escher in het paleis · escher heeft ook enkele prenten gemaakt in zogenaamd...
TRANSCRIPT
Perspectief
We leven in een driedimensionale wereld. Deze wereld nemen we echter waar
door projecties op tweedimensionale vlakken of gebogen vlakken. In het menselijk
oog wordt een object geprojecteerd op de binnenkant van het oog, op het
oppervlakte van een bol dus.
Daarbij worden allerlei eigenschappen van het object vervormd: rechte lijnen
worden bijvoorbeeld kromme lijnen. De menselijke hersenen zijn in staat om vanuit
de twee plaatjes die van de ogen komen weer een driedimensionaal beeld op te
bouwen. Rechte lijnen worden weer als recht ervaren.
In de wiskunde, techniek en in de kunst worden driedimensionale objecten ook
geprojecteerd, maar dan meestal op een plat vlak. Een parallelprojectie is de
eenvoudigste manier. Het object wordt dan langs evenwijdige lijnen (zonnestralen
bijvoorbeeld) geprojecteerd op een vlak. Hier zie je een parallelprojectie van een
kubus.
Rechte lijnen blijven nu rechte lijnen en zelfs evenwijdigheid blijft behouden! Mede
door het gebruik van de stippellijnen voor de verborgen lijnstukken wordt in de
hersenen dezelfde illusie gewekt als bij het zien van een echte kubus. Maar een
echte kubus kan je nooit op deze manier zien!
Het is mogelijk om bij deze ingewikkelde hersenspinsels de hersenen in de luren te
leggen. Zoiets heet een optische illusie. Escher was er een grootmeester in. Kijk eens
naar de volgende plaatsjes.
Het eerste plaatje lijkt duidelijk op een kubus. Bij het tweede plaatje kijk je van
onder af tegen dezelfde kubus. Als je de stippellijntjes weg laat ontstaat een
plaatje dat je hersenen op twee manieren kunnen interpreteren: als een kubus of
als een hoek van een kamer. Deze truc gebruikt Escher in de volgende prent.
In de renaissance werd een meer realistische methode ontdekt om
driedimensionale voorwerpen weer te geven: het perspectief. In onderstaande
prent zie je hoe een object, de luit, op een plaat (het tafereel) wordt
geprojecteerd doormiddel van lijnen vanuit één punt, dat het oog wordt genoemd
en dat hier het katrol is.
Albrecht Dürer (1472-1528)1528)
Met behulp van wiskunde kunnen de wetten van het perspectief afgeleid worden,
waaronder de belangrijkste wet: lijnen die onderling evenwijdig zijn, maar niet
evenwijdig zijn aan het tafereel, gaan in de tekening door één punt, hetgeen het
verdwijnpunt wordt genoemd. De tak van wiskunde die zich bezig houdt met de
wetten van perspectief is de projectieve meetkunde. Projectieve meetkunde
bestudeert eigenschappen van figuren die behouden blijven bij projecties. Zo blijft
een kubus wel zes hoekpunten en twaalf ribben houden bij projecties. Maar de
zijden blijven niet van gelijke lengte en rechte hoeken blijven niet recht. Alhoewel
de basiswetten van het perspectief al in de zestiende eeuw ontdekt waren, kwam
de projectieve meetkunde tot een hoogtepunt in de negentiende eeuw.
De eenvoudigste vorm van perspectief is het éénpuntsperspectief. Je kent dat wel
van spoorrails. Het punt S is hier het verdwijnpunt, de stippellijn is de horizon.
Een kubus in éénpuntsperspectief kan er zo uit zien:
Wanneer dit zonder stippellijnen getekend wordt, ontstaat de indruk dat je een
kubusvormige kamer inkijkt. Je kunt echter onmogelijk vaststellen of je bijvoorbeeld
vanuit een raam de kamer inkijkt of vanuit een gat in het plafond naar beneden de
kamer in kijkt!
Dit perspectief wordt veel gebruikt in de schilderkunst, zowel voor het tekenen van
een interieur als voor het tekenen van bijvoorbeeld een plein met gebouwen.
Escher gebruikt dit perspectief in zijn prent ‘andere wereld ’ op bijzondere wijze. Hij
laat dezelfde ruimte zien, tegelijkertijd door een raam, door een kijkgat in de vloer
en door een gat in het plafond! Het effect wordt versterkt door ook de
buitenwereld af te beelden: opzij, van onderen en boven.
Wanneer je een kubus niet recht van voren bekijkt maar van opzij, of beter gezegd:
wanneer het tafereel (het vlak waarop geprojecteerd wordt) niet evenwijdig is met
een vlak van de kubus, moet twee- of driepuntsperspectief gebruikt worden.
In dit figuur zijn de verticale lijnen nog wel evenwijdig aan het tafereel. Als ook dit
niet meer het geval is en je bijvoorbeeld van boven af in de richting van een punt
van de kubus kijkt, krijg je te maken met een driepuntsperspectief.
Escher is al vroeg in zijn ontwikkeling gaan experimenteren
met de mogelijkheden van driepuntsperspectief.
Bijvoorbeeld in een prent uit 1928, “De toren van Babel.”
Een weinig bekende prent die op een bijna abstract wiskundige wijze een
driepuntsperspectief gebruikt is de prent ‘drie snijdende vlakken’. De toeschouwer
kijkt als het ware naar een hoek van een kamer. Maar de drie wanden lopen
buiten de kamer oneindig ver door, hetgeen te zien is door vierkante gaten die
deze vlakken geheel opvullen.
Andere prenten waarbij Escher de mogelijkheden van driepuntsperspectief
onderzoekt zijn o.a.: ‘diepte’, ‘kubische ruimteverdeling’ en in ‘Klimmen en Dalen’.
Escher heeft ook enkele prenten gemaakt in zogenaamd cilindrisch-perspectief.
Hierbij is het tafereel, het vlak waarop geprojecteerd wordt, niet een recht vlak
maar een gebogen vlak, namelijk een deel van een cilinder. Lijnen die in
werkelijkheid recht zijn, worden dan meestal afgebeeld op kromme lijnen. Met
wiskunde kan bewezen worden dat deze kromme lijnen sinusoïden zijn, grafieken
van de sinusfunctie. Met het volgende voorbeeld wordt het cilindrisch-perspectief
duidelijk gemaakt.
Stel dat je voor een oneindig lange muur staat en er een foto van wilt nemen. Als je
het fototoestel naar links richt, zie je de muur naar verdwijnpunt S gaan. Als je naar
rechts richt verdwijnt de muur in punt T. Het is niet mogelijk om beide
verdwijnpunten, en dus de hele muur, tegelijk op een foto te krijgen. Zou je echter
een fototoestel hebben waarbij niet op een recht vlak maar op een cilinder
geprojecteerd wordt, dan zou je wel de hele muur kunnen fotograferen. Het
resultaat zou het onderste figuur zijn, waarbij de rechte boven/ en onderkanten
van de muur vervormd zijn tot sinusoïden.
Escher gebruikt dit cilinderperspectief bijvoorbeeld in de prent “Relativiteit” en op
zeer bijzondere wijze in zijn prent ‘Boven en Onder”, zie hieronder.
De meest gecompliceerde vorm van perspectief is het zespuntsperspectief. Hierbij
wordt, net als in het oog gebeurt, geprojecteerd op (de binnenkant van) een bol.
Een kubus in zespuntsperspectief kan er zo uit zien:
Escher gebruikt deze vorm van perspectief alleen bij spiegelingen in een bol,
hetgeen verderop besproken wordt.
Op de bovenste verdieping van het Eschermuseum wordt met behulp van
éénpuntsperpectief een optische illusie gecreëerd. Van de kamer is zowel de
achterwand aan de rechterkant verschoven, als ook de vloer links verhoogd. Een
fototoestel maakt altijd gebruik van een éénpuntsperspectief. Doordat de camera
in het midden staat, lijkt het op de foto dat de jongen en het meisje in een normale
kamer staan. Op de eerste foto zie je dat de jongen groter is dan het meisje, op de
tweede die in de Kamer van Escher is gemaakt, lijkt zij groter te zijn. Zie hier het
resultaat:
Opgaven Perspectief
Opgave 1
Stel je voor dat je op de rand van de koepel van een grote kerk staat, ongeveer 50
meter boven de grond, en naar beneden kijkt. Maak met behulp van driepunts-
perspectief een tekening van wat je ziet. Hieronder zie je een plattegrond van de
kerk, met de koepel (rood) en de pilaren (rose). Je kijkt in de richting van de pijl. Je
kunt je laten inspireren door de prent ‘Sint Pieter’ van Escher.
`Sint pieter 1935´
Opgave 2
Een vliegtuig vliegt op een van de torens van het WTC af. De piloot ziet
in een laatste blik de toren boven zich uit torenen, maar tegelijk in de
diepte onder hem verdwijnen. Teken met behulp van het gebogen
perspectief dat Escher gebruikte in de prent ‘hoog en laag’ deze laatste
blik. Gebruik sinusoïden voor de verticale lijnen. Schets voldoende ramen
en verdiepingen om de tekening voor zich te laten spreken.
Opgave 3
Bij een vredesconferentie worden 100 vlaggen van landen over de hele wereld
getoond. De vlaggenmasten worden in een vierkant van 10 bij 10 opgesteld. Zie de
plattegrond hieronder. Gebruik tweepunts-perspectief om een tekening te maken
van dit woud van vlaggenmasten en vlaggen vanuit de richting van de pijl.