminus 2) (λminus 1) = 0
De esta manera los uacutenicos valores propios de A son λ = 2 y λ = 1
b) Sea u =
abc
un vector propio asociado al valor propio λ = 2
Se busca u de manera que se satisfaga Au = λu
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 98
Au = λu
=rArr
0 0 minus21 2 11 0 3
abc
= 2
abc
=rArr
minus2ca + 2b + c
a + 3c
=
[b2c
]
=rArr
minus2c = 2a
a + 2b + c = 2ba + 3c = 2c
=rArr
minus2aminus 2c = 0
a + c = 0a + c = 0
=rArr a = minusc
Asiacute E2 (el espacio propio de A asociado al valor propio λ= 2) estaacute dado por E2 =
minusc
bc
tal que b c isinR
Por lo tanto el conjunto B =
minus1
01
010
es una base de E2 (note que son dos vectores indepen-
dientes que generan a dicho espacio)
663 iumlY
1) |Aminus λI| = (4minus λ)(2minus λ) Los valores propios son λ = 2 y λ = 4
2) Bases para E2 y E4
E2 Resolvemos[
2 0minus4 0
][xy
]=
[00
]=rArr E2 = (0 t) tal que t isin R y una base es B = (01)
E4 Resolvemos[
0 0minus4 minus2
][xy
]=
[00
]=rArr E4 = (tminus2t) tal que t isin R y una base es B= (1minus2)
664 iumlY
665 iumlY
666 iumlY
667 iumlY
668 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 99
a) De acuerdo a las propiedades de las transpuestas (AAT)T = AAT Por otra parte las matrices AAT
y AT A tienen los mismos valores propios no nulos pues si existen λ 6= 0 y v 6= 0 tales que AATv = λventonces
AT AATv = λATv =rArr AT A(ATv) = λ(ATv) es decir w = ATv es vector propio de AT A o lo que eslo mismo λ es tambieacuten valor propio no nulo de AT A Observe que w 6= 0 pues A(ATv) = λv 6= 0
b) (lowast)
66 Diagonalizacioacuten
669 iumlY
a) Siacute C =[u v
]=
[1 1minus1 2
]y D =
[minus1 00 5
]
b) El polinomio caracteriacutestico es p(x) = minus(x minus 1)2(x minus 2) Ahora calculamos las bases de los espaciospropios de λ1 = 1 (son dos vectores) y λ1 = 2 (solo un vector) los vectores de cada base se colocancomo columnas de C y obtenemos D en ese mismo orden
1 1 minus31 0 minus30 1 1
minus1 4 minus3 minus33 minus2 minus3minus1 1 2
1 1 minus31 0 minus30 1 1
=
1 0 00 1 00 0 2
c) C =
minus1 minus1 11 0 10 1 1
y D =
0 0 00 0 00 0 3
d) No es diagonalizable Las dimensiones de los espacios propios suman solo 2
66 La representacioacuten matricial ldquomaacutes simplerdquo de una transformacioacuten
6610 iumlY
a) [T1]BB =
[minus1 00 5
]
b) [T2]BB =
1 0 00 1 00 0 2
c) [T3]BB =
0 0 00 0 00 0 3
6611 iumlY
Solucioacuten de los ejercicios (httpstecdigitaltecaccrrevistamatematica) 100
a) Empecemos por una matriz triangular cuyo uacutenico valor propio sea λ = 5 Por ejemplo matriz
B =
5 1 30 5 20 0 5
Ahora una matriz no-triangular con los mismos valores propios que B es Pminus1BP si las columnas de
P son un conjunto li Por ejemplo si P =
1 1 13 minus2 12 minus1 2
=rArr A = Pminus1BP =
232 minus 7
2112
6 53
143
minus 72
116
116
tiene
como uacutenico valor propio λ = 5 Observe que no sirve iniciar con la matriz 5I3 (iquestporqueacute)
b) Empezamos con una matriz diagonal con los valores propios deseados por ejemplo
B =
5 0 00 minus5 00 0 minus5
Entonces la matriz buscada (no-triangular) podriacutea ser A = Pminus1BP como en el iacutetem anterior
c) Use las ideas anteriores para obtener una matriz A
6612 iumlY Iniciando con D =
1 0 00 minus2 00 0 2
y P =
1 1 minus10 1 2minus1 1 minus1
entonces
A = Pminus1DP =16
1 minus8 minus5minus8 4 minus8minus5 minus8 1
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