19-12-2011

| Udarbejdet af Fornavn Efternavn 3.x Xkøbing Gymnasium

BIOLOGI

MATEMATIK EPIDEMIER OG EPIDEMIMODELLEN SIR

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 2 af 26

INDHOLDSFORTEGNELSE Abstract ........................................................................................................................................................................... 3

Indledning ........................................................................................................................................................................ 3

Virus VS bakterier ........................................................................................................................................................ 4

Immunforsvaret og dets reaktion på virus-infektion .......................................................................................... 4

Fugleinfluenza H5N1 ................................................................................................................................................... 7

Hvordan inficerer fugleinfluenzavirus kroppen? ........................................................................................... 8

Overførsel mellem mennesker ............................................................................................................................. 9

Sygdomsforløb ........................................................................................................................................................ 10

Behandling ............................................................................................................................................................... 10

Matematisk modellering ........................................................................................................................................... 11

Hvad er SIR-modellen? ............................................................................................................................................. 11

Udledning af differentialligningerne ................................................................................................................ 12

Populationen, der studeres, er konstant ........................................................................................................... 13

Hvornår er der tale om en epidemi? ................................................................................................................. 14

Gennemsnitlig infektionstid ................................................................................................................................ 15

Sammenhæng mellem S og I .............................................................................................................................. 16

Eksempel ved SI-planet ........................................................................................................................................ 17

Antagelser og vurdering af SIR-modellen ...................................................................................................... 19

Hvordan kan sådanne epidemier forebygges? ................................................................................................... 20

Konklusion .................................................................................................................................................................... 22

litteraturliste .................................................................................................................................................................. 24

Internetadresser: .................................................................................................................................................. 24

Bøger:......................................................................................................................................................................... 26

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 3 af 26

ABSTRACT The project investigates how virus infects the body and how the immune system fights infections

caused by virus. The study tests the ability of a mathematic model to describe the dynamics in an

epidemic. Furthermore the project includes a discussion dealing with methods to prevent viruses

such as H5N1 from becoming an epidemic or pandemic. Mathematic modeling methods of Ker-

mack and McKendrik and hermeneutic were used in the study in order to describe epidemics. The

SIR-model has been applied which is an epidemic compartment model based on biological parame-

ters, inter alia, the transmissionscoefficient and the removal rate, dividing the susceptible, infected

and immune in three compartments, marked S, I and R. Epidemics will only occur if the Basic Re-

production Number, R0, is higher than 1. What is remarkable about the epidemic model SIR is that

the number of susceptible will never reach zero, that the time the model reaches a maximum of

infected is when S (susceptible)=

and that the infective period is exponentially distributed. In an

audit of the proposals of institutions such as Statens Serum Institut, “Ugeskrift for Læger” etc. con-

cerning methods to prevent viruses such as H5N1 from becoming a pandemic, it is shown that iso-

lation, hygiene and killing birds infected with H5N1 are some of the best methods.

INDLEDNING En epidemi defineres som en ophobet forekomst af en smitbar sygdom i en bestemt befolkning,

lokal såvel som international. Midlertidig benævnes international ophobning af smitte af en syg-

dom, pandemi. På trods af forskning, vacciner og beredskabsplaner forekommer der alvorlige pan-

demier 2-4 gange hvert århundrede ligesom den spanske syge som hærgede fra 1918-1920 - dette

koster mange dyre- og menneskeliv. I min opgave vil jeg lægge fokus på immunforsvarets opbyg-

ning, den nye pandemiske trussel, H5N1, samt SIR-modellen. Der vil således blive gjort en dybde-

gående redegørelse for immunforsvarets opbygning, herunder betydning af det uspecifikke og spe-

cifikke immunsystem samt en introduktion til komplementsystemet, og fokus lægges på reaktionen

på virusinfektion af typen H5N1. På baggrund af biologiske parametre forklares og uddybes epi-

demimodellen, den såkaldte SIR-model, som har til opgave at klarlægge dynamikken i en epidemi,

og et eksempel vil forekomme. Slutteligt vurderes modellens anvendelsesmuligheder, og ydermere

diskuteres der hvordan vi som individer og samfund kan gøre ind indsats for at undgå epidemier af

fx den højpatogene type H5N1.

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 4 af 26

VIRUS VS BAKTERIER En bakterie er en encellet prokaryot mikroorganisme, der selv-

stændigt reproducerer sig selv ved ukønnet formering i mod-

sætning til virus, som ikke betragtes som en levende organisme,

da den ikke kan formere sig selvstændigt1 og ikke har eget stof-

skifte2. Virus indeholder hverken cytoplasma eller de organeller,

der er nødvendige for stofskifteprocessen, hvorfor virusinfektio-

ner ikke kan behandles med antibiotika. Virus DNA eller RNA

betegnes genom. Genomet er sædvanligvis omringet af en protein-kapsel kaldet

kapsid. En del virus er opbygget mere komplekst, men det vil jeg ikke komme

nærmere ind på her. Bakteriers DNA er beskyttet af både cellevæg og cyto-

plasmisk membran. Bakteriers genom ligger frit i cytoplasmaet. Udover for-

skelle i opbygning er bakterier mange gange større end virus – deres størrelse

varierer fra 0,5 til 25 µm, hvor en viruspartikel kun er 0,02 til ca. 0,30 µm3 i

diameter. Virus forårsager influenza, HIV, SARS og ebola, hvor bakterier er

skyld i fx salmonella forgiftning og forkølelse.

IMMUNFORSVARET OG DETS REAKTION PÅ VI-

RUS-INFEKTION Immunsystemet består ikke af afgrænses organ, men findes i hele organismen via lymfekar og

blodkar. Dets opgave ved virus infektion er at opfange signaler fra inficerede områder og bekæmpe

infektionen, inden den har lavet større ødelæggelser. Immunsystemet kan deles op i det specifikke

og uspecifikke forsvar. Alle immunforsvarets celler dannes ud fra en fælles stamcelle i knoglemar-

ven, immunforsvarets cellers samlede betegnelse er leukocytter (hvide blodlegemer). Hvis det lyk-

kes en virus, at slippe igennem de ydre barrierer i form af fx hud, møder den det indre uspecifikke

forsvar.

1

http://www.biosite.dk/leksikon/bakteriecellen.htm d. 6/12 -2011 2 Jensen, 2000 s. 51-53 3 http://www.biosite.dk/leksikon/bakteriecellen.htm d. 6/12 - 2011

FIGUR 2 OPBYGNING

AF VIRUS. KAPSID, EN

"HALE" HVORIGEN-

NEM VIRUS INDFØ-

RER SIT GENOM1

FIGUR 1 OPBYGNING AF EN BAKTE-

RIE; DNA LIGGER FRIT I CYTOPLAS-

MA. PLASMIDER, FLAGEL OG RIBO-

SOMERS FUNKTION KENDES FRA

DEN ALMINDELIGE BIOLOGIUNDER-

VISNING.1

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 5 af 26

FIGUR 3: JEG HAR LAVET OVERSIGT OVER NOGLE AF IMMUNFORSVARETS CELLER DANNET UD FRA

DEN FÆLLES STAMCELLE I KNOGLEMARVEN. DET SKAL BEMÆRKES, AT CELLERNE HAR FORSKELLIG

STØRRELSE, FX ER MAKROFAGER EN DEL STØRRE END DE ØVRIGE CELLER I IMMUNSYSTEMET.4

Det uspecifikke forsvar består bl.a. af granulocyter og monocytter5. Der er tre slags granulocytter

jf. figur ovenfor. Ved virusinfektion er der relativt flest basofile granulocytter, idet deres rolle er at

udskille histamin og heparin til at angribe virusinfektion. Når det uspecifikke forsvar får signal om

en virusinfektion, flytter de basofile granulocytter sig fra blodbanen ud til vævene, hvor de ændres

til mastceller, som udskiller de to stoffer. Histamin bevirker, at arteriolerne udvides, så der er øget

blodtilførsel til det inficerede område. Derudover gør histamin kapillærerne mere gennemtrængeli-

ge, så celler fra immunforsvaret lettere kan passere igennem og ud til infektionsområderne. Heparin

sørger for at blodet ikke koagulerer så hurtigt, som det ellers ville gøre under en virusinfektion på

grund af de mange beskadigede celler. Udover basofile granolucytter, forlader monocytterne blod-

banen og bliver til makrofager, som fagocyterer (æder) de virusinficerede celler. Når makrofager

har fagocyteret celler, ”rydder de op”, ved at udskille lysosomer og nedbryderenzymer, som fjerner

resterne. NK-celler (Natural Killer Cells) dræber, i modsætning til makrofager, virusinficerede

celler cytotoksisk, ved at udtømme deres granula ud over en inficeret celle. Granula indeholder

forskellige cytotoksiske stoffer6.

I det uspecifikke forsvar findes også ikke-cellulære deltagere, hvis samlede betegnelse er komple-

mentsystemet. Komplimentsystemet består af 20 forskellige plasmaproteiner, der dannes i leveren.

Når det første protein aktiveres ved infektion, aktiveres det andet, og det tredje osv. i en kædereak-

tion. De har forskellige funktioner, fx virker nogle komplementproteiner ved at stimulere og til-

trække immunforsvarets celler, andre gør kapillærerne mere gennemtrængelige, ligesom histamin. I

4 Figur inspireret fra Bidstrup, 2007, s. 109 samt http://www.lifesci.dundee.ac.uk/sites/default/files/prcfig2.jpg d. 7/12 -

2011 5 Bidstrup, 2007, s. 107 6 http://idf.dk/component/content/article/37 d. 7/12 - 2011

Fælles stamcelle i knoglemarven

Myeloide stamceller

Monocytter

Makrofager

Dendriske celler

Basofil granulocyt

Mastcelle

Neutrofil granulocyt

Eosinfil granulocyt Rødt blodlegeme

og blodplader (irrelevant for

immunforsvaret)

Lymfoide stamceller

T-lymfocyt

B-lymfocyt

NK-celler

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 6 af 26

forbindelse med virusinfektioner er komplementsystemets interferoner interessante; de er signal-

stoffer, som sørger for at raske celler opnår beskyttelse, da interferon hæmmer virusformering.

Definsiner, som er antimikrobielle peptider, er forsvarsproteiner, der gør os immune overfor visse

virustyper7.

Hvis det uspecifikke forsvar ikke er i stand til at nedkæmpe virus infektionen, aktiveres det speci-

fikke forsvar. Det specifikke forsvars vigtigste celler er lymfocytterne, som inddeles i B- og T-

lymfocytter - de udskiller antistoffer og signalstoffer. Navnet T- og B-lymfocytter skyldes deres

modningssted i kroppen – T står for Thymus (brislen) og B for Bone marrow. Når makrofager har

fagocyteret, udstiller de virus-antigener. Nogle af virusantigenerne bindes til en T-hjælpecelle,

hvilket stimulerer hjælpecellen til deling og aktivitet. De mange nye T-hjælpeceller aktiverer flere

makrofager vha. signalstoffer. T-hjælpecellerne danner derudover aktiverende signalstoffer til B-

lymfocytterne. Nogle B-lymfocytter bliver til B-huskeceller, andre bliver plasmaceller. Plasmacel-

lernes funktion er at producere antistoffer mod antigener, så virus lammes. T-dræberceller identifi-

cerer virusinficerede celler ved virusantigenet og er med til at dræbe disse.

Efter bekæmpelse af antigener er man således blevet immun overfor reinfektion af dette specifikke

virus på grund af T- og B-huskecellerne. Denne egenskab skyldes, at når man i forvejen ”kender”

til et specifikt virus, vil immunforsvaret reagere hurtigere og viruspartiklerne bliver bekæmpet

inden eventuelle sygdomssymptomer. Under immunforsvarets arbejde forhøjes kropstemperaturen

ofte, så immunforsvaret kan arbejde hurtigere. Opvarmningen skyldes pyrogener. Når pyrogener

kommer ud i blodet, stimuleres monocytterne til at danne signalstoffet cytokin, som via blodet

transporteres til centralnervesystemet, mere præcist hypotalamus, som er det temperaturregulerende

center i hjernen – man får feber8.

Bakterier og virus kan ”hjælpe” hinanden: ved en influenza opretholdes eksempelvis infektioner i

luftvejene lettere. Der er faktisk registreret dødsfald af fugleinfluenza, hvor det viser sig, at følger-

ne nødvendigvis ikke havde været fatale, hvis man havde opdaget bakterieinfektion og fået startet

en behandling af antibiotika9.

7 Bidstrup, 2007, s. 113 8 http://www.farma.ku.dk/index.php/Kontrol-af-laegemidler-for-feb/1799/0/ 7/12 -2011 9 http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:J-XP6Gzs28gJ:www.forlag-fadl.dk/LinkClick.aspx%3Ffileticket%3DJVpjd5rO%252BKw%253D%26tabid%3D36%26forcedownload%3Dtrue+Systematisk+virologi&hl=da&gl=dk&pid=bl&srcid=ADGEESj-nI8NdRh8k8wxrTX41Xt2RuBN8QvCbJy3xPDgiOVmRdsJ_xI68Yik23nUb2IYp-kg3I5X1fcPXqo8qwXL5vTLRnrIjI3PtdI2NB4_EYe9Qp3tcodubBRNZGF4BlnjaddvTb0D&sig=AHIEtbS5PpKQUg-6p8hrkRsw_f9f5X2E1Q d. 10/12 -2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 7 af 26

Navn Funktion Levetid

T-hjælpecelle Koordinerer, regulerer og aktiverer funktioner i immunforsvaret – fx aktivering

af hvide blodlegemer

Op til flere år

T-dræbercelle Dræber tumorceller, virusinficerede celler og nogle gange parasitinficerede celler Op til flere år

B-lymfocyt Kan kende opløste antigener, og antigener som præsenteres af makrofager. Pro-

ducerer antistoffer mod fremmede proteiner fra virusset.

Et par måneder

T-lymfocyt Kan kende antigener på celleoverflader. Producerer antistoffer mod fremmede

proteiner fra virusset.

Få dage til

mange år

Granulocyt (inddeles yder-

ligere i 3 typer: Neutrofil-,

basofil- og Eosinfil-)

De eosinfile angriber primært større fremmedlegemer og parasitter, og er derfor

ikke relevant i forbindelse med virusinfektioner. Basofile udskiller histamin og

heparin under virusangreb. Neutrofile fagocyterer bakterier og abnorme celler.

Få dage

Makrofager Fagocyterer mikroorganismer og egne celler, hvis disse udstiller fremmede anti-

gener fra virus. Stimulerer lymfocytterne.

Få måneder

T-huske celler ”hukommelse” – husker specifikt antigen fra tidligere virusinfektioner. Varierende – op

til levetid

B-huske celler Samme funktion som T-huske celler Op til levetid

Plasmacelle Producerer og udskiller store mængder antistoffer Et par dage

NK-celle (af eng.: Natural Killer Cell) dræber virusinficerede celler cytotoksisk Få dage

FUGLEINFLUENZA H5N1 Der er i alt tre hovedgrupper af influenza

11, A, B og C, hvor A er den

alvorligste med de hårdeste symptomer. Den kan både smitte menne-

sker, fugle, heste og grise12

og kan vise sig at være dødelig i visse

tilfælde. Type B’s symptomer ligner type A’s, dog ikke så kraftige, og

type C er den mildeste af de tre udgaver, og symptomerne minder om

forkølelse. Type A og B optræder tit epidemisk i vinterhalvåret, hvor

ca. 90 % af de smittede er over 6513

. Fugleinfluenza er forårsaget af en

virus af type A, som består af 8 RNA gensegmenter, som er omgivet af

nukleoprotein.

Kapsidet på fugleinfluenzavirus består bl.a. af hæmaglutinin og neu-

raminidase. Subtyper af influenza A inddeles efter type af H (hæmaglutinin) og N (neuraminidase),

som benævnes vha. numre. Fx er kombinationen H af type 5 og N af type 1 subtypen H5N1.

Navnet ”fugleinfluenza” skyldes at fugle er dennes naturlige vært. Fugleinfluenza findes i mange

forskellige udgaver; subtypen H5N1 blev identificeret for første gang for omkring 100 år siden hos

10 Skemaet er lavet på baggrund af de to webadresser: http://bioaktivator.systime.dk/index.php?id=623,

http://www.biotechacademy.dk/undervisningsprojekter/ibk/teori/immunforsvaret.aspx d. 7/12 - 2011 samt bogen: Jensen,

2000, s. 107-118 11 http://www.netdoktor.dk/sygdomme/fakta/influenza.htm 7/12 -2011 12 http://vaccineinfo.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=331&Itemid=28 d. 7/12 - 2011 13http://ida.dk/netvaerk/fagtekniskenetvaerk/sikkerhedogrisiko/selskabetforrisikovurdering/Documents/ElseSmithPandem

beredskab16106.pdf d.11/12-2011

FIGUR 4: DE MEST RELEVANTE CELLER I IMMUNFORSVARET I FORBINDELSE MED VIRUSIN-

FEKTION OG DERES HOVEDFUNKTION SES I SKEMAET. DERES LEVETID ER LIGELEDES AN-

GIVET10.

FIGUR 2: OPBYGNING AF

INFLUENZA A VIRUS. BE-

MÆRKT AT KUN 5 AF DE 8

GENSEGMENTER ER VIST.

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 8 af 26

fugle i Italien, og første humane registreret tilfælde var i 1997 i Hong Kong. Faktisk lever mange

andefugle med virusset uden at udvikle symptomer. Men hvis virusset derimod introduceres til en

hønsegård, uddør hønsegården sandsynligvis på få dage. Blandt mennesker er dødeligheden ved

H5N1 også høj. Det farlige ved H5N1 er den dødelige immun-overreaktion14

. Virusset udskilles og

smitter igennem luftvejene, fra kropsvæske eller fæces fra inficerede fugle, døde som levende. På

billede 1 i bilag: nylige udbrud af fugleinfluenza med smitte til mennesker.

HVORDAN INFICERER FUGLEINFLUENZAVIRUS KROPPEN? Hæmaglutinin har den egenskab, at den binder sig til sialinsyre. Sialinsyre er vedhæftet cellers

overflade. Der findes forskellige bindinger af sialinsyre, hvorpå virus kan binde sig – dette er afgø-

rende for, hvilke arter og celler, der har risiko for at blive inficeret. Efter binding til en celles over-

flade, ”smelter” gensegmenterne sammen med cellemembranen, som omslutter disse, og de skydes

nærmest derved ind i cellens cytoplasma. I cellen udnytter gensegmenterne fra virus nu cellens

synteseapparat til at replicere sig selv. På membranen af cellen udstiller virus antigener, og afslører

derved sig selv. Antigenerne på værtscellen giver, som tidligere omtalt, anledning til produktion af

antistoffer i immunforsvaret. Efter replikation vandrer de mange nye virus tilbage til cellemembra-

nens overflade, hvor det igen holdes fast af hæmoglutinin, men proteinet neuraminidase nedbryder

enzymatisk sialinsyren og ”slipper virus fri” – andre celler inficeres. Immunforsvarets overreaktion

ved H5N1 er dødelig.

FIGUR 5: ILLUSTRATION AF H5N1-VIRUS, DER INFICERER VÆRTSCELLE. 15

14 Terney, 2009, s. 10-11 15 http://www.biotrends.org/index.php?option=com_content&view=article&id=134%3Athe-h5n1-avian-flu-not-just-for-

the-birds-&Itemid=94 d. 10/12 2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 9 af 26

OVERFØRSEL MELLEM MENNESKER Sygdommen kan som sagt overføres til mennesker fra fugle, men det er endnu usikkert hvorvidt

smitten kan gå fra menneske til menneske16

. Visse kilder hævder, at der i ekstremt sjældne tilfælde

er registreret tilfælde af overførsel fra menneske til menneske, andre hævder at påstanden skal un-

dersøges nærmere for at kunne verificeres. H5N1 vil sandsynligvis udgøre en pandemisk trussel

hvis det muterer, så det let kan smitte imellem mennesker. At der ikke smittes let mellem menne-

sker skyldes, at infektionen befinder sig i de nedre luftveje – bronkier og bronkioler.

Hæmaglutinin i H5N1 binder sig til α2,3-koblet sialinsyre – disse findes på cellerne i fuglenes

tarmsystem, mens de hos mennesker primært findes i øjnene og i nedre luftvejene17

. For at kunne

smitte til og fra øvrige luftveje hos mennesker, kræver det, at virusset skifter bindingsmønster fra

α2,3-koblet sialinsyre til α2,6-koblet. Dette kan ske, hvis to forskellige influenzaviruspartikler infi-

cerer samme celle og udveksler RNA-kæder. Cellen vil da producere en ny, rekombineret virus.

Dette kaldes et skift. Man skelner mellem skift og drift; ved drift, kan immunforsvaret genkende

antigener og binde sig til virusset. Ved skift kommer der nye antigener på overfladen af den infice-

rede celle, hvilket befolkningens T- og B-huske-celler ikke kan genkende – denne egenskab giver

derfor anledning til epidemi eller pandemi18

. Kun enkelte mutationer er nødvendige for et sådant

skift19

, og skiftet kan ske i grisen, da denne vært har α2,3- og α2,6-koblet sialinsyrebindinger i

samme væv20

.

FIGUR 6: DE SIALINSYREBINDINGER HOS GRISE, FUGLE OG MENNESKER, SOM ER RELEVANTE VED

H5N121. BILLEDET FINDES UDVIDET I BILAG SOM BILLEDE 3.

16 http://vaccineinfo.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=331&Itemid=28 7/12 -2011 og

http://www.netpatient.dk/Fugleinfluenza.htm samt Watts, 2006: s. 12-13 17 http://www.ugeskriftet.dk/LF/UFL/2004/10/pdf/VP44337.pdf d. 10/12 -2011 18 Terney, 2009, s. 8 19http://dk.nanoq.gl/Emner/Landsstyre/Departementer/Landslaegeembedet/Influenza%20pandemi/~/media/52AED9E811

044FC8BABC1C59D71289F4.ashx d. 10/12-2011 20 http://www.techmedia.dk/files/pdf/dak/2006/s15-17dak08-low.pdf d. 10/12-2011 21 http://www.nature.com/nrmicro/journal/v9/n8/fig_tab/nrmicro2613_F3.html d. 14/12 2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 10 af 26

SYGDOMSFORLØB Et humant sygdomsforløb kan foregå således:

Efter smitte kan der gå op til otte dage uden symptomer, kaldes også inkubationstid eller latenstid.

Efter inkubationstiden igangsættes feberforløbet, for at immunforsvaret kan arbejde hurtigere jf.

afsnittet ”Immunforsvarets reaktion på virus”. Almindelige influenzasymptomer, såsom kraftig

hovedpine, feber, ømme muskler, manglende appetit, træthed, diarré, opkastning og kuldegysnin-

ger22

er normale. H5N1 adskiller sig bl.a. fra almindelig influenza ved at patienten med H1N5 ikke

har smerter i halsen23

og at dødeligheden er meget høj. Derudover får nogle patienter med fuglein-

fluenza også sommetider blødning fra næse og gummer i tidlige sygdomsperiode, og de fleste ud-

vikler også sekundær bakteriel lungebetændelse. Denne alvorlige lungebetændelse er udover im-

mun-overreaktionen skyld i den høje dødelighed. Se evt. bilag billede 1 for oversigt over humane

tilfælde af H5N1.

BEHANDLING Virus kan som sagt ikke behandles med antibiotiske midler. Men der findes to antivirale stoffer til

behandling af influenza; zanamivir og oseltamivir, som kan afkorte sygdomsperioden 1-1,5 dag.

Udover den afkortede sygdomsperiode, mildnes symptomerne også. Stoffet sørger for at enzymet

neuraminidase hos virusset hæmmes, så virus ikke kan frigøres fra den inficerede celle og sprede

sig yderligere. Hos patienten med svær influenza er virkningen dog ikke blevet nøjagtigt bestemt,

da stofferne hovedsageligt at blevet testet på ukompliceret influenza24

. Hvis man skal opleve en

effekt af medicinen skal den tages tidligt, helst indenfor 12 timer efter symptomers indtræden og

allersenest 48 timer efter. Indtil videre er det uvist hvorvidt oseltamivir og zanamivir har en fore-

byggende effekt25

. Men midlerne bør kun bruges i meget nødvendige situationer, da man frygter at

influenzavirusset udvikler resistens overfor de få antivirale midler, vi har. Jo flere der indtager mid-

let, jo større chance er der for at der udvikles resistens. Dette kan have fatale følger for ekstra ud-

satte personer der netop har brug for de antivirale midler. På grund af forskelle i deres kemiske

struktur indtages midlerne på forskellig vis: oseltamivir ved tabletter og zanamivir som inhalator.

Vaccination er nærmere forebyggelse end behandling, og jeg vil diskutere vaccination mod H5N1 i

afsnittet ”Hvordan kan sådanne epidemier forebygges?”.

22 http://www.netdoktor.dk/sygdomme/fakta/influenza.htm d.10/12-2011 23 http://www.ugeskriftet.dk/LF/UFL/2004/10/pdf/VP44337.pdf d.10/12 -2011 24 http://laegehaandbogen.dk/rejsemedicin-vacciner/tilstande-og-sygdomme/fugleinfluenza-

14305.html#doc_heading_ID0EBBA d.10/12-2011 25 http://patienthaandbogen.dk/infektioner/sygdomme/virusinfektioner/virker-oseltamivir-ved-influenza-23048.html

d.10/12-2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 11 af 26

MATEMATISK MODELLERING Jeg udnytter matematiks anvendelsesmuligheder til at opstille en model vedrørende biologi. Mate-

matikkens modelleringsmetode kan inddeles i fire trin som i min figur nr. 7:

Kort sagt kan den matematiske modellering ses som en forenklet spejling af virkeligheden

HVAD ER SIR-MODELLEN?

SIR-modellen er en såkaldt kompartmentmodel26

, der beskriver dynamikken i et epidemiforløb,

hvor epidemien giver immunitet mod reinfektion. Ved kompartmentmodel forstås der, at populati-

onen der undersøges under en epidemi inddeles i tre ”kasser”, således27

:

S(t) (susceptibles) Antallet af individer, der er modtagelige for sygdommen til tiden t

I(t) (infected) Individer, der er inficerede og smitter til tiden t

R(t) (recovered or

removed)

Antallet af individer, der er kommet sig eller døde af sygdommen til tiden t

Det, at sygdommen giver immunitet, betyder at individernes vej fra S til I til R er ensrettet. Under

epidemier isoleres rene raske eller rene smittede grupper sommetider, hvis dette er tilfældet tilhører

de isolerede gruppen R, da de jo ikke kan smitte andre eller tæller som modtagelige – de er således

fjernet fra SI-systemet. Den skematiske fremstilling af modellen ser således ud:

27 http://www.math.utep.edu/Faculty/pmdelgado2/differential/brauer.pdf d. 15/11 – 2011 (PDF-fil)

(1) Virkelighedens

problem

(2) problemet "oversættes" til

matematik. Forhold

forenkles.

(3) matematiske ræsonnementer: ligninger, grafer

osv.

(4) Resultatet "oversættes" til

virkeligheden igen. Evt. en

vurdering af den opstillede model.

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 12 af 26

Figur 8: Vi ser at overførsel fra S til I og overførsel fra I til R har hver deres parameter.

I tabellen herunder defineres parametrene:

Parame-

ter

Navn Definition

β Transmissionskoeffici-

ent

Det relative fald af de modtagelige forårsaget af én enkel infi-

ceret person over en tidsenhed.

α Removal rate* Det relative fald af de smittede over en tidsenhed.

Relative removal rate Forholdet mellem transmissionkoefficienten og removal rate.

Uddybes senere i opgaven.

Gennemsnitlig infekti-

onstid

Infektionstiden afhænger af det relative fald, hvormed antal

syge I bevæger sig til gruppen R. uddybes ligeledes senere.

Bemærk at visse kilder kalder α for helbredelsesrate. Jeg kalder den konsekvent igennem min op-

gave removal rate, da jeg synes denne betegnelse er den mest passende.

UDLEDNING AF DIFFERENTIALLIGNINGERNE

Der udledes på baggrund af disse kamre og parametre tre

differentialligninger, som de tre funktioner for S, I og R skal

opfylde.

For overførsel er forudsætningen et potentielt smittende møde

mellem en smittet (I) og en modtagelig (S), hvilket giver i alt

af disse møder. Sandsynligheden for at to givne individer

har et sådan potentielt smittende møde i løbet af et lille tidsrum

∆t, er proportionalt med ∆t. Der forventes altså, at der finder

smittende møder sted. På baggrund af disse antagelser gælder der flg.:

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

( ) ( )

( ) ( ) (2)

Lader man nu ∆t gå mod 0: fremkommer følgende differentialligning:

( ) ( ) ( ) (3)

Bemærk det negative fortegn foran β i (1). Antallet af modtagelige(S) til tiden t er jo faldende, da

individer ikke kan bevæge sig fra I tilbage til S.

S(t) β I(t) α R(t)

FIGUR 7: DYNAMIKKEN I EN EPIDEMI

KAN BL.A. ILLUSTRERES SOM SIR SOM

FUNKTION AF TIDEN SOM OVENFOR.

DEN RØDE GRAF ER S(T) - BEMÆRK AT

DEN IKKE FALDER TIL 0. DEN GRØNNE ER

R(T) OG DEN BLÅ ER I(T).

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 13 af 26

Antallet af nye inficerede individer er således defineret som ( ) ( ). Men da nogle af de

inficerede jo bevæger sig fra denne gruppe til R-gruppen skal også removal raten indgå i udtrykket

for I’(t). Sandsynligheden for, at et inficeret individ holder op med at være inficeret i løbet af en

kort periode, ∆t, defineres som . Derfor er det en rimelig antagelse, at ud af de inficerede

individer (I) vil bevæge sig fra I-gruppen til R-gruppen. Disse antagelser giver følgende

ligning:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (5)

Jeg lader nu ∆t gå mod 0: ( ) og følgende differentialligning fremkommer:

( ) ( ) ( ) ( ) (6)

Antagelsen om, at ud af de I inficerede individer vil bevæge sig fra I-gruppen til R-

gruppen opstiller netop et udtryk for R(t):

( ) ( ) α ( ) (7)

( ) ( )

α ( ) (8)

Jeg lader nu ∆t gå mod 0: ( )

( ) ( ) (9)

Jeg har nu opstillet flg. 3 differentialligninger:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

POPULATIONEN, DER STUDERES, ER KONSTANT

På baggrund af de udledte differentialligninger vil det vise at populationen, der befinder sig i SIR-

kamrene, er konstant. De tre differentialligninger adderes:

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (10)

De to første led går ud med hinanden og de to sidste led går ligeledes ud med hinanden, således at

summen må give 0. På venstre side faktoriseres udtrykket:

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 14 af 26

( ) (11)

Det er kendt, at når differentialkvotienten til et udtryk giver 0, er udtrykket en konstant, dvs. at:

(12)

HVORNÅR ER DER TALE OM EN EPIDEMI?

For at der kan være tale om en epidemi, skal man finde det basale reproduktionsnummer, R0. R0 er

antallet af sekundære infektioner forårsaget af en enkel inficeret, introduceret i en modtagelig po-

pulation af størrelse N≈S(0)28

. Der vil altså opstå en epidemi, hvis R0>1, og hvis R0<1 vil der ikke

være nogen epidemi. Hvis R0=1 vil der heller ikke være tale om en decideret epidemi, blot konstant

antal af sygetilfælde. R0 er defineret som ( )

, og kan derfor først bestemmes præcist efter en

epidemi.

For at der kan opstå en epidemi skal betingelsen I’(t0) >0 være opfyldt, idet antallet af inficerede

per tid skal være voksende i starten. Der gælder altså flg.:

I’(t0)>0 ⇔ ( ) ( ) ( ) (13)

S( ) isoleres:

( ) ( ) ( ) ⇔ ( ) ( ) ( ) (14)

( ) ( ) ( ) ⇔ ( ) (15)

( ) ⇔ ( )

(16)

Betingelsen I’(t0)>0 har altså den konsekvens, at ( )

Som det fremgår af (27) skal antallet af raske (S) til tiden 0 være større end den relative removalra-

te, for at der kan være tale om en epidemi. Hvis dette ikke er tilfældet, vil I(t) falde til 0, og der

opstår ikke en epidemi. Dynamikken i en epidemi kan således afsløres ved at kigge på, hvornår

( )

, ( )

og endelig hvornår ( )

. Når ( )

betegnes S(t) som Sk, den kritiske

population29

. Når epidemien er nået den kritiske population,

vil I(t) have nået sit maksimum

og I(t) vil atter aftage, så ( )

28 Vil blive omtalt i afsnittet “antagelser” 29 http://allan-jensen.adr.dk/SIR.doc d. 1/12 2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 15 af 26

GENNEMSNITLIG INFEKTIONSTID

Antagelsen om at de inficerede forlader ”I-kamret” med pr. tid kan forklares matematisk:

Hvis man betragter gruppen af medlemmer, som alle var inficeret på én gang, kan man lade u(s)

betegne det antal, som stadig er inficeret s tidsenheder efter at være blevet smittet. En ligning kan

nu opstilles, hvor α af disse forlader ”I-kamret” pr. tidsenhed:

( ) ( )

Løsning30 til denne simple differentialligning er: ( ) ( ) (17)

En del af de inficerede, som stadig er inficeret s tidsenheder efter at være blevet inficeret er altså

( ) , hvilket betyder at længden på infektionsperioden i vores SIR-model er fordelt ekspo-

nentielt. (10) er således en sandsynlighedsfordelingsgraf. For at finde u(0) erstattes dette med c, og

den afhængige variabel s erstattes med x, og grafen kommer derfor til at være:

( ) (18)

C skal betragtes som en indtil videre ukendt konstant. Jeg vil nu udregne konstanten c i sandsynlig-

hedsfordelingsgrafen f(x) med det krav, at arealet under grafen skal være 1. Arealet under hele

grafen findes ved at integrere grafen og indsætte nedre grænseværdi 0 (infektionstid kan selvsagt

ikke antage negative værdier) og øvre grænseværdi +∞:

∫ ( )

⇔ ∫

(19)

[

]

=1 ⇔ (

( )

) (20)

(

) ⇔

⇔ c (21)

(13) og (14): det første led

går helt ud, da sandsynlighedsgrafen i x=∞ bliver asymptote

til x-aksen, således at ( )

Konstanten c i sandsynlighedsfordelingsgrafen er altså α: ( ) α (22)

Nu hvor sandsynlighedsfordelingsfunktionen er fundet, er det muligt at finde den gennemsnitlige

infektionstid. Dette sker ved at integrere den sammensatte funktion α , hvor funktionen

30 Nielsen, 2006, s. 106

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 16 af 26

α er sandsynlighedfordelingsfunktionen, med grænseværdierne 0 og +∞31. Til integratio-

nen anvendes partiel integrationsregneregel32

, som lyder således:

∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )] ∫ ( ) ( )

(23)

I dette tilfælde udgøres g(x) af x*α og udgør f(x). Nu bruges reglen:

[ (

) ]

∫ (

)

(24)

[ ] ∫ ( )

(25)

[ ] +[

]

(26)

Grænserne indsættes:

( ) (

) =

(27)

Hele den første parentes er lig 0, og første led i den anden parentes er også 0. Det sidste led er op-

løftet i 0 og er dermed 1, og resultatet er derfor

. Udregning (20) giver anledning til at man kan

beregne removal rate, α, når man kender den gennemsnitlige infektionstid.

Den gennemsnitlige indfektionstid er således

SAMMENHÆNG MELLEM S OG I

I modellen bliver R først bestemt, når S og I engang er kendte. Jeg udelader derfor ligningen for R

fra modellen. Tilbage er nu et ligningssystem bestående af to koblede differentialligninger. Når to

differentialligninger er koblede, afhænger de af hinanden. I stedet for at finde løsningen på de to

koblede differentialligninger, udledes der en sammenhæng mellem S og I33

ud fra (3) og (6). Lig-

ningerne (3) og (6) opskrives i første omgang på anden måde:

( ) ( ) (28)

og

( ) ( ) ( ) (29)

31 Middelværdi for en kontinuerlig stokastisk variabel: http://da.wikipedia.org/wiki/Middelv%C3%A6rdi d. 12/12 2011 32 http://www.matlex.dk/sandsyn.html d. 12/12 2011 33 Ifølge aftale med matematik vejleder Bjarne Lund udelades løsning af koblede diffentialligninger.

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 17 af 26

Nu anvendes kædereglen ved differention af sammensat funktion.34

Bemærk at I(t) nu betegnes

som I, og S(t) som S for overskuelighedens skyld.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⇔

(30)

Udtrykket på højre side i ligningen reduceres:

⇔

(31)

Den kritiske population, som er defineret som

, erstatter

:

⇔

(32)

dI isoleres og ganges med 1, og derefter integreres der på begge sider af lighedstegnet:

⇔ (

) (33)

∫ ∫ (

) ⇔ ∫ (

) (34)

ln( ) 35

(35)

Vi kender nu antal inficerede (I) udtrykt alene vha. antal modtagelige (S) som i (35) og en indtil

videre ukendt konstant, k. Jeg vil finde k i et eksempel vha. data fra en overstået epidemi i det føl-

gende afsnit.

EKSEMPEL VED SI-PLANET

Ved at kende I som funktion af S, er det oplagt at finde værdierne for Sk og k, således at det er mu-

ligt at konstruere SI fase-planet. Data er fra et epidemiudbrud i England 1666, kaldet ”The Great

Plague in Eyam”36

:

Startværdi antal raske: S(0)=254

Startværdi antal inficerede: I(0)=7

Antal raske efter epidemien: lim ( )=83

Gennemsnitlig infektionstid:

=0.3667 måned

34 http://allan-jensen.adr.dk/SIR.doc d. 1/12 2011 35 Nielsen, 2006, s. 196 36 http://www.math.utep.edu/Faculty/pmdelgado2/differential/brauer.pdf d. 15/11 – 2011 (PDF-fil)

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 18 af 26

Removal rate, α, beregnes på baggrund af infektionstid:

(

) ⇔ (36)

Den relative removal rate beregnes på baggrund af startværdi og grænseværdi for S37

:

(

( ( )) (lim ( ))

( ) (lim ( ))) (37)

Transmissionskoefficienten beregnes på baggrund af kendskab til α og forholdet mellem transmis-

sionskoefficienten og removal rate:

(

) ⇔ ⇔ =0.0178 (38)

Med startværdierne har jeg nu tilstrækkelig med oplysninger til at beregne konstanten k i ligningen

( ) således:

( ) ( ) (

) ( ( )) ⇔ (

) ( ) (39)

(

) ( ) (40)

k=587,33 (41)

Funktionen kommer altså slutteligt at lyde:

( ) ln( ) 5 33 (42)

Den kritiske mængde bør iflg. Formlen være 153, og værdimængden (30,4) for den kritiske mæng-

de er som sagt Imax. På det tidspunkt, hvor der er flest inficerede, er der altså 30 inficerede.

Jeg tegner grafen i SI-planet, finder maksimum og markerer Imax, vha. værktøjer i TI-Nspire og ser

at det passer. Grafen findes i bilag som billede 2. Bemærk at I i SI-planet i praksis ikke antager

negative værdier, hvilket betyder at S>0 for alle tidspunkter. Således konkluderes flg.: ∞

∞ , hvilket fortæller os at en del af populationen forbliver usmittede, de undgår altså

infektionen.

37 http://www.math.utep.edu/Faculty/pmdelgado2/differential/brauer.pdf d. 15/11 -2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 19 af 26

ANTAGELSER OG VURDERING AF SIR-MODELLEN

Den forsimplede spejling af virkeligheden lægger op til en vurdering af modellens anvendelser:

Epidemien starter til tiden t=0, hvor antallet af syge, I(0) er det antal, der starter epidemien.

Når en epidemi starter er alle, undtagen de inficerede, modtagelige overfor sygdommen, således at

S(0)=N-(I0), hvilket betyder at R(0)=0

Når Antagelsen om at den samlede population tilnærmelsesvis er det samme som antal raske til

tiden 0, N≈S(0), betinger at det er en forholdsvis stor population der studeres. Desuden skal befolk-

ningen have en vis størrelse for at der kan ses ændringer, når man lader ∆t0 jf. udledning af dif-

ferentialligningerne.

Der antages, at individerne bevæger sig tilfældigt mellem hinanden, således at et potentielt smit-

tende møde mellem to individer har samme sandsynlighed for alle ”par” der mødes. Dette er mid-

lertidig en alt for simpel antagelse rent socialt og biologisk.

Beregning af befolkningen som værende konstant jf. (10) ligger som baggrund for modellens be-

tingelse om, at der ikke fødes nogen og at folk kun dør som resultat af sygdommen – de døde tælles

i sådanne tilfælde med i R-gruppen. Ud fra (10) kan man med andre ord konkludere, at tidsskalaen

af sygdommen er meget hurtigere end tidsskalaen for dødsfald og fødsler, således at demografiske

effekter ignoreres.

I modellen går man direkte fra S til I, hvilket forudsætter at man bliver inficeret og inficerende med

det samme. Modellen vil altså ikke være optimal for en sygdom med inkubationstid. I visse tilfælde

smitter man også efter man er klinisk rask.

Der forudsættes også, at sygdommen kun smitter fra individ til individ og ikke igennem et mellem-

led som fx fugle ved fugleinfluenza og rotter ved byldepest. Det ville nemlig være usansynlig sim-

pelt at antage, at fx fugle har samme sandsynlighed for at blive smittet som mennesker, desuden er

fugles immunforsvar ikke identisk til det menneskelige. Immunforsvaret spiller netop en stor rolle,

fx i forbindelse med sygdomsperioden såvel som transmissionskoefficienten.

Der antages desuden, at den population der studeres er homogen: at individerne er lige modtagelige

overfor infektionen. Hvis virusset har optrådt tidligere i den pågældende population er det sandsyn-

ligt at visse individer har udviklet immunitet imod sygdommen – i sådanne tilfælde må disse im-

mune individer trækkes fra den samlede population inden man benytter modellen. Hvor forskellige

grupper af populationen har større risiko for smitte end andre, fx børn 6-12 måneder der i denne

periode af livet er ved at udvikle sit eget immunforsvar, må befolkningen inddeles i grupper, og der

laves en model for hver gruppe.

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 20 af 26

Der er altså gjort en hel del antagelser, som man skal være opmærksom på, for at man kan lave en

relativt simpel matematik model til at beskrive epidemiens udvikling. Antagelserne er selvfølgelig

ikke opfyldt i langt de fleste populationer, der rammes af en epidemi. Komplicerede forhold, som

her i den grad er menneskers adfærd, betragtes som meget vanskeligt/så godt som umuligt at be-

skrive dækkende, rent matematisk.

HVORDAN KAN SÅDANNE EPIDEMIER FOREBYGGES? Som sagt vil H5N1 formodentlig udgøre en pandemisk trussel, hvis det muterer og derfor står fore-

byggelse højt på dagsordenen.

Vaccination er et forebyggende middel i kampen mod epidemier. Da de mest almindelige influenza

A-stammer hos mennesket er subtyperne N1-N2 og H1-H3, er de tilgængelige konventionelle sæ-

sonvacciner mod influenza rettet mod disse samt influenza B. Men da fugleinfluenza ikke (endnu)

smitter fra menneske til menneske38

, vil jeg mene at det er en overreaktion at indføre den i sæsonin-

fluenzavaccinen. Hvis man har daglig omgang med fjerkræ39

er det dog rimeligt at blive vaccineret.

Hvis det lykkes H5N1 at mutere jf. afsnittet ”Overførsel mellem mennesker” så det smitter let mel-

lem mennesker, ligesom svineinfluenza (H1N1), på grund af sialinsyre koblingerne i mennesker,

der findes i øvre luftveje, vil det derimod være hensigtsmæssigt at indføre den i sæsonvaccinen

eller som en epidemivaccine afhængig af situationen.

Da fugle – især trækfugle – er i stand til at sprede sygdommen fra Asien til fx Danmark relativt

hurtigt, kan et internationalt samarbejde betale sig både i forbindelse med overvågning af fuglebe-

stande men også i selve studiet af virusset.. Her spiller SSI40

, som indsamler overvågningsdata til

nationale såvel som internationale myndigheder, en vigtig rolle. Der skal rapporteres om mulige

smittede og bekræftet smittede fuglebestande, og hvis dele af fuglebestande er smittede, er det fra

en epidemiologisk synsvinkel mest hensigtsmæssigt at udrydde hele bestanden, så denne smittekil-

de elimineres. Dette har man gjort flere gange de sidste mange år, og i bilag, billede 1 ses en over-

sigt over udbrud, hvor fuglebestande af betydelig størrelse er blevet aflivet.

SSI kan naturligvis ikke kontrollere hvorvidt H5N1 muterer til en human udgave men kan bidrage

med smitteberedskab41

, forholdsregler og eventuelle advarsler til samfundet og den enkelte, hvis

ansvar det så er at tage rådene til sig.

Isolation er et vigtigt redskab i kampen mod epidemier og pandemier. Isolation kan ses fra to vink-

ler: de inficeredes og de modtageliges vinkel. Som inficeret er det væsentligt, at man reagerer på

38 Uenighed mellem kilder: nogle siger at den sjældent smitter fra menneske til menneske, andre at dette kræver flere

undersøgelser.

40 Statens Serum Institut 41 http://www.ssi.dk/Smitteberedskab/Om%20smitteberedskab.aspx d.12/12 -2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 21 af 26

eventuelle influenza symptomer og melder sig syg. Denne forholdsregel sikrer, at man ikke med-

bringer smitten til sin arbejdsplads og derved mindsker antallet af sekundære infektioner, jf. R0,

som netop er afgørende for, om der opstår en epidemi eller ej. Sygedage er bekostelige for arbejds-

giveren, men meget forebyggende for både personale eventuelle kunder42

. Udover at man undgår at

smitte andre ved at melde sig syg, kan man desuden ved de fleste influenzainfektioner undgå en

evt. forlængelse af sygdomsperioden ved at være sengeliggende og slappe af. Selvom man isolerer

sig selv i sygdomsperioden, er det vigtigt at overveje en inkubationstid, da smitte her også er mulig.

Den individuelle isolation kan yderligere effektiveres ved at man holder en sikkerhedsafstand til

familie medlemmer og partner. Umiddelbart kan isolation virke hysterisk, da fugleinfluenza meget

sjældent kan overføres fra menneske til menneske. Men set fra den syges vinkel, er denne under

infektion af virusset mindre modstandsdygtig overfor bakterielle infektioner. Jeg vurderer at isola-

tion er et afgørende område i kampen mod epidemier samt forebyggelse af dødsfald af de allerede

inficerede. Det skal desuden nævnes, at isolation af store grupper af inficerede, er et led i det dan-

ske smitteberedskab43

.

Noget så basalt som personlig hygiejne, kan forebygge eller helt forhindre infektion med fuglein-

fluenza. Sæbe ødelægger virussets kapsid44

. Hvis man allerede er inficeret, kan risikoen for sekun-

dære infektioner forebygges ved at holde sig i rene omgivelser. Midlertidigt er det svært at afgøre

betydningen af den aktuelle rengøring på hospitaler. En undersøgelse af engelske hospitalers øko-

nomi viser dog, at 2 % af hospitalsafgifterne til indlæggelse går til patienter, som har fået sekundær

infektion fra hospitalet i løbet af hospitalsopholdet. Der skelnes mellem mekanisk og desinficeren-

de rengøring, og mekanisk rengøring nedbringer ikke nødvendigvis antallet af viruspartikler og

mikroorganismer. Kvalitative overvejelser såsom, hvilke slags kontaktflader der primære hhv. se-

kundære, kan måske yderligere nedsætte risikoen for smitte på hospitalerne, hvis rengøringen er

intensiveret på primære kontaktflader45

, da en forudsætning for infektion af en patient er, at patien-

ten rent faktisk er i kontakt med disse bakterier og virusser. I ”Ugeskrift for Læger” lægger profes-

sor for Klinisk Mikrobiologisk Afldeling op til diskussion: ”Rengøring har i mange år været et

hygiejnisk forsømt område (…) og arbejdet udføres af personale med begrænset infektionshygiej-

nisk indsigt. Der fokuseres primært på æstetiske forhold, og de rutinemæssigt anvendte rengø-

ringsmetoder, som primært er dikteret af rationalitetshensyn, reducerer ikke forekomsten af syg-

domsfremkaldende MO i hospitalsmiljøet”46

. Jeg vurderer derfor at et samarbejde mellem sygehu-

sets driftsafdelinger og hygiejneorganisationer kunne vire sig at være gavnligt for den aktuelle fo-

rekomst af hospitalsinfektioner.

42 Terney, 2009, s. 12-13 43 http://www.ssi.dk/Smitteberedskab/Om%20smitteberedskab.aspx d.12/12 -2011 44 http://www.sst.dk/publ/Publ2006/CFF/Fugleinfluenza_vejl/Fugleinfluenzavejledning.pdf 8/12 -2011 45 http://www.ugeskriftet.dk/LF/UFL/2007/49/pdf/VP51055.pdf d 8/12 2011 46 http://www.ugeskriftet.dk/LF/UFL/2007/49/pdf/VP51055.pdf d14/12-2011. Forkortelsen MO: Mikroorganismer.

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 22 af 26

Midlertidigt bør det nævnes at LIFEs forskning i bakteriers betydning for immunforsvaret peger i

retning af, at vi i mange I-lande lever ”for rent” i løbet af barndommen, således at immunforsvaret

ikke får lov til at møde tilstrækkelig med bakterier til at udvikle sig47

.

For at nævne noget helt andet, forårsager fysisk aktivitet ændringer i immunsystemet. Ved fysisk

aktivitet øges koncentrationen af neutrofile celler, og koncentrationen fortsætter med at øges i resti-

tutionsperioden. Mens lymfocytkoncentrationen øges under arbejdet, falder den til værdier lavere

end i hvile i restitutionsperioden. Så spørgsmålet om motion er mere komplekst end som så. Den

fysiske aktivitet medfører desuden en stigning i koncentrationen af visse hormoner, der synes at

have en immunstimulerende effekt. Deres specifikke effekter vil jeg dog ikke komme ind på. Iflg.

Visse studier har trænede personer til sammenligning med utrænede personer en højere NK-celle-

aktivitet, mens andre studier ikke finder nogen markant forskel i NK-celle-aktiviteten. Jeg vurderer

at denne iagttagelse højst sandsynligt skyldes andre livsstilsrelaterede faktorer end selve motionen

– fx sammensætning af kost, idet der alligevel ses en sammenhæng ved motion: hos personer der

træner moderat, meldes der om færre infektionssymptomer i modsætning til fx maratonløbere

(hårdt fysisk og langtidsvarende) og utrænede. Maratonløbere er nemlig ekstra sårbare overfor

infektionen i restitutionsperioden, sandsynligvis grundet faldet i lymfocytkoncentrationen, og utræ-

nede styrker ikke kroppens immunforsvar eller kredsløb igennem træning. Det skal dog nævnes at

moderat, såvel som hård træning, frarådes hvis man føler sig syg. 48

KONKLUSION En bakterie er en mikroorganisme, hvorimod virus ikke betragtes som levende organisme, nærmere

som en partikel. De forårsager forskellige infektioner; virus fx influenza og bakterier kan give sal-

monella-forgiftning; i modsætning til virus kan bakterieinfektioner normalt behandles med antibio-

tika. Menneskets immunforsvar kan inddeles i det specifikke og det uspecifikke. Det reagerer på

signaler fra virusinfektioner, der så udryddes vha. forskellige leukocytter. Fugleinfluenzavirus kan

være af subtypen H5N1. Den angriber celler ved at hæmaglutinin fra virus binder sig til cellemem-

branens sialinsyre bindinger og RNA indlemmes i værtscellen, hvor det udnytter synteseapparatet

til replikation. Indtil videre smitter fugleinfluenza ikke effektivt mellem mennesker, da virussets

hæmaglutinin kun binder sig til α2,3-sialinsyrebinding, men blot en enkel mutation kan ændre det-

te. Til gengæld er dødeligheden ved H5N1 høj hos mennesker. Sygdomsforløbet minder om alm.

Sæsoninfluenza men udskiller sig ved at patienten ikke har ondt i halsen. Man bruger samme be-

handling mod H5N1 som ved alm. Influenza, nemlig Oseltamivir, som kan afkorte sygeperioden og

47 http://videnskab.dk/krop-sundhed/forskere-bakterier-gor-dig-raskere

samt http://videnskab.dk/krop-sundhed/vi-lever-rent d. 14/12 2011 48 http://www.laeger.dk/lf/UFL/ufl99_00/smid_ud/ufl2015/v_p/30901.htm d. 12/12 2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 23 af 26

mildne symptomer. Somme tider optræder influenza epidemisk. Om der rent faktisk er tale om en

epidemi afgøres af R0, det basale reproduktionsnummer, og dynamikken i epidemien kan beskrives

vha. ”kamre-modellen”, SIR, hvor tre differentialligninger opstilles:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Hvor S(t) er raske, I(t) er syge og R(t) er døde eller immune, alle som funktion af tiden t. Da mo-

dellen selvfølgelig er en forsimpling af det virkelige problem vil der være en del betingelser såsom:

- Alle er modtagelige, og tilmed lige modtagelige, overfor sygdommen. (homogenitet)

- Der er lige stor sandsynlighed for smittede og raske møder: alt for simpelt socialt og biolo-

gisk.

- Demografiske effekter ignoreres

- Man opnår immunitet af sygdommen

- Sygdomsperioden er eksponentielt fordelt.

- Der er ikke en mellemvært, hvorfor modellen ikke virker på H5N1, da fugle og grise kan

smitte mennesker.

I forbindelse med forebyggelse af epidemier af H5N1, vurderes det som værende unødvendigt at

vaccinere andre end, folk der har daglig omgang med fuglebestande. Stikprøver af fugles fæces

giver os et overblik over virusspredningen, og i visse tilfælde vil det være epidemiologisk praktisk

at aflive fuglebestande, som viser sig at være smittet med H5N1. Isolation og sygedage er også

meget afgørende for at begrænse smitten, så antallet af sekundære infektioner forårsaget af en smit-

tet holdes på et minimum, og sygedage mindsker derudover risikoen for komplikationer i forbin-

delse med sygdomsforløbet. Angående hygiejne behøver der ikke være ”for rene” omgivelser for

raske, men hvis man først er smittet kan hygiejnen være afgørende for overlevelse – hospitaler bør

uddanne rengøringspersonale i betydning af desinficerende hhv. mekanisk rengøring. Moderat mo-

tion kan også forbedre vores immunforsvar og gøre os mere modstandsdygtige overfor smitte, men

samtidig er hård motion ikke forebyggende, da man i restitutionsperioden efter har øget risiko for

infektioner. Hvis man føler sig syg bør man ikke træne, men give kroppen hvile.

Dato og underskrift: ___________________

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 24 af 26

LITTERATURLISTE

INTERNETADRESSER: Bakteriecellen. Udgivet af Mogens T. Jensen. Internetadres-

se: http://www.biosite.dk/leksikon/bakteriecellen.htm - Besøgt d. 06.12.2011

Billede af immunforsvarets celler. Udgivet af . Internetadres-

se:http://www.lifesci.dundee.ac.uk/sites/default/files/prcfig2.jpg - Besøgt d. 7.12.2011

Duncan\'s syndrom. Udgivet af Immun Defekt Foreningen. Internetadres-

se:http://idf.dk/component/content/article/37 - Besøgt d. 7.12.2011

Kontrol af lægemidler for feberfremkaldende stoffer. Udgivet af Det farmaceutiske Fakultet KU. Internet-

adresse:http://www.farma.ku.dk/index.php/Kontrol-af-laegemidler-for-feb/1799/0/ - Besøgt d. 7.12.2001

Systematisk virologi. Internetadresse: http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:J-

XP6Gzs28gJ:www.forlag-

fadl.dk/LinkClick.aspx%3Ffileticket%3DJVpjd5rO%252BKw%253D%26tabid%3D36%26forcedownload%

3Dtrue+Systematisk+virologi&hl=da&gl=dk&pid=bl&srcid=ADGEESj-

nI8NdRh8k8wxrTX41Xt2RuBN8QvCbJy3xPDgiOVmRdsJ_xI68Yik23nUb2IYp-

kg3I5X1fcPXqo8qwXL5vTLRnrIjI3PtdI2NB4_EYe9Qp3tcodubBRNZGF4BlnjaddvTb0D&sig=AHIEtbS5P

pKQUg-6p8hrkRsw_f9f5X2E1Q - Besøgt d. 10.12.2011

Immunforsvaret. Udgivet af Biotech Academy . Internetadres-

se:http://www.biotechacademy.dk/undervisningsprojekter/ibk/teori/immunforsvaret.aspx - Besøgt d.

7.12.2011

Immunsystemet. Udgivet af Systime. Internetadresse: http://bioaktivator.systime.dk/index.php?id=623 -

Besøgt d. 7.12.2011

Influenza. Udgivet af Netdoktor Media. Internetadres-

se: http://www.netdoktor.dk/sygdomme/fakta/influenza.htm - Besøgt d. 7.12.2011

Fugleinfluenza. Udgivet af Else Jensen. Internetadres-

se: http://vaccineinfo.dk/index.php?option=com_content&task=view&id=331&Itemid=28 - Besøgt d.

7.12.2011

Den danske beredskabsplan for pandemisk influenza. Udgivet af Sundhedsstyrelsen. Internetadres-

se:http://ida.dk/netvaerk/fagtekniskenetvaerk/sikkerhedogrisiko/selskabetforrisikovurdering/Documents/Else

SmithPandemberedskab16106.pdf- Besøgt d. 11.12.2011 (Internet)

The H5N1 avian flu: Not just for the birds.. Udgivet af Biotrends Magazine . Internetadres-

se:http://www.biotrends.org/index.php?option=com_content&view=article&id=134%3Athe-h5n1-avian-flu-

not-just-for-the-birds-&Itemid=94 - Besøgt d. 10.12.2011

Fugleinfluenza. Udgivet af NetPatient. Internetadresse: http://www.netpatient.dk/Fugleinfluenza.htm - Be-

søgt d. 10.12.2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 25 af 26

Risiko for ny influenzapandemi?. Udgivet af Ugeskrift for læger. Internetadres-

se:http://www.ugeskriftet.dk/LF/UFL/2004/10/pdf/VP44337.pdf d. 10/12 - Besøgt d. 10.12.2011

Beredskab for pandemisk influenza. Udgivet af Embedslægeinstitutionen. Internetadres-

se:http://dk.nanoq.gl/Emner/Landsstyre/Departementer/Landslaegeembedet/Influenza%20pandemi/~/media/5

2AED9E811044FC8BABC1C59D71289F4.ashx- Besøgt d. 10.12.2011

Fugleinfluenza A (H5N1) – en pandemisk trussel?. Udgivet af TechMedia. Internetadres-

se:http://www.techmedia.dk/files/pdf/dak/2006/s15-17dak08-low.pdf - Besøgt d. 10.12.2011

FIGURE 3 | Influenza A virus tropism. Udgivet af Nature Publishing Group. Internetadres-

se:http://www.nature.com/nrmicro/journal/v9/n8/fig_tab/nrmicro2613_F3.html - Besøgt d. 14.12.2011

Hvad er influenza. Udgivet af Netdoktor Media. Internetadres-

se:http://www.netdoktor.dk/sygdomme/fakta/influenza.htm - Besøgt d. 10.12.2011

Fugleinfluenza. Udgivet af Sundheddk. Internetadresse: http://laegehaandbogen.dk/rejsemedicin-

vacciner/tilstande-og-sygdomme/fugleinfluenza-14305.html#doc_heading_ID0EBBA - Besøgt d. 10.12.2011

Virker oseltamivir ved influenza? Udgivet af Sundheddk. Internetadres-

se:http://patienthaandbogen.dk/infektioner/sygdomme/virusinfektioner/virker-oseltamivir-ved-influenza-

23048.html - Besøgt d. 10.12.2011

Sandsynlighedsregning. Udgivet af MatLex. Internetadresse: http://www.matlex.dk/sandsyn.html - Besøgt d.

12.12.2011

SIR-modellen. Udgivet af Allan Jensen. Internetadresse: http://allan-jensen.adr.dk/SIR.doc - Besøgt d.

1.12.2011

Compartmental Models in Epidemiology. Udgivet af Fred Brauer. Internetadres-

se:http://www.math.utep.edu/Faculty/pmdelgado2/differential/brauer.pdf - Besøgt d. 15.11.2011

Om smitteberedskab. Udgivet af Statens Serum Institut. Internetadres-

se:http://www.ssi.dk/Smitteberedskab/Om%20smitteberedskab.aspx - Besøgt d. 12.12.2011

Vejledning om forebyggende foranstaltninger hos mennesker ved influenza hos fugle. Udgivet af Sundheds-

styrelsen. Internetadres-

se: http://www.sst.dk/publ/Publ2006/CFF/Fugleinfluenza_vejl/Fugleinfluenzavejledning.pdf - Besøgt d.

8.12.2011

Rengøringens betydning for forekomst af hospitalsinfektioner. Udgivet af Ugeskrift for læger. Internetadres-

se:http://www.ugeskriftet.dk/LF/UFL/2007/49/pdf/VP51055.pdf - Besøgt d. 8.12.2011

Forskere: Bakterier gør dig raskere. Udgivet af Videnskab dk. Internetadresse: http://videnskab.dk/krop-

sundhed/forskere-bakterier-gor-dig-raskere - Besøgt d. 12.12.2011

Fornavn Efternavn 3.x SRP om epidemier og epidemimodellen SIR En skole 19/12 -2011 Matematik (A) og biologi (B)

Side 26 af 26

Vi lever for rent. Udgivet af Videnskab dk. Internetadresse: http://videnskab.dk/krop-sundhed/vi-lever-rent -

Besøgt d. 14.12.2011

Fysisk aktivitet og immunforsvaret. Udgivet af Bente Klarlund Pedersen. Internetadres-

se:http://www.laeger.dk/lf/UFL/ufl99_00/smid_ud/ufl2015/v_p/30901.htm - Besøgt d. 12.12.2011

BØGER:

Andersen, Paul L. m.fl.: Infektionssygdomme, hud- og seksuelt overførbare sygdomme. 1. udg. Nyt Nordisk

Forlag Arnold Busck, 1999.

Baktoft, Allan: Matematik i virkeligheden. 1. udg. Forlaget Natskyggen, 2010.

Bidstrup, Bodil Blem m. fl.: Fysiologibogen - den levende krop. 1. udg. Nucleus Forlag ApS, 2007.

Jensen, Klaus: Medicinsk mikrobiologi og infektionspatologi. 12.. udg. Nyt Nordisk Forlag Arnold Busck,

2000.

Juul, Svend: Epidemiologi og evidens. 1. udg. Munksgaard Danmark, 2007.

Mikkelsen, Hanne Guldberg og Ingelise Kahl: Pest over Danmark. 1. udg. Nordisk Forlag, 2006.

Nielsen, Lotte Juul: Livets udvikling. 1. udg. Bonnier Publications , 2009.

Pedersen, Henrik Laurberg: Matematik for biovidenskab. 1. . udg. Biofolia, 2011.

Terney, Ole: Frygt for Pandemi - ny A/H1N1 \"Svineinfluenza\". 1. udg. BioNyt/Videnskabens Verden,

2009.

Watts, Franklin: AIDS og snadre smitsomme sygdomme. 1. udg. Flachs, 2009.

Watts, Franklin: Fokus på epidemier. 1. udg. Bogfabrikken Fakta, 2007.

Nielsen, Knud Erik m.fl.: Vejen til Matematik A2. 1. udg. Forlaget HAX, 2006.