escorial 2006
TRANSCRIPT
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7/25/2019 Escorial 2006
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Introduccin a lastensegridades
Francisco Santos Leal
http://personales.unican.es/santosf
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Introduccin a lastensegridades
teora de la rigidez
Francisco Santos Leal
http://personales.unican.es/santosf
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Qu es una tensegridad?
Tensegrity = tension + integrity
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El nombre lo acu Buckminster-
Fuller para referirse a las estructuras
en equilibrio del escultor Kenneth
Snelson:
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Definiciones de tensegridad
islands of compression in an ocean of tension(Kenneth
Snelson)
continuous tension, discontinuous compression structures
(Buckminster-Fuller)
A tensegrity system is a stable self-equilibratedstate
comprising a discontinuous set of compressed elements inside
a continuum of tensioned components(R. Motro, Tensegrity.
Structural systems for the future, Kogan Page Science,London, 2003).
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islands of compression in an ocean of tension
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islands of compression in an ocean of tension
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Definiciones de tensegridad.
Miguel de Guzmn introdujo su propia definicin, unpoco ms general:
``Consideramos una configuracin geomtrica
constituida por un nmero finito de puntos y por
unos cuantos segmentos que unen estos puntos.
Una estructura de tensegridadconsiste en asignar
vectores a los puntos, en las direcciones de los
segmentos que concurren en ellos de forma que:
(a) La resultante en cada punto es nula.
(b) Para cada segmento, la suma de los vectores
asignados a sus extremos es cero.
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Lo cual incluye, por ejemplo, islands of tension in an ocean of
compression
El opuesto de una tensegridad es
tambin una tensegridad.
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Lo cual incluye, por ejemplo, islands of tension in an ocean of
compression
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Tensegridad y teora de la rigidez.
Lo que Guzmn llama tensegridad es lo que en teorade la rigidez se conoce como self-stressed framework
(armazn auto-tensionado). Pero:
Si no eres muy ambicioso, puederesultar un verdadero placer darte
cuenta de que lo que estabas
haciendo ya haba sido descubierto. Al
menos, eso indica que ibas por el
buen camino.
(I. M. Gelfand)
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Tensegridad y teora de la rigidez.
Lo que Guzmn llama tensegridad es lo que en teorade la rigidez se conoce como self-stressed framework
(armazn auto-tensionado). Pero:
Si no eres muy ambicioso, puede resultar unverdadero placer darte cuenta de que lo que
estabas haciendo ya haba sido descubierto.
Al menos, eso indica que ibas por el buen
camino.
(I. M. Gelfand)
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Esta charla:
0. Qu es la tensegridad?
1. Rigidez, rigidez infinitesimal, rigidez genrica, y
autotensiones (rigidez esttica).
2. Breve historia de la rigidez.
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Definiciones: Un grafo geomtricoo armazn es unconjunto finito de puntos (en el plano, en el espacio,en Rn) junto con algunos segmentos que unenparejas de dichos puntos (vrtices o nodos yaristas o ejes). En principio, admitimos que lasaristas se corten entre s y a los puntos de corte nolos consideramos ``vrtices (salvo que as loqueramos).
Un armazn es rgidosi no existe una maneracontinua de mover sus vrtices que mantengaconstante la longitud de las aristas en todo momento
(salvo los movimientos rgidos; rotaciones ytraslaciones). En caso contrario decimos que esflexible.
Rigidez
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armazn rgido armazn flexible,
con dos grados de libertad
Un ejemplo, en el plano
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8 vrtices, 8 aristas
13 - 8 = 5
dimensiones libres
2 x 8 - 3 = 13
dimensiones de movimiento
Conclusin:hay cinco
grados de libertad
Cuntos grados de libertad?
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8 vrtices, 10 aristas
13 - 10 = 3
dimensiones libres
2 x 8 - 3 = 13
dimensiones de movimiento
Conclusin:hay tres
grados de libertad
Cuntos grados de libertad?
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8 vrtices, 12 aristas
13 - 12 = 1
dimensin libre
2 x 8 - 3 = 13
dimensiones de movimiento
Conclusin:hay un
grado de libertad?
Cuntos grados de libertad?
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8 vrtices, 12 aristas
13 - 12 = 1
dimensin libre
2 x 8 - 3 = 13
dimensiones de movimiento
??????
Cuntos grados de libertad?
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8 vrtices, 8 aristas
Casos degenerados
Rgido, aunque no debera
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Rigidez infinitesimal
Como la rigidez a secas es demasiado
complicada de analizar, en una primera
aproximacin uno estudia una versin
linealizada o infinitesimal del problema.
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Rigidez infinitesimal
Definicin: Un armazn es infinitesimalmente flexiblesi es
posible asignar velocidades instantneas a los vrtices de
modo que la longitud de las aristas permanezca estable (es
decir, que la primera derivada de la longitud sea cero). En caso
contrario es infinitesimalmente rgido.
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rgido rgido, pero flexible
infinitesimalmente flexibe
El mismo grafo abstracto puede
producir distintos tipos de armazones
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La matriz de rigidez infinitesimal
Estudiar la rigidez infinitesimal de un armazn Gcon n vrticesp1,pn!R
2y m aristas (pi1,pj1), , (pim,pjm) no es ms que un
problema de lgebra lineal. Se tiene la siguiente aplicacin lineal:
L: (R2)n -----> Rm
(v1,,vn) |-----> ((pik-pjk).(vik-vjk))k=1,,m
G es infinitesimalmente rgido Ker(L) tiene dimensin 3
(slo los movimientos rgidos)
De hecho:Grados de libertad (infinitesimales) de G= dim(Ker L) - 3
(nota: todo esto vale para armazones en
dimensin d, cambiando 3 por (d+1)d/2)
velocidad infinitesimal elongaciones que producen
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Rigidez combinatoria
Definicin: Un grafo(abstracto) es un conjunto finito V(tpicamente, el conjunto {1,2,,n}) junto con una familia Ede
parejas de elementos de V.
Nota: Un armaznse define formalmente como una realizacin
geomtrica de un grafo. Es decir, un armazn consta de un grafo
G=(V,E) junto con una aplicacin p: V--->R
2
que dice dondecolocar los vrtices.
Pregunta: dado un grafo abstracto Gqu podemos decir
del conjunto de realizaciones de Gque dan armazones
rgidos? Y de los infinitesimalmente rgidos?
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Rigidez combinatoria
Respuesta(s):
1) Infinitesimalmente rgido => rgido (porque toda flexin continuainduce una flexin infinitesimal en el instante cero).
2) Todo grafo es o bien casi siempre infinitesimalmente rgido o
casi siempre infinitesimalmente flexible (para cada dimensin
d). Esto es as porque la rigidez infinitesimal depende slo del rango de lamatriz M, de tamao (dn x m), cuyos coeficientes son precisamente las
coordenadas de la realizacin, colocadas de la manera indicada por el grafo.
3) Los grafos casi siempre infinitesimalmente flexibles tambin
son casi siempre flexibles (la demostracin no es elemental). El
recproco se sigue del apartado (1).
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Rigidez combinatoria
Definicin: un grafo (abstracto) G=(V,E) es genricamente rgidoen dimensin dsi es rgido (equivalentemente,
infinitesimalmente rgido) en casi todas sus realizaciones en Rd.
Nota: toda pregunta sobre un grafo abstracto es,por definicin,
una pregunta combinatoria. Sin embargo, no es obvio como
decidir si un grafo Ges genricamente rgido en una cierta
dimensin dcon mtodos puramente combinatorios!
En dimensin pequea s es posible hacerlo:
Genricamente rgido en dimensin 1 conexo
Genricamente rgido en dimensin 2 propiedad de Laman
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La propiedad de Laman
Teorema (Laman, 1970): un grafo G=(V, E) es genricamente libre
en dim. 2 si, y slo si, para todo subconjunto S de kvrtices
(k=0,,n)el grafo restringido a S tiene a lo ms 2k- 3 aristas.
Problema abierto: caracterizar combinatoriamente
los grafos genricamente rgidos en dimensin 3.Por ejemplo, no se conoce ningn algoritmo
polinmico para decidir esto (nota: la propiedad de
Laman se puede comprobar en tiempo nm)
Caracteriza los grafos gen. rgidos en dimensin 2.
Es m fcil enunciarla como caracterizacin de los grafos libres
o independientes, es decir, aqullos en los que
N de grados de libertad = 2n - 3 - n de aristas.
Esto caracteriza los grafos (gen.) rgidos porque un grafo G=(V, E) con n
vrtices es genricamente rgidoen dimensin dos si, y slo si, contiene un
subgrafo con 2n-3 aristas y genricamente libre.
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Algunos grafos de Laman
Grafo de Laman:tiene exactamente 2n- 3 aristas y todosubconjunto de 2k-3 aristas es incidente a al menos kvrtices.
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Resumen
Rigidez a secas:problema geomtrico, cuya solucin involucrageometra algebraica y anlisis (ecuaciones diferenciales).
Rigidez infinitesimal:problema algebraico(ms concretamente,
de lgebra lineal).
Rigidez genrica:problema combinatorio, aunque en dimensinmayor que 2 slo lo sabemos resolver con mtodos algebro-
geomtricos: calcular el determinante de la matriz Ltomando
coeficientes aleatorios o coeficientes paramtricos (usando
mtodos simblicos en el ltimo caso)
Los dos primeros se refieren a un armazno
grafo geomtrico. El ltimo a un grafo abstracto.
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Y qu tiene esto que ver con las
tensegridades?
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Autotensin
Definicin: llamaremos autotensino tensin en equilibrioen unarmazn lo que Guzmn llama tensegridad: una asignacin de
vectores a los vrtices, en las direcciones de los segmentos que
concurren en ellos de forma que:
(1) La resultante en
cada punto es nula.
(2) Para cada
segmento, la suma
de los vectores
asignados a sus
extremos es cero.
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Autotensin
Observacin: con
esta descripcin las
autotensiones de
un armazn forman
un espacio vectorial.
Tendrn que ver
con la rigidez
infinitesimal?
Por la condicin (2) dar una autotensin es lo mismo que asignar unnmero t(e) a cada arista (positivo=tensin hacia dentro,
negativo=presin hacia fuera).
Por (1), dichas presiones/tensiones se cancelan unas a otras (equilibrio)
en cada vrtice).
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Autotensin
Por supuesto!: una autotensin en un armazn con vrticesV={v1,,vn} y aristas V={e1,,em} es un elemento en el ncleo
de esta otraaplicacin lineal:
T: Rm -----> (R2)n
(t1,,tm) |-----> ((pl-pk) tkl)k=1,,n
donde la suma recorre todos los vecinos del vrtice k, y tkl=tlkes
la tensin asignada a la arista k-sima.
Observacin:Tno es ms que la aplicacin dual
(matriz traspuesta) de la aplicacin de rigidez
L: (R2)n-----> Rm del armazn!
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Autotensin
Por tanto, tanto la rigidez infinitesimal como la existencia de unaautotensin dependen nicamente del rango de la matriz de
rigidezM: (R2)n-----> Rm del armazn:
Infinitesimalmente rgido rango = 2n-3
2n- 3 - r= grados de libertad infinitesimales
Libre de autotensin r = m
m- r= dimensin del espacio de autotensiones
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Conclusin
El estudio de las tensegridades de un armazndado (con sus posiciones) es equivalente al
estudio de su rigidez infinitesimal, es decir, el
estudio de cierta aplicacin lineal.
Ms complicado es el estudio de, dado un
modelo combinatorio del armazn (un grafo)decidir en qu posiciones (armazn) admite una
tensegridad, si es que las hay.
(Form-finding methods).
Esto pasa primero por estudiar la rigidez genrica
del grafo, lo cual en dimensin tres (y superior)no se sabe hacer de manera satisfactoria.
Este es el problema que interesaba a Miguel de Guzmn.
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Breve historia de
la rigidezla teora de
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1) La conjetura de Euler
3) Maxwell. Autotensiones y diagramas recprocos
2) Mecanismos artculados (linkages)
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1. La conjetura de Euler
Conjetura: Una figura espacial cerrada no
admite cambios, salvo que la rompamos.
Euler, 1766
Es decir: un poliedro cerrado de dimensin tres no se
puede deformar sin deformar alguna de sus caras.
Y en particular: el armazn formado por los vrtices y
aristas de un poliedro cerrado de caras triangularesno
posee ninguna flexin.
Hemos tardado ms de 200 aos en resolverla!
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Primeros pasos: Teorema de Cauchy
Teorema: Si hay una isometra entre las superficies
de dos poliedros cerrados estrictamente convexos,
entonces dichos poliedros son congruentes.
Cauchy, 1813
En particular: el armazn formado por los vrtices y
aristas de un poliedro cerrado estrictamente convexo y
de caras triangularesno posee ninguna flexin.
La demostracin de Cauchy no era del todo correcta; la
primera demostracin que hoy consideramos correcta es
de 1934 (Steinitz-Rademacher)
Es decir, prueba la conjetura de Euler (y ms) para poliedros estrictamente convexos
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Un ejemplo alentador: Bricard
Teorema: La conjetura de Euler es cierta para
todo poliedro (convexo o no) con la estructura de
un octaedro. Sin embargo, hay realizaciones del
grafodel octaedro que admiten flexiones.
R. Bricard, 1897
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Seguimos avanzando: Alexandrov
Teorema: Si triangulamos las caras de un
poliedro convexo (permitiendo aadir vrtices
partiendo aristas, pero no vrtices en el
interior de las caras) el armazn subyacente
es infinitesimalmente rgido.A. D. Alexandrov, 1950
(en cierto modo, en el Teorema de Cauchy
se puede eliminar el estrictamente)
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Ya casi estamos: Gluck
Teorema: Toda superficie polidrica cerrada
y simplemente conexa en R3es genrica-
mentergida.
H. Gluck, 1975
Simplemente conexa homeomorfa a una esfera
no tiene agujeros
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o eso pensbamos: Connelly
Teorema: Existen poliedros (no convexos)
cerrados (y simplemente conexos, y y con
caras triangulares) flexibles.
Connelly, 1977
El poliedro flexible ms
pequeo que existe.
Tiene 14 caras, 21
aristas, y 9 vrtices.
Construido por Steffen
en 1995 (el original de
Connelly tana delorden de 30 caras).
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Pero la cosa contina (unos aos)
Conjetura: En toda flexin continua de un
poliedro cerrado, se mantiene constante el
volumen encerrado por el mismo.
conjetura del fuelle, Connelly, 1978,
en su contribucin al ICM de Helsinki.
Esta conjetura sresult ser cierta (I. Sabitov 1995,
Connelly-Sabitov-Walz, 1997). Lo que se demuestra es
que el volumen encerrado por un poliedro (flexible o no)
es un nmero entero sobre el anillo generado por los
cuadrados de las longitudes de las aristas.
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2. Mecanismos articulados
(linkages)
Consideramos armazones flexibles (planos o
espaciales) con un solo grado de libertad. Nos
preguntamos qu trayectoria sigue un puntoconcreto del armazn.
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James Watt y el movimiento paralelo (1784)
Para transformar el movimientolineal (pistn) en movimiento
circular (eje de las ruedas) Watt
ide un mecanismo que, aunque
no era exacto, produca mcho
mayor rendimiento que todos los
anteriores. Lo llam el mecanismo
del movimiento paralelo.
"Though I am not over anxious after
fame, yet I am more proud of the parallel
motion than of any other mechanical
invention I have ever made.
James Watt (a su hijo)
Chebyshev (1821-1894), entre otros, estuvo
muy interesado en mejorar el mecanismo de
Watt, o en encontrar uno que fuera exacto.
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Peaucellier (1864) y Lipkin (1971)
Peaucellier en Francia y Lipkin en Rusia
descubrieron independientemente unmecanismo que convierte el movimiento circular
en lineal de manera exacta(adems de ser capaz deinvertir magnitudes, o dibujar arcos de circunferencia de radio
arbitrariamente grande; se basa en el concepto de inversinrespecto a un crculo de la geometra proyectiva)
"The perfect parallel motion of
Peaucellier looks so simple, and movesso easily that people who see it at work
almost universally express astonishment
that it waited so long to be discovered.
J. J. Sylvester, 1874
"No! I have not had nearly enough of it - it is the
most beautiful thing I have ever seen in my life."
Sir William Thomson (Lord Kelvin)
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Teorema de universalidad (Kempe)
Teorema (Kempe, 1876):
cualquiercurva algebraica
en el plano se puede
trazar (quiz a trozos) con
un mecanismo adecuado.
(por ejemplo, existe un mecanismo
articulado que imita tu firma)
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Un problema reciente relacionado:
la regla del carpintero
Una regla de carpintero
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y su generalizacin matemtica:
Una curva poligonal sin autointersecciones.
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Durante un par de dcadas estuvo abierto el problema de si
toda curva poligonal sin autointersecciones puede abrirse de
manera continua. Finalmente, en 2001, se encontraron dos
demostraciones diferentes (Connelly-Demaine-Rote, Streinu).Las dos demuestran, de hecho, que el movimiento de apertura
es expansivo (la distancia entre cada pareja de puntos crece
montonamente durante el movimiento).
El enunciado anlogo en dimensin 3 es falso:
El estudio de estos
problemas en mecanismos
articulados de dimensin tres
est muy de moda, por su
relacin con biologa
molecular (reconfiguracingeomtrica de grandes
molculas orgnicas).
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3. Autotensiones, levantamientos y
diagramas recprocos (Maxwell)Maxwell (1864) estudi el espacio lineal formado por las
autotensiones de un armazn y demostr que:
Teorema:si un armaznA de dimensin 2es la proyeccin
ortogonal del 1-esqueleto de un poliedro, entonces:
1) Admite una autotensin.(El valor de la tensin en cada arista
est relacionado con el ngulo didrico que dicha arista tiene en
el levantamiento).
2) Admite un armazn recproco B, (cuyo grafo es el dual
geomtrico del primero, con caras de uno en byeccin con
vrtices del otro, y con aristas de uno en biyeccin con y
ortogonales a las del otro).
Adems, el armazn recproco Btambin admite una autotensin,
que es recproca de la de A.
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Un armazn plano con una autotensin, y surecproco con la autotensin recproca.
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La reciprocidad de Maxwell funciona incluso si uno(o ambos) de los armazones tienen cruces de aristas.
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El teorema de Maxwell explica por qu el grafo de un prisma es
infinitesimalmente flexible si (y slo si) los dos tringulos estn en
posicin perspectiva.
Posicin perspectiva es proyeccin de un poliedro (prisma)
admite una autotensin
rango(T) < n. de aristas = 9 rango(L) < 9 = 2 n- 3
flexin infinitesimal
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7/25/2019 Escorial 2006
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Invariancia proyectivade la rigidez infinitesimal
(es decir, de las tensegridades)
Puesto que ser proyeccin de es un invariante proyectivo, el
teorema de Maxwell tambin hace intuir que la rigidez infinitesimal
(no as la rigidez a secas) es un invariante proyectivo:
Teorema(Roth y Whiteley, 1981): si dos armazones son
proyectivamente equivalentes, sus espacios de
autotensiones, ergo sus espacios de flexiones
infinitesimales, son isomorfos.
Esto fue redescubierto (como conjetura, y demostradoen algunos casos particulares) por Miguel de Guzmn.
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Si no eres muy ambicioso, puede resultar un
verdadero placer darte cuenta de que lo que
estabas haciendo ya haba sido descubierto.
Al menos, eso indica que
ibas por el buen camino.
(I. M. Gelfand)
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Referencia recomendada:
Counting on frameworks (Mathematics to aid
the design of rigid structures), Jack E. Graver,
The Mathematical Association of America, 2001.