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Ricardo Torres Andrés

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Algo más que coches y trenes:cinemática aplicada al análisis temporal deinfecciones por COVID-19 en España

Información de la actividad

Esta actividad está hecha para trabajar en grupos de 3 personas.

Antes de nada: leed en qué consiste el proyecto y pensad indivi-dualmente las respuestas.

Una vez que hayáis pensado sobre los problemas, poned vuestrasideas en común y redactad una respuesta de grupo.

La temporización del proyecto es de 2 sesiones (1 sesión para lectu-ra, ejercicios y actividades, 1 sesión para tareas). Al �nalizar la segundasesión se indicará la fecha de entrega.

La extensión máxima del documento a entregar será de cuatro ca-ras (2 folios), que irán grapadas.

Todos los miembros del grupo recibirán la misma cali�cación.

Podéis trabajar fuera del aula tanto como queráis, pero tened claroque el contenido va a entrar en el examen �nal del tercer trimestre.

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E4. Cinemática aplicada al estudio de la infección vírica por CoVID-19

Introducción...El Grupo Interdisciplinar para la modelización

epidemiológica (GiME) de la Universidad Com-plutense de Madrid se propone analizar losdatos a tiempo real para el número de ca-sos con�rmados por infección del coronavirusCOVID-19.Los datos han sido enviados a los físicos

del grupo con el �n de modelizar la evolucióntemporal y poder predecir el crecimiento de lapoblación infectada. De esta manera podríananticiparse los efectos del virus y establecerprotocolos de seguridad a nivel internacional.

Vuestro rol...

El número de nuevos casos diarios en Espa-ña desde la aparición del primer infectado, el24 de febrero, ha sido obtenido y representadopor los compañeros de la unidad de estadísticay puede observarse en la �gura 1.Como físicos del GiME debéis analizar los

resultados que os han enviado y estudiar laviabilidad de modelos que permitan predecirla evolución del número de infectados.

Figura 1: Evolución del número de nuevos casos con�rmados en España desde la aparición del primerinfectado.

Parte I. Ejercicios.

¿A que no sabes lo que hay que hacer antesde hacer cualquier cosa? ¡Exacto! Calentar... Y,para un físico que se enfrenta a un problemareal (que es siempre una cosa muy complica-da) es buena idea ir de lo más sencillo a lo másdifícil.Con tus conocimientos de matemática y tu

sentido común no deberías tardar más de 20minutos... ¡A calentar se ha dicho!

a) ¿Qué representan los ejes de abscisas y or-denadas?

Solución:

El eje de ordenadas representa el núme-ro de nuevos casos con�rmados y el ejede abscisas, el día del calendario corres-pondiente.

b) ¿Cuál es la fecha de aparición del primerinfectado con�rmado?

Solución:

El número de infectados comienza a serdistinto de cero el 24 de febrero.

c) Señala los intervalos temporales de cre-cimiento/decrecimiento del número denuevos casos.

Solución:

Aunque lo hace con distintos ritmos, elnúmero de nuevos casos siempre creceen el intervalo de tiempo considerado.

d) Calcula las velocidades medias de apari-ción de nuevos casos en el transcurso deun día para todo el intervalo de tiempoconsiderado.Nota: Tendrás que calcular tantas velocidadesmedias como días se representen.

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Solución:

La velocidad media (es decir unas de lasposibles formas de responder a la pre-gunta ¿cómo cambia el número de nuevoscasos) se calculará en cada tramo como

vi =∆iN

∆it,

donde vi es la velocidad media de cadatramo, y ∆i es el i-ésimo tramo. En nues-tra grá�ca hay siete tramos distintos, loque dará lugar a 7 velocidades medias.Por ejemplo, del 27 de febrero al 28 defebrero (ambos incluidos) la velocidad ala que cambió el número de nuevos casoscon�rmados fue

v[27−28] =16− 12 nuevos casos diarios

2 días,

es decir v[27−28] = 2nuevos casos diarios/día.La lista completa puede verse en el cua-dro 1.

e) A partir de los datos provistos por la �gu-ra 1 representa el número acumulado decasos totales en función del tiempo y cal-cula el número total de casos que hay enEspaña a fecha de 1 de marzo.

Solución:

El número de casos acumulados en uninstante determinado se obtendrá su-mando los casos anteriores a esa fecha, esdecir, si llamamos A(t) a los casos acumu-lados será A(t) =

∑ti=0Ni, representado en

la �gura (2).

à à

à

à

à

à

à

à

0 1 2 3 4 5 6 7

05

1015202530354045505560657075808590

Días desde la infección H díasL

Cas

osac

umul

ados

Figura 2: Número de casos acumulados (totales) enfunción del tiempo.

Parte II. Actividades

Como todo en la vida real, las siguientespreguntas no tienen respuestas cerradas niúnicas. Deberéis pensar, analizar y poner encomún vuestras ideas para llegar conclusio-nes. El tiempo estimado para esta parte es de25-30 minutos. Profundicemos un poco más.

a) A la vista de las velocidades medias dia-rias de aparición de nuevos contagios,¿crees que sería buena idea proponer unmodelo de evolución a velocidad cons-tante?

Solución:

A la vista del cuadro 1 se ve que las veloci-dades no son constantes, de manera queunamodelización lineal no tiene pinta deser muy efectiva si deseamos poder pre-dictivo tanto en el número de nuevos ca-sos diarios como en el número de casosacumulados.

b) Propón undescriptor que nos ayude a có-mo cambia la velocidad de aparición denuevos contagios y aplícalo a los datos es-tadísticos.Hint: ¿Qué unidades debe tener?

Solución:

Ya lo hemos hecho: ¡es la velocidad me-dia! Se trata de una magnitud que nos in-forma acerca de cómo cambia una de-terminada magnitud en el tiempo. Aquí,realmente, la �gura 1 está expresando lavelocidad de aparición de nuevos casos,por lo que la velocidadmedia de la velocidades, con todo rigor, la aceleración media.

c) A la vista del apartado anterior, ¿creesque es razonable proponer unmodelo deevolución con aceleración constante?

Solución:

Echando un ojo a la tabla 1 o a la �gura 3,puede verse que la aceleración no perma-nece constante luego, en rigor, no puededecirse que una modelización con acele-ración uniforme sea una buena aproxi-mación. Sin embargo, aunque los datosno permanezcan constantes, parece que

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Intervalo 23feb-24feb 24feb-25feb 25feb-26feb 26feb-27feb 27feb-28feb 28feb-29feb 29feb-1mar

Velocidad media 0.5 casos/día2 1.5 casos/día2 1 casos/día2 3 casos/día2 2 casos/día2 0.5 casos/día2 4.5 casos/día2

Cuadro 1: Cambio en el ritmo de aparición de nuevos casos para la infección de coronavirus en España,febrero-marzo de 2020.

hay un cierto comportamiento de osci-lación respecto a un valor constante queva a hacer que la aproximación cuadráti-ca funcione muy bien.

Lo veremos en la sección siguiente.

à à

à

à

à

à

à

à

à àà

à

à

à à

à

à à àà à

à

à

à Casos acumulados H PersonasL , a 1 de marzo

à Velocidad H Personas� día L , a 1 de marzo

à Aceleración H Personas� día² L , a 1 de marzo

0 1 2 3 4 5 6 7

05

10152025303540455055606570758085

Días desde la infecció n H díasL

Figura 3: Representación grá�ca del número de ca-sos acumulados, la velocidad de aparición de casos

diarios y la aceleración.

Parte III. Tareas (1 sesión)

Tu última tarea tiene que ver con valorar yanalizarmás profundamente las herramientasteóricas de que disponemos y trabajar con unmodelo que pueda explicar la situación y ayu-dar a salvar vidas. Pero sin presión, ¿eh?Como no tenemos modelos más comple-

tos que los que proponen velocidad de conta-gio constante o aceleración constante para elnúmero de casos con�rmados por COVID-19y debemos establecer una predicción vamos autilizar una vieja regla del trabajo cientí�co, asaber:

tener un modelo malo es mejor que notener modelo.

Modelización lineal

a) A partir de la grá�ca de casos acumuladosdesde el 24 de febrero, propón un mode-lo con velocidad de contagio constante ycálcula su v.

Solución:

Hay muchas, pero muchas posibilidades.Tantas como formas tengamos de unirdos cualesquiera de los puntos de la grá-�ca. Evidentemente eso no implica quecualquier elección sea buena. Como ejem-plo de resolución —y no es el más inteli-gente, como veremos— vamos a intentartrazar una recta en el conjunto de pun-tos de la �gura 2 utilizando el primer yel último punto. En la asignatura de ma-temáticas te enseñarán a calcular esa rec-ta sin necesidad de saber qué está repre-sentando. Pero aquí vamos a hacer físicay lo vamos a hacer sabiendo que lamode-lización de una cantidad que varía comouna recta implica una velocidad constan-te. ¿Qué velocidad? La velocidad mediaen el intervalo entre los dos puntos queescojamos, por supuesto. Pues a ello: lavelocidad media entre los puntos inicial(casos acumulados el 23 de febrero,Ci = 0)y �nal (casos acumulados el último día,Cf = 82) será

vm =Cf − Ci

tf − ti=

82− 0

7− 0=

82

7casos diarios.

Si miras tus apuntes verás que una vezque tengamos esto, asumiendo que esa esla velocidad para toda la evolución tem-poral de los casos acumulados verás quedebe ser

C(t)lineal = C0 + vm · t = 82/7 t, t en días.

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b) Desde un punto de vista geométrico, ¿aqué equivale suponer que la velocidad decontagio es constante?

Solución:

Equivale a ajustar los datos a una recta,cuya pendiente será la velocidad mediaasociada a una pareja de puntos. En nues-tro caso la modelización viene represen-tada en la �gura 4. ¿Crees que hemos ele-gido los puntos sabiamente?

c) Con ayuda de tu modelo predice el nú-mero de casos que se encontrarán el día 5de marzo y compáralo con la realidad.

Solución:

En cuanto tenemos las ecuaciones cine-máticas, sólo tenemos que hacerlas hablar.Teniendo en cuenta que el día 1 tras la in-fección es el 24 de febrero resulta que el 5demarzo será t = 11, resulta que el mode-lo prediceC(t = 11)lineal = 82

7·11 ' 129 infec-

tados. Este es un dato signi�cativamentemenor (una diferencia relativa de un 50%)a los 282 casos registrados en España has-ta esa fecha. Pero no debiera inquietar-nos porque la grá�ca (4) ya nos indicabaque los datos crecían realmente más rá-pido que nuestra recta.

Igual podemos re�nar más el modelo...

Figura 4: Modelización lineal de los casos acumu-lados a fecha de 1 de marzo de 2020.

Modelización cuadrática

d) Trabajando con la grá�ca de casos acu-mulados desde el 24/02 hasta el 01/03y suponiendo un crecimiento uniforme-mente acelerado calcula la aceleración yla velocidad inicial de contagio en Espa-ña.

Solución:

Estamos asumiendo ahora que el númerode casos acumulados sigue una represen-tación parabólica, a través de

C(t)cuad. = C0 + v0t +1

2a0t

2,

donde habrá que determinar C0, v0 y a0.¿Cómo lo hacemos?

Como al hacer lamodelización lineal: po-demos hacer muchas cosas. Lo que va-mos a hacer es elegir nuevamente dospuntos y ver qué parábola pasa por ellos, sipasa alguna. . .

Elijamos dos puntos su�cientemente se-parados, por ejemplo el día 1 y el día 7(nuevamente: está por ver si es la mejorelección) e impongamos que cumplan laecuación parabólica

C(1) = 0 + v0 · 1 + 12a0 · 12 = 1,

C(7) = 0 + v0 · 7 + 12a0 · 72 = 82.

Esta es fácil, ¿no? ¡Es un sistema de ecua-ciones para saber v0 y a0! Si lo resuelvesresulta

C(t)cuad. = −11

14t +

25

14t2,

¿Se te ocurra alguna otra manera demodelizar cuadráticamente los datos queconsideres más efectiva?

e) Desde un punto de vista geométrico, ¿aqué equivale suponer que la aceleracióndel número de contagios es constante?

Solución:

Equivale a dibujar una bonita parábolaque pase por dos puntos cualesquiera. Eneste caso la modelización puede verse enla �gura 5. El ajuste parece funcionarmuy

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bien, de manera que no es ninguna tro-pelía a�rmar que el número de casos res-ponde muy bien a una modelización conaceleración uniforme.

f) Con ayuda de este modelo cuadrático enel tiempo predice el número de nuevoscasos que se encontrarán en España el día5 de marzo y compáralo con la realidad.

Solución:

Hablemos nuevamente a las ecuaciones,a ver si nos acercamos más a la cifra realde 282 casos:

C(t)cuad. ' 207,

que es una predicción mucho más acer-tada que la modelización lineal (cosa queno nos sorprende puesto que es más so-�sticada) pero aún resulta un número al-go inferior al valor real (un 27% menor).

Figura 5:Modelización cuadrática de los casos acu-mulados a fecha de 1 de marzo de 2020.

Conclusiones

g) A la vista de estas modelizaciones: ¿es po-sible detener la infección por COVID-19en España? Estima el tiempo para el quetoda la población española estará infecta-da.Dato: En España hay unos 46 millones de ha-bitantes.

Solución:

No. No es posible: nuestros datos no nospermiten argumentar que el número de

casos acumulados vaya a detenerse o afrenarse, de manera que no podemosconcluir tal cosa sólo con la informaciónde que disponemos.

Suponiendo que la población española esde 4,6 · 107 habitantes, podemos estimarcuántos días tardaremos en infectarnostodos averiguando el tiempo en que secumplen

C(t)lineal = 4,6 · 107 =82

7t,

C(t)cuad. = 4,6 · 107 = −11

14t +

25

14t2.

La modelización lineal prevé unos 4 mi-llones de días, es decir, unos 11 000 años;mientras que la modelización cuadráticaestima un tiempo necesario de 5mil días,es decir, unos 14 años.

¿Qué esperas que suceda en realidad?

h) ¿Crees que podrías incluir estas predic-ciones en el informe �nal que el GiMEenvíe al Ministerio de Sanidad y a laOMS? ¿Qué hipótesis de trabajo hemosasumido y qué cosas no hemos tenido encuenta?

Solución:

Hemos hecho unos análisis con herra-mientas teóricas muy limitadas (sólo unmodelo lineal y un modelo cuadrático)y para un conjunto de días relativamen-te corto. Una predicción realista debe po-seer, además de otros modelos más po-tentes y datos estadísticos a lo largo demás tiempo, información acerca de cómose propaga el virus y qué medidas se es-tablecen sobre la marcha para su control.

¿Es más infeccioso cuanto más extendidoestá? ¿Hay grupos sociales con más ries-go de contagio que otros? ¿Hay condi-ciones que permitan controlar la enfer-medad tales como aislamientos, vacunas,tratamientos, etc.?

Todas estas cuestiones participan de unanálisis serio de una epidemia y no hansido tenidas en cuenta, por lo que en nin-gún caso nuestras predicciones puedenextenderse en el tiempo más allá de un

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número muy reducido de días. Por po-ner un ejemplo: nuestros modelos pre-dicen que el virus se propagará indefec-tiblemente a la totalidad de la poblaciónespañola y, además, el modelo más com-petente nos informa de que sucederá enunos 14 años: pensar que una prediccióna catorce años basada en datos recogidosa lo largo de siete días es defendible cien-tí�camente es pensar en lo excusado.

Aún así es difícil no sorprenderse de queun análisis con dos modelos sencillos co-mo el que hemos realizado permita en-tender, al menos cualitativamente, algu-nas características del comportamientodel número de infectados a lo largo deltiempo. Sirvan como ejemplos el caráctercreciente de C(t) y el aumento casi cons-tante de la velocidad de contagio en laetapa temprana de expansión.

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Coda

En realidad los modelos con los que se tra-baja proponenmodelos con aceleración varia-ble que dan una riquezamuchomayor a lo quepuede suceder con las evoluciones temporalesy, por tanto, mucha más solidez a las predic-ciones.

Échale un vistazo a la siguiente grá�ca: esun seguimiento a nivel mundial del númerode infectados y el número de casos mortalespara otro coronavirus, el SARS Co-V, que fuemuy famoso y comentado en 2002 a nivel in-ternacional.

Figura 6: Evolución del número de casos detectados y casos mortales para el coronavirus SARS Co-Ven 2002.

Varias observaciones son útiles:

i) El número de casos detectados aumentaexponencialmente al principio (la acele-ración aumenta de manera proporcionalal número de casos) y después se va fre-nando hasta permanecer constante.

ii) Este modelo no puede ser exclusivamen-te unamodelización a velocidad constan-te ni tener aceleración constante, porqueel número de casos satura llegado a uncierto tiempo.

iii) Las causas de esta saturación pueden sermuy complejas pero en general están re-

lacionadas con una disminución del nú-mero de personas susceptibles de con-traer la enfermedad debido a la existenciade una vacuna, por el éxito de medidasde prevención y contención de los infec-tados, factores geográ�cos, etc.

iv) Nuestras modelizaciones, como todaslas modelizaciones, están enfocadas atrabajar con los datos en un intervalorestringido de tiempo. De hecho, la in-fección por COVID-19 que tenemos enEspaña está en el proceso de crecimien-to exponencial, pero acabará saturandoy provocará, con el tiempo, una grá�camuy parecida a la que ves en la �gura 6.