es3_reazioni

8/20/2019 es3_Reazioni

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Università degli Studi di Catania

Facoltà di Architettura, Sede in Siracusa, A.A. 06-07

Esercitazioni di Statica A

DETERMINAZIONE REAZIONI VINCOLARI

(a cura di S. Casciati & N. Impollonia)


2/54

ESERCITAZIONE 3

CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

• Es. 1 – Carico Concentrato

• Es. 2 – Carico Distribuito

• Es. 3 – Bipendolo // Carico

• Es. 4 – Bipendolo + Carico // Carrello

• Es. 5 – Cerniera + Carico // Carrello

• Es. 6 – Bipendolo a 45°

• Es. 7 - Mensola


3/54

Esempio 1: Carico Concentrato

l

l

l/4

F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0) x

y


4/54l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0) x

y

Rette d’Azione dei Vincoli


5/54

1A. Metodo Analitico

• Riportare la struttura libera nello spazio (priva di vincoli) esoggetta ai carichi esterni, avendo sostituito ai vincoli lereazioni vincolari incognite.

• Le reazioni vincolari incognite hanno come direzioni le retted’azione dei vincoli, mentre i loro moduli e i loro versi sonoassegnati arbitrariamente (ad esempio:forze unitarie orientate secondo gli assi di riferimento

(orizzontale verso destra e verticale verso l’alto)e momenti unitari antiorari).

• Imponendo le Equazioni Cardinali della Statica, si ottengono

i valori delle reazioni, muniti di segno.• Valore assoluto di tali valori Modulo della reazione• Segno Verso:

+ il verso arbitrario ipotizzato è quello corretto;- la reazione ha verso opposto rispetto a quello ipotizzato.


6/54

1A. Metodo Analitico

A≡0(0,0) x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

R A

RCx

RCy

(3/4)l


7/54

1A. Metodo Analitico EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA

-

Equilibrio alla traslazione orizzontale (lungo x):

F RCx −= verso sinistra

-

Equilibrio alla rotazione intorno a C :F RlF l R A A )4/3()4/3( =⇒⋅=⋅ verso l’alto

- Equilibrio alla traslazione verticale (lungo y):

F R R ACy )4/3(−=−=

verso il basso

A≡0(0,0) x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

R A

RCx

RCy

(3/4)l


8/54

A≡0(0,0) x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

R A

RCx

RCy

(3/4)l

1A. Metodo Analitico EQUAZIONI CARDINALI DELLA STATICA

-

Equilibrio alla traslazione orizzontale (lungo x):

F RCx −= verso sinistra

-

Equilibrio alla rotazione intorno a C :F RlF l R A A )4/3()4/3( =⇒⋅=⋅ verso l’alto

- Equilibrio alla traslazione verticale (lungo y):

F R R ACy )4/3(−=−=

verso il basso

Modulo di RC : F F F R R R CyCxC 5/4)(])4/3[()( 2222

=+=+=


9/54


10/54

1B. Metodo Grafico

l

l

l/4

F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0) x

y


11/54

1B. Metodo Grafico

x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)


12/54

1B. Metodo Grafico

x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

P(0,l/4)


13/54

1B. Metodo Grafico

x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡ 0(0,0)

P(0,l/4)


14/54

1B. Metodo Grafico

x

y

l

l

l/4

F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

P(0,l/4)

(3/4)l 34

rA


15/54

F

34

r A r C

(I) (II)

(III)

x

y

l

l

l/4

F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

P(0,l/4)

(3/4)l 34

r


16/54

F

34

r A r C

(I) (II)

(III)

R A RC

x

y

l

l

l/4

F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

P(0,l/4)

(3/4)l 34


17/54

x

y

l

l

l/4

F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

P(0,l/4)

(3/4)l 34

F

34

R A RC R A=(3/4)F

M d l di R FFFRRR 5/4)(])4/3[()( 2222 ++


18/54

x

y

l

l

l/4F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

P(0,l/4)

(3/4)l 3

4

F

34

R A RC

R A=(3/4)F RCy=(3/4)F

RCx=F

RCx

RCy

Modulo di RC : F F F R R R CyCxC 5/4)(])4/3[()( 2222

=+=+=

Reazioni Vincolari


19/54

Reazioni Vincolari

A≡0(0,0) x

y F

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

R A=(3/4)F

RCx=F

RCy=(3/4)F RC =(5/4)F


20/54

Esempio 2: Carico Distribuito

x

y

l

l

l/2

B(l,0)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q E (l,l/2)


21/54

x

y

l

l

l/4

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

Q= ql/2

P(0,l/4)

E (l,l/2)q

l/2


22/54

Q

3

4

R A RC

x

y

l

l

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

Q= ql/2

P(0,l/4)

E (l,l/2)q

34

l/2

l/4

Modulo di RC : 2/5/4)(]2/)4/3[()2/( 2222 qlqlql R R R CyCxC =+=+=


23/54

Q

34

R A RC R A=(3/4)ql/2 RCy=(3/4)ql/2

RCx=ql/2

RCx

RCy

Q=ql/2

x

y

l

l

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

Q= ql/2

P(0,l/4)

E (l,l/2)q

34

l/2

l/4

Reazioni Vincolari


24/54

Reazioni Vincolari

A≡0(0,0) x

y Q =ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

R A=(3/8)ql

RCx=ql/2

RCy=(3/8)ql RC =(5/8)ql

E (l,l/2)q


25/54

Esempio 3: Bipendolo // Carico

x

y

l

l

l/2

B(l,0)

E (l,l/2)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q


26/54

x

y

l

l

l/2

B(l,0)

E (l,l/2)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q


27/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

P(0,l/4)


28/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

P(0,l/4) RC =Q= ql/2


29/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

P(0,l/4) RC =Q= ql/2

R A=0

d =(3/4)l


30/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

P(0,l/4)

RC =Q= ql/2

R A=0

d =(3/4)l

M C = RC d = (3/8)ql 2

Reazioni Vincolari


31/54

Reazioni Vincolari

x

y Q= ql/2

B(l,0)

E (l,l/2)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

RC =Q= ql/2

R A=0

D(l,l/4)

M C = (3/8)ql2

Esempio 4: Bipendolo + Carico //


32/54

Esempio 4: Bipendolo + Carico //

Carrello

x

y

l

l

B(l,0) E (l/2,0)

C (l,l)

A≡0(0,0)q


33/54

x

y

l

Q= ql/2

B(l,0) D(3/4l,0)

C (l,l)

A≡

0(0,0)

q

R A=Q= ql/2

E (l/2,0)

RC =0

N.B.: Momento di una coppia = cost. = Qd rispetto ad un qualunque punto delpiano; ad es rispetto B: Q(l/4)-R (l )=Q(3/4l )=Qd


34/54

x

y

l

l

Q= ql/2

B(l,0) D(3/4l,0)

C (l,l)

A≡

0(0,0)

q

R A=Q= ql/2

d =(3/4)l

M C = Q d = (3/8)ql2

E (l/2,0)

RC =0,

piano; ad es., rispetto B: Q(l/4)- R A(l ) Q(3/4l ) Qd

Reazioni Vincolari


35/54

Reazioni Vincolari

x

y Q= ql/2

B(l,0) D(3/4l,0)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)q

R A= ql/2

RC =0

M C = (3/8)ql 2

E (l/2,0)

Esempio 5: Cerniera+Carico//Carrello


36/54

Esempio 5: Cerniera +Carico//Carrello

x

y

l

l

B(l,0)

C (l,l)

A≡ 0(0,0)q

E (l/2,0)

l/2

Equilibrio alla traslazione verticale: Eq. traslaz. orizz.:


37/54

x

y

l

l

Q= ql/2

B(l,0) D(3/4l,0)

C (l,l)

A≡0(0,0)q

E (l/2,0)

Equilibrio alla rotazione intorno B:

R A=(Q l/4) / l= ql/8

RC = RCy =Q - R A = (3/8)ql

l/4

RCx =0

Reazioni Vincolari


38/54

x

y Q= ql/2

B(l,0) D(3/4l,0)

C (l,l)

A≡0(0,0)q

E (l/2,0) R A = ql/8

RC = (3/8)ql

E i 6 Bi d l 45°


39/54

Esempio 6: Bipendolo a 45°

x

y

l

l

l/2

B(l,0)

E (l,l/2)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

45°


40/54

x

y

l

l

l/2

B(l,0)

E (l,l/2)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

45°


41/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

q

P(0,l/4)

45°

l/4


42/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

P(0,l/4)

45°

l/4

l/4

r A


43/54

Q

r C

(I) (II)

(III)

45°

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

P(0,l/4)

45°

l/4

l/4


44/54

Q

R A

RC

45°

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

P(0,l/4)

45°

l/4

l/4

RCx=Q=ql/2

RCx


45/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

P(0,l/4)

45°Q

R A RC

Cx

RCy 45°

Modulo di RC : ql R R R CyCxC 2

22=+=

/2

RCy=Q=ql/2 R A=Q=ql/2

l/4

l/4

RCx=Q=ql/2

RCx


46/54

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A≡0(0,0)

d = 2 l/8= l/(4 2 ) P(0,l/4)

R A RC

45°

l/4

l/4

(3/4)l

Q

R A RC

RCy 45°

Modulo di RC : ql R R R CyCxC 2

22=+=

/2

RCy=Q=ql/2 R A=Q=ql/2 l/4

M C = RC d = ql 2/8


47/54

l/4

x

y

l

l

l/4

Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

d = 2 l/8= l/(4 2 ) P(0,l/4)

45°

l/4

l/4

(3/4)l

RC = 2 ql/2

R A=ql/2

MC = ql2/8

Reazioni Vincolari


48/54

x

y Q= ql/2

B(l,0)

D(l,l/4)

C (l,l)

A ≡ 0(0,0)

RCy=ql/2

RCx=ql/2

R A=ql/2

M C ql /8

RC = 2 ql/2

E (l,l/2)

l/4

Esempio 7: Mensola


49/54

Esempio 7: Mensola

l

l

B C

A

F

E

l/4

l/4 D

α

Esempio 7: Mensola


50/54

Esempio 7: Mensola

l

l

B C

A

F

E

l/4

l/4 D

α

F


51/54

Esempio 7: Mensola


52/54

Esempio 7: Mensola

l

l

B C

A

F

E

l/4

l/4 D

α

F

d

α

l tgα

(3/4-tgα )l α

d = (3/4-tgα )l cosα =

= 3/4 l cosα - l sinα

Esempio 7: Mensola


53/54

Esempio 7: Mensola

l

l

B C

A

F

E

l/4

l/4 D

α

F

d

α

l tgα

(3/4-tgα )l α

d = (3/4-tgα )l cosα =

= 3/4 l cosα - l senα

Fd = 3/4 Fl cosα - Fl senα

Reazioni Vincolari


54/54

l

l

B C

A

F

E

l/4

l/4

D

α

F

(3/4-tgα )l

Fd = 3/4 Fl cosα - Fl senα

F cosα

F cosα

F senα α

F senα

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