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Ensino Superior
2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle
Amintas Paiva Afonso
Modelagem Matemática
Sumário
2.1.1 O Problema da Modelagem
2.1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
1.1 O Problema da Modelagem
Modelar um sistema físico qualquer significa obter uma representação matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento do sistema na prática.
A complexidade de se modelar um sistema dinâmico depende fundamentalmente do conhecimento que se tem desse sistema.
A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso entre precisão e complexidade do modelo em relação à dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido.
1.1 O Problema da Modelagem
Exemplo 1:
Um corpo se movimenta a uma velocidade v1 (m/s), com massa m1 (kg) se choca com um outro corpo em repouso, de massa m2. A quantidade de movimento medida no instante do choque é dada por: Q = m1.v1 (kg.m/s).
(causa) (efeito)
FF
aa
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1.1 O Problema da Modelagem
Se o modelo for ideal, essa mesma quantidade de movimento será transferida ao corpo de massa m2 (kg), de forma que este se deslocará com uma velocidade v2 dada por v2 = Q/m2 (m/s).
(causa) (efeito)/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1.1 O Problema da Modelagem
Exemplo 2:
Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por = 0,1.
Força de Atrito
Denomina-se atrito a resistência que os corpos em contato oferecem ao movimento. Temos os seguintes casos:
Força de atrito estática:
Reação normal do apoio
N
P
F at F
fat = µe .Nµe Coeficiente atrito estático
N
N (Sentido da eminência movimento)
Força de atrito dinâmica
OBS: A força de atrito entre dois corpos em contato é tangente à superfície de contato e tem sentido oposto ao do movimento (ou à “tendência” de movimento) relativo entre as superfícies.
P
fatF Fat = µd . N
µd Coeficiente atrito dinâmico
N
N
Reação normal do apoio(Sentido do Movimento)
1.1 O Problema da Modelagem
Voltando ao Exemplo 2:
Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por = 0,1.Resolução:
A somatória das forças é F = F1 - N
F = F1 – 0,1 . 50 . 10
F = F1 – 50
Esta resultante deve ser igual à massa do corpo multiplicada pela aceleração do mesmo.
F1 = 500 + 50 F1 = 500 N
a = 10 m/s²
F = ?m = 50 kg
1 N = 1 kg x 1 m / s²
Fat
1.1 O Problema da Modelagem
Basicamente, os estudos de sistemas dinâmicos que iremos apresentar se dividem nas seguintes fases:
• Modelagem. Descrita anteriormente, consiste em representar o sistema físico através de um modelo matemático.
• Determinação das características dinâmicas, que implica em um levantamento prévio de dados, já que propriedades intrísecas do sistema são consideradas (inércia, amortecimento, atrito, etc.).
• Análise. Consiste em, através de uma metodologia qualquer, analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou distúrbio.
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
São variáveis que, para todo e qualquer instante de tempo, têm valor definidos.
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
O objetivo é analisar se a variável contínua de interesse tende a um valor finito após a aplicação de uma excitação ou distúrbio. Mais que isso, deseja-se que qualquer componente transitória desapareça o mais rápido possível. A forma como o sistema reage a alguns tipos de distúrbios define a robustez desse sistema dinâmico.
Deseja-se, na verdade, que o sistema atinja um ponto de equilíbrio estável o mais rápido possível, ao mesmo tempo em que algumas características da resposta devem ser satisfeitas.
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
Assim, a resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em duas parcelas:
1) Componente de regime permanente, também chamada de valor final. É a componente obtida quando o tempo tende a um valor suficiente para a resposta se acomodar. Portanto, representamos esta componente como: .)(lim)(
ttyy
Nota: observe que na expressão acima, a resposta em um instante qualquer é dada por y(t).
2) Componente transitória. É a parcela da resposta observada imediatamente após a aplicação de um distúrbio. Seu valor é dado por: )()()(1 ytyty
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
A classificação dos tipos de respostas é também um conceito importante:
• RESPOSTA LIVRE: É a saída obtida quando não é considerada qualquer excitação ao sistema.
• RESPOSTA FORÇADA: É a resposta obtida para uma determinada excitação, considerando nulas as condições iniciais.
• RESPOSTA TOTAL: É a união das respostas anteriores.