embedded, doubly periodic minimal surfacesembedded, doubly periodic minimal surfaces wayne rossman,...

23
Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of the Construction 3. Background Results Needed for the Construction 4. The Examples M k 5. The Examples M + k 6. The Examples M k 7. The Examples M 2k+1 8. The Examples M ++ 2k+1 9. The Examples M + k Appendix: A Proof of Lemma 4.1 Acknowledgements Bibliography We consider the question of existence of embedded doubly pe- riodic minimal surfaces in 3 with Scherk-type ends, surfaces that topologically are Scherk’s doubly periodic surface with han- dles added in various ways. We extend the existence results of H. Karcher and F. Wei to more cases, and we find other cases where existence does not hold. 1. INTRODUCTION c A K Peters, Ltd. 1058-6458/2000 $0.50 per page Experimental Mathematics 9:2, page 197

Upload: others

Post on 30-Jul-2020

30 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesWayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth

CONTENTS

1. Introduction2. Overview of the Construction3. Background Results Needed for the Construction4. The Examples Mk

5. The Examples M+k

6. The Examples M�k

7. The Examples M���2k+1

8. The Examples M++2k+1

9. The Examples M+ �k

Appendix: A Proof of Lemma 4.1AcknowledgementsBibliography

���������� �����������������������������������! "��#���$&%('� "�#)'��*�����#)�����! "��#+�)#�����, �-��#�!��.0/1%3254�6)7�7�6�8�9:��#���.0/1%2;4�9)7�<�6�8=>��#��?��@�!�)BA�C %DC.E���������F:�#3����GIHJ#)�� , ����#����� , �-��#�E.�HK25*ML06�<�258�N�HPO�<�Q�6)7�Q>��GI����R ���)$" "��S/+�������F@���! "'���$&%3'� "�#�'�T����������� , �-��FU��GV�!�)XW�Y:'�0��G&HJ#)�� , �O����Z����'-�[CI\]����$ , �F^�)���? ������!�)������������?�3�?%(*I_`<�Q�N>����A�#� a��!�! �5���GK_P��#�#���#����!�) R $"cb���#��)���a��#�d���F^����$"�)�e2e%3�� Gf�!��# , C

We consider the question of existence of embedded doubly pe-riodic minimal surfaces in g 3 with Scherk-type ends, surfacesthat topologically are Scherk’s doubly periodic surface with han-dles added in various ways. We extend the existence results ofH. Karcher and F. Wei to more cases, and we find other caseswhere existence does not hold.

1. INTRODUCTIONhji^kmlVn3o3p�q�nsrut�v&vPt)w1x�n3yDz&q�{}|p~q�q��~�5��|�q���o�qsy&�+|p~q���n3��|o�yM��x��uq�|�q&��q����0q�{�{~q�{��0{�yM�~���u�Ux0q�n3�uyP{��5o`���5���5��l&�^��~n���!l&o�q�|�yj�0q1�!yM����{���5��o�q]hji~�Po3p�q�n�����So��5l&���5o�l&��q��Pl&��x��uq&�� p��5o3p�{�lV|�q��^�!nyM��t��&�&�Ji>��q+{~q��~y&|�q�kmlVn3o(p~q�n����^��~n�-l&o�q�K�����j�-��q�qm >�u¡M�~nq�tV���uq��!|(¢(i� ~yM�5�uy � �5�~¡�|p��5�+{��5�o�yDz&q�n3�&���q��£rut�v&v&¤¥w]o�yM���|�n3��o�|�q�{¦l&�§q����0q�{�{~q�{T�^{~yM�~���u�¨x0q�n3�©�yJ{��5oª���n�!l&o�qªy&�B¡&q��K����| � y��K��l&{�{��5�~¡`l«p�l&��{��uq£|�y�� ��- ^�u¡M��nq¬tV�So�q��K|�q�n)¢(i���qU{~q��o�n(�u�Eq­l¨�~q � q����0q�{�{~q�{T�¡&q��K���s| � y®�3�~n�-l&o�q¯|p�lV|snq��3���u|����nyM�°l&{�{��5�~¡±l¦{��u�e���q�nq��K|�|��JxEq²y&�]p�l&��{��uq�|�y¨� � �- >�u¡M�~nq¨tV�:n3�u¡MpK|(¢(�@l&��{yM�~|�5�5�~q³|p~qm{��©´0q�nq���o�q����0q�| � q�q��­|p�q���q³| � y�¡&q��J����| � y��~n�-l&o�q���i:µ���l&{�{��u|�uyM�T� � qªo�yM����|�n3��o�|�|p~nq�q³o�yM�5�uq�o�|�uyM���y&�]�~q � �:q����0q�{�{~q�{¦��~n�-l&o�q���y&�1¡&q��J���`|p~nq�q�|p�lV|`nq������u|^��nyM�¶l&{�{��5��¡]q��u|p~q�n:| � y³p�l&��{��uq��Xy&��|p�q?�l&��q�|Z�Kx0q�-��q�q� >�u¡M�~nq�¤M¢�y&n³| � y·p�l&��{��uq��£y&�?{��©´Eq�n3q��I|ª|��Jx0q·�-��q�q ^�u¡M��nq¸�M¢(i¹��3�5�~¡ml³|�q�o3p����5ºK��q]{��5�o�y¥z&q�nq�{��J��kjlVn3o3p~q�nSl&��{�»^yM�©�

|p��uq�nsr ��i�{Ti w�|�yUnq�{���o�q�|p~q��J�����0q�nmy&��x0q�n3�uyJ{��m|�yU�0qo�yM����5{~q�nq�{�� � q±lVnq®lV���uq�|�y¼l&{�{¶q���{��½|�y¾|p~q��-���P�{�l&��q��K|l&�ªx��uq�o�q¬y&�`q�l&o3p¿��~n�-l&o�q�x�nq��q��I|�q�{ � �u|p~yM�~|�5��o�nq�l&��5�~¡À|p~q�{��5��q�����uyM�¼y&��|p�q§x0q�n3�uyP{Áx�n3y&���uq������|p~q�nq��J�mx�nyP{���o��5�~¡�o�yM���I|lV���u�j��l&�K�³{��©´Eq�n3q��I|^�!l&�²�5�5�uq��y&�?�~q � ��q����Eq�{�{~q�{½q��Pl&��x��uq��³�!y&nmq�l&o3p§y&�S|p~q²p�l&��{��uq|��JxEq��]�p~y � �·�5�· >�u¡M�~nq��¸tml&��{·¤Ji p~qSq��P�5��|�q���o�q?x�nyKy&�-�B��y&n^|p~q?¡&q��K���^| � y³��~n3�!l&o�q��Bnq��

ºK���un3qª�yM�uzJ�5�~¡«yM��q���{��5��q����3�uyM��l&�ExEq�n(�uyJ{�x�ny&���uq������Pl&��{|p~q³q��P�5�|�q���o�qjx�n3yKy&�-����y&n]|p~q³¡&q��K���1|p~nq�qm�3�~n�-l&o�q��+nq��ºK���un3q���yM�uzJ�5��¡·q��u|p~q�njyM��q���{��5��q����3�uyM��l&�>y&nj| � yV��{��5��q��P���uyM��l&�SxEq�n(�uyJ{}x�ny&���uq��²���>{~q�x0q���{��5�~¡·yM�¦|p~q²|��Jx0q��¸y&�p�l&��{��uq�� � q?o3p~yJyM��q&i>�Ãp~q��j|p�q�x0q�n3�uyP{mx�ny&���uq��¿�5�ByM�~q��

A K Peters, Ltd.1058-6458/2000 $0.50 per page

Experimental Mathematics 9:2, page 197

Page 2: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

198 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

FIGURE 1. ������������� ���������������������������� ����! �"�#���$�%����'& �)( ��*�+�-,-.�/0��1! �2�#���#�%� �*'& �� ( �*�� ����-,-.������3�$ �'�$���$�%���*'&54�76{��5��q�����uyM��l&�X�-l&�S�!y&nS|p~q£��~n�-l&o�q��?�5�² >�u¡M�~nq��£t£l&��{²¤M¢(�� q����q�|p~qs�5�I|�q�n(��q�{��5lV|�q�z[l&�5��q�|p�q�y&nq�� |�y½��yM�uz&q­�u|�i�Ãp~q����u|��5��| � yV��{��5��q�����uyM��l&�³�-l&�`�!y&n�|p�q����n�!l&o�q��`�5� >�u¡M�~nqª�M¢(� � q�l&o(p��uq�z&q³lj��yM�5�~|�uyM�²�J������5�~¡jl¸��lVx�x��5�~¡{~q�¡&nq�qmlVn3¡M����q��K|���l`�J�5��{sy&�B¡&q��~q�n(l&�5�98�lV|�uyM�¯y&�^|p~qm�5�P�|�q�n3��q�{��5lV|�q³z[l&�5��qm|p~q�y&nq��Ui��q¸����{­|p�lV|��5�¯|p~qj| � yso�l&��q��£y&�:¡&q��K���]|p~n3q�q¸��~n�

�-l&o�q�� � �u|p§��yM�~njq���{��ml&��{}p�l&��{��uq��my&�?|p�q��l&��q�|��JxEq|p~q�x0q�n3�uyJ{½x�n3y&���uq����£p�l�z&q���y���yM�5��|�uyM�Timµ��¯|p�q���q`q��K�o�q�x�|�uyM��l&�To�l&�q�� � qm{�q���yM����|�n(lV|�q£l«��lV|��n3l&�E¡&q�yM��q�|�n3�5oy&����|�n(��o�|�uyM�­|�y«q��~�5��|�q���o�q&��l&�·y&����|�n3��o�|�uyM�·|p�lV|1{��5�lVx~�x0q�lVn3� � p~q��U��y&nqªq���{��]lVnqjl&{�{~q�{s|�y�|p~qj��~n3�!l&o�q���i

2. OVERVIEW OF THE CONSTRUCTIONkmlVn3o(p~q�n����¸y&n3�u¡M�5��l&�?��~n�-l&o�q���� � lVnqsp��u¡Mp��u�¬���P����q�|��n3�5o;:^|p~q��¨p�l�z&q�|p�nq�q��`�~|��l&�5�u�½xEq�n3xEq���{��5o����5lVnªx��5l&�~q��y&�B��J�²��q�|�n�«l&��{so�yM�K|l&�5�·�!yM�~n�z&q�n|�5o�l&����|�n3l&�u¡MpK|1�5�5�~q��

�- >�u¡M�~nq��³tV�~�uq��!|?l&��{��J�~�uq��!|(¢(i  p~q�|p~nq�q£x��5l&�~q���{��uzP�5{~q|p~q³���n�!l&o�q³�5�K|�y`q��u¡MpI|+x��uq�o�q���i=<�l&o(psx��uq�o�q³�5���EyM����{~q�{�J�¨x��5l&��lVnm¡&q�yP{~q���5o²o��~nz&q����^l&��{¬p�l&�³yM��q�q���{Ti��~�5��o�ql&�5�0|p~q³���n�!l&o�q�� � q � �5�5�0{��5�o������p~q�nq³�p�lVnqª|p~q��q£x��5l[���lVn1��J�²��q�|�n3�uq�� � q � �5�5�0��yPo����?yM�syM�~q³q��u¡MpK|p­y&�X|p~q��q���n�!l&o�q���l&��{­{~n3l � ���&q�|o(p~q��]y&�>|p��5�1xEy&n3|�uyM�­yM���u�&i p~q£��n3��|���yP{��©��o�lV|�uyM��y&�X� � � l&�+��l&{~q��K�� ?iJ��q��

rut�v&v&¤¥w�� � p~y¯o�yM����|�n3��o�|�q�{�l·yM��q���x�lVn3l&��q�|�q�n`�-l&���5�u��y&�¡&q��J���­| � y®q��~l&��x��uq��­� �� �J� l&{�{��5�~¡®l±��5�~¡M�uq¬p�l&�P�{��uq�y¥z&q�nUyM�~q¨y&��|p~q¨| � y �l&{�{��uq½x0yM�5�K|�sy&��� � �-�q�q >�u¡M�~nq��½tV�]o�q��K|�q�n�l&��{ �J�]o�q��K|�q�n)¢(i?>]q�o�q��I|�u� �u| � l&�{��5�3o�yDz&q�nq�{��J�UkmlVn(o3p~q�nml&��{¨»^yM�u|p��uq�n�r �Ti�{�i w·�-l&��{¯|p�q��q�o�yM��{¬l&�~|p~y&nm�5��{�q�xEq���{~q��I|�u��¢]|p�lV|jl&�~y&|p�q�nm��yP{��©���o�lV|�uyM�Ày&�³� � � l&��x0yM���u���uq&i  p��5���~q � ��~n�-l&o�qU� 4�nq��3���u|���!nyM� l&{�{��5�~¡§l¬p�l&��{��uq·|�y§� � �5� l¬{��©´0q�nq��K|{��un3q�o�|�uyM�T�]|p~q�n3q��K�®x�nyJ{���o��5�~¡§l&�~y&|p�q�ns{�yM�~���u��x0q�n3�©�yP{��5oV�Xq����0q�{�{~q�{½���5���5��l&�^��~n�-l&o�q«y&�S¡&q��J���³| � y~i²�Pq�q >�u¡M�~nq��¸tV��n3�u¡MpK|]l&��{U�J��n3�u¡MpI|�i

6 June 2000 at 10:58

Page 3: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 199

FIGURE 2. ����� ������� ����� ��������� ��� & ���� ����� &54 4� 6

FIGURE 3. ������������� ��������� �* ����� &54 �� ( ��*�+�-, ����� &54 ��( ����� ��, 6

6 June 2000 at 10:58

Page 4: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

200 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

Wei’sModification

���������������������������

���������������������

���������

������������������

������

��� ���

���������

������

���������

������

Karcher−Polthier’sModification

Portion of the surfacesinside the dashed

rectangles is shown inall other computer images.

����������

����������

����������

����������

������������

���������

������������

���������

��������������������

���������������

��������������� �����

����������

���������������������

���������������������

���������

���������

���������

���������������

����������

����������

������������������

��������������������

FIGURE 4. & � . & �� .������ &54� ������� �-�$ �3� � �$�)�$ ��� ��� � � ���9���� 6

V3

B4

B5

B1

V4

V1

E

B3

B2V2

V3

B4

B5

B6

V4

V5

E

B3

B1

V1B2

V2

V3

B4

B5

B6

V4

E

B3

B1

V5

V1B2

V2

FIGURE 5. ��*���� ��� ����� �� �� �� �$ ��� & ��( ��*�+�-,-. & �� ( �*�� ����-,-.������ & 4� ( �$� �� ��, 6

Remark on Notation.µ��¨y&n3{�q�nm|�y·{��5��|�5�~¡M���5�p¨|p~q�| � y

¡&q��J���ª| � yU��~n3�!l&o�q���� � q«zP�uq � � � ��nyM� lV�0y¥z&q&�B�5��lV¡V��5���5�~¡²|p�lV|�� � x�ny ��q�o�|�£�5�I|�ys|p~q¸���5l&o�U�3ºK��lVn3q��]y&�@l&��5�P�����u|�q&�M���5l&o��l&��{ � p��u|�q]o(p~q�o�&q�n3�EyMlVn({�x�lV|�|�q�n3��� � �u|p|p~qSz&q�n|�5o�l&�P��|�n3l&�u¡MpK|^�5�5�~q��Bx�ny ��q�o�|�5�~¡£yM�I|�y£|p~q?o�y&n3�~q�n3�y&�:|p~q���q«�ºJ��lVnq��`�-��q�q« >�u¡M�~nq��K¢(i£ �nyM� |p��5�£xEq�n(��x0q�o)�|�uz&q&�V|p~qSp�l&��{��uq��Xl&{�{~q�{³�J�³��q��Mx�ny ��q�o�|B�5�K|�y]|p�q����5l&o3�nq�¡M�uyM��� � p��5�uq+|p~q1�~q � p�l&��{��uq��>x�ny ��q�o�|@�5�K|�ym|p~q � p��u|�qyM�~q���ijµ��½�0y&|p�o�l&��q����T|p~q�l&{�{��u|�uyM��l&�>p�l&��{��uq��³��yJ{��u���|p~q�o(p~q�o�&q�n¸�EyMlVn({¨x�lV|�|�q�n3�¬�5�K|�yUls|�5�5�5�~¡·�²l&{~q«�~x�y&�nq�o�|l&�~¡M���5lVn³nq�¡M�uyM���ªl&�ª�5�£�5��{��5o�lV|�q�{��5�¯ >�u¡M�~n3q��~iª��q{~q��~y&|�q+|p�q]p�l&��{��uq��@yDz&q�n�|p�q1���5l&o�«�ºJ��lVnq�� � �u|p�l³��P�x0q�n3�o�n3�ux�|����m�5�Jl&��{�|p~yM��q�yDz&q�n�|p~q � p��u|�q��3ºK��lVn3q�� � �u|pl���~x0q�n3�o�n(�ux�|����`�5i�h�q���o�q&�£�5�Ã|p��5�­�~y&|lV|�uyM�T�ª��q��-���¡&q��J���@| � y`��~n�-l&o�q��5�Snq��!q�nnq�{�|�y¸l&�?� �� �Pl&��{�|p~q]�~q ���~n3�!l&o�qm{��5�3o������q�{­�5�¯�Pq�o�|�uyM�½�`�5��� 4� i

<Sl&o3p±��~n3�!l&o�qs{��5�o����3��q�{��5�}|p��5�¸x�lVxEq�n`�5�uq��«�5��lUyM��q��x�lVn(l&��q�|�q�n��-l&���5�u�¦y&��q����0q�{�{~q�{����n�!l&o�q���i �P�5��o�q � qlVnq¨�5�K|�q�nq���|�q�{Ã�5�®|p~q¯|�y&x0yM�uy&¡M�5o�l&�³ºK��l&�5�u|�uq���y&�³|p~q��q���n�!l&o�q����~yM�~n1�~y&|lV|�uyM�·|p�yM�~¡Mp~yM�~|+|p~q³x�lVxEq�n � �5�5�T��y&|nq���q�o�|¸|p~qs��x0q�o��©��o²��~n�-l&o�q²�5�}|p~q��-l&���5�u�&i  p~q²�3�~�~��o�n(�ux�|1�5��{~q��Pq���|p~q³�K���¸�0q�n?y&�Xq���{���yM�sq�l&o3p­q��u¡MpK|p·y&�|p~q¸��~n�-l&o�q&i�?y&|p�� 4� l&��{�� �� p�lDz&q���²l&�5�uq�nS���P����q�|�n�m¡&nyM�~x��

|p�l&�ÃkmlVn(o3p~q�n�����y&n3�u¡M�5��l&�³��~n�-l&o�q :³�5� x�lVn|�5o����5lVn��1|p�qz&q�n|�5o�l&�¸��|�n3l&�u¡MpK|U�5�5�~q��­y&��� � lVnq�q��5�5���5��lV|�q�{Ti  p~qºJ�~q���|�uyM����µ��«�u|`xEyM�3��u���uq�|�y¨l&{�{¦p�l&��{��uq���|�y����`l&��{x�n3q���q�nz&q£|p~q]y&n3�u¡M�5��l&�����P����q�|�n3�uq������¯�5�?lj��lV|�~n3l&��yM��q&i��q����u¡MpK|�����y&n�q��Pl&��x��uq&� � l&�I|�|�y�l&{�{·q��u|p�q�n�l ������y&nl ���j��|��Jx0qmp�l&��{��uqml&��{·x�nq���q�nz&q³|p�qmz&q�n|�5o�l&�X�|�n3l&�u¡MpI|�5�5�~q���i >1y&|lV|�uyM�½lV�0yM�~|+|p~q���q¸�5�5�~q��¸�-��q�q  p~q�y&nq�� �Ji;tD¢x��5l&o�q���l&�~y&|p~q�n�p�l&��{��uqUyDz&q�n�|p~q·y&|p~q�n��l&{�{��uq·x0yM�5�K|

6 June 2000 at 10:58

Page 5: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 201

y&��� � i  p��5� � yM���5{ nq�����u|¨�5� lÀ¡&q��J���¨|p~nq�q±���n���-l&o�q � �u|p ��yM��n��Po3p�q�n��q���{���i®µ�|��5��q�l&���±|�y§�5��lV¡M�5��q���o3pÃl���~n�-l&o�q¨��y&nsq��u|p~q�n­|Z�Kx0q¨y&�jp�l&��{��uq&i µ���{�q�q�{T�|p~q³���¡&¡&q���|�q�{·o�yM� ���~¡MlV|�qmo�yM�K|�yM�~n1y&�XyM��q£q��u¡MpK|p­y&�Bq��©�|p~q�n���~n�-l&o�qU���x�x0y&n|�`l§»��5lV|�q�l&�À��yM�5�~|�uyM� |p�lV|��5�²l�Mq��~�J�5�����P�Jq�nn3�5�·¡&n3lVx�p}r��Mq��~�P�5���1l&��{¨�Jq�nn3�5�¬t�v����¥w�iª�Jyl³�²�5���5��l&�J��~n�-l&o�q � �u|p`�0yM����{�lVn�mq��~�5��|� � �u|p`|p~q1{�q����un3q�{¸�p�lVxEq&�[���~| � q?yM���u�³�P�~y � |p�lV|Bo�q�n3|l&�5�¸�0yM����{��5�~¡x��5l&��lVn¸o��~nz&q��¸�5�uq²�5�§x�lVn3l&�5�uq��@x��5l&�~q���i���q²|p~q��}�`����|��yM�uz&qª|p~q�yM�~q���{��5��q�����uyM��l&�~x0q�n3�uyP{�x�ny&���uq�� y&nD�Kq�ºJ���uzK�l&�uq��K|�u�&�^�3p~y � |p�lV|³|p�q�x�lVn3l&�5�uq��:x��5l&�~q��³o�yM�5��o��5{~q&i¸��q� �5�5�0x�nyDz&q³|p�lV|+�~q��u|p�q�n+y&�X|p~q���q³x0q�n3�uyP{�x�ny&���uq��²�SlVn3q��yM�uzVlV���uq&�@l&��{ � q²{~y½��y¯�J�¨����{��5�~¡·��lV|�~n3l&�Sy&����|�n(��o)�|�uyM���£yM�¯|p~q¸o�y&n3nq���x0yM��{��5�~¡²o�yM� ����¡MlV|�q`�3�~n�-l&o�q���i]¹£�P�{~q�n(��|l&��{��5�~¡�|p~q���q?y&����|�n3��o�|�uyM����� � qSnq�l&�5�98�q+�u|>�5�^xEyM�3��©����uq¸|�y�y¥z&q�n3o�yM��q�|p~q�� �K�­l&{�{��5��¡���y&nqjq���{��1|�y²q�l&o3p���n�!l&o�q&i��?q�o�l&����q�y&�j|p~q�{~q���unq�{À���P����q�|�n(�uq����+q�l&o3pq��u¡MpK|p§y&�+|p�q���q²���n�!l&o�q��¸�`����|mp�lDz&q²l&�}yJ{�{§�K�����0q�ny&�@q���{���i1µ���{~q��~�5�~¡��J�­|p��5�£�K���¸�0q�n�� � q`�p~y � |p~q�x0q��n3�uyP{½x�ny&���uq��²��lVn3q`��q�z&q�nm��yM�uz&q�{�yM�¨� ���� l&��{¨� 4 4� �l&��{¬|p�lV|m�!y&n��� t«|p�q�x0q�n3�uyJ{¨x�ny&���uq����ªl&��yJo��5lV|�q�{|�y½� ����� 4 � l&��{§� 4 4�� 4 � lVnq���yM�uzVlV���uq&i  p~q���~x0q�n3�3o�n3�ux�|�5��{��5o�lV|�q��­|p~q¨|��Jx0q��²y&��p�l&��{��uq��sl&{�{�q�{ |�y±�±��i��Pq�q >�u¡M�~nq�¤Ji�Ã�u|p¼|p�q§l&{�{��u|�uyM�Áy&�¸q�l&o(p¿�~q � q���{T�ª|p~q�nq§�5�Ul

�~q � l&�3��yJo��5lV|�q�{§x0q�n3�uyJ{�imµ��§�Pq�o�|�uyM� �~� � q`{�q��o�n3�u�0q«l|�q�o(p����5ºJ�~q]�!yM����{«�J�`kmlVn3o3p�q�n?l&��{�»ByM�u|p��uq�nªr �Ti�{�i w�|p�lV|�p�y � �]|p�lV|]yM�~q���lD�s�3�5�����u|l&�~q�yM����u�­��yM�uz&q¸|p~q���qjq���{x0q�n3�uyP{���i}�Jx0q�o��©��o�l&�5�u�&�S|p~q��¦y&����q�nz&q�{�|p�lV|«l�o�q�n|l&�5���5��x��uq+nq���|�n(�5o�|�uyM��yM��|p~q]o�yM� ���~¡MlV|�q�o�yM�K|�yM�~n3��q�����~n3q��|p~q��q·q���{±x0q�n3�uyP{��«lVnqUl&�5�78�q�ny~i �¯y&nq�y¥z&q�n��1|p��5�«n3q����|�n(�5o�|�uyM�­�uq�l�z&q��+l&��l&��x��uq£�K�����0q�n@y&��x�lVn3l&��q�|�q�n3����n3q�q|�y§l&�5�uy � ����|�y§l&{ ������|`|p~q­y&|p~q�n�x0q�n3�uyP{��«l&��yJo��5lV|�q�{� �u|p·|p~qj�~q � p�l&��{��uq���iµ�����|�q�l&{�y&�0l&{�{��5�~¡³| � y¸p�l&��{��uq��>y&�0|p~q1�l&��q+|��JxEq]|�y

� � � � q��²l��¨l&�5��yUo�yM���3�5{~q�n¸���n�!l&o�q�� � p��5o3p§p�l�z&q�| � yp�l&��{��uq��­y&�`{��©´Eq�n3q��I|­|Z�Kx0q���i  p��5�sx�nyJ{���o�q��­l��!l&����5�u��y&��¡&q��J���j|p�nq�q���~n3�!l&o�q��j|p�lV|¸�~y¯�uyM�~¡&q�n�p�l�z&q�|p�q��|�n(l&�u¡MpI|³�5�5�~q����J�²��q�|�n3�uq��1y&�@� � i1�Ã�u|p~yM�~|£|p��5��l&{�{��©�|�uyM��l&�T��J�²��q�|�n�&�K|p~qªxEq�n(�uyJ{²x�ny&���uq�� nq��3���u|�5�~¡`��n3yM�|p~q«�~q � p�l&��{��uq��³�5�£| � yV��{��5��q����3�uyM��l&�-i  p�q¸|p��un({½l&�~�|p~y&nD���Bq��Px0q�n3�uq���o�q � �u|p�| � yV��{��5��q�����uyM��l&�Jx0q�n3�uyP{jx�n3y&�~��uq��²�Sr ��yMp��u¡&q��`�~|p�t�v&v��Dw���~¡&¡&q���|�q�{¸|p�lV|X|p�q���q�x0q�n3�uyP{x�n3y&���uq�������lD�§�0q��yM�uz[lV���uq&i}��q­x�ny¥z&qs�5� �Pq�o�|�uyM�®v|p�lV|³� 4 �� � �u|p½�!yM�~nj�Po3p~q�n3�I��|Z�Kx0q`q���{��£q��~�5��|��i��£q��~�q�n3l&�5�98��5��¡�|p�q�q��~l&��x��uq��?� 4 �� |�y�p�lDz&q �����Po(p~q�n�K��|��Jx0qq���{��1�!y&n����äJ���J����q�n(�5o�l&�Tq�zJ�5{�q���o�q¸���¡&¡&q���|�]|p�qjq��J��5��|�q���o�qjy&�>� 4 � ��y&n���� ¤·�-��q�qj >�u¡M�~n3q¸�M¢(i

3. BACKGROUND RESULTS NEEDED FOR THECONSTRUCTION

��qªo�yM����5{~q�n+yM���u��o�yM���~q�o�|�q�{­l&��{�x�ny&x0q�n3�u���5�²��q�n3��q�{���5���5�²l&�I��~n3�!l&o�q���i  y£q��|lV���5�5�p«�~y&|lV|�uyM� � q+��|lV|�q+|p~q��yM�5�uy � �5�~¡`{~q��o�n3�ux�|�uyM�²y&�T|p~q���q��uq�n3��|�n3l&�� >]q�x�nq���q��K|l[�|�uyM�Ti

Theorem and Notation (Weierstrass–Representation). ������ � ����� �"!#�$�%�'&)(+*-,"./��0+�1�"!32 � �'!)4657�"8-��*-!)4���,+&:9'�$!<;= �>�/�%�'!?!(+*-,"./��0+�A@�. ��iCB 8-��! � 0D�'! � �E�DFHG),I�H(+(��D4 �*JGK�>@ �L,��'!#(+&M���L�L@�!N( � �"!O�P�/,H��(�@Q.�� �E�/,Q@'�%@',PG?8��R0S.+*-!)0UT�L�L@'!�VO@'!�5 � �"8-�W(/@�T�0+�'&$&X�I4�YW�'*<(+(Z�%�+G � (H�$!)0H�[V�\]�"&$& � �(H�P�/,I�I@D;�,Q�+G?8��R0^G),�@Q_��D0U�L�R@'!`@�.��"8-�3@',H�>�/!?�P�D4a!)@',H�%�'&cb��I0UT�>@',C@�. � ¢(� �'!)4d�e8-@'&f@��3@�,>G?8g�L0h4'� i6�/,I�/!?�L�R�'&[jk@'!l5� 9 m��on0¢qp >1qsr`ttIu �Rv �Uw v � w v � ¢ w (3–1)\x8-�/,I� n?y1z 5{�$([|cFg�D4a�'!)4�Rv>� w v � w v � ¢]p~}Z� tV � Vg��j w#� � tV � V<��j w ¤ j-�h� (3–2)� @'!#b'��,D(U�/&:9 � &X���s5 � � � = �R���3��!#!K(+*-,"./��0H� � Vh���E��,�@'T�3@�,>G?8g�L0q.+*-!)0J�L�L@�!C@'!E5 � �'!�4�je��8<@'&M@'�%@',PG?8��R034'� i6�/,HT�/!?�L�R�'&N@'!�5 i�B 8-�/!A�"8-���L\q@ZG),Q�D0+�D4'�$!<;��D��*#���L�R@'!N(W4��L|[!���C0+@'!U.�@',+�%�'&q���"!#�"�%�'&[�"���E��,D(H�L@'! m�� 5���2 � � G),Q@'TbJ�R4��I4��"8-�sGN@'&M�/(���!)41���/,Q@�(�@�.Z@�,�4���,[�]@�.sVa0D@��$!)0U�L4g�Z\]�L�"8�"8-�W�J��,�@'(6@�.6@',�4g�/,Z��@�.Sj � ��!)4 �Rv ��w v � w v � ¢ 8<��(�!)@�,I�I�'&GN�/,H�L@J4�( � �"8<���S��( �»Bq�n(�uyJ{��f�'��� ���Q� ���P��$��¢[p�rg�~�Rv>� w v � w v � ¢�z � 2 (3–3)./@',��'&$&s0�&M@�(��D4�0�*-,+b��H( � @'!�5 i

��q�o�l&�5�£� 5 w V w j ¢j|p~q   �/�>�/,+(H�L,Q��(D(�4����>� y&�+|p~q²���5���©���l&�:��~n3�!l&o�q���iA¡£q��~y&|�5��¡U|p~q������uz&q�n3�l&�@o�y¥z&q�n�y&� 5�K�£¢5 �S|p�qU���5���5�²l&�S�5�²��q�n3�3�uyM�`m�¤¥�¦¢5§� 2 � � �u|p|p~q·��q��uq�n3��|�n(l&���{�lV|l � 5 w V wQ� j ¢��5��o�l&�5�uq�{ |p~q 0+@'!U_H*<T;����P�e(+*-,"./��0H� |�y®� �ªl&��{¾�5�­{~q��~y&|�q�{Ã�J�Ã� ¤ i�µ�|­�5��J�~y � �¨|p�lV|jl&�K�¨o��~nz&q«y&� 5 � p��5o3p��5�j��lVx�x0q�{½�K�¥m|�y�l¸�~yM����|�n3l&�u¡MpK|�x��5l&��lVnS¡&q�yP{~q���5o�y&�T� �5�S�²lVx�x0q�{`�K�m�¤+|�y²l���|�n3l&�u¡MpK|]�5�5�~qj�5�­�¨¤Di@ ��~n|p�q�n3��y&nq&���3�5��o�q³|p~q�ªl&����@�²lVx V l&��{�|p~q+��n3�|^�-����{�l&��q��K|l&�K�!y&n3� lVn3q1|p~q�l&��q²��y&n¸�Ey&|p¦� l&��{¦�©¤��:�u|¸�!yM�5�uy � �¸|p�lV|¸|p~q²x��5l[���lVnª¡&q�yJ{~q��3�5o��5�¨� � �5�5�B�5�uq«�5�¨l�x��5l&�~q�x0q�nx0q���{��5o����5lVn|�y¯|p~qso�y&nnq��xEyM��{��5�~¡U�5�5�~qs�5�¦� ¤ l&��{§|p�lV|�|p~q�x��5l[���lVn]¡&q�yP{~q���5o¸�5�U� � �5�5�Xp�l�z&qj|p�qj�l&��q¸�uq��~¡&|p¯l&�]|p~q�5�5�~q]�5��� ¤ i>��q � �5�5������q+|p�q���q1x�ny&x0q�n|�uq��@q��J|�q����3�uz&q��u�&i p~q���yM�5�uy � �5�~¡s�J��y � �½nq�����u|�£lVn3q`l&�5�yso�q��K|�n3l&�^|�ys|p~qlVn¡M����q��K|� � q � �5�5�0�0qm��lV�P�5�~¡~i

6 June 2000 at 10:58

Page 6: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

202 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

Theorem 3.1 (Schwarz reflection principle). �)*JG�G-@�(��¥�� �$!?�$�%�'&)(+*-,"./��0H� � � 2 � 0D@'!?�>���$!N(��$! �"�"( � @'*-!)4��',H9A�0�*-,Hb'���¥�"8<���c�$(1�/�L�"8-�/,���(/�L,��'�M;'8<�x&o�"!���@',1��!)@'!N(/�L,����f;�8g�G)&M�'!)�',�;g�D@U4��/(+�R0 iaB 8N�/! � 0+�'! � �3�DF��P��!)4��I4a(+�%@U@��"8�&:9��0U,�@�(+(�� � 9�,I�H(>G#�I0U�L�"b'��&o96,Q@��>���L�R@'!�� � @'*N��� @',S,Q�����D0U�L�R@'!�"8�,Q@'*�;'8 �"8-�WG�&f�'!��30D@'!)�>�'�$!?�$!g;�� iTheorem 3.2

r ¡£�uq�n3�&q��­q�|­l&�-iªt�v&v&¤¥w�i .¥�'! ��� � �I4�4��I4� �$!?�$�%�'&s(+*-,"./��0+� m{��� � 2 � � �{p�����z�� ��� �����t�� 0D��! � �3\],+�L�R�P�/!h�'( �%;�,��+G)8K@'b��/,3�O0D@'!?b'�IFC4�@'�%�'�"!�"!K��G)&M�'!�� � �"8-�/!�"8N� 0D@'!U_H*�;����P��(H*-,$.���0+� m ¤ ��� �£2 ��$(^��& (�@���;�,��HG?8C@'b'��,��a4�@'�%�'�"!�"!¥�"8-��(��'�E��G)&M�'!�� iTheorem 3.3

r��&q��~�P�5���Ul&��{¶�Jq�nn(�5� t�v����¥w�i ���U��� � �� � @�*<!�4��I4 0D@'!#b��IF�4�@'�%�'�$! (+*#0/8k�"8-������� 0D@'!)�>�'�$!#(�L\q@%(����"(�@�.]|q!#�"�P��!#*-� � ��,D(�@Q.�@+GN�/!¥(/�L,��'�M;'8<�[(U�>;��E��!?�"(� �"!#� w � �%$ � \]�L�"8h�"8-��G),�@HGN�/,/�L9¦�"8<���^!)@e�L\q@¥(U�>;��E��!?�"(� ! �'!)4`!)@`�L\q@`(U�>;��%��!?�"( � $ 8<�'b'�K�l0+@'� �%@'! �/!�4'TG-@'�"!?� i �����S�"8-��,Q���%�'�$!?�$!g;�GN@',H�L�R@'!¦@�.%�&� 0D@�!N(+�$(H�Z@�.��|[!#�L�P��!#*-� � ��,O@�.a@HGN�/! �',�0�( ��' �M� �'!)4h@�.O�/!)4+GN@'�$!)�"(@�. �"!Z�(�%$D� �'!)4 ' i �����*) 4��/!�@��P�e�h(+�"�1G)&X�0�&M@�(U�I4G-@'&:9U;�@'! \x8<@�(���b'��,H�L�R0+�/(��',I�O0/8-@�(���!O.+,Q@'� �'�%@'!g;�"8-��/!�4+G-@'�"!?�"(�@�.��"8-� � ! ��!)4 � $ i ���U�+ p-,.0/2143 �uq��~¡&|p5� ! w6 p ,798 143 �uq��~¡&|p5�%$ w� pÃ�uq��~¡&|p­y&�>x0q�n3�5��q�|�q�n+y&� )��B 8-��!�� . ��' �;:p=<`� �"8-��,Q�`�IF���(/�"(e�d(/@'&:*N�L�L@'!©@�.K�"8-�� �$!?�$�%�'&Z(H*<,".���0+�K�I�U*#���L�L@�! �"!>� \x8��R0/8 ��(D(H*-�%�/(O�"8-�b���&o*?� �@? @'! �D��0/8 � ! � �"? @'! �D��0/8 � $ � �'!)4l�'!#9��(+(+�M;�!��D4 � @'*-!)4g�I4O0+@'!?�L�"!#*#@'*<( 4����>� @'!h�I��0�8¥@+GN��!h�',Q0' � .��'!�4�@'!#&:9E� .

¤ + �l� �'!)4 ¤ 6 �l�.�@',3�D��0/8%G-@'&:9�;g@'!A)©0�8<@�(���!`��(3� � @�b'� i@B @',Q�D@'b'��, � �"8-�(/@�&o*N�L�R@'!K��(^*-!#�R��*?��\x8-�/!K�L�Z�DF��$(H�"( iRemark 3.4.

µ��  p~q�y&n3q�� �Jif�J� � q�l&�5�uy � |p~q²xEyM�3��u���5�©��u|��U|p�lV|ª| � ys{��©´Eq�nq��K|@' p�l�z&q«l²o�yM�²��yM�Uq���{~x0yM�5�I|�i��q¸�²l��­p�lDz&q ������x·{��5�3o�yM�I|�5�J���u|�uq��ª�5�·|p~qj�EyM����{�lVn�{�lV|lslV|³|p~q`x0yM�5�I|� � p~q�nq�| � yU{��©´0q�nq��I|�' ��q�q�|�imµZ|�!yM�5�uy � �`�!nyM� |p~q­lVn¡M����q��I|���5�¾r��&q��~�P�5���`l&��{®�Jq�nn3�5�t�v����¥w�|p�lV|��I�!y&n � l&�S�5�  p~q�y&n3q�� �Jif�J�K�u�DC � l&��{EC � lVnq| � y·��yM�5�~|�uyM���ªy&��|p~q«���5���5��l&�^��~n�-l&o�q¸q�ºJ��lV|�uyM�¬�3��o3p|p�lV|5C � pFC � p �@?°yM�Uq�l&o3pA�(!>l&��{GC � pHC � p �"?yM�¨q�l&o3p>� $ l&��{IC0���;C � yM��q�l&o3pJ' ��|p~q��ICT���;C ��5�­|p~qm�5�K|�q�n3�uy&n�y&� � i

4. THE EXAMPLES MkK �¨�5����q�{��5lV|�q¸lVx�x��5�5o�lV|�uyM�¨y&�  p~q�y&nq����ª�Jif¤²l&��{��Jif��5�S|�y¸x�nyDz&q�|p�lV|SyM��q�o�l&��l&{�{���y&nq1q���{���|�y¸kmlVn(o3p~q�n����¡&q��J���+yM�~q³���n�!l&o�q³� � �~|p�q�nq��K��o�nq�lV|�5�~¡«|p~qm�3�~n�-l&o�q��� iTheorem 4.1. L�@',¦�I��0�8 �¨� ¤J� �"8-�/,I�h�DF��$(H�"(e� @'!���TG-��,��'�E�U�P�/,^.��'� �$&:9 � @�.���� � �I4�4��I4 � 4�@'* � &o9�GN��,+�R@U4'�R0� �"!#�$�%�'&[(+*-,$.���0H�H(E@�.�;g��!#*<(3@�!��E\]�"�"8 ��� ��0/8-��,NM�T��L9+GN���!)4�( iProof.

 ^�©� �Ei  p~qjo�yM� ���~¡MlV|�qm�0yM����{�lVn��y&�>yM�~qmq��u¡MpK|py&�m� �5��l}¡&n3lVx�p®y¥z&q�n­l¬nq�o�|l&�~¡M���5lVns{�yM��l&�5� � �u|p|p~n3q�q`�3�5{~q��³lV|³p~q��u¡MpI| 8�q�n3ysl&��{¯|p�q��!yM�~n|p½q�{~¡&q��3�~�~�{��uzP�5{~q�{��5�K|�y��`��q�¡M��q��I|� � �u|p�p~q��u¡MpK|�@l&�u|�q�n3��lV|�5��¡j�0q��| � q�q�� �@? l&��{ �"?Ài  p~q�y&nq�� �Jif�²�J�uq��5{���l�»��5lV|�q�l&���yM�5��|�uyM� � �u|pÃ|p��5�s�0yM����{�lVn�&i  p~q��  p~q�y&nq�� �Jif¤J�|�y&¡&q�|p~q�n � �u|p  p�q�y&nq�� �Ji;tml&��{s|p�qm��l[�~�5������x�n3�5�P�o��ux��uq&�&¡M�uz&q��>|p�q�q����0q�{�{~q�{m���n�!l&o�q��^� �!nyM�¿|p~q���qS�yV��5�~|�uyM����i  p~q�x0q�n3�uyP{³x�ny&���uq�����l&��yJo��5lV|�q�{`|�y�|p~q�q���{����� p��5o3p�q�ºK��l&�I|p~qSnq���5{���q��BlV|^|p~q?q���{jx�����o�|�~nq��XyM�j|p�qo�yM��x�l&o�|0>��uq���l&��� ��~n�-l&o�q&�1lVnq¯�yM�uz&q�{ �J�®o3p�yKyM��5��¡|p~q*� ! l&��{O� $ |�y`l&�5�E�Eq£y&��|p~qª�l&��q£�uq��~¡&|p�iQP@lVn�J�5��¡|p~q��uq��~¡&|p¬y&��|p~q�y&x�x0yM��5�~¡ 8�q�ny½p~q��u¡MpK|¸��5{~q��my&�?|p�qnq�o�|l&��¡M���5lVn@{~yM��l&�5�¸�P�uq��5{��>l]yM�~q���x�lVn3l&��q�|�q�n>�-l&���5�u�my&����n�!l&o�q���i RS �·|p~qmy&|p~q�n]p�l&��{T� � qm�5����q�{��5lV|�q��u��p�lDz&q��Corollary 4.2.

� ��(�� �DT .�@'&M4�0D@'b��/,H�$!g;�@Q. � � iProof.

�~o3p � lVn*8�nq���q�o�|�uyM�¼�  p~q�y&nq�� �Ji;tD¢¸lV�EyM��|¸�5�5�~q��q�¡M��q��I|��yM�«|p~q+�0yM����{��5�~¡£o�yM�����~¡MlV|�q£o�yM�I|�yM��n@��y&nS� �x�n3yJ{���o�q��B|p�qS�0yM����{��5�~¡�o�yM� ���~¡MlV|�q1o�yM�K|�yM�~n:�!y&n>� �!y&nl&�K� �Ei  p~q½�����5ºJ�~q��~q���²y&�m|p~q¨���5���5��l&�1¡&n(lVx�p����5� p�q�y&nq�� �Jif�«o�yM��x��uq�|�q��1|p�q³x�nyJy&�Zi R��q­�5��o��5��{�q�{§|p~q��q²q��~l&��x��uq���� �0q�o�l&���q²|p~q²|�q�o3pP����5ºJ�~qj����q�{·|�y���yM�uz&q¸|p�q����K{��5��q�����uyM��l&�Tx0q�n3�uyP{­x�n3y&�~��uq��¶lVn3�5��5�~¡]��nyM�Á|p~q�l&{�{��u|�uyM��l&�Mq���{��X�5�X����q�{³|p~nyM��¡MpP�yM�~|]|p~qmx�lVx0q�n�i>µ��­x�lVn|�5o����5lVnJ�Lemma 4.3. UW��0�8 0+@'&"&M�D0U�L�R@'!�@�.a(+*-,"./��0H�H( �]� 4 �+� � �� 4 4�� 4 � �B� ����� 4 � �^� 4 � � ,I�H(+*-&f�"(�.+,Q@'�§��4�4'�$!<;K��!)4�(E�'!)48<��!)4-&X�H(1�>@ � � � �'!)4��"8-�[GN��,+�R@U4�G),Q@ � &M����(6�',+�$(+�"!g;�.H,�@���"8-����4�4'�"�L�R@'!)��&��/!)4'(3�',I���'&"&c(�@'&:b'�I4¥��(E� � @'b'� � �"8-���W�$( �� 9E,I�I��*-�",+�"!g;WV pÃ�uq��~¡&|p(� ! pÃ�uq��~¡&|p(� $�>@ � ��0+@'!N(/�>�'!?��.�@',��'&"& �IwYX i

6 June 2000 at 10:58

Page 7: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 203

K x�nyJy&�^y&�^|p��5�]�uq����²l`�5�]o�yM�K|l&�5�~q�{¯�5�·|p~qjlVx�x0q���{��©�y&�>|p��5�+x�lVxEq�nDi p~q¸y&����q�nzVlV|�uyM�¨|p�lV|³|p��5�£nq���|�n3�5o�|�uyM�¬yM�¯|p�q`o�yM�~�

���~¡MlV|�q¬o�yM�K|�yM�~nU��yM�uz&q��¯l&�5�ª|p~q�x0q�n3�uyJ{��²lVn3�5�3�5�~¡±��n3yM�l&{�{��u|�uyM��l&��q���{���{~q���yM����|�n3lV|�q���|p�lV|?|p~q���q]x0q�n3�uyP{��@lVn3q�5��{�q�xEq���{~q��I|jy&�+|p~q²x0q�n3�uyP{��mlVn(�5��5�~¡½��nyM� l&{�{��u|�uyM��l&�p�l&��{��uq���i  p��5�1nq���|�n3�5o�|�uyM�Uq���lV���uq��1���1|�y�q��5�5���5��lV|�q¸l&�5�����|?yM��q£y&n+| � y�xEq�n(�uyJ{����5�s|p~q��qª�3�~n�-l&o�q�������y � qm�²l���!yJo����SyM���u��yM��|p~q�x0q�n3�uyP{��?lVn3�5��5�~¡��!nyM� |p~q£��q � p�l&�P�{��uq���i

5. THE EXAMPLES M+k p�qS���&q�|o(p«�5�¸ >�u¡M�~nq��J�&|�y&x`�5�By&��l]o�yM�K|�yM�~n@��~¡&¡&q���|�uz&q

y&�Xl �����J|��Jx0q£p�l&��{��uq��5�sl&��q�z&q��sq���{~q�{���~n3�!l&o�q � p��5o(p� q � �5�5�S����q�|�y���y&|�uzVlV|�qs|p~qs{��5�o�����3�uyM�Ti  lV�P�5�~¡½�u|�o�yM� ���~¡MlV|�q¨o�yM�I|�yM��n²x�n3yJ{���o�q���|p~qUo�yM�K|�yM�~n­�5�  >�u¡M�~n3q�J���²�5{�{��uq&� � p��5o(p·�5�+�0yM����{�q�{²�J�s�5�5�~qm��q�¡M��q��K|�1l&���5l[��0q��5�uq�{«�5�`|p~q?��¡M�~n3q&i  p��5�^o�yM�K|�yM�~n@�0yM����{��Bl��Mq��~�J�5������Jq�n3n3�5�j¡&n(lVx�pjy¥z&q�n:|p~q?��nyM�K|^�!l&o�q�y&��|p~q?�0y��¸l&��{¸p~q���o�q���x�x0y&n|�sl±��yM�5�~|�uyM�Ã|�y®|p~q�»S�5lV|�q�l&�¼x�ny&���uq��·i��Xq�|6 $�p �uq��~¡&|p%�%$Ap �uq���¡&|p%�%¤$ �!y&n X p ¤ w � w � w �Ji  p~q���P����q�|�n3�uq���y&�@� 4 �5��x��u�²|p~q�nq�lVnq��sx0q�n3�uyP{����?� � ty&��|p~q���q¬n3q�����u|�5�~¡±�!nyM�°|p~q¬q���{����ªl&��{ÃyM�~q¬lVn3�5��5��¡�!nyM� |p~qm�~q � p�l&��{��uq&i���q��²��l �~if�«�5��x��5�uq���|p�lV|1�u� � qnq��|�n3�5o�|¸|p�q²o�yM� ���~¡MlV|�qso�yM�I|�yM�~n(�¸��y¯|p�lV|j|p�q²�uq��~¡&|p��y&�B|p~q£�q�¡M��q��K|�Sy¥z&q�n � p��5o(p²|p�q£�0yM����{�lVn�«o�yM�I|�yM��n��5����K�0yM����{~q�{�lVnq1q�ºJ��l&�-�M|p�q��E� �·t�y&��|p~q��q1x0q�n3�uyJ{��^lVn3q8�q�ny~i���q�|

V p 6 ��� �s�0q³|p��5�1o�yM�²��yM�­�uq��~¡&|pTi p~qmnq��²l&�5���5�~¡�x0q�n3�uyP{·�5�£�p~y � �·|�y²o(p�l&�~¡&q`��u¡M�Ul&�6�� z[lVn3�uq����I��yª|p~q+�5�I|�q�n(��q�{��5lV|�q�zVl&�5�~q�|p~q�y&nq�� �5��x��5�uq����Theorem 5.1. L�@',�I��0�8 ���P� �"8-�/,I�h�DF��$(H�"(e� @'!���TG-��,��'�E�U�P�/,�.��'� �"&o9 � 4 @�.E��� � �I4�4g�I4 � 4�@'* � &:9 GN��,+�R@U4'�R0� �"!#�$�%�'&[(+*-,$.���0H�H(E@�.^;g��!#*<( �L\q@C\]�L�"8 ��� ��0/8-��,NMO�L9+GN���!)4�( i��q+¡M�uz&q1|p�q�lVn3¡M����q��K|>yM���u�j�!y&n>|p~q1o�l&��q��%p¾¤J�Il&�>|p�qlVn¡M����q��K|��5�1q����q��K|�5l&�5�u�s�5{�q��I|�5o�l&�X��y&n1l&�5� �Ei��+p~yKyM�3�5�~¡|p~q­o��~n3z&q��E� ¤� l&��{J� ¤� |�y��5�uq·lV|«|p~q 8�q�ny��uq�z&q��-�S|p�qp~q��u¡MpK|1y&� �3¤ �5� � 6�� � � �u|p­|p~qªq���{�� ¤� lV|�p~q��u¡MpI| ��?l&��{�� ¤� lV| �"?°l&�]�5��{��5o�lV|�q�{U�5�U ^�u¡M��nq��J���0y&|�|�yM�·iProof.

K �5�B|p�lV|£nq���l&�5����|�y��Eq��p~y � �¯�5�£|p�lV|ªl&� 6�� �5�zVlVn3�uq�{T�E|p~q�xEq�n(�uyJ{��@� 6�� ¢�p >1q������� � v � o(p�l&�~¡&q��ª��u¡M����i��y&|�q�|p�lV|B|p��5�Xx0q�n3�uyP{j��q�l&��~nq��X|p~q?{��5��|l&��o�q?�Eq�| � q�q��|p~qjx��5l&�~q��1o�yM�K|l&�5���5�~¡²|p~qjo��~nz&q��%� � l&��{G'«i�Xq�| 6 � �

Vl&��{·o�yM���3�5{~q�n]|p~qj| � y²o�l&��q��]y&� 6 � �5lVn¡&q

l&��{ 6�� �3��l&�5�L�

E1

E2

V3

V2

V4

V5

C

S1

V1

B4

B5B2

B3

B6B1

E2

E1

V3

V2

V4 V5

C

S1

V1

B4

B5

B2

B3

B6

B1

** *

*

**

*

*

*

*

* *

*

*

*

ε

β2

+0

+0

+β4

*C

FIGURE 6. *���� ���2��� �$ ��� ������������� �=��� ���� �� �� �$ ��� & 4� ��� � � ���=�*� � � � � � �$ ( �$� � ����� ��9��� �� ,-. ����� �� �� ������ � � �����#����� �2����� ��� �� ���=������ �� ��� ����� �2�%� �*������ ��� � ����� ��� ��� �! � ��� �� �'�*� � � � � � �$������ �$� ��� 6

(a)�Xq�| 6 � � Pi  p~q��5�5�²�u|�5�~¡s��~n�-l&o�q��5�ª� � l&��{¯|p~qq��¸�0q�{�{�q�{��~q���Xy&��� � �5��x��5�uq��B|p~qSx0yM�5�K|�" � �5�uq��>�0q�p��5��{|p~q���J�²��q�|�n�sx��5l&�~q�y&� ' :0�y#�@� 6$� ¢(�%��!y&n 6$� �~q�lVn

8�q�ny~i(b)

 �y&n1�5lVn¡&q 6�� � � qmo��5l&�5� |p�lV|?|p�qª{��5��|l&��o�q³�0q�| � q�q��|p~q�x��5l&�~q���o�yM�I|l&�5���5��¡�� � l&��{ �'&+�5� 6 � ��()�

V�~��5��o�q

|p~q��ªl&�������lVxslVx�x�n3yMl&o3p~q��+l`o�yM����|l&�K|1l&�uyM�~¡�� i  y��q�qj|p��5��������qm|p�qm��lVnn3�uq�n£��~n�-l&o�qm¡M�uz&q��½l&�]l��&q��~�P�5������Jq�nn3�5��¡&n3lVx�p²yDz&q�n+|p~q£��l&o���!l&o�qªy&�T|p~q£�0y��²�5�� >�u¡M�~nq�J���²�5{�{��uq&� � �u|p®p~q��u¡MpK| �@? yDz&q�n�|p~q­q�{~¡&q � ¤ l&��{|p~q§�l&��q¨p�q��u¡MpI|�¯l&�·|p~q¬o�yM�K|�yM�~nU�!y&nU� 4� yDz&q�n½l&�5�y&|p~q�n>q�{~¡&q���i K n¡M����q��K|�B�5�sr��&q��~�P�5���^l&��{«�Jq�nn3�5�²t�v����¥w

6 June 2000 at 10:58

Page 8: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

204 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

�5��x��u��|p�q�o�yM� ���~¡MlV|�q«¡&n3lVx�p���o�yM�Kz&q�n¡&q«|�y�|p~q`��lVnn3�uq�n��~n3�!l&o�qsl&� 6�� � ?Ài}�Jy¨�5�¦|p~q­�5�5���u|��:|p~qs�0q�p�lDzJ�uy&ny&�0|p~q]q���{����5�S|p~q��3l&��q]l&��{�|p~q�nq��!y&nq(� lVx�x�nyMl&o(p~q��l��|�n3l&�u¡MpI|³�5�5�~q¸y&���uq��~¡&|p 6 � � p��5o(p¯�5��¡&nq�lV|�q�nª|p�l&�

Vi

h�q���o�q � � �5�uq����5�®��nyM�K|«y&�@' l&��{ �@� 6�� ¢#� ��!y&n 6���5lVn¡&q&ih�q���o�qm|p~qjxEq�n(�uyJ{sx�n3y&���uq�� �5�]�yM�uz[lV���uq&i+�P�5��o�q 6 � �5�yM���u�­�0yM����{�q�{­�0q��uy � |p��5���3p~y � ��|p~q�x0q�n3�uyJ{·x�ny&���uq��

o�l&�`�0q?�yM�uz&q�{«��y&n:q�l&o(p 6 � �Vl&��{`|p�q�nq���y&n3q?|p�q�nq�q��K�

�5��|�ªl²yM�~q���x�lVn3l&��q�|�q�n³�!l&�²�5�u�­y&�@|p~q���q«��~n3�!l&o�q���i  p~q��y&nq�� �Jif¤®�5��x��5�uq��sq�l&o(p¼q��u¡MpK|p¼y&�«l&�I�ÀyM�~q�y&��|p~q���q��~n3�!l&o�q��+�5�+q����0q�{�{~q�{�l&��{T�P�J�  p~q�y&nq�� �Ji;tV��q��P|�q���{��|�y�l&�­q����0q�{�{~q�{s�²�5���5��l&�0��~n3�!l&o�q&i RWeierstrass Data for M+

k�P�5��o�q¯� 4 �5���5�Kz[lVn3�5l&�K|²����{~q�n�l&� y&n3{~q�n���| � y��~y&n3�²l&����P����q�|�n�UlV�0yM�~|³|p~q � � ��l[�~�5��� � �u|p§��©�½���Pq�{�x0yM�5�I|���|p~q]ºJ�~y&|�uq��K|S�5�@l¸��x�p~q�n3q1���5�J���@¤��`x0yM�5�I|��i  p~q1��q�nyV���y&n3x�p��5o¨�-����o�|�uyM� V � � � p~q�nq V �5�¯|p~q �ªl&����½��lVxX�{~q��o�q���{���|�y½|p�qsºJ�~y&|�uq��K|�i  lV�J�5��¡��¨l&�`|p�q�o�yJy&n3{��©�

FIGURE 7. ������������� ����� ������* ��� &54� 6

��lV|�q£yM�²|p��5����x�p~q�nq&� � q���y&n3��l&�5�98�q£��yj|p�lV|���� " � ¢[p P���� " � ¢1p ? l&��{�� p���� � ¢�p tVi3¡�q��E�~q� !qp��� "�!c¢�!y&n � p t w � w �­l&��{�� $�p���� &$�¢���y&n X p t w ¤ w ����� w � �¸tV�� p�q�nqE�� �$��¸lVn3qm|p~qmz&q�n|�5o�l&�Bx0yM�5�I|���u�J�5��¡�yM�­|p~qmx��5l[���lVn?¡&q�yP{~q���5o��?�0q�| � q�q��²|p�q]q���{���:I�-�~n|p~q�n?{~q����~q���� p��� � � ¢B��y&n���p t w ����� w � �¸tVi �?yM�~�!y&n3�²l&�5�u|��jy&���£y&n3{~q�n(�|p~q��qmz[l&�5��q��1|pJ��������� � ��� �¯tD��� � � ��� � � ��� � � ������� ��� � ��� � ��� � ��Pq�|

� ��� w � ��w ����� w � � � ¢��op � ��$ � � ��� �¼���jtD¢ 4 $ � $�¢ w� ��� w � ��w ����� w � � � ¢��op � ��$ � � ��� �À���jtD¢ 4 $ � $�¢ w

! ��� w �¥� w ����� w � ¢��op ��"� �

��� � �#� �� ¢ w$ ��� w � ��w ����� w � � � ¢��op � ��� w �[� w ����� w � � �(¢� ��� w � ��w ����� w � � � ¢ �

�?yM��x�lVn3�5��yM�sy&�^|p~qm��q�nyM��y&nx�p��5o1�-����o�|�uyM��� V � l&��{%��uq�l&{��]|�y�|p~q���qj��q��uq�n3��|�n3l&��£{�lV|l«�!y&n]� 4 �V � p � �&� �

� �'� �� �(� � �)�

� �­���jtD¢ � �� �²���jtD¢ � � � $ � ��� w � �Uw ����� w � � � ¢

(5–1)� p�q�nqml&��{

j p+*,� � ��� w � ��w ����� w � � � ¢�� ��� w � �Uw ����� w � � � ¢! ��� w �¥� w ����� w � ¢ �(5–2) p�qmo�yM��{��u|�uyM���]��y&n1q����0q�{�{~q�{sq���{��+lVnq

V � ��tD¢[p V � �����1¢]p t(5–3)

�!y&n�l&�5���.- �Ei� ~y&n��%p¼¤J� � q¸p�l�z&q¸|p~qmo�yM����|�n3l&�5�K|�

�`��t �#� � ¢���t �#� ¢[p ¢����t���� � ¢���t ��� ¢�s��� � �/� � ¢���� � �#� ¢[p ¢�s��� � ��� � ¢���� � ��� ¢ w� p�q�nq��kp���t �/� � ¢ � ��t �0� � ¢(� ¢�kp���t �1� � ¢ � ��t���� � ¢(�� p ��� � �2� � ¢ � ��� � �3� � ¢(�~l&��{ ¢� p ��� � ��� � ¢ � ��� � �%� � ¢(i ~n3yM� |p��5��� � qjo�l&�U{~q�n3�uz&qm|p~q¸o�yM��{��u|�uyM���

� � � p �2� � ¢�³¢��2� � ¢�«¢4� � � �2��� ¢�³¢��2� �£¢�«¢4� � ��2��� ¢�³¢��2� �§¢��¢ � �2� � ¢�³¢��2� � ¢�«¢4� �

(5–4)

6 June 2000 at 10:58

Page 9: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 205

l&��{� � �#� p �2� � ¢�³¢��2� � ¢�«¢���� � � � tD¢

�2��� ¢�³¢��2� �£¢�«¢ �À�2� � ¢�ª¢��2� � ¢��¢4� � w(5–5)l&��{¸��y��yM�uz&q��!y&n � � l&��{)� l&��|p~q 8�q�nyM�By&�Pl�{~q�¡&nq�q���| � yx0yM�u�P�~yM���5l&�-i

�Ã�u|p±|p~q­��q��uq�n(��|�n3l&���{�lV|l®�c�J�EtD¢(�³�c�J�~¤M¢�l&��{�|p�qo�yM���|�n3l&�5�I|�ª�c�J� �K¢>l&��{U�c�J�~�M¢ � q1¡&q�|@|p�q]�5��lV¡&q]�5�� ^�u¡V��~n3q^�¸lV�!|�q�n1o3p~yJyM��5�~¡E�%p¼¤`l&��{s{~q�|�q�n3���5���5�~¡¸|p�qªo�y&n�nq�o�|]z[l&�5�~q��]��y&n � � l&��{2� � i

6. THE EXAMPLES M�k p�q�x0q�n3�uyP{��¸l&�3��yJo��5lV|�q�{�|�y¨� � lVn(�5��q�l&��nq��3�5{��~q���lV|

|p~q]x�����o�|�~n3q��>��y&nS|p~q+q���{��:y&nS��n3yM� �5�I|�q�¡&n(lV|�5�~¡¸l&�uyM�~¡l�o��~nz&q�n3q�x�nq���q��K|�5�~¡]l��~yM�I|�n(�uzJ�5l&�Jp~yM��y&|�y&xJ�³o��5l&���i K ��5��|p~q�o�l&��q£y&��� �I|p~q�nq���5{���q���lV|�|p�q]q���{��SlVnq]�²l&{~qq�ºJ��l&�P�J�mq�ºK��l&�5�u��{��5�|�n3�u���~|�5�~¡£|p~q+��|�n3l&�u¡MpK|@�5�5�~q��:�5�uq��5�~¡�0q�| � q�q��¬|p�q«q���{��ªy&�?|p~q�o�yM� ���~¡MlV|�q�y&�?yM�~q���q��u¡MpK|p¬y&�|p~qs�-����{�l&��q��I|l&�Sx��uq�o�q&i  p~q�x0y&n|�uyM��y&�]|p~qsx0q�n3�uyP{x�n3y&���uq�� nq�����u|�5�~¡��!nyM� �~yM�K|�n3�uzP�5l&�Xp~yM��y&|�y&xK�so��5l&���q���5�²yM�~q���{��5��q�����uyM��l&�£{��~q·|�y¦|p~q½���J�²��q�|�n3�uq���y&�m� � �l&��{­����q³y&�B|p�qª�3l&��q³��lVnn(�uq�n3��l&�1�5�§r ��q��@t�v&v&¤¥w>�p~y � �|p�lV|]|p��5�+x0q�n3�uyP{·�5�1l&�5��y��yM�uz[lV���uq&i?h]q���o�q��Theorem 6.1.

B 8-��,Q�%�DF��$(H�"(��a@'!���TXGN�',����%�U�P�/,Z.��'� �$&:9�@�.;<�/!#*<(��L\q@ � ��� � �I4�4g�I4a� �"!#�$�%�'&c(+*-,"./��0+�H( � � \]�L�"8 �����0�8-�/, M�T��L9+GN�%��!)4�( � .�@', �'&$& ���ÁtVi

7. THE EXAMPLES M���2k+1µ��À|p��5�­��q�o�|�uyM�T� � q�o�yM���|�n3��o�|s|p~q¨q����Eq�{�{~q�{ �²�5���©�

�²l&�K���n�!l&o�q��:� ����� 4 � i:�Jx0q�o��©��o�l&�5�u�&� � q+o�yM����|�n(��o�|>¡&q��K���|p~n3q�q���~n�-l&o�q��Xp�l�zP�5�~¡]l&�5�M|p�q����P����q�|�n(�uq���y&�~kmlVn(o3p~q�n����¡&q��J���¯yM�~q§��~n3�!l&o�q¦� � � � �u|p¼| � y ���m�]p�l&��{��uq��Ul&��{���c¤����ÃtD¢1�Po(p~q�n��q���{���i ?i���q��^��yJ{��©��q�{­� � �J�·�5�I|�n3yJ{���o��5�~¡�l��3�5�~¡M�uq�p�l&�P�

{��uq�yDz&q�nªyM�~q�y&�@�u|�£�l&{�{��uq�x0yM�5�I|��i]µ��U|p~q���&q�|o3p~q��£y&� >�u¡M�~nqj�J��yM�~q³o�l&�·��q�q³|p�lV|+|p��5�1nq�����u|�+�5�­l«�~q � z&q�n�|�5o�l&�?x0yM�5�I|�yDz&q�n " � iUµ��}y&n3{~q�n�|�y¯n3q�|l&�5�}|p�q�z&q�n|�5o�l&���|�n(l&�u¡MpI|]�5�5��q���y&�B� � yM�­p��u¡Mp~q�n�¡&q��J���1���n�!l&o�q����JyM��qª�5�y&���5�u¡&q�{�|�y«l&{�{²l¸p�l&��{��uq]y¥z&q�n+|p~q]y&|p~q�n+�l&{�{��uq]x0yM�5�K|����5��o�q&�]�J�  p~q�y&nq�� �Ji;tV�`t�� � n3y&|lV|�uyM�¾lV�EyM��|²|p~q��q��|�n(l&�u¡MpI|��5�5�~q��jlVnq²�5��yM��q�|�n3�uq��jy&��|p~q���~n3�!l&o�q&i­�P��o3p§l���n�!l&o�q½���u¡MpK|²p�lDz&q½l§�0yM����{�lVn���5�u�&q¨|p�lV|²��&q�|o3p~q�{�5�¦ >�u¡M�~nq­�J�@�uq���|�i½µZ�+|p��5���3�~n�-l&o�q²{��5{}q��P�5�|��@�u|��o�yM�~����~¡MlV|�q²o�yM�K|�yM�~n � yM���5{§�0q�l&�j�5�¬ >�u¡M�~nqs�J�^�uy � q�n`�uq��!|�i p��5�jo�yM� ���~¡MlV|�qso�yM�I|�yM�~n`��q�q�|�¸l&�5��|p�q�o�yM��{��u|�uyM���¸y&� p�q�y&nq�� �Jif�J�³p~q���o�q��u|·��~x�x0y&n|��l±��yM�5�~|�uyM�Ã|�y±|p�q

»��5lV|�q�l&��»�ny&���uq��U�Ml&��{`|p~q+y&n3�u¡M�5��l&����~n�-l&o�q1o�yM� ���~¡MlV|�q|�y£|p��5�^�yM�5�~|�uyM�`�5�^lª�²�5���5��l&�M�3�~n�-l&o�qS�0yM����{�q�{m�J�mx��5l[���lVn]o��~nz&q�� � �u|p­|p~qj{�q���unq�{·���P����q�|�n3�uq���iK �u|p�yM�~¡Mp·|p~q¸o�yM� ����¡MlV|�q¸��~n3�!l&o�qm�5��l����5���5�²l&�0��~n���!l&o�q³�0yM����{�q�{²�J��x��5l&��lVn1o��~nz&q������u|1�5�]�~y&|�¡M��lVn3l&�K|�q�q�{|p�lV|mnq���q�o�|�uyM�¦�5��|p~q��q�x��5l&�~q��mx�nyP{���o�q��ml&��q����0q�{P�{~q�{`{~yM�~���u�³x0q�n3�uyP{��5o?��~n�-l&o�q&iBµ���x�lVn|�5o����5lVnD�M����5�~¡£|p~q�~y&|lV|�uyM�`y&�� >�u¡M�~nq+�J�&yM�~q+{~yJq��B��y&|^�P�~y � �u��|p~q?o���nz&q��� � l&��{A� � �5�uq`�5�¯|p~q��l&��q¸x��5l&�~q&i  p��5�]��n(�5�~¡M�]����|�y|p~q1x0q�n3�uyP{`x�ny&���uq�� :&yM�~q]�`����|:�5�����nq+|p�lV|@|p~q+x��5l&�~q��o�yM�I|l&�5���5��¡I�m��l&��{J� � o�yM�5��o��5{~q&i}�P�5��o�q � qsp�l�z&q­l&��������q�{¨|p�q���~n�-l&o�q�o�yM�K|l&�5���¸l·z&q�n|�5o�l&�S�|�n3l&�u¡MpI|��5�5�~q&��J�~y � �5�~¡@� � l&��{E� � �5�uq]�5�«|p~q1�3l&��q�x��5l&�~q1�5��x��5�uq��>|p~qx��5l&�~q��³o�yM�K|l&�5���5�~¡G� l&��{I�

�l&�5�y·o�yM�5��o��5{~q&i��Pp~yM���5{

|p��5�³x0q�n3�uyP{¯x�ny&���uq�� �0q«��yM�uzVlV���uq&�X|p~q��3�~n�-l&o�q��5��yM�~n�~y&|lV|�uyM� � yM���5{­�0qm{~q���y&|�q�{­�K�s� ���� iµ��  p~q�y&n3q�� �Ki;tVif¤ � q�x�nyDz&q&�~�J��l&��l&�u� 8��5�~¡`|p~q£»S�5l[�

|�q�l&� ��yM�5�~|�uyM�����!y&n�|p~qUo�yM���I|�yM�~n�y&�ª >�u¡M�~n3q¯�J�+�uy � q�n�uq���|��^|p�lV|j|p��5�mx0q�n3�uyP{¨x�ny&���uq�� o�l&�§�~q�z&q�n¸�Eq��yM�uz&q�{Tiµ��·o�yM�K|�n3l&��|����K�­p�lDzJ�5��¡���y&nqªq���{��+yM�·|p~qm�3�~n�-l&o�q&��l&��5�¬ >�u¡M�~nq��J�Bn3�u¡MpK|�� � q�x�ny¥z&q²�5�  p~q�y&nq��§�Ki;tVi;t²|p�lV||p~q�y&����|�n3��o�|�uyM�²|�y��yM�uzJ�5�~¡�|p��5�?x0q�n3�uyP{�x�ny&���uq����5�Snq����yDz&q�{�i  p~q��q��~q � �3�~n�-l&o�q��³lVnq`|p~q«��~n�-l&o�q��³� ����� 4 ��5�­yM�~n]�~y&|lV|�uyM��i

Theorem 7.1. 1. L�@',A�I��0/8 �e� tV� �"8-��,Q�a�IF���(/�"(E� @'!���TG-�',Q�'�E���P��,O./�����"&:9 @Q.l��� � �I4�4g�I4 � 4�@'* � &:9`GN�/,H�L@J4'�L0� �$!#�"�%�'& (H*-,$.���0+�/( � ����� 4 � @�.1;g��!#*<(^�"8�,Q�+� i2.� ���� 4�@J�H(�!)@����IF��$(H� i

Proof.�Xq�| 6 $ p �uq��~¡&|p(�%$ p �uq��~¡&|p5� ¤$ �!y&n X p ¤J�

�J� �~�:�J�s�Ji �?� ��q��²��l �~if�J�^l&�5�@xEq�n(�uyJ{��³lVn(�5��5�~¡·�!nyM�|p~q�l&{�{��u|�uyM�¦y&�1q���{��¸lVnq 8�q�n3y½x�nyDzP�5{~q�{}|p~q��uq���¡&|p��y&�?|p�q���q�¡M��q��K|�my¥z&q�n � p��5o(p�|p~q�o�yM�����~¡MlV|�q�o�yM�I|�yM��n3�lVnq¯���K�0yM����{~q�{±lVn3q¯q�ºJ��l&�-i¾��q�l&������q­|p��5��o�yM��{��©�|�uyM�T�]l&��{À�uq�|

V�EqU|p��5�so�yM����yM� �uq��~¡&|pT� � p��5o3p nq��

��l&�5���j���Pq�{§|p~n3yM�~¡Mp~yM�~|�|p~q�x�nyJy&�Zi¨h]q���o�q � q­�~q�q�{yM���u��l&{�{~nq���?|p~q³x0q�n3�uyP{���lVn3�5��5�~¡«�!nyM� �~yM�K|�n3�uzP�5l&�Tp~yV���y&|�y&xJ�®o��5l&���q����+|p�lV|��5���+�!nyM� |p~q½l&{�{��u|�uyM� y&�m�~q �p�l&��{��uq���iª ~nyM� |p�q�o�yM� ���~¡MlV|�q«o�yM�K|�yM�~n³yM�~q`��q�q��ª|p�lV|6 � p �c¤�� �ÃtD¢

V��y&n]q�l&o3pU� ����� 4 � i

Proof of 2.��q·x�nyPo�q�q�{��K��o�yM�K|�n3l&{��5o�|�uyM�Ti �P��x�x0yM��q

� ���� {~yJq���q��P�5��|�i���q�| ¦�0qªyM�~q³q��u¡MpK|p·y&�>� ���� i@ >�u¡V��~nqS�J�&�uq��!|^�p�y � �Bl]���&q�|o(p`y&� �iB��q�lVnqSl&�3������5��¡1|p�lV||p~q�nq]�5�Slmz&q�n|�5o�l&�E��|�n3l&�u¡MpK|S�5�5�~q]yM�� ¨x�l&���5�~¡m|p�nyM�~¡Mp|p~q�q���{ ���^y&n|p~y&¡&yM��l&�S|�yU|p~q�x��5l&�~q�o�yM�K|l&�5���5�~¡I� � i>1y&|lV|�uyM��lV�0yM�~|B|p��5�>�5�5�~q+�5�I|�q�n3o(p�l&�~¡&q�� "E�>l&��{ "$&D�Ml&��{�5�I|�q�n3o(p�l&�~¡&q���" � l&��{�" i

6 June 2000 at 10:58

Page 10: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

206 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

V4

B4

B5

B6

B7

V6

E

B1

B2

B3

V1

V2

V3

ε

β2

0

0

−β3

V5

V4

B5

B6

B7

V5

V6

E3E2E1

B4B3

B2

B1 S2

C1

C2

V3

V2

V1

ε

β2

0

0

−β3

S1

FIGURE 8. ������ � �����;�$ � � � ����������� ��� ���� �� �� �$ �����& ���� ( ����� �� ��*�+��, �����'& ����( ����� �������� �-,���� �� �$ � �����������$����� ��� �$ �'�*����� � � ���$ � � ����������� ����� �$� �����;� �� � � ��� �������� ������"�� ���$ �-����� � ������� �$ ������� ��������� � �� ��� �� �� � ������ 6

Remark 7.2. p~qj�0yM����{�lVn�­o�yM�I|�yM�~n³y&� [¤ª�5�ªl²¡&n3lVx�p

yDz&q�n@l£nq�o�|l&��¡M�uq1l&�:{~n3l � ���5�` >�u¡M�~nq1�J�M�uy � q�n��uq��!|��Il&��{l&�£l�nq�����u|]y&�:|p~q`���P����q�|�n(�uq����4� ¤� l&��{G� ¤& �5�uq`lV|�|p~q�l&��q·p~q��u¡MpI|�i ��p~yJyM��5�~¡¬|p��5��|�y¬�0q­|p~q 8�q�ny§p�q��u¡MpI|�5��x��5�uq��+|p~q¸�5�5��q � ¤� p�l&�]p~q��u¡MpK| � ? � � 6 � � P�El&��{|p~q«q���{ � p�l&�³p~q��u¡MpK|��@?Ài` ~nyM�  p~q�y&nq�� �Jif�J� � q¡&q�|Xl����5���5�²l&�D¡&n3lVx�p � �u|p³|p��5���0yM����{�lVn3�&i K �Bl+¡&n3lVx�pT��u|`�5�jq����0q�{�{~q�{}l&��{  p~q�y&nq�� �Jif¤Ul&��3�~nq��¸|p�lV| ¿�5�q����0q�{�{~q�{Ti^h]q���o�q]|p~q�nq1q��~�5��|�?lm»��5lV|�q�l&����yM�5�~|�uyM� [¤� �u|p­|p�qm{~q���unq�{­�0yM����{�lVn��l&��{U���J�²��q�|�n3�uq���i

Claim 1.B 8-� 4'�$(H�>�'!�0+� � ���L\S�D��!�"8-��G)&M�'!��/(�0D@�!?�>�'�"!#�$!<;� � �'!�4 � �$(a��&o\q�'9�(a(D8-@',H�P��,O�"8<�'! �"8-� 4���(/�>�'!)0+� � ��T�L\S�D��!`�"8N��G)&M�'!��/(A0D@'!)�>�'�$!?�$!g; � � �'!)4 �

�i�� ��!)0+�%�"8-�GN��,+�R@U4��$(��'&o\q��9�( @�.��"8-��(��'�E��(+�M;�! i

 p~qsx��5l&��lVn«¡&q�yJ{~q��3�5o � � p�l&���uq��~¡&|p Vl&��{±�5���~y&|�l

��|�n3l&�u¡MpK|­�5�5�~q&i  p~q�nq��!y&nqU|p�q½{��5�|l&��o�q¯�0q�| � q�q��Ã|p~q���P����q�|�n�¬x��5l&�~q��²o�yM�I|l&�5���5�~¡ � � l&��{W� �5����|�n(�5o�|�u��uq���:|p�l&� 6 � p V

�Kl&��{`|p~q]o��~nz&q5� � l&� � lD�J�S�5�uq��@|�ymyM�~q��5{~q�y&�E|p~q+x��5l&�~q1o�yM�K|l&�5���5�~¡ � � i  p��5�>q���|lV���5�5�3p~q��@|p~qo��5l&�5� l&��{·o�yM��x��uq�|�q��]|p~q³x�nyJy&�^y&���c¤M¢(iµ��¬����²��lVn�&�0|p~q�xEq�n(�uyJ{¨x�n3y&���uq�� yM�¬� ���� �5�j���~�

��yM�uzVlV���uq`�0q�o�l&����q�|p~q«{��5��|l&��o�qV�0q�| � q�q��¨|p~q�x��5l&��lVn

o��~nz&q����0yM����{��5�~¡j|p�q³q���{s�5��q�ºK��l&�0|�y 6 � l&��{�|p~qªx��5l[���lVn@o��~n3z&q � � �5�:�~y&|@��|�n3l&�u¡MpK|�i:µZ��yM�~q1o�yM���5{«��yJ{��u�!�m|p~q

o�yM� ���~¡MlV|�qso�yM�I|�yM��n`�yU|p�lV| 6 � � V�>|p~q��§|p~q�x0q�n3�uyP{

x�n3y&���uq�� ��lD�`�Eq1�yM�uz[lV���uq&i S �~q � lD�«y&�Tl&o3p��uq�zP�5�~¡j|p��5��5�ª|�y­l&{�{¨��y&n3qjq���{��£|�ys|p~q«o�yM� ���~¡MlV|�q«o�yM�I|�yM��nml&�³�5�|p~q£���&q�|o3p��5�� >�u¡M�~n3q��J�J�uy � q�n?n3�u¡MpK|�i �?q�o�l&����q � q � �5�3p|�y½��l&�5�K|l&�5�§|p~q�z&q�n|�5o�l&����|�n3l&�u¡MpK|¸�5�5�~q����^|p~q�o�yM�I|�yM�~n�0yM����{�q�{ �J� ��|�n(l&�u¡MpI|·�5�5�~q��s�`����|sp�lDz&q¬l¦p�y&n3�98�yM�I|l&�x��5l&��lVn����P����q�|�n�&i  p~q�nq��!y&nq � q²�`����|jl&{�{§l&�¬q�z&q���J�����0q�n+y&�^q��P|�n3l�q���{���i� >�u¡M�~n3q¸�J��n3�u¡MpK|]�5��l����&q�|o3p½y&����o3pUl²��~n�-l&o�q � �u|pU|p~nq�qmq���{���i  p~qjo�yM� ���~¡MlV|�q¸o�yM�~�|�yM�~n?�!y&nS|p��5�?��~n3�!l&o�qª�5�SlV¡Ml&�5�sl �&q��~�P�5�����P�Pq�nn3�5�«¡&n3lVx�py¥z&q�n£l«n3q�o�|l&�~¡M�uq¸l&��{~n3l � �­�5�· >�u¡M�~nq¸�J���uy � q�n£n3�u¡MpK|�i

Proof of 1.K ������q 6 � � 6 � p �c¤�� �¿tD¢

Vi¯�~�5��o�q � q

p�lDz&q1l&������q�{j|p�qSq��~�5��|�q���o�q+y&�El]z&q�n|�5o�l&����|�n3l&�u¡MpK|>�5�5��qyM�­|p�qj��~n�-l&o�qªx�l&���5��¡«|p~n3��� 4 � l&��{­y&n|p~y&¡&yM��l&��|�y� � � � q³p�l�z&q³yM���u��yM�~qªx0q�n3�uyP{²lVn3�5�3�5�~¡`��nyM� l`�~yM�K|�n3�uzK��5l&�@p�yM��y&|�y&xJ�¯o��5l&���i` ~y&nm|p��5�³x0q�n3�uyJ{�� � q��`����|ª�p~y �|p�lV|(� � �5�uq��]�5�s|p~q³x��5l&��qmo�yM�I|l&�5���5��¡ � � i:��qj���q£|p�q�5�K|�q�n3��q�{��5lV|�q�zVl&�5�~q1|p~q�y&n3q�� |�y`�p~y � |p~q�q��P�5��|�q���o�q�y&�l«zVl&�5�~qm�!y&n 6 � ���o3p­|p�lV|]|p��5�1x0q�n3�uyP{­�5��8�q�ny~i+�Jx0q�o��©���o�l&�5�u�&� � q¸p�l�z&qm| � y�o�l&��q����(a)

K � 6 � � P��� ����� 4 � {~q�¡&q���q�n3lV|�q��1|�y�� �� 4 � i �?�²|p�qq����0q�{�{~q�{���q���Xy&��� �� 4 � � � q�p�l�z&q�|p~q�x0yM�5�I| " � ��yDz&q���0q�p��5��{§|p~q�x��5l&�~qso�yM�I|l&�5���5��¡ �³���@l&��{}|p~q²x0q�n3�uyP{¦�5��~q�¡MlV|�uz&q&i

6 June 2000 at 10:58

Page 11: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 207

(b)K � 6 � � ?Ã�@|p~q­o��~nz&q � ¤� ��yDz&q��«l � l���|�y � lVn3{

p~q��u¡MpK| � ?Ài��Xq�|��Ã�0q+|p~q��&q����J�5�����P�Jq�nn3�5�`¡&n3lVx�p«yDz&q�n|p~q«n3q�o�|l&�~¡M�uq²l&�m{�q��o�n3�u�0q�{¨�5�¬ >�u¡M�~nq��J�B�uy � q�n¸n3�u¡MpK|��� �u|p¸�0yM����{�lVn3�ªp�q��u¡MpI|� w �"? w w ��? w �"? w �@? � �u|p8�q�ny½p~q��u¡MpK|�jo�y&nnq��xEyM��{��5�~¡­|�yU|p�q�q�{~¡&q��jo�yM�K|l&�5���5�~¡|p~qso��~nz&q�� �%¤� l&��{ �3¤& i  p��5�m¡&n3lVx�p�� q��~�5��|���@��5��o�q6 � � 6�� �£�J�  p�q�y&nq�� �Jif�Ji �S�À|p~q¬lVn¡M����q��K|�­�5�r��Mq��~�J�5���^l&��{«�Pq�nn3�5��t�v����¥w��K|p~q�o�yM� ���~¡MlV|�q+¡&n3lVx�p��^o�yM�~�z&q�n¡&q�|�y�� l&� 6 � � ?Ài  p~q�nq��!y&nq½l&�uyM��¡J�%¤� |p�q�ªl&����­��lVxÃlVx�x�nyMl&o(p~q��·l�o�yM����|l&�K|­zVl&�5�~q&�£l&��{ |p�q{��5�x��5l&o�q���q��K|¸l&�uyM�~¡A� � �5�§|p~q²{�q���unq�{§{��unq�o�|�uyM�}lVx��x�n3yMl&o3p~q��s�c¤�� �¶tD¢

V p 6�� ish�q���o�q#" � �5�uq����5�¬�!nyM�K|my&�|p~q£x��5l&�~q£o�yM�I|l&�5���5�~¡E� � �!y&n?�5lVn3¡&q 6 � �Pl&��{�|p�q�x0q�n3�uyP{�5�]xEyM�3�u|�uz&q&i�?��|p�q£�5�K|�q�n3��q�{��5lV|�q�zVl&�5�~q£|p~q�y&nq��·�J|p~q�nq£q��~�5��|��l

zVl&�5�~q�y&� 6 � lV| � p��5o3p}|p~q�x0q�n3�uyP{§�5� 8�q�ny~i  p~q�nq��!y&nq|p~qjxEq�n(�uyJ{sx�n3y&���uq�� �5�1��yM�uzVlV���uq¸yM�·� ����� 4 � i p~q�y&nq����m�Jif�Ul&��{§�Jif¤U�5��x��u�¯|p�lV|m|p~q�yM��q�q��u¡MpI|px0y&n|�uyM� ½y&�T� ����� 4 � �5�@q����0q�{�{~q�{�i K x�x��u�P�5�~¡³|p~q]o��5l&�����5o�l&�K��l[�~�5�`���Àx�n3�5��o��ux��uq@l&��{³|p~q��²l[�P�5�`���Àx�n3�5��o��ux��uqlV|`�5�P�����u|Z�®r �Uq�q��P�`l&��{ >]yM��q��K�Eq�n3¡}t�v&v [w��:yM�~q²q�l&��5�u�{~q�|�q�n(���5�~q��:|p�lV|@|p~q1�-���5�P�-����{�l&��q��I|l&�Px��uq�o�q�y&�E� ����� 4 ��5�uq��@�5����5{~q?|p~q��EyD�¸¡M�uz&q��«�J�j�u|�:�0yM����{�lVn�³o��~nz&q���i�>]q����q�o�|�uyM���m|p~nyM��¡Mp¨|p~q«�!l&o�q��my&�S|p��5�m�EyD�¯x�n3yJ{���o�q��³l&�q����0q�{�{~q�{­���n�!l&o�q&i  p~q�nq��!y&nqm� ����� 4 � �5�+q����0q�{�{~q�{�i6 � p�l&�]�~y&|��Eq�q��U����q�{U�5�U|p��5�]lVn3¡M����q��K|¸� 6 � �5�]l&�K����Pq�{ �K���¸�0q�n¯¡&nq�lV|�q�n�|p�l&� 6�� ¢(��l&��{¿|p~q�nq��!y&nq � qp�lDz&q+l1yM�~q���x�lVn(l&��q�|�q�n^�!l&�²�5�u�³y&��� ����� 4 � �!y&nBq�l&o(p3����t�iRWeierstrass Data for M

���3�P�5��o�q`� ���� �5�³�5�KzVlVn3�5l&�I|m����{~q�nªl&�¨y&n3{~q�n���| � y·�~y&n(��l&�

���P����q�|�n�³lV�0yM�~|B|p�q � � ��l[�~�5��� � �u|p�q��u¡MpK|>���Jq�{¸x0yM�5�I|���|p~q«ºJ�~y&|�uq��K|ª�3�~n�-l&o�q`�5�ªls��x�p�q�nq&i  p~q`��q�nyM��y&nx�p��5o�-����o�|�uyM� V � � � p~q�nq V �5�1|p~qj��|�q�nq�y&¡&n(lVx�p��5omx�ny ��q�o�|�uyM�y&�T|p~q^�ªl&���3�S�²lVx��I{~q��o�q���{���|�y�|p~q£ºK�~y&|�uq��K|�i  lV�J�5��¡�¬|�y¬�0q­|p~qUo�yJy&n3{��5��lV|�q·yM�®|p~qU��x�p�q�nq&� � qU�~y&n3�²l&�©��98�qs��yU|p�lV|(��� " � ¢�p ?À����� " � ¢^p P�>l&��{/��� � � ¢^p tVi�Ã�u|p�|p��5�«�~y&n3�²l&�5�98�lV|�uyM�T�@ny&|lV|�uyM� lV�EyM��|¸|p~qsz&q�n|�©�o�l&�1�|�n3l&�u¡MpI|��5�5�~q­yM�®� ���� o�y&n3nq���x0yM��{��`|�y§�5�Kz&q�n3��uyM�|p~n3yM�~¡Mp®|p~q¯�����u|�o��un3o��uq&i ¡£q����~q � � p ��� � � ¢(��� $Cp��� " $�¢³��y&n X p t w ¤J�@l&��{#� � p ���� � ¢(i  p�q��/��� � � ¢�pt � �¥��� ��� " ¢[p t � � � � ��� "$&�¢[p t � �I����l&��{%���� � ¢[p t � �[��i�?yM��x�lVn3�5��yM�sy&�^|p~qm��q�nyM��y&nx�p��5o1�-����o�|�uyM��� V � l&��{%��uq�l&{��]|�y�|p~q���qj��q��uq�n3��|�n3l&��£{�lV|l«�!y&n]� ���� �V � p � � � �

� � � �� �`t � � �� �jt � � �

� ��� �� � � �

� �jt � � �� �`t � � �} � � � �� � � �'� � } � �`t � � �� �jt � � ��� �

l&��{ j p *,�� � � t

� � �/� � �� � �#� � �

� � � t � � � �� � � t � � � � �

 p~q���qS��q��uq�n3��|�n3l&��:{�lV|l£�5����~nq@|p�lV|Bq�l&o(p��Po3p~q�n3�I��|Z�Kx0qq���{®�5���u|�q��u�ªl&� q����Eq�{�{~q�{�q���{T�?���~|«yM�~q¯������|«l&�5��y¡M��lVn3l&�K|�q�q½|p�lV|�|p�q¯�5�5���u|s�~y&n3�²l&�5��yM�À|p~q½q���{���lVnql&�I|�ux0yP{�l&�ª��y±|p~q¨q���{��­{~y±�~y&|·o�n3yM��sq�l&o3pÁy&|p~q�n·l&�|p~q���{��uz&q�n¡&q&i �?q�o�l&����q²y&�SyM��njo3p~yM�5o�q�y&�?y&n3�uq��I|lV|�uyM���|p��5�1�5�1q�ºJ���uzVl&�uq��I|�|�y�|p~qmo�yM��{��u|�uyM���

V � ��tD¢Sp V � ��� � ¢qp V � ��t � � � ¢]p t �¡£��q}|�yÀ|p~q¦ny&|lV|�uyM��l&�«���P����q�|�n�&�³|p~q���q�o�yM��{ l&��{|p��un3{jo�yM��{��u|�uyM���Bnq�����u|X�5�¸|p~q?�l&��q�o�yM����|�n3l&�5�K|��� � p��5�uq|p~q³��n3�|1�5�1l&�~|�yM��lV|�5o�l&�5�u�¯�lV|�5����q�{Ti  p~qm��q�o�yM��{¯o�yM�P�{��u|�uyM�·x��5l&o�q��]|p~q³�!yM�5�uy � �5�~¡�o�yM����|�n3l&�5�K|]yM�3� � �� ( �1� �³¤���¢4� & ����3� ( �1�T¢���� � �jtD¢ �³¤~� (U� �£¤M¢� �¸� ( �1�T¢���¤��� � � �� � ¤�� �¸� ( �1��¢���� � �£¤M¢���¤���� (U� ��¤M¢ �«� ( �1��¢ � � �

�¯¤�� �¦� ( �1��¢[p w(7–1)

� p~q�nq (�p � � �«t � � � ���Op t � � � � � � �&l&��{��Ep t � � � �)� � i�?�  p~q�y&n3q�� �Ki;tV�X|p~q�nq`q��~�5��|�ml­��yM�5��|�uyM�¨|�y§�>�U�0tD¢

�5�U|p~q��~q�o�q���lVn3�­n3l&�~¡&q&i1¹£��5�~¡�|p�q¸o�yM��x��~|�q�n]|�y²����{|p��5�ª��yM�5�~|�uyM��l&��{½|�y­o�l&�5o����5lV|�q«|p~q`zVl&�5�~q��£y&��|p~q�| � yxEq�n(�uyJ{���y&��|p~q­��q��uq�n3��|�n3l&�3��{�lV|lP� � q·{~q�|�q�n(���5�~q�|p~qlVx�x�ny&x�n(�5lV|�q�zVl&�5�~q��³�!y&n � � ��� � ��l&��{ � � ��¡M�uz&q��¬lszVl&�5�~q��y&n� � i·��q�|p~q�nq��J��¡&q��~q�n3lV|�qs|p~q²�5�²lV¡&q�y&�]� ���� �5� ^�u¡M��nq¸¤Ji

8. THE EXAMPLES M++2k+1K �·�5�¼|p~q�x�nq�zP�uyM���­��q�o�|�uyM�T�³yM��q¬���u¡MpK|·�5�Iz&q���|�u¡MlV|�q

� p~q�|p~q�n`�u|��5�¸x0yM���u���uq²|�y�o�yM����|�n3��o�|¸¡&q��K���¸|p�nq�q²q��J�l&��x��uq��?�J��l&{�{��5�~¡�| � y �����P|��Jx0q³p�l&��{��uq��?|�y«��� � p��5�uqx�nq���q�nzP�5�~¡¨|p~q­���P����q�|�n3�uq���i  p�qs�3l&��qs��q�|p~yP{��`l&�|p~yM��q«����q�{½�5�½|p~q ���j�Eo�l&��q«o�l&�¨�0q¸����q�{U|�y­�p�y � |p~qq��P�5��|�q���o�q³y&�Bl«���5���5��l&��{��5�3o � �u|ps|p~q³{~q���unq�{��0yM����{P�lVn�±l&��{®���P����q�|�n3�uq����?���~|«yM�~qU�`���|�lV¡Ml&�5� o�yM���3�5{~q�n|p~qUx0q�n3�uyP{±x�ny&���uq��·i  p~qU��5�²�5�5lVn3�u|�uq����0q�| � q�q�� |p~qo�yM� ����¡MlV|�qjo�yM�I|�yM��n3�1�!y&n1|p~q³| � y����m��p�l&��{��uq��+l&��{­| � y�����^p�l&��{��uq��`l&�5�uy � yM��q²|�y¨y&����q�n3z&qsl¨��5�²�5�5lVn���lV|�~n3l&�y&����|�n3��o�|�uyM�À|�y���yM�uzP�5�~¡�|p~qUx0q�n3�uyP{ x�ny&���uq�� ��y&n�|p~qyM�~q���q���{~q�{¬�3�~n�-l&o�q���i �?��l&{�{��5�~¡·��y&nq«q���{��³|�yU|p~q���q��~n�-l&o�q����Pl&�?�5��|p~q£x�nq�zP�uyM���?��q�o�|�uyM�T�P|p��5�?y&����|�n(��o�|�uyM��5��yDz&q�n3o�yM��q&iS¡£q��~y&|�5�~¡«|p~q��qm�~q � ��~n�-l&o�q����K��� 4 4�� 4 �l&��{ ����5�~¡}lVn3¡M����q��K|�²�3�5���5�5lVn�|�y}|p~yM�q½���q�{ �5� |p~qx�nyJy&�By&�  p~q�y&nq�� �Ki;tV��yM�~qjp�l&���

6 June 2000 at 10:58

Page 12: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

208 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

V4

B5

B6

B7

V5

V6

E3E2E1

B4

B3S1

B2

B1

S2

C1

C2

V3

V2

V1

ε

β2

0

0

+β3

FIGURE 9. *���� ��� ��� �$ �'� ����� ����� � ���"����)�� �� �$ 0����& 4 4� ����� � �����*����� � � ���$ � � ����������� � ������ ����� ��� ������ �$ �� �$� � � �%� �* �����$ ��� ������� ��� �'� �! 6

Theorem 8.1. 1.B 8-��,Q�¥�IF���(/�"(a�e@'!��/T�G-�',Q�'�E���P�/,�./�'� T�"&o9�@Q.W��� � �I4�4��I4 � 4�@�* � &o9�GN�/,H�L@J4'�L01� �"!#�$�%�'&-(H*-,$.���0+�/(� 4 4�� 4 � @�.�;<�/!#*<(��"8�,I�D� � ./@�,��I��0�8 �a�ÁtVi

2.� 4 4� 4�@J�H(^!�@��W�IF��$(H� i

Remark 8.2. p~q·���P����q�|�n3��¡&nyM�~x��«�!y&n�� � �?� ����� 4 � �l&��{¯� 4 4�� 4 � lVnq`�5{~q��K|�5o�l&�-i£h�q���o�q�yM�~q¸p�l&�]| � y­o�yM�5�uq�o)�|�uyM���Sy&��¡&q��J����|p�nq�q£�²�5���5��l&����~n�-l&o�q�� � �u|p�|p~qª�l&��q

���P����q�|�n3�uq���l&�]kmlVn3o(p~q�n����+y&n(�u¡M�5��l&��¡&q��J���+yM�~q¸��~n�-l&o�q

Weierstrass Data for M++3¹£��5�~¡³|p~q1�l&��q+�~y&|lV|�uyM��l&��|p�lV|@����q�{`�!y&n@|p~q1���n�!l&o�q

� ���� � � q¬o�l&�¾{�q�|�q�n3���5�~q¨|p~q¨��q��uq�n3�|�n3l&��U{�lV|l���y&n� 4 4� :~|p~qmnq��3���u|�1lVnq

V � p � � � �� ��� �

� �`t � � �� �jt � � �� � � �� ��� �

� �`t � � �� �jt � � �} � ��� �� �)� � � � } � �`t � � �� �jt � � � � �

l&��{ j p * �� � � t

� � �#� � �� � �0� � �

� � � t � � � �� � �®t � � � � �

�Ã�u|p |p�q¨�3l&��q¯o�yM����|�n3l&�5�K|�s��y&nsx�lVn3l&�5�uq��£q���{���l&�s�5��>�U�EtD¢Bl&��{¸�K�¸o3p�l&�~¡M�5��¡1��|�y�� � �²t � � � � q�o�yM��x���|�qS|p~qx�lVn3l&��q�|�q�n3�X����q�{j�5�j¡&q��~q�n3lV|�5�~¡£|p~qS�5�²lV¡&qS�5�¸ ^�u¡M��nq?¤Ji

9. THE EXAMPLES M+ �kµ���|p��5����q�o�|�uyM��� � q³o�yM����5{�q�n?|p�q�¡&q��J����|p~nq�qª��~n3�!l&o�q��

� 4 � � p��5o3p¨lVn3�5�q��J�¯l&{�{��5�~¡��Ey&|p¨l½� ���0p�l&��{��uq«l&��{lÃ� �m�]p�l&��{��uq¨|�y � i K �U�5�¾|p~q§o�l&��q§y&��� � l&��{� 4 �J|p�qªp�l&��{��uq��?��lV�&q³�u|+�5��x0yM���u���uq�|�y`x�nq���q�nz&qª|p~q��|�n3l&�u¡MpK|«�5�5�~qs���J�²��q�|�n3�uq��jy&�]� � �:���~|¸|p~q�|p~nq�qs���~�|��l&�5�u�·x0q�nx0q���{��5o����5lVn]x��5l&��lVn�nq���q�o�|�uyM��l&�:���P����q�|�n(�uq��lVnq?x�nq���q�n3z&q�{Ti  p~q���q����P����q�|�n(�uq���nq�{���o�q?|p�q?�J�����0q�n

y&�0x0q�n3�uyP{��>|p�lV|��~q�q�{�|�yj�0q1l&{�{~nq��3��q�{«�5�«y&n3{~q�n���y&n@|p�qx0q�n3�uyP{mx�n3y&���uq��¾|�y£�Eq@�yM�uz&q�{Ti>µ��jx�lVn|�5o����5lVn��V� 4 � p�l&�� �¾t³x0q�n3�uyJ{����q� � t³y&�>|p~q��qjx0q�n3�uyP{��+lVn3�5��qm�!nyM� |p�qnq��3�5{��~q��@y&�T|p�q]��q��uq�n3��|�n(l&���{�lV|ljlV|S|p~q]q���{�� :K�uq�lDzJ�5�~¡yM���u�j| � y£x0q�n3�uyP{��Bnq�����u|�5��¡��!nyM�¶�~yM�I|�n(�uzJ�5l&�Pp~yM��y&|�y&xK�o��5l&��q���i �?� ��q����²l �~if�J�^|p~q«x0q�n3�uyP{��ªnq�����u|�5�~¡­��n3yM�|p~q?l&{�{��u|�uyM��l&�Iq���{���lVn3q���5�`���u|l&�~q�yM���3�u�)8�q�n3y]x�ny¥zJ�5{�q�{|p~q³��q�¡M��q��I|��y¥z&q�n � p��5o(p�|p~q£o�yM�����~¡MlV|�qmo�yM�K|�yM�~n3�+lVn3q���K�0yM����{~q�{�lVnq³q�ºJ��l&�T�5�­�uq��~¡&|pTi K � � q³p�l�z&qj{�yM�~q³�5�|p~qsx�n3q�zJ�uyM���«�q�o�|�uyM����� � q����

V|�y½�0qs|p��5�`o�yM����yM�

�uq��~¡&|p�i���y �¶� q¸�~q�q�{·yM���u�­o�yM���3�5{~q�n]|p~qj| � y�x0q�n3�uyP{��|p�lV|]nq�����u|1�!nyM� ��yM�I|�n3�uzP�5l&��p~yM��y&|�y&xK�so��5l&���q���i >�u¡M�~n3q�t�]o�yM�K|l&�5���^���&q�|o3p�q��By&�P|p~q��EyM����{�lVn��y&�JyM��q

q��u¡MpK|p�y&��� 4 �� �-�uq��!|(¢Xl&��{j� 4 �� �!n(�u¡MpI|(¢(�M|�y&¡&q�|p�q�n � �u|p|p~q¯o�yM� ����¡MlV|�q½o�yM�K|�yM�~n²p�q��u¡MpI|� � n3�u|�|�q�� l&��l�¡&n3lVx�pT�� p�q�nq 6 $�pÃ�uq���¡&|p5�%$���y&n X p¾¤ w � w � w � w �Ji?��q]l&������q6 � �

VyM�·l&�5�Xo�yM�K|�yM�~n3��i

��q+�~y � o�yM����5{~q�n^|p~q�o�l&��qW�%p tVi �S�¸o�yM����5{~q�n3lV|�uyM�y&�^|p~q³| � y�x0q�n3�uyP{��?��y&n1� 4 �� �!y&n+zVlVn�J�5��¡«z[l&�5�~q���y&� 6 �l&��{ 6 � � qªlVnq£lV���uq�|�y`����qªlj| � yV��{��5��q�����uyM��l&��{~q�¡&n3q�qlVn¡M����q��K|+|�y�x�ny¥z&q��Theorem 9.1.

B 8-��,Q�3�DF��$(H�"(��a@'!���TXGN�',����%�U�P�/,Z.��'� �$&:9�@�.;<�/!#*<(%�"8�,I�D� � �/� � �D4�4��D4¥���"!#�"�%�'&](+*-,"./��0+�H( � 4 �� \]�"�"8� ��0/8N�/, M�T��L9DG#�%�/!)4'( iµ��·x�lVn3|�5o����5lVn���o�yM����5{~q�n]|p�qjx0q�n3�uyP{��1l&�uyM�~¡²|p~q¸o��~n3z&q���5�­|p�q²� 6 � w 6 ¢�x��5l&�~q³¡M�uz&q��¯�K�

� � p � w 6 ¢ ��y&n 6 z¦r w�� w w� � p � 6 � w�� ¢±�!y&n 6 � z}r w Bw w� � p �� w 6 ¢¿��y&n 6 z¦r w�� w w� � p � 6 � w I¢ �!y&n 6 � z}r w Bw w

6 June 2000 at 10:58

Page 13: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 209

V4

B5

B6

B7

V5

V6

E2

E1

B4

B3

B2

B1

C1

V3

V1

ε

β2

+0

+β5

+β3

S1

V2

V4

B5

B6

B7

V5

V6

E3E2E1

B4

B3S1

B2

B1

S2

C1

C2

V3

V2

V1

ε

β2

+0

−β5

+β3

FIGURE 10. ��*���� ��� ���"� �� ���� �$ ����&54 ��( ����� ��7� ��+��, ��� �0&54 ��

( ����� ��'����� �-, ��� �� �� ������ ;������;��$����� �������� � � �����������3 ��� �� ���"� � � �$ �'����� � � � � ���� ��� �� �� ���� �$ � ������� � ������ 6

�!y&n>xEyM�3�u|�uz&q ¯l&��{ � �Ml&��{�lVnq�lV���uq�|�y³�p~y � |p�lV|�� � �u|p|p~q¯o�y&nnq�o�|�o(p~yM�5o�q����!y&n 6 � � ?�?l&��{ � �?|p~q���q·o��~nz&q�����nnyM����{sl��yM�5�~|�uyM�·�!y&n1|p~q³x0q�n3�uyP{­x�ny&���uq��·i p~q§o�yM� ���~¡MlV|�q�o�yM�I|�yM�~n(�U�!y&n½� 4 �� l&���yPo��5lV|�q�{¶|�y

x0yM�5�K|�Sl&�uyM�~¡�|p~q£o��~nz&q�� � � l&��{ � � {~q�¡&q��~q�n3lV|�q£|�y�o�yM�~����~¡MlV|�q+o�yM�I|�yM��n3�>��y&n>q��u|p~q�n:�P�~y � �¸�3�~n�-l&o�q��>y&n>�3�~n�-l&o�q��� p��5o3pÀlVnq¯�P�~y � � |�y�p�lDz&q¨������yM�uzVlV���uqUx0q�n3�uyP{®x�n3y&�~��uq��²��i �Àp~q��¼|p~q¬{~q�¡&q��~q�n3lV|�q¦o�yM�I|�yM��nU�5�­�P�~y � �¼|�yp�lDz&q¸l��yM�uz[lV���uq¸x0q�n3�uyJ{sx�ny&���uq��·� � qjl&��3����qm�~y&|p��5�~¡lV�0yM�~|�|p~q¨z[l&�5��q��sy&�j|p~q���q¨x0q�n3�uyP{����1l&��{Ã�5�À¡&q��~q�n3l&�|p~q¸nq���l&�5���5�~¡����P���Jq�{­x�lVn3l&��q�|�q�n � p��5o3p � q � �5�5�X��y&|��x0q�o��u�!�½p�l&�³�0q�q��¬�p~y � ��|�yUo�yM�K|�nyM�@|p��5�³x0q�n3�uyJ{�i���q��q�q���|�y����q1yM���u�«|p~q£¡&q��~q�n3l&�E�p�lVx0q1y&�T|p~q£{~q�¡&q��~q�n3lV|�qo�yM�K|�yM�~n3�1l&��{­�~y&|+|p~q³��yM�uzVlV���5�5�u|��­y&�B|p~q³x0q�n3�uyJ{�x�n3y&�~��uq��²�1yM�­|p~q��uy � q�n�¡&q��J�������5���5�²l&�T��~n�-l&o�q���i S �­q�l&o3py&�>|p~qm{~q�¡&q���q�n3lV|�q¸���n�!l&o�q����~|p~qj�5lV�0q��5� � qj����qmlVnq¸�5�P�p~q�n(�u|�q�{��!nyM� |p�q]o�yM�I|�yM��n?�!y&nS� 4 �� � � p��5o(p²�²l��«{��©´0q�n�!nyM� |p~yM�qj����q�{­x�nq�zJ�uyM����u���5�·|p~q³|�q��J|�i

Proof of Theorem 9.1.�?yM����5{~q�n1yM�~q���q��u¡MpK|p½y&�B|p�qm�!���P�

{�l&��q��I|l&��x��uq�o�q&�Jl&��l&�uy&¡&yM����|�yj|p~q]{~q�x��5o�|�uyM���@y&�0� 4 ��l&��{¾� 4 �� �5�¾ >�u¡M�~n3q®t�Pi  p��5�syM�~q���q��u¡MpK|p¼x��uq�o�q¬�5��0yM����{�q�{¯�J�¯�q�z&q��¬x��5l&��lVn³¡&q�yP{~q���5o�� �m���@i�i�i�� �

�i �m�

l&��{O��lVnq£q�l&o3psy&�X�5�~�����u|�qª�uq��~¡&|p � �u|psl¸��5��¡M�uq£q���{P�

xEyM�5�K|��Sl&��{ � � �]i�iDi�� � & lVnq­q�l&o3p®�����u|�q·�uq��~¡&|p o��~nz&q��q�¡M��q��K|��i ��q�| 6 $¥p �uq��~¡&|p%�%$²�!y&n X p ¤ w � w � w � w �Ji p~q¸�3�5�~¡M���5lVn£xEyM�5�K|�£y&�:|p~q��EyM����{�lVn�slVnq " $ p � $���5$4� ��y&n X p t w ����� w �Ji��-¹£���5�u�&q�|p�q�o�l&��q�� � p~q����a� ¤J�|p~q�nq«lVnq«�~y­o��~nz&q���' $D��l&�³�5�� >�u¡M�~nq­t�Pi ¢���q«x��5l&o�q

|p~q���~n�-l&o�q«��y­|p�lV| V q�ºJ��l&�5��t«lV|³|p�q���5�~¡M�uq«q���{ � �l&��{­q�ºJ��l&�5��«lV| " � ��l&��{ � qj{~q����~qª|p~qj�!����o�|�uyM���

� � � 6 � w 6 � w 6 ¢qp >1q r ���� � v � p >]q r ���

� � v � w� � � 6 � w 6 � w 6 ¢qp >1qcr ���

� �v � p >]qsr ���

���v � w

� p~q�nqZv � �5�B|p~q?��q�o�yM��{`o�yM��x0yM�~q��K|�y&�~|p~q?��q��uq�n3��|�n3l&�3���lVx­¡M�uz&q��U�5�·q�ºK��lV|�uyM���c�J�P¤M¢(i@��q � �5�5���p�y � |p�lV|��(i)� � � � $�¢ªl&��{ � � � � $�¢ªo(p�l&�~¡&q���yM�~y&|�yM���5o�l&�5�u��yM��q�l&o(p� $D�0��y&n X p t w ¤ w � w �~ijµ��¯x�lVn|�5o����5lVnD�E�!y&nªq�l&o3p½���Pq�{6 � l&��{ 6 � �0�D� 6 � w 6 � w 6 ¢j�5�«l¨��|�n(�5o�|�u�¦{~q�o�n3q�l&��5�~¡�!����o�|�uyM��y&� 6 � :I�!y&n�q�l&o(p����Pq�{ 6 � l&��{ 6 � �K|p~q1zVl&�5�~q� � � 6 � w 6 � w 6 ¢��5��l���|�n(�5o�|�u���5��o�nq�l&��5�~¡¬�-����o�|�uyM��y&�6 :]�!y&n�q�l&o3p ���Pq�{ 6 � l&��{ 6 ��� � � 6 � w 6 � w 6 ¢��5��l��|�n3�5o�|�u�®{~q�o�n3q�l&��5�~¡§�-����o�|�uyM� y&� 6 � :£l&��{±�!y&n�q�l&o(p���Pq�{ 6 � l&��{ 6 � � � � � 6 � w 6 � w 6 ¢��5�Bl���|�n3�5o�|�u�m{~q�o�n3q�l&����5�~¡��-����o�|�uyM�­y&� 6 i

6 June 2000 at 10:58

Page 14: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

210 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

(ii) ~y&nªl&�5� 6 � �

V� � � � 6 � w w I¢ � �l&��{ � � � 6 � w w I¢��Pi

(iii) ~y&n�l&�I�½���Pq�{ 6 � �

V�B�u� � �5�mo(p~yM��q��§�3���²o��uq��K|�u�

�5lVn¡&q&��|p~q�� � � � 6 � w w�� ¢�� �l&��{ � � � 6 � w w�� ¢ � Pi(iv)

 p~q�n3qSq��~�5��|:o3p~yM�5o�q��@��y&n 6 � �Vl&��{� ¯�5lVn¡&q1��y£|p�lV|

�0��� 6 � w w I¢ � «l&��{ � � � 6 � w w I¢qp Pi��qjo�yM���3�5{~q�n1|p~qmx0q�n3�uyP{­��lVx�`� 6 � w 6 � w 6 ¢[p � � � � 6 � w 6 � w 6 ¢ w � � � 6 � w 6 � w 6 ¢�¢ �

��q¯o(p~yJyM��q 6 � � ?�?l&��{ � ��y§|p�lV| � � � 6 � w w�� ¢�� P�� � � 6 � w w�� ¢(� P� � � � 6 � w w I¢"� P�0l&��{�� � � 6 � w w I¢�pPis�~�5��o�q 6 � �5�m|p~q��§ls���Pq�{¬zVl&�5�~q&� � q²�²l��¨o�yM����5{~q�n�E�¦p �E�D� 6 � w 6 ¢�l&��{ � � p � � � 6 � w 6 ¢�l&�­�-����o�|�uyM���y&��yM���u��|p~q�| � y½zVlVn3�5lV���uq�� 6 � l&��{ 6 ish]q���o�q�� �5�¸l��lVx ��nyM� 2 � |�y 2 � i �?�±|p~q¨��yM��y&|�yM���5o·�0q�p�lDzJ�uy&ny&� � � l&��{#� � yM�sq�l&o3p � $D�~�u|+�!yM�5�uy � �+|p�lV|?|p�qm�5��lV¡&qªy&�� ��� � � � � � � � � ����{~q�n��À�5�@lmp~yM��y&|�y&x��5o�l&�5�u�«�~yM�I|�n(�uzJ�5l&��uyJy&x��5� 2 ��� �K� w I¢N�Mi  pJ���:l8�q�nym�!y&n@|p~q+x0q�n3�uyP{«��lVx� �5�uq��:�5��|p~q�nq�¡M�uyM���EyM����{~q�{m�J�j|p�q�o���nz&q�� � $Di^h�q���o�q|p~q³x0q�n3�uyP{sx�ny&���uq�� l&���yPo��5lV|�q�{U|�y�� 4 �� �5����yM�uzVlV���uq&i��q}x�nyDz&q¦�u|�q����§�-�e¢>�E�-�uz�¢UlV�Ey¥z&q}�J�Ã��|��{~�P�5�~¡®|p~q

o�yM� ���~¡MlV|�q¸�3�~n�-l&o�qmy&�>|p~qmy&n3�u¡M�5��l&�XyM�~q���q��u¡MpK|pUx0y&n|�uyM��0yM����{~q�{¯�J�Ux��5l&��lVn³¡&q�yP{~q���5o���� � �@i�i�i�� �

�i  p~q`o�yM�P�

���~¡MlV|�q²���n�!l&o�q²�5�¸lU¡&n3lVx�p � � �u|p¬nq���x0q�o�|¸|�yU|p~q � �{��unq�o�|�uyM�UyDz&q�n�|p~qmnq�o�|l&�~¡M�uq�K� � ��w w � � ¢�z 2 � � - � � - 6 � w - � � -

V ��5�¨|p~q � � � � ��x��5l&�~q&�^l&��{��u|�m�0yM����{�lVn�&�0|p~q�o�yM� ���~¡MlV|�qo�yM�K|�yM�~n��mo�yM����5�|�·y&�«��q�z&q��Á�5�5��q�� �%¤� �«i�i�i�� �%¤

�o�y&nnq��

��x0yM��{��5��¡²|�y­|p~q«x��5l&��lVn³¡&q�yJ{�q���5o���� � ��i�i�i�� ���5��|p~q

�0yM����{�lVn3� y&�«|p~q}y&n3�u¡M�5��l&�j�3�~n�-l&o�q&i �P�5��o�q§o�yM� ���~¡Ml[�|�uyM�®x�nq���q�nz&q����uq��~¡&|p���� � qUp�lDz&q 6 $Cp �uq��~¡&|p(�%$ p�uq��~¡&|p5� ¤$ i  pJ����� ¤� l&��{J� ¤

�lVnqsq�l&o3p �5�P�����u|�qsn3lD�J�

� �u|p¨ls��5�~¡M�uq«q���{�xEyM�5�K|��Tl&��{I�%¤� �:i�i�i�� �%¤& lVnq`q�l&o3p¨������u|�q«�5�5�~q«��q�¡M��q��I|��i  p~q«��5�~¡M���5lVnªx0yM�5�K|�ªy&��|p~q«o�yM�P����~¡MlV|�qjo�yM�K|�yM�~n�lVnq " ¤$ pH� ¤$ � � ¤$

4� �!y&n X p t w ����� w �J�o�y&nnq��xEyM��{��5�~¡�|�y·|p~q«x0yM�5�I|� " $jyM��|p~q«y&n(�u¡M�5��l&�@��~n�

�-l&o�q&i � ¤� �5��|p~q£n3lD� � �u|p²q���{~x0yM�5�K|£� 6 � w � 6 � w V ¢�x0yM�5�I|���5�~¡m�5�«|p�q]{��unq�o�|�uyM��y&��|p~q]xEyM�3�u|�uz&q � � ��l[�P�5��i �%¤� �5�@|p~q��q�¡M��q��I| � �u|p­q���{~x0yM�5�I|�m� 6 � w � 6 � w V ¢�l&��{¬� w � 6 � w V ¢(i�%¤� �5�U|p~q§�5�5�~q}��q�¡M��q��K| � �u|pÁq���{~x0yM�5�I|�}� w � 6 � w V ¢l&��{§� w w V ¢(i(�%¤� �5�]|p�qj�5�5�~q¸�q�¡M��q��K| � �u|pUq���{~x0yM�5�I|�� w w V ¢�l&��{¶� w w I¢(i � ¤ �5��|p~q¯�5�5�~q¯��q�¡M��q��K| � �u|pq���{~x0yM�5�K|��� w w I¢£l&��{¦� w 6 w I¢(i �%¤& �5�]|p�q��5�5�~q`��q�¡V���q��K| � �u|p q���{~x0yM�5�I|�¨� w 6 w I¢²l&��{¶� 6 � w 6 w I¢(i � ¤

��5�¸|p~q²n(l�� � �u|p}q���{~x0yM�5�K|²� 6 � w 6 w I¢mx0yM�5�K|�5�~¡¨�5�§|p~q{��unq�o�|�uyM�Uy&�B|p�qmx0yM��u|�uz&q � � ��l[�P�5��i

��q�{�q��~y&|�q¸|p��5�³o�yM� ����¡MlV|�q�¡&n(lVx�p½�K� �«� 6 � w 6 � w 6 ¢(���5��o�q��u|£{~q�x0q���{��1yM�¯|p~q¸z[l&�5�~q���y&� 6 � � 6 � l&��{ 6 ij�!µ�|l&�5��y�{�q�xEq���{���yM�V�~���~|

V� �5�5�Enq��²l&�5�����Jq�{T�P��y � q³{~y

�~y&|��~y&|lV|�qj|p��5�]{~q�x0q���{~q���o�q&i ¢

Proof of (i).��p~yJyM��qs�~yM���~q�¡MlV|�uz&qUz[l&�5�~q�� 6 � �a¢6 � �@l&��{6 � � �u|p 6 � � ¢6 � �El&��{Uo(p~yJyM��q¸l&�K� 6 � �

Vi  p~q��­|p�q

�5�K|�q�n3�uy&n:y&�~|p~q?¡&n3lVx�p��`� 6 � w 6 � w 6 ¢T�5�uq��>lV�0yDz&q�|p~q?�5�I|�q��n3�uy&n?y&� �«� 6 � w ¢6 � w 6 ¢ � �u|p�nq��xEq�o�|S|�yj|p~q � � {��unq�o�|�uyM����J� >1q��²lVn�·�Ji �~i  p~q���q¸| � y²¡&n3lVx�p��1p�lDz&q¸|p~q��5�5�~q �%¤��5��o�yM�²��yM�T�0l&��{¨�u|ª��yM�5�uy � �³|p�lV|³l&�ªyM�~q`|�n3lDz&q��5�³��n3yM�" ¤� |�y "�¤� l&�uyM�~¡G�%¤� �T|p�q��~y&n3��l&�^z&q�o�|�y&n�l&�uyM�~¡ �%¤� y&��«� 6 � w 6 � w 6 ¢ª�5�³|�~n3���5�~¡·l&p~q�l&{¬y&��|p~q²�~y&n3��l&�^z&q�o�|�y&nl&�uyM�~¡ � ¤� y&� �`� 6 � w ¢6 � w 6 ¢(i: ��~n|p�q�n3��y&nq&�&�J��|p~q1��l[�J��5�`��� x�n3�5��o��ux��uq¸|p~q���q�| � y���y&n3��l&�Tz&q�o�|�y&n(�³o�l&�¯�~q�z&q�n�0q�q�ºJ��l&�³�5�¾|p~q¬�5�K|�q�n3�uy&nUy&�E�%¤� i  p��5�­��q�l&���s|p�lV|yM�U|p~qmy&n3�u¡M�5��l&�B��~n�-l&o�q��+|p~q¸�~y&n3��l&�0z&q�o�|�y&nªl&�uyM�~¡ � ��!y&n 6 � w 6 � w 6 �5�]|�~n3���5��¡`�|�n3�5o�|�u�­l&p~q�l&{·y&�^|p~qj�~y&n(��l&�z&q�o�|�y&n·l&�uyM�~¡ � � ��y&n 6 � w ¢6 � w 6 � � �u|p nq��xEq�o�|²|�y¦lVn(o�uq��~¡&|p�i¼�~�5��o�qU�uq��~¡&|p(� � p �uq��~¡&|p(�%¤� p 6 � p V

�5��5��{�q�xEq���{~q��I|�y&� 6 � �+�u|���yM�5�uy � ��|p�lV| � � � 6 � w 6 � w 6 ¢��� � � 6 � w ¢6 � w 6 ¢(i��qªp�lDz&q ������|��p�y � ��|p�lV|��!y&n�q�l&o(p����Pq�{ 6 � l&��{ 6 �� � �5�²l¬��|�n3�5o�|�u�®{�q�o�nq�l&��5�~¡}�!����o�|�uyM�®y&� 6 � i¾�P�5�²�5�5lVnlVn¡M����q��K|�1�p~y � |p~qmy&|p~q�n�x�lVn|�+y&�+�-�e¢(iProof of (ii).

µZ� 6 � p 6 p P�B|p~q�� " � o�yM�5��o��5{~q�� � �u|p" � l&��{ " � o�yM�5��o��5{~q�� � �u|p " i  p~q�o�yM� ���~¡MlV|�q�¡&n3lVx�py&�B|p��5����~n�-l&o�q£�5�+�����5ºK��q&�K�J�  p~q�y&n3q�� �Jif�J��p�q���o�q�|p�q���n�!l&o�q��5�j�����5ºJ�~q&i  p~q�nq��!y&nq��u|m�5�m�±��i  p~q`q����0q�{P�{~q�{��~q���+y&�>� � �5��x��5�uq��+|p�lV|�� � � 6 � w w I¢ � Pi p~q��3�~n�-l&o�q`� � o�yM�K|l&�5���³l�z&q�n|�5o�l&�@�5�5�~q&��l&��{¯|p��5��5�5�~q�{��uzP�5{~q��·�0y&|p¶� � l&��{ � � �5�I|�yÀ| � yÀo�yM��¡&n3�~q��K|x��uq�o�q���i ��q�|� � �0q`|p~q�p�l&�u�?y&� � � |p�lV|mo�yM���~q�o�|�³|p�q�²�5{~x0yM�5�I|^y&��� � |�y)" � p%" � i���q�| � � �0qS|p�q�o�yM��¡&n3�~q��K|x��uq�o�q]y&�E� � �0yM����{�q�{j�J� � � � � � ��� � �Il&��{`|p~q+z&q�n|�5o�l&��5�5�~q&i²�~�5��o�q ���jp�l&�³l­��5�~¡M�uqs�Po3p~q�n3�I��|Z�Kx0q«q���{ � p�yM��q�~y&n(��l&�P�5�:x�lVn3l&�5�uq��P|�yj|p~q � � l[�~�5���M|p�q1��l[�~�5�����¿x�n3�5�P�o��ux��uq¸�5��x��5�uq���|p�lV|+|p�q � � o�yJy&n3{��5��lV|�qj�!����o�|�uyM�syM�­� �o�l&����y&|:�Eq+�²l[�P�5�²�98�q�{��5�`|p�q��5�K|�q�n3�uy&n@y&�0� � i: ��~n|p�q�n����y&nq&��l&� � � �5��l�x��5l&��lVn£¡&q�yJ{~q��3�5o¸�5�½l�x��5l&��q¸x�lVn(l&�5�uq��|�y³|p~q � � � � ��x��5l&�~q&�I|p~q+�0yM����{�lVn�m�²l[�P�5�`���¿x�n3�5��o��ux��uq�5��x��5�uq��£|p�lV| � � o�l&����y&|³�Eq`��l[�~�5���98�q�{¯yM� � � i��~�5���©��5lVn3�u�&� � � o�l&���~y&|?�0q���l[�~�5���98�q�{²yM��|p~qª�5�I|�q�n3�uy&n�y&��� � i p�q�nq���y&n3q³|p~qmzVl&�5�~qmy&�^|p~q � � o�yKy&n({��5��lV|�qjlV| " � p " ��5�?��|�n3�5o�|�u���uq���S|p�l&��|p~q]zVl&�5�~q]y&�0|p~q � � o�yJy&n3{��5��lV|�q£lV||p~q¸���5{~x0yM�5�K|?y&��� � iS�Py � � � 6 � w w I¢�� PiProof of (iii).

 >�©� 6 � �V�]l&��{ o3p�yKyM��q 6 � p�§l&��{6 p �� tVi  p~q��¦�5�5������� �«� 6 � w w�� ¢��5�`lU¡&n3lVx�p

6 June 2000 at 10:58

Page 15: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 211

�0yM����{�q�{��K�J� ¤� � � ¤� ��� ¤� ��l&��{®l&� �5�~�����u|�q­n3lD� � �u|pq���{�xEyM�5�K|�lV| "�¤� xEyM�5�K|�5�~¡«�5�s|p~q³{��unq�o�|�uyM�sy&�B|p~qªx0yM����u|�uz&q � � ��l[�~�5��i  p��5��¡&n3lVx�p±p�l&�`l���5�~¡M�uqU�Po(p~q�n�K��|��Jx0qq���{�y&� � �5{~|p�� 6 �

� �V� i]�  p~q£�!l&o�|�|p�lV|�|p��5���5�5���u|�5��¡

�0q�p�lDzJ�uy&nByJo�o��~n(�T��yM�5�uy � ���!nyM�¾|p�q�lVn¡M����q��I|�T�5��r��Mq��~�K��5���£l&��{��Jq�nn3�5�¦t�v����¥w�iªµ��¯|p��5�£x�nyJy&� � q � �5�5�^o�yM����5{�q�nzVlVn3�uyM���1�5�5�²�u|1��~n�-l&o�q�����l&��{­�5�­l&�5�Xo�l&��q��1|p~q³q��~�5��|�q���o�qy&�S|p~q«�5�5���u|£¡&n3lVx�p¨�!yM�5�uy � �ª�!nyM� r��&q����J�5���ªl&��{¬�Jq�n3n3�5�t�v����¥w�i ¢Â p~q³y&n3�u¡M�5��l&�B��~n�-l&o�qmo�y&nnq���x0yM��{��5�~¡`|�y

�5�5���� � �«� 6 � w w�� ¢zJ�5l`o�yM� ���~¡MlV|�uyM�s�5�?�0yM����{~q�{��K��|p�q�x��5l&��lVnS¡&q�yP{~q���5o��� � � � � � � � �Xl&��{�l&���5�P�����u|�q`z&q�n3��uyM�¬y&� � i¸µZ|mp�l&�³l��5��¡M�uq��~yM�Kz&q�n|�5o�l&�J�Po(p~q�n�K��|��Jx0q@q���{³y&� � �5{~|p�� 6 �

� �V� iS �U�5�5����� � �«� 6 � w w�� ¢(��|p~q¸��l[�~�5����� x�n3�5��o��ux��uqm�5���

x��5�uq��£|p�lV|³�u|�ª�~y&n3�²l&��z&q�o�|�y&n��� l&�uyM��¡O�%¤� �5�uq�� � �u|p��5�l�v � ¡&q�yP{~q���5omlVn(oªy&�B|p~qm�����u|1��x�p~q�n3q«�-�y�|p��5�1�5�1l&�5�y|�n3��q¸l&�uyM�~¡O� � ¢(�0l&��{·|pJ����|p~q � � o�yKy&n3{��5��lV|�q�lV| " � �5�¡&nq�lV|�q�n²|p�l&��|p~q � � o�yKy&n({��5��lV|�qUlV| " � p " � yM��|p�qy&n3�u¡M�5��l&�:��~n�-l&o�q&����y­�5�5� ����� �E�D� 6 � w w�� ¢'� Pijh]q���o�q� � � 6 � w w�� ¢ � «��y&n � ����²o��uq��K|�u�­�5lVn¡&q&i��y �¿� q¸o�yM����5{~q�n1|p�qj�5�5���u|�5�~¡�o�yM�����~¡MlV|�q���~n�-l&o�q

�5�5������ � �«� 6 � w w�� ¢ � � w���w I¢�¢ w� p��5o(p±�5�«l½¡&n3lVx�p��0yM����{~q�{}�J�>�%¤& � �3¤

��Sl&�±�5�P�E���u|�q

z&q�n3�3�uyM�}y&�5� ¤ q�ºJ��l&�S|�y¯|p~q��~q�¡MlV|�uz&q � � l[�~�5���@l&��{}lo�yM��x��uq�|�qU�5�5�~q­|p~n3yM�~¡Mp¼� 6 � w w V ¢`x�lVn3l&�5�uq��+|�y¬|p~q­|p�q� � ��l[�~�5��i  p��5�¨o�yM� ���~¡MlV|�q±��~n3�!l&o�q±p�l&�½| � y¾q���{��¯y&��Po(p~q�n�K��|��Jx0q&i S �~q·q���{ p�l&� � �5{~|p

Vl&��{ |p~qUy&|p~q�n

p�l&� � �5{~|p�� 6 �� �

V� i  p~qmy&n3�u¡M�5��l&�B���n�!l&o�q¸|p�lV|�o�y&n�

nq��xEyM��{���|�y±�u|szJ�5l¦o�yM� ���~¡MlV|�uyM�¾�5���0yM����{~q�{ �K�W� & ����Jl&���5�P�����u|�q1z&q�n3��uyM��y&��� �Jl&��{�lmo�yM��x��uq�|�q]�5�P�E���u|�qz&q�n3�3�uyM�²y&� � � i:µZ|?p�l&�S| � y�q���{����PlV¡Ml&�5�²y&� � �5{~|p

Vl&��{� 6 �

� �V� �

Vi �?q�o�l&����qªy&��|p~q£nq��5lV|�uz&q � �5{�|p��@y&��|p�q

q���{���yM�¸|p��5�Xy&n(�u¡M�5��l&�K�3�~n�-l&o�q&� � qS�q�qS|p�lV|^|p~q � � o�yKy&n�{��5��lV|�q£lV| " �5�S¡&nq�lV|�q�n+|p�l&�²|p~q � � o�yJy&n3{��5��lV|�qªlV| "$&D���y¯�5�5����� � � � � 6 � w w�� ¢@�Pi�h�q���o�q � � � 6 � w w�� ¢���!y&n � �� �²o��uq��I|�u�­�5lVn¡&q&iª���Jq�qj >�u¡M�~nq²t&tVi ¢Proof of (iv).

��p~yJyM��q 6 � �V� 6 p P�jl&��{ 6 � p tVi ��q¬o�yM����5{~q�nU|p~q��5�5���u|�5�~¡®o�yM� ���~¡MlV|�q¬���n��

�-l&o�q­�5�5� � ��� �«� 6 � w w I¢(� � p��5o(p}�5��l¯¡&n3lVx�p}�EyM����{~q�{�J� � ¤� ��� ¤& �@� ¤��ml&�¶�5�P�����u|�q¬n(l�� � �u|pÁq���{~x0yM�5�I|¯lV|

"�¤� x0yM�5�K|�5�~¡��5��|p~qª{��unq�o�|�uyM�sy&�B|p~qª�~q�¡MlV|�uz&q � � ��l[�P�5���l&��{²l¸o�yM��x��uq�|�q��5�5��q]|p~nyM��¡Mp¯� 6 � w w V ¢�x�lVn3l&�5�uq���|�yj|p�q|p~q � � ��l[�P�5��i  p��5�]o�yM� ����¡MlV|�q¸��~n3�!l&o�qjp�l&�1| � y�q���{��+y&��Po(p~q�n�K��|��Jx0q&i S �~q·q���{ p�l&� � �5{~|pVl&��{ |p~qUy&|p~q�n

��

� �� �

� �

� &� � �

� � � �

� �� ��� �

���� � � � �

� � � � � � � �

FIGURE 11. � � ������� � � ��� ��� �� �)�$���$�%���* � ����*��� � �� � ��� ������ ��� �$ �����$�;��� ��� ( �����9, 6p�l&� � �5{~|p 6 � i  p~q�y&n3�u¡M�5��l&�E��~n�-l&o�q£|p�lV|?o�y&n3nq���x0yM��{��|�ys�u|£zP�5l�o�yM�����~¡MlV|�uyM���5�£�0yM����{�q�{·�J�G� � � � & � �

��Tl&�

�5�P�����u|�q·n(l��±z&q�n3��uyM� y&�@� � �+l&��{®l}o�yM��x��uq�|�q½�5�P�����u|�qz&q�n3��uyM�sy&� �m��i:µZ|�p�l&�?| � y«q���{����~lV¡Ml&�5�syM�~qªy&� � �5{~|p

Vl&��{­|p~q³y&|p~q�n�y&� � �5{~|p 6 � i��q§�~y � o�yM����5{~q�n � p�lV|­p�lVx�x0q�����|�y®|p~q�y&n(�u¡M�5��l&���~n�-l&o�q?o�y&n3nq���x0yM��{��5�~¡]|�y£�5�5� � � � �`� 6 � w w I¢Xl&� 6 ���Vl&��{­l&� 6 ��� ?Ài p~q@o�yM� ���~¡MlV|�qS���n�!l&o�q@�5�5���/� ���¥�-�5�5� � ��� �«� 6 � w w I¢�¢�5��l�¡&n3lVx�p � �u|p·nq���x0q�o�|1|�y�|p~q � � {��unq�o�|�uyM�¯yDz&q�nª|p~q�ºK��lVnqW�K� � � w w � � ¢ z 2 � � - � � w � � -

V �Mi µ�|�5�U�0yM����{�q�{¾�K�¾|p�q¦�5�P�E���u|�q§n3lD� �%¤

�� �u|pÁq���{~x0yM�5�I|

�V w w I¢�x0yM�5�I|�5��¡��5�U|p�q¸{��unq�o�|�uyM�¯y&�:|p~q¸xEyM�3�u|�uz&q � � �l[�P�5���:|p�q²�5�5�~qs��q�¡M��q��K| �%¤& �!nyM� �

V w w I¢¸|�y�� w w I¢(�|p~q?�5�5��q?��q�¡M��q��I|�� ¤� ��n3yM� � w w I¢B|�y�� w w V ¢(�Kl&��{¸|p~q�5�P�����u|�q�n3lD� � �u|p`q���{�xEyM�5�K|+� w w V ¢>x0yM�5�K|�5�~¡³�5�`|p~q+{��©�nq�o�|�uyM�¬y&��|p~q��~q�¡MlV|�uz&q � � ��l[�P�5��i  p~q�o�y&nn3q���x0yM��{��5�~¡y&n3�u¡M�5��l&�X�3�~n�-l&o�qm�5�·�0yM����{~q�{��J�s|p~qmx��5l&��lVn]¡&q�yJ{~q��3�5o��� � � � & �Q�

��@l&��{¦lUo�yM��x��uq�|�q��5�~�����u|�q�z&q�n(��uyM�¦y&�%� � i

 p��5��y&n3�u¡M�5��l&�1�3�~n�-l&o�qsp�l&�`| � y¬q���{���y&�m�Po3p~q�n3�I��|Z�Kx0q&��Ey&|p·y&� � �5{�|p

Vi

�]y&|�q�|p�lV|m|p~q«¡&n3lVx�p¬�5�5��� � ���¥�-�5�5� � ��� �«� 6 � w w I¢�¢o�yM�I|l&�5����|p~q½�5�5�~q¯�q�¡M��q��K|��!nyM� � w w I¢²|�y¾�V w w V ¢

l&��{`�5�:���J�²��q�|�n3�5o � �u|p�nq���x0q�o�|>|�yªny&|lV|�uyM��lV�0yM�~|^|p��5��5�5�~q&�K�J�«�����5ºJ�~q��~q�����5�  p~q�y&n3q����Jif�ml&��{«�K�  p~q�y&nq���Ji;tVi  p~q«��l[�~�5����� x�n(�5��o��ux��uq`|p~q����5��x��5�uq��ª|p�lV|³|p~q�~y&n3��l&��z&q�o�|�y&n��� l&�uyM�~¡¨q�l&o(p±y&�%�%¤� l&��{J�%¤& �5�«o�yM�P�|l&�5�~q�{¯�5�Ul²v � ¡&q�yP{~q���5ojlVn(omy&�>|p~qj�����u|]��x�p~q�n3q&��l&��{

6 June 2000 at 10:58

Page 16: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

212 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

|pJ���£|p~q � � o�yJy&n3{��5��lV|�q«lV| " � �5�ª¡&n3q�lV|�q�n³|p�l&�½|p~q � �o�yJy&n3{��5��lV|�q�lV| " � p " �5�­|p~q�o�y&nnq���x0yM��{��5�~¡«y&n3�u¡M�5��l&���~n3�!l&o�q&�>l&��{¬|p�q � � o�yJy&n3{��5��lV|�qslV| " � q�ºK��l&�5�¸|p~q � �o�yJy&n3{��5��lV|�qjlV|'" & i  p~q�nq��!y&nq�5�5�� � ��� �ª�5�5�� ��� � � � 6 � w w I¢�¢Sp � �5�5�� � ��� ���5�5�� ��� � � � 6 � w w I¢

� �h�q���o�q]�!y&n 6 � �� �²o��uq��I|�u��o��uyM�q�|�y

Vl&��{� ��3���²o��uq��K|�u�

�5lVn¡&q&� � qjp�lDz&q)� � � 6 � w w I¢ � Pi p�qª�5�5�²�u|�5�~¡�o�yM� ���~¡MlV|�qj�3�~n�-l&o�q�5�5��/� ��� �j�5�5�� � � �«� 6 � w w I¢

�5�mlsx0y&n|�uyM��y&��l­p~q��5�5o�yM�5{ �!|p��5�³��yM�5�uy � �m�!nyM� r��Mq��~�I��5���«l&��{ �Pq�nn3�5�Ãt�v����¥w!¢`�0yM����{�q�{§�J�§|p~q­x0yM��u|�uz&q � � �l[�~�5���>|p~q��5�5��q²��q�¡M��q��I| � ¤� �!nyM�°� w w I¢¸|�y�� w w V ¢(�l&��{�l&�¸�5�~�����u|�q?n3l�� � �u|p¸q���{~x0yM�5�I|�� w w V ¢Bx0yM�5�I|�5��¡£�5�|p~qj{��unq�o�|�uyM�½y&�:|p~qj�~q�¡MlV|�uz&q � � ��l[�P�5��i S �­|p~q�o�y&nnq����x0yM��{��5��¡�y&n3�u¡M�5��l&�^��~n�-l&o�q&�0yM�~qjq��u¡MpK|p¨y&�@l�o�lV|�q��~yM�5{T�� q�|p�q��±p�l�z&q­|p�lV|E� � �5�«l�ºJ��lVn|�q�n�o��un3o��uq­y&��n3l&{��5���¤V� �>i  pK�����5�5� � � � � �-�5�5� � ��� �E�¥� 6 � w w I¢�¢qp ��¤ V � �>i�P�5��o�q³|p�qmy&n3�u¡M�5��l&���3�~n�-l&o�qmo�y&nnq���x0yM��{��5��¡«|�y

�5�5�� ��� �«� 6 � w w I¢p�l&�+| � ys�Po3p~q�n3�I��|Z�Kx0qmq���{���y&� � �5{~|p

Vl&��{ 6 � ���u|]��yM�©��uy � �1|p�lV|

�5�5���� ��� � �5�5�� ��� � � � � 6 � w w I¢ � � � � 6 � w w I¢�¢~¢p �5�5�� � ��� � V � 6 � ¢]p �"? � pJ�����!y&n 6 � l&��{2 ��� �²o��uq��I|�u�­�5lVn¡&q&� � q¸p�l�z&q

� � � 6 � w w I¢ � � p�q�nq���y&n3q}�!y&n���yM��q��5lVn¡&q l&��{ ��yM��q}zVl&�5�~q�y&�6 � �

V� � q«p�lDz&q � � � 6 � w w I¢�p Pimµ����T��y&nª|p��5�' Àl&��{6 � � � q�p�lDz&q � � � 6 � w w I¢Z� P�[|p~q��³|p~q:y&n(�u¡M�5��l&�I���n�!l&o�qo�y&nnq��xEyM��{��5�~¡`|�y�|p��5� 6 � � 6 � p ���l&��{ 6 p � yM���5{o�yM�K|l&�5�¯��yM��q³x0yM�5�I|1�5� � � � � & � p~q�nq � � p�l&�]l��uyJo�l&���l[�~�5�`���¶l&��{ � p~q�nq�|p~q+|l&��¡&q��I|:x��5l&��q1�5�:x�lVn3l&�5�uq��P|�y

|p~q � � � � ��x��5l&�~q&i  p��5�Bo�yM�I|�n(l&{��5o�|�X|p�qS��l[�~�5�`���Ãx�n3�5�~�o��ux��uq&i��Jy~�&�!y&n:|p��5� ½l&��{ 6 � � � q+p�lDz&q � � � 6 � w w I¢ � Pi p��5�+�3p~y � �¸�-�uz~¢(i p��5�1o�yM��x��uq�|�q���|p~qmx�nyKy&�>y&�>|p~q���yM�uz[lV���5�5�u|��·y&�:|p~q

x0q�n3�uyP{sx�ny&���uq�� l&�3��yJo��5lV|�q�{U|�y�� 4 �� i���y&|�qj|p�lV|�`� � � � � � � � � � � � ¢

o3p�l&�~¡&q��²o�yM�K|�5�J�~yM����u�®����{~q�n�o�yM�K|�5�K�~yM���²o(p�l&�~¡&q���y&�6 � ����y¨��y&n«l&�5� 6 � �3���²o��uq��K|�u�}o��uyM��q­|�y¨|p~q 6 � o(p~yM��q��lV�0yDz&q&� ��� � � � � � � � � � � � ¢¸�5�`��|�5�5�+l¨p~yM��y&|�y&x��5o�l&�5�u�

�~yM�K|�n3�uzP�5l&�1�uyJy&x �5� 2 � � �K� w I¢N�M�1l&��{®��y�|p~q­x0q�n3�uyP{x�n3y&���uq�� n3q���l&�5���@�yM�uz[lV���uq&iSh]q���o�q 6 � �5��lj��²l&�5�~y&x0q���5�K|�q�nzVl&�+��q�nz&q��`l&�«l¯{�q���y&n3�²lV|�uyM�¦x�lVn3l&��q�|�q�n`�!y&n¸|p�q���n�!l&o�q&�0|p~q�n3q��K�­�P�uq��5{��5�~¡sl�yM��q���x�lVn3l&��q�|�q�nª�-l&���5�u�­y&�|p~q��q·��~n�-l&o�q���i��~�5��o�qsq�l&o3p±q��u¡MpK|p±y&�]|p�q·��~n�-l&o�q­�5�q����0q�{�{~q�{T�~l&��{·|p~qm��l[�~�5�`��� x�n3�5��o��ux��uq³|�q��5�5�]���+|p��5�q����0q�{�{~q�{®�3�~n�-l&o�q¯�5�uq����5�®|p~q¯�EyM����{��5�~¡��0y��®{~q�|�q�n��²�5�~q�{U�J�­|p~q�x��5l&��lVn³o��~nz&q�� �%$D�Eq�l&o3p���~n3�!l&o�q`�5�U|p�q�-l&���5�u�s�5�1q����0q�{�{~q�{Ti  p��5�]o�yM��x��uq�|�q��]|p~q³x�nyJy&�Zi R p�q:x�nyJy&�Ky&�  p~q�y&nq��¿vJi;t�o�l&���~y&|T�0q@{��un3q�o�|�u�ªl&{�lVx�|�q�{|�y�x�ny¥z&qjq��~�5��|�q���o�q`y&�:� 4 � �!y&n6�O�¾¤Ji1h�y � q�z&q�n��T�J�P���q�n3�5o�l&�£q�zJ�5{~q���o�q¨�3�~¡&¡&q���|�s|p�lV|�|p~q�� 4 � q��~�5��|s�!y&n�¥�¿¤²l&� � q��5�-����y � q`��lV�&q`|p��5�ªo�yM� ��q�o�|�~nq­�-��q�q« ^�u¡V��~n3qj�M¢(i

Conjecture 9.2.B 8-�/,I�¦�DF��$(H�"(¥� @'!��/T�G-�',Q�'�E���P��,3./����T�"&o9�@�.W;g�/!?*g(��"8�,I�D� � �/� � �D4�4��I4A� �"!#�$�%�'& (+*-,$.���0H�H( � 4 �\]�L�"8 ��� ��0/8-��,NM�T��L9+GN�3��!)4�( � ./@',��'&$& ��� ¤Ji

�£����q�n(�5o�l&�Sq�zP�5{~q���o�q·l&�5�y¬��~¡&¡&q���|�`|p�lV|«|p�q�nqsq��P�5��|�l � �5{~q£z[lVn(�uq�|���y&�X�²�5���5��l&����~n�-l&o�q�� � �u|ps�Po(p~q�n�K��|��Jx0qq���{��1l&��{­��y&n3qmp�l&��{��uq���y&�>�0y&|p�� l&��{ �¼|Z�Kx0q&i����Pq�q >�u¡M�~nq²t�¤«�!y&n1| � y�¡&q��J���jt�«q��~l&��x��uq��(¢

APPENDIX: A PROOF OF LEMMA 4.1 p�q¬��n3�|Ux�lVn|¯y&� ��q��²��l �~i;t��5�½�5�I|�q���{�q�{ÁyM���u�Á|�y�0q�l&�¦�5�I|���u|�uz&q�l&�5{T�:�lD�J�5��¡¯|p�lV| ��q�l&o3p�o�yM�5�uq�o�|�uyM�±y&����n�!l&o�q��·nq�����u|�U��nyM� l&{�{��5�~¡±q���{��Ul&��{¾p�l&��{��uq��·|�y� � �Pi�h]y � q�z&q�nD�Blsn3�u¡&y&nyM���ªx�nyJy&���5�ªnq�ºJ���unq�{¨�!y&n£|p�q��|lV|�q���q��I|�|p�lV| ��|p~q½xEq�n(�uyJ{±x�ny&���uq����²lVn3�5��5�~¡}��n3yM�|p~q²l&{�{��u|�uyM��l&�:q���{��³lVnq�l&�5�@�yM�uz&q�{¬�J�¯nq�ºJ���un3�5��¡

V p�uq��~¡&|p(�(! pÃ�uq��~¡&|p(�%$��Pi �y&n½q�l&o(p¿�3�~n�-l&o�q&� � q¦l&� � lD�J�½�0q�¡M�5�¼�J�¼o3p�yKyM��5��¡

yM�~q���q��u¡MpK|p}y&��|p~q«y&n3�u¡M�5��l&�:�!����{�l&��q��K|l&�Bx��uq�o�q�y&��|p�q���n�!l&o�q&i  p��5�`yM�~q���q��u¡MpI|p x��uq�o�qU�5�`�0yM����{�q�{}�J�§x��5l[���lVn£¡&q�yP{~q���5o����0l&��{U�u|�£o�yM� ���~¡MlV|�q`��~n�-l&o�qj�5���EyM����{~q�{�J�­x0y&n|�uyM����y&�@�5�5�~q���i �?q���y&n3q � q�o�yM����5{~q�nªl&�I�­x0q�n3�uyP{x�n3y&���uq������ � q·�`����|���n(��|`q���|lV���5�5�p±q��~�5��|�q���o�q¯y&��|p��5�o�yM� ���~¡MlV|�q«��~n3�!l&o�q&� � p��5o3p¯|p~q��½�5��x��5�uq��]|p~qjq��~�5��|�q���o�qy&�^|p~q³y&n3�u¡M�5��l&��yM�~q���q��u¡MpI|p¯x��uq�o�q�� � �u|p�yM�~|1��yM�uzP�5�~¡��!y&nx0q�n3�uyP{­x�ny&���uq����?�&q�|(¢(i p~q¸o�yM� ���~¡MlV|�q`x��uq�o�q��£q��~�5��|��0q�o�l&���q¸|p~q��·lVn3q �Mq��P�

�P�5�����P�Jq�n3n3�5�á&n3lVx�p���i µ��¼l&�5�³|p�q¬o�l&��q�� � q§o�yM����5{�q�n��|p~q���lVnq��&q��~�P�5�����P�Jq�n3n3�5�j¡&n(lVx�p��ByDz&q�n@l£nq�o�|l&�~¡M�uq&�Il&��{|p~q`�0yM����{�lVn�·{�lV|l­�5�ªl������u|�q`o�yM����|l&�K|³yDz&q�n¸q�l&o3p�y&�|p~n3q�q]��5{~q���y&��|p~q]�EyM����{�lVn�my&�0|p~q]nq�o�|l&�~¡M�uq&i S �`|p�q�!yM�~n|p¦��5{~q&�:|p~q��0yM����{�lVn3�½{�lV|l¨l&�u|�q�n3��lV|�q��`�Eq�| � q�q���@? l&��{ �"? l&�uyM�~¡§l&{���l&o�q��K|��5�K|�q�nz[l&�5��i  p~q�������x

6 June 2000 at 10:58

Page 17: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 213

FIGURE 12. �����������)�� ��������� �*�� ��� &��$4� ( ��*�+��,2����� & 4� � �� ( �$� �� �-, 6

{��5�3o�yM�I|�5�J���u|�uq���yPo�o��~n�yM���u��lV|S|p�q£o�y&n3��q�n3��y&�X|p~q�n3q�o�|��l&�~¡M�uq¸l&��{·lV|1x0yM�5�K|�1l&�uyM�~¡�|p~q³�!yM�~n|pU��5{~q � p~q�n3q£|p�q�0yM����{�lVn�²{�lV|l�o3p�l&�~¡&q��]��n3yM� �@? |�y � ?Ài>]q�o�l&�5�  p~q�y&nq�� �Jif�Ji¨µ��}yM�~n`o�l&��q&�@�J�§lVx�x��u�P�5�~¡½l

n3�u¡M�5{`��y&|�uyM�¸l&��{`l£p~yM��y&|p�q�|��my&� 2 � � � q���lD�jl&������q� �u|p�yM�~|]�uyM��+y&�>¡&q��~q�n(l&�5�u|��­|p�lV|

� p �K� � ��w � � ¢Zz 2 � � �- � � - ( w - � � -Át���!y&n]��yM��q³xEyM�3�u|�uz&q)(M��|p�lV|1|p~q�nq¸lVnq³|p~nq�q ' ��� � p��5o(p� qj{~q�����qml&�

' � p � � �K� � �Uw I¢Zz 2 � � w' � p � � �K� ( w � � ¢Zz 2 � � w' � p � � �K� � �Uw tD¢Zz 2 � � w

l&��{§|p�lV|¸|p~q�n3q�lVnq � �"!�����l&��{ �%$D�����:l&�5�Sy&�1�uq���¡&|p ��l&�u|�q�n3��lV|�5�~¡¨l&�uyM�~¡ � � �K� w � � ¢�z 2 � �Mi���q�p�l�z&q�l&�©�

nq�l&{~�³�5��o�y&nx0y&n3lV|�q�{j|p~q�o�yM��{��u|�uyM�¸y&����q��²��l �~i;tV�&|p�lV|�5����|p�lV| V pÃ�uq���¡&|p%�"!�pÃ�uq���¡&|p5�%$Zp t � �<:�~�5��|�q���o�q­l&��{������5ºJ�~q��~q��3�¸y&��l½�yM�5�~|�uyM�JC®|�y¨|p~q���5���5�²l&�^�3�~n�-l&o�q«q�ºK��lV|�uyM� � �u|p�|p�q�¡M�uz&q��¬�0yM����{�lVn�{�lV|l§�~y � �!yM�5�uy � �²�!nyM�  p~q�y&nq��°�Jif�Ji �  p~q½o�yM��{��©�|�uyM���1yM�U|p~qmx0yM�u�K¡&yM��� ) lVnqj|�n3�uzJ�5l&�5�u�¯�lV|�5����q�{T����5��o�q�~y¸���o3p ) q��~�5��|�?��y&n�|p~q��0yM����{�lVn�«o�yM��{��u|�uyM��� � qªlVnq����5�~¡~i ¢j ��~n|p�q�n3��y&nq&�¥|p~q@nq��3���u|�X�5��r��&q��~�P�5����l&��{`�Jq�n��n3�5�¨t�v����¥wB�5��x��u��|p�lV| CU�5�?�����u|�q³lV|+q�z&q�n��x0yM�5�I|��5�s|p~q�5�I|�q�n3�uy&n�y&� � i

6 June 2000 at 10:58

Page 18: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

214 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

�Xq�|@� {~q���y&|�q1|p~q1��²l&�5�uq���|�o��uyM��q�{²���5���5�²l&�K���n�!l&o�q|p�lV|jo�yM�K|l&�5����|p~q�¡&n(lVx�p CBi¨�-h�q�nq � q²����q�|p~q � y&n3{��o��uyM��q�{ �­�5�½|p~q«��q�����q`|p�lV|³� o�yM�K|l&�5���³l&�5�>y&�S�u|�³l&o)�o����`���5lV|�uyM�½x0yM�5�I|��i ¢Uh�q���o�q`|p~q«�5�K|�q�n3�uy&n³y&��� �5�ª|p~q�5�K|�q�n3�uy&n³y&�@|p~q`¡&n3lVx�p CX��l&��{¯� o�yM�I|l&�5���³�u|�ª�0yM����{P�lVn� � ����l&��{s|p~q³�5��lV¡&q³y&�^|p~qªz&q�n|�5o�l&�Xx�ny ��q�o�|�uyM�­y&�� |�y�|p~q � � � � ��x��5l&�~qj�5�

� � �K� w � � ¢�z 2 � � � � :p � � � ��yM��q^�az��"� ���q®�~y � x�nyDz&q �Xq����²l��~i;t±�5� lÃ��q�n3�uq���y&�²q��u¡MpI|

o��5l&�5����i

Claim 1.� 8<��([|[!#�L�P���>@��>�'&x� � (�@'&:*-�P� 0U*-,+b'���L*-,Q� i

Proof.K �j�5�¬|p�q�x�nyJy&�?�5� r��&q��~�P�5���jl&��{}�Jq�nn3�5� t�v����J�

x�iX�&� �Vw�� C¦�5�m|p~q��5�5���u|³y&�+l­�������q�ºJ�~q���o�q«y&�+���5���5�²l&�¡&n3lVx�p��A��C�� � ���� � yDz&q�n��� i  p~q����5���5�²l&�]¡&n3lVx�p�� C��lVnq§{�q�|�q�n3���5�~q�{Ã�J�Ãnq�x��5l&o��5�~¡ |p~q¬�0yM����{�lVn3� o�yM��{��©�|�uyM� �@? �K� ���¯yM��q�l&o(p �(!Z�Jnq�x��5l&o��5�~¡�|p~q£�EyM����{�lVn�o�yM��{��u|�uyM� �"? �J����� yM�¦q�l&o(p � $ �@l&��{¦�uq�l�zP�5�~¡�|p~q�0yM����{�lVn3��{�lV|l«yM� ' � � ' � � ' � ����o3p�l&�~¡&q�{�i >�un3��| � q·�p~y � |p�lV|«|p~q­|�y&|l&�1lV����yM�5�~|�q·o��~nzVlV|�~nqy&�«|p~q¦¡&n3lVx�pÁy&��C�� �5�¯�0yM����{~q�{¼lV�0yDz&q¦�K�¼l �����u|�q�0yM����{¨�5��{~q�x0q���{�q��I|³y&��:� � p��5o3p��!yM�5�uy � �jq�l&��5�u���!nyM�|p~q%�ªl&������ �SyM���~q�|³��y&n(�����5lPi  p~qj�0yM����{�lVn�­y&� C � �5�x0yM�u�K¡&yM��l&� � �u|p lV|²��yM�|²¤ � � ���0yM����{�lVn�}�5�5��q¯��q�¡V���q��K|���Tl&��{¨lV|ªq�l&o3p¬�5�K|�q�n3��q�o�|�uyM�¬y&�Sl&{ ��l&o�q��I|³�0yM����{P�lVn�¦�5�5�~qU��q�¡M��q��I|�`|p~q·l&��¡M�uq·y&�£�5�K|�q�n3��q�o�|�uyM�À�5� � � ¤Jih�q���o�q³|p~q³|�y&|l&��¡&q�yP{~q���5ojo��~nzVlV|�~nqªy&�B|p�q³�EyM����{�lVn�o��~nz&qs�!y&n«|p~qs¡&n3lVx�pJC�½�5��lV|���yM��|��

��c¤ � �k�M¢(i  p~q�ªl&���3��� �?yM���~q�|1�!y&n3�`���5l`|p~q��·�5��x��5�uq��r

�������� �����U� � � � *�� - �@� � �ÃtD¢(9–1)

�!y&njl&�5���:� � p�q�nq *�� �5�³|p~q�lVn3q�l·�!y&n3� yM�`�£n(lVx�pX� C��I¢�5��{���o�q�{��J� 2 � �Pl&��{�� �5�S|p~qª�5�I|�n3�5����5o6�³l&�����5l&�so��~n��zVlV|�~nq³y&�q�£n3lVx�pB� C��I¢(i��y � � q·o��5l&�5� |p�lV|«�!y&n�l&�K�¦o�yM��x�l&o�|�o�yM�Iz&q��®{~yV�

��l&�5� ��� � �� �S|p~q�nq­q��~�5��|��l���~����q�ºK��q���o�qG��� $ � �$ � ����o(p�|p�lV|S|p~q£|�y&|l&�0lV����yM�5�~|�qªo��~nzVlV|�~nq�y&��|p~q£¡&n3lVx�p��y&��C�� 8 nq���|�n3�5o�|�q�{¯|�y�|p�qj{~yM��l&�5� � � o�yM�Kz&q�n¡&q��ª|�y�|p~q|�y&|l&�0lV����yM�5�~|�q³o��~n3z[lV|�~n3q�y&��|p�q�¡&n3lVx�p�y&� C­n3q���|�n3�5o�|�q�{|�y � � i  p�lV|]�5��� � qjo��5l&�5� |p�lV|r

�������� ����� 8�� "! � � � � * � � r �������� ��� � "! � � � � * �

(9–2)

l&�#��$ � ?Ài  p��5�s��yM�5�uy � �s�!nyM�°|p~q¨�!l&o�|­|p�lV|��£l&��p~y � �s�5��r��&q��~�P�5����l&��{·�Jq�nn3�5�½t�v����¥w��4C � � $ ! o�yM�Kz&q�n¡&q�������u�!y&n3�²�u�m|�y*C�� $ ! l&��� � ?Ài  p�q1o�yM�Iz&q�n¡&q���o�q��cvJ�P¤M¢

�5�:q��3��q��I|�5l&�5�u�«�P�~y � �T�Ml&��{«lVn¡M����q��K|�:�p~y � �5�~¡m�u|:q��P�5�|�5�¯��q�z&q�n3l&��x��5l&o�q���iS ~y&n£q��~l&��x��uq&��l�x�nyJy&�^�5�1o�yM�K|l&�5�~q�{�5�­|p�qªlVn3¡M����q��K|��x�ny¥zJ�5�~¡  p~q�y&nq�� ¤`�5�¬r �¯q�q��J�1l&��{%�l&��t�v&�&¤¥w�� � p��5o(pjp~y � q�z&q�n:lVnq��5�K|�q���{~q�{j��y&n^��y&nq:¡&q��~�q�n3l&�:l&�����uq��K|³��x�l&o�q�� : � p~q��¯|p~q«l&�¸���uq��I|³��x�l&o�q«�5� 2 �

|p~q¬lVn3¡M����q��K|�·o�l&�¾�0q�o�yM����5{~q�n(lV���u�À�3�5��x��5�©��q�{�i K��5��x��uq�n`lVn¡M����q��K|���y&n�|p~q 2 � o�l&��q·o�l&�¦�0q��!yM����{¦�5�r �?yM��n3l&�I|¸t�v&� P�0�Jq�o�|�uyM�¯µµµ)if¤¥w�i �y&nSo�yM��x��uq�|�q��~q�����J�5�«|p��5�:x�lVn(lV¡&n3lVx�p � q1yM�~|�5�5�~q�l&�

lVn¡M����q��K|S�p~y � �5�~¡s�cvJ�P¤M¢(i:��q��P�~y � |p�lV|?|p~q(C��jo�yM�~�z&q�n¡&q£�����u�!y&n3���u�³|�y�C�yDz&q�n �&� �M�J�sr��Mq��~�P�5���@l&��{��Jq�n3n3�5�t�v����¥w�i  p~q���q²¡&n3lVx�p���C���� $ ! �!nq��x�i C�� $ ! ¢³lVn3q�¡&n3lVx�p��y¥z&q�nso�yM�Kz&q�� {~yM�²l&�5�����5� |p~q � � � � ��x��5l&�~q½l&��{ p�q���o�qlVnqU|p~q·�����5ºJ�~qso�yM��x�l&o�|��²�5���5��l&�?��~n�-l&o�q�� � �u|p�n3q����x0q�o�|`|�y�|p~q��un«�0yM����{�lVn3�uq���i�h]q���o�q­|p~q��}o�yM�5��o��5{�qsl&����n�!l&o�q��S�5� 2 � � �u|p�|p~q1¡£yM�~¡M�5l&��� >�l&{~y`��yM�5�~|�uyM��� $ � �� � �op �K� C w �P¢�z 2 � ��C � � � � -�t�� ��2 � �!nq���x�i $ �� � � 2 � ¢T��y&n^|p~q��un^�0yM����{�lVn3�uq���i  p�lV|>�5���V|p~qS�3�~n�-l&o�q��$ ���2� � ¢²l&��{ �K� � �Uw � � w C���� � ��w � � ¢�¢ez 2 � ��� � ��w � � ¢ez� � �À�!nq���x�i $ �2� � ¢sl&��{ �K� � �Uw � � w C^� � �Uw � � ¢�¢dz 2 � �� � ��w � � ¢%z ��� �[¢mo�yM�5��o��5{~q&i  p~q²x�lVn3l&��q�|�n(�98�lV|�uyM��� $ �l&��{ $ p�l�z&q�|p~q�l&{�z[l&�K|lV¡&q`|p�lV|�|p�q��·lVnq�o�yM����y&n3�²l&�-�p~q���o�q­|p~q·o�yKy&n({��5��lV|�q·�-����o�|�uyM��� $ !� l&��{ $ ! ���!y&n � pt w ¤ w �J�@lVnq²p�lVn3��yM���5o`yM��� � i²¹£��5�~¡¯lVn¡M����q��K|�j�3�5�«��5�5lVn`|�y¨|p~yM��q � q�����qs�5lV|�q�n`|�y¯x�n3yDz&q����5l&�5� �·y&�1|p��5�lVx�x0q���{��©�E� � qmo�l&�U��q�qj|p�lV|]�5�­�-l&o�|

� C�� � �E� � C� � � w � C�� � � � � C� � �

o�yM�Kz&q�n¡&qm�����u�!y&n3�²�u��y¥z&q�n ��� l&� � q��5�-i��  p��5�S�5�?q�ºJ���uzVl[��uq��K|X|�y]�3p~y � �5��¡1|p�lV|�|p~qS�~y&n3��l&�[z&q�o�|�y&n3�By&�P|p~q:¡&n3lVx�p��o�yM�Kz&q�n¡&q¨�����u�!y&n3���u�¬y¥z&q�n � � i ¢ S ��o�q � q·�P�~y � |p�lV|��n(��|�{�q�n3�uz[lV|�uz&q���y&�%C��½l&�5��y¬o�yM�Kz&q�n¡&q·�����u�!y&n3�²�u�&�^|p�qlVn¡M����q��K|���5�³|p~q@x�nyKy&�Jy&� ��q����²l+�Jif¤+l&��{³|p~q�nq���lVn��!yM�5�uy � �5��¡��u|1�5�¬r �?yM�~n3l&�K|³t�v&� [wBo�l&�­�0qªlVx�x��5�uq�{ �@���3�5�~¡|p~q�|p~nq�q���x0yM�5�K|�o�yM��{��u|�uyM��l&���5�Ãr �?yM�~n(l&�I|st�v&� [w�� � qo�l&�²����{²lj�������q�ºJ�~q���o�q $ � 8 y&�T|p~q $ � � p��5o3p�o�yM�Iz&q�n¡&q�����u��y&n3�²�u�U|�y $ yM� � � � i²�P�5��o�q«|p~q«�!����o�|�uyM��� $ !� 8 w $ !lVnq¸p�lVn3��yM���5oV�Jl&��{Up~q���o�qª|p~q³�-����o�|�uyM��� � $ !� 8 � $ ! �Jl&�©�� l��P�«lV|�|l&�5��|p~q��un«��l[�~�5�`�����ªyM� � � � � � qso�yM��o��5��{�q|p�lV| $ � 8 � $ �����u��y&n(���u�ÃyM� l&�5��y&��� � i ¹£���u��y&n(�o�yM�Kz&q�n¡&q���o�qª�!y&n?p�lVn(��yM���5o��-����o�|�uyM���S�5��x��5�uq���|p�lV|�|p�qo�yM�Kz&q�n¡&q���o�q1�5�>���yKy&|p��-l]��l&�3�5o�x�n3y&xEq�n3|��ªy&��p�lVn3��yM���5o�-����o�|�uyM����:���q�qÀr �ª�5�u��lVn¡ l&��{  n(��{��5�~¡&q�n¬t�v&�&�J�  p~q��y&nq�� ¤Ji;t�[w��`��y&n¯q��Pl&��x��uq¥¢(i ��q�o�yM��o��5��{~q}|p�lV|U|p�q¡£yM�~¡M�5l&��� >�l&{~y ��yM�5��|�uyM��� $ � 8 o�yM�Kz&q�n¡&q¬���yKy&|p��u�±|�y$ i@h�q���o�q³|p~qª|�y&|l&�TlV����yM�5��|�qmo��~nzVlV|�~nq£y&�X|p~qª¡&n3lVx�p��

6 June 2000 at 10:58

Page 19: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 215

C� 8 � $ ! o�yM�Iz&q�n3¡&q��`|�yU|p~q²|�y&|l&�?lV����yM�5�~|�q²o���nz[lV|��nq�y&�|p~qj¡&n3lVx�p CQ� $ ! i  p��5�1�p~y � �+|p~qjo�yM�Kz&q�n¡&q���o�qs�cvJ�~¤M¢(iµ���|p~q�|�y&|l&�mlV����yM�5��|�q§o��~nzVlV|�~nq�y&�`� �5�U��|�n3�5o�|�u�¡&nq�lV|�q�n>|p�l&�)�@� � ��tD¢(�&|p~q��m|p~q�n3q@q��P�5�|�B��yM��q�o�yM��x�l&o�|o�yM�Kz&q��¯{~yM�²l&�5� � � � �� ���o(p·|p�lV|�|p~qm¡&n3lVx�pUy&�QC�� $ !p�l&�U|�y&|l&�¸lV����yM�5�~|�q}o���nz[lV|��nq§��|�n3�5o�|�u�¾¡&n3q�lV|�q�n½|p�l&��@� � �ÃtD¢(i�h�y � q�z&q�n���|p�q��­|p~qjo�yM�Kz&q�n¡&q���o�q­�cvJ�P¤M¢+o�yM�~�|�n3l&{��5o�|�Xq�ºJ��lV|�uyM�s�cvJ�EtD¢(i  p~q�nq��!y&nq@|p~q@|�y&|l&�JlV����yM�5��|�qo��~n3z[lV|�~n3q¸y&��� �5�£lV|³��yM��| �@� � �ÁtD¢(��l&��{ ���5l&�5� t¸�5��p�y � �Ti RClaim 2.

B 8-����,Q��@�!#&o9%��|[!?�"�P�1!#*-� � ��,�@�.[G-@'�"!?�"(6@Q. ����S\x8��R0/8 �"8-���>��!g;g��!?� G�&f�'!�����(68<@�,+�X�U@'!)�>�'& iProof.

 p�q�x�nyJy&���0q��uy � �5�`��5��x��u��l½��yP{��©��o�lV|�uyM�§y&�l&�·lVn3¡M����q��K|1�5�­|p~q³x�n3yKy&�^y&�  p~q�y&nq�� �Ji;t³y&�+r �¯q�q��J�l&��{·�Àp��u|�q²t�v&vPt)w�i��yM����5{~q�n1|p�q��ªl&�������lVx

� �M� � � p �K� � ��w � � w � � ¢Sz 2 � � � � � � � �� � � �

� p t�� �� �5��|p~q³o��uyM��~nq³y&�^|p~qª¡&n3lVx�pOCB�~��y�� �5�+y&n(�uq��I|lV���uq&�l&��{§��y � �5� � q��5�©��{~q��E�~q�{Ti���q�o�l&�¬{~q�����q � ��y·|p�lV|� �-� ¢�� � � �K� � ��w � � w � � ¢Az 2 � � � � � 9�Mi}�À�u|pnq��xEq�o�|S|�y�o�yM����y&n3�²l&��o�yJy&n3{��5��lV|�q��?yM����� � �5�?l¸p�yM�uyV���y&nx�p��5o²��lVx���n3yM� � |�y¨|p~q­�~x�x0q�n�p�q����5��x�p�q�nq�y&� � �Xp~q���o�q � �5�jl²��n3l&��o3p�q�{�o�yDz&q�n3�5�~¡ � �u|p��0yM����{�lVn3��5�K|�y�|p~q¸�~x�x0q�n1p~q����5�x�p~q�nq&i@ ���n|p~q�n3��y&nq&����5��o�q � �o�yM���3�5��|�Xy&�~x0y&n|�uyM���Ty&���5�5�~q��Bx�lVn3l&�5�uq��M|�y�|p~qSo�yJy&n3{��5��lV|�ql[�Pq��]�5� 2 � �� � � � ¢ ��K� � �Uw � � w � � ¢gz� � � � � p#`y&n � � p#`y&n � � p#9�

� �K� � �Uw � � w � � ¢gz 2 � � � � � 9� � p�q�nq���y&n3q³|p~qjo�yDz&q�n(�5�~¡²{~q�¡&n3q�qmy&� � �5�1l�o�yM���|l&�I|�yM�q�l&o(pUy&�^|p~qm�!yM�~n]��q�|��K� � �Uw � � w � � ¢Zz3 � � � � � w � � � w � � � 9� w�K� � �Uw � � w � � ¢Zz3 � � � � � w � � � w � � � 9� w�K� � �Uw � � w � � ¢Zz3 � � � � � w � � � w � � � 9� w�K� � �Uw � � w � � ¢Zz3 � � � � � w � � � w � � � 9� ��?� �+�5l&�5� tV�&|p~q���q���yM��n^o�yM���|l&�I|@o�y¥z&q�n3�5�~¡m{~q�¡&nq�q��:lVn3ql&�5�1�����u|�q&i®µ��ª|p~qU�5�Kz&q�n3��qU�5�²lV¡&q � � � � �� � p � w w tD¢�¢� q�nqs|�y�o�yM�I|l&�5�±�5�P�E���u|�q��u�}�²l&�I��x0yM�5�K|�¸y&��� �@|p�q��lV|ª�uq�l&��|ªyM�~qjy&�:|p�q���q¸�!yM�~n£o�yM����|l&�K|ªo�y¥z&q�n3�5�~¡­{~q�¡&nq�q��� yM���5{§��y&|m�0q`�����u|�q&i²h�q���o�q � � � � �� � p � w w tD¢�¢¸�5�¸l�����u|�qj��q�|����p�y � �5�~¡ �+�5l&�5� ¤Ji R�Xq�|�����p �K� � � w � � w �V¢1z 2 � �«�0qj|p�q`p�y&n3�98�yM�I|l&�^x��5l&��q�5� 2 � y&�Pp�q��u¡MpI|��Mi K �¸�5����q�{��5lV|�q@o�y&nyM�5�5lVn�m|�y����5l&�5� ¤

�5�+|p~qª��yM�5�uy � �5�~¡ �+�5l&�5� �Ji@µ������5l&�5� �J�~�J� ���~yM����5�~¡M�P��5lVnmo��~nz&q��ªy&� 2 � �P� � q«��q�l&�¨o��~nz&q��ªy&� 2 � � p��5o(p�lVnqt)��{��5��q����3�uyM��l&�T��~���²l&���u�!yM�5{�� � �u|p­�0yM����{�lVn3�&i

Claim 3.B 8-��,Q�K�DF��$(H�"(a�h0D@'!#(H�>�'!?��� � (H*#0/8`�"8-��� �./@',l�'&"&�� � � � ��� � � � w � z r � w � � wU� ,I�H(>G i � z

r�� � � w � � w!¢ ��(��%(+�%@U@��"8C4g�L.�@',+�%���L�R@'! � \]�L�"8�,Q�/(>GN�D0U�Z�>@�[¢ .+,Q@'� � � � �>@ � ! � � � ,Q�/(>G i .H,�@'� � � � ��>@ � � ! � � ¢ �"8�,�@�*�;�8 �'!k�/� � �D4�4��I4g�I4l0D@�&$&X�I0J�L�L@'!�@�.!)@'!N(H�$!g;�*-&f�', 0�*-,Hb'�H(�@�.�2 � i

Proof.K ��5�~¡M���5lVn(�u|����5�²|p��5��{~q��!y&n3��lV|�uyM��o�l&��yM���u��yPo)�

o��~n+lV|1l¸x0yM�5�K|�y&�B� � p~q�nq£|p~qª|l&�~¡&q��I|]x��5l&�~q³�5��p~y&n���98�yM�I|l&�-i �S�����5l&�5� ¤J� � q�o�l&�¯o(p~yKyM�q � �5lVn¡&q�q��~yM�~¡Mp|p�lV|^��y����o(p¸p�y&n3�98�yM�I|l&�Kx0yM�5�I|�Bq��~�5��|^�5� �K� � �Uw � � w � � ¢�z� � � � � � ���~y&nm�5�J�K� � ��w � � w � � ¢^z±� � � � - � � �Mi p��5�+x�n3yDz&q�� �+�5l&�5� �Ji R pK�����D�J�)���5l&�5� �J�[�!y&nBl&�K� � � � � �[� � �K� � �Jw � � w � � ¢�z2 � � � � z}r � w � � w��£o�yM����5��|�@y&��lm�����u|�q]�J�����0q�n:y&�To�yM�«�xEyM��q��I|����l&��{¯q�l&o(p¬o�yM��x0yM�~q��K|ª�5�³l&�¨q��¸�0q�{�{�q�{¯{��5���EyM����{~q�{Ã�J�¾| � y z&q�n|�5o�l&�`�5�5�~q��½��q�¡M��q��K|���ml&��{ÁyM�~qo��~nz&q��5��� ! �Xl&��{�yM�~q�o��~nz&q��5��� i`��q�o(p~yKyM�q�l&�I�o�yM��x0yM�~q��K|m�� ���� � y&�+� � �K� � �Uw � � w � � ¢^z 2 � � � � zr � w � � w��Sl&��{mq��P|�q���{j�u|B�K�ªny&|lV|�uyM���By&�$�«n3l&{��5l&���XlV�0yM�~|z&q�n|�5o�l&�?�EyM����{�lVn�¨�5�5�~q��s�!|p��5�¸o�l&�}�0q�{~yM�~q&�:l&��{§|p~qq��J|�q���{�q�{ ��~n3�!l&o�q���lVn3qU���yJy&|pT�?�K�¦|p~q½�~o3p � lVn*8¯nq����q�o�|�uyM�§x�n3�5��o��ux��uq&�  p~q�y&nq�� �Ji;tD¢(i <@�J|�q���{��5�~¡·�� ���� ��-l&��{¬�u|�mq��P|�q���{~q�{§��~n�-l&o�q��(¢��J�½|p�q���q«ny&|lV|�uyM����ls������u|�q§�J�����Eq�nsy&�`|�5��q��·nq�����u|�·�5�Ál®�5lVn¡&q�n¯o�yM��x�l&o�|��~n�-l&o�q � p��5o3p±�|�5�5�1p�l&�`yM���u�}| � y¬z&q�n|�5o�l&�+�0yM����{�lVn��5�5�~q«��q�¡M��q��K|���Tl&��{¯yM�~q`�EyM����{�lVn�­o��~nz&q`�5��� ! �Tl&��{yM�~q¯�0yM����{�lVn�±o��~nz&q¨�5���Ei¶��q���lV�&q½|p~q���q½ny&|l[�|�uyM��l&��q��P|�q�����uyM���]q��~yM�~¡Mp­|�5��q��]��y�|p�lV|1|p~qj{��5��|l&��o�q�5� 2 � �!nyM� l&�I�§xEyM�5�K|¸�5�¦�� ���� � |�y¯|p�q²| � y¨�0yM����{P�lVn��z&q�n|�5o�l&�T�5�5��qm��q�¡M��q��K|�?y&�X|p~qªq��P|�q���{~q�{­��~n3�!l&o�qª�5�¡&nq�lV|�q�nm|p�l&� �� � � � � � ¢(ij��q�o�l&�5�>|p��5�£q��J|�q���{�q�{���~n���!l&o�q�������� ���� � �ª�u|³�5�³l&���5����q�n3��q�{Uo�yM��x�l&o�|³{��5���½�5� 2 � �l&��{·�5�]��y&|1�~q�o�q���lVn3�5�u�­q����0q�{�{~q�{�i+�!��q � �5�5���5lV|�q�nª��q�q|p�lV|�������� ���� � �5�S�5��{~q�q�{«q����0q�{�{~q�{`�!y&n � �5lVn¡&q]q���yM�~¡MpTi ¢Claim 4.

������� ���� � �$(�(H�L,Q@'!g;�&:9A(H�>� � &M� iProof.

 p~qS�5�²lV¡&q � �-�� ���� � ¢T�5�>o�yM�K|l&�5�~q�{`�5�j|p�qS�~x�x0q�np~q����5��x�p~q�nq·y&� � l&��{ {~yJq����~y&|�o�yM�K|l&�5�À|p~q¨�~y&n|pxEyM�uq �� � i@�P�5��o�q1������� ���� � �5�@o�yM��x�n3�5��q�{�y&�El³�����u|�q1�J�����Eq�ny&�Ex��uq�o�q���o�yM�~¡&n3��q��I|@|�y¸�� ���� � � p��5o(p�lVnq]l&�5���5��lV¡&q��:y&�z&q�n|�5o�l&�~ny&|lV|�uyM���@y&���� ���� � �M�u|>�!yM�5�uy � �:|p�lV| � �-������� ���� � ¢�5�]l&�5��yso�yM�I|l&�5��q�{¯�5�U|p~qj�~x�x0q�n]p�q����5��x�p�q�nq³l&��{U{~yJq���~y&|�o�yM�K|l&�5� �� � i�µ��­x�lVn|�5o����5lVn���|p�qjlVnq�l�y&� � �-������� ���� � ¢�5�2 � �5�1��|�n3�5o�|�u�­�uq���]|p�l&�U¤ �>i

6 June 2000 at 10:58

Page 20: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

216 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

 p�q�y&nq���tVif¤]y&�Br ��lVn�0yM�l�l&��{¸{�y'��lVn3��y¸t�v��'�¥w~|�q��5�5�����|p�lV|?�u�T|p�q�lVnq�l¸y&� � �-������� ���� � ¢:�5�?�uq���?|p�l&��¤ �>�J|p~q��� ����� ���� � �5�¸��|lV���uq&i  p�q���lVx � �5�j�~y&|¸nq�ºJ���unq�{¬|�y¯�0ql&�¬�5� ��q�o�|�uyM�§�5�¬y&n3{~q�nm�!y&nm|p��5�³|p�q�y&nq�� |�yUp�yM�5{T�Bl&��{|p~q����5���5�²l&�@��~n�-l&o�q²��q�q�{§yM���u���0q�l&�}�5�²��q�n3��uyM����u|1{~yJq��+�~y&|1�~q�q�{s|�y��0q³l&�sq����0q�{�{��5�~¡~i: ��~n3|p~q�n3��y&n3q&��5��r �?lVn3�EyM�3l�l&��{½{~y#�+lVn3��yUt�v��'�¥w:|p~q � y&n({ (/�>� � &X� �5�����q�{¸�5�j|p�q?��|�n3yM�~¡£�q�����q :&|p�lV|>�5���&l��²�5���5��l&�I��~n�-l&o�qS�5���|lV���uq��u�~|p~q?��q�o�yM��{�{~q�n3�uzVlV|�uz&q?y&��lVnq�l]�!y&n>l&�I�m���yKy&|p�~yM�K|�n3�uzP�5l&���EyM����{�lVn�K��x�nq���q�n3zJ�5�~¡¯z[lVn(�5lV|�uyM�®�5� (H�L,H�L0J�L&o9x0yM��u|�uz&q&i  p��5�1�p~y � � ���5l&�5� �~i R ~y&n`l&�§y&n(�uq��I|�q�{����5���5��l&�:��~n3�!l&o�q�� � 2 � l&��{¦��q�|�� w ����Ã���uq�|�{��5��|����2� w ��¢��0q³|p~qj�5�K|�n3�5����5oj{��5��|l&��o�q�5��� �0q�| � q�q�� � l&��{I��i³ ~y&n³q�l&o3p¬xEyM�5�K|�Ez�Ã���uq�|�����0q·|p~q¥�ªl&�����5l&� o���nz[lV|��nq·y&��� lV| �K�+l&��{®�uq�|����`�0q�|p�q­y&n3�uq��I|�q�{ �����u|«�~y&n3�²l&�?z&q�o�|�y&n�y&��� lV| �Ii��q�| �� � p ��t w w I¢(��l&��{²�uq�|�� � w ���@�0q1|p~qª��|l&��{�lVn({��5���~q�nx�nyP{���o�|+yM� 2 � i���q�|£{��5��|�� � �2� w ��¢+�0qm|p�q�{��5�|l&��o�q¸�5�2 � �Eq�| � q�q��U| � y²��q�|�%� w �� 2 � i�?� ��y&nyM�5�5lVn� �ªy&�>r��Po3p~yJq��­t�v&�&�¥w�|p~q�n3q?q��~�5��|�:lª�����©�

z&q�n3�l&�Xo�yM����|l&�K|��£���o(p­|p�lV|� ��� � � �

�-{��5��|��²��� w � � ¢�¢ � w� p~q�n3q�� �5�]l&�K�­o�yM��x�l&o�|]�|lV���uqj���5���5��l&�0��~n�-l&o�qj�5�2 � ��l&��{����5�jl&�I�½x0yM�5�I|³�5���Ãi  p��5�ªnq�����u|�� ������|m�5�u�&q p~q�y&n3q�� tVif¤¸y&�Sr ��lVn�0yM�l�l&��{�{~y �+lVn3��y�t�v��'�¥w!¢?{�yKq���~y&|Bnq�ºK���unqS|p�qS��~n3�!l&o�q�� |�y£�0q�q����0q�{�{~q�{��³yM���u�j�5�����q�n(��q�{Ti  p�q?o�yM���|l&�I|��@�5�^�����uz&q�n(�l&�K�5��|p~q���q����q�|p�lV|�u|]�5���5��{~q�x0q���{~q��K|+y&�>|p~qjo3p�yM�5o�qjy&���Ãiª���Jq�q  p~q�y&nq��tU�Jif¤ �y&�Sr �ª�5�u��lVn3¡�l&��{  n3��{��5�~¡&q�nªt�v&�&�¥w�l&��{  p~q�y&nq��t&tVi;tmy&�+r S ��q�n3��l&��t�v��&v¥w^��y&n1n3q��5lV|�q�{Unq��3���u|��i ¢Claim 5. �Z!��"8-��(H*-,$.���0+� � �opÃ� ���� � � �K� � � w � � w � � ¢Sz2 � � � � z±r �� � � � �� � w �� � � � �� � w��M� �"8-��YW�'*<(+(+�R�'!`0U*<,HTb����L*<,I� � �$(^*-!#� .�@',H� &o9 � @'*-!)4��D4 � 9� � �9� tU���

� � � � � ¢ � �Proof.

� ����� ���� � �5�²l¬o�yM��x�l&o�|��²�5���5��l&�����n�!l&o�q¯�5� 2 � �� p��5o(p·�5�]�|�nyM�~¡M�u�­��|lV���uqm�J� ���5l&�5� �~i? ~y&n�l&�5����z � �{��5��|� "!$#�%&('*),+ ��� w � � ����� ���� � ¢3� � � � � � ¢ � �~i ��y � � q�lVx�x��u��?y&nyM�5�5lVn3� �«y&�?r��~o3p~yJq���t�v&�&�¥wBl&��{ ���5l&�5� ���5��x�n3yDz&q�{TiRK ������q£|p�lV| � � �5�1o3p�yM��q��U�5lVn¡&q¸q��~yM�~¡Mp­|p�lV|

�.- �!(� � � �

�Át �

/ !

/ 0& & ���� �

1

2 &� �� �� � ��3 444 576666 8

9999

999

9999

999

9999

999

9999

999

9999

99

9999

9999

9999

FIGURE 13. � � � � �����$����� ��� 0& .�������;:��� � � �=< �9�����?> 6Claim 6. @6����b'��,+9aGN@'�$!)��@�. �� ���� � �BA � � ��w � � w � � ¢�z2 � � � � z§r � � � � � � � w � � � � �� � w�C�� \S�^8<�'b��

�(� �� w ��D�D� �<� t�� � - ��(� � � � �

Proof.�P�~x�xEyM�q>�yM��q:x0yM�5�I|-nCzU� ���� � � �K� � � w � � w � � ¢Sz2 � � � � z§r � � � � � � � w � � � � �� � w��Sp�l&�X�~y&n3�²l&���� t ��y1|p�lV|�(� �� t w �� � � �*�FE t�� �HG I�J ! � i  p~q�� |p~q�nq¨�5�­l}|l&�~¡&q��I|

z&q�o�|�y&n �� lV|�n§���o3p�|p�lV| � ���w �� � ���KE �LG IMJ ! � i K ������q� � l&��{N�@lVnq�o3p�yM��q��«�5lVn¡&q�q��~yM�~¡Mp�|p�lV| � � � � �ÁtSl&��{� �Át�M¤ ��� ( � i ��yM����5{~q�n�l`�����u|�����x0q�q�{²¡&q�yJ{~q��3�5o��:�MO�¢ �� w O�z r w � � � � � ¢ � �¥w@��y�|p�lV|��:� I¢Wp n�l&��{O� � � I¢�p�� � � p~q�nq�|p~q+x�n(�5��q?nq�x�nq���q��K|�:x�lVn3|�5l&�~{��©´Eq�n3q��I|�5lV|�uyM�� �u|p·nq���x0q�o�|1|�yPO)i:��q¸{~q��E�~q

O�y��op (J� � � � � ¢¤ - � ��P�5��o�q � � � � � tsl&��{Q��� t�M¤ � � ( � � � q­p�lDz&q�|p�lV|O�y@� � � � � � ¢ � ��l&��{Up~q���o�q^�>�MO�y�¢�z ��i���q�|���RM�MO¢��0q|p~qj¡&q�yJ{~q��3�5ojo��~nzVlV|�~nq³y&�c�>�MO¢(i?�P�5��o�q

� � � � � tU���� � � � � ¢ �

�!y&nUl&�5�S�kz � �J�%���5l&�5� �J�³l&��{¼��5��o�q � �5�·�²�5�P��5�²l&�-� � q±p�l�z&q � ��RI�MO¢ ��� � - � � � � � � � ¢·��y&n�l&�5�TO z

6 June 2000 at 10:58

Page 21: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 217

r w � � � � � ¢ � �¥w�i  pJ��� � � � � �MO¢ �Q� � - � � � � � � � ¢(iU��n3�u|���5�~¡W�>�MO¢[p �$� � �MO¢ w � � �MO�¢ w � � �MO¢�¢T�5�j|�q�n3���Ty&�~o�yJy&n3{��5��lV|�q���5� 2 � � � q�p�l�z&qW� � � �� �MO¢ �*� � - � � � � � � � ¢(i  p~q��À�!y&nO�z}r w � � � � � ¢ � �¥w��� � �� �MO¢ �e� �� � I¢ ��p ���� r �y � � �� ���V¢ *,� ����

- r �y � � � �� ���V¢ � *,� � � - �� � � �

� O wl&��{·|pK����� �� �MO¢��l� �� � I¢ � � � - � � � � � � O)i  p~q�nq��!y&nq�����MO y ¢S� �~�¥�MO y ¢ �e�~�D� I¢[p�r � uy � �� �MO�¢ * O

� r � uy } � �� � I¢ � � - �� � � �

O � *�Op � �� � I¢ O y � ¤.- �

� � � �O �y

� � - ��(� � � �

� O y � ¤ - �� � � �

O �y p ( � p�qª����l&�T�5�~q�ºJ��l&�5�u|��·lV�0y¥z&qm��yM�5�uy � ����nyM�

� �� � I¢[p � ���w �� � ��� � - �!(� � � �

wl&��{¯|p~qj����l&��q�ºJ��l&�5�u|Z�·��yM�5�uy � �ª�!nyM� |p~q`{~q������u|�uyM�·y&�O�yDi  p��5���5�?ljo�yM�K|�n3l&{��5o�|�uyM�T����5��o�q]|p~q�z&q�n|�5o�l&�Ex�ny ��q�o)�|�uyM��|�y­|p�q � � � � ��x��5l&��q«y&�S|p~q«¡&q�yP{~q���5o��:�MO�¢@� � �� �5�1o�yM�K|l&�5�~q�{½�5� � i  p��5�+x�ny¥z&q�� ���5l&�5� �Ji R

/ !

/ & ���� �& ����� ���� �� ��� �

9999

9999

99

9999

99999

9999

9999

99

9999

9999

99

FIGURE 14. � �'�*� ���#�$�����-��� � �3��� & ����� ���� � 6

0/ �

0/ �

�& ����0� �

0� �99

9999

9999

9999

9999

99

9999

9999

99

99999 9 9 9 9

9 9 9 9 9

FIGURE 15. � �'����� � � � � �� �$���$�%���� ��� �& 6

� ��&

� �

/

��

9999

9999

99

9999

9999

99

FIGURE 16. � �'�$���$�%���* �& 6�]y � � ���� � �5��yM�~q³o�yM��x0yM�~q��K|Sy&�^� � �K� � � w � � w � � ¢�z2 � � � � z r � w � � w���l&��{¨|pJ���ª�� ���� � p �� ���� � � � � ¢�{~q��xEq���{��ªyM� � � i���q��~y � � �5�p�|�yU�5��o�nq�l&��q²� ���� � |�yUlo�yM���~q�o�|�q�{±�~yM��o�yM��x�l&o�|¸�3�~n�-l&o�q ¢� |p�lV|«�5���5��{~q�x0q��P�{~q��I|]y&� � � iq¡£q�����q¢� �op � !�� �� ���� � � � � ¢ � pK���«�� ���� � � � � ¢O� ¢� �!y&n�l&�5� � � ��l&��{ ¢� �5��l¬{��5���EyM����{~q�{��J�}yM�~q¯o��~nz&qU�5� ��±l&��{®�K��| � y}��x � lVn3{P�xEyM�5�K|�5�~¡}z&q�n|�5o�l&�£n3l��P��� �/w � � � �u|p q���{~x0yM�5�K|���5� � i�P�5��o�q � � � � �À�²l[�T��t w �.- � (V¢ � l&�`lVn���u|�n3lVn�§�5�}|p~qx�nyJy&�Ey&� ���5l&�5�7�J�Pl&�²q�l&����o�y&nyM�5�5lVn�²y&� ���5l&�5���j�5�S|p~q��yM�5�uy � �5�~¡N�Claim 7.

B 8N��!)@�,+�%�'&Wb��I0J�>@', �� @'! ¢� 0D@�!#b'��,L;<�H(O�>@� ��D� ���^�"8-�¥�/!�4¦@�. ¢��i B @',I� G),Q�D0��$(���&o9 � .�@',O�'&"&�� z� w tD¢(� �"8-�/,I���IF���(/�"(�� � � ¢)� (+*#0/8�"8<���6�����'&"&�G-@��$!?�"(�azW�K� � ��w � � w � � ¢^z ¢� � � � � � � � ¢N�M� �"8-�E!)@',H�%�'& ����(/���L�$($|��/(�� ���� � �� � � � �¦@�,�� ��T� � �� � � � � i

6 June 2000 at 10:58

Page 22: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

218 Experimental Mathematics, Vol. 9 (2000), No. 2

Proof.��q�o3p~yJyM��q �«��y�|p�lV| � � p ¤ �Mi �?� ���5l&�5� �J���u�

� � � � ����l[�T��t w �.- �!(V¢(��|p~q��� ��T� w �� � � � �¼t�� �.- � (

¤ � � ��!y&n1q�z&q�n�sx0yM�5�I| ��z � � � �� ���� � iS¡�q��E�~q����� �op ��T� � � ��T� w �� � � �� �Ww

 p~q�� � �� �� � � - �HG I�J� � � l&��{ ��T� � �� � p �L� ���� w �� � � � tD¢ �� � ��� �� i �?�sl���|�n3l&�u¡MpK|���y&n � lVn3{¯o�yM��x��~|lV|�uyM����o3p~yJyM��5�~¡� � tU� - �!(��±� �� � �

�Ãt�5�1�� �²o��uq��I|]|�y�q�����~n3q���5� � ���� � �� � � � � l&��{ � � � � ���²l[�0��t w � - �!([¢ �

���5l&�5���«�5�1�p~y � �Ti R¹£��5�~¡����5l&�5� ��l&��{½q��uq���q��K|lVn�¯x�ny&x0q�n|�uq��ªy&�So�yM�����P�¡MlV|�uyM�T� � qj��y � x�n3yDz&q �Xq�����l��~i;tVi��y&|�q�|p�lV|�{��5��|�� � � � ��w � � ¢Qp � �!y&n¸��yM��q�x0yM��u|�uz&q²�5�P�|�q�¡&q�n3�Ei �?� ���5l&�5� �sl&��{§|p~q�y&n(�u¡M�5��l&��o�yM���|�n3��o�|�uyM�

y&�@|p~q`�0yM����{�lVn�­{�lV|l��!|p~q«o3p~yM�5o�q�� � q`��l&{~q���y&nª|p~q�"! w �%$�¢¯�5�¶|p~q �&q��~�P�5�����P�Jq�n3n3�5�Á¡&n(lVx�pT� � q±��q�q�|p�lV|�%p tVi� ��~n|p~q�n3��y&nq&�~�J�����5l&�5� �K� � qmp�l�z&q{��5��|�� � � ��w � � ¢]pÃ{��5�|�� � � � �Uw � � ¢]p t � � (9–3)

��q�| ¢�� �� � ��0q�|p~q«o�yM� ����¡MlV|�q���~n�-l&o�q`y&�¨¢� i³��q�p�l�z&q|p~q³�!yM�5�uy � �5��¡�x�ny&x0q�n|�uq��U�1.

�P�5��o�q@o�yM�����~¡MlV|�uyM�¸�5�Xl&�m�5�yM��q�|�n�&� ¢�� �� � D�5���0yM����{~q�{�J� yM�~q����yKy&|pÃo��~n3z&q½y&�j�����u|�q��uq��~¡&|pT�ªl&��{Ã| � y���yKy&|p­o���nz&q�� � ��w � � y&�^�5�P�E���u|�qm�uq��~¡&|pTi

2.�P�5��o�q­o�yM� ���~¡MlV|�uyM�±�²lVx��`��|�n3l&�u¡MpK|��5�5�~q��`|�y¨x��5l&��lVn¡&q�yP{~q���5o���� � ��w � � lVn3q1�0yM����{�lVn�jx��5l&��lVn@¡&q�yP{~q���5o��Sy&�¢�� �� � +|p�lV|¸lVn3q�|p~q��5��lV¡&q��my&�+|p�q��0yM����{�lVn�½n3lD�J�� ��w � � �~nq���x0q�o�|�uz&q��u�&�E����{~q�n+o�yM� ���~¡MlV|�uyM�Ti

3.�P�5��o�q�o�yM�����~¡MlV|�uyM�}x�nq��q�nz&q��m|p~qa�ªl&����m�²lVx§l&��{p~q���o�q�l&�5��y ��}� � � l&��{ � � q�l&o(p}�5�uq��5�¬l·p~y&n3�98�yM�K|l&�x��5l&��q&iB��q+o�l&�5�J|p~q���q?| � y³p~y&n3�98�yM�K|l&�Kx��5l&�~q���� � l&��{� � ��n3q���x0q�o�|�uz&q��u�&i

4.�P�5��o�q§|p~q}�~y&n(��l&�³z&q�o�|�y&n �� �5�Ux�nq���q�nz&q�{¿����{~q�no�yM� ���~¡MlV|�uyM�T� �� yM� ¢�� ����:o�yM�Kz&q�n¡&q��1|�y � �� � lV|+|p~qq���{·y&�k¢�� �� � �i

5.�?�²x�ny&x0q�n|�� ��lV�0yDz&q&�

{��5��|�� � � � ��w � � ¢]p¾{��5��|�� &('���� � � ��w � � ¢ �6.

�P�5��o�qmo�yM�����~¡MlV|�uyM�½�5�1l&�·�5�yM��q�|�n�&�{��5��| � &('���� � � ��w � � ¢]pÃ{��5��| � � � ��w � � ¢ �

 >�5��l&�5�u�&���!nyM� q�ºJ��lV|�uyM�§�cvJ�P�M¢?l&��{²x�ny&x0q�n|�uq��1��l&��{��lV�0yDz&q&� � q¸o�yM��o��5��{~q��Claim 8.

{��5��|�� � � � �Uw � � ¢[p �� iS �¯|p~q`o�yM� ���~¡MlV|�q ¢�� ����Sy&� ¢� �;�K� � ��w � � w � � ¢1z¬� �

� � � � �M�P|p~q]x0q�n3�uyP{�x�ny&���uq�� lV|S|p~q£q���{��5��ljz&q�n|�5o�l&�|�n3l&����5lV|�uyM�®o�yM��x�n3�5��q�{}y&�1yM�~qsnq���q�o�|�uyM��|p~n3yM�~¡Mp � �o�yM��xEyM�q�{ � �u|psyM�~q³nq���q�o�|�uyM�U|p~nyM�~¡Mp � � i  pK���S|p�qx0q�n3�uyP{`x�ny&���uq�� �5��lªz&q�n|�5o�l&�~|�n3l&���3�5lV|�uyM��y&�0�uq��~¡&|p«q��J�l&o�|�u� � � �:�J� ���5l&�5� �Ji �B�u�&q � �5��q&�:|p~qs�l&��q²p~yM�5{��¸�!y&n|p~q¨o�yM� ���~¡MlV|�q¨��~n�-l&o�qUy&�ml&�K�±y&|p~q�nso�yM��x0yM�~q��K|��y&��K� � ��w � � w � � ¢�z¶� � � � � � �¯l&��{±l&�K�±o�yM��x0yM�~q��K|�y&�(�K� � � w � � w � � ¢�z}� � � � - � � �«l&� � q��5�-� � p�q�� � �5�o(p~yM��q��§�5lVn3¡&q�q��~yM�~¡MpTi��P�5��o�q«|p~q«�0yM����{�lVn�U�Eq�p�l�zP�uy&nl&�u|�q�n3��lV|�q��S�0q�| � q�q�� �@? l&��{ �"? l&�uyM�~¡¸|p~q]l&�u|�q�n3��lV|���5�~¡��(!Z���1l&��{ �%$D������|p�qm�~y&n3��l&�Ez&q�o�|�y&n£y&�>|p~q³¡&n3lVx�p C�`����|`l&�u|�q�n3��lV|�q��u�®lVx�x�nyMl&o3p�� �� � l&��{ � �� � l&�uyM�~¡�|p�q� ! ���`l&��{>� $ ����i  p�q�nq���y&n3q&�>l&��yM�~q�|�n3lDz&q��5�«l&�uyM�~¡¯|p�q�5�5�~q«��q�¡M��q��I| � � �K� w � � ¢1z 2 � �M�0|p~q�z&q�n|�5o�l&�:{��un3q�o)�|�uyM�Ãy&�³|p~q½|�n3l&���3�5lV|�uyM�ÃxEq�n(�uyJ{��²lV|s|p~q¯q���{���y&�³|p�qo�yM� ���~¡MlV|�q���~n�-l&o�q«y&�?� l&�u|�q�n3��lV|�q��¸�0q�| � q�q��§�~x � lVn3{l&��{U{~y � � � lVn3{­|�n3l&���3�5lV|�uyM���1y&�:�uq��~¡&|p � � i pK������q����²l �~i;t¸�5�1�p~y � �Ti

ACKNOWLEDGEMENTS p�q�o�yM��x���|�q�nj¡&n3lVx�p��5o��j�5�¬|p�q���¡M�~n3q�� � q�nq²o�nq�lV|�q�{���3�5�~¡®|p~q¦� <?�~h �y&��| � lVnq}x�nyP{���o�q�{Ã�J���Ml&��q��  ih�yV´0�²l&��y&�X|p~q��½lV|p~q��²lV|�5o�l&�X�Po��uq���o�q�� >1q���q�lVn(o3psµ��P���|�u|��|�q&� �?q�n�&q��uq��&� ��l&�5�u��y&n(���5lP��¹³� K iREFERENCES ��� � � �$� ����� � ��<"���$����� ������ � 6�� 6 ��� � � �$� ������� 6

� �<"�������. ��� ��$ � �$����=��� � � ��� ����=����������� �$���$�%����=���� � � .�� �"!$#$%'&(%*),+�-/.0%21�35476 ( �8 0��� ,*. >9�D> ��>:6<; 6 < ��������� �=�8 ><>��@? 6 < � ������� ��.�ACBD#�BFEG.:HI!G-KJ LNM�#�BDO2EGB MPH�!�QRETS<O8UGS<#�V�W+�H9�W+XM:M�BDO�Y<Q*+�O2Z[�\BDO]BD�W+�H0L�^9#_UG+`EX!GL�.Ka � �$������*���� �*�.Kb2��c � � .d�8 ><> 6 ?2������ � ����)� � ;����� � ���� .9b2�� c � � .d�8 0�`� 6 e ������ �0*� ��� 6 �� ` �68�gf 6 e � �� ���.� 6Ch ����� ���������;� .ji 6�lk���#�$���. ����� � 6 /0�� ������ � .])mBDO�BD�"+<H2L�^9#_UG+`EX!�LXQ5n$o2p S�^9OPZ<V+<#�qsrK+<Ht^]!uM�#vS�w�H�!$�@L�. ;����� � ���� . ���� ��� .d�8 : :6 6 x � � ����� �5����� � ����� ��� � ��y�8 `;:z�� e 6 x � � ����� �5�����{b 6 6� �$� � � � ���� .<|}HDHtB M�-�BFE~M9+<#�-/BF+<H�Z�B � !G#v!$O]-�BF+�HP!T�$^]+�-�BFS�O]L=S�U}LG!XE$VS<OPZ�S�#TZ`!$#-. ��*� ��� � 6 . x ������� ��� ����� � ��j� � �� ��� ���$�9� ��� ��� / �����$������� �� �+����,�P�(� . ;���$��� �����. ��$��� � .5�8 :;`z 6 ?� ��;�9�# � �� �� ��� ����� � �$��� � .d�8 ` :; 6 ���� ;� � �0������;��$�������8 :�`��� h'6 ���� ;����� ����� � 6 ;����$��� .�v� ���������$��������� ���$� ������ � ��� �� ��� � ��� �#���#�%� �* � �;� .�a�a�4

6 June 2000 at 10:58

Page 23: Embedded, Doubly Periodic Minimal SurfacesEmbedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces Wayne Rossman, Edward C. Thayer, and Meinhard Wohlgemuth CONTENTS 1. Introduction 2. Overview of

Rossman, Thayer, and Wohlgemuth: Embedded, Doubly Periodic Minimal Surfaces 219

����������� � � ������ ���$� ��� �� � � � � �$ �5�� ��� � ��� �$���$�%������ � � �$����� � .�� #vEG.0%���+<-/BFS<OP+�H:),!XE�.9%�� O2+�H�%���� ( �� `�:� ,-.8z:69� �z���6 6

�������� ������ ` (�X� h76 �������� ����. � < �����#�$�����-��� � � ��� ���� ���� ��;��� �� � ��� � �����������7�$���#�%� �* � � .���� 6 ����� �2�8 ]� � � !XS��W!G-�#�q +�O2Z�-�S�M9S<H�STY<q�S�U,L�^�wG�"+<O]B UGS<H�ZKLXQ@n�nvn ( � ������.�� ` `> ,-. �� � �$ � � � � 6 � ���� ����������� ����� i 6 / � � .�/0�����9� ��� 6� � �����9�# ���� � .(?�� � �� � � �� .0b ��.5�8 ` ]� 6

�������� ���"����� ��� �$ �� �� � 6 � 6 � h'6 �������� ��� �����3� 6� � � �� �� ���. ����$������� ������7��������� ��� � ��� 6 � �� � ����� ?�� �#�� � �� ���� ` :>�� / 6Wh76 � � � ����� h'6?�� �#�� � �� � . � � � � �� � � ��� ���������*������ ��� � ��: ��� � � � ��������� � ��� �#���#�%� �*��'� ��� �����$ ���� � ����� � � ����� � .��NS<�@�W!$O]-�%),+�-/.0%���!$HtrK%����d476 ( �8 : `> ,-.(6 > > �96���> 6

� �� �)����� / �� �� �� ` ]�X�?/ 6 h'6 � � �)����� 6 / �� ���.� � � ��� � ��� �$���$�%������ � � ����� � � � �*��� � �*��� � �� � ���������� ���� ���9������ � .�� S��\�"!$O]-�%�),+�-/.0%���!$Htr�%����54 6 ( �� ` ]� ,-.6`�`z �(6:�<; 6

� � � ��� � c ��� �� `;�68�)/ 6`h76 � � � ����� 6 � 6 c ��� . � � ��*�9�����#�9����� �9� �$ ���0����� ������ ����� �� � �$� � � � � � � ��� �$ ���� �� � �����#����� ��� � ����� � ���9��� 6 � ������ ���� ��� ����� �� �2�#� � ���$�������� ���� � � e ��� ���9��� �9� � �$�� � ��� � ��� ������� � ����� �����;���)���e � �� ! ��� ���� � .���SXM(S�H�STY`qm����4 � ( �8 :;:6 ,-.��:>: ������6 6 � ���#��$� ���{�� `�` �� ? 6 � ���#��$� ��� . � L�^9#�r�!Gq�S�U �@BDO�BD�"+<HLX^9#_UG+:EX!�L-. � ����b=� �#�$�������[?��� �� ����9�"< � 6 .8b= � c ���� .`�� `�` 6?��������� ����)� � e ��� �� .(b2�� c � � .2�8 :�` �.2�� `;`� 6 �� �� ��,�� `;`z��,? 6 �� ��;�� . � � �#�$������$ � � � �"�#��� ��� �� ��� � ����#���$�%������ � �3�$ ���� � � �������$����������� ����� � ���9��� � . ��� 6 �`�:� �2��6<�� �! d!G�\BDOP+<# S<O �\BDO]BD�W+�H�LX^�wG�W+�O]B UGS<H�ZKL-. �� � �$ � � �"� 6 � ����������1.8i2�������9� ����� � �� 6 �$� � 6 ��#�$ . �������*��$���Cf=��� � 6 �������. �������*��$��� .P�� `;:z 6 /0�� �8 ` �68� � 6 6 /0��1. � ;��� �9� ������� �����0�����%� ����������$ �������� � � ��� � � � ��� � � ��$��� � �9� �)������� ���2�$���#�%� �* � � .NnGO]VrK!$O]-�%5) +<-F.9%���#P1 4I� ( �� ` :6 ,-.2�`��z �2�8z`� 6 /0�� �� ����7� �� �� ` 0�$� � 6 /0�� �� ����7� �� . � � � ����� ��� �$���$�%���* ����3 �� �� ��� ���� � � ��� �$ :���� �$ ��������� �*��� � � �����$ � .C� #vEG.0%��+�-�BFS�O2+�Hd),!XEG.0%5� O2+�H�%���$�& 4�� ( �� ` 0��,-.2� �96 > 6

/ ���;��@?�� �$�$� ��� . x ��� � �����$ ��� ��;��� ����� � �� ��� ���$�9����. � �;���$ ;�,f2��� ������$� � � � � ��> � ��. h ����:���� �1. h ��� ���$ �� � ;� . ��� ;��� ��.��������� (

� ���;���' � ���$ 6 � � �# ;� � � 6 ��� 6 � � ,� � �"������< 6 � ���� �� . �� ��i �� 9f �~� c �Rf �*� i e e ?�� i�b e �}��iua �� �� �� ������3/0�� ���� ��7���$ . �� ��i �� 9f �~� c �Rf �*� i e e ?�� i�b e �}��iua �

6 June 2000 at 10:58