escola naval 2006-2010

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QUESTÕES DE CÁLCULO DA ESCOLA NAVAL DE 2006 A 2010

QUESTÃO 1 EN 2010

RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO:

3 3

1 x xf 0 x f x 0 arctg x 0 x 0 x 0 x 3

3 3

x 1 x 3

O ponto do gráfico de 1f citado no enunciado é 0, 3 .

3 3x x

y f x arctg x , x 1 tg y x e y ,3 3 2 2

Cálculo da derivada da função inversa: 3 2 2

2

2

y 3y sec xtg x y sec x y ' y ' y '

3 3 y 1

A derivada de 1f em 0, 3 é

2 2

2 2

sec x sec 0 1y '

2y 1 3 1

A equação da reta L é dada, na forma segmentária, por:



1 x x y

y 3 x 0 y 3 12 2 2 3 3

Logo, a área do triângulo determinado por L e pelos eixos coordenados é: 2 3 3

S 3 u.a.2

Uma outra forma de obter a derivada da função inversa no ponto é derivar a expressão original em

relação a y.

3 3

22 32

2 2 23 3

x d x dxy f x arctg x 1 arctg x

3 dx 3 dy

9 x 1 x 3x 91 3x dx dx dx1 1 1

3 dy dy dy 9 x 1x x 3x 9x 1

3

23

2

3 3 3 9dx 9 1

x 3dy 18 2

9 3 1

QUESTÃO 2 EN 2010



RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO:

I) FALSA

Contra-exemplo: f tem máximo local em 0x x se 0 0 0f ' x f '' x f ''' x 0 e 4

0f x 0

II) FALSA

Contra-exemplo: 0 0f ' x f '' x 0 e 0f ''' x 0 , então f tem ponto de inflexão em 0x x .

III) FALSA

Contra-exemplo: Seja f : 0,1 1,2 0,1 tal que

x , se x 0,1f x

x 1, se x 1,2

. f tem derivada

estritamente positiva em todo o seu domínio, mas não é crescente em todo o seu domínio.

Uma afirmativa correta seria: “Se f é contínua no intervalo I e f tem derivada estritamente positiva

em todo ponto interior a I, então f é estritamente crescente em I.”

IV) FALSA

Contra-exemplo:

1x a g xx a

x a x a

x a

f x 1 x a lim f x 1

lim f x lim 1 x a e1g x lim g x

x a

V) FALSA

s 0 2s 0

f x f x 2s f x f x 2slim lim f ' x

2s 2s

QUESTÃO 3 EN 2010



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

2x 1

2

e 1f x

ln 4 x

2x 1 2x 1 0

2f

2 2

1e 1 0 e e 2x 1 0 x

21

4 x 0 2 x 2 A D , 3 3,22

ln 4 x 0 4 x 1 x 3

1 1 1 1

x x x x2

1 1g x x e g ' x e x e e 1 0

xx

x 10 x 0 x 1 B ,0 1,

x

1

A B , 3 3,2 ,0 1, 1, 3 3,22

QUESTÃO 4 EN 2010



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

1

sen6x cos x sen7x sen5x2

1 1 1sen6x cos xdx sen7x sen5x dx sen7x d 7x sen5x d 5x

2 14 10

1 1 cos7x cos5xcos7x cos5x c c

14 10 14 10

QUESTÃO 5 EN 2010



RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

1 2

22AIB

IM M 1 2

S ABk 2 4

S M M

3 21 dmf k f 4 4 4 2 4 11 2 29 2min2

22 2dS d da dmS 6a 6a 12a 12 5 29 2 1740 2mindt dt dt

QUESTÃO 6 EN 2009



RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 24 2

2 22 2

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 xdx dx dx dx

1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 x

1 1 1 1dx dx dx dx arccos x arctg x C

1 x 1 x1 x 1 x

QUESTÃO 7 EN 2009

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

2

2

dy d y 1 1 1 1dx sen 5x cos3xdx sen8x sen 2x dx sen8x sen 2x dx

dx 3 3 2 6dx

1 cos8x cos 2x cos8x cos 2xC C

6 8 2 48 12

dy cos8 0 cos 2 0 43 1 1 43x 0 C C C 1

dx 48 12 48 48 12 48

dy cos8x cos 2x1

dx 48 12



*dy cos8x cos 2x 1 sen8x 1 sen 2xy dx 1 dx x C

dx 48 12 48 8 12 2

* *1 sen8 0 1 sen 2 0x 0 y 0 C 2 C 2

48 8 12 2

1 sen8x 1 sen 2xy x 2

48 8 12 2

1 sen8 4 1 sen 2 4x 4 y 4 2 4 2

48 8 12 2

O volume do cilindro será 2

3V 2 2 4 2 16 2 1 m .

QUESTÃO 8 EN 2009



RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO:

x

f xln x

Determinação do domínio de f:

f

x 0D 0,1 1,

ln x 0 x 1

x 0 x

f xln x

x0 x 1 ln x 0 f x

ln x

xx 1 ln x 0 f x

ln x

Determinação dos intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

2 2

11 ln x

1 ln xx0 x 1 f ' xln x ln x

0 x 1 ln x 0 f ' x 0

2 2

11 ln x x

ln x 1xx 1 f ' xln x ln x

1 x e 0 ln x 1 f ' x 0

x e ln x 1 f ' x 0

0 x 1 f é crescente

1 x e f é decrescente

x e f é crescente

Logo, x e é um ponto de mínimo local.

Determinação dos limites nas extremidades do domínio e no ponto de descontinuidade.

x 0 x 0

xlim f x lim 0

ln x

x 1 x 1

xlimf x lim

ln x



x x x x

x 1lim f x lim lim lim x

1ln x

x

Determinação da concavidade.

2

2 4 3

1 1ln x 1 ln x 2ln x

1 ln x ln x 2x x0 x 1 f ' x f '' xln x ln x x ln x

0 x 1 ln x 0 f '' x 0 concavidade para cima

2

2 4 3

2

2

1 1ln x ln x 1 2ln x

ln x 1 2 ln xx xx 1 f ' x f '' xln x ln x x ln x

1 x e 0 ln x 2 f '' x 0 concavidade para baixo

x e ln x 2 f '' x 0 concavidade para cima

Logo, em 2x e temos uma mudança de concavidade e consequentemente um ponto de inflexão.

Analisando os resultados obtidos, conclui-se que a melhor alternativa é a letra A.

QUESTÃO 9 EN 2009



RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO:

300

1 1S

1 2

1

2

1

3

1

300

1 300

301 301

2 2

x x 1 1 x xf x x arcsen f ' x 1 arcsen x arcsen

6 6 6 6 36 xx1

6

300

2

301 301 300 3 3 1 2 3f ' S f ' f ' 3 arcsen

100 100 301 6 6 6336 3

QUESTÃO 10 EN 2009

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:



1

f x x ln x, x 0

g f g 1 k f k 1 k 1 g 1 1

Usando a expressão da derivada da função inversa:

1 1 g xg ' x

g x 1 g x 1f ' g x

g x

1 x 1f x x ln x f ' x 1

x x

Derivando g ' para obter g '' com auxílio da fórmula de derivada do quociente:

2

g ' x g x 1 g x g ' xg xg ' x g '' x

g x 1 g x 1

Para obtermos g '' 1 , precisamos calcular g ' 1 :

g 1 1 1g ' 1

g 1 1 1 1 2

Podemos agora calcular g '' 1 :

2 2

1 11 1 1

g ' 1 g 1 1 g 1 g ' 1 12 2g '' 1 0,12581 1g 1 1

Vamos ver outra forma de resolver essa questão:

1

f x x ln x, x 0

g f g 1 k f k 1 k 1 g 1 1

1g f f g x x

Derivando a expressão acima implicitamente: f ' g x g ' x 1

Derivando novamente com o auxílio da regra para derivada do produto:

f '' g x g ' x g ' x f ' g x g '' x 0

Vamos obter agora os valores de f ' 1 , f '' 1 e g ' 1 :

1 x 1 1 1

f x x ln x f ' x 1 f ' 1 2x x 1

2

1 1f ' x 1 f '' x f '' 1 1

x x

1 1f ' g x g ' x 1 f ' g 1 g ' 1 1 f ' 1 g ' 1 1 g ' 1

f ' 1 2

Calculando o valor de g '' 1 :

2 2

2

f '' g 1 g ' 1 f ' g 1 g '' 1 0 f '' 1 g ' 1 f ' 1 g '' 1 0

1 11 2 g '' 1 0 g '' 1 0,125

2 8

Vamos ver ainda uma terceira solução:



2

2

y ' yy x ln x x y ln y 1 y ' y '

y y 1

y ' y 'y y y ' y ' y ' y ' y ' y y '' y '' y ''

y 1

1 1g 1 1 x 1 y 1 y '

1 1 2

1 1

12 2y '' 0,1251 1 8

QUESTÃO 11 EN 2009

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

(V)



2 2

2 2

y x 2 y x 2 y x 8A 5,3 B 2,0 C 8,0

y x 8 y 0 y 0

AB 3 3 3 2AB AC triângulo isósceles

AC 3 3 3 2

(F)

2 2 2 22 2 2

2 2

y x2y x 6 1 a 3 e b 6 c 3 6 9 c 3

3 6

Centro O 0,0

Focos F 0,3 e F' 0, 3

A circunferência citada deve ter centro 0,0 e raio 3, logo terá equação 2 2 2x y 3 .

(F)

A afirmação diz que os limites laterais existem e são iguais a b, isso implica que o limite no ponto

existe e é igual a b. Não significa entretanto que o valor da função no ponto seja b, o que só é

verdade no caso de funções contínuas.

Assim, uma função f é contínua em a se, e somente se, x alim f x f a

.

(F)

Para que tenhamos um ponto de inflexão, devemos ter uma mudança de concavidade no ponto. Isso

ocorre quando há mudança de sinal da segunda derivada no ponto.

O fato de termos 0f '' x 0 não implica necessariamente em uma mudança de sinal de f '' em 0x .

Citando um contra-exemplo: 4 3 2f x x f ' x 4x f '' x 12x . Nesse caso, apesar de

f '' 0 0 , f '' não muda de sinal em 0. Nesse caso, o ponto de abscissa 0 é um ponto de mínimo

local e não um ponto de inflexão.

(V)

Considerando a lei dos senos a b c

ˆ ˆ ˆsen Bsen A sen C , conclui-se que o determinante citado possui

duas linhas proporcionais, logo é nulo.

QUESTÃO 12 EN 2009

RESPOSTA: B



RESOLUÇÃO:

Vamos mostrar como resolver essa questão usando integrais, entretanto a solução mais simples

combina geometria analítica e geometria plana, e dispensa o uso de integração.

Vamos inicialmente identificar os limites de integração

2 2 24x x x 4x x x x 0 x 0 x 2

A área será dada por:

22

2 2 22 20 0 0

0

222 2 2 02 2

0 0 0 2

00 02

2 22

xS 4x x x dx 4x x dx xdx 2

2

2 x4x x dx 4 2 x dx 2 1 dx 2 1 sen u 2cos udu

2

sen 2cos 2u 1 sen 2u sen 2 0 24 cos udu 4 du 2 u 2 0

2 2 2 2 2

2 x 2 x dxu arcsen sen u cos udu

2 2 2

Alternativamente, podemos observar o seguinte:

22 2 2 2 2y 4x x y 4x x y 0 x 2 y 2 y 0

Logo, essa equação representa uma semicircunferência de centro 2,0 e raio 2.

A área pedida é a área de um segmento circular de 90 em um círculo de raio 2.

21 2 2S 2 2

4 2

QUESTÃO 13 EN 2008



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

2 2

2 2

2 22 3 2 3

3 3

a bf x

sen x cos x

2a cos x 2b sen xf ' x a 2sen x cos x b 2cos x sen x

sen x cos x

Identificando as raízes da primeira derivada:

2 2 2

2 4 2 4 4

3 3 2

2a cos x 2b sen x a af ' x 0 a cos x b sen x 0 tg x tg x

bsen x cos x b

Efetuando o teste da segunda derivada:

2 3 2 3

2 3 2

2 3 2

2 2 2 2 2 2

f ' x 2a cos x cossec x 2b sen x sec x

f '' x 2a sen x cossec x cos x 3cossec x cossec x cotg x

2b cos x sec x sen x 3sec x sec x tg x

f '' x 2a cossec x 1 3cotg x 2b sec x 1 3tg x 0, x

Logo, os pontos de abscissa x tais que a

tg xb

são pontos de mínimo local.

Dessa forma, o valor mínimo relativo será:

2 2 2 2a a b a btg x tg x , cotg x , sec x 1 , cossec x 1

b b a b a

2 22 2 2 2

2 2

22 2MIN

a bf x a cossec x b sec x

sen x cos x

b af x a 1 b 1 a b a b a b

a b

QUESTÃO 14 EN 2008



RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

2 cos 2x 14sen 2x cos xdx 4sen 2x dx 2sen 2x cos 2xdx 2 sen 2xdx

2

cos 4x cos 2x cos 4xsen 4xdx 2 sen 2xdx 2 C cos 2x C

4 2 4

QUESTÃO 15 EN 2008



RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO:

2x 3x 2 2

21 x 3x2x 3x 2 2

2

21 3 1 2

2

f x e f 1 e P 1,e

1 2x 3 ef ' x e x 3x 2x 3

2 2 x 3x

2 1 3 e 5ef ' 1

42 1 3 1

2 2 2 2

1

y e 5e 5e eL y x

x 1 4 4 4

2 25e 5e

f ' 1 Q 1,4 4

2 2x 3x x 3x

2 2

2 2

12 2

2

22

2x 3 e 2x 3 ef ' x ln f ' x ln

2 x 3x 2 x 3x

1ln f ' x ln 2x 3 x 3x ln 2 ln x 3x

2

f '' x 2 1 1 2x 3x 3x 2x 3

f ' x 2x 3 2 2 x 3x

2 2x 3 2x 3f '' x f ' x

2x 3 2 x 3x2 x 3x



22

22

2 2 1 3 2 1 3f '' 1 f ' 1

2 1 3 2 1 3 12 1 3 1

5e 2 5 5 41f '' 1 e

4 5 4 8 32

2

2 2 2

2

5ey

41e 41e e4L y xx 1 32 32 32

2 2 2 2

1 2

5e e 41e e 41 5 1 1 1L L x x x 81x 9 x

4 4 32 32 32 4 4 32 9

QUESTÃO 16 EN 2008

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

1 5 3f ln3 k f k ln k k k ln3 k 1

' '1 1

1 1

4 2 4 2

5 3 5 3

1 1 1 1f x f ln 3

f ' 1 3f ' f x f ' f ln 3

5x 3x x 5 1 3 1 1f ' x f ' 1 3

x x x 1 1 1

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1f no ponto ln3,1 é '

1 1f ln 3

3

.

Logo, o coeficiente angular da reta normal é 1

31 3

.

Assim, a equação da reta normal ao gráfico de 1f no ponto ln3,1 é dada por:

y 13 y 1 3x 3ln3 y 3x ln 27 1

x ln3

QUESTÃO 17 EN 2008



RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

g ' x f '' x sen x f ' x cos x f ' x cos x

f x sen x 2cos x sen x

g ' x f '' x f x sen x sen 2x

f '' x f x 0 g ' x sen 2x

cos 2x

g x sen 2x dx C2

QUESTÃO 18 EN 2008

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:



2 23 3 2 3 2 23

23 3 2

1 3x 2xf x x x f ' x x x 3x 2x

33 x x

A expressão de f ' indica que a função não é derivável em 0 e 1, o que é confirmado pela análise

dos limites abaixo:

3 3 2

3

x 0 x 0 x 0 x 0

f x f 0 f x x x 1lim lim lim lim 1

x 0 x x x

23 3 2 2

333x 1 x 1 x 1 x 1

f x f 1 x x x x 1 xlim lim lim lim

x 1 x 1 x 1x 1

Assim, f é derivável em * 1 .

Para verificar os intervalos em que f cresce ou decresce, vamos realizar o estudo de sinais de f ' .

2

2 2 23 33 4 33 3 2

2 23x x x

3x 2x 3 3f ' x

3 x x 1 x x 13 x x

2

f ' x 0 x 0 ou x 1ou x 1 f é crescente3

2

f ' x 0 0 x f é decrescente3

Vamos realizar o estudo de sinais de f.

f é positiva x 1

f 0 x 0 ou x 1

f é negativa x 0 ou 0 x 1

Identificação do ponto de inflexão.

123 3 2 2 3 2 23

2

2 43 33 2 3 2

2223 3 2

23 2 23 3 2

4 53 33 2 3 2

2 2 2

5 533 43 3 2

26x 2 3 x x 3x 2x 3 x x 3x 2x

3x 2x 3f ' x f '' x

3 x x 9 x x

3x 2x6 3x 1 x x 2

6 3x 1 x x 2 3x 2xx xf '' x

9 x x 9 x x

2x 9x 12x 3 9x 12x 4 2f '' x

9 9 x x 1x x

f '' é negativa x 1 concavidade para baixo

f '' é positiva x 0 ou 0 x 1 concavidade para cima

Logo, em 1,f 1 temos uma mudança de concavidade, ou seja, temos um ponto de inflexão.

Identificação das assíntotas.



3 3 2

3

x x x

f x x x 1m lim lim lim 1 1

x x x

3

3 3 2

x x x

xn lim f x mx lim x x x lim

2 3x x

23 33 2 3 2 2

2

2x x22 33 33

2 3

x x x x x x

x 1 1lim lim

31 11 1 11 1 1x 1 1

x xx x x

Logo, a reta 1

y x 3y 3x 1 03

é assíntota ao gráfico quando x .

A) ERRADA: f é derivável em * 1 .

B) ERRADA: f é crescente quando 2

x 0 ou x 1ou x 13

C) ERRADA: f é positiva x 1 , mas o ponto 1,f 1 é ponto de inflexão

D) CORRETA

E) ERRADA: a assíntota é 3y 3x 1 0

QUESTÃO 19 EN 2007

RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

Relembrando as derivadas das exponenciais e logaritmos.

' ' 'x x x x

a

1 1e e , a a ln a, ln x , log x '

x x ln a



Para efetuar a integral do problema vamos usar: x

x aa dx C

ln a

2 x xx x 2x x x 2x

x x x x

x x

x x

x x

a b a 2a b b a bdx dx dx 2 dx dx

b aa b a b

a b

1 a bb a2x C 2x C

a b ln a ln b b aln ln

b a

QUESTÃO 20 EN 2007

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

y1 1 xx xy y 1 1 y x y ' y ' 0 y ' 1 1

2 x 2 y 2 y 2 x

2 y x y 2 x y 2 xyy ' y '

2 y 2 x 2 xy x

Se a reta tangente r é paralela ao eixo Ox , então y ' 0 .

y 0y 2 xy

y ' 0 y 2 xy 0 y y 2 x 0 y 2 x y 4x2 xy x

1 1 4x 0 x P ,

x xy y 1 3 3 3x x 4x 4x 1 x 2 x 4x 1

1y 4xx 0 x não convém

7

Verificando as alternativas, conclui-se que o ponto P pertence à reta y x 1 0 .

QUESTÃO 21 EN 2007 (corrigido)

Sejam r e s retas do plano tais que:



I - r é a assíntota de coeficiente angular positivo à curva de equação 2 2(x 2) (y 1)

19 4

II - s é tangente ao gráfico da função real f definida por

2 4x 1f x e . 3x 2 ln 1 x 1 no

ponto P 1,1 .

Se I é o ponto de interseção de r e s, então a soma de suas coordenadas vale

A) 4

25

B) 11

17

C) 12

25

D) 21

25

E) 16

17

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

A curva de equação 2 2(x 2) (y 1)

19 4

é uma hipérbole de centro 2,1 , semi-eixo real a 3 e

semi-eixo imaginário b 2 .

Assim, a assíntota de coeficiente angular positivo é y 1 2 2 1

r y xx 2 3 3 3

2 4x 1

2 2 3x 1 x 1

4

2x 1

4

21 1

4

f x e . 3x 2 ln 1 x 1

1 1f ' x e 2x 3x 2 e 3 4 x 1

2 3x 2 1 x 1

3 4 x 1f ' x e 2x 3x 2

2 3x 2 1 x 1

3 4 1 1 3 7f ' 1 e 2 1 3 1 2 2

2 22 3 1 2 1 1 1

y 1 7 7 5s y x

x 1 2 2 2

2 1 7 5 13 3 16I r s x x x e y x y

3 3 2 2 17 17 17

QUESTÃO 22 EN 2007



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

2L'Hôpital

x 1 x 1 x 1 x 12

2

2

x 1 x 1

1ln x 1 x ln xx 1lim ln x ln x 1 lim lim lim

1 1 1 1 x

ln x xln x

11 ln x x 2ln x

xlim lim ln x 2ln x 01

QUESTÃO 23 EN 2007

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO:

A figura abaixo representa a seção meridiana do cone.



O raio da base do cone é OB Rsec e a altura do cone é VO R cossec

O volume do cone é

3 32 2

2

3 3

32

1 R R 1V R sec R cossec sec cossec

3 3 3 sen cos

R 1 R 1

3 3 sen sensen 1 sen

3 3 22

2 23 3

R 1 R cos 3sen 1V ' cos 3sen cos 0

3 3sen sen sen sen

cos 0

3 33

MIN

3 3ou sen sen

3 3

R 1 R 9 3V R

3 3 23 3 2 3

3 9

Note que antes do ponto tal que 3

sen3

, a derivada é negativa e depois positiva, o que

caracteriza um ponto de mínimo local.

QUESTÃO 24 EN 2006



RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO:



2

2 2

22

f x x 2 arctg x

f 0 0 2 arctg 0 0

1 3 xf ' x 1 2 0 f écrescente, x

1 x 1 x

x 0 f '' x 0 concavidade para cima2xf '' x 2

x 0 f '' x 0 concavidade para baixo1 x

Nota-se que a alternativa (A) é a única que apresenta um gráfico que passa na origem, possui

concavidade para cima para valores de x negativos e concavidade para baixo para valores de x

positivos.

QUESTÃO 25 EN 2006

RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

2

22x 7 x 7 x 7 x 7

x 7x 7 x 7 x 15 8lim f x lim lim lim

x 7 x 15 64x 15 8

2x 15 8

x 7 x 7 x 7

4

7 7

Se f é contínua em x 7 , então x 7

4f 7 lim f x a

7 7

2

64ln 2x

6 6 1 7g x ln 2x g ' x 2ln 2x 2

6 67 72x 2x

7 7



4 64ln 2

4 4 4ln 27 7g ' 7a g ' 7 g ' 2ln 2 ln 4

4 67 27 7 27 7

QUESTÃO 26 EN 2006

RESPOSTA: E

RESOLUÇÃO: 2x

2x

4x 2

2x 2x

e 1 du 1 1dx arccotg u C arccotg e C

2 2 21 e 1 u

u e du 2 e dx

QUESTÃO 27 EN 2006



RESPOSTA: A

RESOLUÇÃO:

6 5 2 6* 3

2 4 3

2 2 26 6 3

6 6 3

x 2 dy 6x x x 2 2x dy 1 18y 0, x 8 x

dx dx 2x x x

dy 1 1 dy 1 1 1 1x 2 1 x 2 x

dx 4 dx 4 4x x x

2 22 2 3 2 3 5

3 3

6 6

dy 1 1 1 1 1 1x 1 dx x x dx x x dx x dx

dx 4 2 2 xx x

1 x x ln xln x C C

2 6 12 2

QUESTÃO 28 EN 2006



RESPOSTA: B

RESOLUÇÃO:

3 32

x x2 2

32

x2

32

2 2

3 3Y ' x e 3 x cos 2x e sen 2x 2

2 4 4

3 3Y ' x e 3 x cos 2x 2sen 2x

2 4 4

3Y ' e 3 cos 2

2 2 2 4

3 22sen 2 2 2

2 4 2 2

2y

2 x y2L 2 y 2x 1 112 2x 1

2 2 2

A área do triângulo é 21 1 2 1 2 1

S2 2 2 8

QUESTÃO 29 EN 2006



RESPOSTA: C

RESOLUÇÃO:

2 * 2 2

2 2 2

f ' x sen cos x

g x f x , x g ' x f ' x 2x sen cos x 2x 2x sen cos x

g ' x 2x sen cos x

QUESTÃO 30 EN 2006



RESPOSTA: D

RESOLUÇÃO:

Seja um cilindro com raio da base r e altura h, o volume é dado por 2

2

1V r h 1 h

r

.

O custo do recipiente será dado por:

2 2

2

2

2 2

3 32 23

3

1P 1000 2 rh 1000 r 2000 r 1000 r 2h 3r 1000 r 2 3r

r

2 1 1P r 1000 3 r P ' r 1000 2 3 2r 2000 3 r

r r r

1 1 1 1 9P ' r 2000 3 r 0 r r e h

3r 3 1

3

escola naval 2006-2010

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