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Processamento Digital de Sinais - Lista de Exercícios Suplementares 2- Marcio Eisencraft– março 2012
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Processamento Digital de Sinais
Lista de Exercícios Suplementares 2 - 1° semestre 2012 1. (1072) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 370) Calcule a transformada de Fourier de
tempo discreto dos seguintes sinais:
(a) 6x n u n u n = − −
(b) 1
44
n
x n u n = +
2. (1071) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 376) Obtenha a transformada de
Fourier de tempo discreto do sinal [ ]x n a seguir.
RESP: ( ) 2 3 cos 2 cos 2 cos 3jX e ω ω ω ω= + + + .
3. (1071) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 555) No sistema mostrado a se-
guir, dois sinais ( )1x t e ( )2x t são multiplicados e o produto ( )w t é amostrado por um
trem de impulsos periódico. O sinal ( )1x t é limitado em banda a 1ω e ( )2x t é limitado
em banda a 2ω , isto é,
( )( )1 1
2 2
0,
0,
X j
X j
ω ω ω
ω ω ω
= >
= >.
Determine o máximo período de amostragem T tal que ( )w t possa ser recuperado a partir
de ( )pw t usando um filtro passa-baixas ideal.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
n
x[n
]
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RESP: max1 2
Tπ
ω ω=
+.
4. (1071) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 440) Os primeiros cinco pontos de uma TFD
de oito pontos de uma sequência real são
( )0,25; 0,125 0,3018; 0; 0,125 0,0518; 0j j− − . Determine os três pontos restan-
tes.
RESP: 0,125 0, 0518; 0; 0,125 0, 3018j j+ + .
5. (1071) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 441) Determine a convolução circular entre
as sequências a seguir considerando-as periódicas com período 4:
[ ] [ ]
1
2
1; 2; 3; 1
4; 3; 2; 2
x n
x n
↑
↑
=
=
RESP: [ ] 17; 19; 22; 19y n↑
= .
6. (1062) (HAYES; 1999, p. 240) Considere a sequência:
[ ] [ ] [ ]2 5x n n nδ δ= + −
Calcule a Transformada de Fourier Discreta (TFD) deste sinal com 10N = pontos.
RESP: [ ] 3; 1; 3; 1; 3; 1; 3; 1; 3; 1X k↑
= − − − − − .
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7. (1062) (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 1998, p. 403) Calcule a Transformada de
Fourier de Tempo Discreto (TFTD) do sinal:
[ ] [ ] [ ]2 6x n u n u n= − − −
RESP: ( )2 6
1
j jj
j
e eX e
e
ω ωω
ω
− −
−
−=−
.
8. (1062) (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 1998, p. 556) (1,5) Um sinal contínuo
( )x t é obtido na saída de um filtro passa-baixas ideal com frequência de corte
1000cω π= . Se for realizada uma amostragem com trem de impulsos sobre ( )x t ,
quais dos seguintes períodos de amostragem garantem que ( )x t poderá ser recuperado a
partir de sua versão amostrada utilizando-se um filtro passa-baixas?
(a) 30,5 10T −= × (b) 32 10T −= × (c) 410T −=
RESP: (a) e (c).
9. (1061) (OPPENHEIM; WILSKY; NAWAB, 1997, p. 403) A seguinte função é a trans-
formada de Fourier de tempo discreto de um sinal de tempo discreto.
( )
<≤≤≤
≤≤=
40,
4
3,0
4
3
4,1
πωπωπ
πωπωjeX
(a) Esboce ( )ωjeX no intervalo [ ]ππ 2,2− .
(b) Determine o sinal [ ]nx correspondente a esta transformada.
RESP: (b) [ ]( ) ( )3
sin sin4 4n n
x nn
π π
π
−= .
10. (1061) Um sinal de tempo discreto é composto por apenas duas amostras: [ ]
=
↑banx , .
Determine a TFD [ ]kX deste sinal.
RESP: [ ] ;X k a b a b↑
= + − .
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11. (1061) Deseja-se adicionar um efeito de eco a uma música gravada a uma taxa de 44,1kHz
(qualidade de CD). Deseja-se que o eco esteja atrasado de 0,1 segundo e atenuado de 0,7
em relação ao som principal.
(a) Escreva uma equação de diferenças que represente um filtro que implemente este efeito;
(b) Supondo que as amostras do sinal musical tenham sido lidas e guardadas no vetor x, es-
creva comandos que permitam implementar o efeito de eco descrito e tocar o som resultante
nos alto-falantes do PC.
RESP: (a) [ ] [ ] [ ]0,7 4410y n x n x n= + − .
12. (1052) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 78) Use a equação de definição da TFTD para obter a
representação de domínio de frequência do sinal seguinte. Esboce os espectros de magni-
tude e fase.
[ ] [ ]42
1 −
= nunxn
.
13. As respostas ao impulso de dois sistemas de tempo discreto são dadas por
[ ] [ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ]( )12
1
12
1
2
1
−−=
−+=
nnnh
nnnh
δδ
δδ
Encontre a resposta em frequência de cada sistema e trace graficamente as respostas em mó-
dulo.
14. Encontre uma expressão para a resposta em frequência do sistema de tempo discreto com
resposta ao impulso
[ ] ( ) [ ]nuanh n−=
supondo que 1<a .
15. Com relação ao sinal [ ] ( ) [ ]nunx n2,0= , responda:
(a) este sinal possui TFTD?
(b) se sim, calcule-a usando a definição.
16. Encontre a TFTD dos sinais:
(a) [ ] [ ]( )103
1 −−
nunu
n
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(b) [ ]0nn −δ
(c) ( ) [ ]nunan0cosω , 1<a .
17. (2021) Um sinal analógico ( )ts modulado em AM DSB-SC tem espectro de Fourier mos-
trado a seguir.
Este sinal é amostrado para produzir a sequência [ ] ( )nTsnx = , sendo T o período de amos-
tragem.
(a) Supondo que T seja escolhido de forma que não ocorra “aliasing”, esboce a TFTD
( )ωjeX da sequência [ ]nx .
(b) Qual é a menor frequência de amostragem T que pode ser usada sem que ocorra nenhuma
distorção por “aliasing”, isto é, de forma que ( )ts possa ser recuperado a partir de [ ]nx ? Justi-
fique sua resposta.
18. (3021) Um sinal analógico ( )tx tem transformada de Fourier ( )ωjX mostrado a seguir
sendo ω dado em rad/s.
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Pergunta-se:
(a) Qual o maior intervalo de amostragem ST com que este sinal pode ser amostrado de forma
a não ocorrer “aliasing”?
(b) Esboce a TFTD do sinal amostrado [ ] ( )SnTxnx = supondo que não ocorre “aliasing”.
19. Use a equação de definição da SFTD para avaliar a representação da SFTD dos seguintes
sinais. Esboce os espectros de magnitude e fase.
(a) [ ]
+=613
6cos
ππnnx
(b) [ ] 121
10cos
21
4sin +
+
= nnnxππ
20. Use a definição da SFTD para determinar os sinais de tempo representados pelos seguin-
tes coeficientes da SFTD.
(a) [ ]
= kkX17
6cos
π
(b) [ ]
+
= kjkkX21
4sin
21
10cos
ππ
21. Suponha que sua saída de um sistema seja
( ) ≤≤
=contrário aso ,0
20,sin
c
ttty
Obtenha [ ]ny resultado da amostragem de ( )ty entre 0 e 4s com um período de amostragem
25,0=ST s.
22. Sendo 2,1=Sf kHz discuta se ocorrerá aliasing na reconstrução de senóides com frequên-
cias 400=f Hz, 800=f Hz, 1200=f Hz, 1600=f Hz, 2100=f Hz e 2600=f Hz e
determine Af .
23. (1032) O impulso unitário [ ]nδ juntamente com a operação de convolução pode ser usado
para representar matematicamente sinais periódicos. Seja o sinal de tempo discreto mos-
trado a seguir.
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(a) Esboce [ ] [ ] [ ]nnxnya δ∗=
(b) Esboce [ ] [ ] [ ] [ ]( )5−+∗= nnnxnyb δδ
(c) Esboce [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )105 −+−+∗= nnnnxnyc δδδ
(d) Esboce [ ] [ ] [ ]∑∞
−∞=
−∗=ℓ
ℓ5nnxnyp δ
(e) Calcule [ ] [ ] [ ]nynyna pp ⊗=
24. (1032) Um filtro digital tem resposta ao impulso dada por [ ] [ ]nunhn
=2
1.
(a) Determine sua resposta em frequência. Este filtro é passa-altas ou passa-baixas?
(b) Este filtro é FIR ou IIR? Justifique.
(d) Escreva uma série de comandos que poderiam ser utilizados no Matlab para obter um grá-
fico da resposta deste filtro a uma entrada [ ] [ ]nunnx
=4
cosπ
para 1000 ≤≤ n . Considere
apenas os 50 primeiros pontos da resposta ao impulso para obter o seu resultado.
RESP: (a) ( ) ωω
jj
eeH −−
=2
2; (b) Filtro passa-baixas.
25. (1032) Um DSP possui em sua entrada um amostrador com frequência de amostragem
12kHz. Coloca-se em sua entrada uma senóide ( ) ( )ttx Ω= cos . Para cada um dos valores
de Ω a seguir, escreva se haverá aliasing e, em caso positivo, em qual frequência apare-
cerá.
a) 1,5kHz; (b) 3kHz; (c) 5kHz; (d) 11kHz; (e) 19kHz; (f) 35kHz.
RESP: (a) não; (b) não; (c) não; (d) 1=af kHz; (e) 5=af kHz; (f) 1=af kHz.
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26. (1032) Calcule a TFD [ ]kX com 6=N pontos do sinal [ ] 1,0,0,0,0,1=nx e
esboce o seu módulo.
27. (1041) [OPPENHEIM, p. 253] Determine a saída do filtro mostrado na figura a seguir
para cada uma das seguintes entradas periódicas:
(a) [ ] ( )nnx 11 −=
(b) [ ]
++=48
3sin12
ππnnx
Figura 1 – Resposta em frequência de um filtro digital [OPPENHEIM]
RESP: (a) [ ] 0=ny ; (b) [ ]
+=48
3sin
ππnny .
28. (1041) [OPPENHEIM, p. 400] Use a equação de análise da transformada de Fourier
(TFTD) para calcular a transformada de:
[ ] [ ]12
11
−
=−
nunxn
.
Esboce e coloque escala em um período da magnitude da transformada.
29. (P1-2°semestre 2004) [MITRA, p. 181] (1,0) Determine a TFTD da seguinte sequência:
[ ]
≤≤−
=contrário caso,0
,11
NnNny .
RESP: ( )
+
=
2sin
2
12sin
1 ω
ωω
N
eY j.
30. [OPPENHEIM, p. 556] Sabe-se que um sinal real ( )tx pode ser unicamente determinado
por suas amostras quando a frequência de amostragem é πω 10000=S . Para que valores
de ω pode-se garantir que ( )ωjX é nula? JUSTIFIQUE.