equazioni differenziali - sistemi editoriali · svariati tipi di equazioni differenziali, e la...
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Equazioni differenziali
Copyright © 2005 Esselibri S.p.A.Via F. Russo, 33/D80123 Napoli
Azienda con sistema qualità certificato ISO 14001: 2003
Tutti i diritti riservati.È vietata la riproduzione anche parziale e con qualsiasi mezzosenza l’autorizzazione scritta dell’editore.
Prima edizione: settembre 2005Pt8 - Equazioni differenzialiISBN 88-513-0298-7
Ristampe8 7 6 5 4 3 2 1 2005 2006 2007 2008
Questo volume è stato stampato presso:Officina Grafica IrideVia Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 24 - Arzano (NA)
Della stessa collana:Pt1 Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di una variabile realePt2 Studio di funzioniPt3 Integrali di funzioni di una variabile realePt4 Serie numerichePt5 Successioni e serie di funzioniPt6 Limiti, continuità, calcolo differenziale per funzioni di più variabili realiPt7 Integrali di funzioni di due o più variabili reali
I capitoli 1, 3, 5, 8 sono di Adolfo RussoI capitoli 2, 4, 6, 7 sono di Vito Trimarco
Coordinamento redazionale: Carla Iodice, Stefano Minieri
Impaginazione: Grafica 3
Per conoscere le nostre novità editoriali consulta il sito internet:www.sistemieditoriali.it/puntoexe
Professionisti, tecnici e impreseGruppo Editoriale Esselibri - SimoneSesistemi editoriali
Prefazione
La risoluzione di un’equazione differenziale rappresenta uno dei metodi fondamentali per la trat-tazione di gran parte dei problemi scientifici, dalla fisica alla biologia, dalla statistica all’ingegne-ria. Per questo motivo nei corsi di base delle facoltà scientifiche viene sempre dedicato notevolespazio all’approfondimento di tale argomento, talvolta senza però fare cenno alle possibili appli-cazioni.Il testo si compone di otto capitoli nei quali si affrontano le questioni relative alla risoluzione disvariati tipi di equazioni differenziali, e la possibilità di risolverle al calcolatore. In particolare, ilsettimo capitolo riporta listati implementati in ambiente Matlab®; inoltre, nell’ottavo capitolo,non meno importante, vengono presentate alcune applicazioni delle equazioni differenziali aproblemi di fisica e ad altri ambiti (utili, in particolare, agli studenti di Ingegneria).Questo libro di esercizi è nato da una collaborazione non sempre facile, in quanto entrambi ave-vamo a cuore la realizzazione di un riferimento che fosse al tempo stesso chiaro nella parte teo-rica ed efficace nella parte esercitativa, e che potesse dare spunto per ulteriori approfondimen-ti e fornire un’idea dei metodi numerici di risoluzione che sempre più sono venuti alla ribalta ne-gli ultimi anni con lo sviluppo delle tecnologie. In molti casi le discussioni sono sfociate in ani-mosi litigi (fortunatamente nessuno si è fatto male!), tuttavia hanno contribuito in maniera deci-siva alla buona riuscita del lavoro che, con un pizzico di presunzione, forse giustificata, ritenia-mo valido per la preparazione di una prova d’esame.Ringraziamo la redazione (le cui persone si sono dimostrate sempre gentili, professionali e so-prattutto amiche), il nostro amico Giovanni Ciotola per la stima dimostrata nei nostri riguardi e ilprof. Luigi Avellino per gli utili consigli che ci ha fornito. Infine, ci auguriamo che i nostri sforzi (...afronte del vostro impegno!) vi permettano di superare in maniera brillante la prova scritta d’esa-me che vi accingete ad affrontare.
ADOLFO RUSSO, VITO TRIMARCO
3
Pre
fazi
on
e
Indice dei simboli
> maggiore
< minore
≥ maggiore o uguale
≤ minore o uguale
≠ diverso da
± più o meno
∞ infinito
→ tende a
∀ per ogni
∈ appartiene
∉ non appartiene
∪ unione tra insiemi
∩ intersezione tra insiemi
⊂ sottoinsieme proprio
⊆ sottoinsieme
⊄ non è sottoinsieme
⇒ implicazione
⇔ doppia implicazione
N insieme dei numeri naturali
R insieme dei numeri reali
log( ) logaritmo neperiano
e numero di Nepero
lim limite
∫ integrale
∑ sommatoria
′ ( )( )
′
f x
f xx
y
derivata∂
∂
� 1 Equazioni differenziali del primo ordine
1.1 Introduzione alle equazioni differenziali
Sia y una funzione incognita della variabile x, siano y ′, y″,..., y (n) le sue prime n derivate; si diceequazione differenziale ordinaria di ordine n una relazione del tipo:
F (x, y, y ′, y″,..., y (n)) = 0 (1.1.1)
Ogni funzione y = f (x) che soddisfa l’equazione differenziale (1.1.1), cioè per la quale:
F (x, f (x), f ′(x), f ″(x),..., f (n)(x)) = 0 (1.1.2)
si dice soluzione o integrale dell’equazione stessa.
Si parla di equazione differenziale ordinaria per distinguerla da un’equazione differenzialealle derivate parziali, quale può essere l’equazione di Laplace (l’operatore differenziale ∇2
prende il nome di laplaciano):
nella quale compaiono derivate parziali della funzione incognita.
Mentre un’equazione algebrica o trascendente ha soluzioni interpretabili da un punto di vistageometrico come punti, un’equazione differenziale ha per soluzione una funzione il cui dia-gramma si dice curva integrale.
La risoluzione di un’equazione differenziale comporta la determinazione di tutte le sue soluzio-ni, che sono infinite. Tali soluzioni dipendono da un numero di costanti arbitrarie dipendenti dal-l’ordine dell’equazione differenziale, e sono rappresentate da un’equazione del tipo:
y = f (x, c1, c2, ..., cn) (1.1.3)
dove c1, c2, ..., cn sono costanti arbitrarie.
Faremo nel seguito riferimento ai più importanti tipi di equazioni differenziali, ai relativi metodi disoluzione, e alla loro utilizzazione nella soluzione di semplici problemi di fisica.
Un’equazione differenziale si dice in forma normale se è risolta rispetto alla derivata di ordinemassimo, ovvero se è della forma:
y (n) = f (x, y, y ′,..., y (n−1)) (1.1.4)
D’ora in poi considereremo equazioni in forma normale. La possibilità di porre un’equazione dif-ferenziale ordinaria generale in forma normale è un problema ben diverso da quello della riso-luzione dell’equazione, e rientra nell’ambito della teoria delle funzioni implicite.
5
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
∇ = ==
∑22
21
0uu
x ii
n ∂∂
1.2 Equazioni differenziali del primo ordine
La più semplice equazione differenziale in forma normale è l’equazione differenziale del pri-mo ordine del tipo:
y ′ = f (x) (1.2.1)
Il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura l’esistenza della soluzione:
y = F (x) + c (1.2.2)
dove F è una primitiva di f, ovvero:
(1.2.3)
essendo f (x) una funzione continua nell’intervallo di definizione.
ESEMPIO
Esaminiamo le più semplici equazioni del primo ordine.
1.3 Equazioni a variabili separabili
Si dicono equazioni a variabili separabili quelle riconducibili alla forma:
(1.3.1)
da cui:
(1.3.2)
6
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
F x f x dx( ) = ( )∫
′ =
= = +∫y x
y x dxx
c
2
23
3
′ = ( ) ⋅ ( ) ( ) ≠ ∀y f x g y g y y 0
dy
dxf x g y= ( ) ⋅ ( )
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
c=3
y
x-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
e separando le variabili:
(1.3.3)
Integrando la (1.3.3) si ha:
(1.3.4)
e quindi:
G (y ) = F (x) + c (1.3.5)
Trovata, in tal modo, la soluzione generale si deve esaminare se non si sono tacitamente esclu-si degli integrali particolari nelle operazioni che portano alla separazione delle variabili.
ESEMPIO
Risolvere l’equazione:
y ′(x − 1) − y + 2 = 0
Si ha:
integrando:
quindi:
�
7
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
dy
g yf x dx
( )= ( )
essendo e primitive rispettivamente di1
eG y F xg y
f x( ) ( ) ( ) ( ).
dy
g yf x dx c
( )= ( ) +∫ ∫
dy
dxx y
dy
y
dx
x−( ) − −( ) =
−=
−1 2 0
2 1 da cui
dy
y
dx
xc y x c
−=
−+ ⇒ −( ) = −( ) +∫ ∫2 1
2 1log log
log log logy
xe k y k xc−
−
= = ⇒ = −( ) +2
11 2
y
x
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
1.4 Equazioni omogenee
Si dice omogenea un’equazione differenziale esprimibile nella forma:
(1.4.1)
Per risolvere questo tipo di equazione si pone derivando quest’ulti-ma espressione rispetto a x si ha:
y ′ = z ′ x + z (1.4.2)
che sostituita nella (1.4.1) fornisce:
z ′ x + z = f (z ) (1.4.3)
e quindi che è ancora un’equazione a variabili separabili; perciò la soluzione è:
(1.4.4)
avendo posto k = e−c, dove c è una costante arbitraria.
1.5 Equazioni del primo ordine lineari
Un’equazione differenziale del primo ordine si dice lineare quando è di primo grado rispetto al-la funzione incognita y e alla sua derivata prima y ′. Essa potrà scriversi nella forma:
y ′+ f (x) y = g (x) (1.5.1)
La soluzione di quest’equazione è data dalla formula:
(1.5.2)
ed è ricavabile col metodo della variazione delle costanti di Lagrange. Il fattore e−∫f (x)dx è detto fat-tore integrante.
METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI
y ′+ f (x) y = g (x) (1.5.3)
Cominciamo col supporre g (x) = 0. In tal caso si ha y ′+ f (x) y = 0 che è un’equazione a va-riabili separabili con soluzione:
y = ce−∫f (x)dx (1.5.4)
Per trovare una soluzione dell’equazione (1.5.3) applichiamo il metodo detto della variazione
delle costanti, supponiamo cioè che nella (1.5.4) c sia variabile in funzione di x e sostituiamo
8
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ =( ) −
zf z z
x
x kedz
f z z= ( )−∫
y z x e e g x e dx cf x dx f x dx f x dx= ( ) = ( ) +
− ∫ ( ) − ∫ ( ) − ∫ ( )∫
zy
xy z x= = ⋅e quindi ;
′ =
y fy
x
nella (1.5.3) la (1.5.4) e la sua derivata prima, per vedere se è possibile determinare c in mo-
do che la (1.5.3) sia soddisfatta. Essendo per la (1.5.3) y ′ = [c′(x) − f (x)c (x)]e−∫f (x)dx si ha, ef-
fettuando la sostituzione, c′−c ⋅ f = −c ⋅ f + g ⋅e −∫f (x)dx e quindi separando le variabili c e x e in-
tegrando: c = ∫ g (x)e −∫f (x)dx dx da cui segue la (1.5.2).
ESEMPIO
Risolvere la seguente equazione:
y ′ + 2xy = x
Poiché è f (x) = 2x e g (x) = x, applicando la (1.5.2) si ottiene:
�
1.6 Equazione di Bernoulli
Un’equazione del tipo:
y ′ = A (x) y + B (x) y n (1.6.1)
è detta equazione di Bernoulli, ed è riconducibile ad un’equazione lineare. Dividendo la (1.6.1)per y n, ed effettuando il cambio di variabile:
si ottiene:
(1.6.2)
che è un’equazione lineare.
9
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
y e e xdx k y e e xdx k y e e k y kexdx xdx x x x x x= ∫ +[ ]⇒ = ∫ +[ ]⇒ = +
⇒ = +− ∫ ∫ − − −2 2 2 2 2 2 21
2
1
2
1
1
1yu
n
ydy du
n
n
−=
− =
1
1−= ( ) + ( )
n
du
dxA x u B x
y
x
4
2
-2
-4
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ESEMPIO
Risolvere la seguente equazione:
xy ′ = −y 2 logx − 2y
dividendo per x si ottiene:
Dalla (1.6.2) si ha che:
A (x) è definita in R –{0}, e continua in ]–∞,0 [∪]0,+∞[; B (x) è definita in [0,+∞[ e continuanell’intervallo. Quindi, le soluzioni vanno cercate in ]0,+∞[. Escludendo la soluzione identi-camente nulla si ottiene:
posto l’equazione diventa:
Esprimiamo la soluzione come somma della soluzione dell’omogenea associata e di una so-luzione particolare dell’equazione. Pertanto consideriamo l’equazione omogenea associata:
Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili, per cui integrando ambo i mem-bri si ottiene:
(Integrale generale dell’omogenea associata)
Passiamo ora alla determinazione di una soluzione particolare dell’equazione completa.Supponiamo di voler trovare una soluzione particolare del tipo:
u (x) = γ (x) x 2
Sostituendo nell’equazione si ottiene:
per cui:
10
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ = − −yy
xy
x
x2 2 log
′ = − −y
y x y
x
x2
2 1 log
zy
zy
y= ⇒ ′ = − ′1 12
,
′ = +zx
zx
x
2 log
′ =zx
z2
′ ( )( )
= ⇒ ( ) = + ⇒ ( ) =∫ ∫z x
z xdx
xdx z x x c z x cx2
12 2log log
′ + = + ⇒ ′ = ⇒ ( ) = − −γ γ γ γ γx xx
xx
x
x
xx
x
x x2 2
3 2 22
2
2
1
4
log log log
u x xx
x x( ) = − −
2
2 22
1
4
log
n A xx
B xx
x= ( ) = ( ) =2
1, ,
log
L’integrale generale della completa è:
(1.6.3)
Dalla relazione precedente si ricava: Ora dobbiamo determina-
re c in modo che y (x) risulti definita in ]0,+∞[ ossia osservando la (1.6.3), z (x) > 0. Condi-zione necessaria affinché ciò accada è che sia c > 0. Per determinare la condizione suffi-ciente studiamo la funzione (1.6.3) nel caso c > 0:
L’unico punto di minimo accettabile è nel quale deve essere Quindi:
Quindi, la soluzione è:
�
1.7 Equazione di Clairaut
y = xy ′ + g (y ′) (1.7.1)
Si tratta di un’equazione non in forma normale, citata per completezza, di cui si riporta un esempio.
11
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
z x cxx( ) = − −2
2
1
4
log
y x cxx( ) = − −
−2
1
2
1
4
log.
′ ( ) = − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =z x cxx
cx
xcx x
c2
1
20
4 1
20 4 1
1
4
22 2
xc
0
1
2=
z x 0 0( ) > .
z xc
c c c0
2
20 2 0 2 1
1
4( ) =
( )⇒ ( ) ⇒ ⇒
loglog> > > >
y x cx
xc x( ) = − −
∀ ∀ ∈ +∞] [−
2
1
2
1
4
1
40
log e ,>
y
x
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ESEMPIO
Risolvere la seguente equazione:
(1.7.2)
Poniamo la (1.7.2) nella forma Derivando rispetto a x:
Imponiamo che la y (x) sia soluzione della (1.7.2)
quindi la soluzione è:
�
Questo è l’integrale generale, tuttavia ci sono degli integrali particolari che si ricavano im-ponendo x = t 2 dove t = y ′.
�
1.8 Esercizi proposti
1.8.1 Equazioni a variabili separabili
Esercizio n. 1.8.1.1
y ′ = t (1+ y 2)
Dividendo per 1+ y 2 si ha:
da cui integrando:
�
Esercizio n. 1.8.1.2
y ′ = t ⋅y
�
12
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
y xy y= ′ − ′( )1
3
3
F x y y y y x y, , .′( ) = − ′ + ′( ) =1
30
3
′ = ′ + ′′ − ′( ) ′′ ⇒ ′′ − ′( )[ ] = ⇒′′ =− ′( ) =
′′ ( ) = ⇒ ′ ( ) = ⇒ ( ) = +
y y xy y y y x yy
x y
y x y x c y x cx c
2 22
1
00
0
0
cx c xc c c c+ = − ⇒ = −13
131
3
1
3
y x cx c( ) = − 1
33
x t
y xt t t
== − =
2
3 31
3
2
3
′+
=y
yt
1 2
tc y y t
tc
2 2
2 2+ = ⇒ ( ) = +
arctan tan
′ = ⇒ = + ⇒ =y
yt y
tc y ce
t
log2
2
2
2
Esercizio n. 1.8.1.3
Dividendo per si ha:
�
Nella separazione delle variabili si è escluso l’integrale singolare y = 1.
Esercizio n. 1.8.1.4
�
Esercizio n. 1.8.1.5
�
Esercizio n. 1.8.1.6
� Risolviamo l’integrale al secondo membro con la decomposizione in fratti semplici:
�
13
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
′ = −y y 1
y − 1
dy
dx y
dy
ydx
dy
ydx y x c
1
11
1 12 1
−= ⇒
−= ⇒
−= ⇒ − = +∫ ∫
′ =y y ttan
′ = ⇒ = − + = − +
⇒ =
y
yt y t k t c
yc
t
tan cos cos
cos
log log log log
′ = − +−
yx x
y
3 2 1
2 1
2
2 1 3 2 1 2 1 3 2 12 2
2 3 2
y dy x x dx y dy x x dx
y y x x x c
−( ) = − +( ) ⇒ −( ) = − +( ) ⇒
⇒ − = − + +∫ ∫
x y y y y2 ′ + = ′ +
⇒−( ) =
++
−
⇒
⇒ −( ) = −+( )
+−( )
⇒
⇒ −( ) = − +( ) + −( ) + ⇒
⇒ −( ) = −+
+
∫ ∫
∫ ∫
2
2 1 1 1
2 11
2 1
1
2 1
2 11
21
1
21
11
1
21
2
y ydy
A
x
B
xdx
yx
dxx
dx
y x x k
yx
xk
log
log log log
log log 11
2
2
1
2
1
4
1
4
2
11
1
11
11
1
1
⇒ −( ) = −+
⇒ −( ) = −+
⇒ = + −+
y kx
x
y cx
xy c
x
x
′ −( ) = − ⇒−
=−
⇒−( ) =
−( ) +( )∫ ∫ ∫ ∫y x y ydy
y y
dx
x
dy
y y
dx
x x2
21
1 1 1 1
Esercizio n. 1.8.1.7
�
Esercizio n. 1.8.1.8
�
Esercizio n. 1.8.1.9
�
Esercizio n. 1.8.1.10
� Risolvendo per parti l’integrale al secondo membro si ottiene:
�
Esercizio n. 1.8.1.11
Separando le variabili si ottiene:
e integrando:
�
14
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ = −y te y
′ = ⇒ ′ = ⇒ = + ⇒ = +
−
y
tet y e t e
tc y
tc
y
y y2 2
2 2log
′ = −( )y y t2
′−
= ⇒ − − = + ⇒ − =
⇒ = −
− +
− +
y
yt y
tk y e
y e
tk
tk
22
22
2
22
2
2
2
log
dy
ye dxx
cos2=
tan y e c y e cx x= + ⇒ = +( )arctan
xy x′ = log
dyx
xdx
x
xdx= ⇒∫log log
y cx= 1
22log
tan y e c y e cx x= + ⇒ = +( )arctan
′ =y e yx cos2
dy
ye dxx
cos2=
Esercizio n. 1.8.1.12
�
Esercizio n. 1.8.1.13
Consideriamo le due rette di equazioni x – 3 = 0 e y – x + 2 = 0; esse si intersecano nel puntodi coordinate (3,1).Poniamo quindi ξ = x − 3 e η = y − 1 e l’equazione di partenza diventa:
Eseguiamo la sostituzione dall’equazione precedente si ricava:
Risolviamo l’integrale al primo membro dell’equazione:
Quindi si ottiene:
15
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
′ = −− +
yx
y x
3
2
′ =−
=
−
η ξη ξ η
ξ
2 2
1
z z= ( ) =ξ ηξ
;
ξξ
ξξ
ξ′ = − − −−
⇒ −− + +
= ⇒ −− + +
=∫ ∫zz z
z
z
z zdz d
z
z zdz d
2
2 2
2
1
1
2
1 1
2
1
1
2
2 2
2
1
2
2 1 1
2
1
2
2 1
2
1
2
1
22
1 2
1
22
2 2 2 2
2
2
z
z zdz
z
z zdz
z
z zdz
z zdz
z zA
z
B
zdz
z z
−− + +
= − −− + +
= −− + +
+− −
=
= − − + +( ) ++
+−
=
= − − + +
∫ ∫ ∫∫∫log
log(( ) ++( )
−−( )
=
= − − + +( ) + +( ) − −( )
=
= +−
− + +
∫∫ 1
3 1
1
3 2
1
22
1
31
1
32
1
2
1
2
1
2
2
1
3
2
zdz
zdz
z z z z
z
z z z
log log log
log
′ =−
yy
x x1 2 arcsen
dy
dx
y
x x
dy
y
dx
x x
y x c y k x
=−
⇒ =−
⇒
⇒ = + ⇒ =1 12 2arcsen arcsen
arcsen arcsenlog log
log log logz
z z zk k
z zc
+−
− + +
= + = ⇒
⇒ − +( ) −( ) =
1
2
1
2
1 2
1
3
2
1
2
1
2
3
ξ ξ
ξ
Ricordando che si ottiene l’integrale generale dell’equazionedi partenza:
�
1.8.2 Equazioni omogenee
Esercizio n. 1.8.2.1
Questa è un’equazione riconducibile ad un’equazione omogenea; dividendo ambo i membri perxy si ha:
posto quindi e quindi y = zx ⇒ y ′ = z′x + z si ottiene:
tenuto conto della posizione fatta si ha infine:
�
Esercizio n. 1.8.2.2
L’equazione può anche scriversi nella forma:
posto e quindi y ′ = t + t ′x si ha:
da cui:
(1.8.1)
Scomponiamo in fratti semplici:
da cui:
16
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
z x y= = − = −ηξ
ξ η , ,e che 3 1
− + −( ) − +( ) =y x y x c4 2 52
xyy x y′ = +2 2
′ = +yx
y
y
x
zy
x=
′ + = + ⇒ ′ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = +
∫∫z x zz
z z xz
zdzx
dx zdzx
dx
zx c
1 1 1 1
2
2
log
y
xx c y x x c
2
2
2 2
22= + ⇒ = +( )log log
y y xy x y2 22′ + = ′
′ =−
yxy
x y
22 2
ty
x=
t t xtx
x t x
t
t+ ′ =
−=
−2 2
1
2
2 2 2 2
dt
dxx
t
tt
t t
t
dx
x
t
t tdt=
−− = +
−⇒ = −
+∫ ∫2
1 1
12
3
2
2
3
1
1 1
2
2 2
−+( ) = +
+( )t
t t
A
t
B
t
1 12 2− = +( ) +t A t Bt
per t = 0, si ha 1 = A, che sostituito nella precedente espressione fornisce:
la (1.8.1) diventa quindi:
ossia:
�
che è l’integrale generale dell’equazione di partenza e rappresenta una famiglia di circonferenze.
Esercizio n. 1.8.2.3
Riconduciamo l’equazione ad un’equazione a variabili separabili:
Ponendo ek = c si ottiene:
�
1.8.3 Equazioni lineari del primo ordine
Esercizio n. 1.8.3.1
Calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(1.8.2)
e derivando si ha:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
17
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
1 1 22 2− = + + ⇒ = −t t Bt B t
dx
x tdt
t
tdt x t t c x
ct
t
cxy
x y∫ ∫ ∫= −+
⇒ = − +( ) + ⇒ =+
=+
1 2
11
12
2
2 2 2log log log log
x y cy2 2 0+ − =
′ + =y x ytan tan 0
dy
dx y x
dy
y
dx
x
dy
y
dx
x
y x k y x ek
1 1
tan tan tan tan tan tan
sen sen sen sen
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒
⇒ = − + ⇒ ⋅ =
∫ ∫log log
sen seny x c⋅ =
′ − =yx
y x x1
sen
e e xxdx
x− −∫ = =
1log
y z x x= ( ) ⋅
′ = ′ +y z x z
′ + − =z x zx
y x x1
sen
da cui per la (1.8.2) si ha:
che sostituita nella (1.8.2) fornisce:
�
Esercizio n. 1.8.3.2
Calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(1.8.3)
che derivata fornisce:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
da cui per la (1.8.3) si ha:
che, sostituita nella (1.8.3), fornisce:
�
Esercizio n. 1.8.3.3
Calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(1.8.4)
che derivata fornisce:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
18
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ = ⇒ ′ = ⇒ ( ) = − +z x x x z x z x x csen sen cos
y x c x= −( )cos
′ −+
+ −( ) =yx
y x1
12 1 02
e e xxdx
x− −
+ +∫ = = +1
1 1 1log
y z x x= ( ) +( )1
′ = ′ +( ) +y z x z1
′ +( ) + −+
= −( )z x zx
y x11
12 1 2
′ = −( )⇒ ( ) = − +z x z x x x c2 1 2 2
y x x x c= +( ) − +( )1 2 2
′ = −y xy x2 2 3
e exdx
x− −∫ =
2 2
y z x e x= ( ) 2
′ = ′ + ⋅ ⋅y z e z x ex x2 2
2
′ + − = −z e xze xy xx x2 2
2 2 2 3
da cui per la (1.8.4) si ha:
Risolvendo l’integrale per parti si verifica facilmente che:
che sostituita nella (1.8.4) fornisce:
�
Esercizio n. 1.8.3.4
Dividiamo l’equazione per x e calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(1.8.5)
che derivata fornisce:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
da cui per la (1.8.5) si ha:
che sostituita nella (1.8.5) fornisce:
�
Esercizio n. 1.8.3.5
Dividiamo l’equazione per x e calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(1.8.6)
che derivata fornisce:
19
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
′ = − ⇒ ′ = − ⇒ ( ) = −− −∫z e x z x e z x x e dxx x x2 2 2
2 2 23 3 3
z x e x cx( ) = +( ) +− 2
1 2
y ce xx= + +2 2 1
xy y x x′ − − =2 0cos
e e xxdx
x− −∫ = =
1log
y z x x= ( ) ⋅
′ = ′ +y z x z
′ + − − =z x zy
xx x2 0cos
′ = ⇒ ( ) = = +∫z x z x xdx x ccos cos sen
y x x cx= +sen
xy y x′ − − − =2 1 0
e e xxdx
x− −∫ = =
1log
y z x x= ( ) ⋅
′ = ′ +y z x z
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
da cui per la (1.8.6) si ha:
che sostituita nella (1.8.6) fornisce:
�
Esercizio n. 1.8.3.6
Risolvere la seguente equazione differenziale:
Dividiamo l’equazione per senx ottenendo:
Notiamo che y = sen x per x = kπ non è un integrale singolare dell’equazione. Per risolvere l’e-quazione calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(1.8.7)
che derivata fornisce:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
da cui per la (1.8.7) si ha:
che sostituita nella (1.8.7) fornisce:
�
20
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ + − − − =z x zy
xx
x
10
′ = + ⇒ ( ) = − +zx
z x xx
c11 1
2
y x cx= + −2 1
sen cosx y x y e x( ) ′ + ( ) =
′ + =yx
xy
e
x
xcos
sen sen
e ex
x
xdx
x−
−∫ = =cos
sensin logsin 1
y z xx
= ( ) ⋅ 1
sen
′ = ′ −y zx
zx
x
12sen
cos
sen
′ − + =zx
zx
x
x
xy
e
x
x12sen
cos
sen
cos
sen sen
′ − + = ⇒ ′ = ⇒ ′ = ⇒ ( ) = +zx
zx
x
x
xz
e
xz
x
e
xz e z x e c
x xx x1 1
2sen
cos
sen
cos
sen sen sen sen
ye c
x
x
= +sen
Esercizio n. 1.8.3.7
Risolvere la seguente equazione differenziale:
Risolviamo per prima cosa l’equazione omogenea associata:
Separando le variabili si ottiene:
e integrando:
� Esprimiamo il prodotto sen x cos x in funzione della tangente, ottenendo:
L’integrale quindi diventa:
essendo 1+ tan2 x la derivata di tan x. La soluzione dell’omogenea quindi è:
Determiniamo una soluzione particolare mediante il metodo della variazione delle costanti di La-grange; assumiamo quindi una soluzione particolare del tipo:
(1.8.8)
la cui derivata è:
(1.8.9)
Sostituendo le (1.8.8) e (1.8.9) nell’equazione di partenza otteniamo:
Quindi la soluzione particolare è:
e l’integrale generale dell’equazione completa sarà:
�
21
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
′ − = −yy
x x
x
xsen cos
sen
cos
2
′ − =yy
x xsen cos0
dy
dx
y
x x
dy
y
dx
x x− = ⇒ =
sen cos sen cos0
dy
y
dx
x x= ∫∫ sen cos
sen costan
tanx x
x
x=
+1 2
log logyx
xdx x c= + = +∫ 1 2tan
tantan
y x k x( ) = tan
y c x xp = ( ) tan
′ = ′ ( ) + ( )y c x x c xx
tancos
12
′ ( ) + ( ) −( ) = − ⇒
⇒ ′ ( ) = − ⇒ ′ ( ) = − ⇒
⇒ ( ) =
c x x c xx
c x x
x x
x
xc x x x x c x x
c x x
tancos
tan
sen cos
sen
costan sen tan sen
cos
12
2
y x x xp = =cos tan sen
y x k x x( ) = +tan sen
Esercizio n. 1.8.3.8
Risolvere la seguente equazione:
Risolviamo prima l’equazione omogenea associata:
Separando le variabili si ottiene:
Troviamo ora una soluzione particolare con il metodo della variazione delle costanti di Lagrange:
(1.8.10)
la cui derivata prima è:
(1.8.11)
Sostituendo le (1.8.10) e (1.8.11) nell’equazione di partenza otteniamo:
da cui:
Quindi:
e in conclusione l’integrale generale dell’equazione completa è:
�
1.8.4 Equazioni di Bernoulli
Esercizio n. 1.8.4.1
Risolvere la seguente equazione di Bernoulli:
Si tratta di un’equazione con esponente n = 3; notiamo che la funzione y = 0 è una soluzione. Sey ≠ 0, dividendo per y 3 otteniamo:
22
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ = −+
+ −yy
xe xx
1 2
arctan 2log
′ ++
=yy
x10
2
dy
y
dx
xy x c y e y kex c x= −
+⇒ = − + ⇒ = ⇒ =− + −
1 2log arctan arctan arctan
y x c x epx( ) = ( ) −arctan
′ ( ) = ′ ( ) − ( )+
− −y x c x e c x ex
px xarctan arctan 1
1 2
′ ( ) − ( )+
= − ( )+
+− − − −c x e c x ex
c x ex
e xx x x xarctan arctan arctan arctan 2log1
1
1
12 2
′ ( ) = ⇒ ′ ( ) = ⇒ ( ) = − −( )− −c x e e x c x x c x x x x xx xarctan arctan 2 2 2log log log log2 1
y x x x x x x epx( ) = − +( ) −log log2 arctan2 2
y x ke x x x x x ex x( ) = + − +( )− −arctan 2 arctanlog log2 2
′ = −( )y x y y 3
′ = −−y
yxy x
3
2
Ponendo z = y −2 ⇒ z ′ = −2y −3 y ′, otteniamo un’equazione lineare nell’incognita z:
(1.8.12)
Calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha:
(1.8.13)
e derivando si ha:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione (1.8.12) si ha ancora:
da cui per la (1.8.13) si ha:
Dalla (1.8.13) si ottiene quindi che:
Infine, la soluzione dell’equazione di partenza è data da:
� (1.8.14)
Tutte le soluzioni espresse dalla (1.8.14) sono di segno costante, cioè positive o negative perogni x. La soluzione y = 0, trovata all’inizio, non si ottiene dalla (1.8.14) per alcun valore di c, percui essa è un integrale singolare.
Esercizio n. 1.8.4.2
Integrare l’equazione:
(1.8.15)
L’equazione è del tipo:
E quindi è un’equazione di Bernoulli che si può riscrivere dividendo entrambi i membri per y 2,nella forma:
(1.8.16)
23
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
′ + − =z xz x2 2 0
e exdx
x−
−∫ =2 2
z u x e x= ( ) − 2
′ = ′ −− −z u e xe ux x2 2
2
′ − + =− −u e xe u xz xx x2 2
2 2 2
′ − + = ⇒ ′ =
⇒ = ⇒ = +
− − −
∫u e xe u xue x u xe
u xe dx u e c
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
z x ce x( ) = + −12
y x ce x( ) = ± +( )−−
12 1 2/
′ − =y xy x y3 2
′ + ( ) = ( )y a x y f x y1α
′ − =y
yx
yx
2
31
Si noti che questa equazione non è equivalente alla (1.8.15) in quanto non ammette l’integralenullo. Per integrarla poniamo:
Poiché y (x) soddisfa la (1.8.16), la funzione z (x) soddisfa l’equazione che da essa si ottieneesprimendo il primo membro in funzione di z (x). Osserviamo che si ha:
ossia.
Pertanto, poiché risulta:
risulta anche −z ′ (x) −xz (x) = x 3. Quindi z (x) soddisfa l’equazione −z ′ (x) −xz (x) = x 3 ossia l’e-quazione:
(1.8.17)
che è un’equazione lineare completa del 1° ordine. L’equazione omogenea associata è:
che è un’equazione a variabili separabili riscrivibile nella forma:
(1.8.18)
Per integrare quest’ultima, detto z un generico integrale di essa, osserviamo che si ha:
e quindi:
con k opportuna costante reale. Pertanto, si ha:
ossia:
Posto pertanto la funzione:
Fornisce l’integrale generale della (1.8.18).
24
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
1
yz=
′ ( ) =− ′ ( )
( )z x
y x
y x2
′ ( )( )
= − ′ ( )y x
y xz x
2
′ ( )( )
−( )
=y x
y xx
y xx
2
31
′ + = −z xz x 3
′ + =z xz 0
dz
zxdx= −
log zx
k= − +2
2
dz
zxdx∫ ∫= −
z e ekx
=−
2
2
z e ez x x
z x xk
x
= ±+ ( ) ∀ ∈− ( ) ∀ ∈
−2
20
0
se risulta
se risulta
>
< R
c e z cekx
= ± =−
si ha2
2 ,
z ce cx
= ∈−
2
2 con ℜ − { }0R
R
Cerchiamo ora un integrale particolare della (1.8.17) col metodo di Lagrange, ovvero un inte-grale particolare del tipo:
Con γ (x) funzione derivabile incognita da determinare. Per determinare γ (x) imponiamo cheu (x) sia un integrale della (1.8.17). Ciò facendo si ha:
Quindi si ha:
Pertanto, si ha Quindi la funzione:
fornisce l’integrale generale della (1.8.17). Ponendo in essa si ottiene l’equazione (dipen-dente dal parametro c):
La quale è un integrale generale in forma implicita della (1.8.15). L’integrale generale in formaesplicita sarà dato da:
�
25
1.E
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i del
pri
mo
ord
ine
u x x ex
( ) = ( )−
γ2
2
′ ( ) + ( ) −( ) + ( ) = − ⇔ ′( ) = −− − −
γ γ γ γx e x e x x x e x x x ex x x x2 2 2 2
2 2 2 3 3 2
γ x x e dx x d e x e e xdx
x e d e x e e c e x c
x x x x
x x x x x
( ) = − = −
= − + =
= − +
= − + + = −( ) +
∫ ∫ ∫
∫
3 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
u x x e xx
( ) = ( ) = −( )−γ
2
2 22 .
z ce x cx
= + −( ) ∈2
2 22 con R
zy
= 1
12
2
2 2
yce x
x
= + −( )
y
ce xx
=+ −( )
1
22
2 2
� 8 Applicazioni delle equazioni differenziali
Problema n. 8.1
In figura è mostrato un circuito R-L serie con una tensione applicata E (t) = 240 (1 − e–t/3). Rica-vare:
1. l’espressione della corrente in funzione del tempo;
2. la soluzione del problema di Cauchy associato con condizione iniziale i (0) = 0.
1. � Applicando la legge di Kirchhoff si ottiene:
E (t) = VR + VL
avendo indicato con VR e VL le cadute di tensione rispettivamente sul resistore e sull’indut-tore; ricordiamo dall’elettrotecnica che le cadute si possono esprimere come:
Quindi, possiamo riscrivere la legge di Kirchhoff come:
Sostituendo i valori in figura si ottiene l’equazione differenziale lineare del primo ordine da ri-solvere:
Calcoliamo il fattore integrante:
Per la (1.5.2) si ha quindi:
(8.1)
e derivando si ha:
Sostituendo l’espressione precedente nell’equazione di partenza si ha ancora:
117
8.A
pp
licaz
ion
i del
le e
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i
V R IR = ⋅
V LdI
dtL =
E t RI LdI
dt( ) = +
dI
dtI e t+ ⋅ = ⋅ −( )−6 10 48 10 15 3 3/
e edt
t− ⋅
− ⋅∫ =6 10
6 105
5
I z t e t= ( ) ⋅ − ⋅6 105
′ − ⋅ + ⋅ = ⋅ −( )− ⋅ − ⋅ −z e ze I et t t6 10 5 6 10 5 3 35 5
6 10 6 10 48 10 1 /
′ = ′ − ⋅− ⋅ − ⋅I z e zet t6 10 5 6 105 5
6 10
R=3kohm
E(t)L=5mH
e quindi:
che sostituita nella (8.1) fornisce:
�
2. Imponendo la condizione iniziale si ricava:
�
Problema n. 8.2
Un corpo di massa m si muove sotto l’azione di una forza elastica F = − kx (k è la costante ela-stica ed x è lo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio). Determinare la legge orariadel moto x = x (t), sapendo che per t = 0 è x = R e v = 0 (velocità).
� Ricordando che F = ma e che a (accelerazione) è la derivata seconda di x rispetto al tempo,possiamo scrivere:
mx″ = − kx
Si tratta di un’equazione lineare omogenea del secondo ordine che possiamo porre nella formausuale:
L’equazione caratteristica associata è:
che ha radici reali complesse immaginarie pure
Dalla tabella 2.1, essendo nel caso si ha che la soluzione dell’equazione è:
Da questa equazione possiamo giungere all’espressione della velocità v in funzione del tempo(v = x ′):
118
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
′ = ⋅ −( ) ⇒
⇒ ( ) = ⋅ −( ) ⋅ = ⋅ − ⋅
⋅ −+
− ⋅ −
− ⋅ − ⋅⋅ −
∫
z e e
z t e e dt e e c
t t
t t tt
6 10 3 3
3 3 6 10 2 6 103
5
6 101
3
5
5 55
48 10 1
48 10 1 8 1048 10
6 101
3
/
/
I e cet
t= ⋅ − ⋅
⋅ −+−
−− ⋅8 10
48 10
6 101
3
23
5
1
3 6 105
c = ⋅
⋅ −− ⋅ −48 10
6 101
3
8 103
5
2
′′ + =xk
mx 0
α 2 0+ =k
m
±ik
m.
∆4
0 0< , a =
x t Ak
mt B
k
mt( ) =
+
cos sen
v Ak
m
k
mt B
k
m
k
mt= −
+
sen cos
e imporre alle due leggi x = x (t) e v = v (t) di soddisfare alle condizioni iniziali x (0) = R e v (0)
= 0 ottenendo Dunque, l’equazione del moto risulta:
�
Problema n. 8.3
Consideriamo un barile di acqua che può essere svuotato mediante un rubinetto; all’istante t = 0 ilrubinetto viene aperto. Il livello dell’acqua nel barile è indicato con h [m]; all’istante t = 0 il livello h èpari a 6. La variazione del livello in funzione del tempo è descritta dalla seguente relazione:
Trovare la legge che esprime il livello h in funzione del tempo.
Si tratta, semplicemente, di risolvere il seguente problema di Cauchy, avendo individuato in h (0)= 6 la condizione iniziale.
L’equazione differenziale è un’equazione a variabili separabili facilmente integrabile:
Imponendo la condizione iniziale si ottiene:
Quindi la soluzione del problema è:
�
Problema n. 8.4
Consideriamo un circuito elettrico costituito da una resistenza R, un’induttanza L e un conden-satore C in serie, a cui sia applicata una tensione variabile V (t).Determinare l’espressione della carica immagazzinata nel condensatore al variare del tempo.
119
8.A
pp
licaz
ion
i del
le e
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i
R A Bk
m= =, .0
x t Rk
mt( ) =
cos
dh
dth= − ⋅ −3 5 10 3.
dh
dth
h
= − ⋅
( ) =
−3 5 10
0 6
3.
dh
hdt
dh
hdt h
t c= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ =
⋅ +( )− −−
∫ ∫3 5 10 3 5 103 5 10
43 3
3 2
. ..
hc
c04
63
2
2
( ) = = ⇒ =
h
t
=− ⋅
−3
23 5 10
4
3
2
.
V(t)
R C
L
� Dall’elettrotecnica sappiamo che, per la prima legge di Kirchhoff, la somma delle cadute ditensione in una maglia deve essere nulla, ossia:
VR + VC + VL = V (t) (8.2)
Inoltre, sappiamo che le cadute sui tre componenti passivi si possono esprimere come:
avendo indicato con Q (t) la carica immagazzinata nel condensatore. Quindi sostituendo le treprecedenti espressioni nella (8.2) si ottiene:
che è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti; cercando unasoluzione del tipo:
Q (t) = Aeiωt
per l’equazione omogenea associata, troviamo l’equazione caratteristica:
LSe ∆ = R 2 −4 –– > 0 si trova la soluzione decrescente:C
�
LSe ∆ = R 2 −4 –– < 0 si ha la soluzione oscillante:C
�
In particolare, per R = 0 si ha:
dove A è l’ampiezza e ϕ la fase.
LSe R 2 −4 –– = 0 si trova la soluzione:C
�
120
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
V R I RdQ t
dtR = ⋅ =
( )
VQ t
CC =
( )
V LdI
dtL
d Q t
dtL = =
( )2
2
Ld Q t
dtR
dQ t
dt
Q t
CV t
2
2
( ) +( ) +
( ) = ( )
L RC
ω ω2 10+ + =
Q t e c e c eR
Lt
t
L
t
L( ) = +
− −2
12
22
∆ ∆
Q t Aet
L
R
Lt( ) = −
+
−2
2cos
∆ ϕ
Q t At
L( ) = −
+
cos∆
2ϕ
Q t e c c tR
Lt( ) = +[ ]−2
1 2
Problema n. 8.5
In un serbatoio cilindrico, di base 3dm 2 e altezza 1 metro, viene immessa acqua con portata co-stante di 3 litri al minuto. L’acqua viene poi assorbita dal fondo con velocità proporzionale al vo-lume di acqua presente secondo la costante di proporzionalità 1/10 (esprimendo il volume in li-tri e la velocità di uscita in litri al minuto). All’istante t = 0 il serbatoio è vuoto. Determinare il tem-po necessario perchè il livello dell’acqua raggiunga 5dm e dire, giustificando la risposta, se il re-cipiente si riempie.
Indicando con y (t) il volume dell’acqua contenuta nel serbatoio all’istante t, la variazione di y
nell’intervallo [t, t + ∆t ] può essere espressa da Dividendo per
∆t e facendo tendere questa quantità a zero, otteniamo l’equazione differenziale del primo ordine
La soluzione generale di questa equazione si ottiene come segue:
Dalla condizione iniziale y (0) = 0 otteniamo c = − 30 e quindi il volume dell’acqua presente nelserbatoio all’istante t è dato da
Il livello dell’acqua è di 5dm quando il volume dell’acqua è 15 litri. Posto quindiotteniamo t = 10 log 2. Sono quindi necessari 10 log 2 minuti affinché il livello dell’acqua rag-giunga i 5dm.
� Il serbatoio non si riempie. Infatti, da otteniamo che non ha solu-zioni finite.
Problema n. 8.6
Un corpo è esposto ad una temperatura costante di 280K. Dopo 1 minuto la temperatura del cor-po è 350K e dopo 5 minuti è 310K. Trovare un’espressione per la temperatura θ in funzione deltempo t. Rappresentare l’andamento della temperatura θ in funzione del tempo t.
� Ricordando la legge di Newton che afferma che la velocità con la quale un corpo si raffred-da è proporzionale alla differenza tra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente circo-stante secondo una costante di proporzionalità detta k, possiamo scrivere:
Separando le variabili si ottiene:
121
8.A
pp
licaz
ion
i del
le e
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i
y t t y t t y t t+( ) − ( ) ≈ − ( )∆ ∆ ∆31
10.
′ = −y y31
10
′ + = ⇒ ′ + = ⇒
= ⇒ = +
⇒ ( ) = +−
y y e y e y e td
dte y e e y e c
y t ce
t t t t t t
t
1
103
1
103
1
103 30
30
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
y t et
( ) = −−
30 301
10
15 30 301
10= −−
et
30 30 301
10= −−
et
et−=
1
10 0
d
dtk
θ θ= −( )280
dkdt
θθ −
=280
e integrando:
Siccome t è espresso in secondi abbiamo che:
log(350−280) = k ⋅ 60 + ce
log(310−280) = k ⋅ 300 + c
Risolvendo le due precedenti equazioni con k = − 3.53 ⋅ 10–3 si ottiene c = 4.46. Pertanto, sosti-tuendo questo valore nell’espressione precedente e passando agli esponenziali si ottiene:
� θ = 280 + e4.46–(3.53⋅10–3)t
Problema n. 8.7
Il sistema in figura è costituito da una massa attacca-ta ad una molla di costante elastica k e soggetta aduna forza pari a F sen (2t ) lungo x.Ricavare l’equazione del moto.
� Ricordando la legge di Hooke per un sistema sot-toposto ad una forza esterna si ottiene:
ovvero:
Si tratta di un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti che può essererisolta con i metodi illustrati in precedenza. In particolare l’integrale dell’equazione omogeneaassociata risulta del tipo:
x = A cos (ωt ) + B sen (ωt )
dove .
122
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
dkdt kt c
θθ
θ−
= ⇒ −( ) = +∫ ∫280280log
md x
dtkx F t
2
22= − + ( )sen
d x
dt
k
mx
F
mt
2
22+ = ( )sen
ω = k
m
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750
350
300
250
200
150
100
50
-50
temperaturay
280
tempo
x
k
x
n
F sen2t
Determiniamo, ora, una soluzione particolare, del tipo:
xp (t) = C sen (2t ) + D cos (2t )
Con semplice derivazione della funzione precedente si ricava:
Affinché xp sia soluzione dell’equazione di partenza occorre che:
In definitiva, la soluzione generale dell’equazione completa è:
�
Problema n. 8.8
La popolazione di una città ha un tasso di crescita, risultante dalle nascite e dalle morti edespresso in individui per anno, proporzionale al numero di abitanti e con coefficiente di propor-zionalità 0.1. Ogni anno inoltre 10.000 individui emigrano verso altre città.
1. Supponendo che all’istante iniziale il numero di abitanti sia 200.000, determinare la fun-zione N = N (t) che dà il numero di abitanti all’istante t (in anni).
2. Supponendo che all’istante iniziale il numero di abitanti sia N0 > 0, dire per quali valori diN0 la popolazione si estingue.
La variazione di N (t ) nell’intervallo [t, t + ∆t ] può essere espressa da:
Dividendo a destra e sinistra per ∆t e facendo tendere a zero, otteniamo l’equazione differen-ziale:
La cui soluzione generale è:
1. Posto N (0) = 200.000 otteniamo c = 100.000 e quindi il numero di abitanti in funzione deltempo diventa:
�
2. Posto N (0) = N0, otteniamo c = N0 − 100.000 e quindi il numero di abitanti in funzione del
tempo diventa La popolazione si estingue se esistono
123
8.A
pp
licaz
ion
i del
le e
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i
′′ + = − ( ) − ( ) + ( ) + ( )( )
= −
( ) + −
( ) = ( )
xk
mx C t D t
k
mC t D t
k
mC t
k
mD t
F
mt
p p 4 2 4 2 2 2
4 2 4 2 2
sen cos sen cos
sen cos sen
Dk
mC
F
mC
F
k m= −
= ⇒ =−
0 44
e
x A t B tF
k mt= ( ) + ( ) +
−( )cos sen senω ω
42
N t t N t N t t t+( ) − ( ) ≈ ( ) −∆ ∆ ∆1
1010 000.
′ ( ) − ( ) = −N t N t1
1010 000.
N t cet
( ) = +100 0001
10.
N t et
( ) = +100 000 100 000 10. .
N t N et
( ) = + −( )100 000 100 0000
1
10. . .
valori di t > 0 tali che N (t ) = 0, cioè se l’equazione ha so-luzioni positive. Questa equazione equivale a:
L’equazione ha una soluzione reale per tale soluzione è, inoltre, positiva
per cioè per:
� N0 <100.000
Problema n. 8.9
Un veicolo deve essere arrestato usando una
parete elastica. La massa del veicolo è 3⋅103 kg,
la costante elastica è la for-
za con cui il veicolo è spinto verso la parete è
6⋅103N. Determinare l’espressione della com-
pressione x in funzione di t, assumendo come
condizioni iniziali x (0) = 0, x ′ (0) = 0.
� Applicando la seconda legge di Newton otteniamo l’equazione differenziale da risolvere perottenere l’espressione di x:
3⋅103 x″ + 27⋅103 x + 6⋅103 = 0
Dividendo tutto per 3⋅103 si ottiene:
x″ + 9x + 2 = 0
che è un’equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti; l’integrale generaledell’equazione omogenea associata è:
x (t) = A cos (3t ) + B sen (3t )
Un integrale particolare si può determinare invece imponendo una soluzione costante, e quindiannullando la derivata seconda:
Quindi, l’integrale generale dell’equazione completa sarà:
Applicando le condizioni iniziali otteniamo:
124
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
100 000 100 000 00
1
10. .+ −( ) =N et
eN
tN
t1
10
0 0
100 000
100 00010
100 000
100 000= −
−⇒ = −
−
.
.
.
.log
−−100 000
100 0000
0
.
.;
N>
−−100 000
100 0001
0
.
.
N>
kN
m= 27 103⋅ ,
9 2 02
9x x+ = ⇒ = −
x t A t B t( ) = ( ) + ( ) −cos sen3 32
9
A B= =2
90,
x 0
e, quindi, l’espressione di x è data da:
�
Problema n. 8.10
Un contenitore cubico di lato 3m è pieno di acqua fino ad una altezza pari ad h. Il contenitoreviene svuotato mediante un foro circolare di diametro 0.1m.
1. Ricavare l’equazione differenziale che lega l’al-tezza dell’acqua al tempo t ;
2. risolvere quest’equazione differenziale per unacondizione iniziale h (0) = 2;
3. quanto tempo (in minuti) impiega il contenitore asvuotarsi se h è pari a 2?
4. rappresentare graficamente l’andamento di h infunzione del tempo.
1. Il volume di acqua che esce dal foro per unità di tempo è:
� dove ricordiamo che g è l’accelerazione di gravità e rappresenta la legge diTorricelli. Il volume di acqua che esce dal contenitore nel tempo ∆t è:
quindi la variazione di volume ∆V di acqua nel contenitore nel tempo ∆t è:
dove il segno negativo è dovuto al fatto che il volume diminuisce. Dalla espressione prece-dente si ricava che:
Passando al limite si ottiene:
Il volume di acqua nel contenitore può essere espresso come A ⋅h dove A è la sezione tra-sversa del serbatoio. Sostituendo questa espressione nella precedente si ottiene:
(8.3)
L’area del foro A0 è pari a:
Siccome il contenitore è cubico e presenta un lato di 3m la sua sezione trasversa sarà paria 9m 2. La (8.3) diventa allora:
�
125
8.A
pp
licaz
ion
i del
le e
qu
azio
ni d
iffe
ren
zial
i
x t t( ) = −2
93
2
9cos
A gh0 2
v gh= 2
A gh t0 2 ⋅ ∆
∆ ∆V A gh t= −( )0 2
∆∆V
tA gh= − 0 2
dV
dtA gh= − 0 2
dh
dt
A gh
A= − 0 2
π π π⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ −dm
22 3 2
40 05 2 5 10. .
dh
dt
ghh= −
⋅ ⋅ ⋅= − ⋅
−−2 5 10 2
93 87 10
33.
.π
h
l
A0
2. Dobbiamo risolvere il problema di Cauchy:
L’equazione di partenza può essere risolta semplicemente separando le variabili:
Sostituendo la condizione iniziale si ottiene Quindi la soluzione del problema è:
�
3. Sostituendo nella soluzione trovata h = 0 si ottiene t = 731s che sono pari a:
� 12.18 minuti
4.
�
Problema n. 8.11
Un serbatoio ha una capacità totale di 14 m3 ed inizialmente contiene 7m3 d’acqua. Nel serba-toio viene versata dell’acqua con velocità costante di 1/3m3/h, mentre da un foro posto sul fon-do esce dell’acqua con velocità, espressa in m3/h, proporzionale alla quantità d’acqua contenu-ta e con coefficiente di proporzionalità 0.05.
1. Esprimere la quantità d’acqua contenuta nel serbatoio in funzione del tempo;
2. dire se il serbatoio si svuota, oppure si riempie, oppure non si svuota né si riempie.
1. Indicata con y (t ) la quantità d’acqua presente all’istante t, si ricava:
�
2. L’equazione y (t ) = 0 non ha soluzioni e l’equazione y (t ) = 14 ha soluzione negativa:
t = − 20 log 22
� e quindi, per t > 0 il serbatoio non si svuota né si riempie.
126
Eq
uaz
ion
i dif
fere
nzi
ali
dh
dth
h
= − ⋅
( ) =
−3 87 10
0 2
3.
h dh dt h t c− − −∫ ∫= − ⋅ ⇒ = − ⋅( ) +1 2 3 1 2 33 87 10 2 3 87 10/ /. .
h t1 2 31 935 10 2/ .= − ⋅( ) +−
y t et
( ) = +
−1
320 20
0 100 200 300 400 500 600 700
2
1.5
1
0.5
h
t
c = 2 2.
� Indice generale
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 3
� 1 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 5
1.1 Introduzione alle equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 51.2 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 61.3 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 61.4 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 81.5 Equazioni del primo ordine lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 81.6 Equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 91.7 Equazione di Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 111.8 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 12
1.8.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 12
1.8.2 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 16
1.8.3 Equazioni lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 17
1.8.4 Equazioni di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 22
� 2 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 27
2.1 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 272.2 Integrale generale dell’equazione lineare omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 272.3 Integrale generale dell’equazione lineare completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 272.4 Equazioni lineari a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 282.5 Equazione lineare completa a coefficienti costanti (non fondamentale) . . . . . » 292.6 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 292.7 Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . » 302.8 Metodo della variazione delle costanti di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 312.9 Alcune notevoli equazioni lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 322.10 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 332.11 Esercizi su equazioni non omogenee con termine noto funzione di x . . . . . . » 37
� 3 Problemi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 49
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 493.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 52
� 4 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 75
4.1 Sistemi di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 754.2 Forma normale di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 754.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 754.4 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 77
127
Ind
ice
� 5 Problema di Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 81
5.1 Problema di Sturm - Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 815.2 Ortogonalità delle autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 82
5.3 Esistenza di autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 82
� 6 Cenni sulle equazioni differenziali alle derivate parziali . . . . . . . . . » 85
6.1 Equazioni differenziali alle derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 856.2 Unicità della soluzione di problemi al contorno per le equazioni di Laplace e
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 866.3 Problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace in coordinate polari . . . . . . . » 876.4 Problema di Neumann per l’equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 906.5 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 916.6 Equazione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 926.7 Equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 94
� 7 Risoluzione numerica di equazioni differenziali (Con listati Matlab) . » 97
7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 977.2 Metodi alle differenze finite per problemi di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 987.3 Metodi numerici per problemi ai limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 1037.4 Un esempio: un modello di linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 106
� 8 Applicazioni delle equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . » 117
128
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ice