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MQ41 TP n°4: Etude d’une enveloppe mince

MQ41 TP n°4 : Etude d’une enveloppe mince

But : Le but de ce TP est de déterminer module d’Young E et coefficient de Poisson υ d’une enveloppe. Pré-requis : Considérons un cylinre clos (ou enveloppe mince) soumis à une pression P. On considérera que l’épaisseur est telle que . de <<

1. dans un cylindre clos, la poussée à pour projection :

P

Δl

l

( )ldpF

sS

ldlRSpfFy

fx

..cos.

..2cos..cos.:/

0sin.:/

=⇒Δ=Δ

⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ=Δ=Δ=Δ=Δ

=Δ

∑∑∑

α

αα

α

R

y

x

α α

Δf=p.ΔS Δf

Δs

Δl ΔS

David PERRIN TC04 p 1


2. détermination des contraintes transversales :

e

F

di

de

NN

• Contraintes transversales :

( )

edp

elSelldpNF

NF

F

elNldpF

it

tiext

t

i

2.

...2..2

02

0

..22..

=⇔

==⇔=⇔

=+

⇔=

⎩⎨⎧

==

∑σ

σ

σ

(relation 1)

3. contrainte longitudinale :

( )

edp

edd

NF

NF

F

edSddde

ddS

SN

dipF

iL

iLiext

i

ie

ie

L

4.

...4.

0''

0

...4

.'4..'

2

22

2

=⇔

=⇔

=⇔

=+

⇔=

=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

≈⇒<<

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑

σ

πσπ

ππ

σ

π

N’

F’

e

• Contraintes longitudinale :

π.di

e

4. on déduit le coefficient Poisson de la pressurisation interne :

t

L

tL

tt

E

Eεευ

συε

σε−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

. (relation 2)

σt 5. tσ provoque les déformations :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

E

Et

L

tt

συε

σε

.1

1

6. Lσ provoque les déformations :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

E

EL

L

Lt

σε

συε

2

2 .

σt

σL

7. les déformations principales en seront une combinaison :

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

−=+=

tLLLL

Ltttt

E

E

συσεεε

συσεεε

..1

..1

21

21



8. Le cercle de Möhr permet l’écriture suivante :

2θ 2θ

M’ M

B A ε

ε2θ

ε2

ε1θ

ε1

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

θεεεεε

θεεεεε

θ

θ

2cos22

2cos22

12212

21211

(relation 3)



Manipulation : Disposition des rosettes

On dispose les rosettes sur l’enveloppe mince de la façon suivante :

60° 30°

45°

#1

#2 #4

#3

#6

#5

De sorte que : ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

5

61

2εε

εεε

L

t

Mises en garde

• partie A : détermination de E et υ : charge axiale supprimée. (visser complètement le bouton moleté)

• partie B : vérification du cercle de Möhr : les charges axiales et transversales existent.

(dévisser complètement le bouton moleté)

• Partie C : discussions et conclusions. Ordre des opérations

• relever les caractéristiques initiales (sans charge ; p=0) des jauges (1), (5), (6). • charger à : 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5N/mm², relever les caractéristiques des jauges (1), (5), (6). • calculer les contraintes transversales correspondantes. • calculer E et υ pour chaque cas et en déduire leurs valeurs moyennes. • tracer les courbes ( )εσ ft = et ( )εε f=5 puis en déduire les valeurs de E et υ .

• relever les caractéristiques de six jauges pour p=2N/mm² • tracer le cercle de Möhr et déterminer les déformations pour les angles 30°, 45° et 60°. • En se servant de E et υ calculer les déformations principales puis suivant 30°, 45° et 60°.



Partie A : charge axiale supprimée Tableaux des valeurs expérimentales

p (N/mm²) σt (Mpa) ε1 (μdef) ε5=εL (μdef) ε6 (μdef) (ε1+ε6)/2=εt E (Mpa) υ

0 0,0000 937 -429 298 617,5 0,0000 0,6947 0,5 5,9858 1026 -446 375 700,5 8545,1093 0,6367 1 11,9717 1105 -469 450 777,5 15397,6825 0,6032

1,5 17,9575 1182 -492 525 853,5 21039,8912 0,5764 2 23,9434 1259 -518 598 928,5 25787,1796 0,5579

2,5 29,9292 1340 -544 675 1007,5 29706,4469 0,5400

enveloppe : diamètre (di) : 76,14 mm épaisseur (e) : 3,18 mm

Le module d’élasticité de Young E et le coefficient de Poisson υ de l’enveloppe sont déterminés d’après les relations pré-citées, à savoir :

(relation 1) edp i

t 2.

=⇔ σ

(relation 2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=⇔

t

L

tt E

εευ

σε en prenant

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+=

5

61

2εε

εεε

L

t

module d’élasticité de Young E :

(relation 2) EE ttt

t .εσσε =⇒=⇔

En traçant la courbe l’interpolation linéaire issue des valeurs de mesure ( )tt f εσ = , on obtient l’équation :

647,9628186 -x0,07729061 y =

E correspond à la valeur de la pente, moyennant un réajustement des unités (car tε n’a pas d’unités) , on trouve :

MPaE 77290exp = coefficient de Poisson υ :

(relation 2) υεεεευ .tL

t

L−=⇒−=⇔

En traçant la courbe l’interpolation linéaire issue des valeurs de mesure ( )tL f εε = , on obtient l’équation :

238,702-0,300x- y =

υ correspond à la valeur de la pente, moyennant un changement de signe, on trouve :

3,0exp =υ



Courbes expérimentales ( )tt f εσ =

σ t=f(ε )

y = 0,07729061x - 47,96281866

0

3

5

8

10

13

15

18

20

23

25

28

30

600 650 700 750 800 850 900 950 1000

ε t (mm)

t (M

Pa)



Courbes expérimentales ( )tL f εε =

ε L=f(ε )

y = -0,300x - 238,702

-550

-545

-540

-535

-530

-525

-520

-515

-510

-505

-500

-495

-490

-485

-480

-475

-470

-465

-460

-455

-450

-445

-440

-435

-430

-425

-420600 625 650 675 700 725 750 775 800 825 850 875 900 925 950 975 1000

ε t (μ m)Lm

)



Partie B : charge axiale et transversales Tableaux des valeurs expérimentales

jauge angle lecture lecture déformation n° ( ° ) initiale finale (μm) 1 90 936 1192 256 2 60 916 1128 212 3 45 91 250 159 4 30 175 291 116 5 0 -408 -346 62 6 90 286 548 262

enveloppe :

diamètre (di) : 76,14 mm épaisseur (e) : 3,18 mm

Détermination des déformations principales sans E et υ

Les déformations principales sont données par les jauges : ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=+

=+

=

def

def

L

t

μεε

μεεε

62

2592262256

25

61

détermination des déformations à 30°, 45° et 60° par le cercle de Möhr :

(cercle de Möhr réalisé sous Autocad v14 pour plus de précision)

τ

ε



détermination des déformations à 30°, 45° et 60° par le calcul :

(relation 3) ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇔

θεεεεε

θεεεεε

θ

θ

2cos22

2cos22

12212

21211

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⇔

θ

θ

θ

θ

ε

ε

ε

ε

θθ

θθ

θεθεε

θεθεε

2

1

2

1

212

211

.

22cos1

22cos1

22cos1

22cos1

22cos1.2

2cos1.

22cos1.2

2cos1.

On construit le programme Emean.m sous Matlab v5.3 qui résout le système précédent pour toute valeur d’angle. Par application de ce programme aux valeurs d’angles 30°, 45° et 60°, on trouve : (en defμ ) pour 30° : Emean(30) 209.7500 111.2500 pour 45° : Emean(45) 160.5000 160.5000 pour 60° : Emean(60) 111.2500 209.7500

Détermination des déformations principales connaissant E et υ

On a trouvé (partie A) : ⎩⎨⎧

==

3,077290

exp

exp

υMPaE

(relation 2) defEedp

edp

E it

it

tt

μεσ

σε30977290.18,3.2

14,76.2.2.

2.

===⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇔

=⇔

(relation 2) defEedp i

tLt

L μυυεεεευ 9277290.18,3.2

3,0.14,76.2..2.. ====⇒=⇔



détermination des déformations à 30°, 45° et 60° connaissant E et υ (cercle de Möhr):

(cercle de Möhr réalisé sous Autocad v14 pour plus de précision)

τ

ε

Conclusion :

• Partie A : charge axiale supprimée : 3,0

77290exp

exp

==

υMPaE

• Partie B : charge axiale et transversale : déformations en defμ

jauge n° iε iε iε iε

Expérimentalement Cercle de Möhr

(sans E , υ ) Calcul

(sans E , υ ) Cercle de Möhr

(sans E , υ ) 1 256 259 259 309 2 212 209 209 254 3 159 160 160 200 4 116 111 111 146 5 62 62 62 92 6 262 259 259 309

Les derniers résultats ne corroborent pas tout à fait avec la théorie. Le calculs paraissent justes, on peut donc légitimement supposer une erreur de manipulation au niveau des déformations (lecture finale- lecture initiale) au vue de la valeur de trouvée (car : ( MPaE 77290exp = ) 5,03,00exp ≤≤=υ )… En effet dans la littérature, Le matériau se rapprochant le plus d’un tel module d’élasticité semble être le verre ! . ( )MPaEverre 70000=



fonction Emean.m

function e=Emean(a) % a: angle en lequel on souhaite connaitre les déformations %-- données -------------------------------------- % e1: déformation principale max % e2: déformation principale min e1=259; e2=62; %-- calcul des déformations ---------------------- p=(1+cos(a*pi/90))/2; m=(1-cos(a*pi/90))/2; A=[p,m;m,p]; B=[e1;e2]; e=A*B;


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