ENSAYO ENT # 2 DENSIDADES DE PROBABILIDAD

Distribución Normal Distribución gamma exponencial

Distribución uniforme discreta

UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA GRAN MARISCAL DE AYACUCHO

DECANATO DE POSTGRADO COORDINACION DE POSTGRADO

NUCLEO EL TIGRE MAESTRIA EN INGENIERIA DE MANTENIMIENTO

CONFIABILIDAD Y SEGURIDAD INDUSTRIAL CATEDRA: ESTADISTICA

EL TIGRE, JUNIO 2016

Maestrenses:

Ing. Sheyla Caraballo C.I. 11.658.645 Ing. Robert Richter C.I 15.845.751 Ing. Francis Cairo C.I 18.229.245

Facilitadora: MSc. Carlena Astudillo

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DISTRIBUCION NORMAL - Ing Sheyla Caraballo

La distribución normal es un caso de probabilidad de variable aleatoria continua, que fue

reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) desarrolló estudios más profundos y

formuló la ecuación de la curva; también se le conoce como la "Campana de Gauss".

La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos

parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ) y es considerada la distribución de

probabilidad más importante y usualmente utilizada en áreas tales como: psicología,

biología, economía y finanzas, astronomía, salud, ciencias sociales y administrativas,

ingeniería y seguridad industrial.

Características de una distribución de probabilidad normal y la curva normal que la

representa:

La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la

distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la

distribución son iguales y se localizan en el pico.

La mitad del área bajo la curva viene determinada por la línea perpendicular que

parte desde el pico de la curva hasta el área central del eje de las equis X.

La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.

La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor

central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al

eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de

manera indefinida en ambas direcciones.

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Importancia de la distribución normal

Su importancia radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales

y psicológicos. También es importante por su relación con la estimación por mínimos

cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de

la normal son:

Caracteres morfológicos de individuos como la estatura;

Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo

de individuos;

Caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

Nivel de ruido en telecomunicaciones;

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes, entre otros.

Para indicar que una variable aleatoria (v.a.) sigue una distribución normal de media (µ) y

desviación estándar (σ) usaremos la expresión: X ∼ N(µ,σ). Su gráfica es la campana de

Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al

ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y

otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

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Función de densidad de probabilidad: La probabilidad de que una variable aleatoria

(v.a.) X tome un valor determinado entre dos números reales a y b coincide con el área

encerrada por la función:

σ

O bien, función de densidad de probabilidad entre los puntos a y b, es decir:

Como podemos observar en la gráfica, la distribución normal es simétrica respecto de su

media µ.

El área total encerrada por f(x) vale 1, i.e.:

• Al ser X v.a. continua, P(X=a) será igual a:

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Distribución normal estándar:

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el

valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y

para calcularla utilizaremos una tabla.

Es importante saber que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una

“familia” de ellas y cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una

desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es

ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada

combinación de µ y σ. Es por ello, que se utiliza un solo “miembro” de la familia de

distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que

se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones

normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y

dividiendo por la desviación estándar.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una

distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Para ello primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar

utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor

seleccionado, designado X y la media µ, dividida por la desviación estándar σ.

Formalmente, si X ~ N(µ,σ) , entonces la v.a. Z = (X − µ) / σ , se distribuye según una

normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ~ N(0,1) , que es la distribución llamada

normal estándar o tipificada.

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De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media

aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor Z utilizando la

expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva

normal haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas

correspondientes. Así pues, para averiguar el área anterior utilizaremos la tabla que

encontraremos al final de este apartado. Dicha tabla nos proporciona la probabilidad de

que la v.a. normal estándar Z tome un valor situado a la izquierda de un número k, i.e.:

P(Z≤k). En otras palabras, esta tabla nos da el valor del área encerrada por f(x) entre -∞ y

k

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada. Estas

probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de distribución normal N(0,1) el valor de k

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

Centésimas en la fila de arriba.

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P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

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P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

Ejemplo:

P(Z<1,52) = (ver tabla)= 0,9357

P(Z>1,52) = (área total = 1) = 1 – P(Z<1,52) = 0,0643

P(0<Z<1,52) = P(Z<1,52) – P(Z<0) = {simetría} = 0,9357 – 0,5000 = 0,4357

P(-2,1<Z<0)= P(Z<0) – P(Z<2,1) {sim+tabla} = 0,5000 – 0,0179 = 0,4821

Por otra parte, denotemos por z(α) aquel número real tal que P[Z>z(α)] = α

Por ejemplo:

z(0,25) = nº que deja un área de 0,25 a su derecha = {tabla} ≈ 0,675 ya que P(Z<0,67) =

0,7486 y P(Z<0,68) = 0,7517.

Si queremos calcular un nº real c tal que P(-c<Z<c) = 0,95, nos interesa hallar z(0,025)

{ver gráfico inferior}. Según la tabla, c = z(0,025) = 1,96 ya que P(Z<-1,96) = 0,975 y P(Z<-

1,96) = 0,025.

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Supongamos ahora que X ∼ N(100,16) .

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la variable X tome un valor entre 100 y 115? :

b) ¿Cúal es la probabilidad de que X tome un valor mayor de 90? :

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DISTRIBUCION GAMMA EXPONENCIAL – Ing. Robert Richter

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa el número de

resultados que suceden durante un intervalo de tiempo dado, o una región específica,

recibe el nombre de distribución de Poisson, con parámetro λ Mientras que la distribuc ión

de probabilidad de la variable aleatoria que representa el tiempo, hasta que se produce α

a veces un determinado suceso, se llama distribución Gamma (ésta es una manera de

describir a la distribución gamma), con parámetros α y β.

La relación esencial entre las distribuciones anteriormente mencionadas, sucede cuando

el parámetro de la distribución gamma, α es un entero positivo cuando esto sucede, la

distribución gamma es también llamada distribución de Erlangy el número de eventos

aleatorios independientes que suceden en un intervalo específico es una variable de

Poisson, con una frecuencia constante de ocurrencia igual a α y β.

La distribución exponencial describe el tiempo hasta la primera ocurrencia de un evento

de Poisson. Así, las aplicaciones más importantes de esta distribución son aquellas

situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson. En la distribución de Poisson λ es

el número promedio de eventos por unidad de tiempo, mientras que en la Distribución

exponencial es la tasa de ocurrencia de un evento por unidad de tiempo.

Es primordial informar que esta distribución no solo radica en presentar la relación final

entre las distribuciones Poisson y gamma, la cual brinda un grano de arena en el proceso

de observar y/o analizar de mejor manera el propósito y la estructura de la teoría de

probabilidad, sino que también es relevante reconocer o recordar que Las propiedades, y

demás aspectos, que tiene cada una, para efectuar un mejor estudio y uso de éstas.

Aunque la distribución normal se puede utilizar para resolver muchos problemas en la

ingeniería y las ciencias, hay numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de

funciones de densidad. Tal es el caso de las distribuciones gamma y exponencial. Estas

distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de confiabilidad. Los tiempos

entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempos de fallas de partes componentes y

sistemas eléctricos, frecuentemente son bien modelados mediante la distribución

exponencial.

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•La distribución gamma deriva su nombre de la conocida función gamma, que se estudia

en muchas áreas de la matemática.

•La función gamma se define como

Algunas propiedades de la función gamma:

Estas propiedades se pueden verificar integrando por partes.

•La v.a.c. X tiene distribución gamma, con parámetros α>0 y α >0, si su función de

densidad está dada por:

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Distribución gamma

La distribución gamma especial para la que α=1 se llama distribución exponencial.

•La v.a.c. X tiene distribución exponencial, con parámetro α >0, si su función de densidad

está dada por:

La distribución acumulada de esta distribución es muy útil para el cálculo de las

probabilidades, en efecto

La media y la varianza de la distribución gamma son:

μ=αß y σ2=αß2.

Aplicaciones de la Exponencial y la Gamma

Sea X el número de componentes que funcionan después de ocho años. Entonces

Distribución gamma tiene aplicaciones importantes en tiempos de espera y teoría de

confiabilidad. Mientras que la distribución exponencial describe el tiempo hasta la

ocurrencia de un evento de Poisson (o el tiempo entre eventos de Poisson), el tiempo (o

espacio) que transcurre hasta que ocurre un número específico de eventos de Poisson es

una v.a. cuya función de densidad es una gamma.

El número específico de eventos es el parámetro α en la función de densidad gamma. Así

es fácil comprender que cuando α=1, ocurre el caso especial de la distribución

exponencial.

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La función gamma se puede desarrollar de su relación con el proceso de Poisson de la

misma manera en que lo hicimos con la densidad exponencial.

Ejemplo Supongamos que las llamadas telefónicas que llegan a una central siguen un

proceso de Poisson con un promedio de cinco llamadas que llegan por minuto. ¿Cuál es

la probabilidad de que pase más de un minuto hasta que lleguen dos llamadas a la

central?

El proceso de Poisson se aplica al tiempo que pasa hasta la ocurrencia de dos eventos de

o en

minutos que transcurre antes de que lleguen dos llamadas a la central. Entonces:

La falla de equipo, a menudo se ajusta al proceso de Poisson, ß se llama tiempo medio

entre fallas.

Otras aplicaciones incluyen tiempos de sobrevivencia en experimentos biomédicos y

tiempos de respuesta de computadoras.

Ejemplo: Supongamos que un sistema tiene cierto tipo de componentes cuyos tiempos de

fallas en años está dado por T. La v.a. T se modela bien mediante la distribución

exponencial con tiempo medio para la falla ß=5. Si se instalan cinco de estos

componentes en distintos sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos aún

funcionen al final de ocho años?

La probabilidad de que un componente dado aún funcione después de ocho años está

dada por La función gamma se puede desarrollar de su relación con el proceso de

Poisson de la misma manera en que lo hicimos con la densidad exponencial

Ejercicio de distribución gamma discreta binomial

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa

eléctrica, Inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los

alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,

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a) ninguno esté defectuoso

b) uno salga defectuoso

c) al menos dos salgan defectuosos

d) más de tres estén con defectos

e) no más de tres estén con defectos.

Solución usando tablas binomiales:

A) P(x=0) =b(x=0;n=10,p=0.20)= 0.1074

B) P(x=1) =b(x=1;n=10,p=0.20)= 0.2684

C) P (x≥2)=1-P(x≤1)=1-B(x≤1;n=10,p=0.20)=1-[0.1074+0.2684]=1

0.3758=0.6242

D) P (x≥3)=1-P(x≤2)= 1-B(x≤ 2;n=10,p=0.20)=1 [0.1074+0.2684+0.3020]=1-

0.6778=0.3222

E) P (x≤3)= B(x≤3;n=10,p=0.20)= 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013=

0.8791

Solución usando Excel 10 obtuvimos los siguientes resultados

a) DISTR.BINOM.N (0, 10,0.20, FALSO)=0.10737≡0.1734

b) DISTR.BINOM.N (1, 10,0.20, FALSO)=0.26844≡ 0.2684

c) 1-DISTR.BINOM.N (1, 10,0.20, VERDADERO)=1

-0.3758=0.6242

d)1 -DISTR.BINOM.N (2, 10,0.20, VERDADERO)=1 –0.6778=0.3222

e) DISTR.BINOM.N (3, 10,0.20, VERDADERO)=0.8791

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DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA – Ing. Francis Cairo

Distribución Uniforme discreta (a, b)

Es una distribución muy sencilla que asigna probabilidades iguales a un conjunto finito de

puntos del espacio.

Modeliza fenómenos en los que tenemos un conjunto de n sucesos posibles, cada uno de

los cuales con la misma probabilidad de ocurrir. Si aleatorizamos de forma que cada uno

de éstos sucesos se corresponda con un número natural del 1 al n obtendremos una

distribución uniforme. Tendremos un único parámetro; n Diremos, por tanto que

Puede hacerse derivar en consecuencia de un proceso experimental de selección

aleatoria, en el que la característica que consideramos en la selección sólo puede tomar

un conjunto de n valores discretos y donde cualquiera de estos valores puede obtenerse

con igual probabilidad.

Por su elementaridad no es una distribución de excesivo interés práctico.

Su función de cuantía definida para los valores de x ={ 1, 2, , n} vendrá dada por la

constante:

P(x) = l /n para x ={ 1, 2, , n}

Su función de distribución vendrá dada por

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Puede comprobarse que su media será

su varianza será :

Función Generatriz de Momentos, quedará expresada como

Características de la distribución uniforme discreta

- En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada uno

de sus valores con idéntica probabilidad.

- El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la

inversa de los valores que puede tomar la variable aleatoria.

- La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al lanzar dos monedas

legales sigue una probabilidad de distribución uniforme.

- La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), siempre coincide con uno de

los valores de la misma observados en el experimento.

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- La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), no depende del número

de valores que pueda tomar la variable.

Un caso particular de esta distribución, que es la que, ocurre cuando los valores son

enteros Consecutivos. Esta distribución asigna igual probabilidad a todos los valores

enteros entre el límite inferior y el límite superior que definen el recorrido de la variable. Si

la variable puede tomar valores entre a y b, debe ocurrir que b sea mayor que a, y la

variable toma los valores enteros empezando por a, a+1, a+2, etc. hasta el valor máximo

b

Por ejemplo, cuando se observa el número obtenido tras el lanzamiento de un dado

perfecto, los valores posibles siguen una distribución uniforme discreta en {1, 2, 3, 4, 5, 6},

y la probabilidad de cada cara es 1/6. Valores:

X: a, a+1, a+2,..., b, números enteros

Parámetros:

a: mínimo, a entero

b: máximo, b entero con a < b

Ejemplo

Un ingeniero estima inicialmente que el tiempo -en minutos- de maquinado de una pieza

se modela con una distribución uniforme (10,20). Calcula la probabilidad de que:

Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos.

La distribución uniforme tiene una función de probabilidad de:

F (x) =

˭ F (x) ˭

Y de probabilidad acumulada

Formula: F(x) =

F(x) =

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Que representa p (x ≤ x)

En este caso

P(x ≤ 14.5)

Sustituyendo los valores en la formula nos queda que:

F (14.5) =

La probabilidad de que Una pieza sea maquinada en menos de 14.5 minutos

ES DE 0.55

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REFERENCIAS

Libros:

Doménech JM. Barcelona: (1997).Métodos Estadísticos en Ciencias de la Salud. John B. Kennedy y Adam M Neville. (1982). Mexico. Estadistica para ciencias e

ingeniería. Martín Pliego FJ, Ruiz-Maya L. (1997). Mexico. Estadística I: Probabilidad. Editorial AC Meyer PL. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas (1986). México: Addison-Wesley

iberoamericana. Morrison (1956). New York. Foundations of the Theory of Probability. Peña D. (1993).

Madrid. Modelos y métodos. 1. Fundamentos Alianza Universidad Textos Katz DL. (1997). USA Epidemiology, Biostatistics and Preventive Medicine Review: W.B.

Saunders Compaña;. Documentos en línea:

Alizo, M. Y Otros (2.010). Gestión económica vinculada con la innovación y adquisición de tecnología en los emprendimientos emergentes de negocio tipo PYME. [Artículo en línea]. Documento en línea Disponible: http://www.redalyc.org/pdf/290/29016318007.pdf [Consulta 2015: Febrero 13]

Distribucion de probabilidades Epidat 3. [Artículo en línea]. Disponible:

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/folder/view.php?id=55273 Hospital Ramón y Cajal. Material docente de la unidad de bioestadística clínica. Disponible en: http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html