equações não lineares
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Equacoes nao lineares
Metodos Numericos e EstatısticosParte I-Metodos Numericos
Equacoes nao lineares
Luısa Morgado
Lic. Eng. Biomedica e Bioengenharia-2009/2010
Luısa Morgado Equacoes nao lineares
Equacoes nao lineares
Para determinarmos um valor aproximado das raızes de uma equacao nao linear,convem notar inicialmente que varias situacoes diferentes podem ocorrer no querespeita a existencia e unicidade de solucao:
Nao existe solucaosin x − 2 = 0;
Existe solucao e e unicax + 1− ex = 0;
Existe uma solucao multipla(x − 3)2 = 0;
Existem varias solucoes, algumas delas multiplas
(x − 1)(x − π)3 = 0;
Existe uma infinidade de solucoes
cos x = 0.8.
A maior parte dos metodos numericos para resolucao de equacoes nao lineares exige o
fornecimento de uma regiao que contenha as raızes procuradas. Como tal, na
utilizacao de tais metodos, e necessario um estudo preliminar mınimo da funcao
envolvida na equacao.
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Equacoes nao lineares
Metodo Grafico
Um dos metodos mais elementares para localizar um zero de umafuncao e o metodo grafico.Imaginemos que pretendemos localizar os zeros da funcao
f (x) = ex − 3x .
Notemos, em primeiro lugar que determinar os zeros de f eequivalente a determinar as raızes da equacao
f (x) = 0⇔ ex = 3x .
Assim sendo, ao utilizarmos o metodo grafico, em vez de fazermoso tracado do grafico de f e localizar os pontos onde este intersectao eixo dos xx , e mais simples se fizermos o tracado das funcoes ex
e 3x e localizar os pontos onde estes se intersectam.
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-0.5 0.5 1 1.5 2x
2
4
6
y
3x
ex
Por analise dos graficos, podemos palpitar queexistem duas raızes, x∗1 e x∗2 da equacao e que
x∗1 ∈ [0, 1] e x∗2 ∈ [1, 2].
Convem sempre verificar analiticamente a existencia e a unicidade de tais raızes nosrespectivos intervalos.Recordemos que
Se f e uma funcao contınua num intervalo [a, b] e se f (a) · f (b) < 0, entao f tempelo menos um zero em [a, b].Se alem disso, ∀x ∈]a, b[, f ′(x) 6= 0 entao, nesse intervalo, esse zero e unico .
Verifiquemos entao que sendo f (x) = ex − 3x , existe um unico x∗1 ∈ [0, 1] tal quef (x∗1 ) = 0.
f (0) = 1 > 0, f (1) = e − 3 < 0, logo f (0) · f (1) < 0;
f ′(x) = ex − 3 so se anula em ln 3 ' 1.1, logo ∀x ∈]0, 1[, f ′(x) 6= 0.
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Metodos Numericos para equacoes nao lineares
Os metodos que iremos estudar sao iterativos, i.e., fornecem-nosuma sucessao de valores x1, x2, . . ., os quais, em caso deconvergencia da sucessao, se irao aproximar da solucao x∗ de umaequacao f (x) = 0.Esta sucessao e definida por recorrencia, necessitando de uma oumais aproximacoes iniciais, conforme o metodo.
A utilizacao de um metodo iterativo coloca-nos, a partida tresproblemas:
1 construcao do metodo;
2 estudo da convergencia da sucessao de aproximacoesx1, x2, . . . fornecida pelo metodo;
3 analise da velocidade de convergencia.
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Criterios de paragem
Como e impossıvel efectuar um numero infinito de iteracoes , seranecessario parar apos a obtencao de uma aproximacao xN . Istocoloca-nos outro problema: o da escolha de um criterio deparagem, dependente da precisao pretendida.Suponhamos que pretendemos determinar uma aproximacao xn daraız x∗ da equacao f (x) = 0, localizada num intervalo I = [a, b],tal que |xn − x∗| < ε.Existem varios criterios de paragem, p.e.:
(i) Criterio do erro absoluto: |xn − xn−1| < ε;
(ii) Criterio do erro relativo: |xn−xn−1||xn| < ε;
(iii) Numero maximo de iteracoes: n = nmax . Estecriterio costuma usar-se como factor de seguranca,para o caso do metodo divergir, e como tal e usualusa-lo juntamente com outro criterio;
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(iv) no caso de f ∈ C 1 (I ), sabemos, pelo teorema dovalor medio de Lagrange que
f (xn)−f (x∗) = f ′ (ξ) (xn − x∗) , para algum ξ ∈ I .
Sendo f ′ (ξ) 6= 0, podemos dizer
|xn − x∗| =|f (xn)− f (x∗)||f ′ (ξ)|
.
Como f (x∗) = 0 e ξ e desconhecido:
|xn − x∗| ≤ |f (xn)|minx∈I |f ′ (ξ)|
,
e desta forma obtem-se o criterio de paragem
|f (xn)|minx∈I |f ′ (ξ)|
< ε.
Note-se que se f ′ tomar valores muito pequenos,mesmo nao sendo nulos, este deixa de ser um criteriorazoavel;
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(v) Criterio do valor da funcao: |f (xn)| < ε.Este criterio pode nao ser uma boa escolha sempreque o grafico de f esteja muito proximo do eixo dosxx , pois assim pode ser verificado o criterio deparagem e no entanto xn estar ”longe” de x∗.
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Ordem de convergencia
Chamamos ordem de convergencia de uma sucessao conver-gente (xn)n∈N, a maior potencia p ≥ 1 tal que
|xn+1 − x∗| ≤ k |xn − x∗|p ,
para algum 0 < k < 1. A k da-se o nome de factor de con-vergencia.Se p = 1, dizemos que a convergencia e linear; se p > 1, aconvergencia diz-se supra-linear.
Assim, quanto maior for a ordem de convergencia de um metodo,mais rapido ele e no fornecimento de uma boa aproximacao dasolucao; Se dois metodos tiverem a mesma ordem de convergencia,e mais rapido aquele que apresentar um factor de convergenciamenor.
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No caso de convergencia linear, sao validas as seguintes ma-joracoes:
|xn − x∗| ≤ 1
1− k|xn − xn+1|
|xn+1 − x∗| ≤ k
1− k|xn − xn+1|
No caso de convergencia supra-linear:
|xn − x∗| ≈ |xn − xn+1|
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Metodo da Bisseccao
O teorema de Bolzano sugere-nos um processo muito simples paraobter uma aproximacao do zero de uma funcao f :Supondo que
1. f e contınua em [a, b],2. f (a) · f (b) < 0,3. ∀ ∈]a, b[, f ′(x) 6= 0,
i.e existe um unico zero da funcao f no interior do intervalo [a, b],o processo consiste em dividir o intervalo dado ao meio,obtendo-se assim os dois subintervalos[
a,a + b
2
]e
[a + b
2, b
]e depois testar a condicao 2. nestes dois intervalos para determinarqual deles contem a raız.O processo e repetido para o novo subintervalo contendo a raız ateque se obtenha a precisao pretendida.
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Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0
Inicializacao:a0 = a, b0 = bx0 = a ou x0 = b
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = am+bm2
Se |xm+1 − xm| ≤ ε ou f (xm+1) ≤ εentao fazer x∗ ≈ xm+1 e parar
caso contrarioSe f (xm+1) f (am) < 0 entao fazer
am+1 = am e bm+1 = xm+1
senaoam+1 = xm+1 e bm+1 = bm
Metodo da bisseccao
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Se x∗ e o zero de f localizado no intervalo [an, bn], entao
|xn+1 − x∗| ≤ |xn+1 − xn| .
Por outro lado, prova-se facilmente que
|bn − an| =1
2n(b − a)
e que
|xn+1 − x∗| ≤bn − an
2ou |xn − x∗| ≤
b − a
2n, n ≥ 0.
No caso do metodo da bisseccao nao existe nenhuma constante k, 0 < k < 1 quesatisfaca
|xn+1 − x∗| ≤ k |xn − x∗| ou |xn − x∗| ≤ kn |x0 − x∗| , n ≥ 0.
No entanto, se considerarmos que um metodo tem convergencia linear quando
|xn − x∗| ≤ kn(b − a), n ≥ 0, podemos afirmar que o metodo da bisseccao converge
linearmente, com factor de convergencia k = 12
.
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Exemplo
O numero de indivıduos de uma populacao pode ser dado, numcurto perıodo de tempo, pela funcao
N(t) = N0eλt +ν
λ
(eλt − 1
),
onde ν representa a taxa anual de imigracao, λ a taxa anual denatalidade e N0 o numero de indivıduos no instante inicial.Sabe-se que uma dada populacao possui inicialmente um milhaode indivıduos, que 281× 103 imigraram para a comunidade duranteo primeiro ano e que no fim desse ano existem 1.780× 106 deindivıduos. Pretende-se determinar a taxa de natalidade dessapopulacao nesse ano.
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Para determinarmos a taxa de natalidade, temos que resolver aequacao nao linear
1.780× 106 = 106eλ +281× 103
λ
(eλ − 1
).
Vamos faze-lo determinando o zero da funcao
f (λ) = 106eλ +281× 103
λ
(eλ − 1
)− 1.780× 106
no intervalo [0.1, 1], pelo metodo da bisseccao com x0 = 0.1.
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Com o criterio de paragem |f (xn)| < 10−4:
x1 = 0.55 f (x1) = 327878.650632 x17 = 0.365216827393 f (x17) = 0.8283339x2 = 0.325 f (x2) = −63930.5493404 x18 = 0.365213394165 f (x18) = −4.735935x3 = 0.4375 f (x3) = 121336.159014 x19 = 0.365215110779 f (x19) = −1.9538028x4 = 0.38125 f (x4) = 26188.1277134 x20 = 0.365215969086 f (x20) = −0.5627351x5 = 0.353125 f (x5) = −19482.6488803 x21 = 0.365216398239 f (x21) = 0.1327992x6 = 0.3671875 f (x6) = 3197.7633636 x22 = 0.365216183662 f (x22) = −0.2149679x7 = 0.36015625 f (x7) = −8180.9199049 x23 = 0.365216290951 f (x23) = −0.0410844x8 = 0.363671875 f (x8) = −2501.2307709 x24 = 0.365216344595 f (x24) = 0.0458574x9 = 0.3654296875 f (x9) = 345.8490071 x25 = 0.365216317773 f (x25) = 0.0023865x10 = 0.36455078125 f (x10) = −1078.2946831 x26 = 0.365216304362 f (x26) = −0.0193489x11 = 0.364990234375 f (x11) = −366.3738534 x27 = 0.365216311067 f (x27) = −0.0084811x12 = 0.365209960938 f (x12) = −10.3001852 x28 = 0.36521631442 f (x28) = −0.0030473
x13 = 0.365319824219 f (x13) = 167.7649694 x29 = 0.365216316096 f (x29) = −3.304× 10−4
x14 = 0.365264892578 f (x14) = 78.7300319 x30 = 0.365216316935 f (x30) = 0.0010281
x15 = 0.365237426758 f (x15) = 34.2143333 x31 = 0.365216316516 f (x31) = 3.488× 10−4
x16 = 0.365223693848 f (x16) = 11.9569266 x32 = 0.365216316306 f (x32) = 9.2× 10−6
Sao necessarias 32 iteracoes.
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Com o criterio de paragem |xn − xn+1| < 10−4:
Seriam necessarias 18 iteracoes para a aproximacao pedida, com a seguinte majoracaopara o erro:
|x∗ − x18| ≤1− 0.1
218= 3.4× 10−6.
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No scilab:
Exemplo
Exercıcio 18 dos problemas propostos:
x=[2:0.1:8]’;
function y=fun(t),y=7*exp(-2*t)+2*exp(-0.1*t)-1, endfunction;clf();
plot(x,fun(x))
a=6;b=7;it=0;h=10;
while h>10^(-8),
c=(a+b)/2;
if fun(c)*fun(a)>0 then a=c;else b=c;end;
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%0.8f\n’,c);
printf(’f(xi)=%0.8f\n’,fun(c));
it=it+1;
h=abs(b-a);
end;
printf(’h=%0.8f\n’,h);printf(’valor aprox:%0.8f’,c)
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Metodo do ponto fixo
Muitas vezes, o problema da determinacao do zero de uma funcao f pode reduzir-se aprocura de um valor z que satisfaca a equacao g(x) = x . Diz-se entao que z e umponto fixo de g .O metodo do ponto fixo e um metodo iterativo para aproximar o zero de uma funcaof , localizado no intervalo [a, b], baseado na relacao de recorrencia
xn+1 = g(xn), n ≥ 0, x0 ∈ [a, b].
Existem varias maneiras de reescrever f (x) = 0 na forma g(x) = x .
Exemplo
Para aproximarmos a raız de ex − 1x
= 0 no intervalo [0.4, 0.6], pelo metodo do pontofixo, temos que inicialmente escolher a funcao de iteracao g.Ora ex − 1
x= 0 pode ser reescrita, p.e.,
x = e−x ;
x = − ln x.
O proximo teorema diz-nos quais as condicoes que teremos que impor a g por forma a
obter um metodo convergente.
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Teorema do ponto fixo
Seja g uma funcao definida no intervalo fechado [a, b] satis-fazendo
1 a ≤ g(x) ≤ b, para todo o x ∈ [a, b];
2 existe uma constante L, 0 < L < 1 tal que|g(x)− g(y)| ≤ L|x − y | para quaiquer x , y ∈ [a, b].
Nestas condicoes g possui em [a, b] um unico ponto fixo z , limiteda sucessao definida por recorrencia{
x0
xn = g (xn−1) , n ∈ N
qualquer que seja x0 ∈ [a, b].
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Dem.: Comecemos por mostrar que a sucessao (xn)n∈N e convergente:Ora
|xn+1 − xn| = |g(xn)− g(xn−1)| ≤ L |xn − xn−1| ≤ L2 |xn−1 − xn−2| ≤ . . . ≤ Ln |x1 − x0| .
Sendo n > k
xn − xk = xn − xn−1 + xn−1 − xn−2 + . . .+ xk+1 − xk
pela desigualdade triangular
|xn − xk | ≤ |xn − xn−1|+ |xn−1 − xn−2|+ . . .+ |xk+1 − xk |
≤(
Ln−1 + Ln−2 + . . .+ Lk)
︸ ︷︷ ︸progressao geometrica de razao L
|x1 − x0|
= Lk 1− Ln−k
1− L|x1 − x0| <
Lk
1− L|x1 − x0| .
Desta forma, dado δ > 0, existe p ∈ N, tal que n, k ≥ p ⇒ |xn − xk | < δ, desde que
n > k. Podemos entao afirmar que (xn)n∈N e uma sucessao de Cauchy em R logo
convergente para um limite z que pertence a [a, b], pela condicao 1.
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Mostremos agora que z e um ponto fixo de g :
|g(z)− z| = |g(z)− xn+1 + xn+1 − z| ≤ |g(z)− xn+1|+ |xn+1 − z|= |g(z)− g(xn)|+ |xn+1 − z| .
Como g e contınua (pela condicao 2.) e como limn
xn = z, fazendo n→∞ na
desigualdade acima obtem-se g(z)− z = 0⇔ g(z) = z.Resta-nos mostrar que o ponto fixo e unico. Para tal suponhamos que existem doispontos fixos de g , z1 e z2.
|z1 − z2| = |g (z1)− g (z2)| ≤ L |z1 − z2| < |z1 − z2| ,
o que e absurdo. Logo teremos que ter z1 = z2.
Nota: Dividindo ambos os membros da inequacao da condicao 2. do teorema por
|x − y | e supondo que existe o limite limy→x
g(x)−g(y)x−y
, podemos concluir que
|g ′(x)| ≤ L < 1 em [a, b].
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Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0Escolher uma funcao g tal que f (x) = 0⇔ g(x) = x , com
g ∈ C 1 (]a, b[)g ([a, b]) ⊂ [a, b]maxx∈]a,b[ |g ′(x)| < 1
Inicializacao:x0 ∈ [a, b]
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = g(xm)ate
|xm+1 − xm| ≤ ε ou |f (xm+1)| ≤ ε
Metodo do ponto fixo
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Supondo g ′(x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, o metodo do ponto fixo temconvergencia linear a admite a seguinte majoracao do erro
|z − xn+1| ≤ maxx∈[a,b]
∣∣g ′(x)∣∣ |z − xn| , n ≥ 0.
Se g e tal que
g ′(z) = . . . g (p−1)(z) = 0 e g (p)(z) 6= 0,
entao a ordem de convergencia do metodo e p e a estimativa parao erro e
|z − xn+1| ≤M
p!|z − xn|p , n ≥ 0,
com M = maxx∈]z−ε,z+ε[
∣∣g (p)(x)∣∣.
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Exemplo
Vamos resolver a equacao algebrica x2 − 100x + 1 = 0 pelo metodo do ponto fixo.Usando a formula resolvente, sabemos que as raızes desta equacao sao x∗1 ' 0.01 ex∗2 ' 99.99.Ora,
x2 − 100x + 1 = 0⇔ x =1
100
(x2 + 1
)︸ ︷︷ ︸
g1(x)
.
Como g ′1(x) = 0.02x a escolha desta funcaoiteradora g1 e boa para aproximarmos x∗1 .
O esquema iterativo
x0 = 1
xn+1 =1
100
(x2
n + 1), n ≥ 0,
fornece as seguintes aproximacoes:
xi g1(xi )0.02 0.0100040.010004 0.01000100080.0100010008 0.01000100020.0100010002 0.0100010002
Analizando os resultados obtidos, concluımos que a partir da quarta iteracao se tem
xn ≈ g1(xn).
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A funcao iteradora g1 ja nao e uma boa escolha quando se pretende aproximar a raızx∗2 pelo metodo do ponto fixo. Vamos entao escrever
x2 − 100x + 1 = 0⇔ x = 100−1
x︸ ︷︷ ︸g2(x)
.
Comecando com a aproximacao inicial x0 = 10, como g ′2(x) = 1x2 , o esquema iterativo
x0 = 10
xn+1 = 100−1
xn, n ≥ 0,
convergira para x∗2 .
xi g2(xi )99.9 99.989989999.9899899 99.989998998999.9899989989 99.989998999899.9899989998 99.9899989998
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No scilab:
Exemplo
Exercıcio 21 dos problemas propostos:
function y=f(x), y=exp(x)-4*x^2, endfunction;
x=[-6:0.1:6]’;
plot(x,f(x));
f(4)
f(5)
function z=g(x), z=log(4*x^2), endfunction;
g(4)
g(5)
a=[4:0.1:5]’;
plot(a,g(a));
x0=4;it=1;tol=1;
while tol>10^(-5)
xi=g(x0);tol=abs(xi-x0);
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%0.8f\n’,xi);
x0=xi;
it=it+1;
end;
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Metodo de Newton
Seja f ∈ C 2[a, b], [a, b] ⊂ R e x∗ ∈ [a, b] a unica raız de f (x) = 0 nesse intervalo.Suponhamos que:
f (a)f (b) < 0
f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b)
f ′′(x) de sinal constante em (a, b).
Pela formula de Taylor, sendo x0 ∈ [a, b],
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(η)
2(x − x0)2, η ∈ I{x , x0}
Podemos entao escrever
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x0)(x − x0),
e obter uma aproximacao da raız de f (x) = 0 fazendo x = x1, de forma a que osegundo membro se anule, i.e.:
f (x0) + f ′(x0)(x1 − x0) = 0⇒ x1 = x0 −f (x0)
f ′(x0), f ′(x0) 6= 0.
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Equacoes nao lineares
Fazendo sucessivamente f (x) ≈ f (xn) + f ′(xn)(x − xn), vem a chamada formulaiteradora do metodo de Newton
xn+1 = xn −f (xn)
f ′(xn), n = 0, 1, . . . ,
desde que f ′(x) nunca se anule em nenhuma das iteracoes.
Nota: Note que y = xn − f (xn)f ′(xn)
e a equacao da recta tangente ao grafico de f no
ponto xn, razao pela qual o metodo de Newton tambem e conhecido pelo metodo da
tangente.
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Interpretacao geometrica
Suponhamos que f (a) < 0, f (b) > 0 ef ′′(x) > 0.
Sendo x0 = b, consideremos a recta tangente a curva em x0. A equacao desta rectatangente e entao y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0). Se considerarmos a interseccao destarecta com o eixo dos abcissas (fazendo y = 0), obtemos:
x = x0 −f (x0)
f ′(x0)︸ ︷︷ ︸x1
Se considerarmos a recta tangente a curva em x1:
y − f (x1) = f ′(x1)(x − x1)y=0=⇒ x = x1 −
f (x1)
f ′(x1)︸ ︷︷ ︸x2
e assim sucessivamente.Luısa Morgado Equacoes nao lineares
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Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0f ′(x), f ′′(x) 6= 0,∀x ∈ [a, b]f (x0)f ′′(x) > 0, ∀x ∈ [a, b]
Inicializacao:x0 escolhido de acordo com a ultimacondicao de convergencia
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = xm − f (xm)f ′(xm)
ate|xm+1 − xm| ≤ ε ou f (xm+1) ≤ ε
Metodo de Newton
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Exemplo
Dado a > 0, determinemos, pelo metodo de Newton, uma aproximacao do seuinverso, 1
a.
O problema proposto e equivalente a determinacao da raız da equacao a = 1x
.
Consideremos entao a funcao f (x) = 1x− a Com a = 7, f (x) = 1
x− 7 e pode
localizar-se o zero desta funcao no intervalo [0.1, 0.2]. Como
f e contınua em [0.1, 0.2] e f (0.1) = 3 > 0, f (0.2) = −2 < 0,
f ′(x) = − 1x2 < 0, ∀x ∈ [0.1, 0.2],
f ′′(x) = 2x3 > 0, ∀x ∈ [0.1, 0.2],
com x0 = 0.1,
o metodo de Newton sera convergente para a solucao do problema fornecendo asseguintes aproximacoes:
x1 = 0.13x2 = 0.1417x3 = 0.14284777x4 = 0.1428571422x5 = 0.1428571429x5 = 0.1428571429
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Equacoes nao lineares
Condicoes suficientes de convergencia
Se f (a)f (b) < 0, f ′(x) 6= 0 e f ′′(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], entao a sucessao {xn} econvergente para o unico zero de f em [a, b], desde que se considere a condicaof (x0)f ′′(x0) > 0.
Dem.: Suponhamos, sem perda de generalidade, quef (a) < 0, f (b) > 0, f ′(x), f ′′(x) > 0, x0 = b.Para provarmos que {xn} e convergente, mostraremos que {xn} e nao crescente elimitada inferiormente.
{xn} e limitada inferiormente: Usando a formula de Taylor
0 = f (x∗) = f (xn) + f ′(xn)(x∗ − xn) + f ′′(η)(x∗ − xn)2
2, ηn ∈ I{x∗, xn}
Dividindo tudo por f ′(x) 6= 0, temos:
0 = x∗ −(
xn −f (xn)
f ′(xn)
)︸ ︷︷ ︸
xn+1
+f ′′(ηn)
f ′(xn)
(x∗ − xn)2
2⇐⇒
⇐⇒ x∗ − xn+1 = −f ′′(ηn)
f ′(xn)
(x∗ − xn)2
2≤ 0
donde resulta que x∗ ≤ xn+1,∀n ∈ N0.
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{xn} e nao crescente: Como x∗ ≤ xn, ∀n ∈ N, vem que f (xn) ≥ 0, ∀n ∈ N0.De
x1 − x0 = −f (x0)
f ′(x0)
e f (x0) > 0 resulta x1 < x0 e de
xn+1 − xn = −f (xn)
f ′(xn)(1)
e de f (xn) ≥ 0 resulta xn+1 < xn.
Provamos entao que a sucessao {xn} e convergente. Vejamos agora se xn −→ x∗.
Sendo α tal que xn −→ α, tomando o limite em (1) obtemos f (α) = 0. Mas como
este intervalo contem uma unica raız, temos que α ≡ x∗
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Convergencia quadratica
Nas condicoes do teorema anterior
|x∗ − xn+1| ≤ M|x∗ − xn|2, n ∈ N0
onde
M =1
2
maxx∈[a,b] |f ′′(x)|minx∈[a,b] |f ′(x)|
Dem.: Seja x0 ∈ [a, b] tal que f (x0)f ′′(x0) > 0. Vimos que
|x∗ − xn+1| =
∣∣∣∣−1
2
f ′′(ηn)
f ′(xn)(x∗ − xn)2
∣∣∣∣ , ηn ∈ I{x∗, xn}
donde resulta imediatamente o pretendido.
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No scilab:
Exemplo
Exercıcio 21 dos problemas propostos:
function y=f(x), y=5*10^(-2)-(4+x)./(((25-x)^2).*(30-x)), endfunction;
x=[10:0.1:20];
plot(x,f(x));
f(18)
f(19)
x0=19;it=1;tol=1;
while tol>10^(-8)
xi=x0+(f(x0))/(((25-x0)*(30-x0)+2*(4+x0)*(30-x0)+(4+x0))/((25-x0)^3*(30-x0)^2));
tol=abs(xi-x0);
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%f\n’,xi);
x0=xi;
it=it+1;
end;
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Metodo da secante
Este metodo conjuga a simplicidade do metodo da biseccao com arapidez do metodo de Newton, evitando as dificuldades desteultimo nos pontos onde nao se pode calcular a derivada.
Deduz-se tal como o metodo de Newton,mas em vez da tangente consideramos ainterseccao da recta secante que passapelos pontos (xn, f (xn)) e (xn−1, f (xn−1))com o eixo dos xx .obtendo-se a seguinte formula derecorrencia:
xn+1 = xn −f (xn)
f (xn)− f (xn−1)(xn − xn−1)
Tal como no metodo da bisseccao, este requer duas aproximacoesiniciais.
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Condicao suficiente de convergencia:f contınua em [a, b]f (a)f (b) < 0f ′(x), f ′′(x) 6= 0,∀x ∈ [a, b]f (x−1)f ′′(x) > 0 e f (x0)f ′′(x) > 0, ∀x ∈ [a, b]
Inicializacao:x0 e x−1
Ciclo:Para m ≥ 0 fazer
xm+1 = xm − f (xm) xm−xm−1
f (xm)−f (xm−1)
ate|xm+1 − xm| ≤ ε ou f (xm+1) ≤ ε
Metodo da secante
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Pode provar-se que
|x∗ − xn+1| ≤1
2
maxx∈[a,b] |f ′′(x)|minx∈[a,b] |f ′(x)|
|x∗ − xn| |x∗ − xn−1|
e que o metodo da secante tem convergencia supra-linear, naochegando a ser quadratica.Mais ainda, pode provar-se que a ordem de convergencia dometodo da secante e
p = Φ =1 +√
5
2,
o numero de ouro.
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No scilab:
Exemplo
Exercıcio 30 dos problemas propostos:
function y=f(x), y=sqrt(x).*log(10000./2.51*sqrt(x))-1.1513, endfunction;
x=[0.01:0.001:0.05]’;
plot(x,f(x));
clf();
function
z=df(x), z=0.5*x^(-0.5).*(1+log(10000./2.51*sqrt(x))),
endfunction;
plot(x,df(x));
clf();
function
w=d2f(x), w=0.5.*x^(-0.5).*(-0.25*x^(-1).*(1+log(10000./2.51*sqrt(x)))+1),
endfunction;
plot(x,d2f(x));
f(0.01)
f(0.02)
f(0.05)
xm1=0.01;x0=0.02;it=1;tol=1;
while tol>10^(-8)
xi=x0-f(x0)*((x0-xm1)/(f(x0)-f(xm1)));tol=abs(xi-x0);
printf(’it=%d\n’,it);
printf(’xi=%0.8f\n’,xi);
xm1=x0;
x0=xi;
it=it+1;
end;
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Equacoes algebricas
Um caso particular frequente de equacao nao linear e a equacaoalgebrica de grau n, com coeficientes reais:
p(x) = a0xn + a1xn−1 + · · ·+ an−1x + an = 0, a0 6= 0
Existem formulas de resolucao para n ≤ 4, mas sao em geral, dedifıcil implementacao e por vezes mal condicionadas do ponto devista numerico. Desta forma, e costume recorrer-se aos metodosnumericos para n ≥ 3, sendo estes obrigatorios sempre que n ≥ 5.
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Teorema Fundamental da Algebra
Seja p(x) um polinomio de grau n ≥ 1 de coeficientes reais.Entao existe x∗ ∈ C tal que p(x∗) = 0.
E seus corolarios:
Se p(x) e um polinomio de grau n de coeficientes reais, entaop(x) admite n zeros, reais ou complexos, iguais ou distintos.
Um polinomio de grau ımpar admite pelo menos um zero real.
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Teorema de Cauchy
Todos os zeros x∗ do polinomio p(x) =n∑
j=0
aj xn−j , com a0 6= 0, estao no interior
do circulo (do plano complexo) centrado na origem e raio
R = 1 + maxj=1,...,n
{∣∣∣∣ aj
a0
∣∣∣∣}
E seu corolario:
Os zeros x∗ do polinomio p(x) =n∑
j=0
aj xn−j , com a0 6= 0 e an 6= 0, estao no exterior
do circulo (do plano complexo) centrado na origem e raio
r =1
1 + maxj=0,...,n−1
{∣∣∣∣ aj
an
∣∣∣∣}
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Exemplo
Localizemos os zeros dep(x) = 8x6 − 4x5 − 22x4 + 5x3 − 3x2 + 9x + 27.
R = 1 + max
{27
8,
9
8,
3
8,
5
8,
22
8,
4
8
}= 1 +
27
8=
35
8
r =1
1 + max
{8
27,
4
27,
22
27,
5
27,
3
27,
9
27
} =1
1 +22
27
=27
49
entao
0.55 =27
44< |x∗| < 35
8= 4.375
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Regra de sinais de Descartes
O numero np de zeros reais positivos de um polinomio p(x) emenor ou igual ao numero de variacoes de sinal ν dos coeficientesde P(x). Mais ainda, ν−np e um inteiro par positivo. Da mesmamaneira, o numero de zeros reais negativos de P(x) e no maximoigual ao numero de variacoes de sinal dos coeficientes de P(−x).
Exemplo
p(x) = x4 − x3 − x2 + x − 1. Temos entao
1 3 zeros reais positivos um zero real negativo, ou
2 1 zero real positivo, 1 zero real negativo e dois zeros complexos conjugados.
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Teorema de Newton
Se em c > 0 o polinomio p(x) =n∑
j=0
aj xn−j , com a0 > 0 e as suas sucessivas
derivadas pj (x), j = 1, 2, . . . , n − 1 sao nao negativas, entao qualquer zero realpositivo x∗ de p(x) e inferior a c.
Chamamos sequencia de Fourier de p(x) em [a, b], a sequencia formada por p epelas sucessivas derivadas p′, p′′, . . . , p(k) ate a primeira derivada p(k) que tem sinalconstante em [a, b].
O numero de raızes reais de p(x) = 0 em [a, b], onde p(a) 6= 0 e p(b) 6= 0, e igualao numero de variacoes de sinal perdidas pela sequencia de Fourier de p(x) de apara b ou um numero inferior e da mesma paridade.
Este ultimo resultado e o conhecido teorema de Fourier.
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No caso de se pretender obter um zero real simples de umaequacao algebrica qualquer dos metodos numericos apresentadosanteriormente sao validos. No entanto para se determinar um zerocomplexo o metodo da bisseccao nao pode ser usado. O metodode Newton e o metodo da secante so convergirao para um zerocomplexo se a aproximacao inicial for um complexo (e obviamenteforem satisfeitas as condicoes de convergencia) sendo todo oprocesso realizado em aritmetica complexa. Note-se que uma vezdeterminada uma raız complexa, ficamos imediatamente aconhecer a sua conjugada.
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