enseñando geometría utilizando el software dinámico …

Enseñando geometría utilizando el Software Dinámico Geogebra

Análisis didáctico de una propuesta de enseñanza.

SILVANA ROMINA MELO1 (Becaria alumna UNPA-UARG)[email protected]

DRAGHI DANIEL (Docente investigador UNPA-UARG) [email protected] FABIANA (Docente investigadora UNPA-UARG)

[email protected]

Universidad Nacional de la Patagonia Austral-Unidad Académica Río GallegosAv. Gdor. Gregores y Piloto Rivero - Río Gallegos - Santa Cruz - Argentina

Octubre 2015

Resumen: Tomando como marco teórico la Teoría de Situaciones Didácticas de GuyBrousseau (1993), proponemos una secuencia didáctica para enseñar los criterios decongruencia de triángulos, en una primera instancia mediante el uso de lápiz y papel, endonde se aborda el tema y otra, en la que se resolverán problemas utilizando el Geogebra.Mostramos el trabajo previo que existe al momento de crear y/o transformar actividades querequieran el uso del software para su resolución, el análisis didáctico de las actividadespropuestas y diferentes cuestiones que hay que tener en cuenta para el desarrollo de la misma.En este trabajo, uno de los aspectos del trabajo matemático en el que hacemos hincapié estáreferido a la validación de la producción matemática a partir de la visualización de unaimagen que deja ser estática y puede ser fácilmente manipulable por el alumno y propiciar laenunciación de conjeturas validas o no.

Palabras Claves: Geometría; Enseñanza; Demostración; Geogebra

1 Recibió el título de Profesora en Matemática en noviembre de 2014. Comenzó a participar en el PI29/A308como becaria alumna en marzo-diciembre de 2013 y marzo-diciembre 2014, y continúa como integrante externa.

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.

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Aprobado por Resolución N° 1173/15-R-UNPAhttp://dx.doi.org/10.22305/ict-unpa.v8i1.158

1. INTRODUCCIÓN

Este trabajo surge en el marco del PI29/A308, denominado “La inclusión de las TIC para laenseñanza de la geometría en el nivel secundario” (2013-2015). Diseñamos una secuenciadidáctica dirigida a alumnos de primer año de secundaria para enseñar los Criterios deCongruencia de Triángulos.

Expondremos las características del grupo de clase a la que va dirigida la propuesta y elanálisis a priori de las actividades que conforman la secuencia, mostrando en particular lasdiscusiones que tuvimos en el momento de seleccionar y enunciar las actividades querequerían ser realizadas usando el software de geometría dinámico.

Esta secuencia se comenzó a implementar en las dos primeras semanas de julio, y continuoluego del receso en las dos primeras semanas de agosto.

2. CONTEXTO EDUCATIVO DONDE SE REALIZÓ LA IMPLEMENTACIÓNDE LA SECUENCIA DIDÁCTICA

La secuencia se diseñó teniendo a quiénes iba dirigida, a un grupo de primer año desecundaria del colegio bilingüe Poplars School, donde S. Melo es la profesora de matemática.Este es un grupo constituido por 21 alumnos con una edad promedio de 13 años. Estosalumnos poseen conocimientos geométricos previos, tales como la propiedad de ladesigualdad triangular, propiedades de triángulos y cuadriláteros, propiedad de los ángulosinteriores y exteriores de los polígonos, área y perímetro de figuras planas y un buen manejode elementos de geometría para realizar cualquier construcción en lápiz y papel. Con respectoal uso del software, en el período de diagnóstico en el mes de marzo hicieron actividades querequería el uso del mismo, repasaron nociones de lugar geométrico que habían adquiridocuando cursaban 7mo., esto les permitió explorar y familiarizarse con el software. Igual anteesta nueva interacción con el Geogebra en el mes de agosto, se propició que hicieran dosactividades que, además de poner en juego propiedades geométricas, sirvan de exploracióndel programa nuevamente.

Las clases que requerían el uso del software se llevaron a cabo en el laboratorio deinformática del colegio, ya que permite que cada alumno trabaje individualmente en una PC yposee acceso a internet. La institución cuenta con una plataforma virtual, en la que cadaasignatura tiene un espacio virtual que complementa la clase presencial, por lo que se subióun archivo con las consignas para que cada alumno la tenga a su alcance y que una vezterminada la actividad empleando el Geogebra cada uno suba y guarde su producciónmediante un archivo.

En las clases se propicia el trabajo grupal, por lo que el grupo está habituado a trabajar engrupo, presentar sus producciones en la puesta en común favoreciendo la participación y eldebate.

3. MARCO TEÓRICO

El proyecto de enseñanza que se describe se enmarca en una concepción constructivista de laenseñanza y aprendizaje de la matemática, en particular se toma la Teoría de SituacionesDidácticas de Guy Brousseau (1993), es una teoría de la enseñanza, que busca las condicionespara una génesis artificial de los conocimientos matemáticos, bajo la hipótesis de que los


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mismos no se construyen de manera espontánea. La concepción constructivista lleva aBrousseau a proponer un modelo que llama situación, y que describe en términos deinteracción entre un sujeto y un “medio” resistente, al que el sujeto se adapta, produciendoconocimiento. En sus palabras: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor decontradicciones, dificultades, desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Estesaber fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por las respuestas nuevas que son laprueba del aprendizaje”.

En esta teoría se describe la enseñanza de la matemática a partir de dos tipos de interaccionesbásicas:

entre alumno y con un cierto medio resistente cuyo núcleo es un problemamatemático.

entre docente y alumno a propósito de la interacción del alumno con el medio.

El concepto teórico que describe el primer tipo de interacción se llama “situación a-didáctica”y modeliza una actividad de producción de conocimiento por parte del alumno, que esindependiente de la intención didáctica del docente. La noción de “contrato didáctico”describe y explica el segundo tipo de interacciones mencionado.

El docente tiene un rol fundamental en el momento que los alumnos realizan producciones apartir de la situación problemática dada, esta actividad se la llama devolución. “No basta“comunicar” un problema a un alumno para que ese problema se convierta en su problemay se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esaresponsabilidad para que el problema que resuelva sea un problema “universal” libre depresupuestos didácticos. Se llama “devolución” a la actividad mediante la cual el docenteintenta alcanzar ambos resultados.” (Brousseau, 1993).

Teniendo en cuenta la Teoría de Situaciones, elaboramos la secuencia didáctica y realizamosel análisis a priori, el cual nos permitió definir la propuesta didáctica a desarrollar en eseprimer año.

El análisis a priori de una secuencia didáctica involucra varios análisis:

El análisis epistemológico de los contenidos que se quieren enseñar,

El análisis de las practicas docentes actuales con respecto a la enseñanza de la geometría ysus efectos,

El análisis del software Geogebra

El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos quedeterminan su evolución,

El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica efectiva,distinguiendo tres dimensiones:

- la dimensión epistemológica asociada a las características del saber en juego,


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- la dimensión cognitiva asociada a las características cognitivas del público al cual sedirige la enseñanza,

- la dimensión didáctica asociada a las características del funcionamiento del sistema deenseñanza.

El análisis a priori se enmarca en una metodología de investigación denominada Ingenieríadidáctica, la cual se caracteriza por un esquema experimental basado en las “realizacionesdidácticas” en clase, es decir sobre la concepción, realización, observación y análisis desecuencias didácticas. Esta metodología de investigación se ubica en el registro de losestudios de caso y cuya validación es en esencia interna, basada en la confrontación entre elanálisis a priori y el análisis a posteriori (Artigue, 1995).

Con el objetivo de analizar el impacto que tiene el uso del software Geogebra en la enseñanzade la geometría en el ciclo básico del nivel secundario, abordamos el proceso por el cual setransforma el software desde su concepción de artefacto a su concepción como instrumento,denominado “génesis instrumental” por Rabardel, (citado por Iranzo y Fortuny, 2009). Endicho proceso se identifican a su vez dos subprocesos determinados por la dirección en la cualse producen las retroacciones entre el alumno y el software: el de instrumentación y el deinstrumentalización. Esperamos encontrar indicio de estos subprocesos en las produccionesque los alumnos realicen durante la implementación, enfocándonos en los modos en que elsoftware influye en las estrategias de resolución propuestas por los alumnos, para el caso de lainstrumentación; y en cómo el conocimiento de cada alumno, y su manera de trabajar, guía eluso que hace del software, para el caso del proceso de instrumentalización.

4. DESCRIPCIÓN DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA

La secuencia didáctica elaborada consta de una primera parte para realizarse con lápiz y papelque posibilite al alumno construir los criterios de congruencia de triángulos y la segunda parteaborda el tema mediante problemas que se resuelven usando el software dinámico Geogebra.En un principio se pensaba abordar el tema usando directamente el software pero al realizar elanálisis a priori de lo que podrían hacer los alumnos, observábamos que al intentar hacerciertas construcciones – por ejemplo cuando se quería construir un triángulo dado un lado y lamedida de dos ángulos – resultaba difícil determinar el segundo ángulo con la medida dada,anticipábamos varias dificultades que tendrían los alumnos al manipular el software que haríaque estos focalizaran su atención en aspectos propios del instrumento tecnológico. También,se pensó en construir triángulos y luego superponer pero aparecen ciertas limitaciones delsoftware, además de necesitar otros conocimientos, como simetría axial, por parte de losalumnos que en esta instancia de formación en la que se encuentran no poseen.

Como consecuencia de lo anterior concluimos en que los alumnos realizarían una secuenciadidáctica para que construyeran los criterios de congruencia haciendo las actividades en lápizy papel. Una vez institucionalizados los criterios de congruencia y realizado varias actividadesaplicando los criterios, se les presentaría tres actividades para realizar utilizando el softwareGeogebra, la resolución de las mismas requiere utilizar algún criterio de congruencia sin queesto estuviera manifestado en el enunciado.

Cabe aclarar que, en el análisis didáctico se incluye las resoluciones correctas esperadas y lasincorrectas con posibles intervenciones para que el alumno pueda superar la dificultad.


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A continuación presentamos la secuencia didáctica llevada adelante en un 1er año de nivelsecundario, la describiremos en dos partes:

4.1 Primera parte

La primera actividad dada tuvo como propósito docente que los alumnos recordaran lasrelaciones que existen entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas poruna transversal, y los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.

1) Sea l // t, determina la medida de los ángulos interiores del triángulo XYZ y UVY.

La actividad 2 permite a los alumnos evocar la clasificación de triángulos según sus lados ysegún sus ángulos, además de explorar condiciones necesarias para construir un triánguloconociendo una terna de medidas del mismo. El trabajo matemático que realizará el alumnorequiere el uso de instrumentos de geometría. Siendo muy importante indicarle que antes deusar los instrumentos haga un bosquejo del triángulo que debe construir ubicando los datosdados, este dibujo no a escala se lo llama figura de análisis.

2) Construye, si es posible, con lasmedidas indicadas un triángulo porcada uno de los ítems y en caso deser posible, clasifícalos según suslados y ángulos:

a) c=5cm , <B=55° , <A=35°b) <C=40°,<B= 75 ° , <A=75°c) c=5cm, <B=40° , <A=100°d) c=8cm, b=8cm , <A=60°e) a=5cm, b=2cm, c=2cmf) a=6cm, b=4,5cm

Breve análisis didáctico de la actividad 2

Es posible construir el triángulo con las medidas indicadas en el inciso a).

Al realizar la figura de análisis puede ser que ubique uno de los ángulos dados en el lado quemide 5 cm. A continuación se muestra posibles figuras de análisis de cómo podrían ubicar losdatos dados.


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Debe darse cuenta que es necesario trazar un segmento y allí ubicar los ángulos dados yobservar dificultades para trazar el segmento de 5cm si traza primero los dos ángulos sobre unsegmento de medida cualquiera. Y que otra cosa obtiene si marca el segmento de 5cmprimero y uno de los ángulos.

Por ejemplo, trazar un segmento de medida cualquiera ubicar un ángulo prolongar el otro ladode 5cm y en el extremo de ese segmento marcar el otro ángulo, quedando como muestra lafigura e), que es igual a la a), pero cuando puse esa opción pensaba que trazaba el segmentode longitud de 5 cm y en cada extremo del segmento marcaba cada ángulo indicado.Si tenemos en cuenta los criterios:

CRITERIOS DE CONGRUENCIADos triángulos son congruentes si tienen, respectivamente congruentes:- los tres lados (primer criterio, que se indicará así: L-L-L)- un par de lados y el ángulo comprendido por ellos o el ángulo opuesto al lado mayor delos dados. (segundo criterio, que se indicará así: L-A-L)- un lado y par de ángulos (ambos adyacentes, o uno opuesto y otro adyacente al ladodado). (tercer criterio, que se indicará así: A-L-A)

El inciso a) nos acerca al tercer criterio de congruencia según el orden dado en el recuadro dearriba, es posible construir dos grupos de triángulos congruentes conociendo la medida de unlado y dos medidas de ángulos si se ubican de alguna de las siguientes formas:

Un lado y el par de ángulos adyacentes a ese lado, o

Un lado y uno de los dos ángulos opuestos a ese lado y el otro adyacente a ese lado.

A continuación la actividad que se propondrá a los alumnos como nro. 3


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3) En el último encuentro del año de grupos scout, se les propone crear, paraidentificarse y sumar algunos puntos, unos banderines en forma triangular. Elcoordinador de los grupos propuso un banderín de muestra, y lo lleva para que lo vean.Cada grupo, para ahorrar trabajo, decidió tomar un conjunto de tres datos del banderínoriginal, que tenía como medidas aproximadas para los lados las siguientes: 4 dm; 7,3dm y 8 dm y para los ángulos: 30º, 85º y 65º, para luego construirlo y recortarlo. Acontinuación está el banderín original con las medidas de lados y ángulos indicadas en elmismo.

Banderín original:

Figura 1

La tabla que se da a continuación2 muestra el conjunto de tres datos que tomó cada grupo deScout, construyan los banderines con las medidas escogidas en cada grupo, una vezconstruido lo tienen que recortar y superponerlo con el banderín original (figura 1). Estaactividad la pueden realizar en grupos de no más de cuatro integrantes. Indiquen si lostriángulos construidos son congruentes al banderín en la cuarta columna de la tabla.

GRUPOSCOUT

DATOS TRIANGULO OBTENIDO Es congruente albanderínSi o No

1 *30°*85°*65°

2 Aclaración: Se les da una tabla con los distintos datos tomados por los grupos scout para que cada grupo dealumnos construyan los triángulos. Luego, se les da el triángulo original, para que ellos superpongan y puedanir anotando con qué datos pueden construir uno congruente.


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2 *7,3cm*8cm* Ángulocomprendido 30°.

3 *8cm* 7,3cm* 4cm

4 *4cm*7,3 cm*Ánguloopuesto almenor 30°

5 *8cm*7,3 cm*Ánguloopuesto almayor 85°

6 *65°*30°*Ladoadyacente8cm

Luego de completada la tabla contesten las siguientes preguntas:a) ¿Qué grupos scout tomaron datos que no le permitieron ganar puntos? ¿Por

qué?

b) ¿Qué datos deberían de tener en cuenta los grupos scout para construirbanderines congruentes al original?

Análisis didáctico de la Actividad 3


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a) ¿Qué grupos scout tomaron datos que no le permitieron ganar puntos? ¿Porqué?

Rta: El grupo 1 y 4 obtuvieron triángulos diferentes, por lo que no obtuvieron puntos. Elgrupo 1 obtuvo un triángulo más chico(o más grande), es decir, tiene los mismos ángulospero distintos los lados. El grupo 4, obtuvo un triángulo con distinto lado y ángulo.

Algunas conjeturas que podrían aparecer:* Teniendo como datos los tres ángulos los triángulos no son congruentes* Teniendo como datos dos lados y el ángulo opuesto al menor, los triángulos no soncongruentesPodría surgir alguna situación de que el alumno no crea que sea así, por lo que se lo podríainvitar a construir nuevamente.

b) ¿Qué datos deberían de tener en cuenta los grupos scout para construirbanderines congruentes al original?

Rta: Guiándose por las construcciones que hicieron y comparando, podrían llegar a decir queobtuvieron triángulos congruentes, tomando como datos:

*Los tres lados.*Dos lados y el ángulo comprendido.*Dos ángulos y el lado adyacente.*Dos lados y el ángulo opuesto al mayor.

Entonces, remitiéndonos a la pregunta, los grupos scout deberían de tener en cuenta lomencionado.En este momento se debe hacer una puesta en común, para explicitar las conjeturas, ya sea enlas que se obtuvieron triángulos congruentes y en las que no. Para ello, se hará uso de la tabla.

A continuación las actividades que siguen con una breve descripción de la misma.

4) ¿Podrías construir dos triángulos diferentes sabiendo que sus ángulos interioresmiden 65°,65°, 50°? Si puedes constrúyalos.

Tal vez, este ejercicio podría dejarse de tarea. La idea es volver a estos conocimientosprovisorios que se vienen dando.


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Otra vez, la conjetura será que teniendo como datos los tres ángulos, los triángulos no soncongruentes, pues las medidas de los lados son distintas. Hasta ahora solo se puede decir quegráficamente, se puede ver, y si se superponen ambos triángulos no coinciden exactamente.(Argumentación débil).

5) Dados dos triángulos, con los siguientes datos:AB= 5 cm; BC= 3cm y B=65°.PQ=3 cm; QR= 5cm y P= 65°

¿Son siempre, a veces, nunca congruentes? En caso de ser a veces muestra un par detriángulos que lo sean y otro que no lo sean. Justifiquen su respuesta.

Rta:

Algunos alumnos se verán tentados a decir, que no son congruentes ya que de la construcción,visualmente parecen distintos. Uno como docente, podría intervenir, remitiéndolo a lorealizado anteriormente (ejercicio de los grupos scout) y apoyándose en las conjeturas que sesacaron, ver si se puede utilizar y decir si son congruentes o no. En concreto, el alumno podríadecir que son congruentes basándose en la conjetura de dos lados y el ángulo comprendido.Otros, podrán recortar y superponer, que es una manera de asegurar la congruencia, sinembargo uno podría pedir una justificación que no sea superponiendo, diciendo que capaz serecortó mal y justo dio congruente, esto no deja de ser una experiencia y puede existir laposibilidad de que el resultado se haya encontrado por casualidad ya que no se controla por eluso de propiedades geométricas.


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Estos triángulos no son congruentes, algunos van a superponer, y de alguna manera se verá lano congruencia, y otros van a intentar utilizar las conjeturas del ejercicio anterior, pero se vana encontrar con que los datos así puestos no alcanza para asegurar la congruencia. Acá esdonde uno debe pedir que escriban el porqué.

Podría surgir, esta construcción que no se puede realizar. El ángulo no puede estar opuesto allado de 3.

Otra situación que puede ocurrir es que puedan ver solo una manera de construir, entonceshabría que indicarle que pruebe construyendo cambiando los lados y el ángulo. Estaintervención está referida a la ubicación de los datos dados en el momento de construir.Este ejercicio, suponemos, le mostrará al alumno: de que se pida el “ángulo comprendido” enel criterio no es un detalle menor para que se cumpla la congruencia, y si no, se deberádecirlo.

Terminada esta etapa se estaría en condiciones de propiciar la institucionalización de loscriterios de congruencia a partir de lo producido por los alumnos.

CRITERIOS DE CONGRUENCIADos triángulos son congruentes si tienen, respectivamente congruentes:- los tres lados (primer criterio, que se indicará así: L-L-L)- un par de lados y el ángulo comprendido por ellos o el ángulo opuesto al lado mayor delos dados. (segundo criterio, que se indicará así: L-A-L)- un lado y par de ángulos (ambos adyacentes, o uno opuesto y otro adyacente al ladodado). (tercer criterio, que se indicará así: A-L-A)

Una vez establecidos los criterios se darán a los alumnos actividades con el objetivo de queutilicen algunos de los criterios para justificar las respuestas.

6) De una recta l, toma un segmento cualquiera , traza la mediatriz y desde unpunto C cualquiera de ella, une los extremos del segmento. ¿Cómo son entre si lasfiguras que se formaron? Fundamenta tu respuesta. ¿Qué podrías decir deltriángulo ABC?


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Primero, tiene que quedar clara la consigna para que todos realicen la misma construcción,además de lo que se quiere demostrar, seguramente se tendrá que recordar el concepto demediatriz.Luego de haber realizado la figura de análisis (figura 2), será importante discriminar los datosque ofrece el problema ya que lo visual será muy fuerte, y de esta manera justificar con laaplicación de algún criterio.

Figura 2

Solución 1: por ser C punto de la mediatriz de , por lo que ABC es isósceles.

Solución 2:En caso que no recordaran que los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos delsegmento AB. Podrían hacer el siguiente razonamiento:

por ser O punto medio de pues la mediatriz divide por la mitad a: Lado común

ˆ ˆ COA=COB=90° pues la mediatriz es perpendicular aPor el 2do. criterio (L-A-L) los triángulos CAO y COB son congruentes y ABC resulta ser untriángulo isósceles. Pues al ser los triángulos congruentes surge la congruencia de los ladosCA CB por lo que tenemos un triángulo isósceles.

Solución 3: En el intento de demostrar o validar su respuesta, es posible que algunosalumnos se vean tentados a utilizar lo que ven y usarlo como hipótesis, por ejemplo,CA CB. Entonces habría que intervenir y hacer hincapié en los datos que se tienen(hipótesis) y los elementos de los cuales no sabemos nada (lo que debemos demostrar).

En conclusión esperamos que en la carpeta quede escrito algo similar a lo siguiente:


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La actividad que se propone a continuación tiene el mismo objetivo que la anterior en cuantoal trabajo matemático que se espera que despliegue el alumno.

7) Dados ⃗ bisectriz de A C, AB OA y CB CO . Probar que:CB AB

En cambio la siguiente actividad propicia identificar si se cumple algunos de los criterios paradeterminar si son o no congruente los pares de triángulos indicados en cada inciso.

8) De los siguientes pares de triángulos, según los datos de las figuras, decir si sepuede asegurar su congruencia. En caso de poder asegurarse su congruencia,escribe el criterio que lo asegura y las tablas de lados y ángulos correspondientes.

En estos casos será importante identificar los datos que brindan las figuras de análisis e iranalizando qué criterios se pueden o no llegar a aplicar.

4.2 Segunda Parte

Nos llevó un tiempo considerable, definir las actividades que se presentarían a los alumnospara que las resolvieran usando el software Geogebra, seleccionamos varios problemas y losresolvimos sin usar el software, luego hacíamos variantes de las variables de la consigna y losresolvíamos usándolo, cuando veíamos que la resolución mediada por el softwaresimplificaba demasiado el problema propuesto este se descartaba. Haciendo este procesoquedaron tres problemas, de los cuales dos se extrajeron del Libro de la Matemática de 1eraño de Broitman y otros, editorial Santillana, la consigna original de ambos se presentaba asíen el texto y era para realizarlas con lápiz y papel:


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En cuanto al tercer problema surge del análisis de problemas que la OMA promueve a travésde los Clubes Cabri, uno de los integrantes se le ocurrió observando el gráfico del problema 3,nivel A, de 14ta Competencia de Clubes Cabri Ronda Final:

Construir la siguiente figura donde ACB 135°, 2 BC AC 4, BCD 60°, AC CD y E es el puntomedio de CD. Hallar la medida del ángulo ADB.

Enlace: http://www.oma.org.ar/enunciados/14ta3era.htm.

Dado que en el gráfico hay un punto C, él pensó que se podría desplazar para formar dostriángulos congruentes (y sin que exista el punto E que está en ese problema).Nuestro análisis nos hacía preguntarnos más cómo se presentaría la consigna para queresultara un desafío para los alumnos y al mismo tiempo que ellos vislumbraran que eraposible solucionarlo.Las consignas quedaron finalmente formuladas así:


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Primera actividadA continuación verán en pantalla la siguiente animación3.

a) Reproduzcan en su pantalla lo que acaban de ver: construyan el triángulocon los puntos y nombres dados de modo tal que puedan hacer la mismaanimación que vieron.

b) ¿Qué condición debe cumplir el punto J para que los triángulos GJK y JLIsean congruentes? Justificar.

c) Establecido el punto J como lo pide el punto anterior, ¿Cuál es la relaciónentre el área del paralelogramo JLKH y el triángulo GHI?

Segunda actividadSea un triángulo ABC cualquiera y sean E, D y F los puntos medios de los lados ,y respectivamente. Se trazan las medianas tal como se observa en la figura.

a) ¿Bajo qué condiciones los triángulos EBO y DOC son congruentes?Justificar.

b) Teniendo en cuenta el punto anterior, ¿Qué otros triángulos quedandeterminados congruentes?

Tercera actividada) Construir un triángulo isósceles ABC, hallar un punto interior D a dicho

triángulo, de modo tal que los triángulos ABD y BDC que quedandeterminados sean congruentes entre sí.

3 Mediante un proyector se muestra la figura y se movía el punto J sobre lado GI, los alumnos observaban alpunto J desplazarse como así también las rectas que pasaban por él, cada una de ellas paralela a uno de los otrosdos lados del triángulo GHI.


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4.2.1 Discusiones y análisis didáctico de la primera actividad

Al momento de explicitar la consigna a los alumnos surgen varias preguntas con respecto a lainformación que se les dará a los alumnos, por ejemplo si se les tiene que decir o no si sonparalelas las rectas que cortan los lados del triángulo.

Al ver la animación los alumnos tendrán posibilidad de notar cómo se mueven las rectas, yobservar algún tipo de relación para poder reproducirla en su pantalla. Esto nos hizo recordarlo que hacemos cuando trabajamos con lápiz y papel, se da la consigna y se les pide a losalumnos considerar el dibujo de referencia o hacerlo en caso que no haya un soporte grafico,generalmente se informa que se trata de determinado triángulo y si hay algún relaciónparticular entre rectas y lados por ejemplo paralelismo o perpendicularidad.

Por lo que consideramos que luego de hacer la animación, Romina hiciera o no algunaspreguntas. Suponemos que van a sospechar que la recta que contiene al segmento y el lado

son paralelas que no es una transversal cualquiera, se les podría preguntar ¿qué tipo detriángulo es GIH?, ¿esa recta que pasa por el segmento como es respecto al lado ? o ¿larecta que pasa por el segmento JL (KJ) como es respecto al lado GH (HI)? estas preguntas seharían para orientar que deben mirar en la animación para luego poder reproducirla. O nohacer ninguna pregunta y ver que se les ocurre hacer para lograr la misma animación. Si serealizan preguntas estas serían para ayudar al alumno en el mismo sentido o necesidad quetiene cuando se acompaña a una consigna con un dibujo de referencia e indica que es untriángulo rectángulo, o se explicita que “tal recta corta perpendicularmente a esta otra”, etc.J se mueve siempre sobre el segmento . Puede ocurrir que debido a una construcción queno respete las propiedades de la figura, J no pertenezca a ese segmento, o bien que las rectastrazadas no sean paralelas a los lados, que sean ubicadas “a ojo” en la pantalla sin usar elcomando adecuado del software. Durante la presentación de la figura debe quedar claro que elcuadrilátero JLHK es un paralelogramo, independientemente del tipo de triangulo GIH.

El problema que puede llegar a surgir es que cuando ellos construyan queden distintas letras,o en distinto orden. Hay que indicar que renombren los puntos para que sea más clara lapuesta en común.

- Una posible solución inicial sería ir moviendo el punto J hasta que visualmente lostriángulos se vean congruentes. En ese caso se les debe indicar que utilicen alguno delos criterios para justificar su respuesta.


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- Otra posible solución es que se den cuenta, al mover el punto J que este tiene que serel punto medio de , con lo cual podrían utilizar la herramienta punto medio paradeterminar un punto sobre el cual ubicarían el punto J.

- Otra posibilidad sería que no lo ubiquen exactamente pero se den cuenta de lapropiedad que debe cumplir J.

Posibles intervenciones:

Podrán deslizar el punto J de manera tal que los triángulos JLI y GKJ visualmentequeden congruentes entonces uno podría preguntar si se podría dar la ubicaciónexacta de J y como aseguramos que los triángulos son congruentes. Suponemosque los alumnos dirán que hay que aplicar alguno de los criterios vistos.

Partiendo de que J se debe ubicar en el punto medio podremos decir que lossegmentos GJ=JI y preguntarles qué otros datos se puede encontrar onecesitaríamos y aquí se podría sugerir que piensen en ángulos ya que se hantrazado paralelas o en el paralelogramo que queda formado JKHL.

Una vez decidido que J debe ser el punto medio deben fundamentar utilizando alguno de loscriterios.

Se cumple en ese caso lo siguiente: Segmentos congruentes: = por construcción. Ángulos congruentes: I L=J K por ser correspondientes entre paralelas Ángulos congruentes∶ G K=J L por ser correspondientes entre paralelas

Los alumnos usarían, en este caso, el criterio “ALA” para asegurar que los triángulos seancongruentes.

Quedaría para ellos hacer la tabla de lados y de ángulos.

Otra posible justificación es que utilicen que los segmentos y son congruentes por serK punto medio pero por haberlo observado en el Geogebra, sin justificarlo. E igualmente conla propiedad = podrían asegurar que los segmentos son congruentes por ser Lpunto medio de .

Una primera aproximación a la respuesta c) por parte de los alumnos podría ser mediante lautilización de la herramienta Geogebra “polígono” para determinar el área del paralelogramoy compararla con la del triángulo.

Otra posible solución sería trazar el segmento JH, como se muestra en la figura 3, y mostrarque quedan determinados dos triángulos congruentes. A continuación utilizando el segmentoJL se puede mostrar que los triángulos JLI y JLH tienen igual área, pues tienen igual base eigual altura. Por lo tanto el área del paralelogramo es dos veces el área del triángulo JLI, esdecir, la mitad del área del triángulo GHI.


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Figura 3

Trazando el segmento KL, se puede llegar a otra solución, ya que se puede mostrar que loscuatro triángulos obtenidos son congruentes (ver figura 4). Por lo tanto, como elparalelogramo ocupa dos de cuatro triángulos, equivale a la mitad del área total.

Intervenciones: “¿Por qué los cuatro triángulos son congruentes? Ya anteriormente sedemostró que los triángulos GKJ y JLI son congruentes, además es fácil también ver ydemostrar que los triángulos JKL y HKL también lo son”. Se podría sugerir demostrar lacongruencia entre los triángulos JLI y KHL, o algún otro par que se les ocurra y ayude.

Figura 4

A partir del trazado de este segmento, también se puede apreciar, que al realizar una rotacióncon centro en J del triángulo GKJ obtenemos el paralelogramo KHIK’ (ver figura 5), queposee la misma área que el triángulo original, y del cual el paralelogramo KHLJ correspondea la mitad.

Figura 5

4.2.2 Discusiones y análisis didáctico de la segunda actividad

Sea un triángulo ABC cualquiera y sean E, D y F los puntos medios de los lados, y respectivamente. Se trazan las medianas tal como se observa en la

figura.


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a) ¿Bajo qué condiciones los triángulos EBO y DOC son congruentes? Justificar.b) Teniendo en cuenta el punto anterior, ¿Qué otros triángulos quedan

determinados congruentes?

Una vez replicada4 la figura en la pantalla (figura 6), para buscar la congruencia entre lostriángulos EBO y DOC podrían mover uno de los vértices del triángulo ABC, puntos libres,dejando los otros dos fijos hasta poner “a ojo” dicha congruencia. Si utilizamos, por ejemplo,“C”, al moverlo hacia la izquierda conseguiremos que ABC sea isósceles, también podríasuceder que quede equilátero, habría que hacerles notar a los alumnos que es un casoparticular de un triángulo isósceles.De lo que se puede observar de la figura obtenida (figura 6), la condición que permitejustificar que los triángulos EOB y DOC sean congruentes es que el triángulo ABC debe serisósceles. Se deberá realizar la demostración usando los criterios de congruencia.

Figura 6Posibles demostraciones:I) En la figura 7 tenemos al triángulo isósceles, donde | | = | |, y

son medianas por lo que D y E son puntos medios de esos lados iguales,tenemos que | | = | | = | | = | |- E B = D C por ser ángulos opuestos por el vértice.- Se sabe que es mediana, por ser dato de la consigna, como ABC es un triángulo

isósceles, resulta que por el criterio L-L-L, los triángulos FAB y FAC soncongruentes, por lo tanto también es bisectriz de

- es mediatriz del segmento , por lo que | | = | |, podemos afirmar que eltriángulo BOC es isósceles.

- Al ser BOC un triángulo isósceles, los ángulos y son congruentes. Como= por ser el triángulo ABC isósceles; se concluye que = .- Usando el criterio L-A-L, los triángulos EOB y DOC son congruentes.

4 Recordar que los alumnos tenían la consigna en formato digital.

Figura 7


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A partir de las anteriores premisas, puede surgir más de un criterio que permite justificar quelos triángulos DOC y EOB son congruentes. Como lo narramos a continuación:II) Partiendo de que ABC es un triángulo isósceles donde | | = | |y por ser D y E punto medio, respectivamente,resulta que | | = | |.

- Sabiendo que es mediana y el triángulo ABCes isósceles resulta que también es mediatriz delsegmento , y podemos afirmar que | | =| | y | | = | |. Como se señala en la figura8.

Por el criterio L-L-L, se concluye que lostriángulos DOC y EOB son congruentes, que es loque se quería probar.

III) También se podría demostrar que lostriángulos DOC y EOB son congruentes por el criterio A-L-A, se tiene como premisas que

= , = (ver premisas de la demostración I) y se podría justificar que C O =E B a partir de la congruencia de triángulos DCB y CEB. Esta posible solución puederesultar más compleja ya que, previamente, requiere de la congruencia de dos triángulos quepueden resultar difíciles de identificar visualmente.

Dando respuesta el ítem b) de la actividad, teniendo en cuenta el punto anterior, se puedeafirmar que los triángulos FOB y FOC son congruentes ya que son dos mitades del triánguloisósceles BOC.

Por otro lado, analizando a los triángulos AOD y AEO, tenemos que es lado común, losángulos son congruentes por ser el segmento la bisectriz de B C. Además,por construcción | | = | | , y dado que sus puntos medios son respectivamente D y E;podemos afirmar | | = | | . Por lo tanto, por el criterioL-A-L, podemos afirmar que los triángulos analizados son también congruentes.

También, se puede demostrar la congruencia de los triángulos DCB y CEB, por el criterio L-A-L, ya que = , pues ABC es un triángulo isóscelesy D y E punto medio de y AC, respectivamente; es lado común y E C=D B.

Se podría demostrar la congruencia de AEC y ADB mediante el criterio L-A-L, pues | | =| | ó ; | | = | | por ser D y E puntos medios de dichos lados yB C el ángulo común.

4.2.3 Discusiones y análisis didáctico de la tercera actividad3) Construir un triángulo isósceles ABC, hallar un punto interior D a dicho

triángulo, de modo tal que los triángulos ABD y BDC que quedan determinadossean congruentes entre sí.

Figura 8


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4) En caso que el triángulo ABC del punto 3 no fuera isósceles, ¿es posibleencontrar un punto D cualquiera, de modo tal que los triángulos ABD y BDC quequedan determinados sean congruentes entre sí?

En la formulación de la actividad 3) estuvo en dilema si se decía: “Construir un triánguloescaleno ABC” o “Construir un triángulo isósceles ABC”Si le decíamos escaleno, tendrían que darse cuenta, que | | = | | y | | = | |

Si consideramos hacer el punto 3, sin aclarar qué tipo de triángulo deben construir, puedenhacer un isósceles o un escaleno acutángulo.Supongamos que construye un triángulo escaleno acutángulo y ubica el punto D, como lasiguiente imagen:

Al marcar el punto D y traza segmentos para definir los triángulos pedidos ADB y CDB. Elalumno estará tentado en mover el punto D y “a ojo” establecer cuando ambos triángulosquedan supuestamente congruentes. ¿Cuál es la pregunta o preguntas que debe formular eldocente para que los alumnos validen la respuesta?

Al mover el punto D, los alumnos pueden anticipar que debe ser bisectriz del .Además de ser lado común de ambos triángulos. En la pantalla podría estar viendo esto:


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Si esta activo la vista algebraica, pueden ver que las áreas5 de ambos son prácticamenteiguales, e infieran que son congruentes porque además visualmente se perciben iguales.

Puede ser que ante esto alguno infiera que para determinar que dos triángulos seancongruentes se debe verificar uno de los criterios de congruencia, solo tiene información deun ángulo y de un lado de ambos triángulos. Y podría este supuesto alumno tentarse a decirque el tercer dato son que los lados y son de igual medida, puede que se les ocurraencontrar la medida, si lo hicieran el software informaría que | |=4,45 y que | |=5,09esto les mostraría que son víctimas de una ilusión óptica.

Si lo anterior fuera expuesto por un grupo en la puesta en común será conveniente que:

- Observen que si dos triángulos tienen la misma área esto no es suficiente paradecir que son congruentes. Mostrando un contraejemplo.

- Que el triángulo ABC lo construyeron arbitrariamente por lo que podrían construirotro triángulo ABC de modo tal que los lados y sean congruentes.

- E instalar en el grupo en caso que se haya dado lo anterior, ¿es posible hacer otramodificación que no sea alterar al triángulo ABC construido originalmente? Y ahíestaríamos frente a la consigna de la actividad 4.

Con lo dicho anteriormente llegamos a la conclusión de que la consigna pidiera laconstrucción de un triángulo isósceles sin indicar cuáles eran los lados congruentes

5 Polígono2 y Polígono3.


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5. CONCLUSIONES

Los que participamos en la elaboración de esta secuencia didáctica, tenemos distintasexperiencias con respecto a llevar adelante propuestas didácticas, por un lado profesores conmás de 20 años de experiencia, profesores noveles que tienen a lo más tres años de actividaddocente y una alumna avanzada del Profesorado. Por lo que las discusiones fueroninteresantes para formular las consignas de actividades que se realizaban con el softwareGeogebra. Más de una vez las posturas conservadoras en cuanto a cómo desarrollar las clasesvinieron de los jóvenes integrantes del grupo.

Las actividades a realizar con el software son diferentes a la que figuran en los libros de texto,al tener la posibilidad de manipular la construcción, las preguntas que se pueden formulartienen que permitir al alumno buscar relaciones que se visualizan cuando se mueve algunaparte de la construcción, y que están ocultas cuando la imagen con la que se trabaja esestática.

Podemos adelantar que el trabajo de los alumnos alrededor de la validación de sus conjeturasfue fructífero y alentador para futuras implementaciones. Lo que nos alienta a seguirdiseñando secuencias mediadas por un software, como puede ser el Geogebra, sin abandonarel quehacer propio de la matemática.

AGRADECIMIENTOS

Se agradece a los directivos de Poplars School, al profesor de Informática y a los alumnos deprimer año que nos permitieron llevar a cabo la investigación.

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enseñando geometría utilizando el software dinámico …

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