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EEngineering Mathematics IIngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9th Edition, Wiley (2006)

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, andand TransformsTransforms

11.1 Fourier Series

11.2 Functions of Any Period p=2Ly p

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

11 4 Complex Fourier Series11.4 Complex Fourier Series

11.5 Forced Oscillations

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials

11.7 Fourier Integral

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms

2

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, andand TransformsTransforms

11.1 Fourier Series

11.2 Functions of Any Period p=2Ly p

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions

11 4 Complex Fourier Series11.4 Complex Fourier Series

11.5 Forced Oscillations

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials

11.7 Fourier Integral

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms

3

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, , g ,, g ,andandTransformsTransforms

주기현상의 예 : 모터, 회전 기계, 음파, 지구의 운동, 정상 조건하의 심장

푸리에 급수는 상미분 방정식과 편미분 방정식을 수반하는 문제를푸리에 급수는 상미분 방정식과 편미분 방정식을 수반하는 문제를해결하는 데 매우 중요한 도구이다.

푸리에 급수의 실용적 관심대상 : 불연속적(Discontinuous)인 주기함수

내용 : 푸리에 급수의 개념과 기법, 푸리에 적분(Fourier Integrals),

푸리에 변환(Fourier Transform)

우리 주변에서 푸리에 급수는 매우 다양하게 이용됨:파동의 간섭현상을 이용하여 소음도 없앨 수 있음. 예를 들어 여객기 밖은 엔진소음으로 매우 시끄럽지만 안은 조용할 수 있는 것은 엔진의 소음과 같은 주진소음으로 매우 시끄럽지만 안은 조용할 수 있는 것은 엔진의 소음과 같은 주파수를 가지고 위상만 반대인 소음을 발생시켜 소음을 상쇄시키는 푸리에 급수 원리 덕분에 가능

1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))

주기함수(Periodic Function)

( ) ( )

대하여에모든존재해서가양수어떤

정의대하여에실수모든

ff

x

∗

∗

( ) ( )

( ) ( ) .)Period( , )Function (Periodic

,

라한다주기의를하고라주기함수를

대하여에모든존재해서가양수어떤

xfpxf

xfpxfxp

⇔

=+∗

•

•

xx cos ,sin : 예주기함수인

xxexxx x ln ,cosh , , , , : 32예아닌주기함수가

성질

•

•

( ) ( ) ( ) ( )L, , , nxfnpxfxpxf 321 , ==+대하여에모든이면주기가의함수

( ) ( ) ( ) ( )( ) . , , 이다주기도의상수임의는이면주기가의와 pbaxbgxafpxgxf +


삼각급수(Trigonometric Series)

• 삼각함수계(Trigonometric System)

LL ,sin ,cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1 nxnxxxxx

• 삼각급수(Trigonometric Series)

( )sincos2sin2cossincos 022110 L nxbnxaaxbxaxbxaa nn∑∞

++=+++++ ( )

. )nts(Coefficie 22110

1022110

한다라계수을상수 L,b,a,b,a,a

nnn∑

=

• . 2 주기함수이다인주기가합은그수렴한다면삼각급수가 π

1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))푸리에 급수(Fourier Series)

일러 식( )

( )∑∞

=

++=1

0 sincos)(n

nn nxbnxaaxf• 오일러 공식(Euler Formulas)

( )21

0 = ∫ dxxfaπ

π

( ) L ,2 ,1 ,cos1

2

== ∫

−

nnxdxxfan

π

π

π

π

π

( ) L ,2 ,1 ,sin1== ∫

−

−

nnxdxxfbn

π

π

π

π

π

• 푸리에 계수(Fourier Coefficients) : 오일러 공식에 의해 주어진 값

푸리에 급수(F i S i ) 푸리에 계수를 갖는 삼각급수

π

• 푸리에 급수(Fourier Series) : 푸리에 계수를 갖는 삼각급수

1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))Ex.1 주기적인 직사각형파(Rectangular Wave)

푸리에 계수를 구하라.

( )

역학시스템의 외부에서 가해지는 힘이나, 전기회로에서의 기전력 등이 이런 종류의 함수이다.

( ) ( )( ) ( ) ( )xfxf

xkxk

xf =+⎩⎨⎧

<<<<−−

= ππ

π2

00

이고


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0

0

0

0

0

=∴=+=⋅−=⋅=∗ ∫∫∫∫∫−−−

adxxfdxxfdxxfkdxxfkdxxfπ

ππ

ππ

π

ππ 이므로이고

π

( ) ( ) ( ) 0 0cos . cos cos =∴=⇒∗ ∫−

nadxxxfxxfxxfπ

기함수이다는우함수이므로가기함수이고가

( ) ( )∗ 우함수이다는기함수이므로가기함수이고가 . sin sin xxfxxf

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−

==== ∫∫∫− 짝수이

홀수이

0

4cos12cos2sin2sin2sin1

000 n

nn

kn

nk

nnxknxdxknxdxxfnxdxxfbn ππ

πππππ

ππππ

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++∴ Lxxxk 5sin

513sin

31sin4 :

π급수푸리에

1111114 ππ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ kkf

4531

531

2π

ππ

=+−+−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

LLkkf

1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))1111.1 .1 Fourier SeriesFourier Series ((푸리에푸리에 급수급수))Ex.1 주기적인 직사각형파(Rectangular Wave)

푸리에 계수를 구하라.

( )


( ) ( )( ) ( ) ( )xfxf

xkxk

xf =+⎩⎨⎧

<<<<−−

= ππ

π2

00

이고


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0

0

0

0

0

=∴=+=⋅−=⋅=∗ ∫∫∫∫∫−−−

adxxfdxxfdxxfkdxxfkdxxfπ

ππ

ππ

π

ππ 이므로이고

( ) 0 0cos * =∴=∫−

nadxxxfπ

π

⎧ 4k( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=−

====∗ ∫∫∫− 짝수이

홀수이

0

4cos12cos2sin2sin2sin1

000 n

nn

kn

nk

nnxknxdxknxdxxfnxdxxfbn ππ

πππππ

ππππ

π

⎞⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++∴ Lxxxk 5sin

513sin

31sin4 :

π급수푸리에

1111114 ππ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ kkf

4531

531

2π

ππ

=+−+−⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

LLkkf


• 함수 f(x)가 x=0과 x=π에서 불연속이므로, 모든 부분합은 이 점에서값이 0이 되며 이 값은 극한값인값이 0이 되며, 이 값은 극한값인–k와 k의 산술평균임.


( )∫π

. 직교한다에서구간계는삼각함수 ππ ≤≤− x 직교성 계의 삼각함수

( )

( )mndxmxnx

mndxmxnx

≠=

≠=

∫

∫−

0sinsin

0coscos

π

π

Prove!( )

( )mnmndxmxnx =≠=∫

∫

−

−

0cossin 또는π

π

πProve!

푸리에 급수에 의한 표현

π

주기함수인주기가 2 ∗ π

( ) ( ) 갖는다를우도함수와좌도함수점에서각

구분연속에서구간

. Derivative hand-Right Derivative hand-Left

)Continuous (Piecewise πx-π

∗

≤≤∗

( )

( )합급수의점에서모든제외한점을불연속인

합급수의

수렴한다급수는푸리에의

.

xf

xf

=∗

⇒

( )( ) 평균극한의우과좌극한의합급수의점에서불연속인

합급수의점에서모든제외한점을불연속인

xf

xf

=∗

=∗


PROBLEM SET 11.1

HW 16 28 29HW: 16, 28, 29

1111.2 Functions.2 Functions of Any Period p=2L of Any Period p=2L y py p((임의의임의의 주기주기 p=2Lp=2L을을 가지는가지는 함함수수))

( ) ( ) sincos : 2 1

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++== ∑

∞

=x

Lnbx

LnaaxfxfLp

nnn

ππ급수푸리에의주기함수인주기

( ) ( )

1

21 : 0 = ∫

−

xn

dxxfL

axf

L

L

L

π

계수푸리에의

( )

( ) L

L

21 sin1

,2 ,1 ,cos1

==

==

∫

∫−

ndxxnxfb

ndxL

xnxfL

a

L

Ln

π

π

( ) ,2,1 ,sin ∫−

ndxL

xfL

bL

n


Ex.1 주기적인 직사각형파 f(x)푸리에 계수를 구하라.

( )( )( ) 2 ,42 11

120===

⎪

⎪⎨

⎧<<−−<<−

= LLpxkx

xf x0 21—2 —1

k

( )210⎪⎩ << x

( )2

241

41

41

1

1

2

20 ∫∫ =⋅===∗

kkkdxdxxfa

( ) ,9 ,5 ,1 2 0

2sin2

2cos

21

2cos

21

12

12

∫∫

−−

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=====∗ n nkn

nkdxxnkdxxnxfa πππ짝수이

L( )

( ) ( )sinsin

,11 ,7 ,3 2

,,,22222 12

∫∫−−

∗

⎪⎪⎪

⎩

⎨

=−

n

xnfxnf

nn

knn

f

πππ

ππ

기함수이다는기함수이므로는우함수이고는

L

( ) ( )

( ) 0 02

sin

. 2

sin 2

sin

2

2∫−

=∴=⇒

∗

nbdxxnxf

xfxf

π

기함수이다는기함수이므로는우함수이고는

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+=∴ Lxxxkkxf

25cos

51

23cos

31

2cos2

2 : πππ

π급수푸리에


Ex.1 주기적인 직사각형파 f(x)푸리에 계수를 구하라.

( )( )( ) 2 ,42 11

120===

⎪

⎪⎨

⎧<<−−<<−

= LLpxkx

xf x0 21—2 —1

k

( )210⎪⎩ << x

( ) 2111 12

∫∫kkkddf ( )

0

22

444

120 ∫∫

−−

⎪⎪⎧

=⋅===∗

n

kkdxdxxfa

짝수이

( )

,11 ,7 ,3 2

,9 ,5 ,1 22

sin22

cos21

2cos

21

1

1

2

2∫∫−−

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

=−

=====∗ n

nk

nn

knn

kdxxnkdxxnxfaπ

ππ

ππ

L

L

짝수이

( ) 0 02

sin 2

2∫−

=∴=∗

⎪⎩

nbdxxnxf

nπ

π

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+=∴ Lxxxkkxf

25cos

51

23cos

31

2cos2

2 : πππ

π급수푸리에


Example 2

Example 3


PROBLEM SET 11.2

HW 13 16HW: 13, 16

1111.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. HalfFunctions. Half--RangeRangeExpansions Expansions ((우함수와우함수와 기함수기함수. . 반구간반구간 전개전개))

푸리에 코사인 급수, 푸리에 사인 급수푸리에 사인 급수, 푸리에 사인 급수

•

( )

2 :

∑∞ nf

L

π

급수푸리에우함수의인주기가Series) Cosine(Fourier 급수 코사인 푸리에

( )

( ) ( ) L ,2 ,1 ,cos2 ,1

cos

0

10

===

+=

∫∫

∑=

nxdxL

nxfL

adxxfL

a

xL

aaxf

L

n

L

nn

π계수푸리에

•

( ) ( )00

0 ∫∫ Lf

Lf

L n

( )

2 : ∞ n

L

π

급수푸리에기함수의인주기가Series) Sine(Fourier 급수 사인 푸리에

( )

( ) L21sin2

sin 1

==

=

∫

∑=

nxdxnxfb

xL

nbxf

L

nn

π

π

계수푸리에 ( ) ,2 ,1 ,sin 0∫ nxdx

Lxf

Lbn계수푸리에

합과 스칼라곱

• 함수의 합의 푸리에 계수는 각각에 해당하는 푸리에 계수의 합과 같다함수의 합의 푸리에 계수는 각각에 해당하는 푸리에 계수의 합과 같다.

• . 같다것과곱한를계수에푸리에해당하는에계수는푸리에의함수 cfcf


Ex. 3 톱니파(Sawtooth Wave)

푸리에 급수를 구하라.

( ) ( ) ( ) ( )xfxfxxxf =+<<−+= ππππ 2 이고

∗

+===

f

ffffxf

.

1

2121 π

급수푸리에의

이다하면라와

( )

( ) ==

==

∫∫

L

nxdxxnxdxxfb

, , , naf

ππ

n

n

sin2sin2

210 0

1

1 기함수이므로은

( )

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−= ∫

∫∫

nn

dxnxnn

nxx

f

π

n

cos2cos1cos2 00

001

ππ

ππ

π

⎟⎞

⎜⎛

=∗

⎥⎦⎢⎣

f

f

nnn

3i12i1i2

2

00

π

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+=∴ Lxxxf 3sin

32sin

2sin2 π


반구간 전개(Half Range Expansions)반구간 전개(Half Range Expansions)

• 주기적인 우함수로 확장(Even Periodic Extention)

• 주기적인 기함수로 확장(Odd Periodic Extention)• 주기적인 기함수로 확장(Odd Periodic Extention)


Ex.4 삼각형(Triangle)과 그의 반구간 전개 kEx.4 삼각형(Triangle)과 그의 반구간 전개

두 종류로 반구간 전개를 하라.

⎪⎪⎧

⎟⎞

⎜⎛ <<

Lxxk 02x

k

0 L/2 L

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <<−

⎟⎠

⎜⎝

<<=

LxLxLLk

xxLxf

2 2

20

⎤⎡ kkk LL 221

. .1

2

확장우함수로주기적

( )

( ) ⎞⎛⎥⎤

⎢⎡

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

∫∫

∫∫

nknknk

kdxxLLkdxx

Lk

La

LL

L

πππ 4222

2221

2

200

( )

( ) ⎟⎞

⎜⎛ ++−=∴

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

−+= ∫∫

Lxxkkxf

nL

nn

kdxxL

nxLLkxdx

Lnx

Lk

La

Ln

ππ

πππ

ππ

6cos12cos116

1coscos24cos2cos22 2220

( ) ⎟⎠

⎜⎝

++−=∴ LxL

xL

xfπ

cos6

cos22

222


확장기함수로주기적

( ) =⎥⎤

⎢⎡

−+= ∫∫nkdxxnxLkxdxnxkb

LL

nπππ sin8sin2sin22

. .2

22

2

확장기함수로주기적

( )

( ) ⎟⎞

⎜⎛ +−+−=∴

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

∫∫

Lxxxkxf

ndxx

Lx

Lxdx

Lx

LLb

Ln

πππ

π

5sin13sin1sin18

2sss

2222

2220

( ) ⎟⎠

⎜⎝

++∴ xL

xL

xL

xfπ

sin5

sin3

sin1

2222

x0—L L

(a)

x0 L—L

(b)


PROBLEM SET 11.3

HW 10 11 19HW: 10, 11, 19

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