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Energía del campo eléctrico.
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Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de un par de cargas (I).
En el Tema 1, dijimos que la energía potencial de una carga puntual q 2 , en presencia de otra carga puntual q 1 es:
Donde V 1,2 es el potencial que crea la carga q 1 en la posición de la carga q 2 .
2 , 1 2 2 , 1 V q U =
1 2
1 2 , 1 4
1 r r
q V o
r r −
= πε
q 2
q 1
1 r r
2 r r
O O es el origen de los ejes coordenados que estemos usando.
1 2 2 1 r r r r r r − = →
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Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de un par de cargas (II).
Como colocar la carga q 1 no requiere hacer ningún trabajo, la energía U 1,2 nos da la energía potencial total del sistema U T .
La energía U 1,2 es igual al trabajo W 2 necesario para llevar la carga q 2 desde el infinito hasta su posición.
2 , 1 2 2 V q W U T = =
2 2 , 1 W V =
q 2
q 1
1 r r
2 r r
O
2 W
1 2 2 1 r r r r r r − = →
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Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de tres cargas (I).
Supongamos que añadimos una tercera carga puntual q 3 . ¿Cuál es ahora la energía potencial U T del sistema de cargas?
A la energía U 1,2 le tenemos que añadir el trabajo W 3 realizado para llevar la carga q 3 hasta su posición.
3 2 , 1 3 2 W U W W U T + = + =
q 2
q 1
1 r r 2 r
r
O
3 W
3 r r
1 2 2 1 r r r r r r − = →
q 3
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Cargas puntuales en el vacío. Energía potencial de tres cargas (II).
V 3 es el potencial total en la posición de la carga q 3 . Por el principio de superposición:
2 3
2
1 3
1 3 , 2 3 , 1 3 4
1 4 1
r r q
r r q V V V
o o r r r r −
+ −
= + = πε πε
3 3 3 V q W =
3 2 , 1 3 2 W U W W U T + = + =
q 2
q 1
1 r r 2 r
r
O
3 W
3 r r
1 2 2 1 r r r r r r − = →
1 3 3 1 r r r r r r − = →
2 3 3 2 r r r r r r − = →
q 3
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Cargas puntuales en el vacío. Generalización a N cargas.
Si escribimos el resultado desarrollado:
− +
− +
− =
1 3
1 3
2 3
2 3
1 2
1 2 4
1 r r
q q r r
q q r r
q q U o
T r r r r r r πε
Que podemos escribir, para el caso de N cargas puntuales, como
∑ ∑ −
= = − =
1
1 2 4 1 i
j j i
j N
i i
o T r r
q q U r r πε
q 2
q 1
1 r r 2 r
r
O 3 r r
1 2 2 1 r r r r r r − = →
1 3 3 1 r r r r r r − = →
2 3 3 2 r r r r r r − = →
q 3
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Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (I).
Si organizamos los términos de la fórmula anterior como:
− +
− +
− =
1 3
1 3
2 3
2 3
1 2
1 2 4
1 r r
q q r r
q q r r
q q U o
T r r r r r r πε
1 q
2 q
3 q
1 q 2 q 3 q
1 2
1 2 r r
q q r r −
2 3
2 3 r r
q q r r − 1 3
1 3 r r
q q r r −
X
X
X
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Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (II).
Si rellenamos las casillas que faltan:
− +
− +
− +
− +
− +
− × =
1 3
1 3
2 3
2 3
3 2
3 2
1 2
1 2
3 1
3 1
2 1
2 1 4
1 2 1
r r q q
r r q q
r r q q
r r q q
r r q q
r r q q U
o T r r r r r r r r r r r r πε
1 q
2 q
3 q
1 q 2 q 3 q
1 2
1 2 r r
q q r r −
2 3
2 3 r r
q q r r − 1 3
1 3 r r
q q r r −
X
X
X
2 1
2 1 r r
q q r r − 3 1
3 1 r r
q q r r −
3 2
3 2 r r
q q r r −
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Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (III).
La fórmula que hemos obtenido es:
∑ ∑ = = −
× = N
j j i
j N
i i
o T r r
q q U
1 1 4 1
2 1
r r πε
Si nos fijamos bien, el potencial en la posición de la carga q i cuando hemos terminado de construir la distribución de cargas es:
∑ = −
= N
j j i
j
o i r r
q V
1 4 1
r r πε
con i≠j
con i≠j
Esta fórmula es independiente del orden en que hayamos construido la distribución.
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Distribuciones continuas de carga. Cálculo de la energía (IV).
Esto significa que podemos calcular la energía de una distribución continua de cargas como:
i
N
i i T V q U ∑
=
= 1 2
1
donde V i es el potencial en la posición de la carga q i cuando hemos terminado de construir la distribución de cargas.
Vamos a usar esta expresión para calcular la energía de una distribución continua de carga.
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Energía electrostática de distribuciones continuas de carga.
j q
v ∆
( ) v r V q V V q U N
i i
N
i i T ∆ = = = ∆ ∑ ∑
= =
r ρ 2 1
2 1
2 1
1 1
Si consideramos la contribución ∆U a la energía total de un pequeño volumen ∆v de una distribución continua de carga:
Donde todas las cargas en ∆v están al mismo potencial V, porque ∆v es un volumen tan pequeño que en él, el potencial V es constante.
( ) v q
r j
∆ = ∑ r ρ
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Energía electrostática de distribuciones continuas de carga.
( ) ( ) ∫ = dv r r V U T r r ρ
2 1
Para calcular la energía total hay que integrar a todo el volumen de la distribución:
Si la distribución es de carga superficial.
( ) ( ) ∫ = dS r r V U T r r σ
2 1
( ) r V r es el potencial eléctrico que crea la distribución de carga, que es función de la posición.
( ) r r ρ es la densidad de carga, que puede ser función de la posición.
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Energía almacenada en un condensador. Condensador de caras planas paralelas (I).
Si en un condensador de caras planas y paralelas la ddp es V, podemos calcular la energía usando la ecuación para densidades de carga superficial:
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1
Armadura positiva
Armadura negativa
A V A V U T σ σ 2 1 2 1
2 1
− =
= T U ∫ dS Vσ 2 1
∫ dS Vσ 2 1
+
( ) 2 1 2 1 V V A U T − = σ
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Energía almacenada en un condensador. Condensador de caras planas paralelas (II).
La carga Q acumulada en el condensador es:
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1
( ) QV V V A U T 2 1
2 1
2 1 = − = σ A Q σ =
Estos resultados son válidos para cualquier condensador.
Usando: V Q C =
QV U T 2 1
=
C Q CV U T
2 2
2 1
2 1
= =
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Energía asociada al campo eléctrico.
Podemos preguntarnos: ¿dónde está almacenada la energía de un condensador?.
0 = x d x =
σ + σ −
Ox
Oy Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
o d V V E
ε σ
= −
= 2 1
( ) dE A E V V A U o T × × = − × = ε σ 2 1
2 1
2 1
El volumen v entre las armaduras del condensador es:
Ad v =
( ) v E V V A U o T × = − × = 2 2 1 2
1 2 1 ε σ
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Energía asociada al campo eléctrico.
Q + Q − E r
1 V 2 V
A
d
v E U o T × = 2
2 1 ε La expresión: tiene la forma
2
2 1 E o ε = Energía x volumen
Conclusión:
2
2 1 E o ε
es la densidad de energía en el espacio entre las armaduras del condensador.
Conclusión:
Allí donde hay un campo eléctrico hay almacenada una energía.