equações de navier-stokes - puc-rio · 2020. 7. 20. · equações de navier-stokes •para um...
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Equações de Navier-Stokes
• Para um fluido em movimento, a pressão(componente normal da força de superfície) édiferente da pressão termodinâmica:
• é invariante a rotação dos eixos decoordenadas, e equivale a p para o fluidoestático, i.e., é igual ao valor médio docomponente normal de tensão no elementode superfície na posição x) . Para o fluidoestático,
!
p " #1
3trT
!
p
!
p = p
• Assim, para um fluido Newtoniano:
• Para fluido Newtoniano incompressível:!
p = p " # +2
3µ
$
% &
'
( ) * •u
+ = T+1
3trT
$
% &
'
( ) I = 2µE"
2
3µ * •u( )I
!
p = p
" = " = 2µE
Equações de Navier-Stokes• Para um fluido isotérmico (µ ≈ cte) e
incompressível, a equação de momentumfica:
• Definindo a pressão modificada ou pressãodinâmica
!
"# u( )#t
+ u•$ u( )%
& '
(
) * = "g +$p+ µ$2
u
!
"# u( )#t
+ u•$ u( )%
& '
(
) * =$P + µ$2
u
!
"#P $ %g "#p (= 0 no fluido estático)
Equação de energia para fluidosem que a Lei de Fourier é válida
• Em geral, nos fluidos Newtonianos a Leide Fourier é satisfeita
• A equação de energia para o fluidoNewtoniano incompressível é dada por:
!
"Cp
D#
Dt= $
#
"
%"
%#
&
' (
)
* + p
Dp
Dt+ p, •u+ T oE +, • k,#( )
!
"Cp
D#
Dt= $
#
"
%"
%#
&
' (
)
* + p
Dp
Dt+ 2µ E oE( ) +, • k,#( )
Comportamento não Newtoniano
• Fluidos complexos• Não satisfazem a equação constitutiva
para o fluido Newtoniano• Polímeros, suspensões, etc.• Compostos por macromoléculas• Propriedades elásticas:• Propriedades reológicas dependem do
escoamento (ex.: viscosidade)!
Wi " # ˙ $
Fluidos não Newtonianos
• Fluidos puramente viscosos (Newtoniano Generalizado): viscosidadevaria com a taxa de deformação. Fluidos viscoplásticos: também possuem tensão limite de
escoamento• Fluidos viscoelásticos: possuem características viscosas e elásticas• Equações constitutivas: não existem equações que descrevam o
comportamento geral de fluidos complexos em quaisquer tipos deescoamentos
• Duas técnicas distintas são usadas para a obtenção de equaçõesconstitutivas: mecânica do contínuo x modelagem molecular (descriçãomatemática do material na escala das macromoléculas)
• Modelagem híbrida: mecânica do contínuo+modelagem molecular paraproduzir modelos empíricos relativamente simples
• Fluido Newtoniano Generalizado:
!
" =#( ˙ $ ) ˙ $
BinghamPseudoplástico
Newtoniano
Dilatante
τ
!
˙ "
Herschel-Bulkley
Fluidos puramente viscosos
Fluidos viscoelásticos
• Modelo de Maxwell: Equação constitutiva paramateriais viscoelásticos
!
" = "a
+ "b
˙ " = ˙ " a
+ ˙ " b
=#
µ+
˙ #
G $ # +
µ
G˙ # = µ˙ "
γa γb
• Amortecedor (elem. viscoso):
• Mola (elem. elástico):
!
" = µ˙ #
!
" =G#
τ
Condições de contorno: paredessólidas e interfaces• Tipos:
– Fronteira livre– Fronteira limitada: paredes ou interfaces
• Condição cinemática (conservação de massaem S, componente normal da velocidadecontínuo) u•n=û•n em S
Se a outra fase é sólida,û=usólido (parede fixaimpermeável, û=0)
Mudança de fase na interface:
ρ(u- uI)•n= ρ( û- ûI) •n em S
Velocidade da interface
• Condição de contorno térmica• Temperatura: em S (=θs se for parede)• Fluxo de calor (conservação de energia na
interface):
!
" = ˆ "
!
j•n = ˆ j •n em S
j = "k#$ + % u"uI( )CP $ "$ ref( )ˆ j = " ˆ k # ˆ $ + ˆ % ˆ u "uI( ) ˆ C P
ˆ $ "$ ref( )
Sem mudança de fase Com mudança de fase (H=CP∆θ)
!
u•n = ˆ u •n = uI •n
"k #$ •n( ) = " ˆ k # ˆ $ •n( )= Qs (se for parede)
!
"k #$ •n( ) + ˆ k # ˆ $ •n( ) = % H " ˆ H ( ) u"uI( ) •n
• Condição de contorno dinâmica– Especifica a relação entre os componentes
tangenciais da velocidade– Assumindo que a velocidade é contínua na
interface (não deslizamento):
– A condição de não deslizamento ocorre namaioria dos fluidos Newtonianos (moléculaspequenas), e também em muitas situaçõesdos fluidos complexos
!
u" u•n( )n = ˆ u " ˆ u •n( )n (parede, ˆ u =Usólido
)
• Condição de contorno Navier-slip
– β: coeficiente de deslizamento (empírico)– A condição estabelece que ocorre um
deslizamento, e que este é função damagnitude da tensão cisalhante na parede
• O deslizamento em geral ocorre paraaltos valores de tensão
• Ângulo de contato: ângulo entre ainterface gás/líquido e uma superfíciesólida
!
u" u•n( )n"# T•n" T•n( ) •n( )n[ ] = 0
• Materiais “repelentes a água”, θc>1500
• Tensão interfacial (ou superficial, quando ainterface envolve um líquido e um gás):fornece uma medida do trabalho requeridopara aumentar a área da interface (i.e., paraformar uma nova interface, trazendomoléculas do fluido longe dela)
• Balanço de forças na linha de contato(equação de Young):
!
"LGcos#
c= "
SG$ "
SL
γij: tensão interfacial na interface ij
• Obs: imagine a tensão interfacial como o trabalhorequerido para criar uma unidade de área superficial⇒alto γij indica forte atração entre i e j.
• Da eq. acima, vemos que θc pequeno implica em γSG >γSL (líquido fortemente atraído ao sólido) e θc alto, γSL > γSG
• A CC de deslizamento ou não deslizamento pode serdefinida usando o conceito de atração entre líquido esólido (ou θc): deslizamento ocorre em paredeshidrofóbicas (alto θc )
• Em geral, a CC de não deslizamento é satisfatóriapara fluidos Newtonianos
• Fluidos complexos: deslizamento pode ocorrer,especialmente a altas tensões
Outras observações sobre CC:
• Nas interfaces, além das CC de velocidade, sãonecessárias CC adicionais
• Interfaces mudam ao longo do escoamento.Generalização da condição cinemática:
• Condição de tensão: balanço de forças na interface(que tem volume nulo) - soma das forças na interfaceé zero
• Hipótese: interface é caracterizada por uma superfícieou tensão interfacial, que é função do estadotermodinâmico local (T ou p)
!
F " z # h x,y,t( )
1
$F
%F
%t+ u•n = 0
• Forças agindo na interface: pressão e tensãoagindo nas faces (proporcionais à área dainterface); força devida a tensão interfacial queage no plano da interface, nas bordas doelementode superfície.
• Tensão interfacial: medida de energia livre porunidade de área. Aumento de área requeraumento da energia livre (trabalho) do sistema.Na teoria macroscópica, este trabalho éproduzido pela força por unidade decomprimento γ (tensão interfacial)
• Balanço de forças em A:
T: tensão no primeiro fluido: tensão no segundo fluido
n: vetor normal a interfacet: vetor tangente a interface
!
T" ˆ T ( )A## •ndA + $ tdI
C#
= grad s$dA" $n %•n( )dAA#
A##
1 2 3 = 0
T" ˆ T ( ) •n + grads$ " $n % •n( ) = 0
!
ˆ T
• Componente normal (•n): T=-pI+τ
• Equação de Young-Laplace (fluidos semmovimento):
• Obs: se a eq. de YL não pode sersatisfeita
• Escoamentos capilares: esc. Governados pelatensão superficial quando existem gradientesem ( : pressão capilar)
!
ˆ p tot " ptot + # " ˆ # ( ) •n[ ] •n{ }" $ % •n( ) = 0
!
ˆ p tot " ptot = # $ •n( )termo de curvatura
1 2 4 3 4
$ •n =1
R1
+1
R2
!
" •n # cte
!
" •n( )
!
" # •n( )
• Componente tangencial:(•t1 e •t2,perpendiculares a n)
!
0 = " # ˆ " ( ) •n[ ] • ti+ grad
s$( ) • t
i
grads$ % & #n n•&( )
- Componentes tangenciais da tensão são descontínuosatravés da interface quando gradsγ não é zero.- Tensão interfacial depende do estado termodinâmico (p, T): efeitos termocapilares- Obs: surfactantes - reduzem a tensão superficial na interface