equazioni di⁄erenziali 1. a. scrivere l™integrale generale
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Recupero 1 compitino di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
Equazioni differenziali
1. a. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 0.
b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .
[Nell’applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metododegli esponenziali complessi].
1
2. Risolvere il problema di Cauchyy′ = y3
xy (1) = − 1
2
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Curve e integrali di linea3. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-
rica
r (t) =
(t3 +
2
t, 2√
6t
), per t ∈ [1, 2] .
Calcolare la sua lunghezza e la coordinata yc del centroide.
2
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) = ey/x√x2 − y + 1
log (1− x2 − y2)
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E (cioè espresso col minimonumero di condizioni) e averlo disegnato, dire se:
E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
(sinx) · log
(2x2+y2
x2+y2
)per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
3
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2
+ 3 (y − x) .
4
Recupero 2 compitino di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) = ey3+2x + y5
definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1
2 , e calcolare g′ ( 1
2
).
5
2. Calcolare l’area e le coordinate del centroide di una lamina piana omoge-nea descritta da:
Ω =
(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R
dove R > 0 è un parametro fissato. Per impostare l’integrale si richiede di fareuna figura e sfruttare le simmetrie.
3. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solido (a forma dicono) rappresentato da:
C =
(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2
( zh
)2, di densità
ρ (x, y, z) =µ
R5
(|x| z +R2
)con R, h, µ > 0 parametri fissati (aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µdi una massa). Riportare con cura impostazione e passaggi.
6
4. Si consideri il campo vettoriale
F =
(2xe−zy
(x2 + y2)2 ,e−zy
(zy2 + 2y + zx2
)(x2 + y2)
2 ,ye−zy
x2 + y2+ e−z
).
a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campoè conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.
b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di curva
r (t) =(t, t2, t3
), t ∈ [1, 2] .
5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni paramet-riche
x = t cos tz = t sin t
t ∈ [0, π]
e calcolarne l’elemento d’area, semplificando l’espressione ottenuta e determi-nando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l’integraledi superficie ∫ ∫
Σ
dS√x2 + y2
.
(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elemento d’area di Σ a
partire dalle equazioni parametriche di γ).
7
6. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da
f (x) = sin |x|
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria, cosaè possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa
funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere
motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
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Recupero 1 compitino di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Equazioni differenziali
1. a. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 0.
b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .
[Nell’applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponen-
ziali complessi].
a.
α2 + 2α = 0
α = 0, α = −2
y (x) = c1 + c2e−2x.
b. Poiché5ex sin (2x) = Im
(5ex(1+2i)
),
cerco prima una soluzione particolare dell’equazione nel campo complesso
w′′ + 2w′ = 5ex(1+2i).
del tipo
w (x) = Aex(1+2i)
w′ (x) = A (1 + 2i) ex(1+2i)
w′′ (x) = A (1 + 2i)2ex(1+2i),
quindi
Aex(1+2i)
(1 + 2i)2
+ 2 (1 + 2i)
= 5ex(1+2i)
A −3 + 4i+ 2 + 4i = 5
A =5
−1 + 8i=
5 (−1− 8i)
65=−1− 8i
13
w (x) = −(
1 + 8i
13
)ex (cos 2x+ i sin 2x)
9
perciò una soluzione particolare dell’equazione completa di partenza è
y (x) = Im
(−(
1 + 8i
13
)ex (cos 2x+ i sin 2x)
)=ex
13(− sin 2x− 8 cos 2x)
e l’integrale generale dell’equazione completa è
y (x) = c1 + c2e−2x +
ex
13(− sin 2x− 8 cos 2x) .
2. Risolvere il problema di Cauchyy′ = y3
xy (1) = − 1
2
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Equazione del prim’ordine a variabili separabili, soluzione costante y = 0non assume il dato di Cauchy. Per y 6= 0,∫
dy
y3=
∫dx
x
− 1
2y2= log |x|+ c
2y2 = − 1
log |x|+ c
e imponendo qui la condizione iniziale si ha
21
4= −1
c, c = −2
2y2 (x) =1
2− log |x| , y2 (x) =
1
4− 2 log |x|
Ora per scegliere se y = ±√
14−2 log|x| ragioniamo sul fatto che in y (1) < 0,
perciò
y (x) = − 1√4− 2 log |x|
definita nel più ampio intervallo contenente 1, non contenente 0, e tale che4− 2 log |x| > 0, quindi: anzitutto x > 0, inoltre
2− log x > 0 =⇒ x < e2
e l’intervallo è (0, e2
).
10
Curve e integrali di linea3. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-
rica
r (t) =
(t3 +
2
t, 2√
6t
), per t ∈ [1, 2] .
Calcolare la sua lunghezza e la coordinata yc del centroide.
Si ha:
r′ (t) =
(3t2 − 2
t2, 2√
6
)
|r′ (t)| =√
9t4 − 12 +4
t4+ 24 =
√9t4 + 12 +
4
t4=
√(3t2 +
2
t2
)2
= 3t2 +2
t2.
l (γ) =
∫ 2
1
(3t2 +
2
t2
)dt =
[t3 − 2
t
]2
1
= 8− 1− 1 + 2 = 8.
yc =1
l (γ)
∫γ
yds =1
8
∫ 2
1
2√
6t
(3t2 +
2
t2
)dt =
√6
4
∫ 2
1
(3t3 +
2
t
)dt
=
√6
4
[3
4t4 + 2 log t
]2
1
=
√6
4
[12 + 2 log 2− 3
4
]=
√6
4
(45
4+ 2 log 2
).
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili4. Sia E ⊆ R2 l’insieme di definizione della funzione
f (x, y) = ey/x√x2 − y + 1
log (1− x2 − y2)
Dopo aver determinato analiticamente l’insieme E (cioè espresso col minimonumero di condizioni) e averlo disegnato, dire se:
E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No
x2 − y + 1 ≥ 0⇔ y ≤ x2 + 1
0 < 1− x2 − y2 6= 1⇔ 0 < x2 + y2 < 1
x 6= 0.
Le condizioni si sintetizzano così:
E =
(x, y) : x2 + y2 < 1, x 6= 0.
11
E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No
5. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
(sinx) · log
(2x2+y2
x2+y2
)per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
a. Si ha
|f (x, y)| ≤ |x|∣∣∣∣log
(2x2 + y2
x2 + y2
)∣∣∣∣ ,dove la funzione a secondo membro è positivamente omogenea di grado 1 econtinua fuori dall’origine, perciò tende a zero per (x, y) → (0, 0), e per ilteorema del confronto lo stesso fa f
b.f (x, 0) = (sinx) · log 2 ∼ x log 2 per x→ 0,
perciò∂f
∂x(0, 0) = log 2.
f (0, y) = 0
perciò∂f
∂y(0, 0) = 0,
in particolare f è derivabile in (0, 0) con ∇f (0, 0) = (log 2, 0)c. La differenziabilità di f in (0, 0) equivale alla condizione
g (x, y) ≡ f (x, y)− x log 2√x2 + y2
→ 0 per (x, y)→ (0, 0) .
12
Ma:
g (x, x) =(sinx) · log
(32
)− x log 2
(2x2)1/2
∼ x log (3/4)√2 |x|
→ ± log (3/4)√2
per x→ 0±.
In particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y)→ (0, 0), e f non è differenzi-abile in (0, 0) .
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2
+ 3 (y − x) .
fx = 3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0fy = −3y2 − 4 (x− y) + 3 = 0
e sommando membro a membro3(x2 − y2
)= 0 =⇒ y = ±x
3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0
Se y = x,3x2 − 3 = 0, x = ±1.
Se y = −x,3x2 + 8x− 3 = 0, x =
1
3, x = −3
e i punti stazionari sono:
(1, 1) , (−1,−1) ,
(1
3,−1
3
), (−3, 3) .
Calcoliamo la matrice hessiana.
fxx = 6x+ 4
fxy = −4 Hf (x, y) =
[6x+ 4 −4−4 −6y + 4
]fyy = −6y + 4
Studiamo ora la natura dei punti stazionari:
Hf (1, 1) =
[10 −4−4 −2
]indefinita, punto di sella.
Hf (−1,−1) =
[−2 −4−4 10
]indefinita, punto di sella.
Hf
(1
3,−1
3
)=
[6 −4−4 6
]definita positiva, punto di minimo
Hf (−3, 3) =
[−14 −4−4 −14
]definita negativa, punto di massimo
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Recupero 2 compitino di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1
Es. Punti
1
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5
6
Tot.
1. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) = ey3+2x + y5
definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1
2 , e calcolare g′ ( 1
2
).
Si ha:
f
(1
2, y
)= ey
3+1 + y5 = 0⇐⇒ y = −1.
(Osservato che y = −1 è soluzione, il fatto che sia l’unica segue dalla monotoniadella funzione y 7→ ey
3+1 + y5).
∂f
∂y(x, y) = 3y2ey
3+2x + 5y4
∂f
∂y
(1
2,−1
)= 3 + 5 = 8 6= 0,
e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1(R2), f(
12 ,−1
)= 0, ∂f∂y
(12 ,−1
)6= 0,
l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una sola funzione y =g (x) in un intorno di x = 1
2 ; risulta g(
12
)= −1 e
g′(
1
2
)= −
∂f∂x
(12 ,−1
)∂f∂y
(12 ,−1
) .Calcoliamo perciò
∂f
∂x(x, y) = 2ey
3+2x;∂f
∂x
(1
2,−1
)= 2
g′(
1
2
)= −2
8= −1
4.
2. Calcolare l’area e le coordinate del centroide di una lamina piana omoge-nea descritta da:
Ω =
(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R
15
dove R > 0 è un parametro fissato. Per impostare l’integrale si richiede di fareuna figura e sfruttare le simmetrie.
|Ω| = 2
∫ R
0
(R− x)2
Rdx =
2
R
∫ R
0
x2dx =2
3R2.
Per simmetria, si ha xc = 0, mentre
yc =1
|Ω|
∫ ∫Ω
ydxdy =3
2R2
∫ R
−R
(∫ (R−|x|)2/R
0
ydy
)dx =
3
2R2
∫ R
−R
(R− |x|)4
2R2dx
=3
4R42
∫ R
0
(R− x)4dx =
3
2R4
[− (R− x)
5
5
]R0
=3
2R4
R5
5=
3
10R.
3. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solido (a forma dicono) rappresentato da:
C =
(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2
( zh
)2, di densità
ρ (x, y, z) =µ
R5
(|x| z +R2
)con R, h, µ > 0 parametri fissati (aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µdi una massa). Riportare con cura impostazione e passaggi.
I =
∫ ∫ ∫C
ρ (x, y, z)(x2 + y2
)dxdydz =
∫ h
0
(∫ ∫x2+y2≤R2( zh )
2
µ
R5
(|x| z +R2
) (x2 + y2
)dxdy
)dz
in coordinate cilindriche
=µ
R5
∫ h
0
(∫ R zh
0
(∫ 2π
0
(ρ |cos θ| z +R2
)ρ2dθ
)ρdρ
)dz(
poiché∫ 2π
0
|cos θ| dθ = 4
∫ π/2
0
cos θdθ = 4
)
16
=µ
R5
∫ h
0
(∫ R zh
0
(4ρz + 2πR2
)ρ3dρ
)dz =
µ
R5
∫ h
0
(∫ R zh
0
[4
5ρ5z +
π
2R2ρ4
]R zh
0
)dz
=µ
R5
∫ h
0
(4
5
(Rz
h
)5
z +π
2R2(Rz
h
)4)dz =
µ
R5
4
5
R5
h5
∫ h
0
z6dz +π
2
R6
h4
∫ h
0
z4dz
=µ
R5
4
5
R5
h5
h7
7+π
2
R6
h4
h5
5
= µ
4
5
h2
7+π
2
Rh
5
=µ
5h
(4
7h+
π
2R
).
4. Si consideri il campo vettoriale
F =
(2xe−zy
(x2 + y2)2 ,e−zy
(zy2 + 2y + zx2
)(x2 + y2)
2 ,ye−zy
x2 + y2+ e−z
).
a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campoè conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.
b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di curva
r (t) =(t, t2, t3
), t ∈ [1, 2] .
a.Ω =
(x, y, z) : x2 + y2 6= 0
(cioè lo spazio privato dell’asse z). Poiché Ω non è semplicemente connesso,l’unico modo di sapere se F è conservativo in Ω è cercarne un potenziale.
Ux =2xe−zy
(x2 + y2)2 ;U (x, y, z) = e−zy
∫2x
(x2 + y2)2 dx = − e−zy
x2 + y2+ f (y, z)
Uy = −∂y(
e−zy
x2 + y2
)+ fy (y, z)
= −(e−zy
(−z(x2 + y2
)− 2y
)(x2 + y2)
2
)+ fy (y, z) =
e−zy(zy2 + 2y + zx2
)(x2 + y2)
2
=⇒ fy (y, z) = 0, f (y, z) = g (z) e
U (x, y, z) = − e−zy
x2 + y2+ g (z)
Uz (x, y, z) =ye−zy
x2 + y2+ g′ (z) =
ye−zy
x2 + y2+ e−z
=⇒ g′ (z) = e−z, g (z) = −e−z + c e
U (x, y, z) = − e−zy
x2 + y2− e−z + c.
Poiché esiste un potenziale ben definito in tutto Ω, F è conservativo in tutto Ω.
17
b.
L = U (r (2))− U (r (1)) = U (2, 4, 8)− U (1, 1, 1)
=
(−e−32
20− e−8
)−(−e−1
2− e−1
)= −e
−32
20− e−8 +
3
2e−1.
5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni paramet-riche
x = t cos tz = t sin t
t ∈ [0, π]
e calcolarne l’elemento d’area, semplificando l’espressione ottenuta e determi-nando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l’integraledi superficie ∫ ∫
Σ
dS√x2 + y2
.
(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elemento d’area di Σ a
partire dalle equazioni parametriche di γ).
Σ :
x = t cos t cos θy = t cos t sin θz = t sin t
t ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] .
dS = |a (t)|√a′ (t)
2+ b′ (t)
2dtdθ con
a (t) = t cos t, b (t) = t sin t
a′ (t) = cos t− t sin t
b′ (t) = sin t+ t cos t
a′ (t)2
+ b′ (t)2
= 1 + t2
dS = t |cos t|√
1 + t2dtdθ
L’elemento d’area si annulla per t = 0, t = π2 , che corrispondono ai punti singo-
lari su Σ:(0, 0, 0) ,
(0, 0,
π
2
).
∫ ∫Σ
√x2 + y2dS =
∫ 2π
0
(∫ π
0
1
t |cos t| t |cos t|√
1 + t2dt
)dθ
= 2π
∫ π
0
√1 + t2dt
18
[t = Shu; dt = Chudu]
= 2π
∫ SettShπ
0
Ch2 udu = 2π
[ChuShu+ u
2
]SettShπ
0
= 2ππ√
1 + π2 + SettShπ
2= π
(π√
1 + π2 + SettShπ).
6. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da
f (x) = sin |x|
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria, cosaè possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa
funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere
motivando le affermazioni fatte.
b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , tenendo conto del periodoe delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cientidi Fourier e scrivere la serie di Fourier.
a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poiché
T = 2, ω = 2πT = π,
ak =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) cos (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) cos (kωx) dx
= 2
∫ 1
0
sinx cos (kπx) dx.
Quindi
a0 = 2
∫ 1
0
sinxdx = 2 [− cosx]10 = 2 (1− cos 1)
mentre sfruttando l’identità
sinα cosβ =1
2sin (α+ β) + sin (α− β)
si ha, per k = 1, 2, 3...
2
∫ 1
0
sinx cos (kπx) dx =
∫ 1
0
sin ((kπ + 1)x) dx+
∫ 1
0
sin ((1− kπ)x) dx
=
[−cos ((kπ + 1)x)
(kπ + 1)− cos ((1− kπ)x)
(1− kπ)
]1
0
19
= −cos (kπ + 1)
kπ + 1− cos (1− kπ)
1− kπ +1
kπ + 1+
1
1− kπ
= − (−1)k
cos 1
kπ + 1− (−1)
kcos 1
1− kπ +1
kπ + 1+
1
1− kπ
=2
1− k2π2
(1− (−1)
kcos 1
)e la serie di Fourier di f è
f (x) = (1− cos 1) +
∞∑k=1
2
1− k2π2
(1− (−1)
kcos 1
)cos (kπx)
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 4:
20
Primo appello di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. a. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 0.
b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .
[Nell’applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metododegli esponenziali complessi].
2. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
(sinx) · log
(2x2+y2
x2+y2
)per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2
+ 3 (y − x) .
4. Calcolare l’area e le coordinate del centroide di una lamina piana omoge-nea descritta da:
Ω =
(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R
dove R > 0 è un parametro fissato. Per impostare l’integrale si richiede di fareuna figura e sfruttare le simmetrie.
21
5. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solido (a forma dicono) rappresentato da:
C =
(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2
( zh
)2, di densità
ρ (x, y, z) =µ
R5
(|x| z +R2
)con R, h, µ > 0 parametri fissati (aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µdi una massa). Riportare con cura impostazione e passaggi.
6. Si consideri il campo vettoriale
F =
(2xe−zy
(x2 + y2)2 ,e−zy
(zy2 + 2y + zx2
)(x2 + y2)
2 ,ye−zy
x2 + y2+ e−z
).
a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campoè conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.
b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di curva
r (t) =(t, t2, t3
), t ∈ [1, 2] .
7. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da
f (x) = x |x|
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , semplificare oppor-
tunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la seriedi Fourier.
22
Primo appello di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiTema n2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o ndi matricola)_______________________________nd’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Risolvere il problema di Cauchyy′ = y3
xy (1) = − 1
2
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
2. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-rica
r (t) =
(t3 +
2
t, 2√
6t
), per t ∈ [1, 2] .
Calcolare la sua lunghezza e la coordinata yc del centroide.
3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = 8x4 + y4 − (x− y)2.
4. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) = ey3+2x + y5
definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1
2 , e calcolare g′ ( 1
2
).
23
5. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫T
x
x+ ydxdy
dove T è il triangolo di vertici (0, 0) , (0, 2) , (1, 1), semplificando l’espressioneottenuta. Scrivere anzitutto la rappresentazione di T come dominio y-semplice.
6. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni paramet-riche
x = t cos tz = t sin t
t ∈ [0, π]
e calcolarne l’elemento d’area, semplificando l’espressione ottenuta e determi-nando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l’integraledi superficie ∫ ∫
Σ
dS√x2 + y2
.
(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elementod’area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ).
7. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da
f (x) = sin |x|
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourierdi f , tenendo conto del
periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenutaper i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier.
24
Primo appello di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
1. a. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 0.
b. Scrivere l’integrale generale dell’equazione
y′′ + 2y′ = 5ex sin (2x) .
[Nell’applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metododegli esponenziali complessi].
a.
α2 + 2α = 0
α = 0, α = −2
y (x) = c1 + c2e−2x.
b. Poiché5ex sin (2x) = Im
(5ex(1+2i)
),
cerco prima una soluzione particolare dell’equazione nel campo complesso
w′′ + 2w′ = 5ex(1+2i).
del tipo
w (x) = Aex(1+2i)
w′ (x) = A (1 + 2i) ex(1+2i)
w′′ (x) = A (1 + 2i)2ex(1+2i),
quindi
Aex(1+2i)
(1 + 2i)2
+ 2 (1 + 2i)
= 5ex(1+2i)
A −3 + 4i+ 2 + 4i = 5
A =5
−1 + 8i=
5 (−1− 8i)
65=−1− 8i
13
w (x) = −(
1 + 8i
13
)ex (cos 2x+ i sin 2x)
25
perciò una soluzione particolare dell’equazione completa di partenza è
y (x) = Im
(−(
1 + 8i
13
)ex (cos 2x+ i sin 2x)
)=ex
13(− sin 2x− 8 cos 2x)
e l’integrale generale dell’equazione completa è
y (x) = c1 + c2e−2x +
ex
13(− sin 2x− 8 cos 2x) .
2. Si consideri la funzione:
f (x, y) =
(sinx) · log
(2x2+y2
x2+y2
)per (x, y) 6= (0, 0)
0 per (x, y) = (0, 0) .
a. Stabilire se f è continua in (0, 0) .b. Stabilire se f è derivabile in (0, 0) , calcolando in caso affermativo∇f (0, 0) .c. Stabilire se f è differenziabile in (0, 0), giustificando la risposta.
a. Si ha
|f (x, y)| ≤ |x|∣∣∣∣log
(2x2 + y2
x2 + y2
)∣∣∣∣ ,dove la funzione a secondo membro è positivamente omogenea di grado 1 econtinua fuori dall’origine, perciò tende a zero per (x, y) → (0, 0), e per ilteorema del confronto lo stesso fa f
b.f (x, 0) = (sinx) · log 2 ∼ x log 2 per x→ 0,
perciò∂f
∂x(0, 0) = log 2.
f (0, y) = 0
perciò∂f
∂y(0, 0) = 0,
in particolare f è derivabile in (0, 0) con ∇f (0, 0) = (log 2, 0)c. La differenziabilità di f in (0, 0) equivale alla condizione
g (x, y) ≡ f (x, y)− x log 2√x2 + y2
→ 0 per (x, y)→ (0, 0) .
Ma:
g (x, x) =(sinx) · log
(32
)− x log 2
(2x2)1/2
∼ x log (3/4)√2 |x|
→ ± log (3/4)√2
per x→ 0±.
26
In particolare g (x, y) non tende a zero per (x, y)→ (0, 0), e f non è differenzi-abile in (0, 0) .
3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = x3 − y3 + 2 (x− y)2
+ 3 (y − x) .
fx = 3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0fy = −3y2 − 4 (x− y) + 3 = 0
e sommando membro a membro3(x2 − y2
)= 0 =⇒ y = ±x
3x2 + 4 (x− y)− 3 = 0
Se y = x,3x2 − 3 = 0, x = ±1.
Se y = −x,3x2 + 8x− 3 = 0, x =
1
3, x = −3
e i punti stazionari sono:
(1, 1) , (−1,−1) ,
(1
3,−1
3
), (−3, 3) .
Calcoliamo la matrice hessiana.
fxx = 6x+ 4
fxy = −4 Hf (x, y) =
[6x+ 4 −4−4 −6y + 4
]fyy = −6y + 4
Studiamo ora la natura dei punti stazionari:
Hf (1, 1) =
[10 −4−4 −2
]indefinita, punto di sella.
Hf (−1,−1) =
[−2 −4−4 10
]indefinita, punto di sella.
Hf
(1
3,−1
3
)=
[6 −4−4 6
]definita positiva, punto di minimo
Hf (−3, 3) =
[−14 −4−4 −14
]definita negativa, punto di massimo
27
4. Calcolare l’area e le coordinate del centroide di una lamina piana omoge-nea descritta da:
Ω =
(x, y) : |x| ≤ R, 0 ≤ y ≤ (R− |x|)2/R
dove R > 0 è un parametro fissato. Per impostare l’integrale si richiede di fareuna figura e sfruttare le simmetrie.
|Ω| = 2
∫ R
0
(R− x)2
Rdx =
2
R
∫ R
0
x2dx =2
3R2.
Per simmetria, si ha xc = 0, mentre
yc =1
|Ω|
∫ ∫Ω
ydxdy =3
2R2
∫ R
−R
(∫ (R−|x|)2/R
0
ydy
)dx =
3
2R2
∫ R
−R
(R− |x|)4
2R2dx
=3
4R42
∫ R
0
(R− x)4dx =
3
2R4
[− (R− x)
5
5
]R0
=3
2R4
R5
5=
3
10R.
28
5. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di un solido (a forma dicono) rappresentato da:
C =
(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ h, x2 + y2 ≤ R2
( zh
)2, di densità
ρ (x, y, z) =µ
R5
(|x| z +R2
)con R, h, µ > 0 parametri fissati (aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µdi una massa). Riportare con cura impostazione e passaggi.
I =
∫ ∫ ∫C
ρ (x, y, z)(x2 + y2
)dxdydz =
∫ h
0
(∫ ∫x2+y2≤R2( zh )
2
µ
R5
(|x| z +R2
) (x2 + y2
)dxdy
)dz
in coordinate cilindriche
=µ
R5
∫ h
0
(∫ R zh
0
(∫ 2π
0
(ρ |cos θ| z +R2
)ρ2dθ
)ρdρ
)dz(
poiché∫ 2π
0
|cos θ| dθ = 4
∫ π/2
0
cos θdθ = 4
)
=µ
R5
∫ h
0
(∫ R zh
0
(4ρz + 2πR2
)ρ3dρ
)dz =
µ
R5
∫ h
0
(∫ R zh
0
[4
5ρ5z +
π
2R2ρ4
]R zh
0
)dz
=µ
R5
∫ h
0
(4
5
(Rz
h
)5
z +π
2R2(Rz
h
)4)dz =
µ
R5
4
5
R5
h5
∫ h
0
z6dz +π
2
R6
h4
∫ h
0
z4dz
=µ
R5
4
5
R5
h5
h7
7+π
2
R6
h4
h5
5
= µ
4
5
h2
7+π
2
Rh
5
=µ
5h
(4
7h+
π
2R
).
6. Si consideri il campo vettoriale
F =
(2xe−zy
(x2 + y2)2 ,e−zy
(zy2 + 2y + zx2
)(x2 + y2)
2 ,ye−zy
x2 + y2+ e−z
).
a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campoè conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale.
b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l’arco di curva
r (t) =(t, t2, t3
), t ∈ [1, 2] .
a.Ω =
(x, y, z) : x2 + y2 6= 0
29
(cioè lo spazio privato dell’asse z). Poiché Ω non è semplicemente connesso,l’unico modo di sapere se F è conservativo in Ω è cercarne un potenziale.
Ux =2xe−zy
(x2 + y2)2 ;U (x, y, z) = e−zy
∫2x
(x2 + y2)2 dx = − e−zy
x2 + y2+ f (y, z)
Uy = −∂y(
e−zy
x2 + y2
)+ fy (y, z)
= −(e−zy
(−z(x2 + y2
)− 2y
)(x2 + y2)
2
)+ fy (y, z) =
e−zy(zy2 + 2y + zx2
)(x2 + y2)
2
=⇒ fy (y, z) = 0, f (y, z) = g (z) e
U (x, y, z) = − e−zy
x2 + y2+ g (z)
Uz (x, y, z) =ye−zy
x2 + y2+ g′ (z) =
ye−zy
x2 + y2+ e−z
=⇒ g′ (z) = e−z, g (z) = −e−z + c e
U (x, y, z) = − e−zy
x2 + y2− e−z + c.
Poiché esiste un potenziale ben definito in tutto Ω, F è conservativo in tutto Ω.b.
L = U (r (2))− U (r (1)) = U (2, 4, 8)− U (1, 1, 1)
=
(−e−12
20− e−8
)−(−e−1
2− e−1
)= −e
−12
20− e−8 +
3
2e−1.
7. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da
f (x) = x |x|
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f , semplificare oppor-
tunamente l’espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la seriedi Fourier.
a. La funzione periodizzata è regolare a tratti ma discontinua. Perciò laserie di Fourier di f , in [−1, 1], converge puntualmente a f ovunque tranne in±1, dove converge a 0. I coeffi cienti di Fourier saranno o (1) ma non o (1/k) .
30
b. La funzione è dispari, perciò ak = 0. Poiché T = 2, ω = 2πT = π,
bk =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) sin (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) sin (kωx) dx = 2
∫ 1
0
x2 sin (kπx) dx
= 2
[−x
2 cos (kπx)
kπ
]1
0
+
∫ 1
0
2x cos (kπx)
kπdx
= 2
−cos (kπ)
kπ+
2
kπ
∫ 1
0
x cos (kπx) dx
= −2 cos (kπ)
kπ+
4
kπ
[x sin (kπx)
kπ
]1
0
−∫ 1
0
sin (kπx)
kπdx
= −2 cos (kπ)
kπ− 4
(kπ)2
[−cos (kπx)
kπ
]1
0
= −2 cos (kπ)
kπ+
4
(kπ)3 (cos (kπ)− 1) .
La serie di Fourier di f è
f (x) =
∞∑k=1
−2 cos (kπ)
kπ+
4
(kπ)3 (cos (kπ)− 1)
sin (kπx) .
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 10:
31
Primo appello di Analisi Matematica 2Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2017/2018. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
1. Risolvere il problema di Cauchyy′ = y3
xy (1) = − 1
2
precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema diCauchy è definita.
Equazione del prim’ordine a variabili separabili, soluzione costante y = 0non assume il dato di Cauchy. Per y 6= 0,∫
dy
y3=
∫dx
x
− 1
2y2= log |x|+ c
2y2 = − 1
log |x|+ c
e imponendo qui la condizione iniziale si ha
21
4= −1
c, c = −2
y2 (x) =1
2− log |x|
Ora per scegliere se y = ±√
12−log|x| ragioniamo sul fatto che in y (1) < 0, perciò
y (x) = − 1√2− log |x|
definita nel più ampio intervallo contenente 1, non contenente 0, e tale che2− log |x| > 0, quindi: anzitutto x > 0, inoltre
2− log x > 0 =⇒ x < e2
32
e l’intervallo è (0, e2
).
2. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione paramet-rica
r (t) =
(t3 +
2
t, 2√
6t
), per t ∈ [1, 2] .
Calcolare la sua lunghezza e la coordinata yc del centroide.
Si ha:
r′ (t) =
(3t2 − 2
t2, 2√
6
)
|r′ (t)| =√
9t4 − 12 +4
t4+ 24 =
√9t4 + 12 +
4
t4=
√(3t2 +
2
t2
)2
= 3t2 +2
t2.
l (γ) =
∫ 2
1
(3t2 +
2
t2
)dt =
[t3 − 2
t
]2
1
= 8− 1− 1 + 2 = 8.
yc =1
l (γ)
∫γ
yds =1
8
∫ 2
1
2√
6t
(3t2 +
2
t2
)dt =
√6
4
∫ 2
1
(3t3 +
2
t
)dt
=
√6
4
[3
4t4 + 2 log t
]2
1
=
√6
4
[12 + 2 log 2− 3
4
]=
√6
4
(45
4+ 2 log 2
).
3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione,studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella).
f (x, y) = 8x4 + y4 − (x− y)2.
fx = 32x3 − 2 (x− y) = 0fy = 4y3 + 2 (x− y) = 0
e sommando membro a membro32x3 + 4y3 = 0 =⇒ y3 = −8x3 =⇒ y = −2x2(−8x3
)+ x+ 2x = 0
3x− 16x3 = 0 =⇒ x = 0 o x2 =3
16, x = ±
√3
4
e i punti stazionari sono:
(0, 0) ,
(√3
4,−√
3
2
),
(−√
3
4,
√3
2
).
33
Calcoliamo la matrice hessiana.
fxx = 96x2 − 2
fxy = 2 Hf (x, y) =
[96x2 − 2 2
2 12y2 − 2
]fyy = 12y2 − 2
Studiamo ora la natura dei punti stazionari:
Hf (0, 0) =
[−2 22 −2
]semidefinita, caso dubbio.
Hf
(±√
3
4,∓√
3
2
)=
[16 22 7
]definita positiva, punto di minimo.
Per quanto riguarda il caso dubbio: studiamo il punto con la tecnica dellerestrizioni:
f (x, x) = 9x4
e lungo questa retta (0, 0) è punto di minimo;
f (0, y) = y4 − y2 ∼ −y2,
perciò lungo questa retta (0, 0) è punto di massimo. Quindi il punto è di sella.
4. Dimostrare che l’equazione
f (x, y) = ey3+2x + y5
definisce implicitamente una e una sola funzione y = g (x) in un intorno dix = 1
2 , e calcolare g′ ( 1
2
).
Si ha:
f
(1
2, y
)= ey
3+1 + y5 = 0⇐⇒ y = −1.
(Osservato che y = −1 è soluzione, il fatto che sia l’unica segue dalla monotoniadella funzione y 7→ ey
3+1 + y5).
∂f
∂y(x, y) = 3y2ey
3+2x + 5y4
∂f
∂y
(1
2,−1
)= 3 + 5 = 8 6= 0,
e per il teorema di Dini, essendo f ∈ C1(R2), f(
12 ,−1
)= 0, ∂f∂y
(12 ,−1
)6= 0,
l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una sola funzione y =g (x) in un intorno di x = 1
2 ; risulta g(
12
)= −1 e
g′(
1
2
)= −
∂f∂x
(12 ,−1
)∂f∂y
(12 ,−1
) .34
Calcoliamo perciò
∂f
∂x(x, y) = 2ey
3+2x;∂f
∂x
(1
2,−1
)= 2
g′(
1
2
)= −2
8= −1
4.
5. Calcolare l’integrale doppio∫ ∫T
x
x+ ydxdy
dove T è il triangolo di vertici (0, 0) , (0, 2) , (1, 1), semplificando l’espressioneottenuta. Scrivere anzitutto la rappresentazione di T come dominio y-semplice.
T = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2− x .
∫ ∫T
x
x+ ydxdy =
∫ 1
0
(∫ 2−x
x
x
x+ ydy
)dx
=
∫ 1
0
x(
[log (x+ y)]2−xx
)dx
=
∫ 1
0
x (log 2− log (2x)) dx = −∫ 1
0
x log xdx
= −[
x2
2log x
]1
0
−∫ 1
0
x2
2
1
xdx
=
∫ 1
0
x
2dx =
1
4.
6. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla ro-tazione attorno all’asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni paramet-riche
x = t cos tz = t sin t
t ∈ [0, π]
e calcolarne l’elemento d’area, semplificando l’espressione ottenuta e determi-nando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l’integraledi superficie ∫ ∫
Σ
dS√x2 + y2
.
(Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l’elementod’area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ).
35
Σ :
x = t cos t cos θy = t cos t sin θz = t sin t
t ∈ [0, π] , θ ∈ [0, 2π] .
dS = |a (t)|√a′ (t)
2+ b′ (t)
2dtdθ con
a (t) = t cos t, b (t) = t sin t
a′ (t) = cos t− t sin t
b′ (t) = sin t+ t cos t
a′ (t)2
+ b′ (t)2
= 1 + t2
dS = t |cos t|√
1 + t2dtdθ
L’elemento d’area si annulla per t = 0, t = π2 , che corrispondono ai punti singo-
lari su Σ:(0, 0, 0) ,
(0, 0,
π
2
).
∫ ∫Σ
√x2 + y2dS =
∫ 2π
0
(∫ π
0
1
t |cos t| t |cos t|√
1 + t2dt
)dθ
= 2π
∫ π
0
√1 + t2dt
[t = Shu; dt = Chudu]
= 2π
∫ SettShπ
0
Ch2 udu = 2π
[ChuShu+ u
2
]SettShπ
0
= 2ππ√
1 + π2 + SettShπ
2= π
(π√
1 + π2 + SettShπ).
7. Si consideri la funzione 2-periodica definita in [−1, 1] da
f (x) = sin |x|
a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [−1, 1]: in base alla teoria,cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier,per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale dellaserie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte.b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourierdi f , tenendo conto del
periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l’espressione ottenutaper i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier.
a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la seriedi Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fouriersaranno o (1/k).
36
b. La funzione è pari, perciò bk = 0 per ogni k. Per calcolare gli ak, poichéT = 2, ω = 2π
T = π,
ak =2
T
∫ T/2
−T/2f (x) cos (kωx) dx =
4
T
∫ T/2
0
f (x) cos (kωx) dx
= 2
∫ 1
0
sinx cos (kπx) dx.
Quindi
a0 = 2
∫ 1
0
sinxdx = 2 [− cosx]10 = 2 (1− cos 1)
mentre sfruttando l’identità
sinα cosβ =1
2sin (α+ β) + sin (α− β)
si ha, per k = 1, 2, 3...
2
∫ 1
0
sinx cos (kπx) dx =
∫ 1
0
sin ((kπ + 1)x) dx+
∫ 1
0
sin ((1− kπ)x) dx
=
[−cos ((kπ + 1)x)
(kπ + 1)− cos ((1− kπ)x)
(1− kπ)
]1
0
= −cos (kπ + 1)
kπ + 1− cos (1− kπ)
1− kπ +1
kπ + 1+
1
1− kπ
= − (−1)k
cos 1
kπ + 1− (−1)
kcos 1
1− kπ +1
kπ + 1+
1
1− kπ
=2
1− k2π2
(1− (−1)
kcos 1
)e la serie di Fourier di f è
f (x) = (1− cos 1) +
∞∑k=1
2
1− k2π2
(1− (−1)
kcos 1
)cos (kπx)
Grafico di f (x) insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 4:
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