eq651 – operações unitárias i - ggte.unicamp.br · 1 eq651 - material elaborado pelas profas....
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EQ651 – Operações Unitárias I
Capítulo II – Dinâmica de Sistemas Sólido-Fluido
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Caracterização de Partículas
Caracterização de Tamanho e Forma de Partículas Sólidas
Personagem principal no estudo de sistemas particulados
Material Sólido
• Parte integrante do material de processo• Produto ou subproduto gerado no processo• Resíduo de descarte
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Tipos de sólidos: quanto ao tamanho e massa específica
Homogêneo: mesmo tamanho, forma e massa específicaHeterogêneo: ampla faixa de tamanho, forma e massa específica
Classificação em tamanho e forma de partículas
Realizada através de operações que se utilizam da dinâmica do sistema sólido-fluido (elutriação), ou de outras operações puramente mecânica. Baseiam-se nas características físicas do material.
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Análise Granulométrica de Partículas
Distribuição de tamanhos de partículas
Usa-se com frequência peneiras padronizadas da série Tyler
Análise em Peneiras
Série de peneiras Tyler Apêndice C8 Foust et al., 1982- Princípios dasOperações Unitárias
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ochaTabela – Série de peneiras padrão
Designação da peneira Abertura da peneira
Diâmetro nominaldo arame (fio)
Designação Tyler
mm inmm inStandard Alternativa
107,6 4,24 107,6 4,24
60 mesh48 mesh
6050
Ex.: peneira nº6 – abertura: 3,36 mm ou 0,132 in
Designação tyler: outra maneira comumente usada para se referiras peneira
Mesh: número de abertura por polegada linear
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Menor peneira: padronizada – 400 mesh – abertura = 0,037 mmpartícula < 37 µm.
Sistemas Padronizados
Tyler (International Standard Organization)
Sólidos Grosseiros: abaixo de 4 mesh ( > 4700µm)Finos: 4 mesh a 48 mesh (300-4700 µm)Ultra-finos: 48 a 400 mesh (38-300 µm)
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Equipamentos
• Peneiras com base vibratória
• Microscopia Eletrônica de Varredura(MEV)
•Difração de Raio Laser
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Peneiras com Base Vibratória
Figura 1. Agitador eletro-magnético e peneiras redondas para análise granulométrica Figura 2. Distribuição das partículas
nas peneiras
(http://www.bertel.com.br/mostruario.html)
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Microscopia Digital
Camera CCD
ImagemDigital
Figura 3: Imagem de um microscópio digital e processamento
Interface ImagemProcessadae AnalisadaControle das Lentes
(http://www.dcmm.puc-rio.br/cursos/micquant/index_files/frame.html)
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Exemplos
(a) (b)
Figura 4. Micrografias obtidas pelo MEV: a) esferas de vidro; b) areia; c) alumina(Santos E.S., Estudo de Mistura e Segregação em Leito Fluidizado de Partículas Polidispersas, Tese de Mestrado, Unicamp, 1997)
(c)
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Figura 5. Micrografias de um polímero (PE alta densidade) obtidas pelo MEV
(Ref.: Tannous K e Soares J.B.P., Gas Phase Polymerization of Ethylene Using SupportedMetallocene Catalysts: Study of Polymerization Condition, Macromolecular Chemistry and
Physics, issue 13/2, julho de 2002)
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Difração de Raios Laser
Figura 6: Analisador de partículas por difração a Laser
(http://www.shimadzu.com.br/analitica/port/Produtos/SALD/images/sald3101.jpg)
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Análise Granulométrica Típica:
Massa total: 142,5 g
Peneiras selecionadas: 35, 42, 48 e 60
Tyler di(cm) Mretida(g) xi X(%)=(100X)
32-3535-4242-4848-60
0,4560,3840,3230,272
0,7491,3248,741,70
0,0050,6410,3420,012
99,4835,401,190,0
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Nomenclatura (32-35) -32+35, ou seja, passa pela peneira 32,
mas fica retida na peneira 35.
di = (d32+d35)/2 = (0,495+0,417)/2 = 0,456 mmX = fração em peso menor que di (distribuição granulomérica)
Tyler X X(%)=(100X)
32-3542-48
99,481,19
[(142,5-0,74)/142,5=0,9948[(142,5-0,74-91,32-48,74)/142,5]=0,0119
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Expressões para o cálculo de dp
1. Diâmetro da partícula, cujo volume é igual ao volume médio de todas as partículas
∑
=
3
3 1
i
ip
dx
d
2. Diâmetro da partícula, cuja área superficial é igual à média das áreas superficiais de todas as partículas
∑
∑
=
3
2
i
i
i
i
p
dx
dx
d
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3. Diâmetro da partícula cuja relação superfície/volume é a mesma para todas as partículas
Diâmetro Médio de Sauter (dps)
=
i
ips
dxΣ
1d
• Dependendo da situação os resultados são melhores, e é tradicional utilizar uma ou outra definição. Em sistemas particulados (escoamento em meios porosos), cinética e catálise a definição mais utilizada é a de Sauter.
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Modelos de Distribuição
1. Gates-Gaudin-Schumann
100i
mi dK eK d onde
KdX =<
=
X=fração das partículas com diâmetro menor de dim=1 (distribuição uniforme)m 1(casos usuais)≠
X
di
m<1
m>1
K
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Determinação de m: ln(x) = m ln(di/K)
tg α = m
ln X
α
ln (di/K)
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2. Rosin-Ramler-Bennet
d d´ onde 1X 63,2d´di
=−=
−
n
e0,632
d63,2 di
X
X-1 d´di
n
e
−
= X-1
1 d´di
n
e
=
d´d
X-11ln i
n
=
d´dln
X-11lnln i
=
n
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3. Log Normal
[ ] ( )( )σln2
/dlnz onde 2
erf(z)1X 50i d=
+=
∫ −=z
02 )dyyexp(
π2erf
Para ajustar uma distribuição log-normal
19,15
50
50
1,84 ≥==dd
dd
σ
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Esfericidade
partícula da superfície da áreapartículadavolumeigual deesferadasuperfíciedaáreaφ =
Ex.: esfericidade de um cilindro equilátero (D=H)
Vesfera=Vcilindro
H4
πD6πd 23
=4πD
6πd 33
= D3/1
23d
=
D
H
0,873D
D2
32
3D2d
πDH4D2πd
SSφ 2
22/3
2
2
2
2
c
e =
==+π
==
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Outras propriedades importantes
Propriedades Importantes: • Porosidade, distribuição de tamanhos de poros e tipos de
poros• Densidade real e aparente• Área superficial
Essas propriedades influenciam processos importantes:• Adsorção / dessorção de líquidos e gases em sólidos• Reações catalíticas• Processos de separação
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Porosidade de materiais sólidos
Tipos de Poros: poros interconectado ou efetivo e poros isolados (fechados) ou não-interconectados. Existem ainda os poros cegos ou “dead-end”, que são interconectados apenas por um lado.
Figura 7: Partícula porosa com os três tipos de poros
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Vazios não-interconectados ou poros isolados não contribuem para o transporte da matéria através do material poroso, apenas os poros interconectados ou efetivos podem contribuir.
Poros cegos, ainda que possam ser penetrados por fluidos, contribuem muito pouco para o transporte de matéria (Dullien, 1992).
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Classificação dos Poros
Classificação dos poros conforme o tamanho (Allen, 1997):
- Macroporos - têm amplitude superior a 50 nm;
- Mesoporos - amplitude de 2 a 50 nm;
- Microporos - amplitude de 0,6 a 2 nm,
- Ultramicroporos - têm amplitude menor que 0,6 nm.
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POROSIDADE: é a fração de espaços vazios. É a relação entre o volume ocupado pelos poros e/ou vazios e o volume total da amostra.
partícula da totalvolumeabertos poros dos volume
=oε
pó do totalvolume vaziose abertos poros dos volume
=ε
Porosidade da partícula
Porosidade do pó
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Dependendo do tipo do meio poroso, a porosidade pode variar de próximo de zero até perto da unidade. Por exemplo, metais e alguns tipos de pedras vulcânicas têm porosidades muito baixas, enquanto filtros fibrosos e isolantes térmicos são substâncias muito porosas (Dullien, 1992).
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Métodos Experimentais para Porosidade
Método direto:• medir o volume “bulk” (aparente) de uma amostra porosa• destruir de alguma maneira os vazios• medir o volume de sólido apenas
Método óptico:• propriedades ópticas para identificar os poros• impregnar os poros com cera ou plástico para tornar os poros mais visíveis
Limitações:• apenas poros interconectados são penetrados• poros pequenos podem não ter sido impregnados
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Método de Imbebição
• Imergir a amostra em um fluido molhante• Sob vácuo, causar a imbebição de todos os espaços • Amostra é pesada antes e depois da imbebição• Com a diferença das massas e densidade do líquido, obtém-se o volume de poros
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Método de intrusão de mercúrio
O volume “bulk da amostra é determinado pela imersão da amostra
no mercúrio (baixa pressão)
• Muitos materiais não são molhados pelo mercúrio – o líquido não
penetra nos poros
• Impõe-se pressão alta na câmara contendo a amostra, forçando o
mercúrio nos poros
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O porosímetro de Hg mede a porosidade e a distribuição de tamanhos de poros na amostra
Usa a equação de Washburn: D é o diâmetro do poro γ é a tensão superficialθ é o ângulo de contato P a pressão.
Pcos4
Dθγ-
=
A equação considera que todos os poros são cilíndricos e que eles se esvaziam completamente quando a pressão é reduzida a zero.
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Dados obtidos em um porosímetro de Intrusão de Hg:
• Volume acumulado de poros x diâmetro de poro• Diâmetro médio de poros• Porosidade média• Densidades real e aparente do material
Outros equipamentos para determinação de porosidade de sólidos ....
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Densidade de Materiais Sólidos
Densidade: propriedade definida como massa por unidade de volume
Densidade real: poros os excluindo volumemassa
s =ρ
Densidade aparente ou efetiva: ρ totalvolume
massa=ef
Onde: volume total = vol. de sólido + vol. de poros
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• Densidade de sólidos normalmente obtida por deslocamento de líquido em equipamento chamado de picnômetro
Picnômetro comum – recipiente com volume calibrado para determinado fluido (normalmente água) à determinada temperatura
Densidade de sólido por picnometria Material insolúvel nolíquido
[ ] ( )[ ]( ) O2HolsO2HpicsolO)2H(picsol /ρmassamassamassa
sólido de massaρ+++ −+
=
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Figura 8: Esquema do Picnômetro a Gás Hélio
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ochaPrincípio de medição:
• Volume da amostra calculado pela mudança de pressão observada no gás Hélio quando este se expande de uma câmara contendo a amostra para a outra câmara, sem amostra.
• Para massa da amostra conhecida, determina-se a densidade domaterial
É considerado um método bastante preciso de determinação dedensidade real de sólidos. Disponibilidade de modelos automáticos
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Área Superficial de Sólidos
Área superficial específica: definida como a área superficial dosporos por unidade de massa (S) ou volume (Sv) do material poroso
Propriedade importante para:• adsorção• determinação da efetividade de catalisadores• filtração, etc...
Área superficialda partícula
Em vermelho
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Métodos Experimentais para Área Superficial
Os equipamentos para medida da área superficial utilizam aTeoria de Adsorção de Gases em Sólidos
Teoria mais simples: modelo de Langmuir
Assume que apenas uma camada de moléculas de gás é adsorvida no sólido. A partir das equações do modelo, quantifica a área superficial do material
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Métodos Experimentais para Área Superficial
Método mais utilizado: Brunauer, Emmet e Teller,conhecido como método BET
É uma extensão do modelo de Langmuir, corrigindo para a Adsorção de mais de uma camada de moléculas de gás.A partir das equações do modelo, quantifica a área superficial do material.
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Dinâmica da Partícula Sólida
A 2o lei de Newton estabelece que o que atuam em um sistema é igual a taxa de mudança de momentum linear do sistema.
Fr
∑
vm.P onde ,dtPdF rvr
==∑r
ou
Para uma partícula de massa m, que atuam na partícula é a taxa de mudança de momentum linear da partícula ( quantidade de movimento da partícula).
F∑≡
r
dtvdmFrr
=∑
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Para uma partícula caindo em um fluido,
kep FFFdtvdm
rrrr++=
dp ρ
eFkFr
pFr
ρs
ou
r
kFg.V.ρg.mdtvdm
rrrr
+−=
ks Fg.V.ρg.V.ρdtvdm
rrrr
+−=
( ) ks Fg.Vρρdtvdm
rrr
+−=
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ocha?Fk =
r
ur velocidade do fluidovelocidade da partículavr
vrur
Força de atrito está relacionada à velocidade relativa ( )vu rr −
Define-se o coeficiente de arraste: CD
( )vuvu.C.A.ρ21F DK
rrrr−−=
( )vuvuρ21
A/FC KD rrrr
−−=
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onde:
A – área da partícula projetada na direção do escoamento
4d
A2
pπ=Esfera :
CD é função do fluido (ρ,µ) e da partícula (ρs,dp e forma)
µ−ρ
=vud
Re pp
rrCD=f(Rep, forma) onde:
0dtvdm =r
Caso particular da equação do movimento:
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ocha
0dtvd=
rou Escoamento da partícula sem aceleração
0F =∑r
Movimento uniforme
Velocidade Terminal: velocidade atingida pela partícula em condições de equilíbrio de forças ( ) em um fluido em repouso.0F =∑
r
0ue vv t == rrr
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( ) 2tDs vAC
21Vg0 ρ−ρ−ρ=Equação do movimento
tv
( )D
stAC
gV2vρ
ρ−ρ=
Parâmetro importante no projeto de equipamento de separação
* Partindo do repouso, há um período de aceleração da partícula de velocidade terminal uniforme.
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Estimativa de CD
CASO 1: Escoamento lento de uma esfera caindo em um fluido em repouso (também chamado Regime de Stokes)
µρ
= tpp
vdRe0 < Rep < 1 onde
(solução analítica para escoamentoLento de Stokes, em 1901)
tpK vd3F πµ=
2tDtpK vAC
21vd3F ρ=πµ=
2t
2p
tpD vd2/1
4vd3C
ρπ
πµ=
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pD Re
24C =tp
D vd24C
ρµ
=
Substituindo na expressão de vt
( ) ( ) 2/1ts
2p
2/1
tp
2p
s
3p
t 18gvd
vd24
4d
g6d
2v
µρ−ρ
=
ρµ
ρπ
ρ−ρπ
=
( )µρ−ρ
=18
gdv s
2p
tExpressão de vt para o Regime de Stokes
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
CASO 2: Região Intermediária: 1<Rep<500
6,0p
D Re5,18
=
3/1p
pD Re4
Re24C −+=
Allen: C
para 3 < Rep < 400Klyachko:
( )39,1p
63,0p
pD Re0026,0Re197,01
Re24
++=Langmuir e Blodgett: C
1<Rep<100
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Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
CASO 3: Regime de Newton: 500 < Rep< 2 105
cteCD ≅ CD=0,44( ) 2/1
spt
gd3v
ρρ−ρ
=
CASO 4: Turbulento Rep> 2 105
( ) 2/1sp
tgd
58,2v
ρρ−ρ
=CD=0,20
50
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Rep
StokesInterm.
1 500 2.105
24/RepCD
esfera0,44
0,20Newton turbulento
51
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Perry - 5a. Edição – Tabela 5-22: φ para diferentes materiaisFoust - p. 539 : CD x Rep (φ’s)
CD
Φ’s diferentes
Φ=1 (esfera)
Rep1 500 2.105
52
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
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do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Resolução de problemas1. Dados dp, ρs, ρ, µ, e calcular vt
Utilizando novos grupos adimensionais
Temos que:( ) ( )
D
2p
s
3p
D
st
C4
d
g6d
2
ACgV2v
πρ
ρ−ρ
π
=ρ
ρ−ρ=
( )2t
psD v
gd34C
ρ
ρ−ρ= µ
ρ= tp
pvd
Ree
53
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1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha2
pD Re
2CNovo grupo adimensional:
( ) ( )2s
3p
2
2p
2t
2
2t
ps2p
D gd
32dv
v
gd64Re
2C
µ
ρ−ρρ=
µ
ρ
ρ
ρ−ρ=
(não contém vt)
2p
D Re2
C
leio Rep ⇒ vt
Φ=0,8 Tentativa ou pelo Método do Foust
Φ=1
Coulson e Richardson, vol II ou problemas em Sistemas Particu-lados, G. Massarani COPPE/UFRJRep
54
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha2. Dados vt,, ρs, ρ, µ, e calcular dp
( )3t
2s
p
D
vg
32
Re2/C
ρµρ−ρ
= (não contém dp)Grupo Adimensional:
leio Rep ⇒ dp
55
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1 -
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eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Método do Foust
1. Calcular vt
( )2t
psD v
gd34C
ρ
ρ−ρ=
( )t
psD vlog2
gd34logClog −
ρρ−ρ
=
(1)
µρ
= tpp
vdRe t
pp vlog
dlogRelog +
µρ
=
µρ
−= ppt
dlogRelogvlogou, (2)
Substituindo (2) em (1)
56
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1 -
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
( )
−+−= 2
3
34logRelog2log
µ
ρρρ spD
pgd
C
CD*
Reta de coeficiente angular(-2) e que passa pelo ponto:Rep=1,0,
( )2
s3p*
D
gd
34C
µ
ρ−ρρ= em papel log-log
57
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l Ela
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Juntando essa reta com o gráfico CDxRep para a esfericidade, obtém-se Rep e, portanto, vt
CD
Rep
CD*
1,0 leio Rp vt
coefc. angular -2
Φ
58
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
2. Calcular dp
( )p2
t
sD dlog
vg
34logClog +
ρρ−ρ
=Da equação de CD (1)
µρ
−= tpp
vlogRelogdlog (2)
Subst. (2) em (1):( )
ρ
ρ−ρµ+= 3
t2s
pD vg
34logRelogClog
CD*
59
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Pr
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Reta de coefc. Angular (1) e que passa pelo ponto Rep=1,0 e
( )3t
2s*
D vg
34C
ρρ−ρµ
=
Rep1,0 leio Rep dp
coefc. angular 1
Φ
CD
CD*
60
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
vt
dp
ar ρs
ρs
H2O
Figura 9: Velocidade terminal x diâmetro da partícula para esferas com diferentes densidades caindo em água e ar a 20o.C
(Perry e Chilton – Chemical Engineers´ Handbook)
61
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Partícula escoando entre 2 placas paralelas
Comportamento de um partícula em um fluido escoando entre duas placas planas
urxy
vxvyvr
( ) ( )vuvuρAC21gVρρ
dtvdm Ds
rrrrrr
−−+−=
Simplificações: - fluido escoa apenas na direção x (uy=0)- não há aceleração da partícula
62
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1 -
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaDireção x: a velocidade da partícula é igual à velocidade do fluido
0dtvdm x = gx=0
( ) 0vuvuAC21
xxxxD =−−ρ ux=vx
Direção y: a velocidade da partícula é igual à sua velocidade terminal
0dtvd
m y = uy=0
( )D
sy AC
gV2vρ
ρ−ρ=( ) ( )2yDs vAC
21Vg0 ρ−ρ−ρ=
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use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Equipamento de Separação Gás-Sólido e Líquido-Sólido
Partículas grandes, com vt >1ft/s se separam facilmente de um fluido, enquanto que as partículas finas tendem a seguir o mesmo percurso do fluido tornando a separação difícil.
Porque separar partícula-fluido?
Para evitar o desperdício de materiais de valor
Para manter a atmosfera ao redor da fábrica e/ou a água (líquido)
descartada limpos
Para eliminar riscos de explosão, pois alguns materiais finos(pós)
formam misturas explosivas com o ar, em determinadas concentrações
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Separação Gás-Sólido
Métodos de Separação
Métodos de Medição
Tamanho de partículas(µm)
PrecipitadoresEletrostáticos
Filtros MangaSeparadores CentrífugosLavadores de PoeiraCâmara de PoeiraElutriadores
Ultra-microscópicoUltra-centrífuga
MicroscópicoElutriação
0,001 a 1 µm(fumos)
1 a 1000 µm(poeira)>1000 µm(granulado)
65
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ocha
Câmara de Poeira
BL
partícula+ gás
u
coletor
x
y
H
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use
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ra C
.S. R
ocha
x)direção(AQu =Velocidade Média do Fluido
Qual o diâmetro da menor partícula que fica retida na câmara?
câmarapelapassagemdetemporesidência de potem ≡
Tempo de queda depende de vt
Se tres.> tqueda partícula fica retidaSe tqueda>t res. partícula passa com o gás
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. Kat
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use
Sand
ra C
.S. R
ocha
tqueda.res v
Ht e uLt ==
Condição mais desfavorável para a separação:
LuHvt =
tvH
uL=
( )D
st AC
gV2vρ
ρ−ρ=Como:
( )D
s
ACgV2
LuH
ρρ−ρ
=Expressão geral para a Câmara de PoeiraEntão:
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. Kat
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use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Para partícula esférica e Regime de Stokes
( )µρ−ρ
=18
gdv s
2p
t
( ) uL
gdH18
s2p
=ρ−ρ
µ
0<Rep<1 e
tvH
uL=
( ) QLBH
gdH18
s2p
=ρ−ρ
µ Volume da câmara VBH
QAQu ==Mas
69
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ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
( )
2/1
sp g
HQ18d
ρ−ρµ
=V
Menor partícula retida na câmara
O mesmo pode ser feito para os outros regimes. Entretanto, para afaixa de tamanhos de partículas utilizadas e u em câmara de poeira, o Regime é geralmente de Stokes.
Dados práticos: separação para dp>50µm e u<10 ft/s.
70
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1 -
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l Ela
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Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Elutriador (Classificador Hidráulico)alimentação
água(Q)
D1 D2>D1Partículas finas e levesSólidos de
vários tamanhose/ou materiais
Partículas grandes e pesadas
Partículas intermediárias
Partículas com vt >vágua caem e são recolhidas por baixo. O líquido(normalmente água)escoa para cima e a alimentação de sólidos a separar é alimentada por cima.
71
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l Ela
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Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
ExemploUma mistura de galena(PbS) e calcáreo, na proporção de 1:4 em peso é submetida à elutriação com uma corrente ascendente de água comvelocidade 0,5 cm /s. A distribuição de tamanhos nos materiais é a mesma.
dp(µm)
%peso <dp
20 30 40 50 60 70 80 100
15 28 48 54 64 72 78 100
Calcular a % de galena no material arrastado e no produto de fundo.
Dados: ρG=7,5 g/cm3
ρC= 2,7 g/cm3
ρH2O= 1g/cm3
φG=0,8φC=0,7µH2O= 1 cp
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Sand
ra C
.S. R
ocha
Partícula em um Meio Fluido Sujeita a um Campo Centrífugo
Equação do Movimento: coordenadas cilíndricas, componentestangencial e radial
Fluido e partículas
R
r
Carcaça sólida
ΩForça de campo centrífugo na direção radial
73
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Pr
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. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Considerações:
• para o fluido: ur=0 (velocidade radial nula)ru Ω=θ (velocidade tangencial com perfil linear
em r=R ; Ru Ω=θ
0dt
dvdt
dvr == θ• para a partícula: vr e vθ existem e
( )2cc rmmaF Ω==Força de campo centrífugo
dtduθ
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. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaComponente radial
( ) ( )rrrrDcsr vuvuρAC
21Vaρρ
dtdvm −−+−= (1)
0 00 2rΩ
( ) 2rD
2s vAC
21rV0 ρ−Ωρ−ρ= (2)
( )D
2s
r ACrV2v
ρΩρ−ρ
= Velocidade teminal radial da partícula (3)
vr=vr (r), pois a intensidade do campo é função de r
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. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Componente tangencial
( )2D vuAC21
dtdvm θθ
θ −ρ−= ( )2D vuAC21
dtdvm θθ
θ −ρ−= (4)(4)
rvu Ω== θθ (5)
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use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Equação Geral para a Sedimentação Centrífuga
Centrífuga TubularAlimentação (suspensão sólido-líquido)
L
Descargade líquido
Trajetória de uma partícula
Fluxo da alimentação
r1
rB
r2
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. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
A alimentação é descartada no fundo da centrífuga e supõe-se que todo líquido tem movimento asdendente uniforme, carregando consigo as partículas, as quais se movem radialmente com velocidade radial terminal vr.
Uma partícula de um determinado tamanho será separada do líquido se o tempo de residência for suficiente para a partícula atingir a parede da centrífuga. Ao fim do tempo de residência, a partícula está a uma distância rB do eixo de rotação.
78
EQ65
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Se rB< r2 : partícula sai com o fluidoSe rB = r2 : partícula fica sedimentada na parede e não deixa a
centrífuga com o fluido
Vamos admitir inicialmente sedimentação no regime de Stokes: por analogia a expressão de vt, com “g” substituido por r2Ω
( )dtdr
18rd
v22
psr =
µΩρ−ρ
= ( ) rdr
d18dt 22
ps
=Ωρ−ρ
µ=ou
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. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Integração, entre r = r1 para t=0 e r = r2 para t
( ) 1
222
ps rrln
d18t
Ωρ−ρµ
=( ) ∫∫ Ωρ−ρ
µ=
2
1
r
r22ps
t
0 rdr
d18dt ou
Tempo que uma partícula de diâmetro dp leva para ir de r1 a r2
Qtr
V=O tempo de residência na centrífuga será :
onde V= volume da centrífuga = πL(r22-r1
2)Q = a vazão da alimentação
80
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. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
( ) Qrrln
d18
1
222
ps
V=
Ωρ−ρµPara tr = t
( ) VQ
rrln18d1
22
s
2p
Ωρ−ρ
µ= ( ) )rπL(r
Qrrln18d 2
1221
22
sp −
Ωρ−ρ
µ=
Partículas com dp > que o calculado pela equação anterior serão separados
( )( )Vρ−ρΩ
−ρ=
s2
212
pQrr33,1dRegime de Newton
81
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Pr
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Diâmetro Crítico ou Diâmetro de Corte
É definido como o diâmetro de uma partícula que alcança a metade da distância entre r1 e r2.
Esta partícula percorre uma distância da metade da camada líquida ou (r2-r1)/2, durante o tempo que ela permanece na centrífuga.
Para o caso especial, em que a espessura da camada líquida é pequena comparada ao raio da centrífuga, pode-se considerar praticamente constante a intensidade do campo centrífugo, ou
222 rr Ω≈Ω
( )dt
18rd
dr 222
ps
µΩρ−ρ
=( )
µΩρ−ρ
==18
rddtdrv 2
22ps
r
82
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Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaSeja dr a distância percorrida pela partícula de diâmetro dpc
no tempo t disponível
Qt V=
( ) ( ) ∫∫ µΩρ−ρ
=− t
0
222
pcs2/rr
0dt
18rd
dr12
( ) ( )Q18
rd2
rr 222
pcs12 Vµ
Ωρ−ρ=
−
( )( ) 2
2s
122pc
rΩρρVQ
2rr18µd
−
−=
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ofas
. Kat
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
( )( ) 2
2s
12pc r
rrQ9dΩρ−ρ−µ
=V
Equação simplificada
Quando dp>dpc, a partícula irá sedimentar predominantemente. Para dp=dpc, a eficiência de coleta é 50%.
η
dp/dpc
50%
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use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Quando a espessura da camada líquida não é pequena comparada ao raio da centrífuga e portanto a intensidade do campo centrífugo é função de r, Ω r2
A integração para calcular dpc foi proposta por Geankoplis, como:
( )( ) ∫∫ =Ωρ−ρ
µ
+
t
0
r
2/rr22
pcsdt
rdr
d182
21
( )Q/V≡
ou
( ) ( ) Qrrr2ln
d18
21
222
pcs
V=
+Ωρ−ρ
µ
85
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ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
( )( ) 2
s
21
2
pcrr
r2lnQ18d
Ωρ−ρ
+
µ
= V
• O ponto de partida (raio inicial) para a partícula percorrer metade daespessura líquida seria (r1+r2)/2
Ref.: Transport Processes and Unit Operations: Christie J. Geankoplis: 2o. Edição, Prentice Hall, 1983.
86
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. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Outro critério foi ainda proposta por Svaroski
Para obter ri: faz-se a igualdade das áreas:
( ) ( )21
2i
2i
22 rrrr −π=−π
+=
2rrr
21
222
i
Qr1
r2
ri
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use
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ra C
.S. R
ocha
Comparação entre Centrífugas
( )( ) g
gxrr
Vr9
dQ
12
222
pcs
−Ω
µρ−ρ
=Da equação para dpc
( )9
gds
µρ−ρ
= ( )grrVrQ
12
222
pc
−Ω
2vt (vel. terminal da partícula com dp=dpcno campo gravitacional)
[ ] [ ] 2
12
2 L grr
r≡
−Ω
= ∑∑2VVamos chamar:
88
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ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
suspensão da independe :centrífuga da ticocaracterís é∑
∑= tv2Q vt é característico da suspensão apenas
Para uma mesma suspensão: vt=cte.
.cteQ=
∑para que ocorra a mesma separação
∑∑ ≠ 21Para 2 centrífugas diferentes,
∑∑=
2
2
1
1 QQPara efetuar a mesma separação de uma mesma suspensão:
∑ para diferentes centrifugadores.Valores tabelados de Foust: pág. 553
89
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use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Ciclones
Mistura gás-partículas entra tangencialmente
Movimento centrífugo
Partículas se aproximam da parede e caem
aceleração gravitacional
Movimento helicoidal
Figura 10: Padrão de fluxo do gás no interior de um ciclone
90
EQ65
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. Kat
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anno
use
Sand
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ocha
Figura 11: Dimensões de um ciclone
Restrições:
a < S evitar a passagem direta das partículas
S < h evitar que o vortex penetre na parte cônica e partículas depositadas não subam e saiam
A eficiência de coleta depende do tipo de partícula e das dimensões do ciclone
91
EQ65
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Ciclone Lapple: Dc dimensão base
a = Dc/2 S = Dc/1,6 h = 2Dc B = Dc/4
b = Dc/4 De = Dc/2 H = 4Dc
Outras configurações também utilizadas geram eficiência de coleta e perda de carga diferente.
Ciclone Stairman (Bastante popular)
92
EQ65
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anno
use
Sand
ra C
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ocha
Diâmetro de corte, dpc
Por analogia à expressão para a centrífuga chega-se ao dpc de ciclones
Expressão para centrífuga
( )( )
( )( ) ΩΩ−
−=
Ω−−
=)r(Vρρ
rrQµ9rVρρ
rrQµ9dp2s
12
22
s
12c
Por analogia:
Espessura da suspensão: (r2 – r1) Espessura da mistura gás partícula: b
Velocidade do fluido: Ωr2 u = Q/ab
QVNπ2 e
Velocidade de rotação: Ω Tempo de residência:
Ne ≡ número efetivo de voltas Para ciclones Lapple, Ne ≈ 5
93
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Substituindo as analogias propostas,
( ) QNπ2VuρρV Qbµ9dp
esc −=
( ) esc Nπ2uρρ
bµ9dp−
=
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EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Figura 12: Curva de Eficiência de um ciclone Lapple
(Foust et al., 1982- Princípios das Operações Unitárias)
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1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Dados de Eficiência de ColetaComo em geral a mistura gás-partícula que entra no ciclone contém partículas de tamanhos diferentes, podemos calcular a eficiência de coleta para cada tamanho de partícula
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1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
A eficiência média ou eficiência global de coleta depende da análise granulométrica da mistura alimentada
η Eficiência média ou global
Para obter a eficiência média, monta-se a seguinte tabela:
X*: % de partículas com diâmetro > dp
Análise granulométrica Calculado Gráfico ou tabela
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EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Eficiência global de coleta
Quando as áreas 1 e 2 são iguais ou:
*1
0dX ηη ∫=
Ou ainda:
ii
iηxη ∑= xi: fração retida % peso partículas com diâmetro >dp)
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Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pr
ofas
. Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Dados práticos para o cálculo de ciclones
Velocidades de entrada ≡ u entre 20 e 70 ft/s
Perda de carga normalmente permitida: até 10 in H2O
g2uNh
2
HL =- Cálculo de hL ciclone é considerado um acidente:
=
O2H
2
HL ρρ
g2uNh- Em coluna d’água:
NH é função da geometria do ciclone. Para ciclone Lapple, NH = 8,0
- Faixa usual de separação: 5 a 1000 µm