energi regangan 1
TRANSCRIPT
![Page 1: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/1.jpg)
ENERGI REGANGAN
KULIAH 1
![Page 2: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/2.jpg)
Metode Energi adalah metode yang sangat baik (powerful) untuk memformulasi hubungan gaya dan perpindahan
Pembahasan Metode energi termasuk:
1. Konservasi Energi2. Metode Kerja Nyata3. Metode Kerja Maya
![Page 3: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/3.jpg)
Kerja Luar = Kerja Dalam
Sebagai ilustrasi misal sebuah elemen struktur dibebani gaya P dan q maka pada struktur akan terdapat:
Kerja Luar (External Work) : adalah produk gaya luarKerja dalam (Internal Work) : adalah produk gaya dalam
![Page 4: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/4.jpg)
P
P
d
dW
d
![Page 5: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/5.jpg)
M
M
dW
d
d
![Page 6: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/6.jpg)
z
y
x
σσ dy
dx
dz
Gaya dalam merespon beban luar yang diaplikasikan pada struktur serta deformasinya. GD mempunyai kapasitas untuk menghasilkan kerja dan menjaga struktur pada konfigurasi asalnya.
Strain Energy (Internal Work)
![Page 7: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/7.jpg)
Energi dalam juga sering disebut energi regangan (strain energy)Disimbolkan U
ddVddxdydzdxddzdy
Untuk material elastis : σ=ε.E , maka internal work elemen tak hingga :
dVdVEddVE 212
21
Internal work system yang diaplikasikan tegangan aksial adalah integral dari energi utk elemen tak hingga atas volumenya.
dVdxdydzdxdydzU 21
21
21 ))((
![Page 8: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/8.jpg)
Energi regangan pada str TRUSS
P
dW
P
Pi
i
Gaya btg F
Batang j
AE
LFL
EA
F
E
AE
FL
L
F
F
![Page 9: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/9.jpg)
FU j 2
1
AE
FLFU j 2
1
AE
LFU j 2
2
Energi regangan yang bekerja pada batang j akibat gaya batang F, dapat ditentukan sbb:
Jadi energi regangan yang bekerja pada seluruh struktur merupakan jumlah komulatif dari energi regangan yang terjadi pada semua elemennya.
AE
LFU
2
2
![Page 10: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/10.jpg)
Energi regangan pada str BEAM
P
L
x dx
A
d
dx
/2
/2
M M
dxEI
Md
![Page 11: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/11.jpg)
Energi regangan balok sepanjang dx dapat ditentukan sbb :
L
dUU0
L
dxEI
MU
0
2
2
dMdU 2
1
Jadi energi regangan balok secara keseluruhan merupakan hasil integral dari dU sbb :
![Page 12: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/12.jpg)
Energi regangan pada str FRAMEKarena elemen-elemen pada struktur FRAME pada umumnya menerima momen dan juga aksial maka energi regangan pada struktur FRAME merupakan jumlah superposisi dari keduanya.
ba UUU
Dimana :
U : energi regangan total pada strukturUa : energi regangan akibat beban aksialUb : energi regangan akibat momen
![Page 13: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/13.jpg)
Energi regangan akibat beban aksial.
AE
LFU a 2
2
Energi regangan akibat momen.
dxEI
MUb 2
2
dxEI
M
EA
LFU 22
22
Akan tetapi karena energi regangan akibat aksial sangat kecil dibanding dengan momen maka, energi akibat beban aksial dapat diabaikan.
dxEI
MU 2
2
![Page 14: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/14.jpg)
POTENTIAL ENERGYEnergi potensial struktur dapat notasikan dengan yang terbentuk atas dua komponennya yaitu U (energi regangan) dan (kerja luar).
U
Dimana :2
2
1 kU
F
FkU 2
2
1Jadi
![Page 15: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/15.jpg)
Persamaan di atas merupakan persamaan fungsi dan jika kita turunkan, maka
Fkd
d
Pada kondisi seimbang, maka
kFk
F
![Page 16: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/16.jpg)
CASTIGLIANO’S FIRST THEOREMPotential energy sering ditunjukkan dalam fungsi degree of freedom (dof).
nDDDD ...,, 321
Dalam kondisi seimbang d =0
0....33
22
11
nn
dDD
dDD
dDD
dDD
d
Sehingga
0
iD i = 1, 2, 3, …., n ii DkF
![Page 17: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/17.jpg)
Persamaan di atas dapat ditulis
DKF
Dalam bentuk matriks dapat ditulis
nnnnnnn
nn
nn
P
P
P
DKDKDKDK
DKDKDKDK
DKDKDKDK
.
.
...
.......
.......
...
...
2
1
332211
2323222121
1313212111
![Page 18: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/18.jpg)
CASTIGLIANO’S SECOND THEOREM
Untuk struktur yang berperilaku linier-elastik, displacement atau rotasi pada suatu titik dalam struktur merupakan turunan parsial dari energi regangan terhadap gaya atau kopel pada garis kerjanya
ii P
U
i
i M
U
![Page 19: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/19.jpg)
Kita tinjau balok sederhana (sendi rol) yang diberi beban seperti pada gambar.
P1 P2 P3
1 2 3
L
1
P1
2
P2
3
P3dP2
d2
![Page 20: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/20.jpg)
Energi regangan pada balok = kerja luarnya
332211 2
1
2
1
2
1 PPPWU e
Persamaan energi regangan di atas bisa juga ditulis dalam bentuk fungsi beban/gaya.
321 ,, PPPfU
Jika P2 ditingkatkan sebesar dP2 yang menyebabkan displacement di titik 2 juga meningkat sebesar d2, maka energi regangan juga meningkat menjadi
![Page 21: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/21.jpg)
Suku pertama pada di atas bisa diabaikan shg menjadi
3322112222 2
1
2
1
2
1
2
1 PPPdPddPUT
dUUUT 22
dPP
UUUT
atau
33221122 2
1
2
1
2
1 PPPdPUT
U
UdPUT 22
![Page 22: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/22.jpg)
UdPdPP
UU
2222
2222
dPdPP
U
22
P
U
Jadi displacement di suatu titik adalah merupakan hasil turunan energi regangan ke gaya di titik tersebut pada arah kerjanya. Dengan cara yang sama juga dapat diperoleh.
iiM
U
iiP
U
![Page 23: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/23.jpg)
Penggunaan pada rangka batang
AE
LFU
2
2
AE
FL
P
FAEPF
FL
AE
LF
P
P
U
2
2
2
2
![Page 24: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/24.jpg)
Hitung penurunan di A, penurunan di B dan perpindahan horisontal di B pada struktur berikut
10 kN
B A
1
2 3
4 5 6 7
4.00 4.00
4.00
A = 1000 mm2 (semua batang)E = 20 × 105 MPa
![Page 25: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/25.jpg)
Hitung gaya-gaya batang akibat beban 10 kN di A
10 kN
B A
1
2 3
4 5 6 70
10 kN
-10 kN-20 kN
-10
kN102 kN
102 kN
![Page 26: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/26.jpg)
Berikan gaya P vertikal di A dan B secara terpisah dan berikan beban P horisontal di B.selanjutnya hitung gaya batang masing-masing.
P
B A
1
2 3
4 5 6 7
B A
1
2 3
4 5 6 7
P
PB A
1
2 3
4 5 6 7
P
-2P -P
P2P20 -P
0
0 0 0
0-P
0
0 0 0
0
0
P
P2
![Page 27: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/27.jpg)
Penurunan di A adalah
Batang E (MPa) A (mm2)
L (mm) F akibat beban 10 kN (N)
F akibat beban P vertikal di A
dF/dP
1 2×105 1000 4000 10000 P 1 0.2
2 2×105 1000 4000 -20000 -2P -2 0.8
3 2×105 1000 4000 -10000 -P -1 0.2
4 2×105 1000 4000 0 0 0 0
5 2×105 1000 40002 100002 P2 2 0.565685
6 2×105 1000 4000 -10000 -P -1 0.2
7 2×105 1000 40002 100002 P2 2 0.565685
2.531371
AE
FL
P
F
Karena nilainya + maka penurunan di A =2.531371 mm ke bawah (sesuai dengan arah yang di misalkan)
![Page 28: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/28.jpg)
Penurunan di B adalah
Batang E (MPa) A (mm2)
L (mm) F akibat beban 10 kN (N)
F akibat beban P vertikal di B
dF/dP
1 2×105 1000 4000 10000 0 0 0
2 2×105 1000 4000 -20000 -P -1 0.4
3 2×105 1000 4000 -10000 0 0 0
4 2×105 1000 4000 0 0 0 0
5 2×105 1000 40002 100002 P2 2 0.565685
6 2×105 1000 4000 -10000 0 0 0
7 2×105 1000 40002 100002 0 0 0
0.965685
AE
FL
P
F
Karena nilainya + maka penurunan di B =0.965685 mm ke bawah (sesuai dengan arah yang di misalkan)
![Page 29: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/29.jpg)
Perpindahan horisontal di B adalah
Batang E (MPa) A (mm2)
L (mm) F akibat beban 10 kN (N)
F akibat beban P vertikal di B
dF/dP
1 2×105 1000 4000 10000 0 0 0
2 2×105 1000 4000 -20000 P 1 -0.4
3 2×105 1000 4000 -10000 0 0 0
4 2×105 1000 4000 0 0 0 0
5 2×105 1000 40002 100002 0 0 0
6 2×105 1000 4000 -10000 0 0 0
7 2×105 1000 40002 100002 0 0 0
-0.4
AE
FL
P
F
Karena nilainya – (negatif) maka penurunan di B =0.4 mm ke kiri (berlawanan dengan arah yang di misalkan)
![Page 30: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/30.jpg)
Hitung penurunan di A, pada struktur balok kantilever berikut ini jika kekakuannya adalah EI dan panjangnya L
q
AL
2
2
1qxM
x
Bidang M
AL
PxM
x
Bidang M
P
![Page 31: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/31.jpg)
Segmen Momen akibat beban luar (q)
Momen akibat beban P
M/P
0≤x≤L x
dxEI
M
P
ML
0
2
2
1qxM PxM
dxEI
qxx
L
2
0
21
EI
qL
dxqxEI
dxEI
qxx
L
L
8
2
1
2
1
4
0
3
2
0
![Page 32: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/32.jpg)
Hitung rotasi di A, pada struktur balok kantilever berikut ini jika kekakuannya adalah EI dan panjangnya L
q
AL
2
2
1qxM
x
Bidang M
A
L
MM
x
Bidang M
M
![Page 33: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/33.jpg)
Segmen Momen akibat beban luar (q)
Momen akibat beban
M/
0≤x≤L 1
dxEI
M
P
ML
0
2
2
1qxM dx
EI
qxL
2
0
21
1
EI
qL
dxqxEI
dxEI
qx
L
L
6
2
1
21
1
3
0
2
2
0
M
M
MM
![Page 34: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/34.jpg)
Hitung rotasi di C, pada struktur rangka kaku (portal/frame) jika kekakuannya adalah EI untuk seluruh elemennya L
q=1.5 t/m
A
30m
B
CD
12 m
12 m
40T
![Page 35: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/35.jpg)
Cari reaksi perletakan pada struktur
5.3830
675480
3015305.11240
0
DV
DV
A
R
R
M
40
0
AHR
H
5.630
195
0305.1154012304024
0305.11540123024
0
AV
AV
AVAH
D
R
R
RR
M
![Page 36: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/36.jpg)
Bidang Momen
38.5
40
6.5
x
480
480
6.5
x
48038.5
480
x
x
40
xM 40
480M
2
2
75.05.38
5.12
15.38
xx
xxM
![Page 37: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/37.jpg)
Di titik C diberi beban m searah jarum jam
A
30m
B
CD
24 m
m
30
030
0
mR
Rm
M
DV
DV
A
30
030
0
mR
mR
M
AV
AV
D
0
0
AHR
H
30
030
0
mR
mR
M
AV
AV
D
![Page 38: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/38.jpg)
Bidang Momen akibat beban m
A
30m
B
CD
24 m
m
30
mRAV
30
mRDV
xm
M30
![Page 39: Energi Regangan 1](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/5695d12e1a28ab9b02957ba9/html5/thumbnails/39.jpg)
Cari reaksi perletakan pada struktur
Segmen Koordinat M akibat beban luar
M akibat beban m
M/m
Mulai Batas
A-B A 0-12 0 0
C-B C 0-12 0 0
D-C D 0-30
xM 40480M
275.05.38 xxM xm
M30
30
x
EI
dxEI
xxx
dxEI
M
m
M
5.6487
75.05.38
30
30
0
2