equivalencia del teorema
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Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce 1
Revista 360 / No 4/ 2009
Equivalencia del teorema de los senos y del coseno Prof. Enrique Díaz González
En el tema de Trigonometría del curso de Precálculo se discuten dos teoremas
importantes que tienen que ver con un triángulo: el teorema (o ley) de los senos y el teorema (o
ley) del coseno. En este artículo queremos probar una proposición que no aparece en la mayoría
de los libros de Precálculo y que, sin embargo, los relaciona. La proposición es la siguiente: el
teorema del coseno implica el teorema de los senos y, recíprocamente, el teorema de los senos
implica el teorema del coseno. En otras palabras, el teorema de los senos es equivalente al
teorema del coseno.
1. El teorema de los senos ⇒ Teorema del coseno
Consideremos un triángulo ABC y el círculo circunscrito correspondiente. Una hipótesis
importante es la relación °=++ 180γβα que se verifica en cualquier triángulo.
C
B
A
b
c/2
a
r
r
r
α
β
γ
γ
De la figura se deduce que r
c
sen 2=γ ⇒ γsenrc ⋅= 2 (*)
Análogamente se obtiene: αsenra ⋅= 2 (**)
βsenrb ⋅= 2 (***)
α
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De estas igualdades se obtiene el teorema de los senos: rsen
c
sen
b
sen
a2===
γβα
Para demostrar el teorema del coseno, tomando como hipótesis las igualdades anteriores,
tenemos las siguientes igualdades:
2 βαβαβα 222222 sensensensensensen ⋅+⋅=⋅⋅
βα 222 sensen ⋅⋅ = αβ 22 )cos1( sen⋅− + βα 22 )cos1( sen⋅−
βαβαβαβα 22222222 coscos2 sensensensensensen ⋅−+⋅−=⋅⋅
βαβααββα 22222222 2coscos sensensensensensen ⋅⋅−+=⋅+⋅
Sumando a ambos miembros el término βαβα coscos2 ⋅⋅⋅⋅ sensen resulta:
βαβααββα coscos2coscos 2222 ⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ sensensensen =
βαβαβαβα 2222 2coscos2 sensensensensensen ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅++
Escribiendo como cuadrado el primer miembro y factorizando el segundo, se tiene:
)cos(cos2)coscos( 222 βαβαβαβααββα sensensensensensensensen ⋅−⋅⋅⋅++=⋅+⋅
)cos(2)]([ 222 βαβαβαβα +⋅⋅⋅++=+ sensensensensen
Como )(180 βαγ +−°= , )](180[ βαγ +−°= sensen = )( βα +sen y
)cos()](180cos[ βαβα +−=+−° = γcos
resulta:
)](180cos[2222 βαβαβαγ +−°⋅⋅⋅−+= sensensensensen
γβαβαγ cos2222 ⋅⋅⋅−+= sensensensensen
Multiplicando por 24r :
γβαβαγ cos222444 222222 ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅=⋅ senrsenrsenrsenrsenr
Reemplazando en esta fórmula las igualdades (*), (**), y (***) resulta:
γcos2222 ⋅⋅⋅−+= babac , que es el teorema del coseno.
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Permutando los valores para a , b y c se tienen las otras expresiones similares
αcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba y βcos2222 ⋅⋅⋅−+= cacab
2. El teorema del coseno ⇒ El teorema de los senos
Considerando el mismo triángulo anterior, queremos probar que a partir del teorema del
coseno se cumple la relación:c
sen
b
sen
a
sen γβα== . Partiendo de
2
2
c
sen γ se tiene:
22
2
2
2 )cos1()cos1(cos1
ccc
sen γγγγ −⋅+=
−=
Por el teorema del coseno: ab
cba
2cos
222 −+=γ
Sustituyendo en la expresión anterior, resulta:
2
222222
2
222222
2
2 )2
2()
2
2()
21()
21(
c
ab
cbaab
ab
cbaab
c
ab
cba
ab
cba
c
sen
+−−⋅
−++
=
−+−⋅
−++
=γ
222222
2222
4
)()()()(
4
])([])[(
cba
bacbaccbacba
cba
baccba
⋅⋅⋅
+−⋅−+⋅−+⋅++=
⋅⋅⋅
−−⋅−+ (*)
Efectuando el mismo procedimiento para 2
2
a
sen α resulta:
22
2
2
2 )cos1()cos1(cos1
aaa
sen αααα −⋅+=
−=
Por el teorema del coseno: cb
acb
⋅⋅
−+=
2cos
222
α
Sustituyendo en la expresión anterior, resulta:
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=⋅⋅
+−−⋅−++
=
−+−⋅
−++
=2
22
222222
2
222222
2
24
)2()2(
21()
21(
a
cb
acbbcacbbc
a
bc
acb
bc
acb
a
sen α
222222
2222
4
)()()()(
4
])([])[(
cba
cbacbaacbacb
cba
cbaacb
⋅⋅⋅
+−⋅−+⋅−+⋅++=
⋅⋅⋅
−−⋅−+ (**)
Comparando (*) y (**) vemos que son iguales y por lo tanto:
2
2
2
2
a
sen
c
sen αγ= Tomando la raíz cuadrada positiva resulta:
a
sen
c
sen αγ=
Reiterando el procedimiento anterior para la expresión 2
2
b
sen β se obtiene el mismo resultado y,
por lo tanto, c
sen
b
sen
a
sen γβα== , que es el teorema de los senos.
Se ha demostrado entonces que estos dos teoremas son equivalentes.
Referencias
Innocenti, I. V & F. Villanueva M. (1982). Lecciones de Trigonometría. Mexico: Editorial
Limusa.
Dence, J. B & T.P. Dence. (1994). A First Course of Collegiate Mathematics. Florida: Krieger
Pub. Co.
Dobbs, D. E . (1984). The Sine Law and Cosine Law are Equivalent. Mathematics Computer
Education
Enrique Díaz González, [email protected] Catedrático Auxiliar de Matemáticas de la Universidad
Interamericana de Puerto Rico –Recinto de Ponce. M.S. University of Illinois.