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ELO311Estructuras de Computadores

Digitales

Algoritmos de Multiplicación y División

Tomás Arredondo Vidal

Este material está basado en:

�material de apoyo del texto de David Patterson, John Hennessy, "Computer Organization & Design", (segunda y tercera edición), Morgan Kaufmann, CA. 2005

�material del curso anterior ELO311 del Prof. Leopoldo Silva

�www.wikipedia.org

Algoritmos de Multiplicación y División

� A continuación se estudiarán algoritmos para efectuar las operaciones de multiplicación y división entera.

� Usualmente estas operaciones están soportadas por hardware dedicado, adicional a la unidad aritmética que efectúa las operaciones básicas de sumar y restar números con y sin signo.

� Al estudiar los algoritmos podrá advertirse la naturaleza secuencial de éstos, en contraposición al carácter combinacional de las operaciones de suma y resta.

Multiplicación como Suma Repetitiva

� La operación de multiplicación se puede estudiar como la suma repetitiva del multiplicando las veces que indique el multiplicador.

� Producto = Multiplicando * Multiplicador� P: Producto

� R: Multiplicando

� Q: Multiplicador

P = R * Q

Multiplicación como Suma Repetitiva (cont)

� Ejemplo: la operación 7*3, en sistema binario puede realizarse según:

0111*0011 = 0111 + 0111 + 0111 = 010101

� Si los factores son de N dígitos, el producto puede expresarse con 2N dígitos.� Con N=3 en sistema decimal se tiene que con operandos sin

signo, el mayor factor es 999, y se tiene que 999 * 999 = 998.001 requiere 6 cifras.

� Si se considera factores positivos, pero con signo, el mayor positivo es 499 y en este caso también se requieren 6 dígitos para el producto: 499*499 = 249.001

Multiplicación como Suma Repetitiva (cont)

� Empleando el lenguaje C, puede describirse la idea anterior según:

/* Algoritmo a P y R de largo 2N. Q largo N. Sumador ancho 2N. */

/* Q y R positivos P = R * Q */

for( j = Q; j > 0 ; j-- )

{P += R;

}

� Nótese que P y R deben ser de largo 2N, y el sumador también debe ser de largo 2N.

� En este algoritmo el número de sumas es proporcional a Q.

Multiplicación Mediante Desplazamientos

� El siguiente algoritmo, corresponde a la multiplicación manual (con papel y lápiz) en la cual se va multiplicando las cifras del multiplicando por cada una de las cifras del multiplicador:

� Puede reducirse el número de veces que se repite la operación, notando que, en el sistema binario, sólo debe efectuarse la suma del multiplicando si la cifra correspondiente del multiplicador es uno; ya que la multiplicación por cero no cambia el producto parcial.

Multiplicación Mediante Desplazamientos (cont)

� Entonces en lugar de efectuar todas las sumas del multiplicando (desplazado una posición hacia la izquierda) por cada una de las cifras del multiplicador, podría efectuarse:

� La detección si debe realizarse o no la suma del multiplicando R, puede lograrse observando solamente la cifra menos significativa de Q, siempre que después de realizada la suma, se divida (en forma entera) el valor de Q.

� Esto se logra con un corrimiento hacia la derecha de Q, en una posición. Además el multiplicando debe desplazarse en una posición hacia la izquierda.


� El siguiente algoritmo desarrolla las ideas anteriores, y la suma se realiza a lo más en N pasos; es decir una vez por cada cifra de Q.

� Nótese que (Q&1), determina el valor del bit menos significativo del multiplicador Q.

/*Algoritmo b P y R de largo 2N. Q largo N. Sumador ancho 2N. Q y R positivos P = R * Q */

for( j = N ; j >= 0 ; j-- )

{

if(Q&1) P+=R;

Q=Q/2; R=R*2;

}


� Si reemplazamos la división y multiplicación entera por 2, por funciones que realicen corrimientos, se tiene el siguiente algoritmo:

/*Algoritmo 1 P y R de largo 2N. Q largo N Sumador ancho 2N. */

/* Q y R positivos P = R * Q */

for( j = N; j >= 0; j-- )

{

if (Q&1) P += R;

lls(R); lrs(Q);

}

� Se emplean las funciones lls y lrs, por logical left shift y logical rightshift respectivamente.

� Como los bits de signo de Q y R siempre serán ceros, pueden efectuarse corrimientos lógicos o aritméticos.

Fundamentos de Algoritmos de Multiplicación� Para analizar los algoritmos, si Q positivo( qn es cero), entonces:

� El Algoritmo a, descrito usando ecuaciones de diferencias :

S0 = 0 + R q0 20

S1 = S0 + R q1 21

S2 = S1 + R q2 22

S3 = S2 + R q3 23

.......

Sn-1 = Sn-2 + R qn-1 2n-1

Sn = Sn-1 + R qn 2n

� La cifra de Q, en la etapa i-ésima, qi sólo puede ser cero o uno. Si es uno, el término asociado se suma.

Fundamentos de Alg. de Multiplicación (cont)

� El término R 2i es el multiplicador desplazado i posiciones hacia la izquierda.

� Esto justifica el algoritmo ya visto, que corresponde a la multiplicación tradicional, efectuada con papel y lápiz.

� Si Q está en notación complemento dos y Q es positivo, entonces: qn = 0.

� El producto final queda en Sn.


� El Algoritmo 1, expresado por ecuaciones de diferencias:� Agregando el multiplicador anterior multiplicado por dos (ri)

S0 = 0 + R q0 20 = 0 + r0 q0 , r0 = R

S1 = S0 + R q1 21 = S0 + r1 q1 , r1 = 2 r0

S2 = S1 + R q2 22 = S1 + r2 q2 , r2 = 2 r1

S3 = S2 + R q3 23 = S2 + r3 q3 , r3 = 2 r2

.......

Sn-1 = Sn-2 + R qn-1 2n-1 = Sn-2 + rn-1 qn-1 , rn-1 = 2 rn-2

Sn = Sn-1 + R qn 2n = Sn-1 + rn qn , rn = 2 rn-1

� El producto queda en Sn.


� También pueden escribirse:

q0 = Q0 & 1 , Q0 = (Q/20)

q1 = Q1 & 1 , Q1 = (Q/21) = Q0/2

q2 = Q2 & 1 , Q2 = (Q/22) = Q1/2

....

qn = Qn & 1 , Qn = (Q/2n) = Qn-1/2

� Resumiendo se tienen las siguientes ecuaciones:

qi = Qi & 1

Si = Si-1 + riqi con S-1= 0

ri = ri-1 * 2 con r0 = R

Qi = Qi-1 / 2 con Q0 = Q

� Entonces en la etapa i-ésima, si qi es 1, se suma al producto parcial anterior Si-1, el multiplicador anterior multiplicado por dos (que es ri).

Algoritmos más eficientes� Se desea desarrollar ahora un algoritmo más eficiente, que emplee

menos recursos electrónicos que el anterior:

� Estudiemos la multiplicación binaria de (+26)*(+13) = +338

� Se observa que en cada paso sólo se suman 6 cifras (bits), la cifra menos significativa de la suma acumulada no afecta las sumas posteriores y puede decirse que es una cifra del producto final.

� Tampoco es necesario correr el multiplicando a la izquierda, si en lugar de esto se desplaza la suma (el producto parcial) hacia la derecha.

� De esta forma una de las entradas del sumador quedará fija con el valor del multiplicando (R). Se requiere un sumador de n+1 bits solamente.

Algoritmos más eficientes (cont)

� A partir de las relaciones de recurrencia del Algoritmo 1, se procederá a obtener las ecuaciones del Algoritmo 2.

� Básicamente consisten en expresar las sumas parciales en función solamente de R. Se comienza dividiendo por 2i:

S0/20 = 0/20 + Rq0 = 0 + Rq0 = s0

S1/21 = S0/21 + Rq1 = s0/2 + Rq1 = s1

S2/22 = S1/22 + Rq2 = s1/2 + Rq2 = s2

S3/23 = S2/23 + Rq3 = s2/2 + Rq3 = s3

.......

Sn-1/2n-1 = Sn-2/2n-1 + R qn-1 = sn-2/2 + Rqn-1 = sn-1

Sn/2n = Sn-1/2n + R qn = sn-1/2 + Rqn = sn


� Ordenando las relaciones anteriores y definiendo x, que representa la suma si dividida por dos:

s0 = 0 + Rq0 , x0 = s0/2 , con x-1 = 0

s1 = x0 + Rq1 , x1 = s1/2

s2 = x1 + Rq2 , x2 = s2/2

s3 = x2 + Rq3 , x3 = s3/2

.......

sn-1 = xn-2 + R qn-1 , xn-1 = sn-1/2

sn = xn-1 + R qn , xn = sn/2


� Si qi es uno se suma R con la suma anterior desplazada en uno hacia la derecha (xi-1). Con qn = 0 para número positivo.

� Para la etapa i-ésima:

qi = Qi &1

si = xi-1 + R qi con x-1 = 0

xi = si / 2 con s0 = 0

Qi = Qi-1 / 2 con Q0 = Q

� Si qi es uno se suma R con la suma anterior desplazada en uno hacia la derecha (xi-1).

� Si qi es cero sólo se desplazan hacia la derecha las variables s y Q.


/*Algoritmo 2 s, Q y R de largo n+1. Sumador ancho n+1 */

/* Q y R positivos. Al salir sQ= R * Q */

for(i=0, s = 0; i<n+1; i++)

{

if (Q &1 )

s = s + R ;

Q = Q/2; s = s /2

}

� No hay problemas de rebalse con números sin signo, ya que R es positivo, y rn siempre es cero.

� Q =Q/2; s = s /2 puede escribirse como un desplazamiento lógico a derecha (lrs).

� MIPS almacena este resultado en los registros HI y LO.

Operandos con Signo: Algoritmos de Booth

� A partir de las relaciones de recurrencia del Algoritmo 2, se procederá a obtener un algoritmo para operandos con signo.

� Q en complemento 2 se puede escribir como:

Q = - qn2n + qn-12n-1+ qn-2 2n-2+ ....+q121+ q020

� Y también como:

Q = - (qn2n + qn-12n-1+ qn-2 2n-2+ .... + q1211+ q020) + 2(qn-12n-1+ qn-2 2n-2 +

....+q121+ q020 )

� Introduciendo el factor 2 en las potencias de los términos positivos:

Q = - (qn2n + qn-12n-1+ qn-2 2n-2+ .... + q1211+ q020) + (qn-12n+ qn-2 2n-1+ ....+

q122 + q021 )

� Finalmente, agrupando los factores de las potencias iguales, se logra:

Q = (qn-1 - qn ) 2n + (qn-2- qn-1) 2n-1 + (qn-3- qn-2) 2n-2 + .... +(q1- q2) 22 + (q0- q1)

21 + (0 - q0) 20

Algoritmos de Booth (cont)� Entonces las relaciones de recurrencia para el algoritmo dos:

s0 = 0 + R q0 Algoritmo 2.

s1 = s0/2 + R q1

s2 = s1/2 + R q2

....

sn-1 = sn-2/2 + R qn-1

sn = sn-1/2 + R qn

� Pueden transformarse en: Algoritmo de Booth

s0 = 0 + R (0 - q0 )

s1 = s0/2 + R (q0 - q1 )

s2 = s1/2 + R (q1 - q2 )

....

sn-1 = sn-2/2 + R (qn-2 - qn-1_)

sn = sn-1/2 + R (qn-1 - qn)

Algoritmos de Booth (cont)

� Entonces, resulta el algoritmo de Booth, para la etapa i:

si = si-1/2 + R (qi-1 - qi ) con q-1 = 0 y s-1 = 0

Qi = Qi-1/2 con Q0 = Q

qi = Qi &1

� Si qi-1 = qi no se suma R al producto parcial, que es la suma acumulada anteriormente (si=1), desplazada un bit hacia la derecha.

� Si qi = 0 y qi-1 = 1 se suma R al producto parcial.

� Si qi = 1 y qi-1 = 0 se resta R del producto parcial.

� Es muy eficiente solo requiere n sumas o restas mas los corrimientos correspondientes.


� Es preciso agregar un bit, a la derecha de Q. Para poder comparar, en la etapa i-ésima, el último de Q, qi, con el de la etapa anterior qi-1. Este bit, se inicia en cero, y se denomina qq en el algoritmo.

� Sólo es preciso agregar un flip-flop, para capacitar al hardware del algoritmo 2 en un dispositivo, para realizar multiplicaciones de operandos con signo.

� Como se efectúan restas, un producto parcial puede resultar negativo, por esta razón debe correrse éste a la derecha con extensión del signo (usando ars).

� El bit que sale del producto parcial si, puede ocupar el bit del signo de Q, espacio que queda disponible al mover Q en una posición hacia a la derecha.


/*Algoritmo 3: Booth S, Q y R de largo n+1.

/* Sumador ancho n+1. Q y R con signo SQ= Q * R */

for(i=0, qq=0; i<n+1; i++)

{

if( (Q&1) = =0 && qq = = 1 ) S += R; /* se suma */

if( (Q&1) = =1 && qq = = 0 ) S -= R; /* se resta */

ars(S, Q, qq); /* ars es un right shift aritmetico, qq = Q0 */

}

� Resultado va quedando en Q

Algoritmos de Booth (cont)� Ejemplo: Algoritmo Booth, resultado va quedando en P

� R = 2 = 0010, Q = -7 = 1001 (Nota: Para restar R comp 2: -2 = 1110)

R: Multiplicando P:(S, Q, qq)

0010 0000 1001 0 qi=1, qi-1=0, se resta R de S

0010 1110 1001 0 se corre S,Q,qq 1 bit

0010 1111 0100 1 qi=0, qi-1=1, se suma R a S

0010 0001 0100 1 se corre S,Q,qq 1 bit

0010 0000 1010 0 qi=0, qi-1=0, hacer nada

0010 0000 1010 0 se corre S,Q,qq 1 bit

0010 0000 0101 0 qi=1, qi-1=0, se resta R de S

0010 1110 0101 0 se corre S,Q,qq 1 bit

0010 1111 0010 1

� Resultado: P = multiplicando * multiplicador = R * Q = -14 = 1111 0010

Multiplicación de Enteros sin signo

� El algoritmo para multiplicar enteros positivos debe modificarse ya que en caso de enteros sin signo puede producirse reserva de salida en el sumador que produce los productos parciales.

� Si se considera la siguiente tabla de verdad:� Pn, Rn, y Sn son los bits más

significativos de los registros P, R y del bus de salida S del sumador.

� Cn-1 es la reserva generada en la penúltima etapa de sumador.

� Co es la reserva de salida.� La reserva de salida, para enteros

positivos es cero. � Pero si Pn o Rn pueden tomar valores

iguales a uno, podría producirse una reserva de salida Co igual a uno.

P = R*QS

Multiplicación de Enteros sin signo (cont)

� Consideremos un registro de largo 3 y multipliquemos P=R*Q

� Para P=7*3, con 6 bits para el producto este es positivo:

� El producto parcial P, se inicia en cero, después de la primera suma P contiene 111.

� Luego de efectuado el primer corrimiento de P, debe realizarse la suma

S = P + R:

� Que produce reserva de salida:

� Entonces al efectuar el corrimiento hacia la derecha de P, la posición más significativa, que queda vacante, debe llenarse con la reserva de salida.

� Entonces el algoritmo para multiplicar enteros sin signo, debe efectuar un corrimiento lógico hacia la derecha de los registros concatenados Co, P y Q.

Multiplicación de Enteros sin signo (cont)� En C:

for (i = 0; i < n+1; i++)

{

if ( Q&1)

P += R;

lrs(Co, P, Q);

}

� La implementación electrónica de este algoritmo se realiza mediante un registro de desplazamiento, y resulta sencilla si se dispone de la generación de la reserva de salida del sumador.

Algoritmos de División

� Algunas definiciones:

� El dividendo es de largo 2N; el divisor, cuociente y resto de ancho N. Se requieren 2N para expresar el resultado de una división.

� Algoritmo 1:

� P de largo 2N, Q y R de largo N.

Parámetros: el dividendo en P, divisor en R.

Resultados: el cuociente en Q, resto en P.

while (P >= R)

{

P-=R; Q++;

}

Algoritmos de División (cont)

� Algoritmo 2:

� P, Q y R de largo N. Al inicio dividendo en P y Q, divisor en R. Sumador de largo N.

for(j=N ; j>=0; j--)

{

if(P>=R)

{

P-=R; lls(P,Q); Q++;

}

else lls(P,Q);

}

� Overflow = bit más significativo de Q.

Algoritmos de Multiplicación en MIPS

� Las operaciones de corrimiento se realizan mucho más rápido que las multiplicaciones. Dado que se emplean redes combinacionales para los corrimientos.

� Entonces un compilador C, la expresión a = a * 8 la ensamblaría, si a está en $s0, según:

sll $s0, $s0, 3

� Recordar que el resultado de una multiplicación, ocupa el doble del tamaño de los operandos.

� La expresión, en C: a = b * c

� Se compila, suponiendo b en $s2, c en $s3. El resultado se obtiene como la parte más significativa de a en $s0 y la menos significativa en $s1:

mult $s2, $s3

mfhi $s0

mflo $s1

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