encurvadura - estabilidade do equilibrio - luis calado - ist
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Encurvadura - BucklingTRANSCRIPT
Instituto Superioi' Técni,~o
e> O~
lVII Secção de Mecânica Aplicada
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2
ESTABILIDADE DO EQUILÍBRIO
ENCURVADURA
Prof. Luis Calado
Maio de 1994
1. INTRODUÇÃO
Uma agulha perfeitamente recta pode ficar em equilíbrio apoiada na sua ponta.
Todavia, a menor perturbação ou imperfeição no seu fabrico tornará impossível
o equilíbrio. Este tipo de equilíbrio é designado como instável, sendo necessário
evitar situações análogas em sistemas estruturais.
Os conceitos de equilíbrio estável, neutro e instável podem ser facilmente
entendidos através do exemplo clássico de uma esfera sobre uma superfície
(Figura 1).
a- estável b -neutro c- instável
Figura 1
As forças que actuam sobre a esfera (gravidade W e reacção normal à superfície R)
estão nitidamente em equilíbrio quando a superfície é horizontal.
Imagine-se que se desloca a esfera da posição a para uma posição a'. As forças de
reacção R e de gravidade W deixam de estar em equilíbrio, surgindo uma força
que tende a levar a esfera para a posição inicial a. Se largarmos a esfera na posição
a', ela voltará à sua posição inicial a. Este tipo de equilíbrio é designado de estável.
A situação c' é completamente oposta, pois a força de "desequilíbrio" tende a
afastar a esfera da sua posição inicial c. Este tipo de equilíbrio é designado de
instável.
O caso b está compreendido entre os dois casos anteriores. Se a esfera for
deslocada da posição b para a posição b', ela permanecerá em equilíbrio e não
apresentará qualquer tendência para voltar à configuração inicial b. Este tipo de
equilíbrio é designado de neutro.
-1-
Tendo por base critérios energéticos estudados anteriormente, pode mostrar-se que:
Ao equilíbrio estável corresponde
Ao equihôrio neutro corresponde
Ao equihôrio instável corresponde
onde V representa a energia potencial, que é a soma da energia de deformação U
com o potencial das forças exteriores II, e o2 a segunda variação cujas
propriedades são muito semelhantes às do diferencial de 2a ordem d2.
A partir do exemplo da esfera, pode chegar-se à definição de estabilidade do
equilíbrio. Um sistema diz-se que está em equilíbrio estável se para todos os
pequenos deslocamentos possíveis dados a partir da configuração de equihôrio, as
forças de "desequilíbrio" resultantes tendem a levar o sistema à configuração
inicial de equilíbrio.
-2-
2. TIPOS DE INSTABILIDADE
A instabilidade pode ser causada por insuficiência de vínculos externos, ou pelo
facto da estrutura ser muito esbelta (conceito que analisaremos mais à frente)
(Figura 2).
/'
/'
I I I I I I --~~~~~~~c=~ Ares~
simplesmente apoiadas
Figura 2
Se admitirmos que a estrutura se encontra devidamente ligada ao exterior, a
instabilidade devida à esbelteza será a que mais preocupará os engenheiros.
Se por exemplo, considerarmos duas colunas, com os mesmos vínculos externos
e a mesma secção transversal, mas comprimentos diferentes (Figura 3), elas terão
certamente comportamentos diferentes quando submetidas a esforço axial. A
coluna a, mesmo sob a acção de uma pequena carga axial P1, encurvará. Do ponto
de vista da engenharia a coluna atingiu o colapso.
o..) ~Y-)
Figura 3
-3-
A coluna mais curta, com a mesma secção transversal, não terá problemas de
instabilidade.
Neste caso, o colapso seria causado pela resistência máxima à compressão, e,
certamente, para uma carga P2 muito maior que a carga P1.
Embora os modos de colapso sejam diferentes, ambas as colunas teriam atingido
o colapso, a mais longa devido à encurvadura e com uma carga axial
consideravelmente menor do que a coluna mais curta, a qual seria esmagada.
A encurvadura tal como descrita acima, é um tipo de colapso resultante da
instabilidade estrutural devida à acção de forças de compressão sobre o elemento
estrutural. Ocorre normalmente de modo inesperado e é sempre espectacular e
catastrófica.
A carga para a qual a instabilidade ocorre e a tensão devida a esta carga são
designadas de carga crítica P cr e de tensão crítica O"cr·
Muitos tipos de instabilidade resultam de carregamentos de compressão, como no
caso de colunas e chapas carregadas no seu plano, e da deformação devido à
flexão. Algumas vezes, sob certos tipos de carregamento de compressão ou de
torção, as deformações devido à torção ocorrem sózinhas ou em combinação com
deformações devido à flexão. Na Figura 4 mostram-se alguns exemplos.
I I I I
i I I I I '/
I . '/ I -,= -- I I -'i I " I I I I I I I I I
I
Figura 4
A coluna indicada na Figura 4 apresenta instabilidade, resultando em
deformações de torção, enquanto que a viga em consola, quando sujeita a
-4-
momento flector, apresenta flexão lateral e torção (bambeamento). Este tipo de
instabHidade é particularmente importante em vigas de secção aberta (pequena
rigidez de torção) e de grande altura.
A instabilidade pode ainda ser classificada em instabilidade local, instabilidade do
elemento e instabilidade global (estrutural).
A instabilidade local corresponde à instabilidade das placas que constituem as
paredes das secções, e à formação de ondas nas chapas (Figura 5).
Figura 5
A instabilidade local não provoca necessariamente a instabilidade global ou a
instabilidade do elemento.
A instabilidade do elemento pode causar a instabilidade global da estrutura. Tudo
dependerá da importância do elemento para a estabilidade global da estrutura
(Figura 6).
-5-
A B
A
Figura 6
A instabilidade do elemento CD implica o colapso da estrutura, pois a estrutura
toma-se um mecanismo. A instabilidade do elemento GE não implica o colapso
da estrutura, pois ficará ainda interiormente hiperstática.
-6-
3. ENCURVADURA DE COLUNAS
Nesta secção estudar-se-á a carga crítica de colunas com várias condições de apoio.
Considerar-se-ão somente colunas constituídas por material homogéneo e com
secção transversal bi-simétrica, isto é, com dois eixos de simetria. Além do
material ser homogéneo e elástico, admite-se também que as secções planas
permanecem planas depois da coluna encurvar (hipótese de Bernoulli), que as
deformações por esforço axial e transverso são desprezáveis, que a encurvadura
se dá num plano principal de inércia e que a concentração de tensões tem um
efeito desprezável sobre o comportamento global da coluna.
As deformações por esforço transverso podem ser desprezadas em materiais
como o aço ou alumínio. Em materiais plásticos ou não homogéneos a
deformação por esforço transverso deve ser considerada, já que diminui a carga
crítica ·da coluna.
3.1 Caso fundamental- coluna bi-articulada (Euler, 1778)
Considere-se a coluna bi-articulada de comprimento L, carregada axialmente por
uma força de compressão aplicada no centro de gravidade da secção transversal
(Figura 7). Admita-se ainda, como anteriormente referido, que a coluna
encurvará por flexão num plano principal de inércia.
-7-
p
2
Figura 7
O deslocamento u2(x3) é o deslocamento segundo o eixo 2 de uma secção genérica
localizada à distância x3. Nessa secção existirá um momento flector dado pela
equação de equilibrio:
(3.1)
Viu-se, aquando do estudo da flexão, que a relação entre o momento flector e o
raio de curvatura R pode ser expresso pela seguinte equação constitutiva:
(3.2)
(para simplicidade de escrita das equações passar-se-á a escrever Mi = M e a omitir
(x3))
Por geometria diferencial
compatibilidade:
1 U2.33 R = - [1 +(u2,3)2]3/2
obtem-se para a curvatura a seguinte equação de
(3.3)
Na hipótese dos pequenos deslocamentos, a quantidade (uz,3)2 pode ser
desprezada relativamente à unidade, e a curvatura é dada pela expressão (análise
linear da encurvadura):
-8-
1 R=- U2,33 (3.4)
A partir das equações (3.1), (3.2) e (3.4) pode escrever-se:
EI p U2 = M = R = - EI U2,33 (3.5)
ou então
(3.6)
p U2,33 + EI U2 = o (3.7)
p Se considerarmos k2 = EI a expressão (3.7) pode ser escrita da seguinte forma:
U2,33 + k2 u2 =O (3.8)
esta equação de equilíbrio relaciona a carga aplicada P com o deslocamento u2 da
coluna.
A solução geral para a equação (3.8) é:
u2 = A sen kx3 + B cos kx3 (3.9)
Nesta equação A e B são constantes que podem ser calculadas a partir das
condições de fronteira.
Para a coluna em estudo obtem-se:
X3=0 U2= 0 B=O
JC3=L U2=0 AsenkL=O
a equação A sen kL é satisfeita para A= O ou sen kL =O, isto é:
(solução trivial e não existe encurvadura)
sen kL =O kL = n 1t com n = 1, 2, 3, ...
atendendo à definição de k, vem:
~L=n1t (3.10)
-9-
e para o deslocamento uz obtem-se:
n 1t X3 uz=Asen L
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Quando P apresenta estes valores, a amplitude dos deslocamentos, dada pelo
valor de A, é indeterminada. O valor da carga P que toma possível a configuração
curva da coluna é designado por carga crítica e é representado por P cr·
As cargas críticas para a coluna bi-articulada são, então:
(3.14)
Por conseguinte, uma coluna perfeitamente rectilínea e bi-articulada tem um
número infinito de cargas críticas. A menor delas será quando n = 1, isto é:
(3.15)
Esta carga crítica, deduzida por Euler, é usualmente representada por PE
(3.16)
Nesta expressão I é o momento de inércia mínimo da secção e constante ao longo
do comprimento da coluna, E o módulo de elasticidade e L o comprimento. O
caso da coluna bi-articulada é geralmente designado como caso fundamental. Para
este caso a coluna encurvará segundo uma função seno e amplitude A
indeterminada (Figura 8).
-10-
I I I I I I
A~ I I
Figura 8
Na Figura 9 encontram-se representadas as configurações para as cargas críticas 1 2 3
Pcr,PcrePcr·
-11-
I I I I I I
A~ I I I I
1 1t2 EI Pcr=v
1 1tX3 u 2 =A1senL
I'
A~T L/2
-l-I
L/2
I _1
2 41t2 EI Per= L2
2 21tX3 u 2 = A2 sen-L-
Figura 9
!'
" "T Lí3
+ L/3
+ L/3
t
3 91t2 EI Per= L2
3 37tx3 u 2 = Ag sen L
A solução do problema da coluna bi-articulada é apresentado no gráfico seguinte
(Figura 10):
-12-
:p
'- .,.,.; \i~ \irNOJL ( 1. "F"''"'"'Õo)
Figura 10
1 Verifica-se que para cargas superiores a Per a configuração é instável, a menos que
a coluna esteja impedida de se deslocar transversalmente.
1 A carga crítica P cr é de todas a que confere à coluna a menor energia potencial,
sendo, por conseguinte, o valor da carga para o qual a coluna irá encurvar
(Princípio da Mínima Energia Potencial).
A indeterminação da amplitude do modo de encurvadura deve-se ao facto de as
expressões terem sido deduzidas admitindo a hipótese dos pequenos
deslocamentos.
Caso se tivesse utilizado a equação
1 U2.33 R=- [1 + (U2,3)2]3/2 (3.3)
a resolução da equação diferencial mostraria que a coluna teria um
comportamento estável de pós-encurvadura, e que para um deslocamento a meio
vão da coluna da ordem de L/4 a carga aumentaria de cerca de 10%. Pode-se,
portanto, concluir que a análise linear efectuada nesta secção descreve, com
suficiente precisão, o comportamento de uma coluna recta carregada axialmente à
compressão no seu centro de gravidade.
-13-
Exemplo:
Determinar a carga crítica de Euler para a coluna de comprimento igual a 10.00 m
e de secção rectangular igual a 100 x 200 mm2. A coluna é bi-articulada e o
módulo de elasticidade é de 200 GPa.
10.00""
- 2. ,r 200""""' r
Encurvadura em torno do eixo 1
200 X 1003 . _4 4 1t = 12 = 0.167 x 10 m
1t2 X 200 X 0.167 X 10-4 Pcq = 102 = 329 kN
Encurvadura em torno do eixo 2
Iz 100 X 2003 _4 4
12 = 0.67 x 10 m
_ n2 X 200 X 0.67 X 10·4 _ 1 16
kN Pcrz- 102 - 3
A coluna encurvará para o menor dos dois valores e, por conseguinte, a carga
crítica de Euler será:
PE =329 kN
-14-
Problema
Determine o valor máximo da força de compressão que pode ser aplicada a uma
coluna de 3.00 m de comprimento, com secção quadrada de 20 x 20 mm2 e com
módulo de elasticidade igual a 210 GPa. Pe = 3.07 kN)
Problema
Determine o comprimento máximo que pode ter uma coluna bi-articulada com
secção circular (r = 25 mm) de modo a que consiga suportar uma força de 100 kN
aplicada no centro de gravidade sem encurvar. Admita E = 200 GPa. (L = 2.46 m)
3.2 Colunas com outras condições de apoio ideais
Um processo análogo ao utilizado para a coluna bi-articulada pode ser empregue
para determinar a carga crítica de colunas com condições de apoio diferentes. As
soluções destes problemas são muito sensíveis às condições de apoio.
Considere-se, por exemplo, uma coluna com uma extremidade encastrada e outra
articulada, conforme representado na Figura 11.
p
Figura 11
-15-
A equação de equilíbrio, numa secção genérica à distância x3 é:
Mo M= Puz -r:-(L-X3) (3.17)
M= P uz- Mo (1- x3/L) (3.18)
A relação constitutiva é:
(3.2)
Analogamente ao caso fundamental e na hipótese dos pequenos deslocamentos, a
relação de compatibilidade é dada pela seguinte expressão (análise linear da
encurvadura):
1 R=- U2,33 (3.4)
A equação diferencial de equilibrio vem então:
1 U2,33 = EI (- P uz +Mo (1- x3/L)) (3.19)
p Se fizermos k2 = EI a expressão (3.19) pode ser escrita da seguinte forma:
k2Mo X3 kz (1--L) uz,33 + uz = p (3.20)
A solução homogénea desta equação diferencial, isto é, quando se iguala o seu
segundo membro a zero, é a já obtida para o caso da coluna bi-articulada. A
solução particular, quando não é nulo o segundo membro da equação, pode ser
obtida dividindo o termo do segundo membro por k2. A solução composta é
então dada por:
Mo X3 uz = A sen kx3 + B cos kx3 + p (1 - L ) (3.21)
Nesta equação A e B são constantes arbitrárias e Mo é o momento flector
desconhecido no encastramento.
As três condições de fronteira são:
-16-
uz= O
X3=L uz= O
U23 = 0 '
Analogamente ao efectuado para o caso bi-articulado, obtém-se a seguinte
equação transcendente
kL=tangkL (3.22)
a quai deve ser satisfeita para uma configuração de equilíbrio não trivial da
coluna sob a acção da carga crítica. A menor raiz da equação kL = tang kL é:
kL =4.493
e, portanto, a carga crítica correspondente à coluna articulada-encastrada é:
20.19 EI n2 EI Per= L2 = 2.05 --v (3.23)
Esta expressão mostra que a introdução de um vínculo (impedimento da rotação
no encastramento) numa das extremidades, aumenta a carga crítica
relativamente ao caso fundamental (coluna bi-articulada).
Para a coluna bi-encastrada, a carga crítica seria:
(3.24)
valor que é mais elevado, quando comparado com a coluna encastrada-apoiada.
A carga crítica numa coluna com uma extremidade livre e outra encastrada é:
Para este caso extremo, a carga crítica é igual apenas a um quarto da
correspondente ao caso fundamental.
Todas estas fórmulas podem ser representadas por uma expressão idêntica à do
caso fundamental, desde que se utilize o conceito de comprimento de encurvadura Le (distância entre os pontos de inflexão da deformada) em lugar do
-17-
seu comprimento real. O comprimento de encurvadura para o caso fundamental
é L, enquanto para o caso encastrado-apoiado é 0.7L, bi-encastrado é O.SL e livre
encastrado é 2L. Estes valores são facilmente recordados traçando a deformada da
coluna e verificando o comprimento do troço deformado que corresponde a uma
coluna bi-articulada (comprimento entre pontos de inflexão da deformada).
(3.26)
Na Figura 12 estão representados os comprimentos de encurvadura para colunas
com diferentes condições de apoio.
:p<ll. LJ!.
n2EI -4Y L ~
X
Lz
4n 2EI -~ • • "-.... ~ 1L Lz 2
2.04n 2EI -~ Lz ~ 0.70L
n2EI -~ • -~ 2L 4L2
n2EI -~ • rn. L Lz Ull
n2EI lk 'T 2L
4L2
----
n2EI Pcr=-2-
L e
Le - comprimento de encurvadura
Figura 12
-18-
A tensão crítica de uma coluna, pode ser calculada pela expressão:
em que:
i é o raio de giração
Le Â. = T a esbelteza que permite caracterizar o tipo de coluna:
Â. < 20 barras curtas
20 < Â. < 105 barras intermédias
Â. > 105 barras longas
3.3 Colunas com encastramentos elásticos
3.3.1 - Encastamentos elásticos em ambas extremidades (Figura 13)
T
Figura 13
-19-
(3.27)
Para a coluna representada na Figura 13 o momento flector numa secção genérica
à distância X3 é:
M=Pu2-m (3.28)
As relações constituiva e de compatibilidade são as mesmas dos casos anteriores,
pelo que se obtem para este caso:
p com k2 = EI , como anteriormente considerado.
A solução completa para este caso é dada por:
m u2 = A sen kxs + B cos kx3 + k2EI
(3.29)
(3.30)
A e B são constantes de integração e podem ser determinadas a partir das
seguintes condições de fronteira:
U2= o m B =- k2EI
Devido às condições de simetria obtem-se:
U2,3 =o m 1 A=-kEI tang 2kL
m 1 u2,3 "'<I> =- k EI tang 2 kL
Se definirmos um coeficiente a como:
virá:
m a=-
<1>
1 2EI kL tang-kL=--.-
2 aL 2
-20-
(3.31)
(3.32)
(3.33)
a L com ~= EI
A equação (3.33) pode ser resolvida graficamente, desenhando ambos os membros
da equação e determinando a intersecção como indicada na Figura 14.
11 2
to.rrq kL . o 2
â!r 2 kL
2
_2 kL {32
-6~----~-----+----_,
Figura 14
Substituindo os diversos valores do ~ na equação (3.33), é possível determinar a
variação da carga crítica com a restrição das rotações nos apoios. A carga crítica
para colunas com apoios elásticos pode escrever-se da seguinte forma
(semelhante aos apoios ideais):
1t2 EI Pcr=-2- (3.26)
Le
O valor do comprimento de encurvadura pode ser determinado facilmente a
partir da curva da Figura 15.
-21-
L~ L
1,0
o,'i'J
o, t
o, 6.
1\
\\ \
\
5 o, o
~ t--
~ r----._
5 10
a L p = EI
15
ri _jL. rl-
-/~m -tp
/ -p
~·m·
J]· jl ,-;._,c·m
20
m a=-
<1>
25 30 f3
(a- representa a rigidez da mola)
Figura 15
-22-
3.3.2 - Encastamento elástico numa extremidade e articulado na outra (Figura 16)
p ~p
Figura 16
A equação diferencial de equilibrio para este caso é:
p m com k2 = El" Da Figura 16 verifica-se que Q =r
A solução completa para este caso é:
m x3 u2 = A sen kx3 + B cos kx3 + k2 EI (1 - L)
Com o raciocínio análogo ao do caso anterior, vem:
X3=0
X3=0
U2= 0
U2= 0
m B= -k2 EI
m A = - k2 EI tang kL
m [ 1 1 J u2,3 = <I> = kEI tang kL - kL
-23-
l L
J
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Definindo analogamente a e ~ como:
m a=-
$
a L ~= EI
a equação (3.36) pode ser escrita como
~kL tang kL = (kL)2 + ~ (3.37)
que, tal como no caso anterior, poderá ser resolvida graficamente para obter os
valores de kL correspondentes a um determinado valor de ~·
Substituindo os diferentes valores de ~ na equação (3.37), obter-se-á analogamente
a variação da carga crítica com a restrição do apoio. A carga crítica pode ser escrita
de modo semelhante ao do caso fundamental:
A Figura 15 apresenta a variação do comprimento de encurvadura com a L
restrição do apoio. Repare-se que para ~ = oo os valores obtidos para a relação {
são os valores que correspondem aos apoios ideais, isto é, encastrado-encastrado
ou encastrado-apoiado.
Por exemplo, para a curva da coluna com encastramentos elásticos nas duas
extremidades e fazendo ~ = oo obtem-se:
se kL =2n
A carga crítica será então:
L 1 isto é, Le = 2 , como se tinha verificado anteriormente.
-24-
Exemplo:
Determinar o valor da carga crítica que provoca a encurvadura da coluna BC no
plano xy. Considere para o módulo de elasticidade o valor de 210 GPa.
,/ 15,00""
2oo~ c
( """") !>o()
A coluna BC pode ser considerada como apoiada em C e como tendo um
encastramento elástico em B, isto é:
O comprimento da encurvadura da barra BC irá depender da rigidez a da mola.
Cálculo da rigidez a da mola:
-25-
(podemos calcular a flexibilidade da barra invertendo em seguida para obter o 1
valor da rigidez a = 7)
f:=i-J~~ (). I.
:
~
..Lab-L 3
3EJViga Virá para a rigidez da mola o valor o: = 4
Cálculo de ~:
3EJViga
1
d.i"i'"""" d.t ~· {ltc"\o<t.
4 3EI
4 .15
~ = Elcoluna . 0.24 4 4
JVIga = U = 1.333 x 10- m
034 Jcoluna = i
2 = 6.75 x 10-4 m4
1.5 4 X 1.333 X lQ-4
~ = 6.75 X 10-4 2·22
L Entrando no gráfico da Figura 15, obtem-se ~ = 0.88
Le = 0.88L
Le = 0.88 x 15 = 13.20 m
-26-
1t2 X 210 X 1Q6 X 6.75 X 1Q4 P cr = (13.20)2 = 8029 KN
O valor da carga que provoca a encurvadura da barra BC é de 8029 KN.
!l..lu..: A rigidez da mola a dependerá do tipo de esforço que vai impedir a
encurvadura da barra. Neste caso, trata-se de um esforço de flexão e, por isso, a
rigidez da mola é uma rigidez de flexão. No caso da figura seguinte, será de flexão
para encurvadura no plano da figura e de torção para a encurvadura da barra
num plano prependicular ao plano da figura. O comprimento de encurvadura Le
depende do plano no qual a estrutura encurvará.
Problema
Determinar o valor da carga que provoca a encurvadura da coluna AB no plano
xy. Considere para o módulo de elasticidade o valor de 200 GPa. (Per= 7.64 kN)
r 5m
L 20mm ,....,----.1 fio IOOmm •i.
L 114--- 5m •! t:.__y
-27-
Problema
Determinar o valor da carga crítica da coluna, admitindo que os nós estão
impedidos de se deslocar no plano prependicular ao da estrutura,e que todas as
barras têm secção quadrada de 35 x 35 mm2. Considere para o módulo de
elasticidade o valor de 200 GPa. (Per= 166 kN)
p
~ :;:: ;;. ;;.
2m
/ !;; ~ 1\ r
'"
L1.5m-._L.,.__'1.5m __..j
-28-
4. ENCURVADURA DE COLUNAS UTILIZANDO A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 4• ORDEM
A expressão para a carga crítica pode também ser obtida a partir da equação
diferencial de 4• ordem da linha elástica. Essa equação pode ser determinada
considerando o equilíbrio de um elemento infinitesimal (Figura 17) .
. --?3
' H ;v
vtdv
U2,3 = P
Figura 17
O equilíbrio de forças e momento permite escrever as seguintes equações:
LF3=0
LFz =O
LM1=0
- N + (N + dN) + vp - cv + dV) CP + dp) = o -v+ (V + dV) - NP + (N + dN) CP + dP) = o - M + (M + dM)- VdX3= O
N,3 = VP,3 + V,3 p
V,3 = -NP,3- N,3 P
M3=V '
com (,3) = d/ <ix3
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Em colunas as tensões tangenciais são em geral pequenas, pelo que VP,3 e V,3 P
são termos desprezáveis em comparação com as associadas às tensões normais:
1• aproximação das equações de equilíbrio:
N,3 =O (4.7)
V,3 =- NP,3 (4.8)
-29-
M3=V '
(4.9)
M,33 + N~,3 = O (4.10)
1 U2,33 =-R (4.11)
EI M=R (4.12)
A equação diferencial do equilíbrio será então:
(EI U2,33) ,33 - N U2,33 = o (4.13)
como N,3= O vem que N=-P
Se EI for constante, obtem-se finalmente para a equação diferencial de equilíbrio
de um elemento de coluna na configuração deformada a seguinte equação:
p U2,3333 + EI U2,33 = o (4.14)
A determinação da carga crítica de uma coluna reduz-se ao cálculo do menor
valor de P para o quaJ a equação (4.14), com as respectivas condições de fronteira,
tem solução não nula. Matematicamente é um problema de valores e vectores
próprios:
Valores próprios - cargas críticas
Vectores próprios - modos de instabilidade 1 2
uz 'uz' ...
-30-
5. INFLlffiNCIA DO ESFORÇO TRANSVERSO
Caso se pretenda estudar a influência do esforço transverso, será necessário
escrever a equação da linha elástica tendo em consideração a deformação por corte:
M 1 U2,33 =- EI + GA' V13 (5.1)
ou ainda
M 1 U2,33 = - EI + GA' M,33 (5.2)
Para o caso da coluna bi-articulada viu-se que a equação de equilibrio é:
M=Puz
Substituindo este valor do momento na equação (5.2) obtem-se:
p p U2,33 =- EI U2 + GA' U2,33 (5.3)
p EI U2,33 + 1 uz = o (5.4)
1 - GA'p
esta expressão é análoga à equação (3.7) em que, em vez de P, temos agora:
p
podendo concluir-se que, entrando em conta com o esforço transverso, a carga
crítica pode relacionar-se com a carga crítica de Euler pela expressão:
(5.5)
donde se conclui que:
-31-
(5.6)
Carga crítica de uma coluna bi-articulada, considerando a deformabilidade por esforço transverso:
(5.7)
(5.8)
O esforço transverso diminuiu o valor da carga crítica. Para os perfis metálicos
usualmente utilizados o efeito de V é da ordem de 0.5%, motivo pelo qual não é
considerado no cálculo de P cr·
Obs: analogamente ao efectuado para o esforço transverso, poder-se-ia mostrar que o efeito da deformação axial pode ser desprezado no cálculo da carga crítica de colunas.
-32-
6. EFEITO DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS
Existem diversos tipos de imperfeições. Na cadeira de Resistência de Materiais II
estudar-se-á unicamente o efeito da deformação inicial e o efeito da
excentricidade de aplicação da força. Analisaremos apenas a coluna bi-articulada,
mas os outros tipos de condições de apoio poderão ser estudados de forma
análoga.
6.1 Efeito da deformação inicial
Não existem na prática colunas perfeitamente rectilíneas. Para o estudo do efeito
da deformação ínicial admitir-se-á que na ausência de carga a coluna tem a forma
deformada índicada na Figura 18.
l I ' ' ~ l
/" I'NC>Lb.
( ~·"'~"~ (~:'f) j
i IL I ! I I
X3 I
~--'-- _j_
para
Figura 18
P=O
A configuração inicial (sem carga) pode ser representada através de uma série de
Fourier do tipo:
-33-
0 1t X3 21t X3 31t X3 u 2 = b1 sen L+ bz sen -y:- + b3 sen -y:- + .... (6.1)
onde b1, bz, ... são coeficientes que permitem ajustar a série à configuração
deformada da coluna na ausência de carregamento.
Depois da aplicação da carga P, a coluna passará para a configuração uz e o
momento numa secção à distância X3 do apoio vale:
M = P uz (6.2)
Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos, o momento flector M será
proporcional à variação da curvatura na secção, isto é:
o d2(uz- uz)
M=-EI 2 dx3
a equação de equilíbrio poder-se-á escrever então:
com
o uz,33 + k2 uz = u2.33
p k2--m
Se o deslocamento ug for substituido pela série de Fourier, vem:
(1t Jz 1t X3 (21t Jz 21t X3
uz,33 + k2 uz =- L) b1 sen L- T) bz sen -y:- + ...
(6.3)
(6.4)
(6.5)
A solução desta equação diferencial resultará da adição da solução homogénea
(coluna bi-articulada) com a solução particular, vindo então:
Jrr_ 1tX3 4 (rJ 21tX3
Uz = Asen kx3 + B cos kx3 +(r)- k2 bl sen L+ 4([)- k2 bz sen -y:- + .. (6.6)
A e B são constantes que podem ser calculadas a partir das seguintes condições de
fronteira.
X3=Ü uz= O B=O
-34-
XiJ=L uz=O AsenkL=O
Se restringirmos o estudo a cargas inferiores à carga crítica de Euler (P<PE) teremos que kL < 1t e, por isso, A = O.
Os deslocamentos uz serão então:
b1 1t X3 bz 21t X3 uz = --p- sen L+ 1 p sen ---y:- + ...
1-pE l-4PE (6.7)
A contribuição mais importante provém da componente do 1° termo do
desenvolvimento em série, pelo que se pode usar a seguinte expressão:
b1 1t X3 uz = --p- sen L
1--PE
(6.8)
sem introduzir erro significativo.
Comparando com a equação da coluna bi-articulada, verifica-se a existência de um factor de ampliação dado por
1 p
1-PE
Este resultado pode ser representado pela Figura 19.
-0,15 -o.ro o
Figura 19
-35-
!!J - C} L -
0,05
(6.9)
o.ts
Obs: as trajectórias de equilíbrio são hipérboles assimptóticas a:
p e a Pe =1
1 bl ' 1 d o va or r e norma mente representado pela letra e e designa-se parâmetro e
imperfeição.
b1 representa a amplitude da deformação a meio vão da coluna sem carga.
A equação que traduz o eixo da coluna na configuração deformada sem carga é:
(6.10)
A coluna imperfeita não apresenta carga de bifurcação (carga crítica).
6.2 Efeito da excentricidade
Na prática as forças axiais não estão aplicadas no centro de gravidade das colunas,
e por isso actuam com uma certa excentricidade. Essa excentricidade vai fazer com
que a coluna não se comporte como uma coluna perfeita, isto é, deixa de
apresentar carga de bifurcação.
Considere-se a coluna da Figura 20 na qual a força axial actua com uma
excentricidade e.
-36-
Figura 20
Por equilíbrio obtem-se:
(6.11)
A equação diferencial de equilíbrio pode ser obtida de modo análogo ao dos
outros casos e é dada pela seguinte equação:
uz,33 + k2 uz = - k2 e (6.12)
p com k2=m
A solução da equação diferencial de equilíbrio é:
uz = A sen kx3 + B cos kx3 - e (6.13)
As constantes A e B podem ser obtidas a partir das condições de fronteira.
Assim:
X3=0 uz= O B=e
X3=L uz= O A sen kL =e (cos kL- 1)
-37-
A _ .:_e -'-'( c'-'-os::..ck:.::L::c..--=1:.!_) - senkL
A equação da deformada é:
[1-coskL J
u2 = e sen kL sen kx3 + cos kx3 - 1 (6.14)
e o deslocamento a meio vão é:
L/2 [1 - cos kL . 1 1 J u 2 = e sen kL sm 2 kL + cos2 kL - 1 (6.15)
Para todas as cargas diferentes da carga crítica, sen kL *O e a expressão (6.15) pode
escrever-se:
(6.16)
Neste estudo, interessam-nos cargas inferiores à carga crítica de Euler. Quando P 1 1
tende para Pe o valor 2 kL tende para 2n. Por conseguinte, o intervalo que nos
1 interessa para o parâmetro 2 kL é:
1 Para este intervalo a expressão sec 2kL pode ser substituída pela seguinte
expressão:
O deslocamento máximo a meio vão pode ser então obtido pela expressão:
(1 2 PJ L/2 g1t Pe
u 2 ~e p 1-
Pe
(6.17)
(6.18)
O efeito da excentricidade pode ser traduzido pelo seguinte gráfico (Figura 21):
-38-
'""' e:o
•)O
Figura 21
Obs: O comportamento é semelhante ao efeito da deformação inicial. A tragetória
fundamental deixa de ser uma tragetória de equilíbrio da coluna carregada
excentricamente. Os deslocamentos u2 aumentam gradualmente desde o início
do carregamento.
-39-
7. DIMENSJONAMENTO DE COLUNAS
A teoria que se expôs é válida para colunas perfeitas (rectilíneas e sem tensões
residuais) e cargas axiais aplicadas no centro de gravidade. Como vimos, a coluna
permanecerá rectilínea, pelo menos até que a carga crítica seja atingida.
Na realidade as colunas apresentam sempre imperfeições iniciais, quer sob a
forma de deformações iniciais quer sob a forma de excentricidade da carga.
Devido a estes aspectos inevitáveis, a coluna encurva sob a acção do esforço axial
desde o irúcio da aplicação da carga. A encurvadura provoca, como se viu, tensões
de flexão adicionais, que se elevam quando a carga se aproxima do valor crítico e
fazem com que, de uma maneira geral, a carga crítica dada pela expressão de Euler
não seja atingida, por antes disso se atingir a tensão de cedência do material.
Além disso, a rotura de uma peça por encurvadura tem características de rotura
frágil, isto é, após a encurvadura a resistência da coluna à compressão é
praticamente nula, mesmo que seja constituída por um material dúctil.
Por estes motivos, para a verificação da segurança de colunas esbeltas (peças em
que a tensão crítica de Euler é igual ou inferior à tensão limite de
proporcionalidade) pela teoria anteriormente exposta, utiliza-se um coeficiente
de segurança suplementar (IJI).
Le em que Â.= -.
. 1
(7.1)
(7.2)
'A designa-se por coeficiente de esbelteza e é dado pela relação entre o
comprimento de encurvadura da barra (Le) e o raio de giração (i) da secção
transversal da barra em relação ao eixo correspondente ao plano de encurvadura
considerado.
O coeficiente IJI é geralmente bastante superior à unidade.
-40-
Na regulamentação portuguesa (REAE - Regulamento de Estruturas de Aço para
Edifícios - decreto lei n° 211/86 de 31 de Julho) adopta-se uma valor de \jl = 1.80
para barras longas (Â. > 105).
Para barras curtas, Â. < 20, o coeficiente \jl é considerado igual à unidade, enquanto
que para barras intermédias o seu valor varia linearmente entre 1.0 e 1.8.
A variação do coeficiente de segurança \jl com a esbelteza da barra, é indicado na
Figura 22:
1.?, ------------- ----------------,_,-.,-----
2o 105
Figura 22
n2 E A equação de Euler crer= ---:;:2 representada num gráfico (cr, Â.) por uma hipérbole
é aplicável desde que a tensão crítica (crer) não ultrapasse a tensão limite de
proporcionalidade do material. Isto verifica-se para colunas com Â. > 105. Para
valores inferiores a 105 o valor da tensão (crer) é maior que o valor da tensão
limite de proporcionalidade e a expressão de Euler deixa de ser utilizável.
Para esbelteza inferior a 105, a coluna pode encurvar ainda, mas agora em regime
não elástico. A fórmula de Euler pode ainda ser aplicada desde que se substitua o
módulo de elasticidade E pelo módulo de elasticidade tangente Et, vindo então:
(7.3)
-41-
O módulo de elasticidade tangente Et pode ser obtido a partir dum gráfico cr,e e o
seu valor é dado pela tangente à curva. Verifica-se que é variável com e (Figura
23).
L--------é.
Figura 23
O comportamento das colunas para Â. < 105, é em geral assimilado num gráfico
cr,Â. por uma recta (recta de Tetmayer). Ensaios experimentais realizados em
diversas colunas, mostraram que a expressão do módulo tangente (Et) e a recta de
Tetmayer concordam bastante bem com os resultados obtidos
experimentalmente.
Para esbelteza inferior a 20 (barras curtas), as colunas não são sujeitas a
fenómenos de encurvadura, e o colapso dá-se por esmagamento do material. Para
Â. < 20 a tensão é limitada pela tensão de cedência do material.
As tensões máximas permitidas para os vários tipos de colunas podem então ser
representadas pelo seguinte gráfico (Figura 24):
-42-
020
r-\
\OS
Figura 24
Na regulamentação nacional (REAE) a verificação da segurança em relação à
encurvadura consiste em satisfazer a condição:
(7.4)
em que <Jsd é o valor de cálculo da tensão actuante, determinado tendo em conta
os efeitos de encurvadura, e <Jrd o valor de cálculo da tensão resistente.
Fe360 <Jrd = 235 MPa
Fe430 <Jrd = 275 MPa
Fe510 <Jrd = 355 MPa
O valor <Jsd pode ser obtido pela expressão:
Nsd <Jsct=-
A<p
em que;
Nsd é o valor de cálculo do esforço normal actuante.
A é a área da secção transversal.
(7.5)
<pé o coeficiente de encurvadura da barra, função da esbelteza e do tipo de aço.
-43-
O coeficiente de encurvadura tem também em conta os efeitos de 2• ordem
através da utilização do coeficiente de segurança ljf.
O valor de ljf pode ser obtida pela expressão:
O"máx <p=--
ljf. <Jc (7.6)
Por exemplo, para uma barra longa (/.., > 105) a tensão máxima é condicionada pela
tensão crítica de Euler.
Â, > 105
Se tivermos um aço Fe 360 será <Jc = 235 MP a e E = 206 GPa. Se a esbelteza coluna
fôr maior que 105 ; ljf é 1.8.
Virá então:
rc2 X 2.06 X 105 ;>..,2
<p = 1.8 X 235 4802
que é a expressão que vem no RSA para Â. > 105 e Fe 360.
Em muitos países, o dimensionamento de colunas é baseado em geral numa
única curva de resistência como o da Figura 24.
No entanto, o processo de fabrico (perfis laminados, perfis soldados) introduz
diferenças significativas nas tensões residuais, as quais dependem também da
geometria da secção. As incertezas, no que diz respeito à resistência, podem ser
minoradas a partir da definição de sub-grupos de colunas. Para cada um destes
sub-grupos adopta-se, com base numa análise estatística, uma curva de resistência
média. Obtêm-se assim as chamadas curvas múltiplas de colunas. É importante
notar, nas curvas propostas no ECCS ou no Eurocode n° 3, a referência aos eixos
de flexão. Assim, pela tabela de selecção de curvas, uma secção em I laminada
com h/b > 1.2 deverá ser dimensionada com base na curva a ou na curva b
consoante se considera a encurvadura por flexão em torno do eixo horizontal ou
vertical.
-44-
Em anexo é apresentada a parte do Eurocode 3 referente à verificação da
resistência de colunas sujeitas à compressão.
BIBLIOGRAFIA
A. C. Walker- The buckling of strutts (Chatto & Windus- London 1975)
E. Popov- Mechanics of Materials (Prentice - Hall, Inc. - New Jersey 1978)
C. Massonnet- Resistence des Materiaux (Dunod, Paris)
Timoshonko & Gere - Teory of Elastic Stability (McGraw - Hill, London)
L. Carradi Dell'Acqua - lnstabilitá delle Strutture (Clup - Milano 1978)
-45-
5 Ultimate Limit State ( tUJ\0(0~ ~)
5.1 (5.1] BASIS
5.1.1 (5.1] General
(1) [5.1.1.(2)] The partia/ safety factor y., can be taken as follows:
for resistance of cross-section to overall yielding -r...,
for resistance to buckting -r.,,
for resistance of net section at bolt holes -r..,
for resistance of connections see chapter 6
(2) Numerical values ol the partia! safety factors (as indicated at the time of preparation of the document) are glven in table 5.1
Toble 5.1 Numerical values
EC3 A" B CH o DK E El F GR I IS L N NL p s• SF TR UK Part1
..,_ 1,10 1,00 1,0011 1,10 1,10 1,00 1,10 1.oo• 1,10 1,10 1,00 1,10 1,00 1,10 1,00 1,10 1,05
..,., 1,10 1,00 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,00 1,10 1,00 1,10 1,05
..,., 1,25 1,25 1,2!; 1.25 1,25 1.25 1.25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1.25 1.25 1,20 1,25 1.20
11 in exceptional cases 5% higher 21 in exceptional cases 10% higher 31 in exceptional cases 15% higher
5.4 [5.5] STABIUTY
5.4. 1 Overall stability of structures
(1) The overall stabüity of structures shall be checked. The stabüizing elements shall be designed to resist horizontal forces during and alter construction.
5.4.2 [5.5.1] Buckling of concentrically loaded compression members
(1) The stabüity of compression members (buclding by plane bending) shall be checked according to tihe two principal axes of tihe sectiori with tihe appropriate effective leogths. Exceptionally, lateraltorsional buckting govem.
A f NotJ -" X .:..:....:1:
y IJI
where: x = f(>.) see table 5.21
I = ..l. • ...!.._ I .1.1
>., =r Jf, t,
-46-
(5.11)
Fe360 Fe 430 Fe 510
93,9 86,8 76,4
~able 5.21 Reduction factor x = f(Ã) I olled h/b > 1,2; ~ :S 40mm ny hfb; h/b > 1,2 anyhfb > 100 mm
l·sections ~ :S 100 mm ~:S40mm ~ :S 100 mm both axis
Yi±:-Y --t YIY Z- ~ ~ ly lh z-H-z z z--H-z t, -·
-1.--=Ft .Jo-b--l<- t ,y
f.,elded 1 ~ 40 mm
YIY f. > 40mm; 1 ~ 40mm ~ > 40 mm
-sections
Y±Y ZHZ zHz ~ollow hot rolled: any axis ~ections
(Q) D o welded box
~} thick welds and
ections "/1, < 30; h /1, < 30
~y&YJs D .j._ b _!_J._
pther U-, L~, T- and solid sections lsections ny axis
~[ lT -
-À a . b c d
0.2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Q.3 0.9775 0.9641 0.9491 0.9235 0.4 0.9528 0.92ti1 0.8973 0.8504 0.5 0.9243 0.8842 0.8430 0.7793 0.6 0.8900 0.8371 0.7654 0.7100 0.7 0.8477 0.7837 0.7247 0.6431 0.8 0.7957 0.7245 0.6622 0.5797 0.9 0.7339 0.6612 0.5998_ 0.5208 -1.0 0.6656 0.5970 0.5399 0.4571 1.1 0.5960 0.5352 0.4842 0.4189 1.2 0.5300 0.4761 0.4338 0.3762 1.3 0.4703 0.4269 0.3688 0.3365 1.4 0.4179 0.3617 0.3492 0.3055 1.5 0.3724 0.3422 0.3145 0.2766 1.6 0.3332 0.3079 0.2842 0.2512 1.7 0.2994 0.2781 0.2577 0.2289 1.8 0.2702 0.2521 0.2345 0.2093 1.9 0.2449 0.2294 0.2141 0.1920 2.0 0.2229 0.2095 0.1962 0.1766 2.1 0.2036 0.1920 0.1803 0.1630 2.2 0.1667 0.1765 0.1662 0.1508 2.3 0.1717 0.1628 0.1537 0.1399 2.4 0.1585 0.1506 0.1425 0.1302 2.5 0.1457 0.1397 0.1325 0.1214 2.6 0.1362 0.1299 0.1234 0.1134 2.7 0.1267 0.1211 o. 1153 0.1062 2.8 0.1182 0.1132 0.1079 0.0997 2.9 0.1105 0.1060 0.1012 0.0937 3.0 0.1036 0.0994 0.0951 0.0882
-47-
_/'
(2) [5.8.3.(1 )J
(3)
The effective sleoderness of angles connected at least with two bolts may be calculated as follows:
buckling about the v-v axis:
I .... = 0,35 + o,7I v
buckling about y-y or z-z axis:
I ... , = 0,50 + 0,71,
I.,.. = 0,50 + o,7I.
z ! u
:• •. ~: / I ' : / h l ' i/'
' ' i y-- :i:--- -y ' I ' __,__ =t
/\ I ·J u z v
I -+ h
z
For class 4 sections A .. instead of A should be used, however >. (>. using the radius of gyration of the gross section (p = 1 ,00) .
1/i) rnay be determined
._. Ccnls0 (~)
tnr--~~~~~~~~-;:~=r.·~·~AUO==·~~---,
"' .......... ,
$--... + s:~w.•Jb>l2 Hi Wt.! \V.Iifb :S 12
-i_- Wt"6cd 11 (FCJ
.... ,, Ht W""l H (UM)
..+. R.."Ct .. w M:ll ~ e:ct-fbttt.
-· .......................... + ...... "'· """"'"' 001...-s(twl~ ....... HJ """ IV, •w> !2 '- '-.../ l .................. 05
T Ukc1 lV ri!! wtbf ICOfa-sMi-"t ...... ....., .,.. .... _ ·!fi· l'ôdlklll kl. -.ult4 t.rN: c .... _
ftl W- ... H • .- j: '""'\V,hJ&,;; L2 ----- --=-~-"0 ::j: ,_.III UM) -----~ Tet: Cww d. (lf!M."H}
fil C'bllo:d Hmt sll:.es o o r.bn.. co!d-f'Jiistlrd. d cw~ s ' ..
o~0 -L~~L-~~J--L-L~-7~L-~-L-L~·~~L-~ O!i 1,0 !!i
1- ~L '>..=-:cvEr ·. Europcan multiptc column curves. recommendcd by thc Europc.."Ul Convcntion.of
Constructional Stcclworks (ECCS). (Dascd on initi;s.i out-o[-straightness s, = 0.001 L.)
-48-