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UN]VERSIDADE DE SÃO PAULO
rNsTtruro DE ríslca
EMISSÃO NP NUCTEONS VIA MECANISMO DE
FESHB Ac;l¡l-ZABEK NA COf,fSÃO PEltIFpnfC¿, np2-. ÍoNS PESADoS RptATrvrsrrcos
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lícrn LIANt BARZSBI-IFUSP
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Dissertação de Mestrado
submetida ao lnstituto de física
da Universidade de São Paulo
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ORIENTAD r A F. R. de TOLEDO PIZA
SÃO PAULO
1990
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EncalRw:3CEP:l
I 593"'4,L2-13 ¿9 L.vtL.T
Sr
FrcHA cArALocnÁrrcePreparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação
do InstÍtuto de FÍsica da UnÍversldade de São Paulo
Berz, Ligia LiæliÞnissao.de ¡L¡cleø¡s vla rncanlsp de Festibaclr-
Zabek na collsä periférica de íørs pesados rnelætfvísticos. Sä- Paulo, 1990.
Dissertação (restrado) - f¡:fr¡er"sld* de ,SãoPatrlo. Instihrto de Fisica. Departarento de Fisl-ca Matemåttca.
Área de Cqrcentraçã: Física l\hrcl-earOrientador: Profs Dr. Antq¡io Fernando Ribelro
de Toledo Plza,
thúterrnos; !. Ions ¡nsados.relatfvisticos; 2.Collsões periféricas nn:ctee-nn:cLeo ern aLtas enerÞgias; 3. Corrrel-ações nrrcleæruclesr.
f.
Aos meus pais Alberto e EdYpelo amor e dedicação
Agradecimentos
Enr especi al ao Piza, pela sugestão do trabalho, dedicação e paciência durante estes
três anos de orientação. 'ì
Ao Fernando e Mírian pelas enriquecedoras discussões e à Carolina pelas ex-
plicações valiosas onde sempre se mostrou solícita em me ajudar.
À Graciela, Vanderley, Orildo e Luis Guilherme pela ajuda nos cálculos numéricos
e ao Jorge delyra pelo inestimável auxílio no IATBX do manuscrito.
Às amigas Hatsumi, Mônica e Nelmara e ao amigo Sérgio pelo incentivo nos
momentos difíceis.
Aos colegas de sala Lin, Manuel, Sidney e Sílvia pela agradável convivência.
Às secretárias da pós-graduação pelo apoio nas questões burocráticas e à CAPBS
pelo apoio financeiro.
Aos meus irmãos Sérgio, Olmiro e Jânio, às minhas irmãs Loreni e Ladeli e ao
meu cunhado Renato pela compreensão e incentivo. Aos meus sobrinhos Krisagon
e Karla pelos momentos inesquecíveis de carinho e descontração.
Resumo
','i-o mecanismo de "troca de fônon" de Feshbach e Zabek1 é revisto e uma discussào
detalhada é fornecida sobre o papel das leis de conservação e relação "tipo fônon"
entre energia e momento transferidos. São investigados os efeitos de correlações
de curto alcance na emissã.o de nucleons em colisões periféricas de íons pesados
relativísticos. A seçã.o de choque é calculada na aproximação de Born. usando uma
a.daptaçã.o conveniente do modelo de KaroF para o estado inicial e ondas planas,
explicitamente ortogonalizadas ao estado inicial, para estados finais. Comparações
com os resultados obtidos por Bertulani et a/. 3 usando ondas planas puras para. o
estado final mostram que a ortogona.liza.çã.o desempenha um papel relevante no valor
obtido para a seção de choque. Discute-se também a sensibilidade do resultado aos
parâmetros usados na discussã.o do estado inicial.
Abstract
The "phonon exchange" mechanism of Feshbach and Z~hek1 is reviewed and the
role of the conservation laws and of the "phonon-like" relation between energy and
transfered momentum is discussed. The effects of short range correlations for the
emission of pair in peripheral relativistic heavy ions collisions are investigated. The
cross section is calculated in Born aproximation using a suitable modification of
Karol's model2 for the inicial state and plane waves, explicitly ortogonalized to the
inicial state, for the final states. Comparisons with the results obtained by Bertulani
et aP using pure plane waves for the final statc show that the ortogonalization has
a non-negligibe effect on the magnitude of the resulting cross-sections. Sensitivity
to the para.meters involved in the description of the inicial state is also discussed.
t
Indice
Introdução
1 Tratamento Teórico dos þfeitos de Correlações
Ð
lfde Curto Alcance 4
4
aI
10
11
1.1 Aspectos qualitativos
I.2 Definições
1.3 Ortogonalização explícita do estado final ao estado inicial
1.4 Seção de choque diferencial
2 Aplicações Numéricas e Discussão
2.I Aplicações numéricas
2.2 Discussão dos resultados e conclusões
15
15
16
202.3 Gráficos
A Dedução da expressão para a seção de choque diferencial quádrupla 31
B A aproximação de Karol para a densidade nuclear superficial 36
Referências 37
1
Introdução
O uso de íons pesados na investigação de sistemas nucleares e atômicos é de crescente
importância. A física dos íons pesados começou com o estuudo de reações nucleares
induzidas por Carbono, Nitrogênio e Oxigênio, há algumas äécadas. No entanto, foi
nos últimos vinte anos que surgiu um grande interesse em projéteis mais pesados.
Tópicos atuais de pesquisa incluem reações nucleares envolvendo a transfer'ência de
grandes quantidades de momento angular, massa e energia, o subseqüente fenômeno
de relaxação, fusão e fissão de sistemas pesados e a estrutura do núcleo a energia
de excitação e momento angular elevados. Finalmente, colisões entle núcleos com-
plexos a energias relativísticas oferecem, entre outras, a possibilidade de produzir
e estudar a matéria nuclear sob condições extremas de densidade e temperatura,
no caso de colisões centrais. Em tais colisões, de núcleos idênticos por exemplo, liá
grandes transferências de energia e momento conduzindo a um sistema muito denso
que, subseqüentemente, explode. Em processos periféricos, onde apenas a região su-
perficial interage, inforrnações de outra natureza podem ser obtidas. Este tlabalho,
em particular, utiliza tais plocessos como possíveis indicadores de propriedades da
função de correlação nuclear.
Embora os maiores esforços têm sido concentrados na investigação dos produtos
de reações nucleares entre íons pesados relativísticos envolvendo colisões centlais,
colisões distantes e periféricas têm provocado interesse devido a sua potencialidade
como sondas de aspectos da estrutura nuclear dificilmente acessíveis através de ou-
tras técnicas.
Em particular, Rshbach e Zabekl, desenvolveranì uma teoria, mostlanclo a
relevância das colrelações de curto alcance entre dois nucleons, em uma colisão
2
periférica de íons pesados relativísticos, usando uma aproximação de impulsoa.
Bertulani et al.3 calcularam as seções de choque para a emissão de um par de
nucleons através desse mecanismo num modelo particularmente simples. O cálculo
é perturbativo e usa Gaussianas correlacionadas para estados iniciais e ondas planas
para estados finais. O trabalho que será exposto utiliza a teoria desenvolvida pol
Feshbach e Zabek 1 e o modelo de Bertulani el ø/.3 introduzindo a or-togonalização
explícita do estado final ao estado inicial não considerada por estes últimos autores.
O capítulo 1 contém uma revisão do mecanismo de "troca de fônon" de Feshbach
eZabekl, ou seja, uma discussão do papel das leis de conservação, da relação "tipo
fônon" entre energia e momento transferidos e da importfncia de correlações entre
pares de nucleons. Introduziremos o cálculo perturbativo das seções de choque para
a produção de pares de nucleons em colisões periféricas, a energias da ordem de
centenas de MeVIA ou maiores.
No segundo capítulo aplicaremos a teoria desenvolvida no primeilo para dois
sistemas específicos,,noCo+a0 Ca aI4.SGeVlu "2389 +to" Ag aIGeVlu. Desse
modo, estaremos em condições de comparar estes resultados com os obtidos, para os
mesmos sistemas, por Bertul ani et ø/.3, revelando os efeitos devido a ortogonalizaçáo
imposta entre os estados inicial e final.
3
-
Capítulo 1
Tratamentode Correlaç
Teórico dos Efeitosões de Curto Alcance
'i¡
1.1 Aspectos qualitativos
Uma descrição qualitativa da emissão de nucleons em colisões periféricas de íons
pesados relativísticos pode ser dada. Assume-se que em tais colisões o núcleo projétil
se aproxima do núcleo alvo numa trajetória retilínea. Quando o projétil ultrapassa
o alvo, os nucleons do alvo sentem um pulso de força. É assumido, também, que as
superfícies nucleares não têm tempo para se deformar em resposta ao pulso curto
de campo nuclear. Bntão, podemos determinar a enelgia de excitaçã.o através do
cálculo do momento transferido (impulso).
Um pulso de interação com dulação A?, tem a energia
E-L (r.1)AT
onde A? é dado pela escala A,Z (da ordem do diâmetro do projéiil), L,Zl1 no
referencial do alvo, dividida pela velocidade do projétil u, que é muito próxima a c,
a velocidade da lv. 1é o fator relativístico padrão introduzido aqui para considelal
a contração de LorenLzde LZ. Bntão, a energiae o momento do pulso de intelação
nuclear é
hruH.N-
LZ (r 2)
4
It'1P" - T-z
(1.3)
Para situações típicas A,Z corresponde a uns poucos Fermis e o pulso de interação
nuclear pode carregar várias centenas de MeV. As equações acima mostram que o
campo satisfaz a equação de dispersão
E:pu. (1.4)
Podemos, então, pensar que esta energia e este momento transferidos são calrega-
dos por um "fônon" (quantum de massa zerc). Feshbach eþbekl mostraram que os
fônons dificilmente seriam absorvidos por um único nucleon, visto que, um nucleon
com a mesma energia, B, do fônon teria um momento apreciavelmente maior,
p: (1.5)
Isto pode ser melhor entendido observando a fig.(1.1), eue mostra a energia calcu-
lada em função do mornento para as equações (1.2) (curva pontilhada), (1.4) (curvas
cheias) para o :0.5 c, u:0.75c e u : c e (1.5) (curva tracejada). Calculamos a
energia da equação (1.2) para A,Z : IÍm. Os pontos onde a curva pontilhada ctuza
as curvas cheias representam a energia e o momento do fônon com as velocidades
consideradas acima.
Entretanto, o fônon poderia sel absorvido por um par de nucleons collelaciona-
dos. Esta absorção do fônon pelos dois nucleons pode proceder porque, então, é
possível casar a energia transferida com o baixo momento transferido pelo fônon.
Os momentos dos nucleons poderão se cancelar parcialmente de modo que o rno-
mento total é compatível com a equação (1.3).
A seção de choque para a emissão de um par de nucleons depende da ploba-
bilidade de absorção do fônon pelo par. Isto inclui a correlação dos dois nucleons
de forma essencial e dependê de r", o alcance da função de colrelação entle os dois
nucleons.
"] * 2mE >) E-
cou
5
,
0.7 5
c¡
É
h¡0,6
0.26
00 0,26 0.5 0,76 I
P/mc
Figura 1.1:A energia em funçã,o do momento (em unidades adimensionais) segundo a relaçãode incerteza (eq.(I.Z)), do fônon absorvido (curva pontilhada),'segundo a equaçã,ode dispersão (eq.(l.4)) para u:0.5 c, u:0.T5ce u: c (curvas cheias) e, segundo
a equação relativística da energia (eq.(1.5)), do nucleon (curva tracejada).
t)
v=4.75
v=0.5c
v=c
,I
-
L.2 Definições
Vamos estudar quantitativamente os efeitos das correlações de curto alcance em
colisões periféricas de íons pesados relativísticos no contexto do modelo proposto
por Bertulani et a1.3.
Figura 1.2:
A colisão de um núcleo projétii, com a contração de Lorentz, com um par de
nucleons em um núcleo alvo.
Na figura (1.2) ilustraûros a colisão alvo-projétil. O núcleo projétil se aploxima
do núcieo alvo com velocidade constante próxima a velocidade da luz, I) x c) ao longo
da direção z. A interação do projétil com o alvo é representada por um potencial
nucleon-núcleo que apresenta a contração de Lorentz e ulna dependência espacial
Gaussiana, para simplificar o cálculo da araplitude de probabilidade. Então
V(i;,t): lVnexp (1.6)
onde (X, Y,, Z) e (*;,y¿, z¡) dão as posições do projétil e dos dois nucleons do alvo,
respectivamente, com ô : Xz +Y2 , Z : ut e 1 - (1 - u2fc2)-1/2, o fator rela-
tivístico padråo introduzido aqui para dar conta da contlação de Lot'entz da densi-
dade. Os parâmetros V, e op são escolhidos cle modo a reproduzir a magnitude e a
I
V
Tb
q\
z
difusividade de um potencial Woods-Saxon na superfície nuclear e, segundo Karol2,
estes parâmetros estão relacionados aos parâmetros radial e difusividaàe, Rp e a,
respectivamente por
v,:+".r{#} (1.7)
(1.8)4Rp 4.4a + 4.4a
4ln 5
2
dp:
onde4lnS:6.43775...Numa aproximação de perturbação de primeiru o.d"-fi.p.oxir.ração de Born),
o efeito de tal potencial é alterar o estado de um único nucleon. No entanto, utll
segundo nucleon correlacionado ao primeiro, também terá o seu estado alterado
já em primeira ordem. A amplitude de probabilidade, a ser calculada, refere-se à
probabilidade de mudança, do estado inicial ú;, no alvo, para o estado final \Þ¡, de
dois nucleons emergentes (livres).
a¡;(b) : #, l:dt e''t I cl"rrd3r2vi(n ,F2)lrl(fl,t) + v(í2,¿)l v;('-,,r-r) (1.9)
onde ñø - Ef - E; e ó é o parâmetro de impacto. Corno de costume) enì colisões
lelativísticas periféricas é feita a aproximação de trajetória retilínea para o projétil.
Consistentemente com a aproximação perturbativa de primeira ordem, a velocidade
relativa é constante.
Como estamos interessados na emissão de um par de nucleons, a função de onda
final tem a forma
Ül(f, ,ir) : "'Êt'û "'Ê2'íz (1'10)
a menos de um fator adicional dependente das coordenadas dos outros nucleous,
tratados como espectadores passivos. Bm (1.10), Ér1;:1,2) são os vetores de onda
dos nucleons emitidos.
A forma cia funçåo de onda inicial é escolhida de modo a obedecer alguns clitér'ios:
I
ø. vamos supor que as funções de onda de cada nucleon sejam proporcionais à
densidade nuclear;
b. como em colisões próximas surgem efeitos de absorção, apenas a região da
superfície dos núcleos envolvidos é relevante. A densidade a ser considerada, por-
tanto, deve reproduzir realisticamente a região superficial da densidade do alvo.
Dessa forma, podemos utilizar a aproximação introduzida por Karol2 e aproximar a
densidade nuclear na superficie por uma Gaussiana (e portanto, devido ao critério
ø, também as funções de onda) com normalização conveniente;
c. dadas essas "funções de onda Gaussianas" de par!ícula independente, cor-
relações de curto alcance são introduzidas através de uira função tipo Jastrow,
I - f(rtr) com /(0) = 1 e /(-) : 0, sendo / tomada também corrìo utna gaussiana.
Assim, a função de onda inicial tem a forma
ü¿("-,, í,):/ú;exp { *}"'e{-e}['-*o{ t#t}] (i11)
onde r" é o alcance de correlação e a7 é a largura da Gaussiana, relacionada ao raio
e difusividade do alvo numa maneira similar a (1.8), ou seja
afuy(4.4a) + (4.4a)2aT
_ EXD2'
(r.12)
(1.13)
4ln 5
Segundo Karol2, a constante de normalização N; é
N,3 1 Ri
c.27an*?¡lt*##]Esta nolmalizaçã,o, em particular, superestima drásticamente o valor da densi-
dade no interior do núcleo. Isto no entanto, não tem maiores consequências devido
ao caráíer periférico da colisão e da natureza de curto alcance das for'ças nucleares.
No cálculo da seção de choque, tal restrição é introduzida restringindo a integração
sobre parâmetros de impacto a valores maiores que uma distância da oldem do
início do processo de absorção forte, eliminando os efeitos do interior iruclear (veja
eq.(1. ie)).
I
L.3 Ortogonalização explícita do estado final aoestado inicial
A função de onda final ü¡ (eq.(1.10)) não está ortogonalizada a função de onda
inicial ü¿ (eq.(1.11)), ou seja, (ü¡l V;) I 0. Isso é um defeito de princípio que
pode ser eliminado ortogonalizando explicitamente o estado final ao estado inicial
correlacionado, isto é, usando emvez de lü¡),
l,þù: lür) .V (1.14)
Assim, de fato, temos uma função de onda frnal rþ¡(í1, r-2), explicitamente or-
togonalizada a funçã,o de onda inicial, !ü¿(ft, íz),, e que se reduz assintóticarrente ao
produto de duas ondas planas.
,þ ¡(ír, ír) : e'i''r' "tÊz'r2 - C ¡; exp
- l"-t - irl'llr! ll
{ t*}*{r|
2oT
X 1 -exp (1.15)
(1.16)
onde definimos C¡l como
C¡,
Um cálculo direto dessa quantidade dá
C¡,
com
10
^, (ürl ür),'t 1E,'¡ ü;)
(å. i)-'''u
-t12
I&
I
rl
.å)
I
I v2\* *-;t)-112
-1/2
p
p
2"7
1
ú*-- lt'
r!(1.17)
A amplitude de probabilidade, a¡;, é, entã,o, calculada, trocando na equação (1.9)
üt(t",f2) por ,þ¡(fr,i2). Veja detalhes do cálculo no apêndice A.
É importante notar que a ortogonali zaçã.o (1.14) introdç correlações também no
estado final (1.15) a ser usado na amplitude de transição (eq.(1.9)). Essas correlações
incluem correlações de alcance maior que rc, em particular, através da contribuição
expressa em termos do produto de duas gaussianas, ligada ao primeiro termo do
último colchete na eq.(1.15). Por outro lado, a presença da funçã,o de Jastrow
assinala também a presença de correlações de curto alcance no estado final (1.15).
L.4 Seção de choque diferencial
A aproximação de Born é utiliza.da para calcular a seção de choque pa,ra uma
transição i -- f . A probabilidade total de que os nucleons sejam emitidos, com
vetores de onda (Ér,Ëù fixados, a qualquer parâmetro de impacto é dada por
zn [* la¡;l2bdb (1.18)JRr+Rr' '-'
A integral acima é cortada em ô : Re *.Ra para eliminar os efeitos de absorção
forte que surgem em colisões próximas.
A seção de choque para a emissão de um par de nucleons correlacionados pode
ser obtida multiplicando a equação (1.18) pela densidade de estados de ondas planas
finais, d3hdsk2l(2r)6 , e peló número de pares de nucleons no alvo, A7(Ar - 7) l2 -ATl2. Em tennos das energias cinéticas e1,€.2 e das direções (d1, ót),(ïr,dr), dot
dois nucleons, esta seção de choque é
11
daO f3 ¡2 'æ
Eãã;ffi,= ffi\Fte¿ J*,**,laÀ2bdu (1'1e)
onde m é a massa do nucleon e A7 é o número de massa do alvo.
A expressã,o o¡;(b) em termos das energias cinéticas e das direções dos dois nu-
cleons é
o¡;(b) -'n*o?tfro" "*o
T"¡ : 4a!7e2 exp
(Ta - 7"" - To,) (1.20)í -o'r,t \| +t'"'J
onde,s >:ì
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2
(1.21)
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X
X
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{ #l'ncos á1 + 6,ß cos o2 - " :;t#1'\T2
X
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exp
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exp
exp
p2
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12 -r/2
2o', r!
(1.25)
B é a energia de ligação do par de nucleons correlacionados.
No próximo capítulo faremos algumas aplicações numéricas dessas expressões.
s,¡*
T4
Capítulo 2
Aplicações Numéricas e Discussão
tf2.L Aplicações numéricas
Alguns exemplos de aplicação da expressão da seção de choque diferencial quádrupla
serão mostrados aqui. Consideramos a aplicação da equaçáo (1.19) aos sistemas
Aoca +4o Ca a Ia.SGeVlu e 238(J +ro8 Ag a IGeVf u. Neste último.caso, vamos
supor que os nucleons são emitidos do núcleo de Urânio. O sistema de referência
adotado é o do Urânio.,
Calculamos numericamente a integral da equação (1.19) para os dois sistemas
citados acima. Para os parâmetros ro, rc, ø, B e V" utilizamos os valores 7.2fm,
0.7 f m,0.65f m, L6M eV e 50MeV, respectivamente.
Na figura (2.1), mostramos a seção de choque diferencial calculada em função
das energias cinéticas €1 € €2, paîa os dois nucleons emitidos em sentidos opostos
(0, : Ao e 02: 180") ao longo da direção do feixe, nos dois sistemas acima. A figura
(2.2) refere-se aos valores da seção de choque diferencial calculados em funçåo de e2
e 02 fixando 01 em 90o e €1 €rn 50M eV . Neste caso, o primeiro nucleon é emitido
perpendicularmente a direção do feixe.
As curvas de nível, que aparecem nessas figuras, estão em escala logarítmica (isto
é, curvas de nível sucessivas correspondem a valores da seção de choque que diferem
por um fator 10).
Fixamos estes valores de modo que possamos comparar nossos resultados com
os obtidos por Bertulanü et ht.3, já, que eles os utilizaram por resultarem ern valores
15
apreciáveis da seção de choque diferencial em ambos os sistemas. Por simplicidade
consideramos que o pa,r de nucleons é emitido em um plano contendo a direção do
feixe, û-Óz=1"80o.As figuras (2.3) e (2.4) referem-se aos valores da seção de choque diferencial
calculados em função de e1 e €2 para, dr = 0o e 02 = 180o e, em função de e2 e 02 para
et = 50MeV e 07 = 90o, respectivamente, obtidos por Bertulani et a1.3, utilizando
os parâmetros
dp:
ay=
¡f' =
2{"Rp
2\f;Rr3
4"RT'(2.1)
em vez de (1.8), (1.12) e (1.13) (não fizemos aqui as aproximações introduzidas por
esses autores, r! 11 o'rraz7 e u: c). As curvas de nível estão também em escala
logarítmica. A expressão da seçã,o de choque da ref.[3] foi obtida desprezando, em
il¿(t-r, r'z), o primeiro termo dentro do colchete (cujo termo'não contém a correlação
de curto alcance entre os nucleons).
2.2 Discussão dos resultados e conclusões
Nesta seção vamos discutir os resultados, obtidos na seçã,o anterior, da aplicaçã,o
da eq.(1.19) aos dois sistemas considerados. Vamos comparar os gráficos obtidos
(fig.(2.t) e (2.2)) com os da ref.þl (fig.(Z.S) e (2.4)). Discutiremos, também, os
efeitos dos parâmetros, usados na discussão do estado inicial, sobre o valor da seção
de choque diferencial.
Um estudo da topografia das figuras (2.1) e (2.2) revela que tais gráficos apre-
sentam três regiões mais elevadas separadas por "depressões".
Observamos que a primeira região, a mais elevada das três, tem máximos €rn €1
e €2 muito baixos (fig.(2.1)) e, é constante com a variaçã,o de 0z para uma meslra
energia, e2 (fr,g.(2.2)). Interpretamos esta região como proveniente das correlações de
16
F,1,.ìllLì ii:-ìÀ t-
-.x
o
otrÈ
CÊf,,,r. r', r'r
lr'j
.t./i- ltl,J v'"
longo alcance no estado final. Observamos, inclusive (nafrg.(2.2)), q,r" nesta região
o par de nucleons tem momento transverso apreciável e momento longitudinal rnuito
pequeno, contrariando as expectativas de encontrar o par de nucleons com momento
longitudinal apreciável em virtude do fônon absorvido carregar momento ao longo
da direçã,o do feixe, como discutido na seção (1.1).
Bncontramos uma segunda região, mais baixa do que a primeira, onde os valor-es
de e1 > e2 (ß,g.(2.I)) " 0, ( 90o, e2 ) 20MeV (fr,g.(2.2)), em ambos os sistemas.
Notamos que essa região é semelhante à encontrada nas figuras (2.3) e (2.4) e,
como as curvas de nível destes gráficos foram obtidas da expressão.da seção de
choque diferencial segundo a ref.[3], onde apenas as correlações de curto alcance
foram consideradas, identificarnos, então, a segunda região com cor-relações de curto
alcance no estado inicial.
Finalmente, encontramos uma terceira região onde os valores de e2 ) e1 (fig.(2.1))
e, 02 ) 90", e2 >_ 20M eV (fig.(2.2)), também em ambos os sistemas. Esta é a legião
proveniente das correlações de curto alcance no estado final, introduzida através da
ortogonali zaçã"o entre os estados inicial e final, como discutido na seção (1.3). Apesar-
desta região ser, qualitativamente, muito rica em detalhes, não nos detelemos mais
nela, poìs tal região desempenha um papel quantitativamente secundár'io em virtude
dos baixos valores da seção de choque diferencial, os quais são replesentados pelas
curvas de nível. Veja, como ilustração, as figuras (2.5) e (2.6) onde ca,lcula,mos a
seção de choque diferencial em função de e1 e e2 para os dois sistemas ern questão,
com d1 : 90o e (a) 02 - 60o, (b) 0r: 95o no sistema Ca * Ca e 02: 105o no
sistema U + Ag e (c) 02: 170o. Observe que tais gráficos contém cortels da fig.(2.2)
nos ângulos descritos acima. A riqueza de detalhes mencionada é palticulalrnente
visível nas figuras (2.5ó) e (2.6ó).
Observando a região proveniente das correlações de curto alcance no estado ini-
cial, notamos que o nucleon emitido no nresmo sentido do movimento do feixe,
carrega ulna energia maior. Isto é uma consequência direta do fato que os fônons
absorvidos carregam monento ao longo da direção do feixe. Para, nucleons emitidos
em sentidos opostos (0r:0o e 02: 180") ao longo da direção do feixe (fig.(2.i)),
r7
suas energias mais prováveis são e1 - I45MeV ee2tSlMeV, no sistema Ca*Cae €1 ! 67MeV e €.2 t 27MeV, no sistema U * Ag.
Para um nucleon emitido perpendicularmente a direção do feixe (0t :90o) com
energia et : 50MeV, constatamos que a energia e a direção mais prováveis do
segundo nucleon são e2 - 74MeV e 0z - 64o, no sistema Ca * Ca e e2 - 57MeV
e 02 = 64o, no sistema U + Ag. Nestes ângulos e energias confirmamos, o que
se esperava segundo a discussão da seção (1.1), que o momento transverso do par
de nucleons é relativamente pequeno e o momento longitudinal é aproximadamente
igual ao momento do fônon absorvido (rlr).\l
Co* Co U + Ag
k=t.Zk. f.= r.ozÎlo
640
z z
[, [,,
Estas propriedades da seção de choque diferencial quádrupla ilustradas nas fi-
guras (2.1) e (2.2) sãro os sinais da emissão de pares de nucleons via as correlações
nucleon-nucleon de curto alcance.
Para verificarmos a sensibilidade do resultado aos parâmetros N¡, ap ê dy, vamos
compará-los com os utilizados na ref.[3] (eq.(Z.t)). Para diferenciá-los vamos usar
os símbolos K e B, respectivamente. Cálculos numéricos mostram que
NjK) ;' ¡¿jr) (2.2)
.,g) > of') " "F) > ",ft + ç@) 2 ç6) (2.3)
onde G(8) " 6t(lr) referem-se aos valores da seção de choque diferencial calculados
com a mesma coustante de nolmalizaçâo (Nj') : ¡üjr() : t¡.
18
Entã,o,
/"Jt\ :n /ctar1\ilttl - Rw " (,õ-,1 - Rc Q'4)
sendo .Eiv e .R6 constantes adimensionais maiores do que 1.
No sistema Ca * Ca temos ,Rc )) ¡?iv. Desse modo, os valores da seçåo de
choque diferencial p.ru .lrjryì , .,tr) " .,f) são menores do que para NJ'), of) "
ol4. Jár, no sistema tl + Ag temos ,Riv )) Rc, a situaçã,o se inverte porqr" NjK)
cresce exponencialmente com .R7, ou seja, possui valores muito grandes em sistemasÈ'e
mais pesados.
Isso pode ser visto na fig.(2.7), cuja figura foi obtida aa fazermos um corte
nas fig.(2.2a) e Q.aa) ã €2:67MeV e nas fig.(2.2b) e (2.ab) ã, e2:45MeV,visto que estamos interessados nos efeitos das correlações de curto alcance e onde
obtemos valores apreciáveis da seção de choque diferencial na região proveniente das
correlações de curto alcance no estado final. Ilustramos a seção de choque diferencial
em função de 92, segundo os cálculos da ref.[3] puru NjB) , o(f),of ) l"rrruus cheias)
e para NJ"), of), "f) (curvas pontilhadas) e, segundo a equação (1.19) (curvas
tracejadas). Esta última curva inclui a ortogonalizaçã,o entre os estados inicial e
final.
Ao compararmos as duas primeiras curvas notamos que as constantes
Nj^), c,f),crtK) ptod, ziramuma diminuição do valor da seção de choque diferencial
no sistema Ca * Ca e um aumento no sistema U * Ag. A terceira curva mostra uma
diminuição no valor da seçåo de choque diferencial encontrado na segunda curva, isto
é, a ortogonalização entre os estados inicial e final produz uma dirninuição do valor
da seção de choque encontrado por Bertulani et a1.3, para os mesmos par'âmetros.
Na figura (2.S) constatamos que as constantes utilizadas poï Karol2,
Nj*), c'f),,of) l"nrvas tracejadas), reproduzem corretamente o valor da clensidade
na superfície nuclear. Esta é uma condição que deve ser satisfeita em virtude dos
critérios o, e b, do capítulo 1, utilizados na escolha da forma de {ri eq.(1.11). Isto,
no entanto, não ocorre no caso das constant", NjB),o9),oft) 1"u.uu,s pontilhadas).
19
As curvas cheias correspondem a distribuição de densidade de Woods-Saxon (veja
eq.(8.1) no aPêndice B).
Nas figuras (2.9) e (2.10) ilustramos a seção de choque diferencial quádrupla
como uma função de e1 e e2 para diversos valores de r". Verificamos que há uma
sensível alteração na topografia especialmente para variações grandes de r" (isto
ê, r" variando até valores da ordem do raio nuclear). A sensibilidade a rc parece
aumentar, no entanto, com a energia do feixe, como pode ser visto comparando a
fig.(2.9) (E,ou : Ia.SGeVlu) com a fig.(2.10) (8,"u - IGeVlu). Isso pode sugerir
a possibilidade de extrair um alcance médio de correlações na região superficial do
núcleo através do estudo experimental da distribuição no plano e1 x e2 dos nucle-
ons emitidos numa dada geometrias. É ìnp."rcindível, porém, examinar modelos
nucleares mais realísticos antes que processos desta natureza possam sel conside-
rados instrumentos quantitativos para o estudo da função de correlação nucleon-
nucleon na região superficial de núcleos. Tais modelos devem, em particular, conter
uma parametrização mais completa e mais flexível da função de correlação nuclear.
Dado o caráter ingênuo do modelo nuclear adotado aqui, a suposição de que as seções
de choque dele obtidas sejam diretamente aplicáveis quantitativamente a seções de
choque experimentais parece, no mínimo, precipitada.
2.3 Gráficos
Nesta seção colocaremos todos os gráficos aos quais nos referimos nas duas primeilas
seções deste capítulo.
20
Co+CoEtqb= 74.5 GeV/u
(o)
rte
t20
^99o
=À¡(t 6e $+'}
ee
ot t8 109 t50
r30
U+ AgEtob= l GeV/u
(b)
t2a
^9øo
=uT t,
3ø
ø38 t I ?go
€1(MeV)
Figura 2.1:Seção de choque diferencial quádrupla (daof d,efie2dùÅnù da eq.(1.19) para
dr : 0o e 02 : 180o, como uma função de e1 e e2. Aseção de choque é dada em(f ml M eV)2.
2t
reo
t60
t1l'
lzø
3 to,øoL9aE
N@6o
ae
2A
e
r96
t66
t.lg
l2ø
î toøao5aøó' êø
10
2ø
o
(o)
(b)
Co+CoEtob= 74.5 GeV/u
.ì.+f
t
t30
5e
39
t9,a
U+ Ag
Etob= tGeV/ u
¡
€2 (MeV)
?aøt
Figura 2.2:A seção de choque da Fig.(2.1) como uma função de e2 e 02para01 e e fixados enr
90" e 50MeV, respectivamente.
22
Co+CoEfob= 74.5 GeV/u
(o)
r56
l¿o
9A
3ui 6ø
ito
aa 5A 1 t56
t5ø
U+AgEtob= 1 GeV/u
(b)
tza
;rutu
=Ntu 6ø
3A
øg 50 1eg I 2øø
C1 (MeV)
Figura 2.3:
Seção de choque diferencial quádrupla (daof defiezdù1dùz) da ref.[3] para 0r :0o c,
dz : 180o, como uma função de e1 e e2. A seção de choque é dada em ([mlAIeV)2.
23
r¡oCo+CoEtob = 14'5 GeV/u
(o)¡66
t.lg
tza
antoEl
N(D
rta
30
60
.ø
2ø
ela lDO 150 2âø
tgo
t6a U+AgEtob' l GeV/u
(b)
.t,
=tr'Lcn
(\¡(D
taø
tza
r9g
Bø
6ø
aø
2ø
øt 3g 100 !50
€2 (MeV )
O
Figura 2.4:A seçåo de choque da Fig.(2.3) como uma funçã,o de e2 e 02 para dr : g0o e
et=50MeV.
24
r3g Co+CoOz = 60"
r2.}
tr"e,ã
.rT "u
(o)
ezcø
çq + Co êe = 95o .I.Ito
rlg
too
=ui" óo
'E
(b)I
!29
Co+Co
Oz = 1?o"
^90o,g,¡I ."
'B (c)
e5e teg !5e
€1(McV)
Figura 2.5:A seção de choque da Fig.(2.1) ern funçã.o de e1 e €2 rlo sistema Co ! Ca, para
dr : 90o e (a) 02: 60o, (b) 0r: 95o e (c) 02: 170o.
25
¡50
^ 9e!
o3
(\,tu go U+Ag
ge = 60"
to
(o)g
tloU+AgOz = 4O5"
rto
o
=N
t¡, 60
te(b)
tle
tts u+AgQz= 17O"
^90o
_=
uI ""
to (c)
G
åee
€q ( McV)
Figura 2.6:A seção de choque da Fig.(2.1) como uma função de e1 e (2, ao sistema U + Ag,,
para d1 :90o e (a) 02:60o, (b) 0, = 105o e (c) 02: 170o.
26
çq+Co€2= 61 MeV
(o)
.ta
I
3
2
I
0
30
25
20
t5
0
5
0
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N
ÞiÞtriþ\U"!lò
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ÊçIor
NqÞiÞq-ï\ll.¡Jb\lJçÞ
0
0
50
50
t00
t00A2 (grous)
t50
t50
200
200
I
ú rìI rìi rìi rli rli rlI rìí rì
í ¡ì, r'ì, rl, r',
(b)IIII
rìrìt'r
U+Ag€z = 45 MeV
:
I¡
tÌ:
I
I
Figura 2.7:(ø) Cortes nas Fig.(2.2a) e Q.aQ Êm (2:6lAtleV. Seção de choque difelencial
quádrupla calculada em função de 02, segundo a ref.[3] para Njt), of),"f)(curvas cheias) e para /4^), "9r),"'lj')
(curvas po'tilhadas) e, segundo aeq.(l.1g)(curvas tracejadas). (¿r) o mesmo de (a) com cortes nas Fig.(2.zlt) e (2.4b) em
ez:45MeV'
0.2
0,15¡r)
Êl+..
(/)cogU3c
ta_
0.î
0.05
00t23166789
R (fm)
A densidade nuclear para aoc a;rttttïli l"oriaud" de woods-saxon (curvascheias) e a densidade Gaussial3 p?I3 ¡rJ"), of),,of) (curvas tracejadas) e para
¡trJ"), c,f,), c,çl (curvas pontilhadas).
î01l
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1
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C. r C. . tc.a.t l. C. . C¡ t ...1.4 l.tta tL
(o) (b)
rta tta
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5 t¿ar lt II
t3a
tto
C. . C¡ a ?c.9.ì ¡. €r (MeV )
(e)
o,
=NUJ
t€
II
€1(MeV )
Figula 2.9:O mesmo da Fig.(2.1) para (o) ," -- 0.5f m, (ó)
"" -- I.0f nt, (r) ,": 1lf nt, (d)
r, :2'0f nt. e (e) r. :3.0f n¿, no sistema Ca * Ca.
29
t'. U . Ì, . FC.a,t t¡!L U . ì, . F3¡t,a t.
(o) (b)Ita tta
t¡,
=N
t,
I t
¡a
a
V . ùl , .c.l.l f. tlt U. t\. rc.¿.¡ t.
(c) (d)
>r.(¡)
=N(u 6r
IG
30
I
3tltt
tlc U+4.rÊ.t.¡t.€'r (MeV)
(e)
(¡,
=Nu/ 6C
tel
o
€r (MeV )
Figura 2.10:O mesnro da Fig.(2.9), no sistemaLl * Ag
30
Apêndice A
Dedução da expressão para aseção de choque diferençialquádrupla
Vamos detalhar os cálculos que conduziram a expressão da seção de choque diferen-
cial quádrupla (eq.(1.19)).
Substituindo ü; (eq.(1.11)),,rþ¡ ("q,.(L i5)) e V (eq.(1.6)) na equação (1.9), obte-
mos
a¡¿(b) : bfZl:dte,,t ld,,Å,,2[*oi-,f¿.ñ, + Ë, iù]
-c ît*o{-W}['-*o{"i*)llI t'@t - ,¡)'\\----e-lX exp
exp
(x - *¡)')*'{
(Y- )') ",.0aþ
r?+rZ2oT
o"
X )t1-exp 1_ li' -'-rl'\l'3 1(A 1)
A integração sobre o tempo pode ser facilmente efetuada e conseguimos o lesul-
tado
#".0{- #}"*o{","}Assim,
31
(A.2)
aÍ¿ w# ."r {-ffi} å t l du,,d',,"*p {-,(ã, r-, * Ë, Fù}
x exp {-"'¡
+ Q: ù'} *o {tf\".' {- Wb
- | asrra'?n2 €Xp {-rt*, 'fr + ,r ',ù\*o {-
xexP.W}*o{ t#}*t¡*( v¡)' ?,QZ j
o"exp
u
-c,, I d3r1d3,2".0 {-
üEÅ} *o {?}e' {-r?+rZ
a27
+2C¡; I d"rrd'rr*o {-rl+(b-y¡)'
)".0 {.?\o"( r"+rl\
x exp \--a- ¡exp I -lr=t - irl'\trt)
_c¡, I au
* ",.0 {-
r1d,3r2",.0 {-
r,j +(b-a)'
)*o {.f}r?+r7
o.27
o"2lú - í2]l2 (A.3)exp
12"
vamos calculal, analiticar¡ente, a primeira integral da equação acllrìa, ou seJa)
3¡ : I dtrrd"rr"*p {-r(t, ' r-t * ã, A)} *P
xexp t"f)"*o {W\
x2,+(b-a¡)'o"
(A.4)
Podemos escrever S¡ como um produto dos fatores cartesianos S¡", S¡, e 33'
Jj" : t: d*t Ëd"r2exp {-a(k1"r1 + kz"xz)\
X exp úd2P
exp _r? + nZ
2"7
t: t: dy2exp {-r(ktoAt * kzoYz)}J JAdyt
32
(A.5)
(A.6)
xexp{ #('-å)}*o{'+\ (A7)
onde k¿7(i : I,2) é a componente transversal de t¿.
Obtemos uma expressão similar para j:2, trocando os índices 1 e 2.
O cálculo das demais integrais e dos coeficientes (V;l V;) " (ü¿1.Ü¡) segue o
mesmo procedimento, assim
(A.8)
Sr, : ll*0" I]*orrexp {-z(k1 "zt * kz,zz)}
I ze2bfio)
\--4-¡
{ +(r,,-î)'}
(r', -ï)')
(Ta-T""-To,)
ra: r--,,!ye2",.o{- ""(r-#)} [",.'{ ry}"*,,{ +}
2T
2
y?+yZ2"7
t
o.
€'lr?,4
exp
{ry}",.,{
) ".'{
-2t-221122-1ÇCalculamos as integrais acima para j-l e obtemos
{
#)\t'k?rl4l
exp
exp
o'P'241tr'
1
{
o¡r(b) :Y-t!#, ",.0 {-
b - y¡)'
exp
oTk3"
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exp
2
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u
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grs_ Jinror"*P
II
2
x exp
x exp
QT
2tra?7 exp
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31 : 4tr3a$e2 exp
t
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Desse modo,
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33
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slssl'lO.
xq)
ôt3leIlì
-¡¿
"å1*
E, definimos
c¡; =", lYll Y,'J (4.14)''' (ütl ü¿)
Para obter a seçã,o de choque diferencial segundo a ref.[3], basta fazer T1 :Ts = 0 e considerar os parâmetros N¡, op € o2" corfio descritos pela eq.(2.1). A
partir daqui, fazer as aproximaçóes rf; 11 a2p,,azy e u - ce expandir þ, p,6 e B até
termos de segunda ord"*.
$
35
Apêndice B
A aproximação de Karol para adensidade nuclear superfiçial
A densidade de Woods-Saxon é dada por
p(R) =Po (8.1)
1+exp{ry}com
3Ar (8,2)Po=arufilt * ##,,]
A densidade gaussiana segundo Karol2 é
p(R) =p(o)exp{_#}
onde o1 é dado pela eq.(1.12) e p(0) é
p(0) = 'rro"*n{#\
(8.3)
(8.4)
Embora essa aproximação superestime fortemente a densidade nuclear na região
central do núcleo, os valores prescritos de crs "
p(0) dã,o uma representaçã,o bastante
razo¡ível da densidade nuclear na região superficial (confira na fig.(2.8)).
36
Referências
[1] H.Feshbach eM.Zabek, Ann. Phys. 107(1977)110; H. Feshbach, Prog. Part
Nucl. Phys. 4(1980)451. È.
[2] P.J. Karol, Phys. Rev. Cl1(1975)1203.
[3] C. A. Bertulani, L. F. Canto, R. Donângelo e J. O. Rasmussen, Mod. Phys
Lett. 14(1989)1315.
[4] B. F. Bayman, P. J. Ellis, S. Fricke e I. C. Tang, Phys. Rev. Lett. 53(1984)1322.
[5] F. S. Navarra e M.'C. Nemes, aceito para publicação em Phys. Rev. C
[6] I. S. Gradshteyn e I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series and Products (Aca-
demic Press Inc., 1965).
37