equilíbrio do corpo rígido etep_aula6
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Introdução
Introdução a Mecânica Clássica
O objetivo da mecânica clássica é expor a relação entre o movimento de um
corpo e as forças que agem sobre ele. Podemos descrever a aceleração em
função da força resultante que age sobre um corpo e da massa que ele possui.
Essa força constitui a interação do corpo com sua vizinhança e a massa do corpo
é uma medida da inércia do corpo, isto é, da tendência de o corpo resistir à
aceleração quando uma força age sobre ele.
1ª Lei de Newton
"Um corpo tende a permanecer em repouso ou
em movimento retilíneo e uniforme, quando a
resultante das forças que atuam sobre si for
nula".
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Introdução
• Inércia é a propriedade da matéria que faz com que ela resista a qualquer
mudança em seu movimento. Esta propriedade é descrita com precisão na lei
do movimento de Newton.
• A inércia de um objeto diante de uma translação é determinada por sua
massa. Diante de uma rotação, a inércia do objeto é determinada por seu
momento de inércia.
• Se é aplicado um mesmo par de forças (binários) a uma roda com um
momento de inércia pequeno e a uma outra com um momento de inércia
grande, a velocidade de giro da primeira roda aumentará muito mais
rapidamente que a da segunda.
• O momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da
massa ao seu eixo de rotação.
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Introdução
Momento de inércia
O momento de inércia é uma grandeza que está associada a resistência
que um corpo oferece ao se colocar o mesmo em rotação em torno de um eixo
qualquer. Dessa forma relaciona sua massa e como ela está distribuída ao redor
do eixo de rotação. De forma quantitativa é então:
Onde I é o momento de inércia r é a distância do elemento de massa dm ao eixo
de rotação.
𝐼 = 𝑟2 𝑑𝑚
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Introdução
Pode-se também definir o momento de inércia de uma superfície ou área. Nesse
caso o nome mais apropriado seria momento de segunda ondem. O nome
momento de inércia é mais apropriado a situação da definição dada
anteriormente com os elementos dm. Comumente em problemas na engenharia,
os dois são chamados de momento de inercia mesmo. A definição quantitativa do
momento de inércia para áreas ou superfícies é:
dAxIdAyI yx
22
Onde 𝑰𝒙 é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação x e y é a
distância do elemento de área dA ao exo x. E 𝑰𝒚 é o momento de inércia em
relação ao eixo de rotação y e x é a distância do elemento de área dA ao eixo y.
Momento de inércia de uma área
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Raio de giração
Raio de giração representa a distância ao eixo ou ponto correspondente na
qual se pode concentrar toda a área da superfície estudada de modo que se
tenha o mesmo momento de inércia.
Momento de inércia de uma área
A
IkAkI x
xxx 2
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Momento de inércia de uma área
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Momento de inércia de uma área
Teorema dos eixos paralelos
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Momento de inércia de uma área por integração
Da mesma maneira que definimos o momento de inércia para o eixo x,
podemos definir o momento de inércia Iy de uma superfície de área A em
relação ao eixo y.
dAxIdAyI yx
22
Momentos axiais de inércia
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Momento de inércia de uma área por integração
Calcular o momento de inércia Ix de uma superfície retangular:
dybyIddybdA x
2
h
x bhdybyI0
32
3
1
dAxIdAyI yx
22
3
3
1bhI x
Exemplo
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Momento de inércia de uma área
Tabela de momento de inércia
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Momento de inércia de uma área
Tabela de momento de inércia
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Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
A resistência de um perfil duplo T de 380mmx149mm é aumentada prendendo-
se a seu flange superior uma chapa de 150 mm x 20 mm, conforme
esquematizado na figura. Determinar o momento de inércia e o raio de giração
da seção composta em relação a um eixo passando por seu centróide C e
paralelo à chapa.
Exemplo 1
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Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Como deseja-se calcular o momento de inércia da peça composta em relação
ao seu centróide, então devemos determinar as coordenadas do centróide da
peça. Para isso identificamos na tabela abaixo a área total da peça.
Exemplo 1: Solução
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Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Exemplo 1: Solução
Cálculo do centróide
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Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Exemplo 1: Solução
Cálculo do momento de inércia.
Momento de inércia do perfil da viga.
Para o cálculo do momento de inércia do perfil da viga, usaremos o teorema dos
eixos paralelos. Com isso identificamos na tabela de valores das peças o valor
do momento de inércia da viga em relação ao seu centróide.
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Momento de inércia de uma área
Áreas compostas
Exemplo 1: Solução
Momento de inércia da chapa.
Momento de inércia
Raio de giração
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Exemplo 2
Determinação do momento de inércia
Determine o momento de inércia Ix da superfície sombreada abaixo:
Superfícies compostas
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Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Solução:
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Exemplo 2
Solução:
Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia
240,0 mm
120,0 mm
Determinação do momento de inércia
𝐼𝑥 =𝑏ℎ3
3= 1
3240 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4
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Cálculo do Ix para o semicírculo: Tabela de baricentro
Determinação do momento de inércia
Exemplo 1
mmmmammb
mmmmr
a
8,812,380,1200,120
2,381415,3.3
0,90.4
3
4
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Para calcular o momento no eixo x’ , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:
Para calcular o momento no eixo x , utilizamos o teorema dos eixos paralelos:
Determinação do momento de inércia
Exemplo 1
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2
𝐼𝐴′ = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 25,8 𝑥 106 = 𝐼 𝑥′ + 12,72 𝑥 10
3 38,2 2
𝐼 𝑥′ = 7,2 𝑥 106𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2
𝐼𝑥 = 𝐼 𝑥′ + 𝐴𝑑2 7,2 𝑥 106 + 12,72 𝑥 103 81,1 2
𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 106𝑚𝑚4
𝐴 = π𝑟2
2=1
2𝜋 90 𝑚𝑚 2
𝐴 = 12,7 𝑥 103 𝑚𝑚2
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Determinação do momento de inércia
Exemplo 1
𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 𝑚𝑚4 − 𝐼𝑥 = 92,3 𝑥 10
6 𝑚𝑚4 = 𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 138,2 𝑥 106 − 92,3 𝑥 106 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 45,9 𝑥 106 𝑚𝑚4
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Exercício 1
Exercícios
Numa chapa retangular de 500 x 300 mm é cortada uma seção retangular de base
genérica b = 250 mm e altura 120 mm (ver figura). Determine o momento de
inércia e o raio de giração em relação ao eixo x.
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Exercício 1
Exercícios
Solução:
150
x
y
250
150
375 x
y
x
y
= -
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Solução:
Cálculo do Ix para o retângulo: Tabela de Momento de inércia
500 mm
300mm
Determinação do momento de inércia
Exercício 1
𝐼𝑥 =𝑏ℎ3
3= 1
3500 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 3 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4
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Solução:
Cálculo do Ix para o retângulo interno: Tabela de Momento de inércia
Determinação do momento de inércia
Exercício 1
250 mm
120 mm
150 mm
𝐼𝑥′ =𝑏ℎ3
12=1
12250 𝑚𝑚 120 𝑚𝑚 3 = 36,0 𝑥 106 𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥′ + 𝐴𝑑2 = 36,0 𝑥 106 + 250 𝑥 120 22,5 𝑥 103 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4
𝐼𝑥 = 711,0 𝑥 106𝑚𝑚4
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Solução:
Determinação do momento de inércia
Exercício 1
150
x
y
250
150
375 x
y
x
y
= -
Momento de inércia total:
Raio de giração:
𝐼𝑥𝑇 = 4,5 𝑥 109 𝑚𝑚4 − 711,0 𝑥 109 𝑚𝑚4 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4
𝐼𝑥𝑇 = 3,79 𝑥 109𝑚𝑚4
𝑟𝑥 =𝐼𝑥𝑇𝐴𝑡=
3,79 𝑥 109 𝑚𝑚4
12 𝑥 104 𝑚𝑚2 = 177,71 𝑚𝑚
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Exercício 2
Exercícios
Determine o momento de inércia e o raio de giração da superfície sombreada em
relação ao eixo x.