円1 AM0231931C-01

� 次の図の∠xの大きさを求めなさい。ただし，点Oは円の中心である。

� �

� �

� 次の図の∠xの大きさを求めなさい。

� �

�

�

�

�

�

�

O

DA

B C

x

80゜ 26゜ A

B

C

O

x

110゜

O

A

B C

x72゜ 20゜

D

OE

A

B Cx 33゜

42゜

A

EB

Cx

D

42゜ 58゜

x

70゜ 30゜

D

C

B

P

A

�� 円周角の定理と二等辺三角形の性質を使って∠DPCの大きさを求め，U PBCで内角と外角の関係を利用する。

要点M1X 17.2要点 M2X 15.2または

要点 M1X 17.3要点 M2X 15.3または

＊「練習問題・解答解説、添削問題・解答解説」は『Z Studyトレーニング』に掲載して毎月お届け。添削問題の解答解説は、実際の教材では、翌月号に掲載します。

中高一貫コース 中学2年 数　学 スーパーハイレベル 「練習問題」見本

AM0231931C-02

� 右の図のように，円の周上に 4 点A，B，C，Dがあり，AD% ＝DC

%

である。∠A＝70°，∠ACD＝33°のとき，∠xの大きさを求めなさ

い。

� 右の図で， 4 点A，B，C，Dは同じ円周上の点であ

り，AB% ＝BC

% である。また，点PはADの延長とBCの延長

との交点である。∠BAC＝48°，∠DBC＝24°のとき，∠

x，∠yの大きさをそれぞれ求めなさい。

� 右の図の四角形ABCDにおいて

∠ADB＝∠ACB

であるとき，

∠ABD＝∠ACD

が成り立つことを証明しなさい。

� AB% ＝BC

% より，∠ACB＝∠BACが成り立つ。さらに，円周角の定理より，∠CAD＝∠CBDが成り立つので，U ACPで内角と外角の関係を利用するとよい。� 円周角の定理の逆を利用して， 4 点A，B，C，Dが同一円周上にあることを示す。

D

A

B

C

x

33゜

70゜

48゜

24゜

A

D

CP B

yx

A

B C

D

EXCELLENT!

SGOOD!

AAVERAGE

BNEVER GIVE UP!

C

9 8 7 6 5 4 3 2 1

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円1 AM0231931E-01

�� U ODCで内角と外角の関係より

∠ODA＝80°＋26°＝106°

円周角と中心角の関係より

BAC 21∠ ＝ × 80°＝40°

よって，U ABDで内角と外角の関係より

40°＋∠x＝106° ∠x＝66°

66° （答）

� 円周角と中心角の関係を利用すると

∠AOC＝360°－110°×2＝140°

OA＝OCより

x 2180 140

20∠ ＝ － ＝ °○ ○

20° （答）

� 円周角と中心角の関係より

BAC 21∠ ＝ × 72°＝36°

BOの延長と辺ACとの交点をDとすると

U ABDで内角と外角の関係より

∠ODC＝36°＋20°＝56°

よって，U OCDで内角と外角の関係より

∠x＝72°－56°＝16°

16° （答）

� BCは円Oの直径より

∠BAC＝90°

よって，

∠EAC＝90°－42°＝48°

U AECで内角と外角の関係より

∠x＝48°＋33°＝81°

81° （答）

� 円周角の定理と三角形の内角の和より

DBE DAE∠ ＝∠ ＝ 180°－（90°＋58°）＝32°

よって，円周角の定理より

∠x＝∠ABD＝42°＋32°＝74°

74° （答）

�

�　∠ODA＝∠O＋∠C

�　∠BAD＋∠ABD

�　∠BOC－∠ODC

�　∠BAC－∠BAE

�　∠EAC＋∠ACE

�　∠ACD＝∠ABD

�直径に対する円周角は90°である。

�　 BAC21

BOC∠ ＝ ∠

�　∠A＋∠B＝∠ODA

�点Bをふくまない AC% に対す

る中心角は2∠ABC

�二等辺三角形の底角は等しい。

�　 BAC21

BOC∠ ＝ ∠

O

A

B C

D

x72゜ 20゜

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AM0231931E-02

� 円周角の定理より

∠BDC＝∠BAC＝70°　　∠ACB＝∠ADB＝30°

U DPCは二等辺三角形であるから

DPC 2180 70

55∠ ＝ － ＝ °○ ○

U PBCで内角と外角の関係より

∠x＋30°＝55°　　　∠x＝25°

25° （答）

円周角の定理より

∠ABD＝∠ACD＝33°

AD% ＝DC

% より

∠DBC＝∠ABD＝33°

よって，U ABCの内角の和より

∠x＝180°－（70°＋33°×2）＝44°

44° （答）

∠ABCの大きさが求められると，U ABCの内角の和より，∠xの大きさは求められます。

∠ABCの大きさを求めるとき

円周角の大きさは弧の長さに比例する

ことを利用し，次のように考えることもできます。

∠ABC：∠ACD＝AC%：AD

%＝2：1より

∠ABC＝2∠ACD＝2×33°＝66°

AB% ＝ BC

% より

∠x＝∠BAC＝48° ←弧と円周角

また，円周角の定理より

∠CAD＝∠CBD＝24° ← に対する円周角

よって，U ACPで内角と外角の関係より

∠y＋24°＝48°　　　∠y＝24°

∠x＝48°，∠y＝24° （答）

2 点C，Dは直線ABに対して同じ側にあり

∠ADB＝∠ACB

よって， 4 点A，B，C，Dは同一円周上にある。

ゆえに，円周角の定理より

∠ABD＝∠ACD （証明終）

CD%

�

�

�

A

B C

D

�AD% に対する円周角。

�　∠PBC＋∠PCB＝∠DPC

�　∠CPA＋∠CAP＝∠ACB

�等しい弧に対する円周角は等しい。

�　∠DPC＝PDC

2180－∠°

円1 AM0231951L-01

次の各問いに答えなさい。（配点　50）

�次の各問いに答えなさい。

� 右の図 1 において，3 点A，B，Cは円Oの周上にある。∠BOC＝94°，

∠ACO＝25°であるとき，∠ABOの大きさを求めなさい。（ 8点）

� 右の図 2 において，4 点A，B，C，Dは円Oの周上にあり，ACは円O

の直径である。∠BAC＝35°，∠DOC＝48°であるとき，∠ODBの大きさ

を求めなさい。（ 8点）

�右の図のように，3点A，B，Cを通る円Oがあり，∠ABC，∠BCAの二

等分線と円Oとの交点をそれぞれD，Eとする。∠CAB＝60°であるとき，

BD＝CEとなることを証明しなさい。（10点）

� 右の図のように，∠C＝60°のUABCにおいて，辺ABの中点をMとす

る。辺BC上にAD⊥BCとなるような点D，辺AC上にBE⊥ACとなるよ

うな点Eをとるとき，UMDEは正三角形であることを証明しなさい。（12点）

�右の図のように，3点A，B，Cは同一円周上にあり， AB% ＝ BC

% ＝ CA% で

ある。 BC% 上に点Pをとり，AP上にCP＝CDとなる点Dをとったところ，

BP＝7，CD＝11となった。このとき，次の問いに答えなさい。

� UBPC≡UADCであることを証明しなさい。（ 8点）

� 線分APの長さを求めなさい。（ 4点）

図１�

図２�

O

A C

B

O

D

CB

A

A

B

C

D

E

O

A

D

M E

B C

A

D

B C

P

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� 円周角と中心角の関係より

∠BAC＝ 21 ∠BOC＝ 2

1 ×94°＝47°

ACとOBの交点をDとすると

∠ADB＝∠ODC

であるから，UABDとUOCDの内角の和より

∠DAB＋∠DBA＝∠DOC＋∠DCO

47°＋∠ABO＝94°＋25°

∠ABO＝119°－47°＝72° 72°（答）

� 点Oと点Bを結ぶと，円周角と中心角の関係より

∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°

ここで，OD＝OBなので，UOBDは二等辺三角形

である。したがって，

∠ODB＝（180°－∠DOB）÷2

∠ODB＝!180°－（70°＋48°）+÷2

∠ODB＝62°÷2＝31° 31°（答）

円周角と中心角の関係を利用する問題です。なお，�は円周角と中心角の関係より

∠DBC＝ 21 ∠DOC＝24°

ACは円Oの直径なので，∠ABC＝90°であるから

∠ACB＝180°－（∠BAC＋∠ABC）＝180°－（35°＋90°）＝55°

OCとBDの交点をEとすると，∠BEC＝∠DEOであるから，UEBCとUEDOに着目して，∠

ODBの大きさを求めてもよいでしょう。

円1 AM0231951O-01

�次の各問いに答えなさい。

� 右の図 1において，3点A，B，Cは円Oの周上にある。∠BOC＝94°，∠

ACO＝25°であるとき，∠ABOの大きさを求めなさい。（ 8点）

� 右の図 2において，4点A，B，C，Dは円Oの周上にあり，ACは円Oの

直径である。∠BAC＝35°，∠DOC＝48°であるとき，∠ODBの大きさを

求めなさい。（ 8点）

� （円周角）＝21 ×（中心角）

�対頂角は等しい。

� （中心角）＝2×（円周角）

�二等辺三角形の 2つの底角は等しい。

�OB，ODは円Oの半径である。

�

図１

図２

O

A C

B

O

D

CB

A

O

DA C

B

94° 47° 25°

O

D

CB

A

48° 70°

35°

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AM0231951O-02

∠ABC＝2∠a，∠BCA＝2∠bとおくと

2∠a＋2∠b＋60°＝180°

∠a＋∠b ＝60°………………………………①

ここで，∠DAC ＝∠DBC＝∠aより

∠DAB ＝∠DAC＋∠CAB

＝∠a＋60°

また，∠EBA＝∠ECA＝∠bより

∠EBC ＝∠EBA＋∠ABC

＝∠b＋2∠a ……………………………………②

よって，②に①を代入すると

∠EBC＝∠a＋60°＝∠DAB

したがって，BCD( ＝ EAC

( なので

BD＝CE （証明終）

円周角の大きさが等しければ，対応する弧の長さは等しくなり，弧の長さが等しければ，対応

する弦の長さが等しくなります。つまり，等しい円周角に対する弦の長さは等しいので，BCD( ，

EAC( に対する円周角の大きさが等しいことを示すことが「解答」の方針となります。

しかし，この逆，つまり，弦の長さが等しければ円周角がつねに等

しくなるとはいえません。それは，右の図のように，1つの弦に対す

る円周角は2つあるからです（∠Gに対して∠Eを補角といいます）。

ただ，∠E＋∠G＝180°，∠C＝∠Gより，∠C＋∠E＝180°が成

り立つので，2つの円周角の和が180°であることを示しても，対応す

る弦の長さが等しいということができます。これを利用すると，本問

は

∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝∠a＋60° …………………………………③

∠CAE＝∠CAB＋∠BAE＝60°＋∠b …………………………………④

よって， ∠DAB＋∠CAE＝∠a＋∠b＋120°

ここに，①を代入すると ∠DAB＋∠CAE＝180°

したがって，2つの円周角の和が180°なので

BD＝CE （証明終）

と証明することができます。

�右の図のように，3点A，B，Cを通る円Oがあり，∠ABC，∠BCAの二等

分線と円Oとの交点をそれぞれD，Eとする。∠CAB＝60°であるとき，BD＝

CEとなることを証明しなさい。（10点）

�

A

B

C

D

E

O

�DC%に対する円周角。

�UABCの内角の和は180°

� AE%に対する円周角。

�等しい弧に対する弦の長さは等しい。

AC G

F

E

DB

仮定より

AD⊥BC，BE⊥AC

であるから

∠ADB＝∠AEB＝90°

よって，2点D，Eは直線ABについて同じ側にあるから，4点A，B，D，Eは同

じ円周上にあり，辺ABはその円の直径，点Mはその円の中心である。

したがって，

MD＝ME …………………………………………①

ここで，UCADにおいて

∠CAD＝180°－（∠ADC＋∠DCA）

∠CAD＝180°－（90°＋60°）

∠CAD＝30°

円周角と中心角の関係より

∠DME＝2∠EAD

∠DME＝2×30°

∠DME＝60° ………………………………………②

ゆえに，①，②より，UMDEは 2つの辺が等しく，1つの内角が60°であるの

で，正三角形である。（証明終）

まず，2点D，Eは直線ABについて同じ側にあり，∠ADB＝∠AEBであることより

4点A，B，D，Eは同じ円周上にある

ということに気づけるかが第 1のポイントです。そして，∠ADB＝∠AEB＝90°であるので

辺ABは 4点A，B，D，Eを通る円の直径

であることに気づけるかが第 2のポイントです。さらに，点Mは辺ABの中点なので

点Mは 4点A，B，D，Eを通る円の中心

であることに気づけるかが第3のポイントです。できなかった人は，どこでつまずいたのか確認し

ておいてください。

なお，2つの直角三角形が斜辺を共有するとき，その 2つの直角三角形をつくる 4つの頂点は

同じ円周上の点になり，斜辺はその 4つの頂点を通る円の直径になります。このことはよく利用

されるので，覚えておいてください。

AM0231951O-03

�右の図のように，∠C＝60°のUABCにおいて，辺ABの中点をMとする。

辺BC上にAD⊥BCとなるような点D，辺AC上にBE⊥ACとなるような点E

をとるとき，UMDEは正三角形であることを証明しなさい。（12点）

�直角である円周角に対する弦は円の直径である。また，点Mは辺ABの中点である。

�この三角形に着目する。

�4点A，B，D，Eは同じ円周上にあるから。

�

A

D

M E

B C

A

D

M E

B C60°

AM0231951O-04

� UBPCとUADCにおいて，AB% ＝ BC

% ＝CA% より

AB＝BC＝CA

であるから，UABCは正三角形である。よって，

BC＝AC ……………………………………………①

∠ABC＝60°

ここで，円周角の定理より

∠APC＝∠ABC＝60°

であり，

CP＝CD （仮定） …………………………………②

と合わせると，UCDPは 2つの辺が等しく，1つの内角が60°なので，正三角

形である。したがって，∠DCP＝60°より

∠PCB＝60°－∠BCD＝∠DCA ……………………③

ゆえに，①，②，③より，2辺とその間の角がそれぞれ等しいから

UBPC≡UADC （証明終）

� �より

AD＝BP＝7

また，UCDPは正三角形であるので

DP＝DC＝11

よって，

AP＝AD＋DP＝7＋11＝18 18 （答）

� 三角形の合同を証明する問題です。本問は，BC＝AC，CP＝CDであることはすぐにわかる

ので，2辺とその間の角がそれぞれ等しいことを導く方針で考えるとよいでしょう。このとき，

UCDPが正三角形であることに気づけるかがポイントです。

� 線分AD，DPの長さを直接求めるのは困難です。そこで，�を利

用して，線分AD，DPと同じ長さの線分をそれぞれ見つけることが

ポイントです。なお，一般に，正三角形KLMの 3つの頂点を通る

円の LM% 上に点Nをとると

KN＝LN＋MN

が成り立ちます。

�右の図のように，3点A，B，Cは同一円周上にあり， AB% ＝ BC

% ＝ CA% で

ある。 BC% 上に点Pをとり，AP上にCP＝CDとなる点Dをとったところ，

BP＝7，CD＝11となった。このとき，次の問いに答えなさい。

� UBPC≡UADCであることを証明しなさい。（ 8点）

� 線分APの長さを求めなさい。（ 4点）

�長さの等しい弧に対する弦の長さは等しい。

�ここがポイント。

� ∠DCP＝∠ACB＝60°

��を利用する方針。

�

A

D

B C

P

K

L M

N